Potencia

CURSO DE ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA I

DICTADO POR

CARLOS PACHECO CABRERAMAGISTER EN ELECTRICIDAD

INDUSTRIALDOCTOR INGENIERÍA

ENERGÉTICAINGENIERO ELECTRICISTA

C.I.P. 40831PROFESOR PRINCIPAL D:E.

Para el circuito mostrado en la fig. hallar la caída de tensión la potencia que disipa la resistencia de 6 para la secuencia ABC con un valor de 220 voltios 4 ptos

-E(t)+

- E(t) +

-E(t)+

J3J3

J3

6

150 KVA4400 voltiosCos 0.85

0.008 + J0.8

0.008 + J0.8

0.008 + J0.8

Para el motor mostrado en la fig. calcular la potencia de envío así como el factor de potencia al cual opera el generador 4 ptos

L1

L1

L2

T1 T2

T3

T4T5

T6

G1G2

M.S

L3

Para el SEP mostrado en la fig. hallar el Thevenin equivalente si se a producido una falla simple línea tierra en mitad de línea 1 5ptos

Capitulo I : Introducción y Conceptos Generales.1. Fuentes de energía.1.2. Concepto de Sistema eléctrico de potencia.1.3. Situación actual y expansión futura de los sistemas eléctricos de potencia.1.4. Energía Electromagnética.1.5. Conceptos de potencia activa y reactiva.1.6. Sistemas de calculo con valores unitarios.

Capitulo III : El Transformador de Potencia.3.1.Transformadores monofásicos ideales y reales.3.2.Ecuaciones del transformador referidos al primario y secundario.3.3.Tensión de Corto Circuito.3.4.Transformadores en fase de tomas variables.3.5.Transformadores de tres devanados.

Capitulo II : La Maquina Sincrona.2.1.-. Generadores2.2.- .Características generales del Generador Síncrono.2.3.-. Circuito equivalente de la maquina sincrona.2.4..-.Características de Potencia Angulo en régimen permanente.2.5..- Eficiencia del generador.2.6..- Regulación de la tensión.

Capitulo IV : Calculo de fallas.4.1.Corto Circuitos Simétricos.4.2.Corto Circuitos asimétricos.

Capitulo V : Parámetros y modelos de las Líneas de Transmisión.5.1.Calculo de la inductancia.52.Excitación sinusoidal. Impedancia equivalente de la línea de transmisión.5.3.Casos especiales debido a la simetría.5.4.Calculo de los parámetros teniendo en cuenta el efecto tierra.5.5.Aplicaciones a líneas trifásicas.5.6.Fenómenos capacitivos.5.7.Líneas de transmisión cortas, medias y largas.

CAPITULOVI: ESTUDIO DEL FLUJO DE POTENCIA.

6.1.-Introducción.6.2.-Modelamiento de componentes de un sistema de potencia.6.3.-Clasificación de barras.6.4.-Formulación de matriz admitancia.6.5-Métodos de solución de flujo de potencia.

6.5.1.-Flujo de potencia linealizado.6.5.2.-Método de Newton Rapshon.6.5.3.-Método Desacoplado Rápido.

BILIOGRAFIA1.- ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA W.B. STEVENSON2.- ELECTRICENERGY SISTEM TEORY OLLE ELGERD3.- SISTEMAS ELÉCTRICOS DE GRAN POTENCIA WEEDY4.- POWER SYSTEM ABALISIS CHARLES GROSS5.- ELECTRICAL TRANSMISION AND DISTRIBUTION WHESTINGHOUSE6.- MAQUINA SINCRONA GILBERTO ENRIQUEZ HARPER7.- LÍNEAS DE TRANSMISIÓN GILBERTO ENRIQUE HARPER

EVALUACIONPrimer Examen Peso 5/20Segundo Examen Peso 7/20Tercer Examen Peso 8/20PARA PODER RENDIR EL EXAMEN DE APLAZADOS SE REQUIERE UNA NOTA MÍNIMA DE 07 DE PROMEDIO NO POR APROXIMACION

Capitulo I INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS GENERALES

1. Objetivos de los Sistemas de Potencia.El objetivo fundamental es el de suministrar energía eléctrica en condiciones optimas para producir luz, calor y fuerza motriz, como consecuencia del magnetismo aplicado a la electricidad las mismas que tienen su aplicación en telecomunicaciones y electrónica.

1.1. Fuentes de energía.Es el conjunto de centrales generadoras de energía eléctrica, las mismas que pueden ser de diferente carácter debido a la utilización del recurso a utilizar y pueden ser: hidráulico, térmico, solar, eólico, nuclear, geotérmico, Maremotriz.Para la obtención de energía eléctrica se establece etapas fundamentales que son: a) Generación d) Sub transmisiónb) Transformación. e) Distribución Primariac) Transmisión. f) Distribución SecundariaGeneración

Esta etapa viene a ser la mas importante ya que permite el empleo de la electricidad en función de un servicio que en este caso es la carga. Las formas de generación de energía eléctrica se dan a partir de las fuentes.

La existencia de fuentes induce el empleo del motor primo, en el caso hidráulico esla turbina , el que esta acoplado mediante un eje al rotor del alternador trifásico,mientras que la energía transformada se obtiene del estator que viene a constituir laparte fija de la maquina. El empleo del agua hace que esta sea la mejor alternativa degeneración debido a la facilidad del manejo del recurso hídrico.

1.2.- Concepto de sistema eléctrico de Potencia.Los sistemas eléctricos de potencia vienen a ser definidos como el conjunto degeneradores, transformadores, líneas de transmisión que se encuentraninterconectadosLos cuales hacen posible el transporte de energía eléctrica hasta los centros deconsumo que viene a ser en este caso la carga.La generación de energía eléctrica por medios hidráulicos es una de las masfavorables debido a la alta eficiencia de sus componentes como la turbina quealcanza una eficiencia variable entre 80 % y 90% , de la misma manera tenemos a losalternadores que poseen eficiencias altas que pueden llegar hasta el 95%Dentro de las características principales de los alternadores podemos citar lossiguientes: son económicos, son de mucha confiabilidad, tiene capacidades ampliasexistiendo en la actualidad alternadores que pueden tener potencias que oscilanentre los 1,000 y 2,000 MW

Fuentes

Pueden ser de diferentes orígenes, como el térmico que se caracteriza por la combustión de un recurso en este caso el vapor , o hidráulica.

~ ~

~ ~

Cliente muy grande

Cliente grande

Clientes Pequeños

Nivel de transmisión

Nivel Sub transmisión

Nivel distribución

Primaria

Diagrama de Unifilar.Es la representación esquemática de un sistema eléctrico donde se indica claramente los componentes del mismo.

1.3.-Situación Actual y expansión futura de los sistemas eléctricos de potencia en elPerú.La situación actual de los sistemas eléctricos de potencia en el Perú viene aconsiderarse como un sistema interconectado el mismo que ha quedadototalmente culminado con la interconexión de las hidroeléctricas del centro y surdel Perú , conformando de esta manera el sistema eléctrico de potencia grande.

De acuerdo al compendio estadístico nacional podemos citar los centros degeneración más importantes del país. De acuerdo al compendio estadísticonacional podemos citar los centros de generación más importantes del país

GEN

ERA

CIO

N

TRANSFORMACION

TRANSPORTE

TRANSFORMACION

TRANSFORMACION

CARGA

2.3 /138 138/60 KV60/10 KV.

60/10 KV.

60/10 KV.

Empresa Central Potencia Departamento

ElectroPeru Santiago Antunez 780 MW Junin

Restitución 210 MW Huancavelica

EDEGEL Huinco 258 MW Lima

Matucana 120 MW Lima

EGENOR Canon del Pato 246 MW Ancash

EGASA Charcani V 136 MW Arequipa

ElectroAndes Yaupi 108 MW Cerro de Pasco

ElectroPuno San Gabán 110 MW Puno

EGESUR Aricota 23.8 MW Tacna

Centrales Térmicas Mas Importantes.

Potencia, Producción y Demanda por Empresa y Central

Central Pot. Instalada Pot. Efectiva Máx. Demanda Departamento

Charcani I 1.76 Mw 1.072 Mw 1.83 Mw Arequipa

Charcani II 0.78 Mw 0.60 Mw 0.58 Mw Arequipa

Charcani III 4.56 Mw 4.10 Mw 4.63 Mw Arequipa

Charcani IV 16.20 Mw 15.60 Mw 15.40 Mw Arequipa

Charcani V 136.8 Mw 135 Mw 144.90 Mw Arequipa

Charcani VI 8.96 Mw 8.80 Mw 9.103 Mw Arequipa

C. T. Chilina 53.40 Mw 52.00 Mw 46.82 Mw Arequipa

C.T. Mollendo 106.5 Mw. 104.80 Mw 99.90 Mw Mollendo

1.4.- Energía Electromagnética y sus diferentes formas de Energía Eléctrica.a) Ley de Corrientes.

La suma de todos los fasores de corriente que confluyen en un nodo siempre esigual a cero, donde las corrientes que llegan al nodo son positivas y las que salen deél son negativas.

I3

I5

I1

I4

I2

54321

0

IIIIIi

i

b) Ley de TensionesLa suma de todos los fasores de tensión alrededor de una malla son siempre igual a cero.

L

V=0

D D D idtCdtdi

L RiV VCVLVR

ImpedanciasSon elementos pasivos de los circuitos eléctricos y están definidos por la relación entre el fasor tensión y el fasor corriente.

Las caídas de tensión alrededor de las impedancias inductivas y capacitivas están dadas por

txIWC

JVC

tIJWLKVL

1

1.4.1.- Potencia en la Resistencia.En un circuito netamente resistivo la corriente y la tensión se encuentran en

fase es decir no existe ningún desfasaje ambas se encuentran y se inician en el eje de las coordenadas es decir en cero.

