PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO...

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

“DISEÑO, CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN EXPERIMENTAL

DE UN BANCO DE ENSAYO PARA LA ENSEÑANZA DEL

ANÁLISIS DE VIBRACIONES COMO HERRAMIENTA DE

MONITOREO DE CONDICIÓN”

Memoria para optar al Título de:

INGENIERO MECÁNICO

ALUMNA : ROCIO ORTEGA GUERRA

PROFESOR GUÍA : ALEJANDRO CERDA VARELA

2018

“Todos los triunfos nacen cuando nos atrevemos a comenzar”

Eugene Ware

I

AGRADECIMIENTOS

Quiero manifestar mi más sincero agradecimiento a todos quienes me brindaron su apoyo y

contención a lo largo de esta tesis.

De manera especial, agradezco a, Leontina Guerra Vergara y Luis Ortega Pastén, por ser

los mejores padres que me podrían haber tocado, gracias a ustedes, a sus enseñanzas y valores

inculcados soy lo que soy, gracias por ese consejo y palabra de aliento durante este largo

proceso, sin ustedes esto no sería posible.

A mis hermanas Katherine Ortega Guerra y Valentina Ortega Guerra y cuñado Luis

Rivera, por siempre permanecer a mi lado, por la paciencia y por los consejos brindados que

me permitieron salir adelante.

A mi compañero de vida Juan Morán Vilches, gracias por tu apoyo, consejo, contención y

ayuda durante todo este tiempo, gracias por estar a mi lado en los buenos y malos momentos,

sin ti nada de esto estaría sucediendo.

A mi amiga Valentina Beroiza T, por la compañía durante todos estos años universitarios, por

las risas, trasnoches y llantos compartidos, gracias por siempre estar a mi lado y por prestarme

ayuda en este proceso, eres una muy buena amiga y sin duda parte de mi familia.

Quiero dar las gracias a todos los miembros del Laboratorio de Vibraciones y Mecatrónica

“VIMEC” de la universidad, Óscar Ancatén G., Tomás Herrera M., Cristóbal Ponce S.,

Claudio Leiva H. y Cristóbal Ramírez D., por su ayuda y colaboración, gracias por el

compañerismo y amistad formada.

También le doy las gracias al Dr. Ingeniero Alejandro Cerda Varela, profesor guía de esta

tesis, por la paciencia, disponibilidad, conocimiento compartido y por todo su tiempo invertido,

permitiendo hacer esto posible.

Y finalmente a mis compañeros de universidad, Arlette Portus y Tomás Barra gracias por la

linda amistad que formamos y por todos los años vividos a su lado, por las risas y por los buenos

y malos momentos.

II

RESUMEN

En el siguiente trabajo se busca reforzar el conocimiento teórico-práctico mediante el diseño y

construcción de un banco de prueba para el análisis de vibraciones, enfocado a fallas comunes

generadas en máquinas rotatorias, utilizando para su análisis la transformada rápida de Fourier.

Se logró ejemplificar desalineamiento angular, desbalanceo, engranajes con un diente menos y

falla local, poleas desalineadas, correa floja, con imperfección y rodamiento con falla en la pista

interior.

Para llevar a cabo éste análisis, éste documento entrega todo lo necesario para comprender y

analizar los espectros que se generarán en los componentes del banco, por ello, se desarrolló un

capitulo completo sobre la teoría básica de las vibraciones, acompañado de laboratorios que

permiten un mejor entendimiento de la materia. Los siguientes cuatro capítulos, hacen mención

a la transformada rápida de Fourier, diseño y construcción del banco de pruebas, y, por último,

los datos experimentales.

No tan solo se desarrolló esta tesis con el fin de poder comprender de mejor manera lo que

respecta a vibraciones, si no también, con el objetivo de facilitar al estudiante herramientas que

le permitan enfrentar una situación bajo estas condiciones en el mundo laboral, permitiéndo

efectuar montajes adecuados, análisis de fallas y herramientas de diagnósticos para cualquier

tipo de maquinaria que presente los mismos síntomas de falla.

TABLA DE CONTENIDOS

I AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................ 3

II RESUMEN .............................................................................................................................. 4

III INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 19

CAPÍTULO 1 .......................................................................................................................... - 1 -

MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... - 1 -

1.1 Teoría básica de vibraciones ..................................................................................... - 1 -

1.1.2 Vibraciones libres sin amortiguamiento ........................................................ - 3 -

1.1.3 Vibraciones libres amortiguadas .................................................................... - 8 -

1.1.3.1 Decremento Logarítmico ...................................................................... - 15 -

1.1.4 Análisis experimental de un sistema real de un grado de libertad ............... - 17 -

1.1.5 Vibración excitada armónicamente ............................................................. - 35 -

1.1.6 Función Respuesta en Frecuencia ................................................................ - 46 -

1.1.7 Análisis experimental de un sistema real de un grado de libertad excitado - 48 -

1.1.8 Sistemas de dos grados de libertad .............................................................. - 69 -

1.1.8.1 Ecuaciones de movimiento para vibraciones forzadas ......................... - 69 -

1.1.8.2 Vibraciones libres no amortiguadas ...................................................... - 72 -

1.1.8.2.1 Modos de vibración ....................................................................... - 72 -

1.1.8.2.2 Vibraciones Forzadas ..................................................................... - 78 -

1.1.9 Análisis experimental de un sistema real de dos grados de libertad ............ - 83 -

CAPÍTULO 2 ...................................................................................................................... - 102 -

