Números complejos · 5.5. Radicación de números complejos página 125 1. Números imaginarios....

12
61 5. Números complejos Números complejos E S Q U E M A D E L A U N I D A D 3.1. Suma de números complejos página 118 3.2. Producto de números complejos página 118 3.3. Cociente de números complejos página 118 3.4. Potencias de números complejos página 119 5.1. Suma de números complejos página 123 5.2. Producto de números complejos página 123 5.3. Cociente de números complejos página 123 5.4. Potencias de números complejos página 124 5.5. Radicación de números complejos página 125 1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115 2. Representación gráfica de los números complejos página 116 3. Operaciones con números complejos en forma binómica página 118 4. Forma polar de un número complejo página 120 5. Operaciones con números complejos en forma polar página 123

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615. Números complejos

Números complejos

E S Q U E M A D E L A U N I D A D

3.1. Suma de números complejospágina 118

3.2. Producto de números complejospágina 118

3.3. Cociente de números complejospágina 118

3.4. Potencias de números complejospágina 119

5.1. Suma de números complejospágina 123

5.2. Producto de números complejospágina 123

5.3. Cociente de números complejospágina 123

5.4. Potencias de números complejospágina 124

5.5. Radicación de númeroscomplejos

página 125

1. Números imaginarios.Números complejos en forma

binómicapágina 115

2. Representación gráfica de los números complejos

página 116

3. Operaciones con númeroscomplejos en forma binómica

página 118

4. Forma polar de un númerocomplejo

página 120

5. Operaciones con númeroscomplejos en forma polar

página 123

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62 Trigonometría y números complejos

S O L U C I O N E S D E L A S A C T I V I D A D E S D E L L I B R O D E L A L U M N O

Cuestiones previas (página 114)

1. Dado el punto P(4, 3), ¿cuáles son las coordenadas del pun-to P’ simétrico de P respecto del eje de abscisas? ¿Y las delpunto P’’ simétrico de P respecto del origen de coordena-das? Dibújalos.

Las coordenadas son P’(4, �3) y P’’(�4, �3).

2. Dados los vectores fijos de origen O y extremos P(5, 2) yP’(�5, �2), ¿cuáles son sus módulos? ¿Qué ángulos formancon el semieje positivo de abscisas?

� �OP� � �52 � 2�2� � �29�, el vector OP forma con el semieje

positivo de abscisas un ángulo � � arctg �2

5� � 21,801 4°

� �OP’� � �52 � (��2)2� � �29�, el vector OP’ forma con el se-

mieje positivo de abscisas un ángulo � � arctg ��

2

5� �

� 21,801 4° ⇒ 180° � 21,801 4° � 201,801 4°

3. Racionaliza la expresión �1 �

1

�2��.

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conju-gado del denominador:

�1 �

1

�2�� � �

1

1

��

2�2�

� � �1

1

�2

2�� � �2� � 1

4. Indica el discriminante de cada una de estas ecuaciones:

� x2 � 9 � 0 � x2 � x � 0 � x2 � 6x � 9 � 0

¿Qué tipo de soluciones tiene cada una?

� x2 � 9 � 0, su discriminante es � � �36 ⇒ x � ���9� �� �3i, dos soluciones complejas.

� x2 � x � 0, su discriminante es � � 1 ⇒ x(x � 1) � 0, lassoluciones son x � 0 y x � �1, reales.

� x2 � 6x � 9 � 0, su discriminante es � � 0 ⇒ x � 3, solu-ción real doble.

Actividades (páginas 115/125)

Calcula las soluciones de las ecuaciones en el conjunto �:

a) x2 � 16 � 0

b) x2 � 8x � 25 � 0

c) x4 � 3x2 � 4 � 0

a) x2 � 16 � 0 ⇒ x � ���16� � �4i ⇒ x1 � 4i, x2 � �4i

b) x2 � 8x � 25 � 0 ⇒ x ���8 � �

2

64 � 1�00��� �4 � 3i

x1 � �4 � 3i, x2 � �4 � 3i

c) x4 � 3x2 � 4 � 0, realizamos el cambio x2 � t, obtenemosentonces la ecuación de segundo grado t2 � 3t � 4 � 0 ⇒t � 4 y t � �1, deshaciendo el cambio, se tiene:

x1 � 2, x2 � �2, x3 � i, x4 � �i

1

XO

Y

2

2 4

�2

�2�4

P’

P

P’’

Calcula los valores de las potencias siguientes:

a) i19

b) i29

c) i56

a) Dividimos 19 entre 4 y obtenemos de resto 3; por tanto,i19 � i3 � �i

b) Dividimos 29 entre 4 y obtenemos de resto 1; por tanto,i29 � i1 � i

c) Dividimos 56 entre 4 y obtenemos de resto 0; por tanto,i56 � i0 � 1

Dados los números complejos z � 3 � 2i y z’ � 4 � i, calcula:

a) z � z’ f) �z

b) z � z’ g) �z’

c) z/z’ h) z�

d) 1/z i) z�’

e) 1/z’ j) z� � z’

a) z � z’ � (3 � 2i) � (4 � i) � 7 � i

b) z � z’ � (3 � 2i) � (4 � i) � 12 � 3i � 8i � 2 � 14 � 5i

c) �z

z

’� � �

3

4

2

i

i� � �

3

4

2

i

i� � �

4

4

i

i� � �

1

1

0

7� � �

1

1

1

7� i

d) �1

z� � �

3 �

1

2i� � �

3

3

2

2

i

i� � �

3 �

13

2i� � �

1

3

3� � �

1

2

3� i

e) �z

1

’� � �

4 �

1

i� � �

4

4

i

i� � �

4

1

7

i� � �

1

4

7� � �

1

1

7� i

f) �z � �3 � 2i

g) �z’ � �4 � i

h) z� � 3 � 2i

i) z�’ � 4 � i

j) z� � z’ � (3 � 2i) � (4 � i) � 12 � 3i � 8i � 2 � 10 � 11i

Calcula:

a) (2 � 2i)6

b) (3 � 4i)3

a) (2 � 2i)6 � (2 � 2i)2 � (2 � 2i)2 � (2 � 2i)2 � �8i � (�8i) �� (�8i) � �512i

b) (3 � 4i)3 � (3 � 4i)2 � (3 � 4i) � (�7 � 24i) � (3 � 4i) �� �21 � 72i � 28i � 96 � �117 � 44i

Expresa los siguientes números complejos en forma polar:

a) �3 � 2i

b) �4i

c) 5 (cos 20° � i sen 20°)

d) La unidad imaginaria positiva.

a) �3 � 2i ⇒ m � �(�3)2 �� 22� � �13�; tg � � ��

2

3� ⇒

⇒ � � 146,309 9° ⇒ �13�146,3°

b) �4i � 4270°

c) 5(cos 20° � isen 20°) � 5(cos (�20°) � i sen (�20°)) �� 5�20° � 5340°

d) i � 190°

Expresa el número complejo 3 (cos 150° + i sen 150°) enforma binómica.