1.4.1.- Potencia en la Resistencia.En un circuito netamente resistivo la corriente y la tensión se encuentran en fase es decir no existe ningún desfasaje ambas se encuentran y se inician en el eje de las coordenadas es decir en cero.

+

e(t)

-

i(t)

+

VR

-

axSenWttIR

VmaxtI

R

VtI

VmaxSenWtVtRxIV

EmaxSenWtte

R

RR

Im

axSenWt

VmaxSenWtR

tI

VR R

Im

ax

VmaxR

Im

La potencia está definida por:

WtCosaxVmax

P

WtCosaxVmaxP

WtaxSenVmaxP

axSenWtxVmaxSenWtP

txItVP

212

Im

2

2

2

1Im

Im

Im

2

Denominándose a esta ultima expresión potencia instantánea.La energía esta definida por:

W

WtSent

axVmaxW

dtWtCosaxVmaxW

WtdtaxSenVmaxaxSenWtVmaxSenWtW

dttPW

R

t

tR

t

t

t

tR

t

tR

2

2

2

Im

2112

Im

ImIm

2

1

2

1

2

1

2

2

1

Potencia y Energía en la Inductancia

Si:

dtCosWtaxWdi

axSenWttI

Im

Im

Entonces remplazando en la expresión de la caída de tensión alrededor de la inductancia tenemos lo siguiente:

)90(

:

90Im

Im

WtVmaxSenV

donde

WtaxSenWLV

dt

dtaxWCosWtL

dt

diLV

Entonces la potencia en la inductancia viene dada por:

WtSenaxVmax

P

axSenWtaxVmaxCosdWtVxIP

22

Im

ImIm

joulesLI

W

LIdiIdtdt

diLW

VIdtPdtW

L

L

L

......2

2

POTENCIA Y ENERGÍA EN LA CAPACITANCIA

+e(t)-

I(t)

C Vc

Tomando como referencia la corriente

1.....................................................dt

dvCtI

axCosWtVmaxSenWtP

WtWCVmaxSeni

WCax

Vmax

tWCVmaxCosWCoWtax

axCosWttWCVmaxCosWdt

WdtCVmaxCosWti

enluegoWdtVmaxCosWtdv

VmaxSenWtV

Im

90

1

Im

Im

Im

1........

WtSenaxVmax

P

WtaxSenWtCosVmaxP

22

Im

Im

La energía estará dada por:

WCVmaxax

WCVmax

ademas

W

axVmax

W

axVmaxWc

WtCosaxVmax

Wc

WtdtSenaxVmax

PdtWc

t

t

Im

1

:

2

Im2

4

Im

22

Im

22

Im

4/

0

4/

0

2

`1

Luego reemplazando en (1) tenemos

joulesCV

WC

CVWCVmaxVmaxWc

....2

22

2

1.5.-CONCEPTOS DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA

1.5.1 CIRCUITO EQUIVALENTE ESTRELLA

A

N

B

C

Ia

Ib

Ic

La potencia esta dada por:

SenIJVCosIVS

VanISy

SyS

LFLFT

a

*

3

La potencia activa esta dada por la siguiente relación:

CosIVP

CosIV

PVFILCosP

LL

LL

3

3

3

Similarmente podemos encontrar el valor de la potencia reactiva la misma que esta definida por:

SenWtIVQ LL3

La potencia consumida por una carga esta dada por lo relación siguiente:

1.5.2.-CIRCUITO EQUIVALENTE EN TRIANGULO

Ia

Ib

Ic

+

Vab

-

+

Vbc

-

La potencia estará dada por:

ababIVS **D

Teniendo en cuenta que Vab = VL0 Iab = IF

FL

FLFL

IIPero

SenIJVCosIVS

3..

D

Entonces

SenIVJCosIVS

SenVLIL

JCosVLIL

SS

LLLL 333

3

3

3

333

D

DD

1.6.- METODO DE LOS VALORES UNITARIOS

Nos representa a escala los valores reales de energía con la supresión de las etapas de transformación de potencia.

ECUACION BASICA

Los valores base se dan siempre en la misma unidad que los valores reales, si nos atenemos a la aplicación de la fórmula de los valores unitarios, los mismos que serán a dimensionales. Así, mismo un valor base es siempre un número real mientras que el valor real puede ser un número complejo en la forma polar, el ángulo del valor unitario producido por la relación de los valores unitarios viene a ser el mismo que su correspondiente al valor real.

Actualmente la generación, transmisión, y distribución de la energía eléctrica es efectuada mediante líneas trifasicas cuasi-balanceadas, razón por la cual los estudios de estas redes son efectuada sobre una sola fase (Monofasica) equivalente. La práctica ha demostrado que a representación de estos sistemas en valores unitarios trae muchas ventajas en los análisis, de los cuales podemos mencionar

aunidadmismlaenbasevalor

unidadcualquierenrealvalorunidadporvalor

........

..........

Las operaciones con valores unitarios siempre viene a ser otro valor unitario.Nos da la facilidad ara el chequeo de datos lo que facilita la creación de métodos computacionales (programación).Las operaciones algebraicas realizadas con cantidades unitarias nos dan como resultado otro valor unitario.Las máquinas estáticas de transformación se representan como elementos en serie sin la relación de transformación primaria secundaria es decir como una simple impedancia. La transformación de las tensiones al orden de 1 p.u.

Las operaciones con valores unitarios siempre viene a ser otro valor unitario.

Nos da la facilidad ara el chequeo de datos lo que facilita la creación de métodos computacionales (programación).

Las operaciones algebraicas realizadas con cantidades unitarias nos dan como resultado otro valor unitario.

Las máquinas estáticas de transformación se representan como elementos en serie sin la relación de transformación primaria secundaria es decir como una simple impedancia.

La transformación de las tensiones al orden de 1 p.u.

VALORES P.U. EN LÍNEAS, GENERADORES, MOTORES Y TRANSFORMADORES

Is

+Vs-

+Vr-

IrZ

Donde:Vs = Tenion en el lado de envio.VR = Tension de recepcionIs = Corriente en el lado de envío.IR = Corriente en el lado de recepción.Ns = Potencia de envíoNR = Potencia de recepción. V=Caída de tensión.

a) V= IZ b) N= VI*

Valores base:

Vb= Tensión base elegida

Ib = Corriente base elegida

Nb = Potencia base elegida

Zb = Impedancia base elegida

)1.(.............. VVuVpVb

V

Vb

VuVp

)2........(.... IIuIpIb

I

Ib

IuIp

)3.........(.... ZZuZpZb

Z

Zb

ZuZp

)4(.............. NNuNpNb

N

Nb

NuNp

8...........................*

....

7..................................

6.........................I*Vp.u.Np.u.

.5...........................Ip.u.Zp.u.Vp.u.

.

*

p.u.

Ib

IX

uVp

VuNp

Zb

ZX

Ib

IuVp

Solamente son necesarios dos valores es decir:

Vb= IbVb.................................. (9)

Nb = VbIb................................ (10)

)11........(Vb

NbIb

)12.........(Ib

VbZb

Nb

Vb

Vb

Nb

VbZb

2

2

2

2

....

......

..

..

..

..

..

......

..).(.....

nuevabaseV

albaseoriginV

originalbaseN

nuevabseNuZpnuevauZp

nuevabaseN

nuevabaseV

originalbaseN

originalbaseV

nuevaZbase

originalZbasexuZpnuevauZp

originalbaseZorigialuZpnuevabaseZnuevouZpZ

CAMBIO DE BASES DE UN SISTEMA A OTRO

Ejemplos:Se tiene el sistema eléctrico siguiente: calcular las bases del sistema así mismo su diagrama unifilar unitario di los datos son los siguientes:Generador 40 MVA 20 Kv, Vcc 31.5 %Transformador 1 40 MVA 133/7.2 Kv Vcc 10%Transformador 2 40 MVA 127/36 Kv Vcc 11.5%Carga NE 3`+J15 MVA tension en VE = 35 Kv. Bases del sistema100 MVA y 127 Kv en la linea

G A T1 C LT D T2 E

Ne

Primero zonificaremos el sistema de acuerdo a los niveles de tensión para su resolución

NeZona I

Zona IIZona III

7.2 133 127 36

Luego calcularemos las bases nuevas del sistema para según eso hallar las impedancias referidas a sus respectivas bases.

Existen 3 zonas luego llenaremos el siguiente cuadro de bases nuevas.

Base zona I II III

Sb ( MVA) 100 100 100

Vb (kv) 127 7.2 36

Ib (amperios 454.60 8018.75 1603.75

Zb (ohm) 161.29 0.5184 12.96

Calculo de las corrientes: sabemos que la corriente esta definida por:

Aplicando la relacion siguiente:

Luego viene el cambio de bases delos elementos del sistema

Del generador

Transformador 1

Transformador 2

De la LT

De la carga

Por consiguiente el diagrama unifilar sera`

Sea el circuito mostrado en la fig. calcular su sistema unitario equivalente si sus datos son:

MAQUINA MVA X% kV

G1 20 15 13.8

G2 10 15 13.8

G3 30 15 11.5

T1 25 10 13.8/115

T2 12 10 13.8/115

T3 30 10 11.5/115

Tomar como bases 30 MVA y13.8 referidos al lado del generador1

G1 G2G3

T1T3

T2

J100J80

Primero sectorizaremos de acuerdo al nivel de los transformadores

G1

13.8115

11.5115

G2

G3

11.5115

I

II

III

IV

Luego los valores bases serán:

I II III IV

Sb ( MVA) 30 30 30 30

Vb (Kv.) 13.8 115 11.5 13.8

Ib (Amp) 2,173.91 260.86 2,608.69 2,173.91

Zb (ohm) 6.348 490.83 4.408 6.348

Ejecutando el cambio de bases tenemos lo siguientes valores:

Para las líneas de transmisión:

El diagrama unitario de impedancias quedara de la siguiente manera:

XG1

XT1

XLT1

XG3

XT3XLT2

XG2

XT2

Determinar los valores bases de todo el sistema mostrado en la fig.

