ANLISIS DE POSICIN

Anlisis y Sntesis de Mecanismos

Anlisis y Sntesisde Posicin y Desplazamiento De Un Mecanismo

INTRODUCCIN

Una meta principal del anlisis cinemtico es la determinacin de las posiciones, velocidades y las aceleraciones de todas las partes mviles del conjunto. La segunda ley de Newton establece que una fuerza dinmica es proporcional a su aceleracin. Para calcular los esfuerzos en los componentes es necesario conocer las fuerzas dinmicas. El ingeniero de diseo se debe asegurar de que el mecanismo o mquina propuesta no fallar en las condiciones reales de operacin. De modo que los esfuerzos en los materiales deben mantenerse muy por debajo de los niveles admisibles. Para calcular los esfuerzos se necesita conocer las fuerzas estticas y dinmicas en las partes, y con el fin de determinar tales fuerzas dinmicas es necesario conocer las aceleraciones. Para calcular stas se deben encontrar las posiciones de todos los elementos del mecanismo (sus eslabones) para cada incremento en el movimiento de entrada, y luego derivar las ecuaciones de posicin con respecto al tiempo para obtener las velocidades; las cuales tambin se derivan con el fin de obtener las expresiones de aceleracin. Por ejemplo, es probable que en un eslabonamiento simple de cuatro barras de Grashof se desee calcular las posiciones, velocidades y aceleraciones de los eslabones de salida (acoplador y balancn), quiz para cada dos grados (180 posiciones) de la posicin de entrada de la manivela hasta completar una revolucin de dicha manivela.

Esto se puede efectuar por uno de varios mtodos. Se podra usar un procedimiento grfico para determinar la posicin, velocidad y aceleracin de los eslabones de salida para las 180 posiciones de inters, o bien se podran deducir las ecuaciones generales de movimiento para una posicin, derivar matemticamente para determinar velocidad y aceleracin, y despus resolver estas expresiones analticas para las 180 (o ms) ubicaciones de la manivela. Una computadora har esta ltima tarea mucho ms fcilmente. Si se elige el mtodo grfico de anlisis se tendr que efectuar una resolucin grfica independiente para cada una de las posiciones de inters. Nada de la informacin obtenida grficamente para la primera posicin ser aplicable a la segunda o a cualesquiera otras. Por el contrario, una vez que se llega a la solucin analtica para un mecanismo en particular, se puede resolver rpidamente (con una computadora) para todas las posiciones. Si se desea informacin para ms de 180 de ellas, esto slo significa que se tendr que esperar ms tiempo para que la computadora genere esos datos. Las ecuaciones deducidas son las mismas.

3.1 Sistemas de coordenadas

Sistema de identificacin de elementos en un conjunto de puntos marcndolos con nmeros. Estos nmeros se denominan coordenadas y se puede considerar que dan la posicin de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza stas para especificar la posicin de un punto en la superficie de la Tierra.

Las coordenadas cartesianas son unas de las coordenadas ms usadas. En dos dimensiones, estn formadas por un par de rectas en una superficie plana, o plano, que se cortan en ngulo recto. Cada una de las rectas se denomina eje y el punto de interseccin de los ejes se llama origen. Los ejes se dibujan habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina x e y respectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano cuyas coordenadas son (2,3) est situado dos unidades hacia la derecha del eje x y tres unidades por encima del eje y, como se muestra en la figura 3.1. En coordenadas cartesianas de tres dimensiones, se agrega el eje z de manera que tenemos tres ejes todos ellos perpendiculares entre s.

En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas (r,) con respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto de dicha lnea llamado polo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r es la distancia del punto al polo, y e es el ngulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj) entre el eje polar y la lnea que une el polo y el punto, como se muestra en la figura 3.2. Las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfricas son dos extensiones distintas de las coordenadas polares en tres dimensiones.

Figura 3.1 Coordenadas cartesianas bidimensionales. Figura 3.2 Coordenadas polares.

El sistema de coordenadas cilndricas circulares es una versi6n en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana. En las coordenadas polares de dos dimensiones se localizaba un punto en un plano dando su distancia p al origen y el ngulo entre la lnea desde el punto al origen y un eje radial arbitrario, en el que se toma = 0.4 Un sistema tridimensional de coordenadas cilndricas circulares se obtiene en forma similar especificando la distancia z del punto con respecto a un piano de referencia z = 0 arbitrario, en donde es perpendicular a la lnea p = 0. Por comodidad, generalmente se refiere uno a las coordenadas cilndricas circulares sencillamente como coordenadas cilndricas.

