Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS 2

SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESOhttp://iesgrazalema.blogspot.com

POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

EJERCICIOS RESUELTOS

Potencias 1.- Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 23=8 b) −2 4=24=16 c) −24=−16 d) 22=4 e) −2 5=−25=−32

f) −25=−32 g) −3 3=−33=−27 h) −33=−27 i) 34=81

j) −3 2=32=9

k) −32=−9

l) 35=243 m) 53=125 n) −5 4=54=625

ñ) −54=−625

o) 52=25

p) −5 5=−55=−3. 125 q) −55=3 . 125 r) −10 3=−103=−1 .000

s) −103=−1 . 000

t) 104=10 .000

http://iesgrazalema.blogspot.com/

u) −10 2=102=100 v) −102=−100 w) 105=100 .000 x) −10 12=1012=1 .000 .000 .000 .000

y) −108=−100.000.000

2.- Halla las potencias sucesivas de – 1 y explica qué observas.

−10=1

−11=−1

−12=1

−13=−1

−14=1

−15=−1

················································································································································

Exponente par⇒ Potencia positiva Exponente impar⇒Potencia negativa

3.- Escribe cada número como potencia, de formas distintas: a) 4

4={22

−22} b) 16

16={24

−24

42

−42}

c) 25

25={52

−52} d) 121

121={112

−112}

e) 9

9={32

−32} f) 81

81={34

−34

92

−92} g) – 8

−8={−23

−23 } h) – 27

−27={−33

−33 } 4.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones: a) −32−22

−32−22⇒3222⇒94Verdadero

b) 80−40

80−40⇒11Falso

c) 3443

3443⇒8164Falso

d) −33−23

−33−23⇒−33−23⇒−27−8 Falso

e) 62−62

62−62⇒6262⇒3636 Falso

f) 13−13

13−13⇒13−13⇒1−1Verdadero

5.- Calcula las siguientes potencias de base fracciones:

a) 79

2

79

2

=72

92=4981

b) - 65

2

- 65

2

=62

52=3625

c) 34

3

34

3

=33

43=2764

d) - 23

3

- 23

3

=-22

32=-49

e) 12

5

12

5

=15

25=132

f) - 12

4

- 12

4

=14

24=116

g) 511

6

511

6

= 56

116

h) - 57

2

- 57

2

=52

72=2549

i) −- 16

4

−- 16

4

=− 14

64 =-164

j) −- 45

3

−- 45

3

=−- 43

53 =43

53 =64125

6.- Calcula las siguientes potencias de base números decimales: a) 0,32

0,32=0,09

b) 0,012

0,012=0,0001

c) 0,43

0,43=0,064

d) 1,12

1,12=1,21

e) −1,41

−1,41=−1,4

f) −0,14

−0,14=0,14=0,0001

g) −0,15

−0,15=−0,15=−0,00001

h) −11,050

−11,050=1

i) 0,12

0,12=0,01

j) 0,53

0,53=,125

k) −0,053

−0,053=−0,053=−0,000125

l) −0,92

−0,92=0,92=0,81

m) 0,34

0,34=0,0081

n) −0,00016

−0,00016=0,00016=0,000000000000000000000001

ñ) 0,00023

0,00023=0,000000000008

o) −0,025

−0,025=−0,025=0,0000000032

Operaciones con potencias de la misma base 7.- Calcula: a) 24 ·26

24 · 26=210

b) 62 ·64

62 ·64=66

c) −30 ·−35

−30 ·−35=−35=−35

d) −2·−27

−2·−27=−28=28

e) −23 ·−22· −2

−23 ·−22· −2=−26=26=64

f) 32 ·30 · 3· 33

32 · 30 · 3 ·33=36

g) −52 ·−52 ·−5 −52 ·−52 ·−5=−55=−55

h) −62 ·−64

−62 ·−64=−66=66

i) −73 ·−7 ·−76

−73 ·−7 ·−76=−710=710

j) −34 ·−36 ·3

−34 ·−36 ·3=34 ·36·3=311

k) 38

3

· 38

2

38

3

· 38

2

= 38

5

=35

85

l) 12 · 1

2 · 12

12 · 1

2 · 12 = 1

2 3

=13

23=18

m) - 32 ·- 3

2 ·- 32

- 32 ·- 3

2 · -32 =- 3

2 3

=-33

23=-278

n) - 52

2

·- 52

4

- 52

2

·- 52

4

=- 52

6

=56

26

8.- Calcula: a) 110 :12

110 :12=18=1

b) 45: 45

45: 45=40=1

c) −34 :−32

−34 :−32=−32=32=9

d) 97 :92

97 :92=95

e) −58: −53

−58: −53=−55=−55 f) −48: −47

−48: −47=−41=−4 g) −915 : −99

−915 : −99=−96=96

h) −87:82

−87:82=−87: −82=−85=−85

i) 53 10

: 53 8

53

10

: 53

8

= 53

2

=52

32=259

j) - 23

8

:- 23

5

- 23

8

:- 23

5

=- 23

3

=-23

33=-827

k) 43

6

: 43

6

43

6

: 43

6

= 43

0

=1

l) - 12

2

: - 12

- 12

2

: - 12 =- 1

2 1

=-12

9.- Calcula: a) [−34 ]5

[−34 ]5=−320=320

b) 45 2

45 2=410

c) [ −5 0 ]12

[ −5 0 ]12=−50=1

d) [−92 ]3

[−92 ]3=−96=96

e) 107 2

107 2=1014=100.000.000.000.000

f) [ −10 2 ]7

[ −10 2 ]7=−1014=1014=100.000.000.000.000

g) [−25 ]2 ·−23

[−25 ]2 ·−23=−210 · −23=−213=−213

h) [−46 ]5 :−46

[−46 ]5 :−46=−430 : −46=−424=424

i) [ 23

5]2

[ 23

5]2

= 23

10

=210

310

j) [- 25

2]3

[- 25

2]3

=- 25

6

=26

56

k) [- 43

3]5

[- 43

3]5

=- 43

15

=-415

315

l) [12 23]