Sustituyendo sen 150° y cos 150° por su valor se obtiene:

3(cos 150° � i sen 150°) � ��3�

2

3�� � �

3

2� i

6

5

4

3

2

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Calcula el opuesto y el conjugado de los siguientes núme-ros complejos, expresándolos en forma polar:

a) z � 1 � �3�i b) z � �1

2� (cos 200° � i sen 200°) c) z � 4�15°

Expresamos en primer lugar los números complejos en formapolar:

a) z � 1 � �3�i � 2300° ⇒ z� � 260°, �z � 2120°

b) z � �1

2� (cos 200° � i sen 200°) � ��

1

2��200°

⇒ z� � ��1

2��160°

, �z � ��1

2��20°

c) z � 4�15° � 4345° ⇒ z� � 415° , �z � 4165°

Dados los números complejos z � 375° y z’ � 420º , calcula:

a) z � z’ c) z/z’ e) 1/z’ g) �z’

b) z � z’ d) 1/z f) �z h) z�

a) Para sumar los dos números complejos en forma polar espreciso, en primer lugar, expresarlos en forma binómica:

z � 375° � 3 (cos 75° � i sen 75°) � 0,78 � 2,90i

z’ � 420° � 4 (cos 20° � i sen 20°) � 3,76 � 1,37i

z � z’ � (0,78 � 2,90i) � (3,76 � 1,37i) � 4,54 � 4,27i

b) z � z’ � 375° � 420° � 1295°

c) �z

z

’� � 375°/420° � ��

3

4��55°

d) �1

z� � �

3

1

7

0

5

°

°

� � ��1

3��

�75°� ��

1

3��285°

e) �z

1

’� � �

4

1

2

0

0

°

°

� � ��1

4��

�20°� ��

1

4��340°

f) �z � 375° � 180° � 3255°

g) �z’ � 420° � 180° � 4200°

h) z� � 3�75° � 3285°

Calcula la potencia cuarta del número complejo 3 � 3i,expresándolo previamente en forma polar.

3 � 3i ⇒ m � �32 � (��3)2� � �18�; tg � � ��

3

3� ⇒ � � 315°

(3 � 3i)4 � ��18�315°�4

� 324180°

Calcula (�4 � 2i )5, expresándolo en forma polar.

�4 � 2i ⇒ m � �(�4)2 �� 22� � �20�; tg � � ��

2

4� ⇒

⇒ � � 153,43°

(4 � 2i)5 � ��20�153,49°�5

� 800�5�47,17°

Calcula las raíces cúbicas del número complejo 8 � 8i.

Expresamos, en primer lugar, el número 8 � 8i en forma polar:

8 � 8i ⇒ m � �82 � (��8)2� � �128�; tg � � ��

8

8� ⇒ � � 315°;

8 � 8i � �128�315°

El módulo de las raíces cúbicas de 8 � 8i será:

�3

�128�� � �6

128� � 2�6

2�Y sus argumentos:

�1 � �31

3

5°� � 105°

�2 � �315° �

3

360°� � 225°

�3 � �315° �

3

720°� � 345°

Las tres raíces cúbicas de 8 � 8i son:

2�6

2�105° , 2�6

2�225° , 2�6

2�345°

11

10

9

8

7 Calcula las raíces quintas de 32.

El número 32 en forma polar es 320°.

El módulo de las raíces quintas de 32 es �5

32� � 2.

Y sus argumentos:

�1 � �0

5

°� � 0° �4 � �

0° �

5

1080°� � 216°

�2 � �0° �

5

360°� � 72° �5 � �

0° �

5

1440°� � 288°

�3 � �0° �

5

720°� � 144°

Las raíces quintas de 32 son: 20° , 272° , 2144° , 2216° , 2288°

Ejercicios y problemas (páginas 131/133)

Números imaginarios. Forma binómica. Representacióngráfica

Representa gráficamente estos números complejos e indi-ca cuáles son imaginarios puros y cuáles reales:

3 � 4i, �7i, ��3�, ��3�, �1 � i, �1 � i, �1

4� � �

5

2�i, 3

Imaginarios puros: �7i y ��3�; Reales: ��3� y 3

Escribe los conjugados y los opuestos de:

3 � i, 2 � 4i, �5i, �1

2� � �

1

3�i

Conjugados: 3 � i, 2 � 4i, 5i, �1

2� � �

1

3� i, respectivamente.

Opuestos: �3 � i, �2 � 4i, 5i, ��1

2� � �

1

3� i, respectivamente.

Representa gráficamente el conjugado y el opuesto de lossiguientes números complejos:

a) z � �4 � 3i c) z � 4 e) z � 3 � 4i

b) z � �7i d) z � �1 � 2i f) z � 0

i

1

�4 � 3i

�7i

7i

�4 � 3i 4 � 3i

4�4

�1 � 2i

�1 � 2i 1 � 2i

3 � 4i

3 � 4i�3 � 4i

0

3

2

i

1

�1 � i

�1 � i �3

� 3

�7i

3 � 4i

�� � �� i14

52

3

1

12

635. Números complejos

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64 Trigonometría y números complejos

¿Qué tienen en común los números complejos de afijos (4, 0), (�4, 0), (0, 4) y (0, �4)? ¿Por qué?

Están situados sobre los ejes de coordenadas a igual distan-cia del origen. Su módulo vale 4.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x2 � 36 � 0 c) x3 � 27 � 0

b) x2 � 36 � 0 d) x2 � 4x � 5 � 0

¿A qué campo numérico pertenecen las soluciones?

a) x2 � 36 � 0 ⇒ x � ����3�6� ⇒ x � �6i, las dos solucionesson imaginarias.

b) x2 � 36 � 0 ⇒ x � ��3�6� ⇒ x � �6, las dos soluciones sonreales.

c) x3 � 27 � 0 ⇒ x � �3

2�7� � 3, que es una solución real, pero en el campo de los complejos esta ecuación tiene tres soluciones, que son:

x3 � 270°

30° � 3

x � �3

(2�7�0°)� � 3120° � ��3

2� � �

3�2

3�� i

3240° � ��3

2� � �

3�2

3�� i

d) x2 � 4x � 5 � 0 ⇒ x � �4 �

2

��4�� ⇒ � 2 � i

Por tanto, sus dos soluciones son complejas.

