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CONTENIDOS:

1. Triángulos.Rectas notables. Propiedades.

2. Cuadriláteros. Propiedades.

3. Polígonos. Propiedades.

4. Circunferencia. Propiedades.

Ejercicio Reto

1. Examen de la UNI 2012 Considerando la información que se muestra en la siguiente

figura, el valor de x es:

A)100

B)150

C)250

D)300

E)600

2. En la figura, AB ∥C D y AD ⊥C B Al calcular el valor de x0 se obtiene

A)400

B)600

C)1200

D)1300

E)1400

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ENCUENTRO # 50TEMA: Triángulos.Cuadriláteros.Circunferencia. Propiedades.


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Triángulos. Propiedades

Definición 1. Triángulo “Si A,B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la

unión de los segmentos AB ,BC y AC se llama un triángulo y se denota por △ABC .

Los puntos A,B y C se llaman vértices y los segmentos AB ,BC y AC los lados del

triángulo.

Todo triángulo determina tres ángulos ∠A,∠B y ∠C , llamados ángulos internos del

triángulo.

La suma de las longitudes de los lados se llama Perímetro del triángulo.”

Clasificación de triángulos

De acuerdo a las medidas de sus lados los triángulos se clasifican en isósceles, equi-

láteros y escalenos.

De acuerdo a las medidas de sus ángulos tenemos triángulos rectángulos, equián-

gulos, acutángulos y obtusángulos.

Definición 2. Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósceles. Al otro lado gene-

ralmente se le llama base y a los ángulos asociados con la base se les llaman ángulos en la

base. Al ángulo opuesto a la base se le llama ángulo en el vértice.

Teorema 1. Los ángulos en la base en un triángulo isósceles son congruentes.

Teorema 2. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces es un triángulo isós-

celes.

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Definición 3. Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero.

Definición 4. Un triángulo con sus tres ángulos congruentes se llama equiángulo.

Teorema 3. Todo triángulo equilátero es equiángulo y viceversa. Cada ángulo de un trián-

gulo equilátero mide 600.

AB ∼= BC ∼= AC ∠A ∼=∠B ∼=∠C

Definición 5. Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes, se llama

escaleno.

Definición 6. Un triángulo rectángulo, es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se les llama catetos.

En los triángulos dibujados, tenemos: AB : hipotenusa; AC y BC : catetos.

Definición 7. Un triángulo se le llama acutángulo, si sus tres ángulos son agudos, y se le

llama obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.

Nota:A los triángulos acutángulos y a los obtusángulos se les llama oblicuángulos.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

Definición 1. Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice

del triángulo y el punto medio del lado opuesto.

Todo triángulo tiene tres medianas, una para cada vértice (lo que equivale a decir

una para cada lado). Puede probarse que las medianas se cortan en un punto llama-

do baricentro.



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También puede probarse que la distancia del baricentro a un vértice es el doble de

la distancia del baricentro al punto medio correspondiente. Es decir la distancia del

punto medio correspondiente al baricentro es 13 la medida de la mediana.

AP = 2P M AM = 3P M

Definición 2. Si A ∈∠B AC y ∠B AD ∼=∠D AC , entonces decimos que−−→AD biseca al ∠B AC .

AL rayo−−→AD se le llama rayo bisector o bisectriz del ∠B AC

Teorema 1. Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.

Una propiedad de la bisectriz es que todo punto de ella equidista de los lados del

ángulo.

Definición 3. Un segmento es una bisectriz de un ángulo de un triángulo, si: está en el rayo

bisector del ángulo y sus extremos son el vértice del ángulo y un punto del lado opuesto.

Todo triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo. Puede probarse que se

cortan en un punto llamado incentro, y que el incentro equidista (igual distancia)

de cada lado del triángulo. El incentro siempre pertenece al interior del triángulo.

El incentro es el centro de la circunferencia que puede inscribirse en el triángulo es

decir tangente a los tres lados.