4

[12 23]

4

= 12

24

=124

224=1

224

10.- Determina el valor de las letras: a) −45·−4x=−47

−45·−4x=−47⇒5x=7⇒ x=7−5⇒ x=2

b) −612 : [ −6 4 ]x=−64

−612 : [ −6 4 ]x=−64⇒−612 :−64 x=−64⇒12−4 x=4⇒−4 x=4−12⇒

−4 x=−8⇒ x=−8−4

⇒ x=2

c) −73 ·−7x=−78

−73 ·−7x=−78⇒3x=8⇒ x=8−3⇒ x=5

d) 3x 5=310

3x 5=310⇒5 x=10⇒ x=105⇒ x=2

e) −24: −23=−2x

−24: −23=−2x⇒ x=4−3⇒ x=1

f) [ −3 3 ]x : −311=−3

[ −3 3 ]x : −311=−3⇒3 x−11=1⇒3 x=111⇒3 x=12⇒ x=123⇒ x=4

g) [ −9 x ]3:912=1

[ −9 x ]3:912=1⇒−93 x : −912=−90⇒3 x−12=0⇒3 x=012⇒

3 x=12⇒ x=123

⇒ x=4

h) 52 x · −52=−58

52 x · −52=−58⇒52 x ·52=58⇒2 x2=8⇒2 x=8−2⇒2 x=6⇒ x=62⇒ x=3

Cambio de base en potencias11.- Expresa en base 2:

a) 1285=275=235

128 2

64 2

32 2

16 2

8 2

4 2

2 2

1

b) 324=254=220

32 2

16 2

8 2

4 2

2 2

1

c) 83=23 3=29

8 2

4 2

2 2

1

d) 1.0243=2103=230

1.024 2

512 2

256 2

128 2

64 2

32 2

16 2

8 2

4 2

2 2

1

12.- Expresa en base 3:

a) 812=342=38

81 3

27 3

9 3

3 3

1

b) 277=337=321

27 3

9 3

3 3

1

c) 2433=353=315

243 3

81 3

27 3

9 3

3 3

1

d) 2.1872=372=314

2.187 3

729 3

243 3

81 3

27 3

9 3

3 3

1

13.- Expresa en base 5:

a) 1253=53 3=59

125 5

25 5

5 5

1

b) 257=527=514

25 5

5 5

1

c) 62510=5410=540

625 5

125 5

25 5

5 5

1 d) 3.1257=557=535

3.125 5

625 5

125 5

25 5

5 5

1

14.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias: a) 162 ·25

162 ·25=242 ·25=28·25=213

b) 272 ·33

272·33=332 ·33=36 ·33=39

c) 52 ·252

52 ·252=52·522=52·54=56

d) 165: 23

165: 23=245 :23=220 :23=217

e) 812 :32

812 :32=342: 32=38 :32=36

f) 23 ·162 ·32

23·162·32=23 ·242·25=23· 28·25=216

g) 252· 1252: 52

252·1252:52=522 ·532:52=54 ·56 :52=510 :52=58

h) 94:32·272

94:32·272=324 :32 ·332=38 :32 ·36=36·36=312

15.- Resuelve las siguientes operaciones, utilizando potencias: a) 9 ·−33 ·−3

9 ·−33 ·−3=32· −33·−3=−32· −33·−3=−36=36

b) −2 ·16

−2 ·16=−2 ·24=−2· −24=−25=−25

c) −125 · 25

−125 ·25=−53 ·52=−53 ·−52=−55=−55

d) 492· −343: [ −7 3 ]2

492· −343: [ −7 3 ]2=72 2· −73: −76=74 ·−73: −76=−74·−73: −76 =

= −77: −76=−71=−7

e) 322 : 22 3 · 1.024

322 : 22 3 ·1.024=25 2: 22 3·210=210 : 26·210=24·210=214

f) 92 · [ 32 3:81 ]

