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POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR CREADO POR UN DIPOLO EN UN PUNTO LEJANO

CÁLCULO DE CAMPO Y FLUJO MAGNÉTICO A PARTIR DEL POTENCIAL VECTOR

Antonio J. Barbero GarcíaDpto. Física Aplicada

UCLM

2

2/ , , rP

'r

r

'rr

'' ldI

X

Y

Z

rucr '

'

0

''

4C

rrldIA

' C

' 'cos'sin' ' dcuudculd yx

2

0

0 ''

'cos 'sin 4

drr

cucuIA yx

2/122 cos 2' rccrrr

'P

''cos

rrrr

'''sin'90cos

rqrq

q

rqrq

sin90cos

''

rqrq

rqrq

'sinsin

2/1

2

2

'sinsin 211'

1

rc

rc

rrr

2/

2/

0 ''

'sin 2

4

d

rrcuI

2/1

'sinsin 211

rc

r cr

Desarrollo del binomio:

'sinsin 11

'1

rc

rrr

POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANOxu

Elegimos un punto P en el plano YZ. Esto no resta generalidad al resultado pues hay simetría de revolución alrededor del eje Z.

El unitario en dl’ no es el mismo que el unitario en P. Véase que en P se verifica

u u xuu

Por cada elemento de corriente hay un simétrico que contrarresta la componente del vector según Y.

' ldI

A

Potencial vector en el punto P:

HOME

3

2/

2/

0 ''sin'sinsin 112

d

rc

rucI

POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO (CONT.)

2/

2/

0 ''

'sin 2

4

d

rrcuIA

sin 4

2

20

rcIuA

sin 4

2

20

rcIuA

2zz umucIm

Definiendo el momento magnético de la espira: (Wb/m)

4

20

rumA r

sincos uuu rz

uuuuuu rrrz

sinsincos

uuu r

(Wb/m) 4

2

0

ruumA rZ

zu

ru

u

º90

90

Plano XY

'sinsin 11

'1

rc

rrr

0''sin

2/

2/

d2

''sin

2/

2/

2

d

2 cIm

¿Cómo calcular el campo a partir del potencial vector ? B

A

ur

mAB 2

0

4 sin

HOME

4

u

rmA

20

4 sin

ur

mAB 2

0

4 sin

ArrAA

r

ururu

rA

r

r

sin

sin

sin1

2

rr

ururu

rm

r

/sin00

sin

sin1

4

2

20

sin- sin sin1

4 22

20

u

rrru

rrmA r

sin sin cos2 sin1

4

2

2

20

ur

rurr

mA r

sin cos2 4

33

0

ur

ur

mAB r

sin cos2 4

33

0

ur

ur

mr

CAMPO MAGNÉTICO DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO

20

4 sin 0 0

rmAAAr

HOME

5

ru

u

uu

rmB r

sin cos2

4

30

r

B

ru

u

B

LÍNEAS DE CAMPO DE UN DIPOLO MAGNÉTICO. PUNTO LEJANO

2/0 0cos

0sin Cuando

2/0cos

0sin Cuando

r

uu

rmB r

sin cos2

4

30

uu

rmB r

sin cos2

4

30

La componente radial es de sentido contrario a ru

B

HOME

6

uru

u

Líneas de campo B

Igual módulo del potencial vectorial Potencial vectorial entrante (mitad derecha)Potencial vectorial saliente (mitad izquierda)

A

LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO

m

Z

20

4

ruumA rZ

sin cos2 4

33

0

ur

ur

mAB r

r

Zu

uuu rZ

7

Calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos espiras concéntricas de radios r y R (r <<R) cuyos planos forman un ángulo (véase figura).Resolver el problema por dos procedimientos:

POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1.

R

r

Zu

I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente. II. Considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa. I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente.

Zu

Rr Ru

cosZuu

I

Zu perpendicular al plano de la espira de radio R

Ru

contenido en el plano de la espira de radio Ru perpendicular al plano de la espira de radio r

Campo magnético creado por la corriente I que circula por la espira grande en su centro geométrico

B

ZuRIB

20

Al ser r << R, podemos suponer que el campo magnético a través de la espira pequeña es constante en todos sus puntos e igual al valor que tiene en el centro común de ambas espiras, y en consecuencia, también podemos suponer que el flujo magnético a través de la espira pequeña es el producto escalar del campo magnético por su vector superficie:

uruRIrSB Z

·

2)( 20 cos

220 r

RI

Relación entre el flujo que atraviesa la espira pequeña y la corriente I que circula por la espira grande: IM·donde M es el coeficiente de inducción mutua.