Resuelve la ecuación x 2 � 2x � 10 � 0 y comprueba que lasraíces obtenidas la verifican.

De forma análoga al último apartado del ejercicio anterior:

x2 � 2x � 10 � 0 ⇒ x ��2 � �

2

�36��⇒ x � 1 � 3i

Sus dos soluciones son complejas.

Para comprobar que, efectivamente, son soluciones de laecuación sustituimos:

(1 � 3i )2 � 2 � (1 � 3i ) � 10 � 1 � 6i � 9 � 2 � 6i � 10 � 0

(1 � 3i )2 � 2 � (1 � 3i ) � 10 � 1 � 6i� 9 � 2 � 6i � 10 � 0

Determina las soluciones, en el campo de los númeroscomplejos, de las siguientes ecuaciones:

a) x2 � 1 � 0 c) x2 � 4x � 29 � 0

b) x4 � 81 � 0 d) x3 � 5x2 � 4x � 20 � 0

a) x2 � 1 � 0 ⇒ x � ���1� � �i

b) x4 � 81 � 0 ⇒ x4 � 81 � (x2 � 9)(x2 � 9) ⇒ x1 � 3i,x2 � �3i, x3 � 3, x4 � �3

c) x2 � 4x � 29 � 0 ⇒ x ��4 � �1

2

6 � 1�16��� �

4 �

2

10i� ⇒

⇒ x1 � 2 � 5i, x2 � 2 � 5i

d) x3 � 5x2 � 4x � 20 � 0

Primero aplicando Ruffini tenemos:

1 �5 4 �20

5 5 0 20

1 0 4 0

El polinomio dado lo podemos factorizar:

x3 � 5x2 � 4x � 20 � (x � 5)(x2 � 4)

La soluciones de la ecuación polinómica dada son:

x1 � 5, x2 � �2i, x3 � 2i

7

6

5

4 Operaciones con números complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes sumas en forma binómica:

a) (�2 � 3i ) � (7 � 4i )

b) ��1

2� � 3i�� ��

3

2� � i�

c) ��2� � �5�i �� ��2� � 5�5�i �

a) 5 � i

b) 2 � 4i

c) 2�2� � 4�5�i

Calcula los siguientes productos:

a) (2 � 3i ) � (3 � 5i ) c) ��3� � i � � ��3� � i�

b) ��1

2� � i� � ��

3

4� � 2i� d) ��2� � �2�i�2

a) 21 � i

b) �1

8

9� � �

1

4� i

c) 4

d) 4i

Efectúa las siguientes operaciones:

a) (3 � 2i ) � (3 � i ) � (1 � 2i ) � (4 � 2i )

b) �4

2

2

3

i

i� � (2 � 2i )

a) 3 � 3i

b) �2

1

8

3� � �

4

1

2

3� i

Realiza las siguientes operaciones:

a) [(3 � 2i) � (3 � i) � (1 � 2i) � (1 � 2i)] (5 � 4i)

b) �3 �

2

i�

c) ��

2� �

i

i�

d) �1 �

i

�5�i�

a) 42 � 9i

b) �3

5� � �

1

5� i

c) �1 � �2�i

d) �5� � i

Demuestra que es � i el inverso de a � bi.

�a �

1

bi� � �

a �

1

bi� � �

a

a

b

b

i

i� ��

a

a2

b

b

i2���

a2 �

a

b2���a2 �

b

b2� i

Calcula z � �3

i� � �

2

2

i

i� � �

2

1

3

2

i

i�.

z � �3

i� � �

2

2

i

i� � �

2

1

3

2

i

i� � �3i � �

2 �

5

4i� � �

8 �

5

i� ��

10 �

5

12i�

Dados los números complejos 3 � bi y a � 2i, calcula a y bpara que su producto sea 7 � 4i.

(3 � bi)(a � 2i) � 7 � 4i ⇒ 3a � 6i � abi � 2b � 7 � 4i ⇒

⇒ �3a � 2b � 7

6 � ab � 4 → a � �b

2�

Sustituyendo tenemos:

�b

6� � 2b � 7 ⇒ 2b2 � 7b � 6 � 0 ⇒ � b � 2 ⇒ a � 1

b � 3/2 ⇒ a � 4/3

14

13

b�a2 � b2

a�a2 � b212

11

10

9

8

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Page 5: Números complejos · 5.5. Radicación de números complejos página 125 1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115 2. Representación gráfica de

Calcula:

a) �(

(

1

1

i

i

)

)

2

2� b) �(2 � i)

2

(1

i

� 2i)2

a) �1 b) �7

5� � �

2

5

4� i

Calcula:

a) i33 b) i185 c) i186 d) i64 e) 1/i5 f) i�2

a) i 33 � i

b) i 185 � i

c) i 186 � i 2 � �1

d) i 64 � i 0 � 1

e) �i

15� � �

1

i� � �

1

i� � �i

f) i �2 � �i

12� � �

1

1� � �1

Determina el valor de m para que el cociente seaigual a 1 � 5i.

�6

1

m

i

i���

6

1

m

i

i�� �

1

1

i

i� ��

6 � 6i �

2

mi � m��

� �6 �

2

m� � �

6 �

2

m� i � 1 � 5i ⇒ �

Determina el valor de a para que (a � 5i)2 sea un númeroimaginario puro.

(a � 5i)2 � a2 � 10ai � 25

Para que sea imaginario puro la parte real a2 � 25 � 0 ⇒⇒ a � 5, a � �5

Halla b para que el producto (3 � bi)(3 � 5i) sea:

a) Un número real.

b) Un número imaginario puro.

(3 � bi) (3 � 5i) � 9 � 15i � 3bi � 5b

a) Para que sea real: 9 � 5b � 0 ⇒ b � �9/5

b) Para que sea imaginario puro: �15 � 3b � 0 ⇒ b � 5

Halla el valor de k para que el número ��43�

k

i

i�� � i563 sea ima-

ginario puro.

Si �4

3

k

i

i� � i563 es imaginario puro, su parte real debe ser nula.

i 563 � i3 � �i , por lo tanto, si operamos:

�4

3

k

i

i� � (�i ) � �

3

3

i

i� �

�3k � 4 � 0 ⇒ k � ��

3

4�

Calcula el valor de x para que el complejo :

a) Sea imaginario puro.

b) Sea un número real.

c) Tenga su afijo en la bisectriz del primer cuadrante.

