PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

ESTUDIO Y SIMULACIÓN DE UN COMPENSADOR DE POTENCIA

REACTIVA BASADO EN INDUCTORES NO LINEALES.

MAURICIO ANTONIO SANCHEZ VENECIANO

INFORME FINAL DEL PROYECTO

PRESENTADO EN CUMPLIMIENTO

DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR

AL TÍTULO PROFESIONAL DE

INGENIERO CIVIL ELÉCTRICO.

MARZO 2006

ESTUDIO Y SIMULACIÓN DE UN COMPENSADOR DE POTENCIA

REACTIVA BASADO EN INDUCTORES NO LINEALES.

INFORME FINAL

Presentado en cumplimiento de los requisitos

para optar al título profesional de

Ingeniero Civil Eléctrico

otorgado por la

Escuela de Ingeniería Eléctrica

de la

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Mauricio Antonio Sanchez Veneciano

Profesor Guía Sr. Domingo Ruiz Caballero. Profesor Correferente Sr. Reynaldo Ramos Astudillo. Profesor Correferente Sr. Rene Sanhueza.

2006

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

ACTA DE APROBACIÓN

La Comisión Calificadora designada por la Escuela de Ingeniería Eléctrica, ha aprobado el texto del Informe Final del Proyecto de Titulación, desarrollado entre el segundo semestre 2003 y primer semestre 2004, y denominado:

ESTUDIO Y SIMULACION DE UN COMPENSADOR DE POTENCIA REACTIVA

SVC BASADO EN INDUCTORES NO LINEAL.

Presentado por el Señor

MAURICIO ANTONIO SANCHEZ VENECIANO

DOMINGO RUIZ CABALLERO

Profesor Guía

REYNALDO RAMOS ASTUDILLO Segundo Revisor

RAIMUNDO VILLARROEL VALENCIA

Secretario Académico

Valparaíso, Marzo 2006

Les agradezco a mis padres por el apoyo

entregado durante todos estos años de

estudio, a mis hermanos que me han

acompañado en el transcurso de mi vida y

a todas aquellas personas que se alegran

por este logro.

ESTUDIO Y SIMULACIÓN DE UN COMPENSADOR DE POTENCIA

REACTIVA BASADO EN INDUCTORES NO LINEALES.

Mauricio Antonio Sanchez Veneciano

Profesor Guía: Sr. Domingo Ruiz Caballero

RESUMEN

Este trabajo, propone una nueva topología entre los compensadores de

potencia reactiva existentes. En específico, el proyecto se concentra

principalmente en el SVC, y donde la propuesta es basada en una novedosa

topología, basada en el comportamiento del inductor no lineal. Es decir para un

mismo nivel de tensión la inductancia vista por el sistema toma dos valores

dependiendo del funcionamiento del circuito.

El desarrollo natural del proyecto es hecho mediante un análisis cualitativo

del circuito, a través del cual son obtenidas las ecuaciones que rigen al sistema,

modelando así el comportamiento que representa al compensador de potencia

reactiva propuesto. Los tipos de respuestas en el desarrollo del proyecto son

obtenidas y comprobadas vía simulación digital, verificándose así el

comportamiento del circuito para compensar una línea de transmisión corta.

v

ÍNDICE

PáginaHOJA DE TÍTULO iACTA DE APROBACIÓN iiDEDICATORIA iiiRESUMEN ivÍNDICE vINDICE DE FIGURAS viii

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO 1 2INTRODUCCIÓN A LOS COMPENSADORES ESTÁTICOS DE POTENCIA REACTIVA SVC

2

1.1 INTRODUCCIÓN 21.2 CONFIGURACIÓN BÁSICA DE UN SVC 21.3 PRINCIPIO DE OPERACIÓN DEL SVC 41.4 MEJORAMIENTO DE LA ESTABILIDAD TRANSITORIA

MEDIANTE LOS EFECTOS DE LA COMPENSACIÓN 6

1.5 MODELO BÁSICO DE UN REACTOR CONTROLADO A TIRISTOR (TCR)

8

1.5.1 Principio de funcionamiento del TCR 91.5.2 Análisis armónico 121.6 SOLUCIONES PARA LIMITAR LA GENERACIÓN DE

ARMÓNICOS 14

CAPÍTULO 2 16ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DEL SVC MEDIANTE LA TOPOLOGIA DE INDUCTOR NO LINEAL

16

2.1 INTRODUCCIÓN 162.2 PRESENTACIÓN DEL CIRCUITO CON INDUCTORES NO

LINEALES 17

2.3 PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL CIRCUITO CON INDUCTORES NO LINEALES

18

2.4 CÁLCULO DEL ÁNGULO DE EXTINCIÓN DE LA CORRIENTE 242.5 ANÁLISIS ARMÓNICO DE LA CORRIENTE FUNDAMENTAL 262.6 MODELO SIMPLIFICADO DEL SVC INDUCTOR NO LINEAL 31

vi

CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DEL SVC INDUCTOR NO LINEAL EN RÉGIMEN PERMANENTE

34

3.1 INTRODUCCIÓN 343.2 ANÁLISIS DEL SISTEMA CON O SIN COMPENSACIÓN 353.2.1 Sistema sin compensar 353.2.2 Sistema compensado 363.2.3 Operación Resonante 393.3 CÁLCULO DE LOS PARAMETROS DEL COMPENSADOR 393.4 COMPENSACIÓN PARA UN PUNTO DE OPERACIÓN DADO 413.5 EJEMPLO DE PROYECTO 433.5.1 Determinación de los parámetros del compensador 443.5.2 Simulación para operación resonante 453.5.3 Simulación para operación nominal 483.5.4 Simulación para máxima demanda 513.6 COMPARACION ARMÓNICA DEL SVC BASADO EN

INDUCTORES NO LINEALES CON RESPECTO AL CONVENCIONAL.

54

3.6.1 Comparación para un grado de carga mínimo 543.6.2 Comparación para un grado de carga nominal 583.6.3 Comparación para un grado de carga máximo 61

CAPÍTULO 4 CONTROL DEL SVC MEDIANTE LA TOPOLOGIA CON INDUCTOR NO LINEAL

65

4.1 INTRODUCCIÓN 654.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SVC BASADO EN INDUCTORES

NO LINEALES 65

4.3 SISTEMA DE CONTROL MONOFÁSICO DEL SVC BASADO EN INDUCTANCIAS NO LINEALES.

70

4.4 RESULTADO SIMULACIONES APLICANDO PERTURBACIONES 824.4.1 Variación desde un grado de carga mínimo a un grado de carga

nominal 83

4.4.2 Variación desde un grado de carga nominal a un grado de carga máximo

85

4.4.3 Variación desde un grado de carga mínimo a un grado de carga máximo

87

CONCLUSIONES 91

BIBLIOGRAFÍAS 93

vii

APÉNDICE A A-1Generación de la forma de onda del TCR basado en la topología de inductor no lineal mediante el programa Mathcad.

A-1

APÉNDICE B B-1Obtención de la función de transferencia a través de MATLAB V.6.5 B-1

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Pág.Figura 1-1 Esquema típico unilineal de un SVC. 3Figura 1-2 Modelo de un sistema simple de 2 máquinas con un SVC en

el punto medio. 4

Figura 1-3 Diagrama fasorial con un sistema compensado. 5Figura 1-4 Sistema de dos máquinas con doble circuito. 6Figura 1-5 Criterio de áreas iguales para el estudio de estabilidad del

sistema. 7

Figura 1-6 Compensación ideal del punto medio utilizando el criterio de áreas iguales.

8

Figura 1-7 Reactor controlado a tiristor(TCR). 9Figura 1-8 Formas de onda de la tensión y la corriente en un TCR. 9Figura 1-9 Espectro para las primeras 7 armónicas. 13Figura 1-10 Configuración de TCR’s conectados en paralelo para la

cancelación de armónicos. 14

Figura 1-11 Configuración de 12 pulsos para la cancelación de armónicos.

15

Figura 1-12 Filtros sintonizados para la cancelación de armónicos. 15Figura 2-1 Circuito inductor no lineal. 17Figura 2-2 Conducción de corriente para la primera etapa. 18Figura 2-3 Forma de onda para la primera etapa de operación. 19Figura 2-4 Conducción de corriente para la segunda etapa. 20Figura 2-5 Forma de onda para la segunda etapa de operación. 21Figura 2-6 Conducción de corriente para la tercera etapa. 22Figura 2-7 Forma de onda para la tercera etapa de operación. 23Figura 2-8 Conducción de corriente para la cuarta etapa. 24Figura 2-9 Forma de onda para la cuarta etapa de operación. 24Figura 2-10 Forma de onda para el cálculo del ángulo de extinción de la

corriente. 25

Figura 2-11 Curva normalizada v/s . 25Figura 2-12 TCR inductor no lineal. 27Figura 2-13 Variación de la componente fundamental respecto de . 28Figura 2-14 Variación de la 3° armónica respecto de . 29Figura 2-15 Variación de la 5° Armónica respecto de . 29Figura 2-16 Variación de la 7° Armónica respecto de . 29Figura 2-17 Variación de la 9° Armónica respecto de . 30Figura 2-18 Espectro para las primeras 9 armónicas. 30Figura 2-19 Curva normalizada de Leq v/s . 32Figura 2-20 Topología del SVC inductor no lineal. 33Figura 3-1 Modelo de la línea de transmisión. 34Figura 3-2 Modelo para el sistema sin compensar. 35Figura 3-3 Modelo del sistema compensado. 36Figura 3-4 SVC inductor no lineal y circuito equivalente. 38Figura 3-5 Capacidad equivalente normalizada para distintos valores

del ángulo de disparo. 42

ix

Figura 3-6 Esquema del circuito simulado. 43Figura 3-7 Forma de onda de la corriente a través del SVC gc mínimo. 45Figura 3-8 Espectro armónico de la corriente a través del compensador

gc mínimo. 46

Figura 3-9 Forma de onda para la corriente a través del inductor y del capacitor. gc mínimo.

47

Figura 3-10 Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el punto P gc mínimo.

47

Figura 3-11 Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el punto P gc nominal.

49

Figura 3-12 Formas de onda para las corrientes a través del SVC, del condensador y del inductor del compensador gc nominal.

50

Figura 3-13 Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el punto P gc máximo.

52

Figura 3-14 Formas de onda para la corriente a través del SVC, del condensador y del inductor del compensador gc máximo.

53

Figura 3-15 Formas de onda para la corriente por ambos TCR’s para grado de carga mínimo.

54

Figura 3-16 Formas de onda para la corriente por ambos SVC’s para grado de carga mínimo.

55

Figura 3-17 Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para ambos TCR`s para grado de carga mínimo.

56

Figura 3-18 Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para ambos SVC`s para grado de carga mínimo.

57

Figura 3-19 Formas de onda para la corriente por ambos TCR’s para un grado de carga nominal.

58

Figura 3-20 Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para ambos TCR`s para un grado de carga nominal.

59

Figura 3-21 Formas de onda para la corriente por ambos SVC`s para un grado de carga nominal.

60

Figura 3-22 Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para ambos SVC’s para un grado de carga nominal.

61

Figura 3-23 Formas de onda para la corriente en ambos TCR’s para un grado de carga máximo.

61

Figura 3-24 Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para ambos TCR`s para un grado de carga máximo.

62

Figura 3-25 Formas de onda para la corriente por ambos SVC’s para un grado de carga máximo.

63

Figura 3-26 Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para ambos SVC’s para un grado de carga máximo.

64

Figura 4-1 Esquema del lazo de control del SVC. 65Figura 4-2 Bloque del compensador. 66Figura 4-3 Bloque de la moduladora. 66

x

Figura 4-4 Control vertical para el comando de disparo de los tiristores 67Figura 4-5 Función de transferencia del modulador. 68Figura 4-6 Bloque de la planta. 68Figura 4-7 Curva característica entre la tensión y el ángulo de disparo

de los tiristores. 69

Figura 4-8 Bloque de realimentación. 69Figura 4-9 Modelo del compensador para el control de los tiristores. 71Figura 4-10 Proceso para la obtención de la señal de Control. 72Figura 4-11 Compensador Proporcional integral PI. 73Figura 4-12 Circuito rectificador de onda completa. 74Figura 4-13 Proceso para la obtención de los pulsos de disparo. 75Figura 4-14 Generación de los pulsos de disparo para comandar los

disparos para los tiristores T1a-T1b-T3a-T3b. 75

Figura 4-15 Circuito de control para el Tiristor T2a. 76Figura 4-16 Circuito rectificador de media onda. 77Figura 4-17 Circuito monoestable 555C para obtener la señal V1b. 78Figura 4-18 Circuito comparador entre ambas señales. 78Figura 4-19 Circuito monoestable 555C para obtener el pulso V(T2a). 79Figura 4-20 Procesamiento de la señal para obtener los pulsos de

disparo para T2a 79

Figura 4-21 Circuito de control para el Tiristor T2b. 80Figura 4-22 Procesamiento de la señal para obtener los pulsos de

disparo para T2b. 80

Figura 4-23 Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el punto P.