Ya no se utilizaran tres ejes como en las coordenadas cartesianas, sino que cada punto debe considerarse como la intersecci6n de tres superficies mutuamente perpendiculares. Estas superficies forman un cilindro circular (p = constante), un piano ( = constante) y otro piano (z = constante).

Esto correspondera a la localizacin de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas por la interseccin de tres planos (x = constante, y = constante y z = constante). Las tres superficies de las coordenadas cilndricas circulares se muestran en la figura 3.3.

Obsrvese que las tres superficies pueden hacerse pasar por cualquier punto, a menos que este se encuentre sobre el eje z, en cuyo caso es suficiente un plano. A diferencia del caso del sistema de coordenadas cilndricas, no existe un sistema de coordenadas en dos dimensiones que pueda ayudarnos a entender el sistema de coordenadas esfricas en tres dimensiones. Pero en cierto modo pueden aplicarse los conocimientos con respecto al sistema latitud y longitud para localizar un lugar sobre la superficie de la Tierra, considerando solamente puntos sobre la superficie, y no puntos internos o externos a ella.

Se empezar construyendo un sistema de coordenadas esfricas tomando como referencia tres ejes cartesianos (Fig. 3.4). Se define primero la distancia r desde el origen a cualquier punto. La superficie r = constante es una esfera. La segunda coordenada es un ngulo entre el eje z y la lnea trazada desde el origen basta el punto considerado. La superficie = constante es un cono, y las dos superficies, cono y esfera, son perpendiculares en todas partes a 1o largo de su interseccin, la cual es un circulo de radio r sen . La coordenada corresponde a la latitud, excepto que la latitud se mide desde el ecuador y se mide desde el Polo Norte.

La tercera coordenada es tambin un ngulo y es exactamente igual que el ngulo de las coordenadas cilndricas. Este es un ngulo entre el eje x y la proyeccin en el plano z = 0 de la lnea trazada desde el origen hasta el punto.

Este corresponde al ngulo de longitud, slo que el ngulo aumenta hacia el este, La superficie = constantes un plano que pasa a travs de la lnea = 0 (el eje z).

Nuevamente se considera cualquier punto como la interseccin de tres superficies mutuamente perpendiculares -una esfera, un cono y un plano cada una orientada en la forma descrita anteriormente.

Figura 3. Superficies con coordenadas cilndricas.

Figura 3.4. Coordenadas esfricas.

3.2 POSICIN DE UN PUNTO

PosicinLa posicin de un punto en el plano se puede definir mediante un vector de posicin, como se indica en la figura 3.5. La eleccin de ejes de referencia es arbitraria y se escoge de modo que se adapte al observador. Un vector bidimensional tiene dos atributos, los cuales se pueden expresar en coordenadas polares o cartesianas. La forma polar proporciona la magnitud y el ngulo del vector. La forma cartesiana aporta las componentes X y Y del mismo. Cada forma es directamente convertible en la otra como sigue:

Forma polar : |RA| @

Forma cartesiana: Rx , Ry

Figura 3.5 Un vector de posicin en el plano

Por el teorema de Pitgoras:

(3.1)

Por trigonometra:

(3.2)

Hay muchos modos de representar vectores. stos se pueden representar en coordenadas polares, por su magnitud y su ngulo, o en coordenadas cartesianas mediante las componentes x y y. Estas formas, se pueden convertir fcilmente de una a la otra utilizando las ecuaciones (A). En la figura 3.6 se muestra la notacin con vectores unitarios en el caso de un vector de posicin.

Forma polar: |RA| @

Forma cartesiana: Rcos i, Rsen j

Figura 3.6 Notacin de vectores unitarios para vectores de posicin.

En la figura 3.7 se representa la notacin con nmeros complejos; en este caso la componente en direccin X se denomina parte real, y la componente en la direccin Y, parte imaginaria

Forma polar: R ej

Forma cartesiana: Rcos + j Rsen

Figura 3.7 Representacin con nmeros complejos de vectores en el plano.

3.3 Anlisis grfico de la posicin de mecanismos planos.

Construccin de los planos de un mecanismoLa posicin reciproca de los elementos de un mecanismo en movimiento varia constantemente, pero en cada instante la posicin de stos es completamente determinada. La representacin de la posicin reciproca de los elementos que corresponde a un movimiento dado, se denomina plano de un mecanismo. Una serie sucesiva de planos de un mecanismo, para momentos consecutivos, permite seguir claramente el movimiento de dicho mecanismo.

