PORCENTAJESDÍA 06 * 1º BAD CS

• La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fracción• a • --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o simplemente razón.• a’

• PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO• • Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100.• Su símbolo es %.• Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes.

• EJEMPLO

• En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos.• 2 40• --- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados.• 5 100

Repaso: Proporcionalidad

• TANTO POR UNO

• En una proporción, se llama tanto por uno a la expresión decimal que resulta de efectuar la división.

• a • --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o tanto por uno.• a’

• EJEMPLO

• En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos.• 2 • --- = 0,4 , que es el tanto por uno.• 5

• TANTO POR UNO ENCADENADOS• • La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama

tantos por uno encadenados y es equivalente al producto de estos.

• Si nos hacen un 20% de descuento:• 100 – 20 = 80 Se paga el 80% del precio.• Si nos imponen un 16% de IVA:• 100 + 16 = 116 Se paga el 116 % del precio.• En total: El 116% del 80% será 1,16 . 0,8 = 0,928 , que es el 92,8 % del precio.

Índice de variación

• En un aumento o disminución porcentual, el número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

• C 1,12 C ; 1,12 es el índice de variación.• Ejemplo:

• El valor de una vivienda de tipo medio subió un 7,5 % en el último año. ¿Cuál es el índice de variación?.¿Cuánto costará ahora una vivienda que hace un año su precio era de 120.000 €?.

• Cien euros de hace un año serán ahora 100 + 7,5 = 107,5 • Cada euro de hace un año valdrá ahora 1 + 0,075 = 1,075• Que es el índice porcentual: 1,075• Valor actual de la vivienda: 120.000 x 1,075 = 129.000 €

Aumentos y disminuciones porcentuales

• En un aumento porcentual del r %, el índice de variación es• 1 + r/100

• En una disminución porcentual del r %, el índice de variación es • 1 – r/100.

• Ejemplo:

• Un ordenador costaba hace un año 750 €. Ahora sabemos que vale un 20 % menos. Hallar el índice de variación y lo que cuesta ahora.

• Cien euros de hace un año serán ahora 100 - 20 = 80 • Cada euro de hace un año valdrá ahora 1 – 0,20 = 0,80• Que es el índice porcentual: 0,80• Valor actual del ordenador: 750 x 0,80 = 600 €

Valor final

• Para calcular el valor final, en un aumento o en una disminución porcentual, se halla el índice de variación (que conviene expresarlo en forma decimal) y se multiplica por la cantidad inicial.

• Más ejemplos:

• Un pendriver, un apartamento y una lavadora valían hace un año 50 €, 100.000 € y 300 € respectivamente. Ahora valen un 30% menos, un 10% más y un 15% menos respectivamente.

• Hallar los índices de variación y el precio actual.

• Pentdriver: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,30 = 0,70• Apartamento: Índice de variación =1 + r/100 = 1 + 0,10 = 1,10• Lavadora: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,15 = 0,85• PVP Pentdriver: 50.0,70 = 35 €• PVP Apartamento: 100.000 x 1,10 = 110.000 €• PVP Lavadora: 300. 0,85 = 255 €

Índice de variación global

• Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se calculan los índices de variación correspondientes a los distintos pasos y se multiplican. Se obtiene, así, el índice de variación global.

• Ejemplo

• A finales de 2003 un piso costaba 180.000 €. En el año 2004 su precio aumentó un 12%, en el año 2005 aumentó un 10% y en el año 2006 aumentó un 8,5 %.

• Hallar el valor del piso a principios de 2007.

• 2004 Índice de variación: 1 + 0,12 = 1,12• 2005 Índice de variación: 1 + 0,10 = 1,10• 2006 Índice de variación: 1 + 0,085 = 1,085• Índice global: 1,12 . 1,10 . 1,085 = 1,33672• Precio actual del piso: 180.000 . 1,33672 = 240.609 €

• Sabemos que:

• Cantidad inicial +/- r% = Cantidad final

• Cf = Co ( 1 +/- r/100)

• Cf = Co . Índice de variación

• Luego: Co = Cf / Índice de variación

• Ejemplo 1

• Un coche nos ha costado 18.000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 5%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?.

• Índice de variación = 1 + r/100 = 1 + 5/100 = 1,05

• PVP (2006) = PVP (2007) / Índice de variación = 18.000 / 1,05 = 17.123 €

Cálculo de la cantidad inicial

• Ejemplo 2

• Un piso nos ha costado 180.000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 8%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?.