81

Figura 4-24 Forma de onda de la corriente a través del SVC. 81Figura 4-25 Forma de onda de la corriente a través del TCR-Señal de

control, rampa y pulsos de disparos V(A)-Señal del PLL, pulso para T2a y T2b.

82

Figura 4-26 Variación de las corrientes en el tiempo, del SVC en estudio y por la inductancia equivalente variable o TCR desde un grado de carga mínimo a un grado de carga nominal.

83

Figura 4-27 Tensión eficaz en el punto medio de la línea y variación de la tensión de control desde un grado de carga mínimo a un grado de carga nominal.

84

Figura 4-28 Tensión de control que se intercepta con la tensión diente sierra para generar los pulsos de disparo.

84

Figura 4-29 Variación de las corrientes en el tiempo, del SVC en estudio y por la inductancia equivalente variable o TCR desde un grado de carga nominal a un grado de carga máximo.

86

Figura 4-30 Variación de la tensión de control al momento de la perturbación desde un grado de carga nominal a un grado de carga máximo.

86

Figura 4-31 Tensión en el punto de conexión del compensador desde un grado de carga nominal a un grado de carga máximo.

87

Figura 4-32 Corriente por el SVC y TCR basado en inductancia no lineal desde un grado de carga mínimo a un grado de carga máximo.

87

xi

Figura 4-33 Variación de la tensión de control y tensión en el punto de conexión del SVC, para una perturbación desde el grado de carga mínimo al grado de carga máximo.

88

Figura 4-34 Circuito de Potencia (a) - Circuito de disparo para los tiristores T1a -T1b - T3a -T3b (b)

89

Figura 4-35 Circuitos de disparo para los tiristores T2a (c) -T2b (d) 90Figura A-1 Forma de onda de la corriente para la primera etapa. A-3Figura A-2 Forma de onda de la corriente para la segunda etapa. A-4Figura A-3 Forma de onda de la corriente del brazo TCR. A-5Figura B-1 Diagrama de bloques para el sistema de control. B-1Figura B-2 Ventana Ident de matlab. B-2Figura B-3 Tensión de control (u1) y tensión de salida (y1). B-3Figura B-4 Ventana paremetrics model (ingreso de polos y ceros) B-4Figura B-5 Porcentaje de similitud con la curva real B-4Figura B-6 Polos y ceros de la función de transferencia. B-5

INTRODUCCION

En los últimos años la demanda en los sistemas de potencia ha crecido

considerablemente así como la extensión territorial de los mismos. Esto a llevado

a una serie de problemas tales como: sobrecargas, la presencia de grandes

flujos de potencia en líneas sin un control adecuado y la aparición de

oscilaciones de potencia. Sin embargo, la evolución de los sistemas de potencia

ha resultado en la aparición de otros fenómenos de estabilidad que pueden

limitar la operación del sistema, tales como requerimientos de potencia reactiva y

control de voltaje.

El gran auge de la electrónica de potencia ha permitido el desarrollo e

implementación de dispositivos que han ayudado a mitigar algunos de los

problemas a los que se enfrenta el sector eléctrico. Estos dispositivos se

conocen como Sistemas de Transmisión Flexibles de corriente alterna (FACTS)

que incorpora controladores estáticos basados en electrónica de potencia para

mejorar la controlabilidad e incrementar la capacidad de transferencia de

potencia.

Recientemente los dispositivos FACTS han abierto nuevas alternativas

para la solución de este problema, tales como el empleo de: el compensador

estático de reactivos (SVC), el capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) y

el controlador unificado de flujos de potencia (UPFC), entre otros. Este tipo de

dispositivos puede ayudar, considerablemente, a incrementar el amortiguamiento

de las oscilaciones de potencia y pueden proporcionar una flexibilidad operativa

muy importante, sobre todo cuando se logran coordinar apropiadamente.

En este informe se presenta el estudio de una nueva topología de

compensador de potencia reactiva SVC, basado en el comportamiento del

inductor no lineal, detallando detenidamente su comportamiento y las

características representativas del compensador propuesto para el estudio.

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN A LOS COMPENSADORES ESTÁTICOS DE POTENCIA REACTIVA SVC

1.1 INTRODUCCIÓN

Hoy en día esta tecnología es ampliamente utilizada en los sistemas de

transmisión de energía, cuya técnica emplea reactancias (o suceptancias)

variables usando a los tiristores como elementos controladores, su

funcionamiento se basa en el TCRs (Thyristor Controlled reactors) asociados a

un banco de condensadores. Su importancia nace debido al problema que existe

en los sistemas modernos de transmisión de energía, de compensar los efectos

reactivos producidos por las líneas de transmisión y sus cargas asociadas al

sistema, como son variaciones de tensión en la carga, como también

corrimientos de fase.

El SVC permite manipular la característica natural de la línea para hacer

esta más compatible con los niveles de carga requeridos por el sistema, su

aplicación más utilizada es el control de tensiones en los puntos más críticos del

sistema interconectado, los cuales pueden ser ubicados en los puntos medios de

una línea larga de transmisión como también en áreas de cargas.

Es por esto que hoy en día el número de estas instalaciones esta en

aumento en el sistema interconectado, debido a que entregan, además de nodos

de tensión aproximadamente constante en estado estacionario, también

aumenta la estabilidad transitoria del sistema.

1.2 CONFIGURACIÓN BÁSICA DE UN SVC

En general el esquema típico unilineal del SVC es el que se muestra en la

figura 1-1, el cual puede estar compuesto por todos o algunos de los elementos

3

mostrados. De esta forma, el SVC tiene un comportamiento capacitivo o

inductivo en función del estado de operación de las distintas unidades de

capacidad (TSC o controladas mecánicamente), del TCR y de la dimensión de

los condensadores fijos, ya sea en baterías o filtros LC.

La utilización de unidades TSC en paralelo con el TCR permite disminuir

su inductancia para el funcionamiento en el lado capacitivo. Al reducir el tamaño

del TCR también disminuirían los armónicos inyectados por éste a la red. En la

Ilustración 22 se puede ver el comportamiento de un SVC formado por TCR más

TSC’s en función de una potencia reactiva demandada (Qref). La inclusión de

filtros LC, ya sea sintonizado a un determinado armónico o bien paso-alto, sirven

para evitar que parte de los armónicos generados en el TCR se transmitan a la

red. Con objeto de reducir los armónicos emitidos por el SVC también se pueden

emplear estrategias como las del rectificador de 12 pulsos, dividiendo el SVC en

dos y conectando cada parte a un transformador YY e YD. Las baterías de

condensadores, o inductancias, accionadas mecánicamente pueden trabajar

como unidades de reactiva de reserva que entrarían en funcionamiento en

aquellas condiciones más severas para el control realizado por el SVC.

Figura 1-1: Esquema típico unilineal de un SVC

4

1.3 PRINCIPIO DE OPERACIÓN DEL SVC

Para entender su principio de operación se consideraran 2 máquinas

simples conectadas entre si: una en el extremo generador y la otra en el

receptor, con un SVC situado en el punto medio de la línea que las une (Ver

figura 1-2), cuya línea corresponde al modelo de una línea corta de transmisión

en donde se desprecia el efecto capacitivo y modelada solo por su característica

inductiva.

El SVC esta representado por una fuente de tensión sinusoidal variable a

frecuencia natural en fase con la tensión en el punto medio, cuya amplitud es la

misma para la tensión tanto enviada como recibida, es decir:

V Vm Ve Vr (1-1)

El diagrama fasorial para el sistema con compensación es mostrado en la

figura 1-3, en donde se concluye que la corriente del compensador Im está en

cuadratura con la tensión Vm , por lo que no existe potencia activa a través del

compensador, o sea fluye solamente potencia reactiva.

Figura 1-2: Modelo de un sistema simple de 2 máquinas con un SVC en el punto

medio.

5

Figura 1-3: Diagrama fasorial con un sistema compensado.

Luego la potencia máxima transmisible en un sistema sin compensar, esta

determinada por la ecuación:

2

max ( )V

P senX

(1-2)

Como no puede exceder /2, luego con el sistema compensado es

posible realizar un simple reemplazo de la nueva impedancia entre las máquinas

y el punto medio, en donde se puede apreciar como la capacidad de transmisión

se ha duplicado.

2

max ( / 2)( / 2)

VP sen

X (1-3)

2

2 1 cos( / 2)V

QsX (1-4)

Teóricamente si la reactancia de la línea pudiese ser dividida en “n”

tramos iguales a través de compensadores shunt, la potencia transferida

aumentaría “n” veces. Lo que permitiría aumentar considerablemente la

6

capacidad de transmisión de las líneas, gracias al efecto de la adaptación

producida por la compensación reactiva, a través de controles que poseen una

alta velocidad de respuesta, el cual genera la capacidad de cambiar las

características del flujo de potencia durante las variaciones de la carga en el

sistema.

1.4 MEJORAMIENTO DE LA ESTABILIDAD TRANSITÓRIA MEDIANTE LOS EFECTOS DE LA COMPENSACIÓN

El efecto se puede apreciar claramente mediante el criterio de igualación

de áreas. El cual nos permitirá comprender de forma simple el comportamiento

de 2 máquinas que interactúan ante alguna perturbación del sistema

(desconexión de cargas, fallas, etc.). Estas máquinas intercambian energía, el

sistema de la figura será analizado utilizando la relación entre la potencia y el

ángulo de carga como se muestra en la figura 1-4.

El sistema esta operando en sistema estacionario (pre-falla), en un ángulo

inicial 1 , en tanto la potencia mecánica en el eje del generador como la eléctrica

es igual antes de falla.

Figura 1-4: Sistema de dos máquinas con doble circuito.

Al producirse una falla en una de las líneas, la potencia transferida será

menor, mientras tanto que el extremo generador comienza a acelerarse debido a

que trata de mantener el nivel de transmisión de potencia constante de prefalla,

7

lo cual genera un aumento del ángulo 1 a 2 , en respuesta de la falla actúan

las protecciones de la línea despejando la falla, por lo que la energía de la

aceleración representada en el área 1, es absorbida por el extremo receptor.

Debido al despeje de la falla el generador comienza a desacelerar alcanzando su

ángulo máximo en 3 , debido a la energía cinética almacenada en la máquina

representada por el área 2. Cabe mencionar que se fija como criterio el ángulo

3 , como critico , el cual si es excedido significa que el sistema pasa a ser

inestable.

Cuando el sistema esta compensado, las áreas A1 y A2 incrementan su

capacidad de almacenar energía, debido al aumento de la capacidad de

transmisión del sistema, como muestra la figura, por lo tanto para una misma

perturbación en un sistema compensado el periodo de inestabilidad es menor

que el de un sistema sin compensar, por lo tanto la estabilidad del sistema se

incrementa.

Figura 1-5: Criterio de áreas iguales para el estudio de estabilidad del sistema.

8

Figura 1-6: Compensación ideal del punto medio utilizando el criterio de áreas

iguales.

1.5 MODELO BÁSICO DE UN REACTOR CONTROLADO A TIRISTOR (TCR)

Otro elemento característico en los SVC es la bobina controlada por

tiristores o “thyristor controlled reactor” (TCR). La principal misión de este

elemento es la de conseguir una regulación continua y rápida de la potencia

reactiva consumida por una bobina.

El esquema de un TCR (ver Figura 1-7) está formado por una bobina R+L

y un convertidor CA/CA compuesto por dos tiristores en antiparalelo. En este

caso, a la electrónica de potencia se le aplica un control de fase, de forma que

se regula el valor eficaz de la corriente que circula a través de la reactancia.

Como se señalo el TCR es un tipo de graduador de tensión. En cualquier

instante, el valor de la tensión de salida es el de la entrada o cero, por ende

pertenece a los reguladores totales, siendo esta la base del SVC convencional.

9

Figura 1-7: Reactor controlado a tiristor.

1.5.1 Principio de funcionamiento del TCR

Al aplicar el control de fase sobre los tiristores, se consigue que vayan

conduciendo alternativamente de forma que la intensidad resultante es una

sucesión de transitorios sobre un conjunto RL. Esto es lo que se puede ver en la

figura 1-8, donde a partir de un instante definido por el ángulo de disparo se

inicia la conducción de cada uno de los tiristores TR1 y TR2.

Figura 1-8: Formas de onda de la tensión y la corriente en un TCR

En donde se tiene:

10

0 0t t : Cruce por cero de la tensión

t t : Disparo de los tiristores

1 1t t : Bloqueo de los tiristores

= Angulo de disparo de los tiristores

Para el estudio del comportamiento del TCR se supone un

comportamiento ideal de los tiristores y que la tensión de alimentación es

sinusoidal pura, esto es:

( ) 2 ( )e t E sen t (1-5)

En primer lugar se van a estudiar los instantes de conexión de los

tiristores. El tiristor de ciclos positivos, TR1, se activará en el instante t', el cual

teniendo en cuenta (1-5) se calcula como (ver figura 1-8):

0 / /t t (1-6)

Donde es el ángulo de disparo y 0t es el instante de cruce por cero de

la tensión con pendiente positiva.