La construccin del plano de un mecanismo se empieza representando grficamente aquel elemento cuya posicin, para un momento determinado se conocen (movimiento giratorio y movimiento de traslacin rectilneo de un elemento)

Determinacin de las posiciones extremas de mecanismo de cuatro barrasEn un mecanismo de cuatro articulaciones (figura 3.8), el elemento CD es balancn, es decir, no realiza un giro completo. En cualquier posicin de la manivela AB, el balancn CD siempre se encentra entre las pociones CD y CD. La posicin de un elementocto desde la cual puede moverse slo en una direccin, se denominan posiciones extremas del eslabn. Por esto, las posiciones CD y CD son las posiciones extremas del balancn CD.

Para determinar las posiciones extremas del balancn circunscribamos ardedor del punto A circunferencias de radio (l +r) y (l r); y alrededor del punto D, una circunferencia de radio b. La interseccin de estas circunferencias tiene lugar en los puntos extremos Cy C. Los puntos B y B correspondientes, se encuentran en las rectas que unen a los puntos Cy C con el punto A.

De la figura se ve que el desplazamiento del balancn de la posicin DC a la posicin DC transcurre durante el tiempo en que el punto B de la posicin B pasa a la posicin B, es decir mientras que la manivela r gira un ngulo de (180 + ). El regreso de balancn a la posicin DC, transcurrir en el tiempo durante el cual la manivela gira un ngulo de (180 - ). Las velocidades medias del balancn durante su movimiento en sentido directo e inverso, sern inversamente proporcionales a los ngulos (180 + ) y (180 + ). La relacin de las velocidades medias de un eslabn durante su tiempo de movimiento en sentido directo e inverso, se denomina coeficiente de variacin de la velocidad media del eslabn. Designando a este coeficiente por c, obtenemos para el balancn la siguiente relacin:

(3.3)

De este modo, la determinacin de las posiciones extremas permite encontrar el ngulo de amplitud del balancn y el ngulo , el cual puede servir para determinar el coeficiente de variacin de la velocidad media del balancn.

Figura 3.8 Determinacin de las posiciones extremas y el ngulo de oscilacin del balancn

Determinacin de las posiciones extremas y de la carrera de la corredera en un mecanismo de biela-manivela-corredera.Para determinar las posiciones extremas de un mecanismo biela-manivela-corredera excntrica (figura 3.9), se procede de la siguiente manera. Desde el punto A se hacen intersecciones con los radio (l +r) y (l r) en la recta D-D, por el cual se mueve el punto C. las rectas que unen a los puntos Cy C con el punto A, cruzan la circunferencia que describe el punto B en los puntos correspondientes By B.

Figura 3.9 Determinacin de las posiciones extremas y de la carrera de la corredera en un mecanismo de biela-manivela-corredera.

Por la posiciones extremas de la corredera (punto C), encontramos la carrera H, que siempre ser mayor de 2r, adems, se determina el anglo y el coeficiente de variacin de la velocidad media c de la corredera [ecuacin (1)]. Al girar la manivela r en el sentido de las agujas del reloj, la corredera se desplazar hacia la derecha ms lentamente que hacia la izquierda. Es imposible poner en movimiento al mecanismo a partir de la corredera encontrndose sta en sus posiciones extremas. Estas posiciones sern las posiciones del punto muerto de la corredera.

En un mecanismo axial de corredera y manivela, la excentricidad es e = 0. Por esto, los puntos A, Cy C se encuentran en la lnea D-D, el ngulo = 0, el coeficiente c = 1 y la carrera de la corredera H = 2r.