92 · [ 32 3:81]=32 2· [36 :34 ]=34·32=36

16.- Determina el valor de las letras: a) −32: −2x=4

−32: −2x=4⇒−25: −2x=22⇒−25: −2x=−22⇒5− x=2⇒

⇒−x=2−5⇒−x=−3⇒ x=−3−1

⇒ x=3

b) −27· −3x=−243

−27 ·−3x=−243⇒−33·−3x=−35⇒−33·−3x=−35⇒3 x=5⇒ x=5−3⇒ x=2

c) 14

x

= 164

14

x

= 164

⇒ 14

x

=13

43 ⇒ 14

x

= 14

3

⇒ x=3

d) 25

x

= 16625

25

x

= 16625

⇒ 25

x

=24

54 ⇒ 25

x

= 25

4

⇒ x=4

Potencias de operaciones17.- Expresa como una única potencia: a) 35 · −75

35 · −75=[3 ·−7 ]5=−215=−215

b) −154 :54

−154 :54=[ −15:5 ]4=−34=34=81

c) −82· −42·32

−82· −42·32=[−8 ·−4·3 ]2=962

d) 69 :−39

69 :−39=[6 :−3 ]9=−29=−29

e) −56 · −106 · 46

−56· −106· 46=[ −5· −10·4 ]6=2006

f) −158: 32 4

−158: 32 4=−158: 38=[ −15 :3 ]8=−58=58

g) −25 ·35

−25 ·35=[−2·3 ]5=−65=−65

h) −103· −23 ·53

−103 · −23 ·53=[−10·−2·5 ]3=1003=1.000.000

i) [−403 ]4: [−206 ]2

[−403 ] 4: [−206 ]2=−4012 :−2012=[ −40: −20 ]12=212

j) 95

7

: 65

7

95

7

: 65

7

= 95

:65

7

= 4530

7

= 32

7

=37

27

18.- Eleva los productos a las potencias: a) [−2 ·3 ·−5 ]3

[−2 ·3 ·−5 ]3=−23 ·33 ·−53=−23 ·33 · −53

b) [−23 ·32·−52 ]3

[−23 ·32·−52 ]3=[−23 ]3 · 32 3· [−52 ]3=−29 ·36·−56=−29·36 ·56=−29 ·156

c) [ 12

2

·- 34

3

·53 ]4

[ 12

2

·- 34

3

·53 ]4

=[ 12

2]4

·[ -34

3]4

· 53

4

=12 8

· - 34

12

·53 4

= 12

8

· 34

12

·53

4

d) [- 12

3

·35

·- 32

2]2

[- 12

3

·35

·- 32

2]2

=[- 12

3]2

· 35

2

· [- 32

2]2

=- 12

6

· 35

2

·- 32

4

= 12

6

· 35

2

· 32

4

19.- Expresa como una única potencia: a) −125 · 64· −27

−125 ·64 ·−27=−53 ·43 ·−33=−53 ·43 ·−33=[ −5·4 · −3 ]3=603

b) −1.000 : −8

−1.000 : −8=−103 :−23=−103 :−23=[ −10: −2 ]3=53=125

c) −216 :8· −53

−216 :8· −53=−63: 23· −53=−63: 23· −53=[ −6: 2 ·−5 ]3=[ −3·−5 ]3=153

d) −64 : −43

−64 : −43=−43: −43=−43 :−43= [−4: −4 ]3=13=1

e) −43: −4·42

−43: −4·42=−43: −4·−4 2=−42 ·−42= [−4· −4 ]2=162

f) 213:[ −2 ·−25·27]

213 :[ −2 ·−25·27]=213 :[−26 ·27]=213 : 26 ·27 =213 : 213=2: 213=113=1

20.- Determina el valor de las letras: a) −24·−34= x4

−24 ·−34= x4⇒ [−2· −3 ]4= x4⇒−2· −3=x⇒ x=6

b) −186: −96=2x

−186: −96=2x⇔ [−18: −9 ]6=2x⇒26=2x⇒ x=6

c) x3 :53=−253

x3 :53=−253⇒ x :53=−253⇒ x : 5=−25⇒ x=−25·5⇒ x=−125

d) 72 · x2=−422

72 · x2=−422⇒7 · x 2=−422⇒7 · x=−42⇒ x=−427

⇒ x=−6

e) −69 ·−39 ·−2x=−369

−69 ·−39 ·−2x=−369⇒ [ −6· −3 ]9· −2x=−369⇒189· −2x=−369⇒⇒−2x=−369:189⇒−2x=[ −36 :18 ]9⇒−2x=−29⇒ x=9

f) 25 ·−85=−16x

25·−85=−16x⇒ [2 ·−8 ]5=−16x⇒−165=−16x⇒ x=5

g) −9x :34=−34

−9x :34=−34⇒−9x=−34 ·34⇒−9x=[ −3·3 ]4⇒−9x=−94⇒ x=4

h) −30x : −5x=62

−30x : −5x=62⇒ [ −30 :−5 ]x=62⇒6x=62⇒ x=2

i) 144 : x4=74

144 : x 4=74⇒14 : x 4=74⇒14 : x=7⇒14=7 x⇒ x=147⇒ x=2

j) 49 · x9=−169

49· x9=−169⇒4 · x 9=−169⇒4 x=−16⇒ x=−164

⇒ x=−4

k) x3 3 :79=−1

x3 3 :79=−1⇒ x9 :79=−1⇒x : 79=−19⇒ x :7=−1⇒ x=−1 ·7⇒ x=−7

Operaciones combinadas con potencias de exponente natural21.- Expresa como una única potencia: a) 49: 44 : 43 · 47

49: 44: 43 · 47=45 :43 · 47=42 · 47=49

b) −77 : [−76: −72 ] ·−75

−77 : [−76: −72 ] ·−75=−77: −74 ·−75=−73·−75=−78=78

c) 712 : 76:74 · 75 :76

712 : 76: 74 ·75:76=76 :74 · 75:76=72 · 75:76=77 :76=7

d) −211 : [−26· −23 ] ·−23·−22

−211 : [−26· −23 ] ·−23·−22=−211 :−29 ·−23·−22=−22· −23 ·−22 ==−27=−27

e) 513 :59 : 510 :58 ·57:55

513 :59 : 510 :58 ·57 :55=54 :52 ·57 :55=52 ·57:55=59:55=54

f) 418 : 47 2 ·45

418 : 47 2 ·45=418 : 414 ·45=44·45=49

g) 610 2: 64 5

610 2: 64 5=620 :620=60=1

k) 1531 : 158 3 ·154: 153 2

1531 : 158 3 ·154: 1532=1531 :1524 ·154:156=157·154 :156=1511 :156=155

l) [ −4 2 ]4 : [−49 :−43 ] ·−42

[ −4 2 ]4 : [−4 9 :−43 ] ·−42=−48: −46· −42=−42·−42=−44=44

m) −157: [ 35·−55 ]