ANALISIS DE VIBRACIONES MECÁNICAS ........................................................... - 102 -

2.1 Transformada de Fourier ...................................................................................... - 103 -

2.2 Transformada Discreta de Fourier ........................................................................ - 104 -

2.3 Problemas que se generan al usar Transformada Rápida de Fourier .................... - 105 -

2.3.1 Aliasing ...................................................................................................... - 105 -

2.3.2 Fugas Laterales .......................................................................................... - 109 -

2.3.2.1 Ventana uniforme o rectangular ......................................................... - 110 -

2.3.2.2 Ventana Hanning ................................................................................ - 111 -

2.3.2.3 Ventana Flat Top ............................................................................ - 112 -

2.3.3 Efecto de Rendija ....................................................................................... - 113 -

2.4 Clasificación de las Vibraciones ........................................................................... - 116 -

2.4.1 Vibraciones Periódicas .............................................................................. - 116 -

2.4.1.1 Vibración Armónica Simple o Sinusoidal .......................................... - 116 -

2.4.1.2 Vibración Periódica de forma cualquiera ........................................... - 117 -

2.4.2 Vibraciones No Periódicas ......................................................................... - 117 -

2.4.2.1 Vibraciones Transientes ...................................................................... - 117 -

2.4.2.2 Vibraciones Aleatorias ........................................................................ - 118 -

2.5 Medición de la Vibración ..................................................................................... - 118 -

2.5.1 Etapa Transductora .................................................................................... - 119 -

2.5.1.1 Acelerómetro ...................................................................................... - 120 -

2.5.1.1.1 Acelerómetros piezoeléctricos ..................................................... - 120 -

2.5.1.1.2 Acelerómetro piezoresistivo ........................................................ - 121 -

2.5.1.1.3 Acelerómetro capacitivo .............................................................. - 121 -

2.5.2 Etapa de acondicionamiento de la señal eléctrica ...................................... - 122 -

2.5.2.1 Amplificadores .................................................................................... - 122 -

2.5.2.2 Atenuadores ........................................................................................ - 122 -

2.5.2.3 Filtros .................................................................................................. - 123 -

2.5.2.3.1 Filtro pasa bajo ............................................................................. - 123 -

2.5.2.3.2 Filtro pasa alto ............................................................................. - 123 -

2.5.2.3.3 Filtro pasa banda. ......................................................................... - 124 -

2.5.3 Etapa de procesamiento ............................................................................. - 124 -

2.5.3.1. Valor pico o amplitud ........................................................................ - 125 -

2.5.3.2 Valor pico a pico ................................................................................. - 125 -

2.5.3.3 Valor RMS (Root Mean Square) ........................................................ - 126 -

2.5.4 Etapa de registro ........................................................................................ - 126 -

CAPÍTULO 3 ...................................................................................................................... - 127 -

FALLAS COMUNES EN MÁQUINAS ROTATORIAS.............................................. - 127 -

3.1 Desbalanceamiento ............................................................................................... - 127 -

3.2 Desalineamiento .................................................................................................... - 129 -

3.2.1 Desalineación paralela ............................................................................... - 130 -

3.2.2 Desalineación angular ................................................................................ - 130 -

3.3 Transmisión por correas ........................................................................................ - 131 -

3.3.1 Desalineación polea ................................................................................... - 132 -

3.3.2 Poleas excéntricas ...................................................................................... - 132 -

3.4 Engranajes ............................................................................................................. - 133 -

3.4.1 Desgaste de los flancos de los dientes ....................................................... - 135 -

3.4.2 Desalineamiento del engrane ..................................................................... - 136 -

3.4.3 Engranajes con excesivo backlash ............................................................. - 137 -

3.4.4 Dientes dañados ......................................................................................... - 139 -

3.5 Rodamientos ......................................................................................................... - 139 -

3.5.1 Picadura en las pistas de rodadura o en los elementos rodantes ................ - 140 -

3.5.1.1 Frecuencia de deterioro de la pista interior (BPFI): ........................... - 141 -

3.5.1.2 Frecuencia de deterioro de la pista exterior (BPFO): ......................... - 142 -

3.5.1.3 Frecuencia de deterioro de la jaula (FTF): .......................................... - 142 -

3.5.1.4 Frecuencia de deterioro de los elementos rodantes (BSF): ................. - 143 -

3.5.2 Falta de lubricación .................................................................................... - 144 -

3.5.3 Excesivo juego interno de los elementos rodantes .................................... - 144 -

3.5.4 Fases del deterioro en rodamientos ............................................................ - 144 -

3.5.4.1 Fase 1 .................................................................................................. - 144 -

3.5.4.2 Fase 2 .................................................................................................. - 145 -

3.5.4.3 Fase 3 .................................................................................................. - 145 -

3.5.4.4 Fase 4 .................................................................................................. - 145 -

3.6 Solturas mecánicas ................................................................................................ - 147 -

CAPÍTULO 4 ...................................................................................................................... - 148 -