GE T3 GF

IC

60/10

10/50

1260

12/04

0460

III

III

IV

V

VI

Calculando los valores bases para las seis zonas tenemos:

I II III IV V VI

Sb 100 100 100 100 100 100

Vb 0.5 15 75 12.5 75 15

Ib 115.46 3.849 769.80 4.618 769.80 3.849

Zb 0.0025 2.25 56.25 1.5625 56.25 2.25

Dibujar el diagrama de impedancias para el sep mostrado en la fig y cuyos datos se dan a continuación:

Elemento MVA Kv X

G1 250 25 0.25

G2 100 13.2 0.18

G3 150 13.8 0.20

T1 250 25/138 0.12

T2 100 13.2/138 0.10

T3 150 13.8/138 0.05

LT23 150 138 0.15

LT25 150 138 0.17

LT35 130 138 0.12

LT56 120 138 0.10

LT63 100 138 0.14

Bases generales del sistema250 MVA, 25 Kv. 13.2 Kv. 13.8 Kv. Y 138 Kv. De acuerdo a sus barras.

(1)

(2)

(4)

(3)

(5)

(6)

(7)

G1 G2

T1 T2

T3

G3

Para el cambio de bases en cuanto al nivel de tensión no es necesario efectuarlo porque están referidos a su propia base de tensión por lo tanto ya no efectuaremos dicho calculo

(1)

(2)

(4)

(3)

(5)

(6)

(7)

G1 G2

T1 T2

T3

G3

Generador G1

Generador G2

Generador G3

Transformador 1 =

Transformador 2 =

Transformador 3 =

Líneas de transmisión

G3

XG1 XG2

XT1 XT2

XLT23

XLT25 XLT35

XLT36

XT3

XG3

G3

XLT56

Dado el sistema eléctrico de potencia (SEP) calcular el sistema unitario completo si las bases son de Sb = 100 MVA y 138 Kv.G1: 13,2 Kv. 20 MVA X= 15% G1: 13,6 Kv. 25 MVA X = 18% M.S : 13,8 Kv. 30 MVA X = 20%Transformadores Y – Y T1 =T2 =13.8/138 Kv. 20 MVA X=10%

T3 = 13.8/66 Kv. 30 MVA X= 12%T6 = 12.55 / 115 Kv. 30 MVA X = 5%

Transformadores D - Y T4 = 10 /60 Kv. 10 MVA X= 15%T5 = 10 /115 Kv. 20 MVA X= 18%

Líneas de transmisión C / U X1 = 100

Primeramente zonificaremos el diagrama en función de las tensiones dadas por los transformadores

T1 T2

T3

T4

T5

T6

T1 T2

T3

T4

T5

T6

Zona I

L1

L2

L3

Zona II

Zona III

Zona IV

Zona V

Zona VI

Calculo de bases del sistema: Después de haber zonificado teniendo en cuenta la relación de los transformadores se llego a la conclusión de obtener un total de 6 zonas Para las cuales calcularemos los parámetros com0o son las tensiones corrientes e impedancias bases que gobernaran al sistema eléctrico de potencia.

I II III IV V VI

Sb(MVA) 100 100 100 100 100 100

Vb (Kv) 138 13.8 66 11 126.5 13.8

Ib(amp) 418.369 4183.69 874.77 5248.63 456.43 4183.69

Zb () 190.44 1.9044 43.56 1.21 160.022 1.9044

El calculo de las tensiones bases se efectuaron en base a una original que nos dan como dato es decir V1= 138 Kv.

Dado el diagrama Del SEP mostrado en la fig. Calcular el diagrama unitario de impedancias si los datos son:

ELEMENTO MVA KV X

G1 250 25 0.2

G2 150 13.8 0.4

G3 100 6.9 0.3

T1 250 25/138 0.05

T2 150 13.8/138 0.04

T3 100 6.9/138 0.06

LT23 200 138 0.1

LT34 100 138 0.3

LT36 120 138 0.2

LT46 80 138 0.1

(1)

(2)

(5)

(4)(3)

(6)

(7)

Primeramente calcularemos los valores bases para ello tendremos que zonificar en base a las tensiones dadas por los transformadores

(3)25138

13.8138

1386.9

Zona (I)

Zona (IV)

Zona (II)

Zona (III)

Para el cambio de base aplicaremos la siguiente relación:

Para G1:

Para G2:

Para G3:

Para el transformador : 1

Para el transformador T2:

Para el transformador T3:

Para las líneas de transmisión

LT23

LT34

LT36

LT46

Luego se han calculado las corrientes con la formula así como la impedancia base con Para cada columna

Cambiando de base a los elementos del sistema utilizaremos la formula siguiente:

XG1 0.6862 XG2 0.69982

XMS 0.4235

XT1 XLT XT2

XT3

XLT2

XT4XT5

XLT3

XT6

Una línea trifásica tiene tres condensadores cada uno con una reactancia de 300 ohmiosconectados e3n delta a través de las líneas a la fuente. Tres cond3ensadores iguales estánconectados en la misma forma entre las líneas en la carga . Entre estos dos juegos decondensadores. Si una carga trifásica balanceada cada línea tiene una reactancia inductivaen serie de 10 . Si una carga trifásica balanceada de 100 KVA con un factor de potenciaen retraso de 0.6 requiere de 2,300 voltios entre líneas. ¿Qué voltaje entre líneas serequerirá en la fuente?

-J300 -J300

-J300

-J300

-J300

-J300

J10

J10

J10

Carga100 KVA

VL = 2300 volt

f.d.p.=retardo

A

B

C

Hallaremos primero su circuito monofásico equivalente:

23003

0-J100

-J100

I4

I1

I2 IC

I3

j10

Carga / fase

+25.1-53.13 = 16.254-24.03

16.254-24.03 + = 15.3227.84

Un transformador de potencia puede ser representado por una red equivalenteconstituida simplemente por una impedancia serie. Dos transformadores trabajando enparalelo; desde este concepto. Calcular las perdidas totales en los transformadores si seconoce que la corriente total es de 0.82 p.u. teniendo como bases 100 MVA y 220 Kv. Lasimpedancia de los transformadores son en base de 220 Kv. Y 450 MVA. p.u. en bases de220 Kv. Y 75 MVA.

I2 Z2

I1 Z1

I=0.82 p.u

ZL

2

2

....

bb

bb

upup

VS

VSZZ

como las tensiones bases son iguales la expresión se

simplifica de la manera siguiente

manera siguiente:

b

b

upup

S

SZZ

....

con lo cual podemos efectuar el cambio de bases del sistema de los valores p.u. para los transformadores.

16.87206.0206.00102.050

100103.00051.01... JJZ up

81.85115.01148.00084.075

1000861.00063.02.. JJZ up

Se tiene que por la conexión en paralelo las caídas de tensión deben de ser iguales con lo que podemos afirmar que:

eqIZZIZIV D 2211

luego por divisor de corriente hallaremos las corrientes I1 e I2

5265.01148.0206.0

206.082.0

293.01148.0206.0

1148.082.0

2

1

xI

xI

Luego las pérdidas en todos los elementos vienen dadas por:

P1perdidas= R1I2

1= (0.0102)(0.293=)2=8.78x10-4 p.u.

Dado el SEP mostrado en la fig cuyos datos se dan a continuacionhallar el circuito p.u.Hallar la tension en la barra A.G1 : 3 13.8 Kv. 80 MVA Vcc= 10% T1 : 3 230/13.8 Kv. Vcc= 10% T2 : 3 220/60 Kv. 60 MVA Vcc= 12% T3 : 3 60/10 Kv. 25 MVA Vcc= 9%LT1: 215 Km. 0.075+J0.495 LT2: 39 Km. 0.505+J0.750Calcular el circuito equivalente en p.u. Y la tensión en la barra A

A B C D E FT1 L1 T2 L2 T3

Zonificamos para hallar los valores bases

A B C D E FT1 L1 T2 L2 T3

25 +J20 MVA

III

III

IV

10.5 Kv.

Calculo de bases

I II III IV

Sb ( MVA) 100 100 100 100

Vb( Kv.) 220 13.2 60 10

Ib (amp) 262.43 34373.865 962.250 5,773.502

Zb (Ω) 484 1.7424 36 1

Para calcular la corriente base aplicamos la formula siguiente en cada columna

De la misma forma obtenemos el valor de la impedancia base con la relación siguiente

Para las líneas de transmisión:

MAQUINA SINCRONALa maquina sincrona que opera como generador de corriente alterna es impulsada por la turbina y la energía mecánica se convierte en energía eléctrica, que es la principal fuente de generación eléctrica en el mundo.La maquina sincrona posee dos partes fundamentales que son el rotor y el estator. La parte fija llamada estator o armadura tiene unas ranuras longitudinales en las cuales se alojan las bobinas del devanado de armadura. Estos devanados llevan la corriente suministrada a la carga eléctrica por el generador o la corriente recibida por el rotor desde la fuente de corriente continua.El rotor es la parte móvil de la maquina que se monta sobre un eje y rota dentro del estator hueco, su devanado también es denominado devanado de campo, se alimenta de corriente continua o directa.Están involucrados 6 circuitos; tres en el estator y tres en el rotor y existe un movimiento relativo entre el rotor y el estator.La presencia de material ferromagnetico introducirá efectos de saturación.Cuando se considera la aceleración del rotor esta relacionada con la dinámica de la turbinaCuando varia el voltaje terminal se debe de considerar la respuesta del sistema de regulación de voltaje.Tenemos dos tipos de maquinas sìncronas: las de polos lisos y las de polos salientes que son especiales para la generación de energía eléctrica en las centrales hidráulicas.