Análogamente, el tiristor para ciclos negativos TR2, se activará en el

instante t'' cuya expresión es:

0 / ( ) /t t (1-6)

Donde 0t es el instante de cruce por cero de la tensión con pendiente negativa.

Los instantes finales de conducción de los tiristores (apagado y bloqueo),

se producen en el cruce por cero de la corriente, después de iniciada la

conducción (ver 1 1t t en la figura 1-8).

11

Una vez definidos los instantes de conducción y apagado, la intensidad se

puede definir según los siguientes intervalos:

- Para los ciclos positivos, 1t t t , la corriente se ajusta a la ecuación:

( )1( ) 2 ( )a t ti t K e I sen t (1-7)

- Para los ciclos negativos, 1t t t , la corriente se ajusta a la ecuación:

( )2( ) 2 ( )a t ti t K e I sen t (1-8)

- Para los instantes no incluidos en los intervalos anteriores se tiene ( ) 0i t .

Donde:

I es el valor eficaz de la corriente en régimen estacionario.

es el ángulo de desfase entre la tensión y la corriente en régimen

estacionario:

1n ( )L

taR (1-9)

Como generalmente wL R, con lo que se puede afirmar que = /2 (90º)

a es la atenuación y se define como: a = R/L

K1 y k2 son constantes definidas a partir de las condiciones iniciales Las

constantes K1 y K2, si se consideran las condiciones iniciales nulas de forma

que ( ) ( ) 0i t i t , resultan:

1 2 ( ) 2 ( )K I sen t I sen (1-10)

2 2 ( ) 2 ( )K I sen t I sen (1-11)

12

De donde se puede deducir, debido a la igualdad supuesta para los

ángulos de disparo de TR1 y TR2, que:

1 2K K K (1-12)

El ángulo de disparo tiene valores máximos y mínimos, tal y como se

puede observar si se analiza el comportamiento del tiristor TR1:

Si > , entonces la orden de disparo se produce en el instante que la tensión

es negativa, por lo tanto no hay conducción e i(t) = 0

Si 0 < < , el apagado (i(t) < 0) no se produce hasta que la tensión rebasa su

valor mínimo 2E , de forma que ya estaría disparado el tiristor de la otra rama

TR2. En unos cuantos ciclos la corriente sería la de régimen permanente

( ) ( )ei t i t .

Según lo expuesto, los límites para el ángulo de disparo son:

(1-13)

De forma que para la corriente es la de régimen

permanente, ( ) ( )ei t i t , y para la corriente es nula i(t)=0.

1.5.2 Análisis armónico

Para un estudio analítico de los armónicos de TCR se simplifican las

ecuaciones recién obtenidas suponiendo que la bobina es ideal (R = 0), por lo

que la expresión de la corriente para en el período de conducción de TR1 se

puede poner como:

( ) 2 ( / 2) 2 ( / 2)i t I sen t I sen (1-14)

Siendo además los limites de conducción el indicado en la ecuación 1-13

y el resultante de la igualdad i(t)=0, o sea: 1 (2 ) /t . Entonces

13

realizando el análisis de fourier de la corriente que circula por la bobina i(t),

teniendo en cuenta que tiene simetría de media onda, se obtiene la componente

fundamental de la corriente 1I (ver figura 13) como:

1

2 (2 )

2

E senI

L (1-15)

La condición de simetría mencionada garantiza la no existencia de

armónicos pares. El valor eficaz del resto de armónicos de corriente (ver figura 1-

9) de orden impar n ( nI , con n 1) se obtiene mediante la expresión:

4 ( 1) ( 1) ( )cos

2( 1) 2( 1)n

E sen n sen n sen nI

L n n n (1-16)

En la figura 1-9 se muestra el espectro de las primeras 7 armónicas de la

corriente:

Figura 1-9: Espectro para las primeras 7 armónicas.

1.6 SOLUCIONES PARA LIMITAR LA GENERACIÓN DE ARMÓNICOS

Existen diversas maneras de afrontar los problemas de las armónicas, las

que se detallaran a continuación, cabe destacar que como el SVC esta basado

en el TCR, que es una carga no lineal, el problema de las armónicas es

14

inherente a su comportamiento, algunos de los métodos para eliminar o aminorar

la inyección de armónicas se dan a continuación:

- Disponer de “m” ( 2m ) TCRs conectados en paralelo con la finalidad de

mantener la mayor cantidad posible de estos en conducción, lo que permitiría

destinar solamente un TCR para realizar las variaciones de TCR equivalente,

siendo este ultimo el único que aportaría armónicos al sistema, lo que además

reduciría las pérdidas de conmutación de las válvulas.

Figura 1-10: Configuración de TCRs conectados en paralelo para la cancelación

de armónicos.

-Configuración de 12 pulsos, la cual consiste de 2 grupos trifásicos idénticos de

TCRs conectados en delta como se muestra en la figura 1-11, esto permite la

cancelación de la 3ra armónica, por lo que la configuración de 12 pulsos

solamente genera armónicos del orden 12n+1(con n: 1, 2, 3…).

15

-Otra solución para los armónicos es la incorporación de filtros sintonizados

como se muestra en la figura 1-12, para eliminar o disminuir las armónicas de

distinto orden, principalmente las que exceden la magnitud permitida por la

norma.

Figura 1-11: Configuración de 12 pulsos para la cancelación de armónicos.

Figura 1-12: Filtros sintonizados para la cancelación de armónicos.

CAPITULO 2

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DEL SVC BASADO EN INDUCTORES NO LINEALES

2.1 INTRODUCCIÓN

Como se menciono anteriormente el SVC esta formado por un circuito que

se comporta como una inductancia equivalente llamada TCR, la cual mediante

un adecuado control del ángulo de disparo de los tiristores se puede variar la

magnitud de la corriente fundamental de la inductancia equivalente variable o

TCR y con esto la corriente que entrega o consume el SVC que puede ser de

naturaleza inductiva o capacitiva según los requerimientos del sistema. Ahora se

presenta el estudio de una nueva topología, que cumple la misma función del

TCR convencional, pero la topología de su célula es distinta, por su particular y

especial comportamiento recibe el nombre de inductor no lineal, pues para un

mismo valor de tensión de alimentación nos entrega 2 valores de inductancia

dependiendo del disparo de los tiristores, por lo que deja de tener un

comportamiento lineal. En este capitulo se presentara un análisis del circuito que

modela el comportamiento del SVC inductor no lineal, su principio de

funcionamiento para centrarnos especialmente en encontrar la expresión de la

corriente fundamental, pues como el TCR se comporta como una inductancia

equivalente, con la expresión de la corriente es posible deducir su

comportamiento, esto además con un detallado estudio armónico de la corriente

fundamental, la cual por tener una forma de onda no sinusoidal es la principal

desventaja por la generación de armónicas al sistema. .

17

2.2 PRESENTACIÓN DEL CIRCUITO INDUCTOR NO LINEAL

La figura 2-1 presenta el circuito inductor no lineal, en donde se pueden

obtener dos valores de inductancia equivalente para cada semiciclo, es decir

para el semiciclo positivo el tiristor T2b conduce para un ángulo de disparo 1(

entre y 90°) por lo que la inductancia vista por el sistema es la suma de las 2

inductancias en serie de la rama del centro del circuito (Leq = 2L), cuando t =

el tiristor T2b se bloquea, dando el paso a que conduzcan los tiristores de las

ramas T1b y T3b,los cuales son disparados en 2( 90° 2 180°), por lo que la

inductancia vista por el sistema es el paralelo de las ramas de las esquinas del

circuito( Leq=L/2), lo mismo ocurre para el ciclo negativo, pero en este caso para

un ángulo de disparo de 1+ conduce el tiristor T2a para luego bloquearse en

un ángulo 2+ y dejando el paso de la conducción a los tiristores T1a y T3a. Es

por eso que por su particular forma de funcionamiento este circuito toma el

nombre de inductor no lineal, ya que para una misma alimentación del circuito,

este puede tomar dos valores de inductancia para cada semiciclo dependiendo

del disparo de los tiristores.

Figura 2-1: Circuito inductor no lineal.

18

2.3 PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL CIRCUITO INDUCTOR NO LINEAL

En este capitulo se detallaran las distintas etapas de operación del

circuito, en donde se obtendrán las distintas expresiones de la corriente

fundamental para cada uno de las etapas de conducción de los tiristores. A

continuación se mostraran las formas de ondas de la tensión y la corriente para

cada una de las etapas, en donde se encontraran las expresiones matemáticas

de la corriente, cabe destacar que este análisis nos permitirá hacer un detallado

análisis armónico de la corriente fundamental mediante análisis de fourier.

Primera etapa: Considerando el semiciclo positivo y para un ángulo de disparo

1 (entre ° y 90°), el tiristor T2b comienza a conducir, por lo tanto la inductancia

vista por el sistema es 2L, la corriente para esta etapa se extingue cuando el par

de tiristores T1b y T3b comienza a conducir para un ángulo de disparo 2

(90° 2 180°).

Figura 2-2: Conducción de corriente para la primera etapa.

19

Figura 2-3: forma de onda para la primera etapa de operación.

La caída de tensión en el inductor viene dada por:

( ) 1( )L

dV t Leq i t

dt (2-1)

Donde la inductancia equivalente vista por el sistema es:

1 2 2Leq L L L(2-2)

Cuya solución de la ecuación diferencial de primer grado es: '( )1( ) 1 2 ( )a t ti t K e I sen t (2-3)

Donde I es el valor eficaz de la corriente en régimen permanente, es decir:

2

Vo VoI

Leq L (2-4)

es el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad en régimen

permanente:

20

1n ( )L

taR (2-5)

- Como generalmente L R, con lo que se puede afirmar que = /2 (90º),

- “a” es la atenuación y se define como: a = R/L

- K1 es una constante definidas a partir de las condiciones iniciales

De la figura 2-3 se observa que la corriente se hace cero en t = , es

decir en donde se extingue la corriente que viene de la conducción de los

tiristores de la etapa anterior.

2 21( ) 0 1 ( ) cos

2 2Vo Vo

i K senL L (2-6)

Por lo tanto la expresión final de la corriente para la primera etapa es:

2 1 11( ) cos cos

2 2

Voi t t

L (2-7)

Segunda etapa: Para un ángulo de disparo 2 (90° 2 180°) comienzan a

conducir los tiristores T1b y T3b, por lo que la inductancia vista por el sistema es

L/2, la corriente en esta etapa se extingue cuando dispara el tiristor T2b en el

semiciclo negativo.

Figura 2-4: Conducción de corriente para la segunda etapa

21

Figura 2-5: Forma de onda para la segunda etapa de operación.

Considerando la caída de tensión en el inductor dada por:

( ) 2( )d

VL t Leq i tdt (2-7)

La inductancia equivalente vista por el sistema es el paralelo de las dos

inductancias de las ramas laterales, entonces:

1 22L

L L Leq (2-8)

Siguiendo el mismo proceso anterior, la solución de la ecuación diferencial es:

'( )2( ) 2 2 ( )a t ti t K e I sen t (2-9)

Donde la corriente para este caso:

2

Vo VoI

Leq L (2-10)

De la figura 2-5 se observa que para el calculo de K2 (condición inicial para

i2( t ), la corriente en t = 2 tiene que cumplir:

2( 2) 2 1( 2)i i(2-10)

Es decir:

22

2 2 2( 2 ) ( ) ( 2 ) 2

Vo Vosen sen sen K

L L(2-11)

En donde:

22 ( 2 ) ( )

VoK sen sen

L (2-12)

Por lo tanto la expresión final para la corriente en la segunda etapa:

22( ) 2cos cos 2 cos

Voi wt t

L (2-13)

Tercera etapa: Para un ángulo de disparo 1 en el semiciclo negativo el

tiristor T2a comienza a conducir, la forma de onda es idéntica como la de la

primera etapa pero desfasa 180°, la inductancia vista por el sistema al igual que

la primera etapa de 2L, la corriente se extingue cuando los tiristores T1a y T3a

son disparados para un ángulo 2 .

Figura2-6: Conducción de corriente para la tercera etapa.

23

Figura 2-7: Forma de onda para la tercera etapa de operación.

Como la forma de onda tiene simetría par, para el semiciclo negativo la

forma de la corriente es idéntica pero desfasadas rad es decir:

2 1 11 ( ) 1( ) cos cos

2 2

Voi t i t t

L (2-14)

Cuarta etapa: Los tiristores T1a y T3a comienzan a conducir en 2 , la forma

de onda de la corriente es idéntica a la de la etapa 2 pero desfasada 180°, la

inductancia vista por el sistema es L/2, por tanto la corriente se extingue para un

ángulo 1 correspondiente al otro ciclo de operación como se muestra en la figura

2-8. Al igual que al caso anterior considerando que la forma de onda tiene

simetría par, para el semiciclo negativo la forma de la corriente es la misma pero

desfasadas rad, es decir:

22 ( ) 2( ) 2cos cos 2 cos

Voi t i t t

L (2-15)

24

Figura 2-8: Conducción de corriente para la cuarta etapa.