�3

4

2

3

x

i

i�� �

4

4

3

3

i

i� �

a) Si ha de ser imaginario puro, su parte real debe ser nula:12 � 6x � 0 ⇒ x � 2

b) Si ha de ser real, su parte imaginaria debe ser nula:

�8x � 9 � 0 ⇒ x � �9/8

c) Si su afijo debe estar en la bisectriz del primer cuadrante,deben ser iguales la parte real y la imaginaria:

12 � 6x � �8x � 9 ⇒ x � �21/2

12 � 6x � (�8x � 9)i���

25

3 � 2xi�4 � 3i

21

�3k � 4 � (k � 12)i���

10

20

19

18

6 � m � 2 ⇒ m � 4

6 � m � 10 ⇒ m � 4

6 � mi�

1 � i17

16

15Calcula el cociente �

2

x �

i

i� y determina el valor de x para que

el módulo del complejo resultante sea �2�.

Operando se obtiene:

�2

x �

i

i� � �

2

2

i

i� ��

2x

5

� 1�� �

2 �

5

x� i

Si el módulo debe valer �2�, tenemos:

�2� �����2�x�5

�� 1���

2

� �����2� �

5� x����2

�2 � �

5x

2

2 �

5

5� ⇒ 5x2 � 45 � 0, x � � 3

El número �2 �

1

(

1 �

xi

x) i� es real, calcúlalo.

Operando se obtiene:

�2 �

1

(

1 �

xi

x)i�� �

1

1 �

x

x

i

i� �

Si es real: 2x � 1 � x � 0 ⇒ x � 1

Sustituyendo: �2

1

2

i

i� � �

2(

1

1

i

i)� � 2

Calcula el número real a para que el número complejo

z � esté situado en la bisectriz del primer cuadrante.

Para que un número complejo tenga su afijo en la bisectrizdel primer cuadrante, sus partes reales e imaginarias deberáncoincidir:

�3

4

2

3

a

i

i�� �

4

4

3

3

i

i� � ⇒

⇒ 12 � 6a � 9 � 8a ⇒ 14a � �3 ⇒ a � �3/14

Forma polar de un número complejo

¿El producto de dos números complejos es un número real?

a) Si son conjugados, sí.

b) Si son opuestos, sí.

c) El producto de dos números complejos nunca puede serun número real.

Indica y razona la respuesta correcta.

a) Si son conjugados, sí, ya que m� � m�� � m20, que es un

número real.

Si dos números complejos tienen el mismo afijo:

a) Tienen el mismo argumento.

b) Tienen módulos proporcionales.

c) Su cociente tiene como módulo 1.

Indica y razona la afirmación correcta.

c) Tienen el mismo módulo, luego su cociente tiene de módulo 1.

¿Qué tipo de gráfica forman los afijos de los números com-plejos que tienen el mismo argumento?

Forman una recta de pendiente la tangente del argumentode los complejos.

¿Se puede decir que un número complejo es real si su argu-mento es ?

Si su argumento es el número complejo está situado sobreel eje real, en el semieje negativo.

Si z � m�, ¿qué relación tienen con z los números comple-jos m� � 180° y m��?

z� � m� � 180° y �z � m��

29

28

27

26

25

(12 � 6a) � (9 � 8a)i���

25

3 � 2ai�4 � 3i

24

2 � (1 � x)x � (2x � 1 � x)i���

1 � x 2

23

22

655. Números complejos

0B1MTSOL.05 22/7/08 10:54 Página 65

Page 6: Números complejos · 5.5. Radicación de números complejos página 125 1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115 2. Representación gráfica de

66 Trigonometría y números complejos

¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo yel de su conjugado? ¿Y con el de su opuesto?

El argumento del conjugado difiere en 180° y el del opuestoes el mismo cambiado de signo.

Calcula el módulo y el argumento de los siguientes núme-ros complejos, representándolos previamente:

a) 2 � 2i c) 2i e) �2i g) �2 � 2 i

b) 2 � 2i d) �2 � 2i f) 2 h) �2

a) z � 2 � 2i ⇒ m � �8� � 2�2�, tg � � ���

2

2��� (�1) ⇒

⇒ � � 315°, puesto que su afijo está en el cuarto cuadrante.

z � �2�2��315° � �2�2��7/4

b) z � 2 � 2i ⇒ m � 2�2�, tg � � ��2

2��� 1 ⇒

⇒ �� 45° � �

4� rad, puesto que su afijo está en el primer

cuadrante.

z � �2�2��45° � �2�2��/4

c) z � 2i ⇒ m � 2, �� 90° � �

2� rad ⇒ z � 290° � 2/2

d) z � �2 � 2i ⇒ m � 2�2�, � � 225° � �5

4

� rad ⇒

⇒ z � �2�2��225° � �2�2��5/4

e) z � �2i ⇒ m � 2, � � 270° � �3

2

� rad ⇒ z � 2270° � 23/2

f) z � 2 ⇒ m � 2, � � 0° � 0 rad ⇒ z � 20° � 20

g) z � �2 � 2i ⇒ m � 2�2� , tg � � ��

2

2� � �1 ⇒

⇒ � � 135°, puesto que su afijo está en el segundo cua-drante.

z � �2�2��135° � �2�2��3/4

h) z � �2 ⇒ m � 2, � � 180° � rad ⇒ z � 2180° � 2

Expresa en forma polar y trigonométrica los siguientescomplejos:

a) �2�2� � 2�2�i c) 4 � 4�3�i

b) 4i d) 3 � 3i

a) z � �2�2� � 2�2�i � 45/4 � 4�cos �5

4

� � i sen �

5

4

��

b) z � 4i � 4/2 � 4�cos �

2� � i sen �

2��

c) z � 4 � 4�3�i � 85/3 � 8�cos �5

3

� � i sen �

5

3

��

d) z � 3 � 3i � �3�2��/4

� 3�2� �cos �

4� � i sen �

4��

32

O

�2 � 2i

�2i

�2 �1 1 2

�2 � 2i

2 � 2i

2 � 2i

i

2i

31

30 Expresa en forma binómica estos complejos:

a) 3 d) 8

b) 1 e) 3

c) 2

a) 33/4 � 3�cos �3

4

� � i sen �

3

4

�� � ��

3�2

2�� � �

3�2

2�� i

b) 1/6 � cos �

6� � i sen �

6� � �

�2

3�� � �

1

2� i

c) 2 � 2(cos � i sen ) � �2

d) 84/3 � 8�cos �4

3

� � i sen �

4

3

�� � �4 � 4�3�i

e) 3/4 � �3�

2

2�� � �

3�2

2�� i

Expresa en forma binómica los siguientes números com-plejos:

a) 2 �cos �5

3

� � i sen �

5

3

��

b) 3�2� �cos �3

4

� � i sen �

c) 3 (cos 3 � i sen 3)

a) 2�cos �5

3

� � i sen �

5

3

�� � 1 � �3�i

b) 3�2��cos �3

4

� � i sen �

3

4

�� � �3 � 3i

c) 3(cos 3 � i sen 3) = �2,97 � 0,42i

Representa gráficamente estos números complejos:

a) 3 � 2i

b) 4 � 2i

c) �1 � 3i

d) �4 � i

e) 445°

f) 3270°

g) 2 (cos 150° � i sen 150°)

h) 2 (cos 45° � i sen 45°)