MAQUINA SINCRONA DE POLOS LISOS

La Maquina de polos SalientesEn este ultimo tipo de maquinas existen los devanados amortiguantes que son barras de cobre cortocircuitadas cuyo propósito es el de reducir las oscilaciones mecánicas del rotor hasta la velocidad sincrónica que es determinada por el numero de polos de la maquina y la frecuencia del sistema al cual esta conectado.

CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MAQUINA SINCRONA

De rotor Cilíndrico

Z = Ra +JXs

t = 0

E

+

-

+

Vt

-

JXsEVt

XsRaSi

JXsIaRaIaEVt

..

Donde Ra << Xs

E: Tensión inducida

Xs: Reactancia sincrona

Vt: Tensión Útil

Ia: Corriente de armadura

E: Tensión inducida

Xs: Reactancia sincrona

Vt: Tensión Útil

Ia: Corriente de armadura

b) De polos salientes

Eje Directo

El eje de cuadratura siempre esta desfasado en 90 El eje directo siempre esta en forma lineal.

Estableceremos el diagrama de tensiones en el circuito de la maquina

sincrónica

Eje de Cuadratura

JxqIq

Id Ia RaIa JXdId

Vt

EIq E = Vt + IaRa + JXdId + JXqIq

E = Vt + IaRa + JXsIa

Xq < Xd

Entonces ocurre mayor inductancia en el entre hierro en dirección del eje transversal ; Xq esta comprendido entre 0.6 y 0.7 Xd

CARACTERÍSTICAS DE POTENCIA ANGULO EN RÉGIMEN PERMANENTE

ZeM.S.

Xd, Xq

Se denomina barra infinita a aquella que tiene la tensión invariable oconstante i de igual manera permanecerá constante la frecuencia.. La máximacarga instantánea que puede soportar una máquina sincrónica estadeterminada por el par resistente máximo que `puede entregar sin perder elsincronismo al ir aumentando gradual mente cargas crecientes.

Potencia Compleja Generada

1......................................... JVISenVICosSg

QgPgSg

a) Polos Salientes

JxqIq

Id Ia Vt JXdId

EIq

JXqIqVtSen

VICosJXdIdE

IaSenId

IaCosIq

………………..1

………………..2

CosCosCosSenSen

SenSenCosCosCos

CosCos

4.............................

Multiplicando por la Ia a los valores de las ecuaciones (4)

......................................(5)

(3) en (5): reemplazando por su equivalente es decir:Iq = IaCos e Id = IaSen

......................................(6)

SenIaCosCosIaSenIaSen

SenIaSenCosIaCosIaCos

IqSenIdCosIaSen

IdSenIqCosIaCos

(6) en (2) y (1) :

Si V= Vt I = Ia

IqSenIdCosVtJIdSenIqCosVtJQP

IaSenVtJIaCosVtJQP

GG

GG

(3) en (5): reemplazando por su equivalente es decir:Iq = IaCose Id = IaSen

IqSenIdCosIaSen

IdSenIqCosIaCos

(6) en (2) y (1) :

IqSenIdCosVtJIdSenIqCosVtJQP

IaSenVtJIaCosVtJQP

GG

GG

Si V= Vt I = Ia

FaseMVARXq

Sen

Xd

CosV

Xd

CosVtEQ

faseMWSenXdXq

V

Xq

SenVtEP

Xd

CosSenV

Xd

SenVtE

Xq

CosSenVP

xSenXd

VtCosE

Xq

VtSenVtP

tG

tG

ttG

G

/................................22

/..............................211

2

2

2

22

El máximo tiempo que una maquina se puede sobrecargar o entregarla potencia máxima en periodos determinados por el par máximo y que se puede aplicar sin perder su velocidad sincrona el sincronismo.

VtE+

-

Z=Ra + JXs

+-

Ia

Cuando el factor de potencia esta en atraso el diagrama vectorial de tensiones es el siguiente:

Ia

E

JXsIa

RaIa

Vt

b - Para Maquinas de Polos Lisos

Para un Factor de Potencia Unitario

E

JXsIa

Ia IaRa Vt

Para un factor de potencia en adelanto

E Vt

IaRa

JXsIa

E

Ia

La potencia por fase en la carga es:PF = Vt Ia CosIa = E – Vt / Z

Considerando el desfasaje tenemos

Z

Vt

Z

EI

Z

VtEI

0

Donde : E , Vt son voltajes inducido y Util . = Angulo entre E y Vt

Z = Magnitud de la impedancia.

= Angulo de la impedancia en formas polar

La potencia será

Z

VSen

Z

EVtP

CosZ

VtCos

Z

EVtP

t

2

Para = 90 - y = Tg-1 (R/Z )Potencia en la fuente ( maquina sincrónica ) esta dada por la relación siguiente:

X

EVtPmax

maximaespotencialasiSenX

EVtP

Z

ERSen

Z

EVtP

......90.............

Para un generador alimentando una carga con factor de potencia en retardo, si R = 0 no existe caída de tensión.

Ia

Vt

JXsIa

E

2

222

222

cos2

2

s

ta

t

X

VtEEVI

VtECosEVIaXs

La corriente máxima sucede cuando =90ª

FaseMVARXs

VCos

Xs

VtEQ

X

EVI

tG

S

tamax

/...........2

2

222

EFICIENCIA DEL GENERADORSe computa entre la potencia de salida y la potencia de entrada, considerando las perdidas.

entradaPot

Perd

PfPs

Ps

...1

La potencia del rotor es mecánica , mientras la potencia del estator es eléctrica por lo que :Ps = 3 E fase I fase Cos

Se tiene un generador síncrono trifásico conectado en “Y” de 40KVA, 230 voltios tiene una reactancia de 0.8 / fase y Ra despreciable. Calcular la regulación de tensión a ‘plena carga si: a) el f.d.p. es de 0.85 b) al 855 de plena carga y f.d.p. es unitario. c) Al 45 % de plena carga si el f.d.p. es de 0.85

Cal culo de la corriente:

Por consiguiente trabaja como motor consume energía no produce ( su grafico de tensiones atraz)

Ia

VtIaRa

(JXs)Ia

E

85% de plena carga y f.d.p. unidad

Ra(Ia) Vt

JXsIa

E

Trabaja como generador

45% de plena carga y f.d.p. =0.85

Un generador trifasico de 5,000 KVA, 4,160 voltios conectado en “Y” 0pera a plena carga y f.d.p. de 0.8 La resistencia efectiva entre los terminales de armadura es de 0.15. El devanado de campo (rotor) toma 75 amperios a 125 voltios , las perdidas por fricción y ventilación son de 20 Kw y las perdidas en el núcleo son de 40 Kw. Calcular la eficiencia del generador a plena carga.

Perdidas por efecto Joule

Potencia de entrada en el rotor

Potencia de entrada = 5,000 x 0.8=4,000Kw

Se tiene un generador trifásico de 10 Mw, 13.8 Kv. Entre terminales conectado en “Y”tiene una resistencia de 0.8 /fase y una reactancia sincrona de 7 /fase. Silaexcitación es tal que el voltaje de circuito abierto es de 15 Kv. Entre fases, calcular a) lapotencia máxima de salida b) la corriente y el f.d.p. a máxima potencia de salida.

Ia

Vt

RaIa

JXsIa

E

un generador síncrono trifásico de rotor cilíndrico de 100 KVA 250 voltios tiene una impedancia sincrona de Zs = Ra+JXs= 0.06+J0.25 0hm/fase. Determinar: a) La regulación de tensión a pena carga con un f. d. p unitario. b) Factor de potencia 0.8 inductivo.

ampVt

SIa ..230

250*3

10*100

3

3

amperiosIa ..0230

0250Vt

ZsIaVtE 3/

0230)25.006.0(3

250E

20168E

%66.16100*

144

144168100

x

Vt

VtEr

%66.16r

b.- Regulación a Cos =0.866

voltVt ,,144

30230 Ia

)30230(*25.006.00144 EZsIaVtE

13066.193 E

%55.34100*144

14466.193

r

Se tiene un generador 3 de 25 KVA conectado en Y que opera 60 Hz, Con polos salientes y 220 voltios entre fases. El generador alimenta a una carga 3 a 0.8 de f.d.p. retrasado. Las constantes de la maquina son: Ra=0.04, Xd=2Xq=4 Se desea calcular la regulación de tensión a plena carga.

.1273

voltV

Vt

.6.65220*3

000,25ampIa

86.368.0cos 1

del gráfico tenemos:

Id

Ia

Iq

Vt

E

IqXq

IdXd

IaSenId

IaCosIq

IaXsCosIqXsqSenVt

6.0*2*66.65*17

)8.0*2*66.65(

IaSenVt

IaXsCosTan

04.275102.0 Tan

91.5890.3603.276.65 SenId

702.2354*025.58 IdXs

702.23503.27127 CosIdXsdVtCosE

voltE 83.346

%174100*127

1278.348

r

A B C D E F

Dado El SEP Mostrado En La fig. hallar la tensión n la barra “a” así como su diagrama unifilar unitario

A B C D E F

T1 LT1 T2 LT2 T3 10.5 Kv.