Figura 2-9: Forma de onda para la cuarta etapa de operación.

2.4 CÁLCULO DEL ÁNGULO DE EXTINCIÓN DE LA CORRIENTE ( )

Al observar la figura 2-10, la corriente i2( t )=0 para un t = + ,

evaluando en el punto se puede determinar el ángulo en donde se extingue la

corriente , es decir:

22( ) 0 2cos( ) cos 2 cos

Voi

L(2-16)

25

Figura 2-10: Forma de onda para el cálculo del ángulo de extinción de la

corriente.

Despejando el ángulo de extinción:

1 cos 2cos

3 (2-17)

La figura 2-11 muestra la curva normalizada, que para cualquier valor de

2 se tiene su respectivo ángulo de extinción de la corriente.

Figura 2-11: Curva normalizada v/s .

26

En donde se puede demostrar que al aumentar el ángulo de disparo 2, el

ángulo de extinción de la corriente disminuye.

2.5 ANÁLISIS ARMÓNICO DE LA CORRIENTE FUNDAMENTAL

Realizando un análisis de fourier de la intensidad de corriente que circula

por el TCR inductor no lineal, teniendo en cuenta que tiene simetría de media

onda, se obtiene la componente fundamental de la intensidad LI .

Considerando las expresiones de la corriente para cada periodo de

conducción de los tiristores:

2 1 11 ( ) cos cos

2 2

Voi t t

L (2-18)

2 1 11 ( ) 1 ( ) cos cos

2 2

Voi t i t t

L (2-19)

22 ( ) 2cos cos 2 cos

Voi t t

L(2-20)

22 ( ) 2 ( ) 2cos cos 2 cos

Voi t i t t

L (2-21)

Entonces, realizando un análisis de Fourier de la corriente que circula por

la bobina i(t), teniendo en cuenta que tiene simetría de media onda, se obtiene la

componente fundamental de la intensidad IL:

27

Figura 2-12: TCR inductor no lineal.

2

222

2

)(cos49

)2cos()cos(23

)2(cos41

)sin()2cos()sin()cos(49

4

3)2sin()cos(

2

12

4

3)2sin()2cos(

4

1

2

2

4)2(

L

VoCfund (2-22)

La condición de simetría mencionada garantiza la no existencia de los

armónicos pares. El valor eficaz del resto de armónicos de intensidad de orden

impar n, (con n > 1) se obtiene mediante la siguiente expresión:

28

2 22 2 2 2

22

22

1 1sin( ) cos cos cos ) cos( )sin( )

1 2 21 1( 1)( 1)

cos( )sin( ) sin( ) cos2 2

cos( ) cos cos( ) cos 3 cos( ) cos 2 sin( )sinsin( )

cos( ) cos

cos(

n

n n n n n

n n nn n n

n n n n n nn

n n

n

C

2

22

22

2 22 2 2 2 2

sin( ) cos sin( )cos 3 sin( ) cos 2 cos( )sin)

sin( ) cos

sin( ) cos cos cos cos 2 cos( )sin( )

1

( 1)( 1)

n n n n n n

n n

n n n n n

n n

2 22 2 2 2

22

22

2

1 1cos( ) cos cos cos sin( )sin( )

2 21 1

sin( )sin( ) cos( ) cos2 2

cos( )cos cos( ) cos 3 cos( ) cos 2 sin( )sincos( )

cos( )cos

sin( )cos ssin( )

n n n n n

nn n n

n n n n n nn

n n

nn

2

2

22

2 22 2 2 2 2

in( )cos 3 sin( ) cos 2 cos( )sin

sin( )cos

cos( ) cos cos cos cos 2 sin( )sin( )

n n n n n

n n

n n n n n

12

(2-23)

Las figuras para las primeras nueve armónicas se muestran desde la figura 2-13

a la 2-17:

Figura 2-13: Variación de la componente fundamental respecto de 2.

29

Figura 2-14: Variación de la 3° armónica respecto de 2.

Figura 2-15: Variación de la 5° Armónica respecto de .2

Figura 2-16: Variación de la 7° Armónica respecto de .2

30

Figura 2-17: Variación de la 9° Armónica respecto de 2.

A modo de ejemplo, en la figura 2-18 se muestra el espectro de armónicos de la

corriente por la bobina:

Figura 2-18: Espectro para las primeras 9 armónicas.

31

Si se necesita hacer un cálculo más exacto del comportamiento del TCR

se tendrían que considerar los posibles armónicos en la tensión de red, habría

que tener en cuenta los tiempos de conmutación de los tiristores y la resistencia

óhmica de la bobina. Un problema que se puede presentar en un TCR es la

aparición de armónicos de orden par en el caso de que los tiempos de disparo

de los tiristores sean distintos.

2.6 MODELO SIMPLIFICADO DEL SVC INDUCTOR NO LINEAL

Si sólo se considera la componente fundamental de la intensidad en el

TCR inductor no lineal, se puede interpretar la variación de la intensidad con el

ángulo de disparo como si se dispusiese de una inductancia variable dada por la

siguiente ecuación:

22

22 2

( 2)1 3 1 3

cos( 2) sin( 2) 2 cos( ) sin( 2)4 4 2 49

cos( ) sin( ) cos( 2) sin( )24

1 3 9cos ( 2) cos( ) cos( 2) cos ( )

4 2 4

LLeq

(2-22)

Donde la expresión para la susceptancia del TCR es:

1( )

( )Leq (2-23)

La curva normalizada de la variación de la inductancia respecto del ángulo

de disparo de los tiristores se muestra a continuación:

32

Figura 2-19: Curva normalizada de Leq v/s 2.

Con la aproximación descrita la expresión de la potencia reactiva

consumida por la bobina se puede poner como:

22

2

22 2

1 3 1 3cos( 2) sin( 2) 2 cos( ) sin( 2)

4 4 2 494 cos( ) sin( ) cos( 2) sin( )( 2)4

1 3 9cos ( 2) cos( ) cos( 2) cos ( )

4 2 4

L

VoQ

L (2-22)

En paralelo con el TCR es habitual que se dispongan de baterías de

condensadores (fijas) o incluso unidades adicionales de reactancias (TCR). Por

lo tanto, la potencia reactiva generada por el SVC se puede obtener como:

( )LeqQsvc Qc Q (2-23)

33

Donde CQ es la potencia reactiva generada por los condensadores

conectados y ( )LQ la potencia reactiva consumida por el TCR en función del

ángulo de disparo (en este término se incluiría la potencia de las reactancias

adicionales en uso).

El comportamiento de un SVC en estudio se puede aproximar al de una

susceptancia variable con un valor que depende del estado de funcionamiento

del SVC, o sea, de condensadores conectados y del ángulo del TCR, es decir:

1

( )svc C

Leq (2-24)

Donde C es la capacidad de los condensadores en funcionamiento

conectadas en paralelo con el SVC inductor no lineal.

Figura 2-20: Topología del SVC inductor no lineal.

CAPITULO 3

ANÁLISIS DEL SVC BASADO EN INDUCTORES NO LINEALES EN RÉGIMEN PERMANENTE

3.1 INTRODUCCIÓN

El presente capitulo tiene como objetivo el estudio y simulación de un

Compensador Estático de Reactivos SVC mediante la topología de inductor no

lineal, aplicado en la compensación de una línea de transmisión de un sistema

de potencia. La línea de transmisión será considerada del tipo corta y es

modelada como se muestra en la figura 3-1. En esta figura se muestra, además,

la ubicación del SVC el cual debe compensar el punto medio de la línea de

transmisión denominado (P).

Los parámetros del sistema se definen a continuación:

Vf = Fasor de tensión de la fuente

Vs = Fasor de tensión de la carga

X = Reactancia inductiva de la línea

V = Tensión eficaz

Figura 3-1: SVC aplicado a una línea de transmisión corta.

35

= Angulo de la carga

Ceq( )=Capacidad equivalente del SVC

I = Fasor de corriente de fuente

3.2 ANÁLISIS DEL SISTEMA CON O SIN COMPENSACIÓN

3.2.1 Sistema sin compensar

A continuación se determina la tensión en el punto p para el sistema sin

compensar.

La corriente del sistema viene dada por:

ˆ ˆ 2ˆ 1 cos( )2

Vf Vs VI

jX X(3-1)

Luego la tensión en el punto P es:

ˆ ˆ ˆ2

XVp Vf I j (3-2)

Desarrollando la ecuación (3-2):

2ˆ 1 cos( )2 2

VVp (3-3)

Figura 3-2: Modelo para el sistema sin compensar.

36

La ecuación 3-3 nos indica el valor de la tensión en el punto P para

determinado ángulo de carga . En particular, para un ángulo de carga de cero

grados la tensión en P es igual al valor de la fuente. En cambio para un ángulo

de carga extremo como noventa grados, la tensión en el punto P cae alrededor

de un 30% respecto de la tensión en la fuente. La ecuación nos indica, además,

que la fase de la tensión en el punto P es la mitad del ángulo de fase de la carga.

Lo anterior debe ser tomado en cuenta al momento de disparar los tiristores del

SVC, ya que el disparo de estos tiristores debe estar sincronizado con la tensión

en el punto donde se ubica el compensador.

3.2.2 Sistema compensado

La capacidad necesaria para compensar la caída de tensión en el punto P

es determinada en el análisis siguiente. El objetivo del compensador es

mantener la magnitud de la tensión en el punto P en un valor igual a la magnitud

de la tensión en la fuente. La figura 3-3 muestra el sistema con el compensador,

el cual ha sido modelado como una reactancia capacitiva equivalente.

Figura 3-3: Modelo del sistema compensado.

37

Del análisis del circuito de la figura 3-3 es posible obtener:

2ˆ ˆ ˆ( )(4 )

XceqVp Vf Vs

Xceq X(3-4)

o en forma polar:

2 2ˆ 1 cos( )(4 ) 2

V XceqVp

Xceq X(3-5)

De la ecuación 3-5 vemos que si Ceq 0 esto implica que Xceq y la

tensión tiende al valor dado por la ecuación. Además se observa que el ángulo

de fase de la tensión en el punto P no varía al insertar la capacidad equivalente.

Al comparar las ecuaciones (3-5) y (3-7) el único factor que las distingue es:

11

14

K(3-6)

Donde:

XceqK

X(3.7)

Es la ganancia de tensión en el punto P debido a la inserción de la

capacitancia equivalente. Se debe notar que para un igual a 0.25 el sistema

entra en resonancia.

Pensando que el SVC debe ser capaz de compensar la caída de tensión

en el punto P en el peor de los casos ( máx); podemos determinar a través de la

ecuación (3-7) el valor de la capacidad del condensador equivalente necesario

para la compensación. En otras palabras, se busca que:

ˆ ˆVp Vf V (3-8)

38

Entonces podemos escribir:

2 2ˆ 1 cos( max)(4 )

V XceqVp V

Xceq X(3-9)

De donde:

/ 2

2 2 1 cos( max)

XXceq (3-10)

Por lo tanto, la capacidad del condensador equivalente viene dada por:

2

2 2 1 cos( max)

/ 2Ceq

L(3-11)

L : Inductancia Total de la línea

:la frecuencia del sistema ( rad/seg).

Figura 3-4: Circuito equivalente del SVC inductor no lineal

39

La figura 3-4 muestra el circuito del SVC mediante la topología de

inductancia no lineal y su representación equivalente. Con un adecuado disparo

de los tiristores es posible controlar la amplitud de la componente fundamental

de la corriente iL, de naturaleza inductiva. Al tener un control sobre esta

corriente, obviamente se tiene un control sobre la corriente del SVC (Isvc), con lo

cual se puede obligar al SVC a absorber una corriente del tipo inductiva o

capacitiva, dependiendo del tipo de compensación requerido. En otras palabras,

se tiene un control sobre la reactancia equivalente del compensador vista por el

sistema. La principal desventaja de este compensador es la circulación de

corrientes armónicas de baja frecuencia presentes en el sistema, debido a la

forma no sinusoidal de la corriente a través del brazo inductor no lineal.