−157: [ 35·−55 ]=−157 :−155=−152=152

ñ) 35

2

· 35 3

· 35

4

35

2

· 35 3

· 35

4

= 35

9

=39

59

o) 38

5

· 38

3

: 38

6

·38

2

38

5

· 38

3

: 38

6

· 38

2

= 38

8

: 38

6

· 38

2

= 38

2

· 38

2

= 38

4

=34

84

p) [ 37

9]5

:[37

28

: 37

4] :[37

2]9

[ 37

9]5

:[37

28

: 37

4] :[ 37

2]9

= 37

45

: 37

24

: 37 18

= 37

21

: 37

18

= 37

3

=33

73

q) [ 34

3]20

: [ 34

28

· 34

14]: [ 34

5]3

[ 34

3]20

: [ 34

28

· 34

14] :[ 34

5]3

= 34

60

: 34

42

: 34

15

= 34

18

: 34

15

= 34

3

=33

43=2764

r) - 43

7

·- 43

5

: - 43

6

· - 43

4

- 43

7

·- 43

5

:- 43

6

·- 43

4

=- 43

12

: - 43

6

·- 43

4

=- 43

6

· - 43

4

=- 43

10

=410

310

s) [- 57

9]5

: [- 57

28

:- 57

4]: [- 57

2]10

[- 57

9]5

: [- 57

28

:- 57

4] :[- 57

2]10

=- 57

45

:- 57

24

: - 57

20

=- 57

20

: - 57

20

=-57

22.- Calcula: a) 37· 4−−23−6

37·4−−23−6=318−−8−6=3288−6=39−6=33

b) −1027 :32 · 5−2

−1027 :32 · 5−2=−1027 :9· 5−2=−103· 5−2=−1015−2=15−12=3

c) 47−52−−42−18 :3 :2

47−52−−42−18 :3 :2=422−−16−6: 2=44−−22 :2=4411=19

d) 32− [1−12−32 ]2· 6 :3

32− [1−12−32 ]2·6 :3=32−[1−12−9 ]2·6 :3=32−[1−3 ]2·6 :3=

= 32−1−32·6 :3=32−−22·6 :3=32−4 ·6 :3=32−24 : 3=32−8=24

e) −53· 4−25

−53 ·4−25=−512−32=12−37=−25

f) 34 · 82−5 ·12 2

34 · 82−5 ·12 2=34 · 64−60 2=34 ·42=34 ·16=364=67

g) 62−24 :6 :2

62−24 :6 :2=36−4 : 2=36−2=34

h) 32 4: [−2−−52 ] : 32

32 4: [−2−−52 ] : 32=38 : [−2−25 ] :32=38: −2−25:3=38·−27 :32=38: −33:32 == −38 :−33: −32=−35 :−32=−33=−33=−27

i) [ 82−1 : 32 ]25 · [34−17 ]

[ 82−1 : 32 ]25· [34−17]= [64−1 :9 ]25 ·34−17=63 :925 ·17=7285== 4985=134

j) 102−4 ·52−53

102−4 ·52−53=100−4·25−125=100−100−125=100−225=−125

k) −57· 47: −107

−57 · 47: −107=[−5·4 : −10 ]7=[−20 : −10 ]7=27

l) −93 ·92: [ −9 2 ]2

−93 ·92: [ −9 2 ]2=−93 ·−92 : −94=−95 : −94=−9

m) [−32: −23 ]2· 4

[−32: −23 ]2· 4=[−25: −23]2·22=[−25 :−23 ]2 ·−22=[−22 ]2·−22 =

= −24 ·−22=−26=26=64

Potencias de exponente entero23.- Calcula: a) 3−3

3−3= 1

33= 1

27

b) 37

−2

37

−2

= 73

2

=72

32=499

c) −7−2

−7−2= 1

−72= 1

72= 1

49

d) 7−2

7−2= 1

72= 1

49

e) 1−11

1−11= 1

111=1

1=1

f) −1−7

−1−7= 1

−17= 1

−17= 1−1

=−1

g) −1−6

−1−6= 1

−16= 1

16=1

1=1

h) −7−3

−7−3= 1

−73= 1

−73=-

1

73

i) 25

−5

25

−5

= 52

5

=55

25

j) - 32

−3

- 32

−3

=- 23

3

=-23

33=-827

k) - 32

−2

- 32

−2

=- 23

2

= 22

32=49

l) 3−4

−3

3−4

−3

=- 43

3

=-43

33=-6427

m) 13

−2

13

−2

=31

2

=32

12=91=9

n) 15

−3

15

−3

=53=125

ñ) 53

−1

53

−1

=35

24.- Expresa en base dos: a) 0,59

0,59= 12

9

=2−9

b) 0,253

0,253= 14

3

=4−3=22 −3=2−6

c) 0,5−4

0,5−4= 12

−4

=24

d) 0,25−6

0,25−6= 14

−6

=46= 22 6=212

Operaciones combinadas con potencias de exponente entero25.- Calcula: a) 11−4 :116· 11−2 −6

11−4 :116· 11−2 −6=11−4−6·1112=11−10 ·1112=11−1012=112=121

b) 25

3

: 25

4

25

3

: 25

4

= 25

3−4

= 25

−1

=52

c) 17

−2

· 17

−1

1 17 −2

· 17 −1

=72 ·7=73

2 17

−2

· 17

−1

= 17

−2−1

=17

−2−1

=17 −3

=73

d) [ −4 2 ]−2

[ −4 2 ]−2=−4 −4= 1

−44= 1

44

e) [ 34

0]−9

[ 34

0]−9

= 34

0

=1

f) 23

−1

· 23

−3

1 23

−1

· 23

−3

=32

· 32

3

= 32

4

=34

24=8116

2 23

−1

· 23

−3

= 23

−1−3

= 23

−1−3

= 23

−4

= 32

4

=34

24=8116

g) 6−3 :6−2

1 6−3 :6−2= 16

3

: 16

2

=16

2 6−3 :6−2=6−3−−2=6−32=6−1=16

h) −2−2·−2−3

1 −2−2 ·−2−3= 1

−22·

1

−23= 1

−25= 1

−25=-

1

25=-

132

2 −2−2·−2−3=−2−2−3=−2−2−3=−2−5= 1

−25= 1

−25=-

1

25=-

132

i) 4−3: 4−1

1 4−3: 4−1=4−3−−1=4−31=4−2= 1

42= 1

16

2 4−3: 4−1= 1

43:14= 4

43= 1

42= 1

16

j) −72 :−74

−72 : −74=−72−4=−7−2= 1

−72= 1

72= 1

49

k) 43: 44

43: 44=43−4=4−1=14

l) 13 −2

:3

13

−2

: 3=32 :3=3

m) 52

−5

· 25

3

52

−5

· 25

3

= 25

5

· 25

3

= 25

8

=28

58

n) 23

4

: 32

−2

23

4

: 32

−2

= 23

4

: 23

2

= 23

2

=22

32=49

ñ) 43

· 34

−1

· 43

2

43

· 34

−1

· 43

2

=43

·43

· 43

2

= 43

4

=44

34

o) 18

−3

: 18

5

·18 3

18

−3

: 18

5

·18

3

= 18

−3−5

· 18 3

= 18

−8

· 18

3

= 18

−83

= 18

−5

=85

p) −4−2: [−46· −4−3 ] ·−45· −4−4

−4−2: [−46· −4−3 ] ·−45· −4−4=−4−2: −43·−4 5 ·−4−4 ==−4 −2−3 ·−45· −4−4=−4−5 ·−45·−4−4=−4−55· −4−4 =