25 +J20 MVA

datos

G= 80 MVA 13.8 Kv. Vcc= 10% T1 = 80MVA 230/13.8 10%T2= 60 MVA 220/60 12% T3= 25 MVA 60/10 Kv. 9%LT1= 0.075+J0.495 /Km. 215 Km. LT2= 0.505+J0.75 /Km. L= 39 Km.Bases del sistema 100 MVA y 220 Kv. En LT1.

II I III IV

Calculo de impedancias de la línea:

Bases del sistema

Cambio de bases:

Líneas de transmisión:

Calculo de la potencia aparente:

Calculo de la corriente I

Calculo de la impedancia AF

Tomando como referencia el punto “F”

En valores reales:

Determinar las los valores bases del Sep mostrado en la fig cuyos datos se dan a continuación:T1: 60/10 Kv. T2: 60/12 Kv. T3: 12/04 Kv. T4: 60/04 Kv. T5: 50/10 10 ; Voltaje nominal DE LA BARRA “A”=10kv.(ZONA I) Asumir Vbase 0.5 Kv. En L2 Sb= 100MVA.

T2

T3

T1

L2

T4

T5L3L1

G1

L2

L3L1

G1

60 10

1260

12 04

0460

10 50

V I

II

III

iV

Para el SEP mostrado en la fig cuyos datos se dan a continuación hallar NA=40+J30 MVA VA= 12 Kv. Bases del sistema Vb= 60 Kv. Nb= 100 MVA

G A T1 B T2 C T3 D LT E NL

T1: 110/10 Kv. 150 MVA Vcc= 15% T3: 220/60 Kv. 50 MVA VCc= 5 %T2: 220/110 Kv. 100 MVA Vcc= 10% LT = 3.6 NA= 40+J30 VA= 12 Kv.

NA T1 B T2 C T3 D LT E

10 110 110 220 220 60IV III II I

I II III IV

Sb (MVA) 100 100 100 100

Vb (kv.) 60 220 110 10

Ib ( amp) 962.25 262.43 524.86 5,773.50

Zb (ohm) 36 484 121 1

Bases del sistema

TRANSFORMADORESLos transformadores son maquinas eléctricas estáticas que sirven para modificar los niveles de tensión y por tanto el nivel de transmisión de potencia, constituyen una parte fundamental de los SEP debido a que la potencia viene ser el producto de la tensión y la corriente . Esta maquina puede ser fabricada para que sea capaz para transformar los niveles de tensión y corrienteA los niveles deseados para el trabajo es decir transmisión y utilización .Los transformadores son maquinas eléctricas que sirven de enlace entre las diferentes partes del SEP estos pueden ser elevadores o reductores dependen de la ubicación dentro del SEP tienen alta eficiencia el mismo que puede llegar al 95 % además son confiables

3.1.- TRANSFOPRMADORES MONOFÁSICOS IDEALESEn estos tipos de transformadores se considera que el flujo magnético esproporcional a la tensión aplicada, en donde no se encuentran pérdidas en elnúcleo magnético, en donde el material magnético no se satura, todo el flujo cortaambas bobinas y los devanados tienen resistencia casi nula.

CAPITULO III

TRANSFORMADORES.

Is IR

Vs

+

-

VR

+

-

Es ER

K:1

+

-

+

-

En los transformadores se puede referir las la impedancia del primario al secundario o viceversa.

Al referir las impedancias al primario se utiliza el valor del coeficiente de acoplamiento K De (1)

……………………………(1)

…………………………..(2)

………………….(3)

………………..(4)

+Vs-

+Vr-

Is Ir

Al referir las impedancias al primario se utiliza el valor del coeficiente de acoplamiento K

De (1)

)5.........(....................)(

)3..(*..*..

**............)(

*....

1

)2..(

*)....()(

)(

2

2

2

IsZsZrKKVrVs

ZsIsZrIsKKVrVs

enluego

ZrIsKKVrZrKIsKKVrEs

enluego

KIsIrKIr

Is

de

ZrIrKKVrZrIrVrKEs

ZrIrVrKEs

KErEs

………….**

Es Er Vr+ + + +

- - - -

Zs K2Zr

Vs

Is

IsZts

Vs Es Er Vr

+ + + +

IR

- - - -

También se puede referir el lado primario al lado secundario De (5) hallamos Vr

…………………………………(5)

TENSIÓN DE CORTO CIRCUITO

Las características de la impedancia de los transformadores se determinan por pruebashechas en los laboratorios, para ello es necesario corto circuitar el lado de bajaalimentándolo por el lado de alta esto se hace por comodidad de la impedancia totalreferidas al lado de envío con tensiones que oscilan en entre los valores del 2 al 12 % de latensión nominal hasta que circule por el devanado la corriente nominal es decir Ins

V

Donde - Icc corriente de corto circuito.- Vcc es la tensión de corto circuito- Pcc Potencia consumida en el cortocircuito- Nn es la potencia nominal del transformador- Vns Tensión nominal del primario- Ins Corriente nominal del primario- Rt resistencia total equivalente referido al primario

Para el circuito equivalente:

)2......(....................

)1...(.....................

InsIcc

Vns

NnIns

)4(..............................

)3....(..............................

22

TnsTcc RIRIPcc

Ins

Vcc

Icc

VccZcc

Para el circuito equivalente

Elección de bases

2

2 )5.........(....................

NSLTTB

BBSBB

BS

IJXRN

InsZIZNnN

AsumidaVnV

)7.......(........................................

)6.........(........................................

In

Vn

I

VZ

InV

NI

BS

BSBS

BS

BBS

Sistema Trifasico

Las ondas de tensión generadas por las centrales eléctricas son sinusoidales de 60 Hz.. Estas ondas producen corrientes también sinusoidales , en la red eléctrica, con la única diferencia de que de acuerdo a la carga estas pueden estar en fase, adelantadas o atrasadas respecto de la tensión. Ambas ondas sinusoidales por mayor comodidad se representan con un desfase de 120 entre si los cuales pueden ser de dos secuencias abc y cba

Secuencia abc

Va

Vc

Vb

b

Vbc

Vca

120

240

0

1201

VcVc

VbVb

VaVa

a

VcVbVa

2703

1503

303

VaVcVbVbc

VaVaVcVca

VaVab

VbVaVabVbVaVa

Ojo delobservador

Secuencia cba

240

120

0

1201

VcVc

VbVb

VaVa

a

VcVbVa

2703

1503

303

VaVcVbVbc

VaVaVcVca

VaVab

VbVaVabVbVaVa

VaVc

Vb

c

Vca

Vbc

a

b

30

b) Todo circuito trifasico balanceado puede representarse por su monofasico equivalente ytodo circuito monofasico puede transformarse en valores P.U. Mediante la aplicacióntotal de los criterios señalados en valores P.U. De los sistemas monofasicos. De esto sededuce que procedimiento a seguir para transformar un circuito trifasico a P.U. Seriaprimero hallar su monofasico equivalente y después de elegir sus bases monofasicasequivalentes para transformar el equivalente monofasico a P.U.

Relación en Modelo entre valores Trifasicos y Monofasicos

Sistema Trifasico Sistema Monofasico Circuito P.U.

a

b

c

ia

ib

icVbc

Vab

Vca

I

V1 =V3/ 3 Vp.u.

Para transformar las características a valor p.u.

13

13

133

133

ZZ

II

VV

VN

erminadoZb

erminadoIb

elegidoVb

elegidoNb

det.......1

det.......1

.......1

......1

3

33

33

333

33

33

3

1

113

33

3

333

33

33

33

3

3

3

3

33

3

3

33

3

1

113

2

NB

VBZB

NB

VBVB

VB

NB

VB

IB

VBZBZb

VB

NB

VB

VB

VB

NBVBNB

VB

NB

VB

NB

Vb

NBIbIb

TRANSFORM,ADORES DE TRES DEVANADOS

Estos tipos de transformadores son utilizados para interconectar tres tensiones distintas. Son los llamados transformadores multicircuitos que son los más utilizados en los SEP. Los tres devanados son denominados como primario secundario y terciario, los mismos que se encuentran acoplados magnéticamente, en el caso general pueden ser de diferentes potencias.La interconexión de sus devanados son como sigue:

H L

T

H L

T

Z3

Donde :ZHL impedancia de corto circuito entre H y L estando L abiertoZLT Impedancia de corto circuito entre L y T estando H abiertoZHT Impedancia de corto circuito entre H y T estando H abierto

32

31

21

ZZZ

ZZZ

ZZZ

LT

HT

HL

HLHTLT

HTLTHL

LTHTHL

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

2

1

2

1

2

1

3

2

1

PRINCIPALES CONEXIONES DE LOS TRANSFORMADORES

Las principales conexiones de los transformadores son : Yy, Dd, Yd, DyLa conexión Yy es raramente usada debido a que las terceras armónicas de la corriente de excitación pueden ocasionar interferencias de comunicación.La conexión Dd es usada en lugares donde la tensión no es elevada y no se necesita puesta a tierra.La conexión Yd es empleada en lugares cuando es necesario reducir el nivel de tensión a nivel de distribución primaria y en otros casos usados como elevadores de tensión en los extremos de la central eléctricaLa conexión Dy se emplea cuando se desea una conexión en baja tensión al neutro.

TRANSFORMADORES EN FASE DE TOMAS VARIABLES.

La variación de las corrientes a través de los electroductos debido a la variación del diagrama de carga, trae como consecuencia variaciones de la tensión en todo el sistema. Una forma de controlar el nivel de tensión de operación y servicio es el de mantener el nivel de tensión en valores prefijados denominados consigna, es mediante el uso de transformadores de relación variable.

Existen 2 tipos de transformadores variables en carga. Todo sistema eléctrico usa ambos tipos debido a son usados con diferentes fines.