• Índice de variación = 1 + r/100 = 1 + 8/100 = 1,08

• PVP (2006) = PVP (2007) / Índice de variación = 180.000 / 1,08 = 166.667 €

• Ejemplo 3

• Un ordenador nos ha costado 1.000 €. Nos dicen que en este último año han bajado un 15%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?.

• Índice de variación = 1 - r/100 = 1 - 15/100 = 0,85

• PVP (2006) = PVP (2007) / Índice de variación = 1.000 / 0,85 = 1.176 €

• Ejemplo 4

• He obtenido 12.000 € al vender una plaza de garaje que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 10%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 10% de su valor de venta.

• ¿Por cuánto dinero compré la plaza de garaje?.

• Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) = • = (1 + 10/100).(1 – 10/100) = • = 1,1 x 0,9 = 0,99• Po = Pf / Índice de variación encadenado• Po = 12.000 / 0,99 = 12.120 €

• Como se ve he perdido dinero, pues aunque los porcentajes son iguales (10%), el de Hacienda es sobre una cantidad mayor.

• Ejemplo 5

• He obtenido 2.000 € al vender un coche de segunda mano que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 8%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 4% de su valor de venta.

• ¿Por cuánto dinero compré el coche?.

• Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) = • = (1 + 8/100).(1 – 4/100) = • = 1,08 x 0,96 = 1,0368

• Po = Pf / Índice de variación encadenado

• Po = 2.000 / 1,0368 = 1.929 €

• Ejemplo 6

• Un vestido de novia, a lo largo del año sufre las siguientes variaciones en su precio:

• En Marzo sube un 10%, en Mayo sube un 15%, en Agosto baja un 8% y en Noviembre baja un 12%.

• ¿Qué me costó en Enero si ahora (Diciembre) vale 2.000 €?.

• Índice global = (1 + r/100). (1 + r/100). (1 – r’/100). (1 – r’/100) = • = (1 + 10/100). (1 + 15/100). (1 – 8/100). (1 – 12/100) = • = 1,10 x 1,15 x 0,92 x 0,88 = 1,21

• Po = Pf / Índice de variación encadenado

• Po = 2.000 / 1,21 = 1.653 €

• El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL.• La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama

INTERÉS.• El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama

TIPO DE INTERÉS o RÉDITO

• El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo.

• C . r . t C . r . t C . r . t• i = ------------- ; i = ------------; i = ------------ , según se mida• 100 1200 36000

• el tiempo en años, meses o días.• O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t = C.(1+r.t)• En el interés simple los intereses producidos en cada periodo de tiempo,

periodo de imposición, no se acumulan al capital inicial para el siguiente periodo.

Interés simple

Ejemplo_1• Un grupo de estudiantes tiene 5.000 € para un viaje fin de estudios

a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 días.• Un banco les ofrece un interés del 3% nominal anual.• ¿Qué dinero obtendrían si lo colocan a 2 años?• ¿Y si lo colocan a 26 meses?• ¿Y si lo colocan a 800 días?

• Co . r . t 5.000.3.2 • i = ------------- = ---------------- = 300 € • 100 100 • Co . r . t 5.000.3.26 • i = ------------- = ---------------- = 325 € • 1200 1200 • Co . r . t 5.000.3.800 • i = ------------- = ------------------- = 367 € • 36000 36000

Ejemplo_2• ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20

meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €?

• Quiero que 5000 + i = 6000• Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €.

• Co . r . t 5.000. r. 20 • i = ------------- ; 1000 = ---------------- ; • 1200 1200

• Resolviendo la ecuación:• 1200000 = 100.000. r r = 1200000 / 100000 = 12

• El tipo de interés debe ser del 12%.• Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente.

Ejemplo_3• ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de

interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial?

• Quiero que Cf = Co + i 3.Co = Co + i • Luego debo conseguir unos intereses de 2.Co.

• Co . r . t Co. 4. t • i = ------------- ; 2.Co = ------------; • 100 100

• Resolviendo la ecuación:• 200. Co = 4.Co.t t = 200. Co / 4. Co = 50

• Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique.

• En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital.