DISEÑO BANCO DE PRUEBA .................................................................................... - 148 -

4.1 Componentes del banco de ensayo de vibraciones ............................................... - 150 -

4.1.1 Motor eléctrico. ..................................................................................... - 150 -

4.1.1.1. Motor asíncrono trifásico ................................................................... - 151 -

4.1.1.1.1 Funcionamiento ........................................................................... - 152 -

4.1.2 Base ....................................................................................................... - 153 -

4.1.3 Acoplamiento ........................................................................................ - 154 -

4.1.3.1 Acoplamiento flexible con elastómero tipo estrella ......................... - 155 -

4.1.3.2 Dimensionamiento acoplamiento ....................................................... - 155 -

4.1.4 Rodamientos .............................................................................................. - 157 -

4.1.4.1 Características del soporte con rodamiento orientable ..................... - 159 -

4.1.5 Poleas ......................................................................................................... - 160 -

4.1.5.1 Correas ................................................................................................ - 162 -

4.1.5.1.1 Transmisión de poleas con correa en v ........................................ - 163 -

4.1.5.1.2 Dimensionamiento polea y correa ............................................... - 163 -

4.1.6 Freno .......................................................................................................... - 170 -

4.1.6.1 Freno hidráulico .................................................................................. - 171 -

4.1.6.1.1 Funcionamiento ........................................................................... - 171 -

4.1.6.1.2 Componentes del sistema hidráulico ........................................... - 172 -

4.1.7 Variador de frecuencia .......................................................................... - 174 -

4.1.8 Engranajes .................................................................................................. - 175 -

4.1.8.1 Dimensionamiento engranajes rectos ................................................. - 177 -

4.1.8.1.1 Resistencia a flexión .................................................................... - 177 -

4.1.9 Ejes ............................................................................................................. - 182 -

4.1.9.1 Dimensionamiento ejes. ...................................................................... - 183 -

4.1.9.1.1 Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-y

.................................................................................................................... - 188 -

4.1.9.1.2 Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-x

.................................................................................................................... - 189 -

4.2 Descripción y características de los equipos y sensores utilizados. ..................... - 197 -

4.2.1 Acelerómetro ............................................................................................. - 197 -

4.2.2 LabJack U3 ................................................................................................ - 199 -

4.2.3 Tacómetro Digital ...................................................................................... - 201 -

CAPÍTULO 5 ...................................................................................................................... - 202 -

EVALUACIÓN EXPERIMENTAL DEL BANCO DE PRUEBA ................................ - 202 -

5.1 Diagnóstico de falla en acoplamiento ................................................................... - 203 -

5.1.1 Desalineación angular ................................................................................ - 204 -

5.2 Diagnóstico de falla en poleas .............................................................................. - 207 -

5.2.1 Imperfección en la correa .......................................................................... - 208 -

5.2.2 Correa destensada ...................................................................................... - 213 -

5.2.3 Poleas desalineadas .................................................................................... - 217 -

5.3 Diagnóstico de falla en rodamientos ..................................................................... - 221 -

5.4 Diagnóstico de falla en engranajes ....................................................................... - 226 -

5.4.1 Diente dañado ............................................................................................ - 228 -

5.4.2 Diente roto ................................................................................................. - 232 -

5.5 Diagnostico de falla desbalance ............................................................................ - 236 -

CAPÍTULO 6 ...................................................................................................................... - 239 -

CONCLUSIONES Y ASPECTOS FUTUROS .............................................................. - 239 -

NOMENCLATURA ........................................................................................................... - 242 -

REFERENCIAS .................................................................................................................. - 245 -

ANEXOS ............................................................................................................................ - 247 -

ANEXO A: ESPECIFICACIONES TÉCNICAS ELEMENTOS BANCO DE ENSAYO. .... -

247 -

A.1 Motor Eléctrico. ................................................................................................... - 247 -

A.2 Acoplamiento Mecánico. ..................................................................................... - 250 -

A.3 Rodamiento y Soporte Rígido. ............................................................................. - 253 -

A.4 Poleas y Correa. ................................................................................................... - 254 -

A.5 Acelerómetro Analog Devices, modelo ADXL 325. ........................................... - 261 -

A.6 LabJack U3. ......................................................................................................... - 262 -

A.7 Engranajes ............................................................................................................ - 263 -

ANEXO B: GRÁFICAS EXPERIMENTALES A 40 [HZ]. .......................................... - 265 -

B.1 Falla en acoplamiento .......................................................................................... - 265 -

B.2 Falla en poleas y correa. ....................................................................................... - 267 -

B.2.1 Imperfección en la correa .......................................................................... - 267 -

B.2.2 Correa Destensada ..................................................................................... - 269 -

B.2.3 Poleas Desalineadas .................................................................................. - 271 -

B.3 Falla en Rodamientos ........................................................................................... - 273 -

B.4 Falla en Engranajes .............................................................................................. - 275 -

B.4.1 Diente dañado ............................................................................................ - 275 -

B.4.2 Diente Roto ............................................................................................... - 277 -

ANEXO C: PLANOS DE CONSTRUCCIÓN BANCO DE ENSAYO. ....................... - 279 -

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. 1. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en movimiento. ............. - 4 -

Figura 1. 2. Gráfica desplazamiento en función del tiempo para una vibración libre. ......................... - 7 -

Figura 1. 3. Diagrama de cuerpo libre de una partícula de masa m con amortiguamiento. ................. - 8 -

Figura 1. 4. Comparación del movimiento con diferentes tipos de amortiguamiento. ...................... - 13 -

