Ejemplo:

2ix + 3y = 4i -9 luego esto es así:

2x = 4 3y = -9 en donde x = 2 y= -3

Dos números complejos son conjugados, si y solamente si son iguales sus partes reales y los coeficientes de sus partes imaginarias difiere del

signo algebraico. Ejemplo: (5 -2i) el conjugado es (5 +2i)

Ejemplo: (-3 + 7i) el conjugado es (-3-7i)

En los números complejos la parte real es el eje horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical.

Su representación gráfica: se utiliza el de coordenadas cartesianas.

Grafique (-2 + 4i)bi

a

El valor absoluto de un número complejo:Valor absoluto r =

Argumento θ = arc tan (b/a) ver folleto

EJEMPLOS: grafíquense los puntos y encuéntrese el valor absoluto y el argumento de los números complejos. 2√3 – 2i

r =

r=

θ = arc tan ( )

θ = arc tan

θ = -30°

Θ = 330°

Θ = 11π/6

416412

43423222

x

22 ba

3

132

2

DETERMINE X e Y PARA QUE SE CUMPLA LAS IGUALDADES SIGUIENTES:al terminar esta página realice la tarea N° 2

EJEMPLO:1. X – 2i = 2 + Yi recordemos que la teoría dice que dos números complejos son iguales si son

iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.En base a esta teoría tenemos que:x = 2 -2i = Yi luego se cancelan las (i) quedando Y = -2

EJEMPLO:5. 2x – y + (x – 2y) i = 6 – 3i recuerden igualar la parte real ( la que no tiene (i)) de la izquierda

con la parte real de la derecha, lo mismo para la parte imaginaria.2x – y = 6 esta era la real X – 2y = -3 esta es la imaginaria, eliminamos las (i)El sistema que quedo es dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se puede usar el método de

reducción, sustitución, igualación. En lo personal me gusta reducción2 (2x – y = 6) entonces 4x – 2y = 12 remplazando 2 (5) – y = 6-1(x – 2y = -3) entonces -x +2y = 3 10 - y = 6

3x ---- = 15 -y = 6 -10x = 5 -y = -4

y = 4

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA ALGEBRAICA

Adición se suma la parte real con real e imaginario con imaginario

Ejemplo: (2 – 5i) + (-6 – 7i) = ( 2- 6) + (-5i -7i)

= -4 – 12i

Sustracción cambia de signo el segundo término.

Ejemplo: (3 + 6i) – (7 – 9i) = 3 + 6i -7 + 9i

= -4 + 15i

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÍMEROS COMPLEJOS EN FORMA ALGEBRAICAal terminar con las cuatro operaciones fundamentales, realice la tarea N° 3

MULTIPLICACIÓN: se hace en la misma manera que algebraicamente, término a término.

Ejemplo : ( 5 – 4i) x ( 1+ 2i) = 5 + 10i – 4i – 8i2

= 5 + 6i + 8 porque i2 es igual a (-1)

= 13 + 6i

DIVISIÓN: en la división se multiplica en el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, es decir, si el denominador es 2 + 3i el conjugado es 2- 3i .

Ejemplo:

i

i

43

181

169

50723

43

725443

43

43

43

181

22

2

i

iii

i

ix

i

i

Como todos los números son divisibles entre 25, se simplificó. Haga la tarea N° 3

Representación trigonométrica de un número complejo

En esta parte vamos a ver cuatro operaciones matemáticas, que son: lamultiplicación, la división, potenciación y radicación.

Si tienen alguna pregunta me la mandan a mi mail.

a. Producto de dos números complejos:

Dado C1 y C2 dos números complejos su representación trigonométricaserá:

C1 = r1 (cos 1 + i sen 1) y C2 = r2 (cos 2 + i sen 2)

La fórmula es

C1 * C2 = r1* r2 cos ( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)

Para poder usar la fórmula deben buscar primero los módulos y losargumentos, o sea r1 y r2 ; 1 y 2

25

5075 i

1

23 ii23

Cuando se tiene dos números complejos es necesario buscar las (r, )para poder aplicar la fórmula.

C1 C2 = (1- i 3 )(-1 + i)22

1 )3()1(r

311r

2

4

1

1

r

r

211

)1()1(

2

22

2

r

r

300

60

1

3arctan

arctana

b

135

45

1

1arctan

arctana

b

Apliquemos la fórmula, continuemos con el problema, ahora conociendo todos los datos.

C1 * C2 = r1* r2 cos ( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)

C1 * C2 = 2 2 cos(300° + 135°) + i sen (300° + 135°)

C1 * C2 = 2 2 cos435° + i sen 435°

C1 * C2 = 2 2 CiS 75°

Ahora ustedes se preguntaran por que dio 75°, recordemos que 435° pasa de los 360° o sea que da una vuelta por lo tanto restamos y obtenemos 75°.

Y CiS significa coseno (i) seno. Es una abreviatura.

Ejemplo : 2121

2

1

2

1 cos isenr

r

c

c

31

1

2

1

i

i

C

C

2

11

11

1

1

22

1

r

r

r

2

4

31

31

2

2

2

22

2

r

r

r

r

Continuamos buscando los argumentos argumentos

135

45

)1arctan(

1

1arctan

1

1

1

1

240

60

3arctan

1

3arctan

2

2

2

2

Cuando se busca el ángulo se tiene que ver en que cuadrante esta,para saber cual es el real.En este ejemplo, el primero estaba en el cuadrante dos, por lo tanto elángulo de -45° en ese cuadrante es 135° y lo mismo ocurre con elángulo de 60° que esta en el tercer cuadrante, recuerden que la tan espositiva aquí, pero eso no cambia que el ángulo es de 240°.

752

2

)105()105cos(2

2

240135240135cos2

2

2

1

2

1

2

1

cisc

c

isenc

c

isenc

c

2

4

13

13

3

22

6

r

r

r

r

ic

EJEMPLO DE POTENCIA TEOREMA DE MOIVRE

30

3

1arctan

18064

3062

6

66

CiSc

xCiSc

Desarrollo de la fórmula

Cualquiera pregunta llamen a mi teléfono 66879921 ustedes tienen que tener todas esas tareas hechas Para el lunes 6 el A y B, para el martes 7 de agosto del 2012, alC.Este tema no esta difícil, hagan como explique ó busquen ayuda, las profesoras de la escuela los van ha ayudar.