• En el primer año: • Capital final = C + C.r/100 = C.(1+ r/100)

• En el segundo año:• Capital final = (C + C.r/100) + (C + C.r/100).r/100• Sacando factor común a (C+C.r/100)• Capital final = (C + C.r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100)2

• En el tercer año:• Capital final = C.(1+r/100)2 + C.(1+r/100)2 .r/100• Sacando factor común a C.(1+r/100)2

• Capital final = C.(1+r/100)2.(1+ r/100) = C.(1+ r/100)3

• Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100)t

Interés compuesto

• Si en lugar de años (t) , los intereses se abonan cada dos o tres meses, o incluso mensualmente, entonces el llamado periodo de capitalización será menor al año.

• Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 12 será el interés mensual.• En un mes tendremos unos intereses de:

• i= C. (r / 100) / 12 = C.r / 1200

• Capital final = C + C.r / 1200 = C.(1+ r /1200)

• Al cabo de m meses tendremos: Capital final = C.(1+ r/1200)m

• Si por características especiales los intereses se abonan en días, tendremos:

• Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 360 será el interés diario.• En un día tendremos unos intereses de:

• i= C. (r / 100) / 360 = C.r / 36000

• Capital final = C + C.r / 36000 = C.(1+ r /36000)

• Al cabo de n días tendremos : Capital final = C.(1+ r/36000)n

• Ejemplo 1

• Deposito en un banco 5.000 € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?.

• En el primer año: • Capital final = 5000 + 5000.0,05 = 5000.1,05 = 5250• En el segundo año: • Capital final = 5250 + 5250.0,05 = 5512,5• En el tercer año: • Capital final = 5512,5 + 5512,5.0,05 = 5688,025• Y así hasta el 10º año.

• Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: • Capital final = C.(1+r)t

• Capital final = 5000.(1+0,05)10 = 8144,47 €

• Ejemplo 2

• Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?.

• Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: • Capital final = C.(1+r/100)t

• Capital final = 10000.(1+0,03)10 = 13439,16 €

• Ejemplo 3

• Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 120 meses?.

• Utilizando la fórmula, al cabo de 120 meses tendremos: • Capital final = C.(1+r/1200)m

• Capital final = 10000.(1+0,03/12)120 = 10000.(1+0,0025)120 =• = 13493,53 €

• Ejemplo_4

• Ingresamos en un banco la cantidad de 20.000 € a un tipo de interés anual del 5 %.¿ Qué tiempo tiene que transcurrir para que se nos doble el capital?.

• Como es un proceso de capitalización acordamos no tocar los intereses producidos en cada periodo ( interés compuesto).

• Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos: • Capital final = C.(1+r)t

• 40.000 = 20.000.(1+0,05)t Ecuación exponencial.• 40000 / 20000 = (1,05)t 2 = (1,05)t • Tomando LOGARITMOS DECIMALES, tenemos:• log 2 = log (1,05)t log 2 = t. log 1,05• • Despejando t, ahora que ya no está en el exponente, tenemos:• t = log 2 / log 1,05 = 0,301030 / 0,021189 = 14,20 años

• Ejemplo_5

• Un piso me ha costado 120.000 €. Cada año se revaloriza un 10%.¿Qué valdrá al cabo de 15 años.

• En el primer año: • Capital final = 120.000 + 120.000.0,1 = 120.000.(1+0,1) = 132.000

• En el segundo año: • Capital final = 120.000.(1+0,1) + 120.000.(1+0,1) (1+0,1) = • = 120000.(1+ 0,1).(1+ 0,1) = 120000.(1+0,1)2 = 145.200

• Utilizando la fórmula, al cabo de 15 años tendremos: • Capital final = C.(1+r)t

• Capital final = 120.000.(1+0,1)15 = 501.269 €

• Depositamos un capital Co durante unos meses ( m < 12), a un tipo de interés del r %, con pago mensual de intereses.

• Al darnos los intereses producidos mes a mes, tendremos al final:• Cf = Co + r/1200 + r/1200 + r/1200 + … = Co + m.(r/1200)• Si en lugar de pagarnos los intereses mensualmente nos los

abonan al finalizar los m meses, tendremos: • Cf = Co. (1+ r /1200)m • Cantidad que sería superior a la obtenida con pago mensual.• Si ahora m = 12, el capital final sería:• Cf = Co. (1+ r /1200)12 • También: Cf= Co.(1+TAE)• Luego (1+ r /1200)12 = (1+ TAE)

• A la diferencia (1+ r /1200)12 - 1 se llama TAE

TAETASA ANUAL EQUIVALENTE

• Ejemplo_1 T. A. E.