Figura 1. 5. Movimiento subamortiguado definido por la ecuación (1.39) con amplitud decreciente.- 14

-

Figura 1. 6. Modelo a escala de un edificio. ...................................................................................... - 19 -

Figura 1. 7. Representación edificio deformado. ............................................................................... - 19 -

Figura 1. 8. Modelo mecánico equivalente, donde keq es la resultante de las 4 rigideces, m la masa del

edificio, x la deformación horizontal y c el coeficiente de amortiguamiento. ........................... - 20 -

Figura 1. 9. Sistema ideal con excitación armónica. .......................................................................... - 35 -

Figura 1. 10. Solución Homogénea (a), solución particular (b) y solución general (c) ..................... - 39 -

Figura 1. 11. Comportamiento resorte del sistema ideal para Ω ≈ 0. ................................................ - 42 -

Figura 1. 12. Comportamiento másico del sistema ideal para Ω → ∞ .............................................. - 43 -

Figura 1. 13. Comportamiento resonante del sistema ideal para Ω = ωn. ....................................... - 44 -

Figura 1. 14. Función respuesta en frecuencia en Amplitud y Fase. .................................................. - 46 -

Figura 1. 15. Representación de un sistema real a escala sometido a una excitación armónica. ....... - 50 -

Figura 1. 16. Modelo mecánico equivalente de la figura 1.15 ........................................................... - 50 -

Figura 1. 17. Modelo mecánico equivalente. ..................................................................................... - 51 -

Figura 1. 18. Diagrama de cuerpo libre del modelo mecánico equivalente. ...................................... - 51 -

Figura 1. 19. Modelo mecánico equivalente reducido. ...................................................................... - 52 -

Figura 1. 20. (a) Modelo mecánico equivalente (b) Diagrama de cuerpo libre. ................................ - 70 -

Figura 1. 21. Función respuesta en frecuencia de la función x1(t) en función de la frecuencia de

excitación Ω............................................................................................................................... - 81 -

Figura 1. 22. Representación de un sistema real a escala de dos grados de libertad sometido a una

excitación armónica. .................................................................................................................. - 85 -



Figura 2. 1. Vista de una señal en el dominio de tiempo y frecuencia. ............................................ - 105 -

Figura 2. 2. Ejemplo de aliasing. (a) Discretización adecuada. (b) Discretización inadecuada. ...... - 107 -

Figura 2. 3. (a) Espectro real (b) Espectro con aliasing. .................................................................. - 108 -

Figura 2. 4. Filtro pasa bajo. ............................................................................................................ - 109 -

Figura 2. 5. Representación fugas laterales. ..................................................................................... - 109 -

Figura 2. 6. Función de ponderación de una ventana Rectangular o Uniforme. .............................. - 110 -

Figura 2. 7. Ejemplos del funcionamiento de la ventana Rectangular sobre distintas señales. ........ - 111 -

Figura 2. 8. Función de ponderación de una ventana Hanning. ....................................................... - 111 -

Figura 2. 9. Ejemplos del funcionamiento de la ventana Hanning sobre distintas señales. ............. - 112 -

Figura 2. 10. Función ponderación de una ventana Flat Top. .......................................................... - 112 -

Figura 2. 11. Gráfica comparativa de las ventanas de ponderación. ................................................ - 113 -

Figura 2. 12. Representación efecto rendija. .................................................................................... - 114 -

Figura 2. 13. Cuando la longitud de onda medida para el cálculo del espectro es un número exacto de

ciclos. ....................................................................................................................................... - 114 -

Figura 2. 14. Cuando la longitud de onda medida es un número entero de ciclos más ½ de ciclo. . - 115 -

Figura 2. 15. Representación de una vibración sinusoidal en el dominio del tiempo y frecuencia. - 116 -

Figura 2. 16. Representación de una vibración periódica cualquiera en el dominio del tiempo y

frecuencias. .............................................................................................................................. - 117 -

Figura 2. 17. Representación de una vibración transiente en el dominio del tiempo y frecuencias. - 118 -

Figura 2. 18. Representación de una vibración aleatoria en el dominio del tiempo y frecuencias. . - 118 -

Figura 2. 19. Acelerómetro Piezoeléctrico. ...................................................................................... - 120 -

Figura 2. 20. Acelerómetro Piezoresisitivo. ..................................................................................... - 121 -

Figura 2. 21. Esquema del Acelerómetro Capacitivo. ...................................................................... - 122 -

Figura 2. 22. Filtro pasa bajo. .......................................................................................................... - 123 -

Figura 2. 23. Filtro pasa alto. ........................................................................................................... - 124 -

Figura 2. 24. Filtro pasa banda. ........................................................................................................ - 124 -

Figura 2. 25. Representación valor pico. .......................................................................................... - 125 -

Figura 2. 26. Representación valor pico a pico. ............................................................................... - 125 -

Figura 2. 27. Representación valor RMS. ........................................................................................ - 126 -

Figura 3. 1. Representación de la fuerza producto del desbalanceo................................................. - 127 -

Figura 3. 2. Componentes de la fuerza centrífuga resultante. .......................................................... - 128 -

Figura 3. 3. Espectro de un rotor desbalanceado.............................................................................. - 129 -

Figura 3. 4. Desalineación paralela. ................................................................................................. - 130 -