1 2 3 4 5

O 1 2

�1 � 3i

4 � 2i

3 � 2i

i

��4 � i

35

3�

4

34

�4

�6

4�

3

3�

4

33

2 (cos 45° � i sen 45°) � 2315°

445°

2 (cos 150° � i sen 150°) � 2150°

3270°

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Page 7: Números complejos · 5.5. Radicación de números complejos página 125 1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115 2. Representación gráfica de

Calcula el conjugado, el opuesto y el inverso de los núme-ros complejos del ejercicio anterior.

a) z � 3 � 2i

z� � 3 � 2i

�z � �3 � 2i

�1

z� � �

1

3

3� � �

1

2

3� i

b) z � 4 � 2i

z� � 4 � 2i

�z � �4 � 2i

�1

z� � �

2

4

0� � ���

2

2

0��i � �

1

5� � �

1

1

0� i

c) z � �1 � 3i

z� � �1 � 3i

�z � 1 � 3i

�1

z� � ��

1

1

0� � �

1

3

0� i

d) z � �4 � i

z� � �4 � i

�z � 4 � i

�1

z� � ��

1

4

7� � �

1

i

7�

e) z � 445°

z� � 4�45° � 4315°

�z � 4225°

�1

z� � ��

1

4���45°

� ��1

4��315°

f) z � 3270°

z� � 390°

�z � 390°

�1

z� � ��

1

3���270°

� ��1

3��90°

g) z � 2(cos 150° � i sen 150°)

z� � 2(cos 150° � i sen 150°) � 2(cos 210° � i sen 210°)

�z � 2(cos 330° � i sen 330°)

�1

z� � �

1

2�(cos (�150°) � i sen (�150°)) �

� �1

2� (cos 210° � i sen 210°)

h) z � 2(cos 45° � i sen 45°) � 2(cos 315° � i sen 315°)

z� � 2 (cos 45° � i sen 45°)

�z � 2 (cos 135° � i sen 135°)

�1

z� � �

1

2� (cos (�315°) � i sen (�315°)) �

� �1

2� (cos 45° � i sen 45°)

Calcula el valor de m para que el número complejo m � 4i

tenga el mismo módulo que ��

5

2�� � �

5�2

2��i.

Hallamos primero el módulo de m � 4i y lo igualamos al mó-

dulo de ��

5

2�� � �

5�2

2��i. Mediante este procedimiento obtene-

mos el valor de m:

�m2 � 1�6� ���2

2

5� � ��5

4

0�� ⇒ m2 � 9 ⇒ m � �3

Por tanto, los números complejos serían 3 � 4i y �3 � 4i.

37

36 Operaciones con números complejos en forma polar

Resuelve los siguientes productos:

a) (3)�3

4

��

� (2)��

6�

d) (4)�1

2�� (2)

�5

1

8�

� ��1

3���

b) ��2����

3�� � ��

5

3

��

e) (2 � 2i ) � ��2����

3�

c) �3 � 545° f) 6 � 215°

a) 33�/4 � 2�/6 � 611�/12

b) ��2���/3 � ���

2

2���5�/3

� 12� � 10

c) �3 � 545° � 3180° � 545° � 15225°

d) 4�/12 � 25�/18 � ��1

3���

� ��8

3��49�/36

e) (2 � 2i) � ��2���/3 � �2�2���/4 � ��2���/3 � 47�/12

f) 6 � 215° � 60° � 215° � 1215°

Calcula los siguientes cocientes:

a) b) c) d)

a) �1

2

0

/3

/3�� 50

b) ��

2�

2� � 10

c) �6

23

5

0

0

°

°

� � 3�20° � 3340°

d) �12

i30°� � 12�60° � 12300°

Calcula:

a) (3 � 2i )4 c) ��1

2� � �

1

2� i�

2

b) ��3� � i�5

d) (2 � i )3

a) (3 �2i )4 � (3 �2i )2(3�2i )2 � (9�12i �4)(9 �12i �4) �� (5 �12i )2 � 25 � 120i � 144 � �119 � 120i

b) ��3� � i�5

� ��3� � i�2��3� � i�

2��3� � i� �

� �3 � �2�3�i � 1��3 � 2�3�i � 1���3� � i� �

� �2� 2�3�i�2��3� � i� � ��8 � 8�3� i���3� � i� �

� �16�3� � 16i

c) ��1

2� � �

1

2�i�

2

� ��1

2�i

d) (2 � i )3 � (2 � i )2 (2 � i ) � (4 � 4i � 1)(2 � i ) � � (3 � 4 i )(2 � i) � 6 � 3i � 8i � 4 � 2 � 11i

Calcula:

a) (1 � 2i)52 c) �4

�81�i

b) ��1 1

i�i

3���

12

d) �53�3� ���3�i�

a) (1 � 2i)52 � ��5�296,57°�52

� 526296,57° � 52 � 526

301,64°

b) ��1 1

i�i

3���

12

� ���2

2�6

3

0

1

°

��12

� 26(60° � 315°) � 12 � 26

180° � �64

c) �4

�81�i � �4

81270°� ⇒ 367,5°; 3157,5°; 3247,5°; 3337,5°

d) �53�3� ���3�i� � �5

�30�18�,43°� ⇒

⇒ �10

30�3,69°; �10

30�75,69°; �10

30�147,69°; �10

30�219,69°; �10

30�291,69°

41

40

1230°�

i

630°�250°

2���2

10��

3�

�2

��

3�

39

�2��

2

38

675. Números complejos

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68 Trigonometría y números complejos

Calcula el módulo y el argumento de:

��1 � �3�i�3� ��3� � i�

4� ��3� � i�� i 31

Calculamos cada factor paso a paso, trabajando en forma polar:

z1 � �1 � �3�i ⇒ m � �(��1�)2� �� ��3��2� � �4� � 2

tg � � ��3� ⇒ � � 120°, puesto que el afijo está en el se-gundo cuadrante.