• Si depositamos 6.000 Euros durante un año en un banco que nos ofrece el 3 % nominal anual pagadero mensualmente:

• Co = 6.000 Euros; r = 3 % = 0,03; m = 12 periodos ( meses )• r 0,03 / 12 = 0,0025 • • Cf = Co. (1+ r/1200)m = 6.000. (1+ 0,0025)12 = 6.182,48 €

• Si en lugar de pagarnos los intereses mensualmente nos los abonan al finalizar el año, para que al final de dicho periodo tengamos la misma cantidad de dinero, o sea 6.182,48 €, veamos qué interés nos debe ofrecer el banco:

• Cf=Co.(1+ r/100) ; pues el tiempo t es t = 1 año• 6.182,48 = 6.000.(1+ r/100) ; 1+ r/100 = 6182,48 / 6.000 = 1,0304• r/100 = 1,0304 – 1 = 0,0304• O sea el interés debe ser del 3,04 %• Ese valor, 3,04 % es lo que llamamos TASA ANUAL EQUIVALENTE.

• Como vemos el TAE es superior al tipo de interés.• Lo tendríamos a un interés del 3 %, 3,04 % TAE

• Ejemplo_2 T. A. E.

• Si depositamos 6.000 Euros durante un año en un banco que nos ofrece el 3 % nominal anual pagadero trimestralmente:

• Co = 6.000 Euros; r = 3 % = 0,03; t = 4 periodos ( trimestres)• r 0,03 / 4 = 0,0075 • • Cf = Co. (1+ r /400)m = 6.000. (1+ 0,0075)4 = 6.182,035 €

• Si en lugar de pagarnos los intereses mensualmente nos los abonan al finalizar el año, para que al final de dicho periodo tengamos la misma cantidad de dinero, o sea 6.182,035 €, veamos qué interés nos debe ofrecer el banco:

• Cf=Co.(1+ r/100) ; pues el tiempo t es t = 1 año• 6.182,035 = 6.000.(1+ r/100) ; 1+ r/100 = 6182,035 / 6.000 = 1,03034• r/100 = 1,03034 – 1 = 0,03034• O sea el interés debe ser del 3,034 %• Ese valor, 3,034 % es lo que llamamos TASA ANUAL EQUIVALENTE.

• Como vemos el TAE es superior al tipo de interés.• Lo tendríamos a un interés del 3 %, 3,034 % TAE

• Ejemplo_3 T. A. E.

• Si depositamos 6.000 Euros durante un año en un banco que nos ofrece el 3 % nominal anual pagadero bimensualmente:

• Co = 6.000 Euros; r = 3 % = 0,03; t = 6 periodos ( bimensual)• r 0,03 / 6 = 0,005 • • Cf = Co. (1+ r /600)m = 6.000. (1+ 0,005)6 = 6.182,265 €

• Si en lugar de pagarnos los intereses mensualmente nos los abonan al finalizar el año, para que al final de dicho periodo tengamos la misma cantidad de dinero, o sea 6.182,265 €, veamos qué interés nos debe ofrecer el banco:

• Cf=Co.(1+ r/100) ; pues el tiempo t es t = 1 año• 6.182,265 = 6.000.(1+ r/100) ; 1+ r/100 = 6182,265 / 6.000 = 1,0303775• r/100 = 1,0303775 – 1 = 0,0303775• O sea el interés debe ser del 3,0378 %• Ese valor, 3,0378 % es lo que llamamos TASA ANUAL EQUIVALENTE.

• Como vemos el TAE es superior al tipo de interés.• Lo tendríamos a un interés del 3 %, 3,0378 % TAE

Comparando TAE• Ejemplos T. A. E.

• Si depositamos 6.000 Euros a un 3 % nominal anual pagadero mensualmente:

• Lo tendríamos a un interés del 3 %, 3,04 % TAE

• Si depositamos 6.000 Euros a un 3 % nominal anual pagadero bimensualmente:

• Lo tendríamos a un interés del 3 %, 3,0378 % TAE

• Si depositamos 6.000 Euros a un 3 % nominal anual pagadero trimestralmente:

• Lo tendríamos a un interés del 3 %, 3,034 % TAE

• El TAE es el tipo de interés que equivaldría a tener nuestro dinero depositado durante un año sin retirar los intereses producidos (mensualmente, bimensualmente, trimestralmente, etc).