Potencias y raíces
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Instituto de Educación Media‐ Tartagal 4º año “A” y “B” Potencias y raíces Potencias de exponente natural Definición El producto a.a.a.a.a.a.a tiene sus siete factores iguales. Este producto se puede indicar de forma abreviada como a 7 . a 7 se llama potencia, y al factor a, base. El número de veces que se repite el factor se llama exponente. La potencia x 2 se llama cuadrado, y la potencia x 3 , cubo. Las siguientes se llaman cuarta, quinta, sexta….y, en general, enésima potencia. La potencia a n , (n > 1), es el producto de n factores iguales a la base: Las propiedades El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes. El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes. El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo. El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.
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Potencias y raíces
Potencias de exponente natural
Definición
El producto a . a . a . a . a . a . a tiene sus siete factores iguales. Este producto se puede
indicar de forma abreviada como a7.
a7 se llama potencia, y al factor a, base.
El número de veces que se repite el factor se llama exponente.
La potencia x2 se llama cuadrado, y la potencia x3, cubo. Las siguientes se llaman cuarta,
quinta, sexta….y, en general, enésima potencia.
La potencia an, (n > 1), es el producto de n factores iguales a la base:
Las propiedades
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene
por base el producto de las bases y por exponente el mismo.
El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene
por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.
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La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por
exponente el producto de los exponentes.
Potencias de exponente entero.
Las potencias de exponente entero se definen así:
Con esta definición, las propiedades de estas potencias son las mismas que las de las
potencias de exponente natural.
Raíz de un número
¿Qué número positivo multiplicado por sí mismo tres veces da 49?
El número es √49 y se llama raíz cúbica de 49
Número de raíces.
Si el índice es par hay tres posibilidades:
• Radicando positivo: existen dos raíces opuestas. √36 6
• Radicando igual a 0: tiene por raíz 0.
• Radicando negativo: no tiene raíces, ya que todo número elevado a una potencia
de exponente par es positivo.
Si el índice es impar, todo número tiene una sola raíz: positiva, si el radicando es
positivo; negativa, si el radicando es negativo, y nula si el radicando es 0.
Ejemplo: √27 3; √0 0; √ 27 3
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Potencias de exponente fraccionario.
Observemos lo que ocurre al aplicar la definición de raíz y la propiedad del producto de
potencias de la misma base:
Estas igualdades permiten definir, en general, las potencias de exponente
Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical donde:
El denominador de la fracción es el índice de la raíz, y
El numerador de la fracción es el exponente del radicando.
La igualdad de radicales se puede establecer a partir de la igualdad de potencias de
exponente fraccionario:
Dos potencias de exponente fraccionario son iguales o equivalentes si los radicales
correspondientes lo son , o también, si las fracciones de estas potencias son equivalentes:
Esta propiedad permite simplificar, obtener potencias con el mismo índice y comparar
potencias. El proceso es similar al utilizado con fracciones.
Propiedades de los radicales
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El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice
el común (el mismo) y por radicando el producto de los radicandos.
El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el
común (el mismo) y por radicando el cociente de los radicandos.
La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo y por radicando
la potencia del radicando.
La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por
radicando el mismo.
Las propiedades de los radicales permiten introducir números en un radical. Así:
El proceso contrario, es decir, sacar fuera del radical los factores que son raíces exactas,
será:
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario.
Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las
potencias de exponente entero.
Las operaciones con radicales se simplifican si se pasan a potencias de exponente
fraccionario.
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Ejercicios
1) Apliquen las propiedades de la potenciación: a) 25 . 2 . 23 = h) (53)2 = b) ( 2 . a )2 = i) (‐ 3)4 : ( ‐ 3) = c) ( 3 + 1 – 5 )2 = j) (a8 . a4 . a) : a12 = d) ( 3 . x2 . y3 )2 = k) [ ( ‐ 2)2 ] 4 . (‐ 2) : [ (‐ 2 ) 2 ] 3 = e) ( 8 : 2 )3 = l) [ x4 : x 2 ]3 . x5 = f) x8 . x . x2 = m) ( 85 : 8 )2 : 86 =g) (‐1) . (‐1)3 . (‐1) = 2) Completen las ___ con el número que falta para verificar la igualdad
a) m‐‐‐ . m25 = m30 e) [a2. a ‐‐‐ ]: a4 = ab) (‐2)15. __7=(‐2)22 f) (a . b . __)3 = a3
c) [(‐ 5)2 ] ‐‐‐ = ( ‐ 5)16 g) z5 : (z‐‐‐ . z4 ) = z‐‐‐
d) 3‐‐‐: 38 = 36 h) [ (‐1)2 : (‐1) ]‐‐‐ : (‐1)3 = (‐1)2
3) Resuelvan separando en términos y apliquen propiedades:
a) ( ‐ 5 )6 : ( ‐ 5 )4 + ( ‐ 4 ) . ( ‐ 2 )2 =
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b) ( 4 ‐ 5)5 ‐ 32 + ( ‐ 2) . ( ‐ 2) . ( ‐ 2) = c) [ 32 + 2 . ( ‐ 6 ) ]3 ‐ ( ‐ 6 )4 : ( ‐ 6 )2 ==
d) ( 5 ‐ 3 . 22 ) : ( ‐7 ) ‐ ( ‐ 3 )3 . ( ‐ 5 )0 = e) ( ‐ 3 )4 : 9 + ( ‐ 2 )0 . ( ‐ 2 ) . ( ‐ 2 )3 ‐ 52 =
4) ¿Qué números representan las expresiones algebraicas?
a) a2 ‐ b Para a = ‐ 3 b = 1
b) a2 – b2 Para a = ‐ 1
b = ‐ 2
c) a3 ‐ 3 b3 Para a = 2
b = ‐ 2
d) a3 ‐ b2 ‐ a . b Para a = ‐ 4 b = ‐ 1
5) Siendo a y b dos números opuestos, si los elevamos al cuadrado ¿Qué relación vincula a sus cuadrados?
6) Separen en términos y resuelvan:
a) (‐ 4)2 . 3 ‐ 52 + 16 : (‐ 2)3 = b) (‐ 36) : 62 + (‐ 9)1 . (‐ 3) ‐ 43 : (‐ 2)4 = c) 100 : (‐ 5)2 ‐ (+ 8)0 . (‐ 7) ‐ (‐ 1)5 = d) (‐ 4 : 2)3 . (‐ 5) + 7 = e) (‐ 3 + 2)5 + 40 . (‐ 6) + [2 . (‐ 3)]2 = f) ( 4 ‐ 1)2 . (‐ 1 + 2) ‐ (‐ 3)2 : (‐ 1)0 + 8 = 7) Indiquen Verdadero o Falso según corresponda:
333 27 . 8 27 . 8 a) = 16100 −=36-100e)
16 916 9 b) +=+ 33 )2(:542: −=−3 54 f)
4 : 100 4 : 100 c) = 144169144 −=−169 g)
96 3 2 2 d) =
8) Resuelvan aplicando propiedades:
=− 2)5( ..(-10) a) ( ) =−43 972 :3 g)
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=5:125 b) =425 h) .
( )=5240 c) .: =3 864 i) :
( ) =−2
33 4)(2 d) . =+ 3664 j)
=− 2 . 18- e) =9-25k)
=625 f)