CONDICIONES LMITEUna prueba importante que se aplica en los procedimientos de sntesis que se describen a continuacin. Se necesita comprobar que el eslabonamiento puede, en realidad, alcanzar todas las posiciones de diseo especificado sin encontrar una posicin lmite o de agarrotamiento, tambin llamada configuracin estacionaria. Con frecuencia los mtodos de sntesis de eslabonamiento slo permiten obtener las posiciones particulares especificadas. No indican nada acerca del comportamiento del eslabonamiento entre esas posiciones. En la figura 3.10, se muestra un eslabonamiento de cuatro barras de no Grashof en una posicin arbitraria CD (con trazo punteado) y tambin en sus dos posiciones de agarrotamiento, C1D1 y C2D2. Las posiciones de agarrotamiento se determinan mediante la colinealidad de dos de los eslabones mviles. Un mecanismo de doble o triple balancn de cuatro barras tendr por lo menos dos de estas posiciones de agarrotamiento en las que el eslabonamiento adquiere una configuracin triangular. Cuando se llega a una posicin triangular (agarrotamiento) no se permitir movimiento de entrada adicional en una direccin, a partir de uno de sus eslabones de balancn (del eslabn 2 a partir de la posicin C1D1, o del eslabn 4 a partir de la posicin C2D2) El otro balancn tendr que impulsarse luego para retirar el eslabonamiento de la posicin de agarrotamiento. Un eslabonamiento de manivela-balancn de cuatro barras de Grashof asumir tambin dos posiciones de agarrotamiento, como se muestra en la figura 5b), cuando el eslabn ms corto (manivela 02C) es colineal con el acoplador CD (eslabn 3) ya sea colineal prolongada (02C2D2) o colineal traslapado (02C1D1). No puede ser impulsado hacia atrs desde el balancn 04D (eslabn 4) a travs de estas posiciones colineales, pero cuando la manivela 02C (eslabn 2) recibe impulso, lo llevar a travs de ambos agarrotamientos debido a que es de Grashof. Observe que estas posiciones de agarrotamiento tambin definen los lmites de movimiento del balancn impulsado (eslabn 4), en los cuales su velocidad angular pasar por cero.

Figura 3.10 Eslabonamiento en agarrotamiento b) Posiciones de agarrotamiento de una manivela-balancn

a) Posiciones de agarrotamiento de un doble balancn

Adems de los puntos muertos (posiciones de agarrotamiento) posibles en el mecanismo de cuatro barras articuladas, es necesario tener en cuenta el ngulo de transmisin.

El ngulo de transmisin se define como el ngulo entre el eslabn de salida y el acoplador. (Mecanismo de cuatro barras de Grashof). Generalmente se toma como el valor absoluto del ngulo agudo del par de ngulos en la interseccin de los dos eslabones; y vara continuamente desde un valor mnimo hasta un mximo, a medida que el eslabonamiento pasa por su intervalo de movimiento. Es una medida de la calidad de la transmisin de fuerza en la junta.

Valores extremos del ngulo de transmisinPara un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-balancn de Grashof, los valores extremos del ngulo de transmisin ocurrirn cuando la manivela sea colineal con el eslabn de fijo, como se muestra en la figura 6. Los valores del ngulo de transmisin en estas posiciones se calculan fcilmente usando la ley de los cosenos, puesto que el eslabonamiento tiene entonces una configuracin triangular. Los lados de los dos tringulos son el eslabn 3, el eslabn 4 y la suma o diferencia de los eslabones 1 y 2. Un solo valor extremo del ngulo de transmisin se tiene cuando dichos eslabones son colineales y no traslapados como se muestra en la figura 3.11a). El otro ngulo de transmisin extremo ocurre cuando los eslabones 1 y 2 son colineales y traslapados como se ilustra en la figura 3.11b).

a = eslabn 2;b = eslabn 3;c = eslabn 4d = eslabn 1

Para un ngulo de transmisin extremo la ley de los cosenos da:

(3.4a)

y para el otro ngulo de transmisin extremo

(3.4b)

a) Extendido b) Traslapado

Figura 3.11 ngulos de transmisin externos en el eslabonamiento de cuatro barras de Grashof

RAZON DE TIEMPOMuchos mecanismos que producen movimiento reciprocante se disean para genera movimiento simtrico, es decir, las caractersticas del movimiento de la carrera hacia fuera son idnticas a las de la carrera hacia adentro. Con frecuencia tales mecanismos realizan trabajo en ambas direcciones. El mecanismo de un motor de gasolina y de los limpiadores del parabrisas son ejemplos de mecanismos equilibrados cinticamente.

Sin embargo, otras aplicaciones de diseo de maquinas requieren una velocidad promedio diferente entre la carrera de avance y la carrera de retorno. Estas mquinas normalmente producen trabajo solamente en la carrera de avance, de modo que la carrera de retorno necesita ser tan rpida como sea posible, para que el mayor tiempo de operacin est disponible para la carrera de trabajo. Las mquinas cortadoras y empaquetadoras son ejemplo de estos mecanismos de retoro rpido.