Figura 3. 5. Desalineación angular. .................................................................................................. - 131 -

Figura 3. 6. Poleas desalineadas. ...................................................................................................... - 132 -

Figura 3. 7. Excentricidad en una polea. .......................................................................................... - 132 -

Figura 3. 8. Involuta engranaje. ....................................................................................................... - 134 -

Figura 3. 9. Forma de onda y espectro del engranaje debido a carga. ............................................. - 135 -

Figura 3. 10. Espectro típico de dientes desgastados. ...................................................................... - 136 -

Figura 3. 11. Distribución de esfuerzos a lo largo del diente. .......................................................... - 137 -

Figura 3. 12. Espectros típicos producto de la desalineación de engranajes. ................................... - 137 -

Figura 3. 13. Representación de Backlash. ...................................................................................... - 138 -

Figura 3. 14. Espectro debido a Backlash. ....................................................................................... - 138 -

Figura 3. 15. Espectro diente dañado. .............................................................................................. - 139 -

Figura 3. 16. Componentes de un rodamiento. ................................................................................ - 140 -

Figura 3. 17. Representación medidas rodamientos. ........................................................................ - 141 -

Figura 3. 18. Espectro correspondiente a una falla en la pista interior. ........................................... - 142 -

Figura 3. 19. Espectro correspondiente a una falla en la pista exterior. ........................................... - 142 -

Figura 3. 20. Espectro correspondiente a una falla en la jaula. ........................................................ - 143 -

Figura 3. 21. Espectro correspondiente a una falla en el elemento rodante. .................................... - 143 -

Figura 3. 22. Fase 1 del deterioro de un rodamiento. ....................................................................... - 144 -




Figura 3. 26. Soltura mecánica. ........................................................................................................ - 147 -

Figura 4. 1. Banco de ensayo. .......................................................................................................... - 149 -

Figura 4. 2. Clasificación motor eléctrico ........................................................................................ - 150 -

Figura 4. 3. Estator ........................................................................................................................... - 151 -

Figura 4. 4. Rotor jaula de ardilla. ................................................................................................... - 152 -

Figura 4. 5. Plancha de polipropileno. ............................................................................................. - 153 -

Figura 4. 6. Clasificación acoplamientos ......................................................................................... - 154 -

Figura 4. 7. Acoplamiento flexible. ................................................................................................. - 155 -

Figura 4. 8. Componentes básicos de un rodamiento. ...................................................................... - 157 -

Figura 4. 9. Clasificación según las cargas que son capaces de soportar. ........................................ - 158 -

Figura 4. 10. Partes principales de una polea. .................................................................................. - 161 -

Figura 4. 11. Distintos tipos de poleas. a) Para correas en V o trapezoidales, b) Para correas planas, c)

Para correas circulares, d) Para correas sincrónicas. ............................................................... - 162 -

Figura 4. 12. Diferentes clases de correas. a) Correas Planas, b) Correas Redondas, c) Correas en V, d)

Correas Sincrónicas, e) Correas planas segmentadas. ............................................................. - 163 -

Figura 4. 13. Representación dimensiones correas. ......................................................................... - 167 -

Figura 4. 14. Clasificación frenos según funcionamiento y accionamiento. .................................... - 170 -

Figura 4. 15. Partes del sistema hidráulico de bicicleta. .................................................................. - 172 -

Figura 4. 16. Funcionamiento del pistón esclavo. ............................................................................ - 173 -

Figura 4. 17. Rotor. .......................................................................................................................... - 174 -

Figura 4. 18. Variador de frecuencia Mitsubishi D700. ................................................................... - 175 -

Figura 4. 19. Clasificación engranajes. ............................................................................................ - 176 -

Figura 4. 20. Diagrama de cuerpo libre engranaje recto. ................................................................. - 179 -

Figura 4. 21. Diente sometido a flexión. .......................................................................................... - 180 -

Figura 4. 22. Eje para el banco de prueba. ....................................................................................... - 185 -

Figura 4. 23. Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-y. .................... - 188 -

Figura 4. 24. Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-x. .................... - 189 -

Figura 4. 25. Factor acabado superficial. ......................................................................................... - 193 -

Figura 4. 26. Acelerómetro de tres ejes ADXL325 +/- 3G. ............................................................. - 198 -

Figura 4. 27: Base acelerómetro (PLA). .......................................................................................... - 198 -

Figura 4. 28. Diagrama de bloques funcional. ................................................................................. - 199 -

Figura 4. 29. LabJack U3-HV. ......................................................................................................... - 200 -

Figura 4. 30. Tacómetro Digital. ...................................................................................................... - 201 -

Figura 5. 1. Disposición de sensores. ............................................................................................... - 203 -

Figura 5. 2. (a) Acoplamiento alineado. (b) Acoplamiento desalineado angularmente. .................. - 204 -

Figura 5. 3. Disposición del sensor. ................................................................................................. - 207 -

Figura 5. 4. Condición normal de funcionamiento........................................................................... - 208 -

Figura 5. 5. Imperfección en la correa. ............................................................................................ - 209 -

Figura 5. 6. Corre destensada. .......................................................................................................... - 213 -

Figura 5. 7. (a) Poleas alineadas. (b) Poleas desalineadas. .............................................................. - 218 -

Figura 5. 8. Disposición sensor de medición. .................................................................................. - 222 -