3.2.3 Operación Resonante

Cuando el sistema no requiera compensación reactiva ( = 0), la corriente

fundamental a través del SVC debe ser cero. Corriente cero implica que la

reactancia equivalente del compensador debe ser infinita, en otras palabras, el

SVC debe estar en resonancia. Al ángulo de disparo que obliga al SVC a entrar

en resonancia se denomina 0

3.3 CÁLCULO DE LOS PARAMETROS DEL COMPENSADOR

Para máxima demanda del sistema ( màx) la capacidad equivalente

necesaria para compensar la caída de tensión en el punto P viene dada por la

ecuación 3-11. El SVC debe ser capaz de manejar este nivel de capacidad,

luego:

Co Ceq (3-12)

El intervalo permitido para el ángulo de disparo es:

40

2(3-13)

Luego podemos seleccionar el ángulo de disparo para tener operación

resonante en cualquier punto dentro de este intervalo. Mientras más cercano a

90º ubiquemos este ángulo, la magnitud de las armónicas inyectadas al sistema

será menor. En particular podríamos tener operación resonante para 0 90º , y

la distorsión armónica sería despreciable. Sin embargo no se podría compensar

elevaciones de tensión en la línea. Con lo anterior seleccionamos un ángulo de

disparo para operación resonante igual a 100º, esto es:

59

o (3-14)

La inductancia equivalente del TCR (inductancia no lineal) viene dada por:

( 2)2 1( 2)

LoLeq

C(3-15)

Donde 1 2( )C es la magnitud de la componente fundamental normalizada.

Reemplazando la ecuación (3-14) en la ecuación (3-15) y ordenando se tiene:

( ) 0.54Leq o Lo (3-16)

Para operación resonante del SVC se debe cumplir que:

1

( )Leq o Co(3-17)

Reemplazando la ecuación (3-16) en la ecuación (3-17) y simplificando se

obtiene:

2

1.852Lo

Co(3-18)

Quedando de esta forma definidos los parámetros del compensador.

41

3.4 COMPENSACIÓN PARA UN PUNTO DE OPERACIÓN DADO

Sea op el grado de carga del sistema para algún punto de operación.

Entonces de la ecuación (3-10) podemos determinar la capacidad equivalente

requerida para la compensación:

2

2 2 1 cos( )

/ 2op

opCeq

L(3-19)

Ahora debemos determinar el ángulo de disparo op que permita obtener una

capacidad equivalente del SVC dada por:

( ) ( )Csvc op Ceq op (3-20)

La ecuación para la capacidad equivalente del SVC viene dada por:

( )( )

( )

Xleq XcoCsvc

Xleq Xco(3-21)

Donde:

La reactancia inductiva equivalente del TCR (inductancia no lineal) esta dada

por:

( ) ( )Xleq Leq (3-22)

La reactancia capacitiva del condensador del SVC es:

1Xco

Co(3-23)

La ecuación (3-20) es trascendental en la variable , luego, para encontrar

el valor del ángulo de disparo es necesario utilizar métodos numéricos u

obtenerlo de alguna gráfica.

Escribimos la ecuación (3-20) de la siguiente forma:

42

( )( )

( )

Xleq XcoCsvc

Xleq Xco(3-24)

Ahora ‘normalizamos’ la ecuación (3-21) como sigue:

2( 2) ( 2)C Co Csvc Lo (3-25)

Luego:

2 1( 2)( 2)

CC (3-26)

Ahora la ecuación (3-26) depende sólo de y podría ser la capacidad

equivalente del SVC normalizada. Con lo anterior podemos utilizar la gráfica de

la ecuación (3-26) para obtener el valor del ángulo de disparo buscado.

Figura 3-5: Capacidad equivalente normalizada para distintos valores del ángulo

de disparo.

43

3.5 EJEMPLO DE PROYECTO

A continuación se realiza un ejemplo de proyecto donde se compensa la

línea de transmisión mostrada en la figura 3-6. Los parámetros de la línea son

los siguientes:

2300 0Vf

2300Vs

1 2 1R R R m

1 2 1.2L L mH

Los datos de proyecto son los siguientes, todos en el extremo emisor:

Grado de carga máximo max 22

Grado de carga mínimo min 2

Grado de carga nominal 12op

Frecuencia del sistema 50f Hz

Figura 3-6: Esquema del circuito simulado correspondiente al modelo de una

línea de transmisión corta compensada mediante en SVC inductor no lineal.

44

3.5.1 Determinación de los parámetros del compensador

La capacitancia Co del compensador viene dada por la ecuación 3-10,

considerando a L como la inductancia total de la línea y remplazando para un

grado de carga máximo de 22º, se tiene que:

2 2 1 cos(22 )310.26

0,00242 50

2

Co uf (3-27)

y de la ecuación 3-18:

( )2 ( )

LoLeq o

C o(3-28)

Donde:

59

o (3-29)

Remplazando se tiene:

( ) 0.542 (2.91)

LoLeq o Lo (3-30)

Como:

1

( )o

Leq o Co(3-31)

Despejando se tiene que:

2 2 6

1 1.85260.54

(0.54) (2 50) 310.26 10Lo mH

o Co(3-32)

Por lo tanto se tienen definidos los parámetros del compensador.

45

3.5.2 Simulación para operación resonante ( min 2 )

A continuación se muestran los resultados obtenidos por simulación digital

del circuito de la figura. Se considera al sistema con un ángulo de carga mínimo,

por lo que el compensador debe estar en operación resonante.

La figura 3-7 muestra la forma de onda de la corriente a través del SVC.

Esta corriente esta constituida prácticamente por componentes armónicos la

componente fundamental es mínima, lo cual era de esperarse ya que el

compensador esta en resonancia paralela.

La figura 3-8 muestra el espectro armónico de la corriente a través del

compensador. Puede apreciarse que la séptima componente armónica es la

predominante, lo que seria conveniente la inclusión de filtros sintonizados para

limitarla.

Figura 3-7: Forma de onda de la corriente a través del SVC para grado de carga

mínimo.

.

46

Figura 3-8: Espectro armónico de la corriente a través del compensador para

grado de carga mínimo.

.

La tabla 3-1 muestra los resultados obtenidos del análisis de Fourier para

la corriente a través del SVC. Como se indica en la tabla la componente

fundamental de esta corriente es pequeña y se encuentra en adelanto.

Tabla 3-1: Análisis de Fourier para la corriente a través del SVC.

47

La figura 3-9 muestra las formas de onda para la corriente a través del

inductor y del capacitor del SVC. Mientras que la figura 3-10 ilustra las formas de

onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el punto de conexión del

compensador..

Figura 3-9: Forma de onda para la corriente a través del inductor y del capacitor

para grado de carga mínimo.

.

Figura 3-10: Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el

punto P para grado de carga mínimo.

.

48

La tabla 3-2 muestra los resultados obtenidos del análisis de Fourier para

la tensión en el punto P. Como se destaca en la tabla la magnitud de la

componente fundamental de esta tensión es prácticamente igual a la magnitud

de la tensión en la fuente. Puede apreciarse, además, que la fase de esta

tensión es aproximadamente igual a la mitad del ángulo de carga, lo que

concuerda con los cálculos teóricos.

Tabla 3-2: Análisis de Fourier para la tensión en el punto P.

3.5.3 Simulación para operación nominal

Para carga nominal el compensador debe presentar una capacidad

equivalente dada por la ecuación:

2 2

2 2 1 cos( ) 2 2 1 cos(12 )92.6

0.0024(2 50)

2 2

opCeq uF

L (3-33)

Ahora como se debe determinar el ángulo de disparo op que permita

obtener una capacidad equivalente del SVC dada por:

( ) 92.6Csvc op Ceqop uF (3-34)

De la ecuación 3-25 se tiene:

49

2 6 6 2 3( ) ( ) 310.26 10 92.6 10 (100 ) 60.54 10 1.3C op Co Csvc op Lo (3-35)

Ahora, de la gráfica de la figura 3-5 se obtiene:

141.3op (3-36)

Por lo que los tiristores deben ser disparados con un ángulo de 147.3º

para que estén sincronizados con la tensión del punto P.

A continuación se muestran los resultados obtenidos por simulación digital

del circuito de la figura para el sistema con un grado de carga nominal.

La figura 3-11 muestra las formas de onda para la tensión en la fuente y

para la tensión en el punto P. La distorsión de la forma de onda de tensión en el

punto P es debida a los armónicos que el compensador inyecta en el sistema.

Figura 3-11: Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el

punto P para grado de carga nominal.

50

Para comprobar el grado de compensación del SVC se realizo un análisis

de Fourier de la tensión en el punto P, el cual entregó los resultados que se

muestran en la tabla 3-3. De los datos entregados en la tabla se puede ver que

la magnitud de la tensión fundamental en el punto P es de 3265V con un ángulo

de fase de -6.223º. Esta magnitud es 13V mayor que la magnitud de la tensión

en la fuente, con lo cual tenemos un error de compensación del 0.4%.

Nuevamente la fase de la tensión en el punto P coincide con los cálculos

teóricos.

Tabla 3-3: Analisis de Fourier para la tensión en el punto P

Figura 3-12: Formas de onda de la corriente a través del condensador, del SVC

y del inductor del compensador para grado de carga nominal.

51

Los resultados del análisis de Fourier para la corriente a través del

compensador se muestran en la tabla 3-4. Como se puede apreciar en esta tabla

la magnitud de la componente fundamental de la corriente es de 146.2 A con un

ángulo de fase de 84.1º, es decir esta corriente es de naturaleza reactiva

capacitiva, con una componente activa de 7.3 A, que es la que alimenta las

pérdidas en el compensador.

Tabla 3-4: Análisis de Fourier para la corriente a través del compensador.

3.5.4 Simulación para máxima demanda

Para este caso el grado de carga es máximo (22º), luego la capacidad

requerida es igual a la capacidad del condensador del SVC, por lo que al aplicar

la ecuación obtenemos:

( ) 0.93C op

Ahora, de la gráfica de la figura 3-5 se obtiene:

180ºop

Por lo que los tiristores deben ser disparados con un ángulo de 191º para

que estén sincronizados con la tensión del punto P. Las figuras siguientes

muestran los resultados obtenidos por simulación.

52

Figura 3-13: Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el

punto P para grado de carga máximo.

La figura 3-13 muestra las formas de onda para la tensión en la fuente y

para la tensión en el punto P. Se aprecia que la tensión en el punto

prácticamente no presenta distorsión. A continuación en la tabla 3-5 se detalla

el análisis de Fourier para la tensión en el punto de conexión, en donde se

observa que la magnitud de la componente fundamental de esta tensión es de

3236V con un ángulo de fase de –11º, cuyo error de compensación en este caso

es del 0.492%.

Tabla 3-5: Análisis de Fourier para la tensión en el punto P.

53

Figura 3-14: Formas de onda para la corriente a través del SVC, del inductor y

del condensador del compensador para grado de carga máximo.

De la figura 3-14 se observa que para ángulos de disparo cercanos a 180º

la corriente por el inductor es prácticamente sinusoidal, por lo que la inyección

de armónicos a la corriente que circula por el SVC es prácticamente nula.

En esta sección se presentó el principio de operación del SVC para

compensar la caída de tensión en una línea de transmisión del tipo corta. La

línea fue modelada en su forma más simple con parámetros concentrados y

despreciando el efecto capacitivo. Se presentaron las ecuaciones necesarias

para la obtención de los parámetros del compensador, ecuaciones que fueron

obtenidas despreciando los efectos de las armónicas presentes en el sistema,

esto es, el análisis se realizó sobre la base de las componentes fundamentales

de las señales involucradas. Lo anterior implica un cierto grado de error entre los

valores teóricos y los obtenidos por simulación. Sin embargo los errores

obtenidos no fueron de gran magnitud. Se realizó un ejemplo de proyecto del

sistema operando con compensador para tres escenarios distintos, carga

mínima, carga nominal y máxima carga. Los resultados obtenidos por simulación

digital concordaron con los valores teóricos esperados con un margen de error

menor al 1%.

54

3.6 COMPARACIÓN ARMÓNICA DEL SVC BASADO EN INDUCTORES NO LINEALES CON RESPECTO AL CONVENCIONAL.

3.6.1 Comparación para un grado de carga mínimo.

Considerando un grado de carga mínimo (2º) para ambos SVC, estos se

encuentran en operación resonante, lo que implica que la corriente fundamental

es prácticamente cero, en donde el compensador se comporta como una

reactancia equivalente infinita.

A continuación se presentan las formas de onda de la corriente por

ambas inductancias equivalente y por los SVC. Cabe mencionar que del análisis

de fourier para las distintas corrientes se tomaron solamente las 5 armónicas

más predominantes, ya que por tener simetría de media onda las armónicas

pares son prácticamente cero.

De las formas de ondas para la corriente por ambas inductancias

variables se observa que esa pequeña discontinuidad que se produce justo en el

instante en que disparan los tiristores son las causantes de inyectar armónicas.

Figura 3-15.: Formas de onda para la corriente por ambos TCR’s para grado de

carga mínimo.

55

Figura 3-16: Formas de onda para la corriente por ambos SVC’s para grado de

carga mínimo.

Tabla 3-6 Componentes de Fourier para las corrientes a través de los distintos

TCR’s.

56

Figura 3-17: Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para

ambos TCR`s para grado de carga mínimo.