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Definición 4. Una recta es una mediatriz de un lado de un triángulo, si está en el plano

que contiene al triángulo y es mediatriz de dicho lado (es decir, una recta perpendicular al

lado, que pasa por su punto medio).

Una propiedad de la medriatriz es que todo punto de ella equidista de los extremos

del segmento.

Todo triángulo tiene tres mediatrices, una para cada lado. Puede probarse que se

cortan en un punto llamado circuncentro y que el circuncentro equidista de cada

vértice.

En los triángulos acutángulos, el circuncentro se halla en el interior del triángulo,

mientras que en los oblicuángulos se halla en el exterior del triángulo. Para los trián-

gulos rectángulos el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

El circuncentro es el centro de la circunferencia que puede circunscribirse a un

triángulo, es decir que pasa por los vértices del triángulo.

Definición 5. La altura correspondiente a un lado de un triángulo es un segmento perpen-

dicular a dicho lado, cuyos extremos son el vértice del ángulo opuesto y un punto de la recta

que contiene a dicho lado.

La altura correspondiente a un lado de un triángulo también es la distancia desde el

vértice del ángulo opuesto a dicho lado a la recta que contiene a dicho lado.

Puede probarse que las rectas que contienen a las alturas se cortan en un punto

llamado ortocentro.



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En los triángulos acutángulos, el ortocentro se halla en el interior del triángulo,

mientras que en los oblicuángulos se halla en el exterior del triángulo. Para los trián-

gulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Teorema 2. En un triángulo isósceles, la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura co-

rrespondientes a la base son coincidentes.

Teorema 3. En un triángulo equilátero, el baricentro, el incentro, el circuncentro y el orto-

centro coinciden.

Fómulas de área y perímetro de triángulos

Área

A = 12 b · c · senα

Perímetro

P = a +b + c

A = b·h2

A =√p(p −a)(p −b)(p − c)

p = a+b+c2



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Triángulo Equilátero

A =p

3

4l 2 =

p3

3h2

P = 3l

Triángulo Isósceles

A = L

4·√

4l 2 −L2

P = 2l +L

Cuadriláteros

Resumen de Propiedades de los cuadriláteros

1. La suma de la amplitud de los ángulos interiores es igual a 3600.

2. Sus lados opuestos son iguales y paralelos.

3. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suman 1800.

4. Sus diagonales se cortan en su punto medio.

5. Sus diagonales son iguales.

6. Sus ángulos interiores son rectos.

7. Sus diagonales se cortan perpendicularmente y bisecan los ángulos de donde par-

ten.

8. Sus cuatro lados son iguales.

9. La paralela media es igual a la semisuma de la las bases.



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Paralelogramos

Paralelogramo generalPropiedades: 1,2,3,4

A = b ·h

P = 2(a +b)

RectánguloPropiedades: 1,2,3,4,5,6

A = b ·h

P = 2(a +b)

Rombo

Propiedades: 1,2,3,4,7,8

A = d1 ·d2

2P = 4l

Cuadrado

Propiedades: 1,2,3,4,5,6,7,8,9

A = a2

P = 4a



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Trapecios

Trapecio General

Propiedades

AB ∥C D

A = (a+c2

)h

A = m ·h

P = a +b +c +d

Trapecio isósceles

Propiedades

AB ∥C D

AD ∼= BC

A = (a+c2

)h

A = m ·h

P = a +b +c +d

Trapecio rectángulo

Propiedades

AB ∥C D

AD ⊥ AB

AD ⊥C D

A = (a+c2

)h

A = m ·h

P = a +b +c +d



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Trapezoide Simétrico

Propiedades

BD ⊥ AC

AB ∼= BC

AD ∼=C D

A = d1 ·d2

2P = 2a +2b

Ejemplo 1.1. Sea el triángulo ABC cuyos puntos medios de los lados AB ,BC y AC son D, E

y F respectivamente, demostrar que DFCE es un paralelogramo.