=−4 0 ·−4−4=−4−4=1

−44=1

44

q) [ 57

2]3

: 57 −5

:57

4

: [ 57

−2]6

[57

2]3

: 57 −5

: 57 4

:[57 −2]

6

=57 6

: 57 −5

: 57 4

: 57 −12

=57 6−−5

: 57 4

: 57 −12

=

= 57

65

: 57

4

: 57

−12

=57

11

: 57

4

: 57

−12

=57

7

: 57

−12

= 57

7−−12

=57

712

= 57

19

=519

719

Notación científica26.- Expresa en notación científica: a) 12.000.000.000.000

12.000.000.000.000=1,2 ·1013

b) 7.000.000.000.000.000.000.000

7.000.000.000.000.000.000.000=7 ·1021

c) 254.000.000

254.000.000=2,54 ·108

d) 0,00000078

0,00000078=7,8· 10−7

e) 24,5

24,5=2,45 ·10

f) 0,015

0,015=1,5 ·10−2

g) 99

99=9,9· 10

h) 150.000.000

150.000.000=1,5 ·108

i) 311

311=3,11 ·102

j) 6,024

6,024=6,024

k) 0,0001

0,0001=1 · 10−4

l) 482,6

482,6=4,826·102

m) 0,000232

0,000232=2,32 ·10−4

n) 427.200

427.200=4,272· 105

ñ) 0,328

0,328=3,28·10−1

o) 289,5

289,5=2,895 ·102

27.- Expresa en notación decimal: a) 8· 108

8· 108=800.000.000

b) 3,12 ·105

3,12 ·105=312.000

c) 4,18 · 10−6

4,18 · 10−6=0,00000418

d) 1,001 · 103

1,001· 103=1.001

e) 3,8 ·10−2

3,8 ·10−2=0,038

f) 3,28 ·10

3,28 ·10=32,8

g) 2,525 ·107

2,525 · 107=25.250.000

h) 3,248 · 103

3,248 ·103=3.248

i) 1· 10−5

1· 10−5=0,00001

j) 5,525· 102

5,525· 102=552,5

k) 3,48 ·10−6

3,48 ·10−6=0,00000348

l) 6,324 ·104

6,324 ·104=63.240

m) 2,18 ·10−4

2,18 ·10−4=0,000218

n) 1,1111· 102

1,1111· 102=111,11

ñ) 9,9 ·10−18

9,9 ·10−18=0,0000000000000000099

o) 9,6589 ·10−12

9,6589 ·10−12=0,0000000000096589

Cuadrados perfectos y raíces cuadradas28.- Determina si son cuadrados perfectos: a) 64

82=64⇒64 ; número cuadrado perfecto

b) 70

82=647081=92⇒70 ; número no cuadrado perfecto

c) 100


d) 225


e) 111


f) 24


g) 16


h) 50


i) 169


j) 84


k) 144


l) 120


29.- Escribe todos los cuadrados perfectos que hay entre 200 y 300.