De la tabla 3-6 se verifica que para grados de cargas pequeños la

inductancia equivalente o TCR presenta una taza de distorsión armónica menor

con respecto al convencional, lo que quiere decir que su forma de onda es más

continua y sinusoidal, lo que se comprueba además de la gráfica comparativa

entre ambos TCR’S, en donde se observa que la magnitud de las 5 primeras

armónicas son de una magnitud mayor con respecto al TCR en estudio, esto es

debido a que el TCR convencional presenta una discontinuidad mayor antes del

momento de empezar a conducir por lo que es una fuente mayor de armónicos.

Como se puede apreciar en la tabla 3-7, las componentes fundamentales

de la corriente para cada uno de los SVC’s para un grado de carga mínimo son

mínimas, por lo que se puede decir que ambos compensadores están en un

evidente estado de resonancia.

57

Tabla 3-7: Componentes de Fourier para las corrientes a través de los distintos

SVC’s.

Figura 3-18: Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para

ambos SVC`s para un grado de carga mínimo.

58

Se demuestra que para un grado de carga mínimo de 2 º la corriente por

el SVC’s en estudio presenta una taza de distorsión armónica menor con

respecto al convencional. Además seria necesario la inclusión de filtros

sintonizados para suprimir la séptima armónica que es mucho más considerable

que la magnitud de la fundamental como se muestra en el grafico anterior.

3.6.2 Comparación para un grado de carga nominal.

Tomando en cuenta un grado de carga nominal (12°), la forma de onda de

la corriente por ambos TCR’s se muestra en la figura 3-19. Se aprecia que las

discontinuidades de la corriente por los TCR’s en los instantes de disparo de los

tiristores son la principal causa de producir corrientes armónicas. A diferencia del

convencional el TCR mediante inductores no lineales presenta una forma de

onda menos continua y sinusoidal en cada etapa de funcionamiento, por lo que

el TCR convencional presenta una menor taza de distorsión armónica para la

corriente por su inductancia equivalentes variables con respecto al SVC en

estudio como lo muestra la tabla 3-8:

Figura 3-19: Formas de onda para la corriente por ambos TCR’s para un grado

de carga nominal.

59

Tabla 3-8: Componentes de Fourier para las corrientes a través de los distintos

TCR’s

Figura 3-20: Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para

ambos TCR`s para un grado de carga nominal.

60

Se observa de la figura 3-21 que la forma de onda del compensador en

estudio presenta menos ondulación respecto del convencional, produciéndose

así una menor taza de distorsión armónica en su forma de onda como se

muestra a continuación en la tabla 3-9:

Figura 3-21: Formas de onda para la corriente por ambos SVC`s para un grado

de carga nominal.

Tabla 3-9: Componentes de Fourier para las corrientes a través de los distintos

SVC’s.

61

Figura 3-22: Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para

ambos SVC’s para un grado de carga nominal. .

3.6.3 Comparación para un grado de carga máximo.

Tomando en cuenta un grado de carga máximo (22°), a diferencia del

convencional para ángulos cercanos a 180º, el TCR inductancia no lineal no se

comporta como un circuito abierto, como se demuestra en la figura 3-23.

Figura 3-23: Formas de onda para la corriente en ambos TCR’s para un grado de

carga máximo.

62

Figura 3-24: Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para

ambos TCR`s para un grado de carga máximo.

Esto es debido a que los tiempos de conducción de los tiristores y la

topología son distintos, lo que hace que la corriente influya en el comportamiento

del compensador, esto además produce que la distorsión armónica en las

inductancia equivalentes o TCR mediante inductancias no lineales sea menor

con respecto al convencional, pues su forma de onda es puramente sinusoidal y

solamente esta compuesta por su componente fundamental como se comprueba

en el gráfico de la figura 3-24.

.

A continuación se muestra la forma de onda de la corriente a través de

ambos SVC’s, de la figura se observa que el compensador en estudio presenta

una forma de onda puramente sinusoidal puesto que el TCR no presenta

componentes armónicas, produciéndose así una taza de distorsión armónica en

su forma de onda prácticamente cero como se verifica en el gráfico de la figura

3-24.

63

Figura 3-25: Formas de onda para la corriente por ambos SVC’s para un grado

de carga máximo.

Tabla 3-10: Componentes de Fourier para las corrientes a través de los distintos

SVC’s.

64

Figura 3-26: Gráfico comparativo para las distintas componentes armónicas para

ambos SVC’s para un grado de carga máximo.

Del gráfico de la figura 3-26 se demuestra lo anteriormente comentado,

pues la corriente por el SVC en estudio esta compuesta solamente por su

magnitud fundamental ya que no posee componentes armónicas que podrían

distorsionar su forma de onda.

De esta sección se puede concluir que aunque los resultados no son los

más favorables debido a la forma de onda de corriente que presenta el circuito

graduador de tensión basado en Inductancias no lineales, se pudo comprobar

que en el instante en que se produce el salto de pasar de una valor de

inductancia al doble de su valor visto por el sistema instantáneamente, es la

principal causante de armónicas en el SVC, lo cual puede sumarse a

resonancias u oscilaciones con el sistema de potencia, en donde el

compensador en estudio presenta ventaja con respecto del SVC convencional.

Aún así, pese a las ventajas y desventajas que están presentes en todo circuito,

este nuevo modelo basado en el comportamiento de inductor no lineal se

convierte en una alternativa real entre los distintos modelos de compensadores

de potencia reactiva existentes.

CAPITULO 4

CONTROL DEL SVC MEDIANTE LA TOPOLOGIA DE INDUCTOR NO LINEAL

4.1 INTRODUCCIÓN

En los sistemas de transmisión las características adecuadas de control

de voltaje y potencia reactiva con SVC’s son por lo general obtenidas en base a

estrategias de control de lazo cerrado. Del análisis del lazo de control se

determinan las características casi-estáticas de operación o de estado estable

del SEP. Asimismo, del análisis de la función de transferencia de lazo cerrado se

establecen las características de estabilidad del lazo de control y su dependencia

respecto del estado de operación del SEP. La lógica de control queda

determinada por un controlador de voltaje cuya forma más simple es de

característica proporcional integral, que traduce la señal de error en una señal de

cambio en la susceptancia del compensador.

4.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SVC BASADO EN LA TOPOLOGIA DE INDUCTOR NO LINEAL

A pesar de existir distintos métodos de control del SVC, el más común y

más aplicado es la técnica de control por tensión. El modelo básico del diagrama

de bloques que representa el control es el mostrado en la figura 4-1.

Figura 4-1: Esquema del lazo de control del SVC

66

Para el estudio, es necesaria la identificación de cada uno de los bloques

del lazo de control:

a) Bloque compensador:

La señal de entrada es un error como se muestra en la figura 4-2, la cual

se obtiene de la diferencia entre la señal de referencia y la señal medida en el

punto de conexión del compensador, en este caso es una muestra de tensión en

el punto medio de la línea transmisión la cual se quiere compensar .

b) Bloque modulador:

Ahora la señal compensada entra a un bloque modular como se aprecia

en la figura 4-3. Este bloque corresponde a parte del circuito de comando, el cual

envía los ángulos de disparos a los tiristores con valores de tensión adecuados y

en instantes bien determinados. El modulador implementado corresponde a uno

de comando vertical, el cual, a través de una onda diente de sierra sincronizada

con la tensión de alimentación, es comparada con una tensión de control, esta

comparación genera los pulsos de disparo de los tiristores como se puede

observar en la figura 4-4.

Figura 4-2: Bloque del compensador.

Figura 4-3: Bloque de la moduladora.

67

Figura 4-4: Control vertical para el comando de disparo de los tiristores.

En la figura se observa que la moduladora con un valor máximo de tensión

(Vmáx) es comparada con una señal compensada (Vc), de la comparación se

generan los pulsos de disparo de los tiristores.

Aplicando el teorema de proporcionalidad en la figura, se puede observar

una relación entre el ángulo de disparo y la tensión de control:

VmVcVm

Vc(4-1)

Donde:

Vm : Tensión máxima de la señal de diente de sierra.

Vc : Tensión de control.

El bloque del modulador corresponde a una ganancia que depende de la

tensión máxima de la onda diente de sierra. En este caso la tensión máxima de

la diente de sierra es 15(V), lo que implica que el modulador es representado

como:

68

Figura 4-5: Función de transferencia del modulador.

Figura 4-6: Bloque de la planta.

c) Bloque de la planta:

La función de transferencia relaciona el ángulo de disparo con la tensión

en los terminales donde se ubica el compensador. La función que representa la

planta viene dado por:

( ) td sGc s k e (4-2)

La función s tde representa el retardo del disparo de los tiristores, y se

puede representar a través de una función de primer orden la cual se presenta a

continuación, la cual corresponde a una aproximación del retardo:

2

2s td s Td

es Td

(4-3)

Por lo tanto el modelo aproximado de la planta:

2( )

2s Td

Gp s Ks Td

(4-4)

Donde Td es el atraso o retardo correspondiente dado por:

Td (4-5)

Donde representa el ángulo de disparo de los tiristores.

69

Figura 4-7: Curva característica entre la tensión y el ángulo de disparo de los

tiristores.

El valor de K tiene relación con la ganancia del compensador y

corresponde a la pendiente de la curva característica entre la tensión y el ángulo

de disparo de los tiristores.

Determinando la pendiente de la recta se obtiene un valor aproximado de

la ganancia K, lo que se hizo fue una aproximación lineal de la curva

característica tensión-ángulo de disparo.

0.4758K (4-6)

d) Bloque de realimentación

Figura 4-8: Bloque de realimentación.

70

La característica de este bloque es que para una entrada de tensión la

salida sea su valor efectivo. La característica principal del control realimentado

es reducir la diferencia entre la salida del sistema y alguna entrada de referencia

y lo continúa haciendo tomando como base a esta diferencia.

El lazo de retroalimentación de voltaje consiste básicamente de un

dispositivo de medición, el cual calcula el valor eficaz o rms de la señal sensada

en el punto de conexión del SVC, la que luego es comparada con una señal de

referencia, que simplemente es la tensión que se desea en el punto de conexión.

4.3 SISTEMA DE CONTROL MONOFÁSICO DEL SVC BASADO EN INDUCTANCIAS NO LINEALES.

Con un sistema adecuado de control, se pueden corregir problemas

habituales que se dan en la salida como consecuencia de variaciones en la

entrada (ondulaciones, caídas de tensión, etc.). De esta forma, la

implementación de un control garantiza la precisión, ajuste y velocidad de la

variable de salida proveniente de los fenómenos transitorios registrados en la

alimentación o a los cambios en la carga. Cabe destacar que esta forma de

control es idéntica a la del SVC convencional salvo el control que se requiere

para comandar el disparo de los distintos tiristores que componen la estructura

del circuito basado en inductancia no lineal. A continuación en la figura (4-9) se

muestra el sistema de potencia que esta compuesto por el modelo de una línea

de transmisión corta y el compensador implementado en el punto medio de la

línea. Lo que se quiere obtener del circuito de control son las señales de

alimentación o pulsos de comando para cada uno de los tiristores sincronizados

adecuadamente con la tensión en el punto de conexión.

71

Figura 4-9: Modelo del SVC en estudio para el control de cada uno de los

tiristores.

Dentro del sistema simulado en PSPICE v9.2 se distinguen el circuito de

potencia, el circuito de medida y el circuito de control. A cada uno de los circuitos

se hicieron simplificaciones para un mejor desempeño del SVC en estudio.

Para comandar el disparo de cada uno de los tiristores, se obtuvieron

pulsos de disparo sincronizados con la tensión en el punto de conexión del SVC

en estudio mediante el procesamiento de una señal sinusoidal, los circuitos para

el procesamiento de los pulsos de disparo son distintos, pues para comandar los

tiristores T2a y T2b se necesitan pulsos fijos en 90º y 270º con un ancho

pequeño, mientras que para los tiristores T1a-T1b-T3a-T3b se necesita un pulso

de ancho mayor, entre 90º y 180º.

A continuación para generar los pulsos de disparo que comandan los

tiristores T1a-T1b-T3a-T3b mediante la señal V(A) se procede de la siguiente

manera:

72

Mediante el circuito de medida primero que nada se obtiene una muestra

de tensión en el punto P mediante un bloque de ganancia, cuya magnitud de la

muestra es V(p)/1000, la que pasa por un bloque que calcula su valor eficaz,

este valor entonces es comparado con una señal continua de referencia rms de

2300/1000, el resultado de la comparación entre las señales , es decir, la señal

de error de tensión pasa a través de un bloque compensador PI (proporcional

integral), del cual se obtiene la señal de control como muestra la figura (4-10).

Figura 4-10: Proceso para la obtención de la señal de Control.

El compensador proporcional integral fue obtenido mediante la utilización

de herramientas computacionales, la función de transferencia esta dada por la

ecuación 4-7.

1( )( )

F F F

I F F

R R C sVout s

Vin s R R C s(4-7)

73

Figura 4-11: Compensador Proporcional integral PI.

En donde:

100FR k

400IR

9.65FC uf

La ganancia esta dada por la relación entre las resistencias /F IR R y su

frecuencia de corte esta gobernada por la relación entre FC y FR .