SoluciónAfirmaciones Razones

1. DE = FC ,DE ∥ FC En todo triángulo el segmento que une

los puntos medios de dos lados es para-

lelo e igual a la mitad del tercer lado.

DE = 12 AC = 1

2 (AF +FC ) = 12 (2FC ) = FC

2. DF = EF ,D f ∥ EC En todo triángulo el segmento que une

los puntos medios de dos lados es para-

lelo e igual a la mitad del tercer lado.

DF = 12 BC = 1

2 (BE +EC ) = 12 (2EC ) = EC

3. DFCE es un paralelogramo Si los lados opuestos de un cuadrilátero

son iguales y paralelos, es un paralelo-

gramo.



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Ejemplo 1.2. Sea PQRS los vértices de un paralelogramo, T el punto medio de PS y U el

punto medio de RQ, demuestra que TQUS es un paralelogramo.

SoluciónAfirmaciones Razones

1. PT = T S T es el punto medio del segmento PT

2. QR =U R U es el punto medio del segmento QR

3. T S =QU ,T S ∥QU En un paralelogramo los lados opuestos

son iguales y paralelos.

T S =QU De la afirmación 3, se tiene que PS =QR, entonces: PT + T S = QU +U R →2T S = 2QU → T S =QU

T S ∥QU Son segmentos de PS y QR, los que a su

vez son paralelos.

3. TQUS es un paralelogramo Dos lados opuestos T S y QU son parale-

los e iguales.

Ejercicios propuestos

1.Determina la longitud de los lados del rec-

tángulo ABCD, si AO = 2p

5 y AB = 2BC

2.En el rombo MNOP, determina el valor de

los lados si M N = 6x +5 y MP = 7x −1



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3.

En la figura, C y D son puntos medios de

AE y BF . Encuentran el valor AB , si AB =x +1,C D = x +2,EF = 13.

4.

En la figura, C y D son puntos medios de

AE y BF . Determina la longitud de AE ,

si AB = x + 1,C P = y,PD = 2y + 2,EF =11, AC =C E = x.

5.

En la figura, los lados AI y B J están divi-

didos en 4 partes iguales. Encentra la lon-

gitud AB e I J , si C D = 3a+b4 y EF = a+b

2 .

Polígonos

Definición 6. Unpolígono es una figura cerrada formada por la unión de varios segmentos,

de manera que no se cruzan.

Los segmentos se llaman lados del polígono.

Los extremos de los segmentos se llaman vértices.

La suma de las longitudes de los lados se llama perímetro.

Los ángulos del polígono, son los que contienen dos lados consecutivos.

Clasificación de los polígonos

Según la cantidad de lados



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triángulo 3 lados

cuadrilátero 4 lados

pentágono 5 lados

hexágono 6 lados

heptágono 7 lados

octógono 8 lados

eneágono 9 lados

decágono 10 lados

endecágono 11 lados

dodecágono 12 lados

pentadecágono 15 lados

icoságono 20 lados

Otras clasificación

Equiángulo: polígono que tiene sus ángulos internos congruentes.

Equilátero: polígono que tiene sus lados congruentes.

Convexo: si ningún par de sus lados están en lados opuestos de una recta que con-

tenga un lado del polígono. Se reconocen gráficamente por que no tiene ángulos

internos con “medida” mayor que 1800.

Regular: los polígonos que son a la vez equiláteros y equiángulos.

Todo polígono regular es convexo.

Polígonos regulares

Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden inscribirse y circunscri-

birse en una circunferencia.



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Para un polígono regular de n lados se cumple:

θ = 3600

n

α= n −2

n·1800

β= θ = 3600

n

La suma de los ángulos centrales es 3600

La suma de los ángulos internos es (n–2) ·1800

La suma de los ángulos externos es 3600

Si d es el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono

convexo y D es el número total de diagonales, se tiene: d = n −3, D = n(n −3)

2

Fómula de área y perímetro de polígonos regulares

Si n es el número de lados, a la longitud de cada lado y ap el apotema, se tiene:

Perímetro P = n ·a

Área A = 12 n ·a ·ap = 1

2 ·P ·ap

Circunferencia y círculo

Propiedades en la circunferencia

1. Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro

con el punto de tangencia.