200225=152256=162289=172300

30.- Escribe como suma de dos cuadrados perfectos los siguientes números: a) 17

17=116=1242

b) 29

29=425=2252

c) 41

41=1625=4252

d) 109 109=9100=32102

31.- Calcula la raíz cuadrada y el resto de los siguientes números: a) 7

22=479=32⇒7=2 r=7−22=7−4=3

b) 39

62=363949=72⇒39=6 r=39−62=39−36=3

c) 13

32=91316=42⇒13=3 r=13−32=13−9=4

d) 55

72=495564=82⇒55=7 r=55−72=55−49=6

e) 110

102=100110121=112⇒110=10 r=110−102=110−100=10

f) 10

32=91016=42⇒10=3 r=10−32=10−9=1

g) 75

82=647581=92⇒75=8 r=75−82=75−64=11

h) 92

92=8192100=102⇒92=9 r=92−92=92−81=11

i) 140

112=121140144=122⇒140=11 r=140−112=140−121=19

j) 67

82=646781=92⇒67=8 r=67−82=67−64=3

k) 109

102=100109121=112⇒109=10 r=109−102=109−100=9

l) 124

112=121124144=122⇒124=11 r=124−112=124−121=3

Algoritmo de la raíz cuadrada32.- Calcula: a) 520

22

5 20

– 4 42 · 2 = 84

120

– 84 520=22 ; r=36

r = 36 Comprobación: 22236=48436=520

b) 6.321

79

63 21

– 49 149 · 9 = 1.341

1421

– 1341 6.321=79 r=100

r = 100 Comprobación: 792=6.241100=6.341

c) 15.361

123

1 53 61

– 1 22 · 2 = 44

053

– 44 243 · 3 = 729

0961

– 729 15.361=123 ; r=232

r = 232 Comprobación: 1232=15.129232=15.361

d) 375.484

612

37 54 84

– 36 121 · 1 = 121

0154

– 121 1222 · 2 = 2.444

03384 375.484=612 ; r=940

– 2444 Comprobación: 6122940=374.544940=375.484r = 0940

e) 324

18

3 24

– 1 28 · 8 = 224

224

– 224 324=18 ; r=0⇒raìz cuadrada exacta

r = 000 Comprobación: 182=324

f) 7.275

85

72 75

– 64 165 · 5 = 825

0875

– 825 7.275=85 ; r=50

r = 050 Comprobación: 852=7.22550=7.275

g) 83.083

288

8 30 83

– 4 48 · 8 = 384

430

– 384 568 · 8 = 4.544

04683 83.083=288 ; r=139

– 4544 Comprobación: 2882139=82.944139=83.083r = 0139

h) 715.517

845

71 55 17

– 64 164 · 4 = 656

0755

– 656 1685 · 5 = 8.425

09917 715.517=845 ; r=1.492

– 8425 Comprobación: 84521.492=714.0251.492=715.517r = 1492

i) 468.864

684

46 88 64

– 36 128 · 8 = 1.024

1088

– 1024 1364 · 4 = 5.456

006464 468.864=684 ; r=1.008

– 5456 Comprobación: 68421.008=467.8561.008=468.864r = 1008

j) 62.413

249

6 24 13

– 4 44 · 4 = 176

224

– 176 489 · 9 = 4.401

04813 62.413=249 ; r=412

– 4401 Comprobación: 2492412=62.001412=62.413r = 0412

33.- Determina el número de cifras que puede tener el radicando cuando la raíz cuadrada tiene: a) 1 cifra

raíz cuadrada ; 1 cifra⇒ radicando ; 1 ó 2 cifras Ejemplos: 8, 24

b) 2 cifras

raíz cuadrada ; 2 cifras⇒ radicando ; 3 ó 4 cifras Ejemplos: 518, 6.124

c) 3 cifras

raíz cuadrada ; 3 cifras⇒ radicando ; 5 ó 6 cifras Ejemplos: 42.325, 715.124

d) 4 cifras

raíz cuadrada ; 4 cifras⇒ radicando ; 7 ó 8 cifras Ejemplos: 3.422.123, 24.615.724

34.- Sin resolver, determina el número de cifras de los siguientes números: a) 957

radicando ; 3 cifras⇒ raíz cuadrada; 2 cifras

b) 5.843

radicando ; 4 cifras⇒ raíz cuadrada; 2 cifras

c) 18.302

radicando ; 5 cifras⇒ raíz cuadrada ; 3 cifras

d) 508.270

radicando ; 6 cifras⇒ raíz cuadrada ; 3 cifras

Raíces cuadradas de números decimales35.- Calcula: a) 4.215 ; aproximando a las décimas

64,9

42 15

– 36 124 · 4 = 496

0615

– 496 1289 · 9 = 11.601

11900

– 11601

r=299 :100=2,99r = 00299

Comprobación :64,922,99=4.212,012,99=4.215

b) 39 ; aproximando a las centésimas

6,24

39

– 36 122 · 2 = 244

0300

– 244 1244 · 4 = 4.976

05600

– 4976

r=624 :10.000=0,0624r = 0624

Comprobación :6,2420,0624=38,93760,0624=39

c) 137,05

11,7

1 37, 05

– 1 21 · 1 = 21

037

– 21 227 · 7 = 1.589

1605

– 1589

r=16 :100=0,16r = 0016

Comprobación :11,720,16=136,890,16=137,05

d) 976,37

31,2

9 76, 37

– 9 61 · 1 = 61

076

– 61 622 · 2 = 1.244

1537

– 1244

r=293 :100=2,93r = 0293

Comprobación :31,222,93=973,442,93=976,37

e) 78,134

8,83

78, 13 40

– 64 168 · 8 = 1.344

1413

– 1344 1763 · 3 = 5.289

006940

– 5289

r=1.651 :10.000=0,1651r = 1651

Comprobación :8,8320,1651=77,96890,1651=78,134

f) 2,3748

1,54

2, 37 48

– 1 25 · 5 = 125

137

– 125 304 · 4 = 1.216

01248

– 1216

r=32 :10.000=0,0032r = 0032

Comprobación :1,5420,0032=2,37160,0032=2,3748

g) 214,8

14,6

2 14, 80

– 1 24 · 4 = 96

114

– 96 286 · 6 = 1.716

01880

– 1716

r=164 :100=1,64r = 0164

Comprobación :14,621,64=213,161,64=214,8

h) 21,315

4,61

21, 31 50

– 16 86 · 6 = 516

0531

– 516 921 · 1 = 921

01550

– 921

r=629 :10.000=0,0629r = 0629

Comprobación :4,6120,0629=21,25210,0629=21,315

i) 0,37852

0,615

0, 37 85 20

– 36 121 · 1 = 121

0185

– 121 1225 · 5 = 6.125

06420

– 6125

r=295 :100.000=0,000295r = 0295

Comprobación :0,61520,000295=0,3782250,000295=0,37852

j) 3,0405

1,74

3, 04 05

– 1 27 · 7 = 189

204

– 189 344 · 4 = 1.376

01505

– 1376

r=129 :10.000=0,0129r = 0129

Comprobación :1,7420,0129=3,02760,0129=3,0405

k) 26,321

5,13

26, 32 10

– 25 101 · 1 = 101

0132

– 101 1023 · 3 = 3.069

03110

– 3069

r=41:10.000=0,0041r = 0041

Comprobación :5,1320,0041=26,31690,0041=26,321

l) 1,34523

1,159

1, 34 52 30

– 1 21 · 1 = 21

034

– 21 225 · 5 = 1.125

1352

– 1125 2.309 · 9 = 20.781

022730

– 20781

r = 01949 r=1.949 :100.000=0,001949

Comprobación :1,15920,001949=1,3432810,001949=1,34523

Raíces cuadradas de operaciones36.- Escribe como potencia de una raíz y calcula: a) 363