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. 1. Valores de fuerza (N) y deformación (cm). ..................................................................... - 20 -

Tabla 1. 2. Elementos que componen el sistema con sus respectivos pesos en kg. ........................... - 52 -

Tabla 1. 3. Valores de Fuerza (N) y deformación (cm) del sistema. .................................................. - 53 -

Tabla 4. 1. Componentes banco de ensayo. ..................................................................................... - 149 -

Tabla 4. 2. Material de los componentes del pillowblocks. ............................................................. - 160 -

Tabla 4. 3. Condiciones de trabajo. .................................................................................................. - 164 -

Tabla 4. 4. Determinación del perfil de la correa. ............................................................................ - 165 -

Tabla 4. 5. Propiedades térmicas y eléctricas Ertacetal. .................................................................. - 177 -

Tabla 4. 6. Datos de partida engranajes. .......................................................................................... - 178 -

Tabla 4. 7. Propiedades mecánicas AISI/SAE 1020. ....................................................................... - 183 -

Tabla 4. 8. Factor de confiabilidad................................................................................................... - 192 -

Tabla 4. 9. Coeficiente de reducción de resistencia a fatiga ............................................................ - 195 -

Tabla 5. 1. Frecuencias múltiplos de la velocidad de rotación de la correa. .................................... - 211 -

Tabla 5. 2. Frecuencias múltiplos de la velocidad de rotación de la correa. .................................... - 214 -

Tabla 5. 3. Dimensiones rodamientos. ............................................................................................. - 222 -

Tabla 5. 4. Frecuencias fundamentales de rodamientos dependiendo de la falla. ............................ - 223 -

Tabla A. 1. Tabla de selección del motor. ........................................................................................ - 247 -

Tabla A. 2. Forma constructiva del motor eléctrico. ........................................................................ - 247 -

Tabla A. 3. Material de los elementos del motor. ............................................................................ - 248 -

Tabla A. 4. Dimensiones motor eléctrico. ........................................................................................ - 249 -

Tabla A. 5. Factor de servicio. ......................................................................................................... - 250 -

Tabla A. 6. Datos rendimiento del elastómero. ................................................................................ - 251 -

Tabla A. 7. Datos nominales de par de torsión según el elastómero. ............................................... - 252 -

Tabla A. 8. Dimensiones rodamiento y soporte. .............................................................................. - 253 -

Tabla A. 9. Factor de servicio .......................................................................................................... - 254 -

Tabla A. 10. Diámetro primitivo mínimo recomendado para poleas acopladas a motores eléctricos. ..... -

255 -

Tabla A. 11. Dimensiones poleas perfil en A. ................................................................................. - 256 -

Tabla A. 12. Designación y largos primitivos. ................................................................................. - 257 -

Tabla A. 13. Factor de corrección del arco de contacto. .................................................................. - 258 -

Tabla A. 14. Potencia nominal para correas de sección A/13. ......................................................... - 259 -

Tabla A. 15. Factor de corrección longitud de la correa. ................................................................. - 260 -

Tabla A. 16. Especificación Técnica Acelerómetro ADXL 325. ..................................................... - 261 -

Tabla A. 17. Especificación Técnica LabJack U3. .......................................................................... - 262 -

Tabla A. 18. Valores del factor de forma de Lewis Y (estos valores son para un ángulo normal de presión

de 20°) ..................................................................................................................................... - 263 -

Tabla A. 19. Dimensiones del diente en los pasos normales del módulo. ....................................... - 264 -

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1. 1. Fuerza versus deformación. .......................................................................................... - 21 -

Gráfico 1. 2. Amplitud versus tiempo. ............................................................................................... - 25 -

Gráfico 1. 3. Aceleración versus tiempo al aplicar una deformación de 5 cm a la estructura mostrada en

la figura 1.6................................................................................................................................ - 27 -

Gráfico 1. 4. Aceleración versus tiempo. Transiente obtenido a partir de la ecuación 1.5. ............... - 32 -

Gráfico 1. 5. Aceleración versus tiempo de la estructura al ser impactada. ....................................... - 32 -

Gráfico 1. 6. Fuerza versus deformación. .......................................................................................... - 53 -

Gráfico 1. 7. Decremento logarítmico. ............................................................................................... - 55 -

Gráfico 1. 8. Aceleración versus tiempo zona resorte. ....................................................................... - 58 -

Gráfico 1. 9. Aceleración versus tiempo zona másica. ...................................................................... - 60 -

Gráfico 1. 10. Aceleración versus tiempo zona resonante. ................................................................ - 65 -

Gráfico 1. 11. Amplitud y fase del sistema en zona resonante. ......................................................... - 67 -

Gráfico 1. 12. Amplitud y fase del sistema al remover la mitad de la masa en zona resonante. ....... - 67 -

Gráfico 1. 13. Amplitud y fase al remover el resorte helicoidal del sistema en zona resonante. ....... - 68 -

Gráfico 1. 14. Amplitud versus tiempo primer modo de vibración. .................................................. - 94 -

Gráfico 1. 15. Amplitud versus tiempo segundo modo de vibrar. ..................................................... - 95 -

Gráfico 1. 16. Aceleración versus tiempo máxima velocidad de giro. .............................................. - 97 -

Gráfico 1. 17. Aceleración versus tiempo máxima velocidad de giro sin masa. ................................ - 99 -

Gráfico 1. 18. Amplitud y fase. ........................................................................................................ - 101 -

Gráfico 5. 1. (a) Respuesta en tiempo acople alineado. (b) Respuesta en tiempo acople desalineado. .... -

205 -

Gráfico 5. 2. (a) Espectro en frecuencia acople alineado. (b) Espectro en frecuencia acople desalineado.