A.TRANSFORMADORES VARIABLES EN VACÍOEstos transformadores son empleados para reducir la tensión de transmisión ( 380.220.138,.......) Kv. A niveles de subtransmisión ( 60,33,30,22.9 Kv.) El numero de taps es generalmente de 5, los mismos que pueden manejarse desde el exterior mediante conmutadores variables previstos en los transformadores.

B. TRANSFORMADORES VARIABLES BAJO CARGAEstos transformadores son empleados como reguladores de tensión de servicio a nivel de distribución ( 20,10 Kv.) o sea fijada en una tensión consigna de servicio el transformador trata de mantenerlo mediante cambio continuo de toma de gradines. El numero de tomas en este tipo de transformadores puede alcanzar hasta 26 posiciones pudiendo en algunos casos diseñarse con un numero mayor de acuerdo a las necesidades.Existen además transformadores que poseen ambos dispositivos a la vez es decir taps y gradines, podemos optar esquemáticamente de la manera siguiente:

Existen además transformadores que poseen ambos dispositivos a la vez es decir taps y gradines, podemos optar esquemáticamente de la manera siguiente:

nn

Dn-1 nn

Dns

ns

Es

+

-

+

Vs

-

n

DR-1nm-1

DnR

ER ER

Donde:nS= Numero de tomas del primarionR= Numero de tomas del secundarioDNs = Paso de tensiones entre tomas del primarioDNs = Paso de tensiones entre tomas del secundario.

TRANSFORMADORES TRIFASICOS DE TOMAS VARIABLESSi la tensión en el lado secundario es controlada, la tensión en el lado primario variara dentro de los limites permitidos por las tomas quepueden aparecer.Generalmente para los estudios de los SEP se asume que la impedancia característica obtenida del ensayo con la toma en la posición central es constante para todas las posiciones, entonces las ecuaciones para un transformador ideal son consideradas desde las posiciones ni y nj.

nRnR

nSninS

E

Es

R D

D

'

1

KIR

IS

Entonces las ecuaciones del circuito equivalente serán:

RRRRRR

RRRR

ZKKVZIVKEKEs

ZIVE

IsZsEsVs

2''''

SRSR ZZKIKVVs 2'' ……………………………………(3)

2

''

K

ZSZRIR

K

VSVR ………………………………………………………(4)

TRANSFORMADORES DE RELACION DE TRANSFORMACIONES VARIABLES

Son aquellos en los cuales se mantiene la tensión de uno de los lados del transformador permanece constante la relación de transformación.Para ello se colocan taps, o gradines en un extremo como se muestra a continuación.

(Transformadores regulan tés cambiadores bajo carga)

Constante= Vr

Si deseamos mantener la tensión en el extremo receptor Vr= constante en 22 Kv. colocamos en el extremo transmisor ( Vs)…………………………..y tenemos:Posiciones del Tap o Gradin Vs Vr relación de transformación1 230 22 230/222 225 22 225/223 220 22 220/224 215 22 220/22

a :1 RS

IA

A

Is

Si tomamos c0omo Vas= 230 Kv. Vbr= 22 Kv. Entonces con la relación de transformación que esta definida por a=230/230 = 1 , 225/230 =0.9782 220/230= 0.9565 a=215/230=0.9347 ZT =impedancia en p.u. del transformador además esta impedancia se coloca cuando es tomada con respecto al eje central.

EJEMPLODado el transformador de potencia cuya relación de transformación es (557 x 0.893)/10 Kv.60 MVA, Vcc=5.8% asumiendo como bases el lado de alta 58Kv. Y Sb = 100 MVA se pide calcular las tensiones para las posiciones 1, 3, 9 del gradin o tap : nota: tomar como relacionde transformacion 61.251/10 Kv.

a :1A B

61.251 10 VB=10 Kv.

(1) Determinación de las tensiones basesLado de alta

(2) Efectuando el cambio de bases

(3) luego las tensiones para las posiciones del gradin.

Posición Tensión en Kv. Posición Tensión en Kv.

1 (7) 61.251 8 (0) 55

2 (6) 60.358 9 (-1) 54.107

3 (5) 59.465 10 (-2) 53.214

4 (4) 58.572 11 (-3) 52.321

5 (3) 57.679 12 (-4) 51.428

6 (2) 56.786 º3 (-5) 50.535

7 (1) 55.893 14 (-6) 49.642

(4) Determinación de las relaciones entre taps

Posición a 1 61.251/61.251= 12 60.358/61.251=0.985

posición a posición a

1 1.00 8 0.879

2 0.985 9 0.8833

3 0.9708 10 0.8687

4 0.9562 11 0.8542

5 0.9416 12 0.8396

6 0.9271 13 0.8250

7 0.9125 14 0.8101

5.- Circuito Equivalente

a :1 BA’

IA I’A

A

ZT IB

VB

(3) en (2)

De (1)

Como

(6) en (5)

…

……………………………………(7) siendo

(6) Calculo de las tensiones en las diferentes posiciones del Tap

(6) Calculo de tensen las diferentes posiciones del TAP asumiendo como VB0 por ser de referencia.

PRINCIPALES CONEXIONES DE LOS TRANSFORMADORES DEPOTENCIALos bobinados de los transformadores pueden conectarse dediferente manera en la cual no se tiene ningún cambio encuanto al comportamiento del mismo se utiliza esto con lafinalidad de conectar en paralelo los transformadores.

Para el SEP mostrado en la fig. cuyos datos se dan a continuación hallar el diagramas unifilar unitario.

T1 LT1 T2 LT2 T3

Datos

T1 : 160/80/80 MVA 244/12.5/12.5 Kv. ZHL= 12% en base de 80 MVA ZHT: 12% en base de 80 MVA ZLT: 24% en base de 80 MVAT2: 50/50/50 MVA 210 5 x 2%/63/10.5 Kv. ZHL = 9.61 % en base de 50 MVA ZHT : 10% en base de 30 MVA ZLT : 5% en base de de 30 MVA T3 : 50 MVA 50 4.8%/10 Kv. X = 5% LT1 : J12.5 Ω LT2 = J10 bases del sistema: Sb =100 MVA Vb = 220 Kv. En LT1. Para el calculo de bases tomar los siguientes valores ns/nrT1=244/12.5/12.5 Kv. T2= 231/63/10 Kv. T3= 62/10 Kv.

T1 LT1 T2 LT2 T3I

IIIII IV

12.5

12.5

244

V

231 63

10.5 62./10

I II III IV V

Sb 100 100 100 100 100

Vb 220 11.27 60 9.375 10

Ib 262.43 5,122.89 962.25 6,158.40 5,773.50

Zb 484 1.2709 36 0.8789 1

Ejecutando el cambio de bases a los elementos del sistema

T1:

:

:

Transformador 2 :

:

Transformador T3:

Líneas de transmisión:

Un transformador monofásico cuyos valores nominales son: 7.2 KVA, 1.2/120 voltios tiene un devanado primario de 800 vueltas , Determina : a.- el numero de vueltas del secundario. B) la corriente en los devanados cuando el transformador entrega sus KVA nominales a voltaje nominal.

Entonces:

vueltas o espiras

Del transformador del anterior problema entrega 6 KVA a voltaje nominal y a f.d.p. 0.8en atraso a)determine la impedancia Z2 conectada a través de sus terminalessecundarias b) cual es el valor de esta impedancia referida al lado primario? ( esto esZ’2 obtenido en la parte b),determine la magnitud de la corriente del primariosuministrados por la fuente.

=1.92+J1.44

Un transformador monofásico con valores nominales 1.2Kv./120 v0ltios y 7.2 KVA tiene los siguientes parámetros r1 =0.8 X1=1.2 , r2= 0.01 X2=0.01 determine: a) la resistencia combinada del devanado y la reactancia de dispersión referida al lado primario como se muestra en las fig. b) los valores de los parámetros combinados referidos al lado secundario .c) la regulación de voltaje del transformador cuando entrega 7.5 KVA a una carga que esta a 120 voltios y factor de potencia de 0.8

Para el SEP mostrado en la fig. cuyos datos se dan a continuación hallar el circuito unitarioequivalente. Hallar las tensiones en las barras Va Vc VE Si : Sb= 100 MVA Vb=138 3n L1

T1: S=80 MVA, 13.2/138, Vcc=12%

T2: 40/40/40 MVA 10/60/138 Kv. ZHL= 10% en base de 1389 Kv. Y 40 MVAZHT= 10% en base de 138 Kv. Y 40 MVA. ZLT= 5% en base de 138 Kv. Y 80 MVA.T3: 20/20/10 MVA 138/60/10 Kv. ZHL= 15% en base de 138 Kv. Y 20 MVA.ZHT= 11% en base de 138 Kv. Y 20 MVA. ZLT= 13% en base de 138 Kv. Y 20 MVA.T4: 10 MVA 22.9/138 Kv. Vcc = 8% LT1= J15 LT2= J9 LT= J22

G T1 LT1

T2

LT2 T3 LT3 T4

13.2 138

138 60

10

60 138

10138 22.9

A B

C

DD

E L2

L1

F

G

H

PRINCIPALES CONEXIONES DE LOS TRANSFORMADORES DE POTENCIALos bobinados de los transformadores pueden conectarse dediferente manera en la cual no se tiene ningún cambio encuanto al comportamiento del mismo se utiliza esto con lafinalidad de conectar en paralelo los transformadores.