Para el circuito de control, fue necesaria implementar un circuito que

sincronice el disparo de los tiristores con la tensión en el punto de conexión del

SVC debido a que existe un corrimiento de fase. El encargado de generar los

pulsos de comando es un circuito de sincronismo para un rectificador monofásico

de onda completa como se muestra en la figura 4-12. Este circuito a través del

procesamiento de una señal sinusoidal muestreada en el punto de conexión

generara una señal diente de sierra la que posteriormente seria comparada con

la señal de control proveniente del circuito de medida a la salida del

compensador proporcional integral, de la comparación se obtienen los pulsos de

comando para los tiristores T1a-T1b-T3a-T3b.

74

Figura 4-12: Circuito rectificador de onda completa.

En esta etapa la tensión es censada en el condensador del compensador

a niveles aceptables para el circuito de control, luego esta muestra de tensión es

ingresada a un bloque PLL (phase locked loop), el cual toma la tensión y

generara una tensión absolutamente sinusoidal en fase con el punto, luego la

tensión de salida proveniente del PLL es ingresada a un puente rectificador de

onda completa y es comparada con la tensión de la entrada positiva del

amplificador operacional, a la salida del operacional la señal es recortada

mediante el diodo y llevada al siguiente operacional el cual actúa como un

integrador, es decir cuando la tensión de la entrada del diodo es negativa se

integra la tensión produciéndose una rampa en la salida, y cuando la tensión en

la entrada del diodo es positiva el condensador del integrador se descarga

iniciándose así una nueva etapa y formando así la señal diente de sierra. Por lo

tanto la señal de control es comparada con la señal proveniente del circuito de

sincronismo que genera la señal diente de sierra y de la comparación se

obtienen los pulsos que comandan los disparos para los tiristores que son

controlados como lo muestra la figura 4-13.

75

Figura 4-13: Proceso para la obtención de los pulsos de disparo.

Figura 4-14: Generación de los pulsos de disparo para comandar los disparos

para los tiristores T1a-T1b-T3a-T3b.

Por otro lado para generar los pulsos de disparo que comandan los

tiristores T2a y T2b , fue necesario implementar un circuito que a partir de una

señal sinusoidal proveniente del punto medio de la línea genere un pulso de

disparo fijo en 90º para el tiristor T2a y otro en 270º para T2b con un ancho de

pulso pequeño. A continuación se muestra en la figura 4-15 el circuito que

comanda el tiristor T2a y se explicara en detalle el procesamiento de la señal

para la obtención del pulso de comando.

76

Figura 4-15: Circuito de control para el Tiristor T2a.

Ahora se procederá paso a paso como la señal es procesada

circuitalmente para obtener el pulso de disparo. Primero que nada se obtiene la

señal proveniente del PLL, la cual esta sincronizada con la tensión en el punto

medio de la línea de transmisión, esta señal es sensada a través de un bloque

de ganancia “Evalue Esense”, para luego pasar a través de un rectificador de

media onda en donde su salida es ingresada al positivo del amplificador

operacional, a partir de este momento se generarán ondas rectangulares, en

fase con los cruces por cero de la tensión, tanto para los cantos de subida como

de bajada, teniendo su parte positiva cuando la tensión del positivo del

operacional sea mayor a cero o en caso contrario la salida es negativa. El

circuito implementado para esta etapa de procesamiento de la señal se muestra

en la figura 4-16.

77

Figura 4-16: Circuito rectificador de media onda.

Posteriormente la señal en fase con los cruces por cero de la tensión es

ingresada a un monoestable como se aprecia en la figura 4-17, la idea es

generar en la salida un pulso fijo y de un ancho determinado. El monoestable

consta en su entrada de un derivador, de un transistor y de un 555C, el cual

posee los pines de “trigger” y “reset” negados. El colector del transistor genera

los pulsos de entrada del “trigger negado” cada vez que la tensión de entrada

(ondas rectangulares) posea pendiente infinita positiva, es decir en los cantos de

subida, el cual ingresa al 555C generando este en su salida el pulso V1b con un

ancho de pulso entre el cruce de la tensión por cero y 90º , es decir un pulso de

5ms, esto se consigue proyectando la resistencia (10K) y la capacitancia

(0.45uF) asociadas a las entradas “THRESHOLD” y “DISCHARGE” del 555C.

Posteriormente ambas señales V1a Y V1b entran a un circuito

comparador en donde se produce la resta entre ambas señales, generándose la

señal V(T) que es un pulso fijo en 90º y con un ancho de pulso de 5ms.

78

Figura 4-17: Circuito monoestable para obtener la señal V1b.

Figura 4-18: Circuito comparador entre ambas señales.

79

Figura 4-19: Circuito monoestable 555C para obtener el pulso V(T2a).

Finalmente como se requiere un pulso pequeño para comandar el tiristor

T2a, esta señal entra a otro circuito monoestable de tal forma de obtener el

ancho del pulso deseado dependiendo del ajuste de la resistencia

“THRESHOLD” (2K) y capacitancia “DISCHARGE” como se muestra en la

figura 4-19:

Figura 4-20: Procesamiento de la señal para obtener los pulsos de disparo para

T2a.

80

Para comandar el tiristor T2b, el procesamiento de la señal para obtener

el pulso de disparo se obtiene de la misma manera que para el tiristor T2a, salvo

que a la señal proveniente del PLL se le aplica un negador de tal forma que se

obtenga el pulso de disparo en 270º y con un ancho pequeño.

Figura 4-21: Circuito de control para el Tiristor T2b.

Figura 4-22: Procesamiento de la señal para obtener los pulsos de disparo para

T2b.

81

Como resultados de simulación se considero un ángulo de carga de 12º para el

extremo receptor. A continuación se muestran los resultados obtenidos por

simulación digital para el sistema con un grado de carga nominal.

La figura 4-23 muestra la forma de onda para la tensión en la fuente y

para la tensión en el punto P. La distorsión de la forma de onda de la tensión en

el punto P es debido a los armónicos que el compensador inyecta en el sistema.

Además se muestran las formas de ondas de la corriente a través del SVC y del

TCR.

Figura 4-23: Formas de onda para la tensión en la fuente y para la tensión en el

punto P.

Figura 4-24: Forma de onda de la corriente a través del SVC.

82

Figura 4-25: Forma de onda de la corriente a través del TCR-Señal de control,

rampa y pulsos de disparos V(A)-Señal del PLL, pulso para T2a y T2b.

4.4 SIMULACIONES DEL SISTEMA DE CONTROL MONOFÁSICO APLICANDO PERTURBACIONES

Como una forma de comprobar el grado de compensación del SVC

basado en inductancias no lineales y validar el sistema de control propuesto

fue necesario aplicar una perturbación al sistema de potencia, que consiste en

un cambio en el grado de carga a través del tiempo de modo de analizar el

comportamiento del compensador incorporado al momento de la perturbación.

Se aplicarán diferentes perturbaciones al sistema, que consiste en la

variación del sistema para distintos grados de cargas, simulando además las

condiciones más adversas posibles, y como el compensador modifica su

impedancia para compensar los efectos provocados por tal perturbación, a

través de las simulaciones se visualizara como varia la corriente por el

83

compensador, por la inductancia variable y la tensión en el punto de conexión

al momento de aplicar la perturbación.

4.4.1 Variación desde un grado de carga mínimo a un grado de carga nominal

Este fenómeno correspondería a la variación del grado de carga desde

los 2° a los 12°, valores definidos previamente, mediante los cuales se diseñaron

los componentes del nuevo compensador de reactivos.

A continuación (ver Figura 4-26) se grafican las formas de onda más

relevante al momento de la perturbación que se aplicó al sistema en t = 5 seg.,

como se aprecia en los resultados simulados.

Figura 4-26: Variación de las corrientes en el tiempo, del SVC en estudio y por la

inductancia equivalente variable o TCR desde un grado de carga mínimo a un

grado de carga nominal.

84

Figura 4-27: Tensión eficaz en el punto medio de la línea y variación de la

tensión de control desde un grado de carga mínimo a un grado de carga

nominal.

Figura 4-28: Tensión de control que se intercepta con la tensión diente sierra

para generar los pulsos de disparo.

85

En la figura 4-28 se observa claramente como la tensión de control varía

su nivel debido al cambio del ángulo de carga en los 5 segundos de su

simulación con lo cual la intercepción de ésta con la señal diente de sierra se

retrasa, generando un ángulo de disparo diferente al existente antes de la

perturbación, produciendo la variación del ancho del pulso. Al aumentar esta

tensión se produce un aumento en la potencia transmitida que genera a su

vez que el efecto inductivo de la línea se incremente, además con el aumento

en el ángulo de disparo genera que la suceptancia equivalente del SVC en

estudio sea más capacitiva compensando la característica inductiva de la

línea, manteniendo la tensión constante en la barra.

4.4.2 Variación desde un grado de carga nominal a un grado de carga máximo.

Se analizará el comportamiento del compensador considerando cambios

en la condición del grado de carga cuando éste varíe desde los 12° hasta los

22°, en la figura 4-29 se muestran las formas de onda en el momento de la

perturbación de la corriente por el SVC en estudio y por el TCR basado en el

comportamiento de inductor no variable. Se observa claramente como el SVC

modifica su impedancia para entregar niveles de corriente distintos de acuerdo

a la variación del grado de carga para mantener la tensión constante en el

punto de conexión.

A continuación en las figuras 4-30 y 4-31 se observa la variación que se

produce en ambas señales, tanto para la tensión en el punto medio de la

línea de transmisión como para la señal de control en el instante en que se

produce la perturbación.

Cabe destacar que al producirse una perturbación la señal de control es la

encargada de generar la variación de los pulsos de comando al interceptar

con la señal diente de sierra y por ende provocar que la conmutación y

conducción de los tiristores varié.

86

Figura 4-29: Variación de las corrientes en el tiempo, del SVC en estudio y por

la inductancia equivalente variable o TCR desde un grado de carga nominal a

un grado de carga máximo.

Figura 4-30: Variación de la tensión de control al momento de la perturbación

desde un grado de carga nominal a un grado de carga máximo.

87

Figura 4-31: Tensión en el punto de conexión del compensador desde un grado

de carga nominal a un grado de carga máximo.

4.4.3 Variación desde un grado de carga mínimo a un grado de carga máximo.

Se analizará el comportamiento considerando el peor de los casos, es

decir cambiando el grado de carga desde los 2° hasta los 22°, visualizando

como el SVC en estudio se comporta en el momento que se al produce la

perturbación para t=5 seg. A continuación se muestran las formas de onda de la

corriente por el SVC en estudio y por el TCR basado en el comportamiento de

inductor no variable y como transcurrido cierto tiempo tiende a estabilizarse.

Figura 4-32: Corriente por el SVC y TCR basado en inductancia no lineal desde

un grado de carga mínimo a un grado de carga máximo.

88

En la figura 4-33 se observa la variación de la tensión de control al

momento de la perturbación y debido a esto el cambio en el ancho de pulso de la

señal de control de los tiristores V (disparo). Además se muestra el cambio en

la tensión del punto medio de la línea de transmisión.

Figura 4-33: Variación de la tensión de control y tensión en el punto de conexión

del SVC, para una perturbación desde el grado de carga mínimo al grado de

carga máximo.

A continuación en las figuras 4-34 (a-b) y 4-35(c-d) se detalla el sistema

completo simulado en PSPICE 9.2, el cual esta compuesto por el sistema de

potencia, el circuito de sincronización del disparo para los tiristores de las ramas

de los extremos (T1a-T1b-T3a-T3b) y los circuitos de comando para los tiristores

T2a-T2b, que consiste en pulsos fijos en 90º y 270º con un ancho de pulso

pequeño. Cabe destacar que para los circuitos de comando se hicieron

simplificaciones de tal manera de dar una respuesta eficaz al sistema de control,

el cual puede ser mejorado en estudios posteriores.

89

(a)

(b)

Figura 4-34: Circuito de Potencia (a) - Circuito de disparo para los tiristores T1a –T1b

T3a-T3b (b)

90

(c)

(d)

Figura 4-35: Circuitos de disparo para los tiristores T2a (c) -T2b (d)

CONCLUSIONES

Una vez concluido el estudio del compensador de potencia reactiva (SVC)

basado en el comportamiento de inductor no lineal, es importante destacar la

ventaja que poseen en los sistemas de transmisión, en donde se puede

aumentar la capacidad de transmisión de energía en las líneas, mejora de la

estabilidad sincrónica, aumento de la estabilidad en régimen transitorio, evitando

efectos tan indeseados producidos por perturbaciones, sobretensiones, cambios

en la demanda, etc.