Por tanto:

��1 � �3�i�3

� (2120°)3 � 8360° � 80°

z2 � �3� � i ⇒ m � 2

tg � � ��

1

3�� ⇒ � � 30°, puesto que el afijo está en el primer

cuadrante.Por tanto:

��3� � i�4

� (230°)4 � 16120°

z3 � �3� � i ⇒ m � 2

tg � � ���

1

3�� ⇒ � � 330°, puesto que el afijo está en el cuar-

to cuadrante.Por tanto:

�3� � i � 2330°

z4 � i 31 � i 3� �i

Sustituyendo y realizando las operaciones que se indican, seobtiene:

z1 � z2 � z3 � z4 � 80° � 16120° � 2330° � i � 256450° � i � 25690° � i �� 256i � i � 255i

Por tanto: m � 255, � � 90°

Resuelve las siguientes potencias:

a) ��3���

3�

4

b) �cos �

6� � i sen �

6��

3

c) �1�3

2

��

50

a) ��3� /3�4

� 94/3

b) �cos �

6� � i sen �

6��3

� cos �

2� � i sen �

2�

c) (13/2)50 � 175 � 1

Representa gráficamente las seis primeras potencias delnúmero z � 2 � 2i.

z � 2 � 2i z4 � 641 260° � 64180°

z1 � 2�2�315° z5 � 128�2�1 575° � 128�2�135°

z2 � 8630° � 8270° z6 � 5121 890° � 51290°

z3 � 16�2�945° � 16�2�225°

51290º

128 2135º

64360º

16 2225º 8270º

2 2315º

44

43

42 Calcula las siguientes raíces:

a) �3�(�3)�b) ��i�c) �2 � 2i�d) �

4�625�

e) �3

8�i�f) �

5

2�4�3�60�°�a) Hay dos raíces con módulo �3�, y argumentos:

�1 � � �

6�

�2 � � �7

6

Por tanto, las raíces son:

�3�/6 y �3�7/6

b) Existen dos raíces cuadradas de �i:

���i� � �1�27�0°� 1135°

�1�27�0°� �

1315°

��4

8��157,5°

c) �2� �� 2�i� � �(��8��)3�15�°� ���

48��337,5°

5/4

53/4d) �4

��6�2�5� � �4

6�2�5�π� �55/4

57/4

2/6

e) �3

8�i� � �3

8/2�� 25/6

29/6

312°

384°

f) �5

2�4�3�60�°� � 3156°

3228°

3300°

Calcula:

a) �51 � ��3�i�

b) (1 � i)5/4

c)

d) ��3 �� 3��3��i�a) �5

1 � ��3�i� � �5

260°� ⇒ �5

2�12°; �5

2�84°; �5

2�156°; �5

2�228°; �5

2�300°

b) (1 � i)5/4 � ��2�315°�5/4

� �8

32�393,75°

c) � ��6�2

82

1

7

8

0

0

°

°

�� ��6 ��1

4��

90°�⇒

⇒ ��3

1/2��15°; ��3

1/2��75°; ��3

1/2��135°; ��3

1/2��195°; ��3

1/2��255°;

��3

1/2��315°

d) ��3 ��3��3��i� � �4

660°� ⇒ �4

6�15°; �4

6�105°; �4

6�195°; �4

6�285°

�6���2���135°�

2���

�6

(260°)3�

�3

�1 � i���

�1 � ��3�i�

�3

�1 � i���

�1 � ��3�i�

46

3� � 2

�2

3�

�2

45

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Page 9: Números complejos · 5.5. Radicación de números complejos página 125 1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115 2. Representación gráfica de

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) z4 � 81 � 0 d) (z � 1)2 � 25 � 0

b) z4 � 2z2 � 1 � 0 e) z2 � (3 � i ) � (2 � 2i ) � 0

c) z6 � 32z � 0 f) z3 � z2 � 15z � 17 � 0

a) z4 � 81 � 0 debe tener cuatro soluciones en el campo delos complejos.

z � �4

��8�1�. Escribimos �81 en forma polar, esto es, 81180°,con lo que las soluciones son las raíces cuartas de este nú-mero complejo:

345°

3135°

z � �4

8�1�180° 3225°

3315°

b) z4 � 2z2 � 1 �0, trabajamos como con las bicuadradas, pe-ro en el campo de los complejos.

Hacemos x � z2, con lo que x � ��1, que esuna solución doble.

Pero z2 � �1, con lo que las soluciones de la ecuación son:i y �i, ambas dobles.

c) z6 � 32z � 0, debe tener seis soluciones en el campo delos complejos.

z(z5 � 32) � 0 ⇒ z � 0 y z � �5

��3�2�. Calculamos las raícesquintas de �32, expresando previamente este número enforma polar: 32180°.

236°

2108°

z � �5

(3�2�18�0°)� 2180°

2252°

2324°

Las seis soluciones son 0, 236°, 2108°, 2180°, 2252° y 2324°.

d) (z � 1)2 � 25 � 0. Esta ecuación tiene dos soluciones en elcampo de los complejos.

(z � 1)2 � �25 ⇒ z � 1 � ���2�5� ⇒ z � �1 ± 5i

Es decir, las dos soluciones son:

�1 � 5i y �1 � 5i

e) z 2 � 5 �3i � 0. Debe tener dos soluciones complejas.

z2 � �5 � 3i , por lo que: z � �(��5� �� 3�i)�Expresamos el radicando en forma polar y averiguamoslas dos raíces que serán las soluciones de la ecuación.

m � �3�4�, tg � � ��3

5� ⇒ � � 149,04°, pues su afijo está en

el segundo cuadrante. Por tanto:

z � �(��5� �� 3�i )� � �(��3��4��14�9,0�4°)� �

�4

3�4�74,52° � 0,64 � 2,33i

�4

3�4�254,52° � �0,64 � 2,33i

Así pues, las dos soluciones de la ecuación son:

0,64 � 2,33i y �0,64 � 2,33i

f) z 3 � z 2 � 15z � 17 � 0, esta ecuación debe tener tres solu-ciones complejas.

Por Ruffini obtenemos la primera solución: z � 1 � 10°

El cociente, z 2 �2z �17 � 0, debe tener dos soluciones.

z ���2 �

2

��64����

�2

2

� 8i�� �1 � 4i

Así pues, las tres soluciones de la ecuación son:

1, �1�4i y �1�4i

�2 ± �4� �� 4���

2

47 Problemas de aplicaciónCalcula el inverso de estos números complejos:

a) 5�/4 b) 6i c) 2 � 2i

¿Qué relación hay entre los módulos de un número com-plejo y los de su inverso? ¿Y entre los argumentos?

a) �5

1

�/4

� ���1

5��

��/4

b) �6

1

i� � �

6

1

90°

� ���1

6��

�90°

c) �2 �

1

2i� � �

�8�1

315°

� ����

1

8���

�315°

Los módulos de un número complejo y de su inverso son in-versos y los argumentos opuestos.