Conexión Yd1

Tensión de fase = VA(a) = Va(a) 30Tensión de Línea VA(ab) = VA(ab)30

Conexión Yd11

A aeJ30 : 1

A

BC

a

b

c

A

BC

a

b

c

1 : e-J30

Tensión de fase = VA(a) = Va(a) -30Tensión de Línea VA(ab) = VA(ab)-30

A a

Conexión Yd5

a

b

A

BC

c

A aeJ150 : 1



Conexión Yd7A

BC

a

A aeJ210 : 1

CAPITULO IV

CARACTERISTICAS DE LAS LÍNEAS DE TRANSPORTESe refiere a las constantes físicas características de las líneas de transporte por unidad de longitud entre ellas tenemos a:

./...............

./......................................

./..............

./.........................Re

KmaperditanciocaConductaniG

KmFdCapacidadC

KmHriónautoinduccdeeCoeficientL

KmElectricasistenciaR

K

K

K

K

Estos parámetros dependen de la ecuación P= V I CosSe determina por dos ecuaciones fundamentales que llevan a la realización de dos pruebas fundamentales como son: la prueba de tensión que nos lleva a calcular los la impedancia de la línea

LINEAS DE TRANSMISION

JBGYX

I

JXRZX

V

El coeficiente de auto inducción depende de la configuración de la línea ya que esta puede ser de circuito Simple, Dúplex, Triplex, o Cuádruples para los cuales tenemos los siguientes valores de autoinducción:Para líneas simples: el radio del conductor es igual al radio ficticio

./10log6.42

1 4 KmHrxr

DMGLK

Para líneas dúplex el radio ficticio está definido por :

Para líneas dúplex el radio ficticio está definido por :

./.10.

log6.42

1

................

:......

..............

4

1

KmHrxr

DMGL

Ldevalorelcalcularpodemosloconrr

quetenemossconductorelos

distanciaunaporseparadosSiestánRrnr

K

K

n n

D

D

D

D

RSe tiene que

Para líneas Triplex N=3

R

DD/2

D

R/2R/2

D/2

R

D

De la fig. se deduce que:

De donde: por lo que el radio ficticio es::

Con lo que:

Para líneas cuádruples: n=4D

D

R

D

D

D

Para el caso de línea cuádruplex N=4

De donde:

entonces el radio ficticio será:

R R

Entonces la inductancia mutua será dada por la relación siguiente

CAPACIDAD EN LAS LÍNEAS DE TRANSPORTEDe la misma forma este parámetro interviene en las líneas de transmisión de la manera siguiente:Para líneas simples:n = 1

./............................

log

102.24 9

KmFd

r

DMG

xCK

Para líneas dúplex: n=2

./............................

.log

102.24 9

KmFd

r

DMG

xCK

D

Para líneas Triplex: n=3

./............................

log

102.24

3 2

9

KmFd

r

DMG

xCK

D

Para líneas cuádruples:n = 4

,/.........................

2log

102.24

4 3

9

KmFd

r

DMG

xCK

D

INDUCTANCIA EN LAS LÍNEAS DE CABLESGeneralmente los conductores de las líneas de transmisión aéreas son trenzados y están comprendidas dentro de los conductores compuestos que están formados por dos o más elementos en paralelo.DISTANCIA MEDIA GEOMETRICAEs un concepto matemático muy útil para el calculo de la inductancia donde podemos tener las siguientes observaciones.1.- El valor de la DMG de una línea Monofásica esta dado por

DMG = Dab...............................................(1)2.- Para el acaso de líneas trifásicas tenemos:

PERDITANCIA O CONDUCTANCIA

Si el aislamiento fuese perfecto no habría corriente alguna entre los conductores y apoyos ni superficialmente ni a través de dicho aislamiento. En este caso la perditancia seria cero.

Se ha convenido llamar Perditancia al valor inverso de la del aislamiento 1/R = G o tambiénG = I/VLa perdida de energía vale P = IG = GV2

Valores de

frecuencia

Valor de W

16.66 104.62

25 157

60 376.80

SUCEPTANCIA

Impedancia

Admitancia

G= Siemes

Designación Sección del cable mm2

Sección equivalente del cobre

Diámetro del cable en mm

Resistencia eléctrica a 20C

Halcon (HAWK) 281.1 152.01 21.8 0.119

Gaviota(gull) 381.55 212.31 25.4 0.0851

Condor(condor)

455.1 253.96 27.76 0.0721

Cardenal (cardinal)

546.06 304.03 30.38 0.0597

Pinzon (finch) 635.48 354. 32.84 0.0512

TABLA DE CONDUCTORES DE ALUMINIO - ACERO

Potencia característica de la línea

EJEMPLO1.- Hallar las constantes características de una línea de transporte que abaste de energía eléctrica a la ciudad de Arequipa dada por la central de Charcani V es como se da a continuación:

Datos de la líneaPotencia a transmitir 135 MwTensión nominal 220 Kv.Longitud 92 Km.# de circuitos trifásicos 1 simple.Apoyos Torres metálicas.(ver fig.)Datos del conductor.Designación Gaviota# y Clase 3 cables de aluminio – acero.Composición Aluminio: 54 x 3.084 mm.

Acero : 7 x .3.081 mm.Aluminio = 402.84 mm2

Secciones Acero = 52.26 mm2

Total 455.1 mm2

Sección equivalente del cobre = 253.36 mm2

Diámetro del cable = 27.762 mmDiámetro del alma de acero = 9.246 mm2

Resistencia eléctrica = 0.0733 /Km.

./......10851.13

183,8log6.4

2

1 3 KmHrxLK

KmHrxLK /......10324.1 3

37710324.1 3 xxX K

KmX K /......499148.0

499148.00733.0 JJXRZ KKK

kmZK /....64.815045.0

KKK JBGY si GK es cero debido a que está bien aislado entonces YK = JBK

910.

log

2.24

x

r

DMGCK

99 10731.810

851.13

8183log

2.24 xxCK

KmFdxCK /.....10731.8 9

37710731.8 9 xxWCB KK

KmSxBK /.........102919.3 6

Entonces los parámetros de la línea de transporte son:

R = 0.0733 x 92 = 6.7436.9638

XL = 0.507 x 92 = 145.002

BK = 3.239 x 10-6 x 92 = 9.263x10- 4 S.

499148.00733.0 JJXRZ KKK

ticacaracterisimpedacialaesZcZc

VP C

C ........2

18.4477.39190

64.81

1029158.3

50445.06

xY

ZZC

CLASIFICACION DE LAS LÍNEAS DE TRANSPORTELINEAS DE TRANSPORTE CORTAS

Son aquellas que tienen una longitud menor de 80 Km. cuyo circuito equivalente es el siguiente:

+Vs-

+Vr-

Donde Vs y Vr son tensiones tanto en el lado emisor como en el lado receptor. Del mismo modo están definidas las corrientes Is e Ir. Z viene a ser la impedancia de la línea. Por tratarse de un circuito serie se cumple que la corriente de envío es igual a la corriente de recepción.

Is =Ir...................................(1)La tensión de envío se define de la manera siguiente:

Vs = Vr + Ir Z ....................(2)

Z = R + JXL

IsIr

LINEAS DE TRANSPORTE MEDIASon aquellas que están comprendidas en longitudes menores de 240 Km. donde la admitancia esta repartida a la entrada y a la salida como Y/2

VS Y/2 Y/2 VR

ZL= R +JXL

is iR

+ +i1i2

I =i2 +iR

- -

Determinamos Vs teniendo la capacidad en los extremos de la línea.La corriente en la rama receptora paralela esta definida por :I2=Vr/Y/2) la corriente en la rama serie la tenemos como la suma de ambas corrientes. I= Ir+ I2 = Ir + Vr (Y/2) con lo que:

VrZIr

YVrVs

2

)3....(..............................12

ZIrVrZY

Vs

Luego podremos calcular la corriente de envío conociendo la corriente I1

La corriente estará denota por Vs(Y/2) con lo cual tenemos:

Luego podremos calcular la corriente de envío conociendo la corriente I1

La corriente estará denota por Vs(Y/2) con lo cual tenemos:

Is = Vs (Y/2) + Vr (Y/2) + Ir entonces reemplazando el valor de Vs tenemos:

)4(....................124

1 IrZYZY

VrYIs

LINEAS DE TRANSPORTE LARGASSon aquellas cuyas longitudes son mayores de 240 Km. en donde la resistencia, inductancia, y capacitancia se encuentran repartidas a lo largo de toda la línea en forma uniforme.

iS

VS

I+dI I

V+dv VR

iR

V

X

dx = elemento diferencial de la línea

dV = I Z dx

)5......(....................IZdX

dV

la diferencia de la corriente que entra y la que sale del elemento diferencial de la línea dl.sta circula a través de la admitancia y es ig ual a dI = VY dX

Derivando (5) y (6)

)7.........(..........2

2

dX

dIZ

dX

Vd

)8(....................2

2

dX

dVY

dX

Id

reemplazando (5) y (6) en (7) y (8)

YZVdX

Vd

2

2

YZIdX

Id

2

2

Cuyas soluciones sonde la forma

)9......(....................21

XZYXZY eAeAV

)10.(..........11

1

XZYXZY e

YZ

eA

yz

I

Para hallar los valores de las constantes A se toma en cuenta que en el extremo receptor de la línea sea cuando X=0 y se tiene que V=Vr y I = IrEn (9) con X=0 se tiene : Vr = A1 +A2

En (10) con X=0 se tiene :

Haciendo que : Y

ZZc

se obtiene y resolviendo el sistema de ecuaciones los valores de A1 y A2:

21

CRR ZIVA

22

CRR ZIVA

Luego reemplazando en las ecuaciones ( 9 ) y ( 10 ) se tiene que :

V=2

CRR ZIV Le +2

CRR ZIV Le

Donde Zc es llamada impedancia de sobre tensión y es la respuesta a la propagación de la tensión a lo largo de la línea y es conocida como :

2

ZcIV

XXR

R

eIR

ZcVR

e

IZc

V

I

22

..............................(12)

.............................(11)

XY denominada constante de propagación

Y

XZc Impedancia característica de la línea

2CRR ZIV

Tensión IncidenteLe

2CRR ZIV Le

Tensión reflejada

Ecuaciones Hiperbólicas de una Línea de Transmisión.