Una medida de la accin de retorno rpido de un mecanismo es la razn de tiempo (R.T.), la cual se define como:

El ngulo de desequilibrio es una propiedad que relaciona la geometra de un mecanismo especfico con el tiempo de la carrera. Dicho ngulo se relaciona con la razn de tiempo de la manera siguiente:

Por consiguiente, en la sntesis dimensional de un mecanismo, la razn de tiempo deseada se convierte en una restriccin geomtrica necesaria a travs del ngulo de desequilibrio . El tiempo total del ciclo de movimiento del mecanismo es:

tciclo = Tiempo de la carera ms lenta + tiempo de la carrera ms rpida

Para mecanismos que son impulsados a velocidad constante por una actuador que gira, la velocidad requerida de la manivela, se relaciona con el tiempo del ciclo de la siguiente manera: manivela = (tciclo) -1

Construccin de un mecanismo de cuatro articulaciones segn el coeficiente de variacin de la velocidad media y el ngulo de transmisin.El coeficiente de variacin de la velocidad media c del balancn de un mecanismo manivela-balancn est relacionado con el ngulo , por medio de la ecuacin 3.3.

(3.3)

Si el coeficiente c ha sido dado, entonces de la ecuacin anterior se tiene que:

(3.5)

Suponga que para el mecanismo manivela-balancn (figura 3.12), adems del coeficiente c, se ha dado tambin el largo del balancn y su ngulo de amplitud . Siendo conocidos estos parmetros se pueden definir las posiciones de B B.

Figura 3.12 Construccin de un mecanismo manivela-balancn si est dado el coeficiente de variacin de la velocidad media, el ngulo de transmisin y la amplitud de oscilacin del balancn.

Ya que el ngulo encontrado se apoya en el segmento BB, entonces el lugar geomtrico del punto 0 ser una circunferencia, descrita con un radio R = y alrededor del punto M. Para determinar la posicin del punto M, trace por el punto B un segmento que posea un ngulo de (90 -) con la lnea BB y se encuentra el punto de interseccin de este segmento con la bisectriz del ngulo . El punto 0 se puede tomar en cualquier lugar de la circunferencia de radio R, la cual se muestra con la lnea punteada. Una de las caractersticas que determinan la calidad de transmisin del movimiento en un mecanismo, es el ngulo de transmisin . En el mecanismo manivela-balancn, el ngulo de transmisin es el ngulo formado por la direccin de la biela (lnea AB) y la direccin del balancn (lnea CB). Realmente, si se supone que la fuerza de la biela se transmite al balancn a lo largo de la biela, entonces el ngulo ms propicio par transmitir el movimiento ser el ngulo un ngulo de transmisin igual a 90. Durante el funcionamiento del mecanismo, el ngulo de transmisin continuamente cambia su magnitud. Las dimensiones del mecanismo se deben elegir de forma que el ngulo de transmisin no sobrepase los lmites 45 135.

No es difcil comprender que el ngulo mnimo de transmisin se obtiene para el instante en que el punto A ocupa la posicin A1. En la lnea 0C y el ngulo mximo se obtiene cuando ocupa la posicin A2. Realmente en la posicin A1 la distancia entre los puntos A y C es la menor, y en la posicin A2, la mayor. En muchos casos el ngulo de transmisin tiene un significado esencial slo durante la carrera directa (de trabajo), es decir en el tramo AA2A para el punto A y en el tramo BB para el punto B. En este tramo los ngulos de transmisin ms pequeos se obtienen en las posiciones extremas del balancn, es decir en los puntos B y B. Es fcil demostrar que si > , entonces el ngulo de transmisin ms pequeo ser en el punto B, y si < entonces este se encontrar en el punto B.

En la figura 3.12, el ngulo > . Por esto, tomando el menor ngulo de transmisin permitido , se traza por el punto B un segmento que forme un ngulo con la lnea CB y se encuentra el punto de interseccin de este segmento con la circunferencia de radio R en el punto 0.

Luego, del las igualdades es evidente que: l + r = y l - r =

Encontramos.y(3.6)

De un modo similar encontramos las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera (figura 3.13), si se dan la carrera de la corredera H, el coeficiente c y el menor ngulo de transmisin en el tramo de la carera de trabajo. Se debe slo tener en consideracin que el ngulo de transmisin aqu es el ngulo entre la direccin de la biela y la lnea perpendicular a la direccin del movimiento de la corredera.