363= 36 3=63

b) 647

647=64 7=87=23 7=221

c) 35· 6253

35· 6253

=35·6253

=34·625=34·54= 3·5 4= 152 2= 152 2=152

d) 323 :23

323 :23=323: 23= 32 :23=163= 16 3=43= 22 3=26=64

e) 74

74= 72 2=72 2=72=49

f) 813

813=81 3=93=32 3=36

g) 42

42= 4 2=4

h) 24 2

24 2= 24 2=24=16

i) 32 3

32 3=32 3=33=27

j) 25 ·34

25 ·34=52·32·32= 5·3 ·3 2=452=45 2=45

k) 26 · 49

26 ·49=22 ·22 ·22 ·72=562=56 2=56

l) 1003: 64

1003 :64=1003: 43= 100 : 4 3=253=25 3=53=125

37.- Calcula: a) 900

900=9·100=9·100=3·10=30

b) 3.600

3.600=36·100=36 ·100=6 ·10=60

c) 10.000

10.000=100 ·100=100 ·100=10 ·10=100

d) 64 ·9

64 ·9=64 ·9=8 ·3=24

e) 121· 16

121·16=121 ·16=11 ·4=44

f) 81· 100 · 25

81·100 ·25=81 ·100 ·25=9·10 ·5=450

g) 225 ·196

225 ·196=225 ·196=15 ·14=210

h) 40 ·10

40 ·10=40 ·10=400=4 ·100=4 ·100=2·10=20

i) 256 :16

256 :16=256 :16=16=4

j) 25 · 36:9

25 ·36: 9=25 ·36 :9=5 ·6: 3=30 :3=10

k) 100 :4 ·49

100 :4 ·49=100 :4 ·49=10: 2 ·7=5 ·7=35

l) 8.100

8.100=81 ·100=9 ·10=90

m) 441

441=32 ·72=32 ·72=3 · 7=21

441 3

147 3

49 7

7 7

1

n) 1.225

1.225=52 · 72=52 ·72=5· 7=35

1.225 5

245 5

49 7

7 7

1

ñ) 4.356

4.356=22 · 32 ·112=22 ·32 ·112=2 · 3· 11=66

4.356 2

2.178 2

1.089 3

363 3

121 11

11 11

1

o) 100 ·49

100 ·49=100 ·49=10 ·7=70

p) 9 ·16 ·144

9 ·16 ·144=9 ·16·144=3· 4·12=144

q) 256 :64

256 :64=256 :64=16 :8=2

r) 400 : 25

400 : 25= 400: 25=20: 5=4

s) 24 2:64

24 2:64= 24 2 :26=28 :26=28: 26=22=2

38.- Determina el valor de las letras: a) 25 ·4= x

25 ·4= x⇒25 ·4= x⇒100= x⇒ x=100

b) 4 · x=36

4 · x=36⇒4 x=36⇒4 x=36⇒ x=364⇒ x=9

c) x=64 :16

x=64 : 16⇒ x=64 :16⇒ x=4⇒ x=4

d) 8: x 3=1

8: x 3=1⇒8= x 3⇒23= x3⇒ x=2

39.- Calcula:

a) 916

916

= 916

=34

b) 14

14=14

=12

c) 8149

8149

=8149

=97

d) 502

502=25=5

e) 36100

36100

= 36100

= 610

=35

f) 14481

14481

=14481

=129=4

3

g) 964

964

= 964

=38

h) 36144

36144

= 36144

= 612

=12

i) 49100

49100

= 49100

= 710

j) 254

254=25

4=5

2

Operaciones combinadas con potencias y raíces40.- Calcula: a) 69: 381

69: 381=63 :39=619=16

b) 23 ·18−32−12

23 ·18−32−12=23·18−9−1=23 ·9−1=23· 3−1=29−1=11−1=10

c) −25[3· −21 :49 ]2

−25 [3· −21 :49 ]2=−25 [3· −21: 7 ]2=−25[3· −3 ]2=−25−92 ==−2581=56

d) 2349 · 32

2349 · 32=87 ·9=863=71

e) 100−36:16−251

100−36:16−251=64 :16−251=8: 4−51=2−51=3−5=−2

f) −4·942−−63 :12

−4·942−−63:12=−4 ·916−−216:12=−4·2518=−4 ·518==−2018=−2

g) 2381:3

2381:3=89 :3=83=11

h) 3 · 52−4 : 49

3 · 52−4 : 49=3· 25−4:7=3· 21:7=63 :7=9

i) 42 :823−12:−57 ·3− 4

42: 823−12:−57 · 3−4=16 :88−12 :−521−2=28−12 :16−2 == 28−12 :4−2=28−3−2=10−5=5

Resolución de problemas41.- Razona si son ciertas estas igualdades: a) −63 ·−63=−66

−63 ·−63=−633=−66Verdadero

b) −63 ·−63=363

−63 ·−63=363⇒ [−6·−6 ]3=363Verdadero

c) [ −9 4 ]3=−93 4

{[ −9 4 ]3=−912=912

−93 4= 93 4=912}⇒ [ −9 4 ]3=−93 4Verdadero

42.- Las siguientes expresiones representan el número 25.800.000. ¿Cuál está escrita en notación científica?

a) 25,8 ·106 b) 2,58 ·107

c) 258 ·105 d) 0,258 ·108

2,58 ·107

43.- Razona si son ciertas estas afirmaciones: a) La raíz cuadrada exacta de un cuadrado perfecto es él mismo.

64=8≠64Falsa

b) El resto de una raíz cuadrada exacta es cero.

64=8 r=64−82=64−64=0Verdadera

44.- Encuentra un número cuyo cuadrado sea 256.

x2=256⇔256=x⇒ x=16

45.- Calcula un número tal que su raíz cuadrada entera es 16 y el resto 9.

x=16 r=9⇒ x=1629=2569=264

46.- La raíz cuadrada exacta de un número es 21. ¿Cuál es el número?

x=21⇔ x=212⇒ x=441 47.- ¿Existe la raíz cuadrada de un número entero negativo?

{12=1−12=1}⇒∃−1

{22=4−22=4}⇒∃−4

{32=9−32=9}⇒∃−9

No existe la raíz cuadrada de un número entero negativo

48.- El cubo de un cuadrado perfecto, ¿es otro cuadrado perfecto?