2

XX eeSenh

2

XX eeCosh

reemplazando estos valores en las ecuaciones (11) y (12)

XSenhZc

VXCoshII R

R

XSenhIXCoshVV RR

Luego la tensión y la corriente en el extremo transmisor se determina haciendo que los valores de X sea igual a L es decir X = L con lo que :

)14......(..............................

)13...(..............................

LSenhZc

VLCoshIIs

LZcSenhILCoshVVs

RR

RR

de la ecuaciones (13) y (14) despejando los valores de VR e IR obtenemos los valores de las tensiones y corrientes en el lado receptor , las mismas que están definidas por:

)15...(..............................LIsZcSenhLVsCoshVR

)16......(..............................LSenhZc

VsLIsCoshIR

Una línea trifásica a 60 Hz. Y 138 Kv. Circuito dúplex tiene una longitud de 300 Km. y ladisposición de los conductores es como se muestra en la fig. Alimenta una carga de 100MW a un f.d.p=0.85.Calcular la potencia en el extremo emisor. Si la línea debe detrabajar a una temperatura de 50°C y es de aleación de aluminio cuyo coeficiente detemperatura es de 0.0036 y la resistencia es de 0.181 / Km. Si el diámetro delconductor es de 17.99 mm.

Cálculo de la DMG

Cálculo de la resistencia a la temperatura de operación

122050 1( TTRR

20500036.01181.050 R

20500036.01181.050 R

KmR /..100274.050

KmR /..0501.02

100274.050

Cálculo de la inductancia

mxxcDabxDacxDbDMG ..20.820.820.820.833

./10log6.42

1 4 KmHrxr

DMG

nLK

mmxrxr ..966.5940099.8 D

KmHrxxx

LK /10075.1010996.59

8200log6.4

22

1 44

Calculo de la reactancia

XL=WL=377x10.075x10-4

XL=0.3798/Km.

Z=R+Jx=0.0501+J0.3798=0.3830982.48 /Km.

Y=G+JB la Perditancia es despreciable debido a que la línea se encuentra bien aislada.

Y=JB

Y=JB

./...1027.4

966.59

8200log

102.24

log

102.24 699

KmSxx

r

DMG

xB

76.3527.2992

9048.82

1027.4

38309.06

xY

ZZc

2/)9048.82(1027.438309.0300 6 xxZYLL

24.8638369.0 L

Por tratarse de una línea larga calcularemos los seno y cosenos hiperbólicos.CoshL=0.9280.58SenhL=0.3744186.434Cálculo de la corriente de recepción

amperiosxxx

x

V

SI R ..78.31.3697.418

101383

10100

3 3

6

Luego calculamos la tensión de envío.

LZcSenhILCoshVVs RR

434.8637441.075.632.30278.313697.41858.0928.00674.79 Vs

83.47105.47406 Vs

Luego el cálculo de la corriente de envío que también está definida en función de los Senh y Cosh.

LSenhZc

VLCoshIIs R

R

434.8637441.0705.632.302

0674.79)58.0928.0)(78.31199.492(

xIs

717.19292.409 Is

Luego calcularemos la potencia enviada desde el extremo emisor:

S= 3VsI*sS = 3(118.974)(409.292)S = 146.085 MVA

Una línea trifásica tiene 282 Km. de longitud, su impedancia serie total es de 35+J140

y su admitancia en paralelo es de 930x10-6 mhos. Suministra 40 MW a 220Kv con unf.d.p=90% en retardo. Encontrar la tensión en el extremo distribuidor a) Poraproximación a un circuito general b) Mediante un circuito correspondiente a unalínea larga.

+Vr-

´+Vs-

ZL

9638.753087.14414035 JZ

9010930 6 xY

84.256364.1169.02203

1040 6

xx

xIr

KvVR 0171.1273

220

963.753097.144)1000

84.256334.116]2/00171.127(9010930[00171.127 6

xVs

KvVs ....5981.64037.130

KvxxVsVsL ...8654.2254037.13033

0181.7163.393 Zc

2

9096.75

10930

3081.1446xY

ZZc

2

9096.75109303981.144 6

xxZYLL

3636.00448.098.823663.0 JL

ZIVY

VVs RRR )2

(

Tensión incidente y reflejada en el extremo receptor

LLRRR ee

ZcIVV .

2

363.00448.0 .2

96.75163.39384.25.6364.11600171.127 j

s eex

V

27.12573.87

sV

363.00442.0

2

96.75163.39384.256364.11600171.127 j

R eex

V

089.59231.43

sV

089.59231.4327.12573.87

SS VVVs

KvVs ..4934.61573.130

La ciudad del Cuzco en horas punta tiene una máxima demanda de 26 MW. a un factor de 0.85 en retardo. La tensión en la barra de llegada (Dolores pata) es de 138 Kv. Cual es la tensión de envío de tensión de la central de Machupicchu si esta se encuentra a 92 Km. y tiene como parámetros: Z=0.175+J0.5 /Km. C=8.567 x 10-9 Fd / Km.

KmxKm

JJXRZ 92.

5.0175.0

..71.70764.48.461.16 JZ

..92.

102297.3 6 KmxKm

FdxY

fCnWCnY 2

xKmKm

FdxxxxY

.10567.8601416.32 9

SxY ....109713.2 4

xVxCos

PI R

3

VoltiosVR ..3372.674,793

138

85.03372.674,793

1026 6

xx

xI R

788.319719.127 RI por otro sabemos que :

RR ZIVZY

Vs

1

2

034.79674102

90109713.271.7074.48

12

4xxVs

ZIVZY

Vs RR

Una línea de transmisión trifásica de un solo circuito esta compuesta de conductoresPARAKEET con un espaciamiento horizontal plano de 19.85 pies entre conductoresadyacentes .Determinar la impedancia caract3eristica y la constate de propagación de lalínea a 60 Hz. y una temperatura de 50C de temperatura.

Primero calcularemos la DMG

De la tabla A·3 para el conductor PARAKEET A 50 PAG 707

R= 0.1832

PARA LA DISPOSICION O LA DMG TABLAS A-4 Y A-5 SE TIENE PARA LA DMG = 25 PIES

Una línea de transmisión trifásica de un circuito y 100 millas entrega 55MVA a factor depotencia de 0.8 atrasado a una carga que esta a 132 Kv. De línea a línea . Esta compuestapor conductores DRAKE con un espaciamiento horizontal plano de 11.9 pies entreconductores . Suponga que la temperatura es de 50C. Determine la impedancia serie y laadmitancia en paralelo de la línea. b) El voltaje la corriente y la potencia real y reactiva.

Primero calculamos la DMG para hallar sus parámetros

De la tabla A·3 para el conductor DRAKE A 50 PAG 707

R= 0.1284

Falta terminar

Valores propios del conductor.

PARA LA DISPOSICION O LA DMG TABLAS A-4 Y A-5 SE TIENE PARA LA DMG = 15 PIES

Se tiene una línea de trifásica a 60 Hz. que tiene los siguientes parámetros R=0.186/ Km.L0 1.305 mHr/ Km. C= 0.0087 F/km. La tensión en el extremo receptor es de 138 Kv. Sila línea alimenta a una carga de 20,000 Kw a un f.d.p de 0.8 se pide calcular a) el valor dela tensión tanto incidente como reflejada si esta tiene una longitud de 150 Km.

Calculo de parámetros de la línea

Calculo de la corriente IR

CONSTANTES GENERALIZADAS

CIRCUITO “T”

1........................1 2

2

RR

RRR

IYZYVIs

ZIVYIIs

IsIR

+

VR

-

+

Vs

-

Z1 Z2

Y

12 ZZIVVs RR

2..................................211 2!1

21112

RR

RRRRR

IZYZZZVYZVs

ZYZIZIYVZZIVVs

Donde podemos indicar y efectuar los siguientes cambios de variable:

2

2!2!

1

1

1

YZD

YC

ZYZZZB

YZA

Luego reemplazando en 1 y 2 se tiene las ecuaciones siguientes:

4...................................................

3...................................................

RR

RRS

BIAVVs

DICVI

Luego despejamos IR de 2 para luego reemplazar en 1

AD

CBVBIsVsDVR

A

D

BCVBIsVs

A

D

CVIsBVs

VR

enluegoD

CVIsIR

R

RR

R

1......

1...

BCADPero

BIsDVsBCADVR

BIsDVsBCVADV RR

BIsDVsVR

Luego

RR DICVIs

D

A

CBICVSIs

D

A

BIVsCIs

I

DCVIsI

RR

R

RR

/

CVsAIsIR

CVSAIsBCADI

CBVsAIsCBIADIAD

CBICVsAIsI

R

RRR

R

CIRCUITO “PI”

+

VR

-

IsIR

+

Vs

-

Z

YS YR

1...........................................1 RRR

RRRR

ZIVZYVs

ZIYVVVs

2............................1

1

RRRR

RRRRR

IZYsVYYsZYYsIs

IYVZIVZYYsIs

YsZD

ZYsYYYC

ZB

ZYA

RRS

R

1

1

21

ZYA

4

2ZYYC 2

1ZY

D

Para lineas cortas se cumple que:

A=1 B=Z C=0 D=1

Para líneas medias Ys=YR =Y/2

Las constantes serán:

B= Z

Para líneas largas

B=ZcSenhlA= Cosh l D= Cosh l

Una linea de transmision cuya configuracion es de

Potencia

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