Si el radio OP de una circunferencia de centro O, es perpendicular a una recta←→t que pasa por P, entonces la recta

←→t es tangente a la circunferencia en el

punto P.



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OP ⊥←→t

2. En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a cuerdas congruentes le

corresponden arcos congruentes y viceversa.

AB =C D ⇐⇒ mÙAB = mÙC D

3. Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos corres-

pondientes en partes congruentes.

4. En el plano de una circunferencia, la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de

la circunferencia.



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5. En la misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas equidis-

tantes del centro son congruentes y viceversa, si las cuerdas son congruentes, equi-

distan del centro. Además los arcos determinados por las cuerdas son congruentes.

AB =C D ⇐⇒OE =OF

AB =C D ⇐⇒ÙAB ∼= ÙC D

Relaciones métricas en la circunferencia

Definición 1. Si←→PA es tangente a la circunferencia en A, entonces PA se llama segmento

tangente desde P a la circunferencia.

Teorema 1. Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son

congruentes y determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior

con el centro.

Teorema 2. Sean una circunferencia C y un punto Q de su exterior. Sea L1 una secante que

pasa por Q e interseca a C en los puntos R y S; y sea L2 otra secante que pasa por Q e interseca

a C en los puntos U y T, entonces:



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QR ·QS =QU ·QT

Teorema 3. Sean QT un segmento tangente a una circunferencia en T, y una recta secante

que pasa por Q e interseca a la circunferencia en los puntos R y S, entonces:

QT2 =QR ·QS

Teorema 4. Si RS y TU son cuerdas de la misma circunferencia que se cortan en Q, entonces

QR ·QS =QU ·QT



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Ejemplo 1.1. En la siguiente figura, AB = 25, AE = 18,DC = 27. Determine el valor de EC .Solución

Sea EC = x, como DC = 27, entonces

ED = 27−x

Tenemos que: AE ·EB =C E ·ED

AL sustituir tenemos que:

18(7) = x(27−x) ⇒ x2−27x+126 = 0

∴ x1 = 6 x2 = 21

Hay dos valores para EC .

Ejemplo 1.2. En la figura PA = AD ,BC = 7, hallarPD.Solución

Se cumple que: PA ·PD = PB ·PC .

Ademas PD = PA AD y PC = PB +BC = 4+7 = 11

Si hacemos PA = x, entonces AD =PA = x y PD = 2x

Luego x(2x) = (4)(11)

∴ x2/44 x =p22.

Resulta que PD = 2p

22

Ejercicios propuestos

1. A partir de la figura y la información dada, encuentre el valor indicado.

a) AC = 16,PB = 6,PD = 8, Hallar AP y PC .

b) AP = 3,PC = 5,PD = 4. Hallar PB .

c) PC = 2 ·PA,PD = 4,BD = 12. Hallar AC .

d) BD = 15,PB = 6,PB = 3 ·PA. Hallar PC

2.

a) PA = AD ,PB = 4,BC = 7, Hallar PD .

b) PD = 6,PA = 2,PC = 5. Hallar PB .

c) PD = 7, AD = 4,BC = 5. Hallar PB .

d) PA = 8, AD = 12,BC = 10. Hallar PC .

d) PD = 12,PA = 4,PC = 10. Hallar BC



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3.

a) PB = 18, AB = 4, Hallar PT .

b) PT = 8,PBB = 20. Hallar PA.

c) PT = 14,PA = 8. Hallar AB .

d) PT = 20, AB = 9. Hallar PB .

4.Se tiene

−→PA tangente a la circunferencia en A.

AP = P X = X B . Si PQ = 1 y QR = 8. Determina AX


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