13= 12 3=13 2=12⇒13 ; cuadrado perfecto

43= 22 3=232=82⇒43 ; cuadrado perfecto

93=32 3=33 2=272⇒93 ; cuadrado perfecto

163=42 3= 43 2=642⇒163; cuadrado perfecto n2 3=n3 2⇒ cuadrado perfectoEl cubo de un cuadrado perfecto es otro cuadrado perfecto

49.- ¿En qué número terminan los cuadrados perfectos?x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0

1 1

2 4

3 9

4 6

5 5

6 6

7 9

8 4

9 1

Todo cuadrado perfecto termina en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9

50.- Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) La suma de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto.

a2b2≠ab 2⇒no cuadrado perfecto⇒Falsa

b) El producto de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto.

a2· b2=a ·b2⇒ cuadrado perfecto⇒Verdadera

51.- Encuentra todos los números comprendidos entre 1 y 10 que se pueden escribir como el resultado de sumar las raíces cuadradas exactas de dos números enteros mayores que 0.

+ 1 4 9 16 25

1 2 3 4 5 6

4 3 4 5 6 7

9 4 5 6 7 8

16 5 6 7 8 9

25 6 7 8 9 10

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9

52.- Si un folio lo doblamos por la mitad, obtenemos 2 partes iguales. Si lo volvemos a doblar, obtenemos 4 partes iguales, y así sucesivamente. ¿Cuántas partes obtenemos si lo doblamos 10 veces?

21=2 partes22=4 partes·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· ··210=1.024 partes

53.- Expresa en forma de potencia de base 10: a) 1.000 kg

1.000 kg=103 kg

b) 0,001 mg

0,001 mg=10−3 mg

c) 10.000 m2

10.000 m2=104 m2

d) 0,00001 cm2

0,00001 cm2=10−5 cm2

e) 1.000.000 m

1.000.000 m=106 m

f) 0,0000001 cm

0,0000001 cm=10−7 cm

g) 1 m3

1 m3=100 m3

h) 0,000000000001 g

0,000000000001 g=10−12 g

54.- La capacidad de almacenamiento de un ordenador se mide en bytes y sus múltiplos. Sus equivalencias se expresan en el sistema de numeración binario:

1 kilobyte=1 kb=210 bites

1 megabyte=1 Mb=210 kb

1 gigabyte=1 Gb=210 Mb

Calcula a cuántos bytes equivalen 1 Mb y 1 Gb.

1 Mb=210 kb=210 · 210 bytes=220 bytes=1.048.576 bytes

1 Gb=210 Mb=210 ·220 bytes=230 bytes=1.073.741.824 bytes 55.- Los alumnos de 2º ESO van a sembrar azucenas y tulipanes en el patio. Quieren colocarlos formando cuadrados y tienen 8 bulbos de azucenas y 20 de tulipanes. a) ¿Cuál es el máximo cuadrado que pueden formar con cada tipo de planta? ¿Cuántas les sobran? b) ¿Cuál es el mínimo número de bulbos que deben plantar para conseguir los cuadrados sin que sobre ninguno?

Azucenas 22=489=32

4 azucenas para formar el máximo cuadrado8 azucenas−4 azucenas=4 azucenas sobran9 azucenas como mínimo para formar un cuadrado sin que sobren

Tulipanes42=162025=52

16 tulipanes para formar el máximo cuadrado20 tulipanes−16 tulipanes=4 tulipanes sobran25 tulipanes como mínimo para formar un cuadrado sin que sobren

56.- El cociente de dos potencias de igual exponente es (– 6)4, y el divisor, (– 2)4. Calcula el dividendo.

D : −24=−64⇒ D=−64 · −24=[−6·−2 ]4=124

57.- ¿A qué número hay que elevar 100 para obtener 1012?

100x=1012⇒ 102 x=10x ⇒102x=1012⇒2 x=12⇒ x=122⇒ x=6

58.- En un cultivo había 128 bacterias. Pasado un tiempo se han convertido en 1.024. Si se duplican cada hora, ¿cuántas horas han pasado?

128=27⇒7 horas1.024=210⇒10 horas10 horas−7 horas=3 horas

59.- En una clase de Educación Vial, un grupo de 2º de ESO va a construir las señales informativas que tengan forma cuadrada. Deben hacerlas de forma que su área sea de 355.216 mm2. ¿Cuántos cm debe medir el lado?

A=355.216 mm2:100=3.552,16 cm2

A=l · l⇒ A=l 2⇒ l= A=3.552,16 cm2=59,6 cm

60.- ¿Cuál es el menor número de años que deben transcurrir desde 2011 para que el año sea un cuadrado perfecto? ¿Cuántos años del tercer milenio son cuadrados perfectos?

442=1.93620112.025=452

2.025−2.011=14 años deben transcurrir

452=2025 462=2116 472=2209 482=2304 492=2401 502=2500 512=2601522=2704 532=2809 542=2916⇒10 años cuadrados perfectos

61.- Halla el número de CD que tiene Pablo sabiendo que es la menor cantidad que hay que restar a 8.561 para obtener un cuadrado perfecto.

8.561=92⇒ 922=8.4648.561⇒ r=8561−8.464=97 CD

62.- Se quiere alambrar una parcela cuadrada de 1.225 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de tela metálica hay que comprar?

A=l 2⇒ l=A=1.225 m2=35 mPerímetro=4 l=4 · 35 m=140 m de tela metálica

63.- Se quiere construir un cuadrado con cuadraditos de 1 cm de lado. ¿Cuántos cm mide el lado del cuadrado si se hace con 121 cuadraditos?

A=121 cuadraditos⇒l=121=11 cuadraditos=11 cm el lado del cuadrado

64.- Un embalse tiene una capacidad de 3.160 hm3. ¿Qué cantidad de litros de agua puede contener?

3.160 hm3 ·1.000.000.000=3.160.000.000.000 dm3=3.160.000.000.000 l=3,16 ·1012 l

65.- Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. La velocidad de la luz en el vacío es de 300.000 km/s. Calcula a cuántos km equivale un año luz.

1 año=365 diás· 24=8.760 h·60=525.600 min ·60=31.536.000 s

300.000 km/ s ·31.536.000 s=9.460.800.000.000 km≃9,5·1012 km

Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS 2

Education

Transcript of Ejercicios resueltos: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS 2