Halla los complejos que cumplan que el cuadrado del in-verso del opuesto dividido entre (1/8)30° dé 2i.

Si z � m� , el enunciado pide averiguar los complejos z que

cumplen que ���(

1

m�)��

2

: ��1

8��

30°� 2270° .

Como ���(

1

m�)��

2

� ��m18

1

0° ��

��2

� ���m

1��

360° � 180° � ��

2

� ��m

1��

2

360° � 2�

, sustituyendo tenemos:

���m

1��

2

360° � 2�� : ��

1

8��

30°� 2270° ⇒

⇒ ��m

1��

2

: ��1

8��� 2 y 360°� 2� �30° � 270°

de lo que se obtiene: m � 2 y � � 30°

Así pues, los complejos son: 230° � k � 360° , k � �

Determina dos números complejos z1 y z2 sabiendo que sucociente es 3, que la suma de sus argumentos es �/3 y quela suma de sus módulos es 4.

�m

m

’�

� � 3 ⇒ �m

m

’� � 3 y � � � 0°

�� � � 0°

� � � 60°⇒ � � 30°, � 30°

�m � 3m’

m � m’ � 4⇒ m’ � 1, m � 3

Los números son 330° y 130°.

Calcula dos complejos cuyo cociente es 4, sus argumentossuman 40° y la suma de sus módulos es 14.

Sean los complejos m� y n.

Su cociente es 4, es decir 40°, por lo que tenemos:

�m

n� � 4 y � � � 0°

La suma de sus argumentos es 40°, por lo que tenemos:

� � � 40°

La suma de sus módulos es 14: m � n � 14

Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en fun-ción de sus incógnitas, se obtiene:

�m/n � 4m � n � 14

⇒ m � �5

5

6�, n � �

1

5

4�

��� � 0°� � � 40°

⇒ � � 20°, � 20°

Por lo que los complejos buscados son:

m� � ��5

5

6��

20°y n � ��

1

5

4��

20°

51

50

49

48

695. Números complejos

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70 Trigonometría y números complejos

Calcula dos números complejos tales que su producto sea8i y uno de ellos sea el cuadrado del otro.

Sean los complejos m� y n�. Su producto es 8i, es decir, 8/2:

m� � n� � 8/2 ⇒ m � n � 8 y � � � � �

2�

Uno de ellos es el cuadrado del otro:

m� � (n�)2 � (n2)2� ⇒ m � n2 y � � 2�

Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en fun-ción de sus incógnitas, se obtiene:

�m � n � 8m � n2 ⇒ m � 4, n � 2

�� � � � /2� � 2�

⇒ � � �

3�, � � �

6�

Con lo que los dos complejos buscados son:

m� � 4/3 y n� � 2/6

El producto de dos números complejos es 3i, y el cubo deuno de ellos dividido por el otro es 1/3. Calcúlalos.

Sean los complejos: m� y n�. Del enunciado se deduce que:

m� � n� � 3/2 ⇒ m � n � 3 y � � � � �

2�

�m

n�

3

� � ��1

3��0°

⇒ �m

n

3

� � �1

3� y 3� � � � 0

Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en fun-ción de sus incógnitas, se obtiene:

53

52 Calcula todos los números complejos que cumplan que elcuadrado de su inverso sea el opuesto de su conjugado.

Hay que encontrar la expresión de z � �, tal que:

��1

z��

2

� �z�

Si z � m�, esta igualdad se traduce en:

��m

1

��2

� �(m360° � �) � m180° � �

y, como: ��m

1

��2

� ��m

1��

360° � �

2

� ��m

12��

2(360°� �)

tenemos:

��m

12��

2(360°� �)� m180° � � ⇒ �

m

12� � m

y 720° � 2� � 180° � �

de lo que se deduce que:

m � 1 y � � 180° � k � 360° , k � �

Por tanto, los complejos buscados son:

z � 1180° � k � 360°, k � �

Una de las raíces cúbicas de un número complejo es 8i.Calcula dicho número y las otras raíces.

Dado que 8i � 890° es una de las raíces cúbicas, z � (890°)3 �

� 512270°, y haciendo uso de la interpretación gráfica de la ra-dicación en los complejos, se puede deducir que las otras dosraíces son: 8210° y 8330°

Encuentra el número complejo que sumado a ���2� � i�2��3

da como resultado 4 (cos 315° � i sen 315°). Expresa la solu-ción en forma polar, binómica y trigonométrica.

Dado que hay que sumar, es conveniente trabajar en nota-ción binómica o trigonométrica.

(a � bi) � ���2� � �2�i�3� 4(cos 315° � i sen 315°)

Primero se calcula la potencia del binomio ���2� � �2�i�3,

para lo cual es conveniente usar notación polar:

m � 2, tg � � �1 ⇒ � � 135°, puesto que el afijo está en elsegundo cuadrante.

Por tanto: ���2� � �2�i�3� (2135°)

3 � 8405° � 845° �� 8(cos 45° � i sen 45°)

Aislando el complejo buscado:

a � bi � 4(cos 315° � i sen 315°) � 8(cos 45° � i sen 45°)

a � 4 cos 315° � 8 cos 45° � �4�

2

2�� � �

8�2

2�� � �2�2�

b � 4 sen 315° � 8 sen 45° � 4����

2

2���� 8 �

�2

2�� � �6�2�

Es decir: a � bi � �2�2� � 6�2�i

Buscamos el módulo m � 4�5�tg � � 3 ⇒ � � 251,57°.

Con esto el número complejo buscado es:

a � bi � �2�2� � 6�2�i � (4�5�)251,57° �

� 4�5�(cos 251,57° � i sen 251,57°)

Dados tres números complejos, z1, z2 y z3, sabemos que z2

es el conjugado de z1 y que z3 es el conjugado del opuestode z2. ¿Cómo son entre ellos z1 y z3?

La transcripción del enunciado es:

z2 � z1�

z3 � ( �z2�� )

Se deduce que la relación entre z3 y z1 debe ser:

z3 � [�( z1�)]���� �z1

59

58

57

56

�m � n � 3

�m

n

3

� � �1

3�

⇒ m � 1, n � 3

�� � � � �

2�

3� � � � 0⇒ � � �

8�, � � �

3

8

Con lo que los complejos son:

m� � 1/8, n� � 33/8

Dos números complejos tienen el mismo módulo, sus argu-mentos suman 50° y uno de ellos es el conjugado del cua-drado del otro. Calcúlalos.