................................................................................................................................................. - 206 -

Gráfico 5. 3. (a) Respuesta en tiempo correa sana. (b) Respuesta en tiempo correa con falla. ........ - 210 -

Gráfico 5. 4. (a) Espectro en frecuencia correa sana. (b) Espectro en frecuencia correa con falla. . - 212 -

Gráfico 5. 5. (a) Respuesta en tiempo correa tensada. (b) Respuesta en tiempo correa destensada. - 215 -

Gráfico 5. 6. Espectro en frecuencia FFT correa tensada. ............................................................... - 216 -

Gráfico 5. 7. (a) Espectro en frecuencia correa tensada. (b) Espectro en frecuencia correa floja. ... - 216 -

Gráfico 5. 8. (a) Respuesta en tiempo poleas alineadas. (b) Respuesta en tiempo poleas desalineadas. -

219 -

Gráfico 5. 9. (a) Espectro en frecuencia poleas alineadas. (b) Espectro en frecuencia polea desalineada.

................................................................................................................................................. - 220 -

Gráfico 5. 10. (a) Respuesta en tiempo rodamiento sano. (b) Respuesta en tiempo rodamiento con falla.

................................................................................................................................................. - 224 -

Gráfico 5. 11. (a) Espectro en frecuencia rodamiento sano. (b) Espectro en frecuencia rodamiento con

falla. ......................................................................................................................................... - 225 -

Gráfico B. 1. (a) Respuesta en tiempo acople alineado 40 [Hz]. (b) Respuesta en tiempo acople

desalineado 40[Hz]. ................................................................................................................. - 265 -

Gráfico B. 2. (a) Espectro en frecuencia acople alineado 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia acople

desalineado 40[Hz]. ................................................................................................................. - 266 -

Gráfico B. 3. (a) Respuesta en tiempo correa sana 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo correa con falla

40[Hz]. ..................................................................................................................................... - 267 -

Gráfico B. 4. (a) Espectro en frecuencia correa sana 40 [Hz]. (b) Espectro en frecuencia correa con falla

40 [Hz]. .................................................................................................................................... - 268 -

Gráfico B. 5. (a) Respuesta en tiempo correa tensada 40 [Hz]. (b) Respuesta en tiempo correa floja

40[Hz]. ..................................................................................................................................... - 269 -

Gráfico B. 6. (a) Espectro en frecuencia correa tensada 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia correa floja

40[Hz]. Fuente: Elaboración propia en base a datos experimentales. ..................................... - 270 -

Gráfico B. 7. (a) Respuesta en tiempo polea alineada 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo polea desalineada

40[Hz]. ..................................................................................................................................... - 271 -

Gráfico B. 8. (a) Espectro en frecuencia polea alineada 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia polea

desalineada 40[Hz]. ................................................................................................................. - 272 -

Gráfico B. 9. (a) Respuesta en tiempo rodamiento sano 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo rodamiento con

falla 40[Hz].............................................................................................................................. - 273 -

Gráfico B. 10. (a) Espectro en frecuencia rodamiento sano 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia rodamiento

con falla 40[Hz]. ...................................................................................................................... - 274 -

III

INTRODUCCIÓN

Con la llegada de la Primera Revolución Industrial (1760-1840), la economía rural basada

fundamentalmente en la agricultura y el comercio, pasó a ser una economía de carácter urbano,

industrializada y mecanizada, con esto la llegada de las máquinas trajo consigo una mayor

preocupación en el cuidado, conservación y vigilancia de sus elementos.

El mantenimiento de los equipos paso a formar parte fundamental del desarrollo industrial,

puesto que, fallas o paros en la producción generaban grandes pérdidas. Así pues, se podría

definir el mantenimiento como la actividad que tiene por objetivo obtener la máxima

disponibilidad de los equipos, instalaciones y máquinas, dentro de los límites de calidad y con

el menor costo posible. Dentro de los tipos de mantenimiento se encuentra el correctivo,

preventivo y predictivo, siendo este último sistema de mantenimiento el que determina el estado

de la máquina durante su funcionamiento, utilizando una serie de técnicas que evalúan la

condición del equipo, identificando el problema o falla que se presente. Dentro de este concepto

de mantención existen diversas técnicas como la termografía, ensayos no destructivos, análisis

de vibraciones, etc., los cuales entregan el estado de las máquinas y equipos según los síntomas

que estos emiten al exterior. Es en este punto donde las vibraciones juegan un rol fundamental

en la industria, el análisis de las mismas es una de las técnicas de mayor empleo, debido a su

eficiencia en la detección incipiente de fallas. Por este motivo, se diseñó y construyó un banco

de ensayo el que permitirá identificar, analizar y diagnosticar algunas de las fallas más comunes

que se encuentran en máquinas, contribuyendo al aprendizaje en el área de vibraciones de los

estudiantes de pregrado de la Escuela de Ingeniería Mecánica de la PUCV.