R

rI

M cos 2

20

8

POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1 (/2)II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa.

Zu

Rr

Ru

urIm 2

cosZuu

I

Zu

perpendicular al plano de la espira de radio R

u

uZu

Ru

uuu RZ

ld

Zu u

Ru

R2

r2

m

Ru

contenido en el plano de la espira de radio R

Vista de perfil

u perpendicular al plano de la espira de radio r

Para calcular el coeficiente de inducción mutua hay que determinar el flujo magnético a través de la espira grande (radio R), flujo que tiene su origen en el campo magnético B producido por la corriente I que circula por la espira pequeña (radio r << R).

Una forma asequible (no demasiado complicada) de hacer esto es tratar a la espira pequeña como un dipolo magnético que origina un potencial vector que puede ser calculado con facilidad, y convertir la integral de superficie necesaria para calcular el flujo magnético en una integral de línea de ese potencial vector (que es el rotacional del campo magnético), aplicando el teorema de Stokes.

(Wb/m) 4

2

0

RumA R

Potencial vector creado por el dipolo m

en un punto genérico de la circunferencia de radio R

Véase que RZ uu

RrIA

2

20 cos

4

ZurIurIm

cos 22

uRrI

2

20 cos

4

CS

ldBSdB

Teorema de Stokes:

C

ldA

AB

puesto que

Siendo dS el elemento de superficie de la espira grande

9

II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa.

Zu

Rr

Ru

urIm 2

cosZuu

I

Zu

perpendicular al plano de la espira de radio R

uld

Zu

u

Ru

R2

r2

m

POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1 (/3)

Ru

contenido en el plano de la espira de radio R

Vista de perfil

uZu

Ru

uuu RZ

CS

ldASdB

uRrIA

2

20 cos

4

C

lduRrI ·cos

4 2

20

udluRrI

C

·cos 4 2

20

RRrIdl

RrI

C

2cos 4

cos 4 2

20

2

20

RrI cos

2

20

Relación entre el flujo que atraviesa la espira grande y la corriente I que circula por la espira pequeña: IM·donde M es el coeficiente de inducción mutua.

R

rI

M cos 2

20

u perpendicular al plano de la espira de radio r

(Igual resultado que el obtenido usando el procedimiento I)

10

(Wb/m) 4

2

0

rumA r

ZuMRMRm 34

34

033

ZuMM

0

Zu

Zu ru

r

R

Zu

ru

Zu

ru

u

0º9

uuu rZ

m b

a

b

a

Zu

r

Una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas tiene una imanación uniforme M0 A/m dirigida a lo largo del eje Z. En el plano z = b hay una espira circular de radio a > R centrada en el eje Z. Calcular el flujo magnético a través de la espira.

POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 2

Líneas del campo B alrededor de la esfera imanada

ru

rb

ra

cos sin

Vista desde fuera, la esfera imanada se comporta como un dipolo cuyo momento

magnético es

P

Cálculo del potencial vector en un punto genérico de la espira (P)

PrZ uuMRr

A

34

4

03

20

uMR

rauMR

rA

3

sin 34

4

03

30

03

20

11

Una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas tiene una imanación uniforme M0 A/m dirigida a lo largo del eje Z. En el plano z = b hay una espira circular de radio a > R centrada en el eje Z. Calcular el flujo magnético a través de la espira.

POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 2 (/2)

Zu

ru

m b

a

Zu

r P

Una vez hemos calculado el potencial vector en cada punto del contorno de la espira, aplicamos el teorema de Stokes y convertimos la integral de superficie necesaria para calcular el flujo magnético en una integral de línea de ese potencial vector (que es el rotacional del campo magnético).

uMR

raA

3

0

33

0

CS

ldBSdB

C

ldA

22 bar

C

S

Zu

u

A

ld

ld

u

u

C

ldA

udluMR

ra

C

· 3

03

30

03

2/322

2

0

3 2 MR

ba

a

aMRradlMR

ra

C

2 3

3

03

30

03

30