Sean los complejos m� y n�. Del enunciado se deduce:

m � n, � � � � 50°

m� � [(n�)2��] � [(n2)2���] � (n2)360° � 2� ⇒ m � n2, � � 360° � 2�

Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en fun-ción de sus incógnitas, se obtiene:

�m � nm � n2 ⇒ m � 1, n � 1

�� � � � 50°� � 360° � 2�

⇒ � � �260° � 100°, � � 310°

Con lo que los complejos son:

m� � 1100° , n� � 1310°

Determina los números complejos que cumplan que el cu-bo de su conjugado coincida con su opuesto.

Hay que hallar la expresión de los complejos tales que el cubo de su conjugado coincida con el opuesto, es decir:( z� )3 � �z

Si z � m� , el enunciado se traduce en:

(m360° � �)3 � m180° � � ⇒ m3 � m y 3(360°��) � 180° � �

m � 1, puesto que no consideramos la solución trivial m � 0,y m � 0.

3(360° ��) � 180° � � ⇒ � � 225° � k � 360°, k � �

Por tanto los complejos buscados son:

z � 1225° � k � 360° , k � �

55

54

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Calcula sen 4� y cos 4� utilizando la fórmula de De Moivre.

La fórmula de De Moivre es:

(cos � � i sen �)n � cos n� � i sen n�

Aplicamos la fórmula a una potencia de exponente cuatro:

(cos � � i sen �)4 � cos 4� � i sen 4�

Desarrollamos el primer miembro y se obtiene:

(cos � � i sen �)4 � (cos � � i sen)2 (cos � � i sen)2 � � (cos2 � � 2i cos � � sen � � sen2 � ) � � (cos2 � � 2i cos � � sen � �sen2 � ) �

� cos4 � � 2i cos3 � � sen � � cos2 � � sen2 � � � 2i cos2 � � sen � � 4 cos2 � � sen2 � �

� 2i cos � � sen3 � � sen2 � � cos2 � � � 2i cos � � sen3 � � sen4 �

Igualando:

cos 4� � i sen 4� � cos4 � � 6 cos2 � � sen2 � � sen4 � �� (4 cos3 � � sen � � 4 cos � � sen3 �)i

Por lo que:

cos 4�� cos4 � � 6 cos2 � � sen2 � � sen4 �

sen 4� � 4 cos3 � � sen � � 4 cos � � sen3 �

Comprueba las fórmulas del seno y el coseno del ángulodoble demostradas en la UNIDAD 4 empleando la fórmula deDe Moivre.

(cos � � i sen �)2 � cos 2� � i sen 2�

De forma análoga al ejercicio anterior:

(cos � � i sen �)2 � cos2 � � 2 cos � (i sen �) � (i sen �)2 �� cos2 � � (2 cos � � sen �)i � sen2 �

Igualando:

cos 2� � i sen 2� � cos2 � � (2 cos � � sen �)i � sen2 �

con lo que:

cos 2� � cos2� � sen2�

sen 2� � 2 cos � � sen �

Tenemos un triángulo de vértices A(1, 1), B(2, �1) y C(�3, 2),y lo giramos un ángulo de 30° con centro el origen de coor-denadas. Calcula los vértices del triángulo girado.

Los vértices del triángulo son los afijos de los siguientes nú-meros complejos:

A(1, 1) ⇒ 1 � i

B(2, �1) ⇒ 2 � i

C(�3, 2) ⇒ �3 � 2i

Girar 30° es multiplicar por 130° � ���

2

3�� � �

1

2� i�.

Multiplicando los complejos que representan los vértices por

���

2

3�� � �

1

2� i�, se obtienen complejos cuyos afijos son los vérti-

ces del triángulo resultado de girar 30°.

A’(1 � i ) � ���

2

3�� � �

1

2� i�����3�

2

�1�� �

�3�2

�1� i� ⇒

⇒ ���3�2

�1�, �

�3�2

�1��

B’(2 � i ) � ���

2

3�� � �

1

2� i�� � � �

2�

2

�3�� i� ⇒

⇒ � , �2�

2

�3���

C’(�3 � 2i ) � ���

2

3�� � �

1

2� i� � � � i� ⇒

⇒ � , �2�3� � 3�

2

�3�3� � 2��

2

2�3� � 3�

2

�3�3� � 2��

2

2�3�� 1�

2

2�3� � 1�

2

62

61

60 Los afijos de los puntos z1 y z2 forman un triángulo equilá-tero con el origen de coordenadas. Calcula z2, sabiendo quez1 � 4 � 5i:

Las coordenadas polares del punto (4, 5) son las siguientes:

m � �4�2 �� 5�2� � �4�1�

tg � � �5

4� ⇒ � � 51,34°

Imponiendo un giro de 60°, tenemos:

�4�1�51,34° � 160° � �4�1�111,34° ⇒ (�2,33, 5,96)

Observa que existe otro triángulo equilátero cuyo tercer vér-tice se obtendría imponiendo un giro de �60°:

�4�1�51,34° � 1�60° � �4�1��8,66° ⇒ (6,33, �0,96)

Un hexágono centrado en el origen tiene un vértice en elpunto (3, 3). Calcula los otros vértices.

A partir de un vértice de un hexágono se pueden obtener losotros cinco multiplicando el complejo correspondiente alvértice dado por 160° .

Por comodidad, en este ejercicio trabajaremos con notaciónpolar:

(3, 3) es el afijo correspondiente al complejo �1�8�45° . Por tanto:

�1�8�45° � 160° � �1�8�105° ⇒ (�1,1, 4,1)

�1�8�105° � 160° � �1�8�165° ⇒ (�4,1, 1,1)

�1�8�165° � 160° � �1�8�225° ⇒ (�3, �3)

�1�8�225° � 160° � �1�8�285° ⇒ (1,1, �4,1)

�1�8�285° � 160° � �1�8�345° ⇒ (4,1, �1,1)

Considera las siguientes aplicaciones en el plano:

�: giro de centro el origen y de amplitud 30°.

�: simetría respecto del origen de coordenadas.

�: simetría respecto del eje de abscisas.

: giro de centro el origen y de amplitud 60°.

Halla las coordenadas del punto que se obtienen al aplicarsucesivamente �, �, , , al punto (2, 3).

(2, 3) ⇒ �1�3�56,31°

� ⇒ �1�3�56,31° � 130° � �1�3�86,31°

� ⇒ �1�3�266,31°

⇒ �1�3�93,69°

� ⇒ �1�3�93,69° � 60° � �1�3�153,69° � (�3,23, 1,59)

65

64

Y

z1

O X

z2

63

715. Números complejos

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