Figura 3.13 Construccin de un mecanismo manivela-corredera si esta dado el coeficiente de variacin de la velocidad media, el ngulo de transmisin y la carrera de la corredera.

Los ngulos mximos y mnimos de transmisin se obtienen cuando el punto A se encuentra en la lnea trazada a travs del punto 0 perpendicular a la direccin del movimiento de la corredera. Durante la carrera de trabajo, el ngulo ms pequeo de transmisin siempre ser el del punto B. Por esto la lnea a la cual debe encontrase el punto 0 ha sido trazada a travs del punto B Puesto que en el mecanismo de manivela-corredera se tiene un par (junta de unin) de traslacin, entonces las prdidas debido al roce son mayores y el ngulo de transmisin deber mantenerse entre los limites 60 120. Despus de determinar las dimensiones r y l, a base de la ecuacin 3.6, es fcil calcular la magnitud de la excentricidad e = (l r)cos).

Sntesis de mecanismos de manivela y oscilador.Las posiciones extremas del oscilador, en un mecanismo de manivela-balancn, estn identificadas por los puntos B1 y B2 en la figura 3.14. Ntese que estas posiciones se encuentran de la misma manera que para el eslabonamiento de manivela-corredera. Observe tambin que la manivela y el eslabn acoplador quedan en una sola recta en cada posicin extrema.

En este caso particular, la manivela describe el ngulo mientras que el balancn se mueve de B1 a B2 describiendo el ngulo . Se observar que, en la carrera de retorno, el balancn va de B2 de regreso a B1, recorriendo el mismo ngulo ; pero la manivela recorre el ngulo 360 - .

Hay muchos casos en que el mecanismo manivela-balancn es superior a un sistema de leva y seguidor. Entre las ventajas que se tienen sobre este ltimo sistema estn las fuerzas menores que intervienen, la eliminacin del resorte de retencin y las holguras menores en virtud del uso de pares de revoluta.

Si > 180 en la figura 3.14, entonces = -180, en donde se puede obtener partiendo de la ecuacin correspondiente a la razn de tiempos:

RT = (3.7)

De los movimientos de avance y retorno del balancn. El primer problema que se presenta en la sntesis de los eslabonamientos de manivela-balancn es cmo obtener las dimensiones o la geometra que haga que el mecanismo genere un ngulo de salida especificado , cuando tambin se especifica la razn de tiempos.

Figura 3.14 Posiciones extremas del mecanismo de manivela y balancn (oscilador)

Para sintetizar un mecanismo de manivela-balancn, para los valores especificados de y localcese el punto 04 en la figura 4 y eljase cualquier longitud deseada del balancn, r4. Luego trcense las dos posiciones 04B1 y 04B2 del eslabn 4, separadas por el ngulo de amplitud de oscilacin . Trcese cualquier recta X que pase por el punto B1. Entonces trcese la recta Y que pase por B2 formando un ngulo con X. La interseccin de estas dos rectas define la ubicacin del pivote de la manivela, 02. Puesto que originalmente se eligi cualquier recta X, existe un nmero infinitos de soluciones para este problema.

A continuacin, como se observa en al figura 3.15a y 3.15b, la distancia B2C es 2r2, el doble de la longitud de la manivela. Por lo tanto, biscta esta distancia para encontrar r2. Entonces la longitud del acoplados es r3 = 02B1 r2 .

Figura 3.15 Sntesis de un eslabonamiento de cuatro barras para generar el ngulo del balancn.

3.5 Rotacin y traslacin.Cuando todas las partculas de un cuerpo rgido se mueven a lo largo de trayectorias equidistantes a un plano fijo se dice que el cuerpo tiene movimiento en el plano. Hay tres tipos de movimiento plano que en orden de complejidad creciente son.

1. Traslacin. Este tipo de movimiento ocurre si cada segmento de lnea sobre el cuerpo permanece paralelo a su direccin original durante el movimiento. Cuando las trayectorias de movimiento para dos partculas cualesquiera del cuerpo son a lo largo de lneas rectas equidistante s, el movimiento se llama traslacin rectilnea, figura 3.17a. Sin embargo, si las trayectorias de movimiento pasan por lneas curvas que son equidistante s, el movimiento se llama traslacin curvilnea, figura 3.17b.

2. Rotacin con respecto a un eje fijo. Cuando un cuerpo rgido gira con respecto a un eje fijo, todas las partculas del cuerpo, excepto aquellas que se encuentran sobre el eje de rotacin, se mueven por trayectorias circulares, figura 3.17c.