La innegable desventaja del compensador estático de reactivos en

estudio, es la circulación de corrientes armónicas de baja frecuencia, debido a la

forma no sinusoidal de la corriente a través de su célula TCR, producto de las

discontinuidades producidas en los instantes de disparo de los tiristores. Al

realizar un estudio comparativo del compensador en estudio con el convencional

y de acuerdo a las simulaciones para distintos grados de cargas se comprobó

que el TCR basado en inductores no lineales presenta una forma de onda más

sinusoidal para grados de carga mínimo y una forma puramente sinusoidal para

grados de carga máximo, por lo que se tiene un THD más bajo y por tanto la

inyección de armónicas al sistema es menor, contrariamente para grados de

carga nominales el convencional presenta un THD menor, esto se puede

cambiar si el ángulo de disparo 1 que al principio era disparado fijo en 90º se

aproxima al ángulo de extinción de la corriente de la etapa anterior, haciendo

que la forma de onda sea más continua y por ende un THD menor con respecto

al convencional, esto se dedujo ya que al aumentar el ángulo de disparo 2 el

ángulo de extinción disminuye provocando una discontinuidad entre este ángulo

y el ángulo de disparo 1 fijo en 90º.

92

Es importante destacar la importancia del PLL en el enganche de la fase,

ya que permite la sincronización de los disparos de los tiristores con la tensión

en el punto de conexión del compensador, fundamental para el diseño del

circuito de control, ya que a partir de esta señal y a través de su procesamiento

mediante los circuitos expuestos en el capitulo anterior se obtienen los pulsos

que comandan los tiristores que conforman la topología en estudio.

Aún así, pese a las ventajas y desventajas que están presentes en todo

circuito, este nuevo modelo basado en el comportamiento de inductor no lineal

se convierte en una alternativa real entre los distintos modelos de

compensadores de potencia reactiva existentes, diferenciados unos de otros

únicamente por el tipo de topología del brazo TCR y la forma de onda que se

obtiene de la conducción de los tiristores, siendo fundamental para un

adecuado control del compensador.

93

REFERÉNCIAS BIBLIOGRÁFÍCAS

[1] RUIZ, DOMINGO., Curso Optativo de Controladores FACTS, publicación

interna, Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, 2001.

[2] RUIZ, DOMINGO., Curso Obligatorio de Electrónica de Potencia,

publicación interna, Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de

Valparaíso, 2001.

[3] RUIZ, DOMINGO., Apuntes de curso de armónicos, publicación interna,

Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, 2003.

[4] CARRILLO, CAMILO, “Compensadores Estáticos de Potencia Reactiva

(SVC)”, Universidad de Vigo, 2003.

[5] TECNOLOGIA FACTS-TUTORIAL, Sres.Edson Watanabe, Pedro

Barbosa, Katia Almeida, Glauco Taranto, SBA Controle y Automação

Vol.9 no.1/Jan, Fev., Mar.E Abril de 1998.

[6] PEÑA, HUMBERTO, “Estúdio de un compensador estático de reactivos

(SVC) ”III Seminário de Eletrônica de potencia, Laboratório de Electrónica

de Potencia, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Pontificia Universidad

Católica de Valparaíso, Noviembre 2003.

[7] REYNALDO RAMOS, “Informe interno sobre el SVC, Laboratorio

Electrónica de Potencia. LEP.PUCV.2004

[8] HINGORANI, N.G; L,”Understandings Flexible AC transmission system”,

IEEE press, 2000.

94

[9] GYUGYI, L” Unified power=flow control; concept for flexible AC

transmission system, IEEE transaction on power system”, IEE proc.-gener.

Transm. Distrib.4, pp.323-331, 1992.

[10] GYUGYI L” Applications characteristics of converter-based FACTS

controlled”, Power system technology, 2000. Proceedings Power on 2000

International conference, pp.323-331,1992.

[10] PEÑA H., “Apuntes de curso de estabilidad en sistema eléctricos de

potencia”, publicación interna, Valparaíso-Pontificia Universidad Católica

de Valparaíso, 2003.

[11] YONG-HUA S., Johns A.T.” Flexible AC transmission system (FACTS)”.

IEE Power and energy series 30.1999.

[12] IVO BARBI,” Electrónica de Potencia”, Ed. Del autor, 2003.

[13] NOROOZIA, M. and Andersson, G, “Camping of power system oscilation

by use of controllable components” IEEE Trans. On power delivery, 4,

pp.2046-2054, 1994

A P É N D I C E A

GENERACIÓN DE LA FORMA DE ONDA DEL TCR BASADO EN LA

TOPOLOGÍA DE INDUCTOR NO LINEAL MEDIANTE EL PROGRAMA

MATHCAD.

A-1

A P É N D I C E A

GENERACIÓN DE LA FORMA DE ONDA DEL TCR BASADO EN LA

TOPOLOGÍA DE INDUCTOR NO LINEAL MEDIANTE EL PROGRAMA

MATHCAD.

Mediante el programa MATHCAD se generó la forma de onda de la

corriente fundamental del brazo TCR basado en el comportamiento de inductor

no lineal, la cual fue comparada con la simulada en PSPICE 9.2.

Para cada una de las etapas las expresiones de las corrientes son las

siguientes:

2 1 11 ( ) cos cos

2 2

Voi t t

wL(A-1)

2 1 11 ( ) 1 ( ) cos cos

2 2Vo

i t i t twL

(A-2)

22 ( ) 2cos cos 2 cos

Voi t t

wL(A-3)

22 ( ) 2 ( ) 2cos cos 2 cos

Voi t i t t

wL(A-4)

Mediante descomposición de Fourier: 2

1

( 2)

1 1cos( ) cos( ( 2)) cos( )

2 2nA x nx dx (A-5)

A-2( 2)

2

2

2cos( ) cos( ( 2)) cos( 2) cos( )nA x nx dx (A-6)

2

1

( 2)

1 1cos( ) cos( ( 2)) sin( )

2 2nB x nx dx (A-7)

( 2)

2

2

2cos( ) cos( ( 2)) cos( 2) sin( )nB x nx dx (A-8)

Para generar las formas de onda para la primera etapa tanto en el

semiciclo positivo como en el negativo se procedió de la siguiente manera:

1( 2, ) 1 ( 2, ) 1 ( 2, )i x i x i x (A-9)

1 10 0

1 ( 2, ) cos( ) ( )n nn n

i x A n x B sen n x (A-10)

1 ( 2, ) 1 ( 2, )i x i x (A-11)

1 10 0

1 ( 2, ) cos ( ) ( )n nn n

i x A n x B sen n x (A-12)

Como:

cos ( ) ( 1) cos( )nn x nx (A-13)

( ) ( 1) ( )nsen n x sen nx (A-14)

Reemplazando se obtienen la siguiente expresión:

A-3

1 1 1 10 0 0 0

1( 2, ) cos( ) ( ) ( 1) cos( ) ( 1) ( )n nn n n n

n n n n

i x A n x B sen n x A nx B sen nx

Ordenado.

1 10 0

1( 2, ) (1 ( 1) )cos( ) (1 ( 1) ) ( )n nn n

n n

i x A nx B sen nx (A-15)

Como n = impar, pues solamente existen armónicos impares se obtiene la

expresión para la corriente:

1 10 0

1( 2, ) (2) cos( ) (2) ( )n nn n

i x A nx B sen nx (A-16)

La forma de onda generada para la corriente de la primera etapa es la mostrada

en la figura A-1.

Para generar las formas de onda para la segunda etapa tanto en el semiciclo

positivo como en el negativo se procedió de la siguiente manera

2( 2, ) 2 ( 2, ) 2 ( 2, )i x i x i x (A-17)

2 ( 2, ) 2 ( 2, )i x i x (A-18)

Figura A-1: Forma de onda de la corriente para la primera etapa.

A-4

2 20 0

2 ( 2, ) cos( ) ( )n nn n

i x A n x B sen n x (A-19)

2 20 0

2 ( 2, ) cos ( ) ( )n nn n

i x A n x B sen n x (A-20)

2 2 2 20 0 0 0

2( 2, ) cos( ) ( ) ( 1) cos( ) ( 1) ( )n nn n n n

n n n n

i x A n x B sen n x A nx B sen nx (A-21)

2 20 0

2( 2, ) (1 ( 1) )cos( ) (1 ( 1) ) ( )n nn n

n n

i x A nx B sen nx (A-22)

Como n = impar

2 20 0

2( 2, ) (2)cos( ) (2) ( )n nn n

i x A nx B sen nx (A-23)

La forma de onda generada para la corriente de la segunda etapa es:

Figura A-2: Forma de onda de la corriente para la segunda etapa.

A-5Ahora como se quiere encontrar la forma de onda Total:

( 2, ) 1( 2, ) 2( 2, )iTotal x i x i x(A-24)

1 2 1 20 0 0 0

( 2, ) (2)cos( ) (2)cos( ) (2) ( ) (2) ( )n n n nn n n n

iTotal x A nx A nx B sen nx B sen nx (A-25)

1 2 1 20 0

( 2, ) 2 ( )cos( ) ( ) ( )n n n nn n

iTotal x A A nx B B sen nx (A-26)

Por lo tanto la magnitud de la componente fundamental:

2 2

1 1 2 1 20 0

2 ( ) ( )Total n n n nn n

Componente A A B B (A-27)

Cabe destacar que la forma de onda se genero para las 30 primeras

armónicas (n=30), es decir mientras mayor es el valor de n, menor es la

distorsión de la onda.

Figura A-3: Forma de onda de la corriente del brazo TCR

APÉNDICE B

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A TRAVÉS DE

MATLAB V.6.5

B-1APÉNDICE B

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A TRAVÉS DE

MATLAB V.6.5

Mediante el uso del Programa Matlab v6.5 es posible obtener la función

de transferencia del sistema, simplificando el complicado proceso matemático

que debería realizarse para su obtención.

Para obtener la función de transferencia (Vsalida/ Vcontrol) se simula el

sistema en lazo abierto (PSPICE 9.2) aplicando una variación en la tensión de

control para obtener los valores de tensión tanto en la entrada como en la

salida.

Al ser muestreados los valores de la señal de interés (Vcontrol, Vsalida)

mediante simulación en el programa PSPICE 9.2, estos datos son exportados al

programa MATLAB v6.5 para su posterior identificación.

Figura B-1: Diagrama de bloques para el sistema de control.

B-2

Los datos son incorporados en el workspace como se muestra en la figura

B-2 (ventana principal de Matlab) con los siguientes comandos:

Vin=[ Datos de la señal de tensión de control de entrada]

Vout=[Datos de la señal tensión de salida]

Ident mediante este comando se llama a la ventana de identificación de la

función de transferencia

En data import se deben ingresar la señal de tensión de control y la señal

de tensión de salida con el nombre con el cual se ingresaron los datos en

el workspace, en conjunto con el tiempo de inicio de la simulación y el

intervalo de muestreo.

Para visualizar los datos ingresados basta con habilitar en data views

“time plot” como se aprecia en la figura B-3.

Figura B-2: Ventana Ident de matlab.

B-3

Figura B-3: Tensión de control (u1) y tensión de salida (y1).

Para identificar la planta se utiliza el modelo ARX, el cual es un modelo de

la ecuación diferencial lineal que relaciona la salida y la entrada como sigue:

y(t) + a_1y(t-1) +...+ a_na y(t-na) = b_1 u(t-nk) +...+ b_nb u(t-nk u(t-nk-nb+1)

Donde u(t) es la entrada e y(t) es la salida.

Luego en estimate “paremetric models” como se muestra en la figura B-4,

se visualiza en orden el numero de polos de “n+1” ceros y el tiempo de retardo

del sistema. Al aceptar la opción “estimate” entrega a Ident la estimación de los

datos ingresados para la función de transferencia con esas características.

B-4

Figura B-4: Ventana paremetrics model (ingreso de polos y ceros).

Habilitando en “model output” se obtiene la gráfica (figura B-5) que

relaciona la tensión de salida ingresada con la estimada por Ident, para la

entrada señalada, junto con el porcentaje de cercanía a la curva real. Para

buscar la mejor estimación o porcentaje de cercanía a la curva real se realizaron

varias pruebas, variando el modelo de arx en paremetrics models, para un

porcentaje de similitud mayor como se muestra en la figura B-5.

Figura B-5: Porcentaje de similitud con la curva real.

B-5

Tomando en cuenta el porcentaje de similitud 98.0175%, se opto por la

curva arx531. En la figura B-6 se muestran los polos y ceros de la función de

transferencia.

Ya definida el modelo Arx531 se procede a calcular la función de

transferencia del bloque Vcontrol / Vsalida haciendo clic en el modelo elegido y

arrastrándolo hasta el recuadro “to workspace”, el cual lleva el modelo a la

ventana principal de Matlab.

En la ventana principal de Matlab se ingresan los siguientes comandos:

th=thd2thc(arx531)

[num,den]=th2tf(th)

printsys(num,den,´s´)

Con lo cual Matlab nos entrega la siguiente función de transferencia:

3 4 7 3 10 2 11 12

5 2 4 6 3 9 2 11 14

7.645 1.058 3.813 6.536 6.5923.361 5.525 1.847 5.357 1.789

Vp E s E s E s E s E

Vcontrol s E s E s E s E s E(B-1)

Figura B-6: Polos y ceros de la función de transferencia.