3~ Movimiento plano general. Cuando un cuerpo est sometido a movimiento plano general, experimenta una combinacin de traslacin y rotacin, figura 3.17d. La traslacin ocurre dentro de un plano de referencia, y la rotacin se efecta con respecto a un eje perpendicular al plano de referencia.

Trayectoria de traslacin curvilnea(b)

Trayectoria de traslacin rectilnea(a)

Movimiento plano general(c)

Rotacin con respecto a un eje fijo(d)

Figura 3.17. Tipos de movimiento en el plano

3.6 Desplazamiento absoluto.

El desplazamiento de un punto es el cambio en su posicin y se puede definir como la distancia rectilnea entre la posicion inicial y final de un punto que se ha movido dentro del marco de referencia. Observe que el desplazamiento no necesariamente es igual a la longitud del trayecto que el punto haya recorrido al ir de su posicin inicial a la final. En la figura 3.18a, se muestra un punto en dos posiciones, A y B. La lnea curva seala el recorrido del punto. El vector de posicin RB/A representa el desplazamiento del punto B con respecto al punto A. En la figura 3.18b, se define esta situacin ms rigurosamente y en relacin con un marco de referencia global XY. El smbolo R denota siempre un vector de posicin. As, los vectores RA y RB sealan, respectivamente, las posiciones absolutas de los puntos A y B con respecto a este marco de referencia global XY. El vector RB/A, denota la diferencia de posicin, o desplazamiento, entre A y B. Lo anterior se puede expresar como la ecuacin de diferencias de posicin:

Figura 3.18. Diferencia de Posicin y Posicin Relativa

RB/A = RB RA(3.30)

Esta expresin se lee: La posicin de B con respecto a A es igual a la posicin (absoluta) de B menos la posicin (absoluta) de A, donde el calificativo absoluta indica que se expresan con respecto al origen del marco de referencia global.

Trayectoria: Lugar geomtrico de las sucesivas posiciones que un mvil va ocupando en el espacio

representa el desplazamiento del punto B con respecto al punto A.

y representa las posiciones absolutas de los puntos A y B con respecto al marco de referencia

El vector denota la diferencia de posicin, o desplazamiento entra A y B. Lo anterior se puede expresar como la ecuacin de diferencias de posicin:

En la ecuacin (3) solo se despeja para estar en trminos de un vector absoluto, del punto B, se deriva para obtener su velocidad y aceleracin del punto B:

(3.31)

o(3.31)

EJEMPLOS POSICIN Y DESPLAZAMIENTO

Ejemplo 1. Una partcula se mueve a lo largo de un arco de 6.5 cm de radio. El centro del citado arco est en el origen de un sistema de coordenadas. Cuando la partcula se encuentra en la posicin A su vector de posicin establece un ngulo de 45 con el eje x. En la posicin B donde su vector forma un ngulo de 75 con el eje x. Escriba:a) Una expresin para el vector de posicin de la partcula en la posicin A por medio de la notacin de nmeros complejos en la forma polar y cartesiana.b) Una expresin para el vector de posicin de la partcula en la posicin B por medio de la notacin de nmeros complejos en la forma polar y cartesiana.c) Una ecuacin vectorial para la diferencia de posicin entre los puntos B y A. Introduzca la notacin de nmeros complejos para los vectores en esta ecuacin, y resuelva para evaluar numricamente la diferencia de posicin

Ejemplo 2. Una partcula tiene como posicin inicial el punto A con coordenada (7, 2) y se desplaza al punto B con coordenada (-3, 6). Determine: a ) la magnitud del vector de posicin inicial y final absoluto de la partcula en un sistema de coordenadas cartesiano y su orientacin con respecto al eje x y b) la magnitud del vector relativo de B con respecto A y su orientacin con respecto al eje x.

Ejemplo 3. Suponga que un vector de posicin se define con una magnitud igual a su estatura en cm. La tangente de su ngulo se define como el valor numrico de su masa en kg entre su propia edad en aos. Calcule los datos para este vector.a) Escriba una expresin para el vector de posicin en la que se utilice la notacin de vectores unitarios.b) Formule una expresin para el vector de posicin mediante la notacin de nmeros complejos, en la forma polar y cartesiana.

Ejemplo 4. Para los vectores mostrados en la figura, determine analticamente el vector

a) R = C +> A -> B +> D -> E (Fig 4a)b) R = C +> A -> B +> D(Fig 4b)

A = 50 B = 75D = 4040 70 C = 100 20

Fig. 4a.

A = 40 B = 60C = 30 E = 20 D = 5040 30 50

Fig 4b.

Ejemplo 5. Se conocen las direcciones de los vectores A, B, C, D, E y F, as como las magnitudes de los vectores B, C, E y F como se muestra en la figura. Determinar analticamente la magnitud de los vectores A y D; si A +> B -> C +> D = E +> F A B = 130 inC = 60 in E = 200 in DF = 100 in 60 45 6030

Ejemplo 6. Para el mecanismo biela-manivela-corredera descentrado mostrado en la figura 4. Calcule el desplazamiento de la corredera y la relacin de tiempos.

Ejemplo 7. Encuentre el mximo desplazamiento angular posible para el eslabonamiento de pedal en el cual se aplica la fuerza F. Determine tambin la relacin de tiempos de la figura 5.

Fig. E6Fig. E7

Ejemplo 8. Calcule la longitud de la biela y la manivela para el mecanismo biela manivela corredera excntrica que satisfaga las condiciones de la figura 5.

Figura E8

Ejemplo 9. Para el mecanismo del torno cepillador mostrado en la figura, determine la carrera del eslabn 6, dadas las distancias constantes de los eslabones y la relacin de tiempos.

Figura E9.

Ejemplo 10. Para el mecanismo mostrado en la figura determine el ngulo de oscilacin del brazo rociador (eslabn 4)

Ejemplo 11. Para el mecanismo de cuatro barras, manivela-balancn mostrado en la figura con L2 = 3 pulg, L3 = 8 pulg, L4 = 6 pulg, L1 = 7 pulg. Determine el ngulo de transmisin y el ngulo de salida , cuando = 60. Determine tambin el ngulo de transmisin mnimo y mximo

Fig E10 Fig. E11

Ejemplo 12. Para el mecanismo de retorno rpido mostrado en la figura, obtenga una expresin para el desplazamiento de x de la corredera en funcin solamente de del eslabn motriz y de las distancias constantes mostradas.

Ejemplo 13. En la figura se muestra un mecanismo de una sierra mecnica, un motor hace girar el disco montado en A dando a la sierra un movimiento de traslacin oscilatorio. (la sierra esta soportada por una ranura horizontal de manera que el punto C se mueve horizontalmente). El radio AB es de 4 pulg y el eslabn BC de 14 pulg de largo. Si el disco tiene una velocidad angular constante de una revolucin por segundo sentido antihorario. Determine el tiempo de la carrera de avance y el tiempo de la carrera de retorno. El eslabn BC est en posicin horizontal cuando = 45.

Figura E12.Figura E13.

Ejemplo 14. El mecanismo de retorno rpido Whitworth mostrado en la figura es una variante de la primera inversin de la biela-manivela-corredera en que la manivela se mantiene fija. El eslabn 2 como el 4 giran revoluciones completas. Determine la carrera del eslabn 6; si la longitud del eslabn 2 es de 15 mm, del eslabn 5 de 58 mm, 04C = 15 mm y 0402 de 8 mm. Tambin calcule la relacin de tiempos.

Figura E14.

Ejemplo 15. En la figura se muestra un mecanismo de yugo escocs modificado en el que la gua del yugo es un arco circular de radio R y la manivela con radio r (eslabn 2). Obtenga una expresin para determinar el desplazamiento de x del yugo (eslabn 4) en funcin de . r y R. Indique en la figura el desplazamiento de x.

Ejemplo 16. El seguidor radial de cara plana mostrado en la figura E15 recibe un movimiento reciprocante por la accin de una leva de disco circular que gira alrededor del eje 0. Obtenga expresiones para el desplazamiento h del seguidor y para la distancia l al punto de contacto en funcin de ngulo de la leva, el radio r de la leva y la distancia b de descentramiento.

Figura E15.Figura E16

Ejemplo 17. Determine la longitud de los eslabones de una manivela-balancn de Grashof de cuatro barras para dar un giro de 45 del balancn con una longitud de 15 cm con una relacin de tiempo de 1:1.25, a partir de una entrada del motor de velocidad constante.

Ejemplo 18. Determine la longitud de los eslabones de una manivela-balancn de Grashof de cuatro barras para dar un giro de 45 del balancn con una longitud de 15 cm, con el mismo tiempo hacia delante y hacia atrs, a partir de una entrada del motor de velocidad constante.

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