OBJETIVO GENERAL

El trabajo de título tendrá como objetivo el diseño, construcción y evaluación experimental de

un banco de ensayo. Este sistema estará orientado a apoyar la enseñanza de técnicas de

monitoreo de condición de maquinaria rotatoria, mediante el análisis de sus vibraciones

mecánicas. Esto, en el contexto de los ramos optativos relativos al área de vibraciones ofrecidos

por la Escuela de Ingeniería Mecánica de la PUCV a sus estudiantes de pregrado.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Diseñar banco de prueba para realizar monitoreo de condición mediante el análisis de

vibraciones mecánicas en máquinas rotatorias.

Construir banco de ensayo para ejecutar diagnóstico de falla a través del análisis de

vibraciones.

Instrumentar banco de ensayo para adquirir datos experimentales.

Realizar diagnóstico de condición bajo operación normal y bajo falla en desbalanceo de

rotores, desalineamiento, transmisión por poleas, rodamientos y engranajes.

Contrastar los datos obtenidos experimentalmente con lo mencionado en la teoría.

- 1 -

CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO

1.1 Teoría básica de vibraciones

Toda máquina en funcionamiento, aunque este muy bien diseñada, ajustada y equilibrada, se ve

sometida a vibraciones en todos sus elementos.

En su forma más sencilla, una vibración mecánica se puede considerar como la oscilación o el

movimiento repetitivo de una partícula o cuerpo alrededor de su posición de equilibrio, dicha

posición es a la que llegará cuando la fuerza neta que actúe sobre él sea nula.

Para producir el movimiento oscilatorio, es necesario que el cuerpo o sistema en cuestión posea

por lo menos un elemento inercial (energía cinética), uno restaurador (energía potencial) quién

se encargará de traer al cuerpo a su posición de equilibrio y un medio por el cual la energía se

pierda gradualmente (amortiguador).

El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento

se llama período de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia, y

el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de

vibración.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas

lineales, rige el principio de la superposición, y las técnicas matemáticas para su tratamiento

están bien desarrolladas. Por el contrario, las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son

más complicadas y no muy conocidas. Sin embargo, algún conocimiento de sistemas no lineales

es deseable puesto que todos los sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud

de la oscilación.

- 2 -

Dentro de las distintas categorías que se pueden clasificar las vibraciones se encuentran las

vibraciones libres y forzadas, vibraciones amortiguas y no amortiguadas, entre otras. Las

vibraciones son libres cuando el sistema vibra por si sólo después de ser perturbado, es decir,

no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo,

y son forzadas cuando la vibración tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas periódicas

o intermitentes aplicadas al sistema.

Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la

existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en:

Amortiguada: Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas

o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.

No Amortiguada: No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema, permitiendo

que la vibración continúe indefinidamente, ya que los efectos de la fricción son

despreciados en el análisis.

Todos los sistemas vibratorios están sometidos a cierto grado de amortiguamiento puesto que la

energía es disipada por fricción y otras resistencias. Si el amortiguamiento es pequeño, tiene

escasa influencia sobre las frecuencias naturales del sistema y, por consiguiente, los cálculos de

las frecuencias naturales se hacen generalmente ignorando el amortiguamiento, resultando

entonces en una vibración libre.

El número de coordenadas independientes que se requieren para describir el movimiento de un

sistema, define la cantidad de grados de libertad del sistema. Así, una partícula libre que

experimenta un movimiento general en el espacio tiene tres grados de libertad mientras que, un

cuerpo rígido tendrá seis grados de libertad, tres componentes de posición y tres ángulos que

definen su orientación. En efecto, un número sorprendente de problemas de vibración pueden

ser tratados, con aproximación suficiente, a sistemas con un grado de libertad, ya que, de esta

manera el análisis no se limita a una cierta cantidad de problemas (1)

- 3 -

1.1.2 Vibraciones libres sin amortiguamiento

Todo sistema que vibre libremente al ser perturbado inicialmente y no disipe energía por fricción

u otra resistencia mientras oscila, se conoce como vibración libre no amortiguada.

La figura 1.1(a) muestra un sistema de masa y resorte que representa el sistema vibratorio más

simple posible. Si el movimiento descrito por (𝑚)es vertical, la vibración es de un solo grado

de libertad. Cuando (𝑚) está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son el peso

𝑊 y la fuerza 𝑇 ejercida por el resorte, de magnitud 𝑇 = 𝐾𝛿𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎, donde 𝛿𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 denota la

elongación del resorte. Si se aplican las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre

(DCL), se tiene que:

∑𝐹𝑥 = 0

𝑊 − 𝑘𝛿𝑠𝑡 = 0

𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 (1. 1)

Si ahora se desplaza el cuerpo a una distancia 𝑥𝑚 desde la posición de equilibrio y se suelta sin

velocidad inicial, la partícula se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la posición de

equilibrio generando de esta forma una vibración libre de amplitud 𝑥𝑚, según se muestra en la

figura 1.1b.

Para analizar la vibración, se considerará la partícula en una posición P en algún tiempo

arbitrario t (figura 1.1b). Denotando por x el desplazamiento OP medido desde la posición de

equilibrio O (positivo hacia abajo), se nota que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su

peso W y la fuerza T ejercida por el resorte que, en esta posición, tiene una magnitud

𝑇 = 𝐾(𝛿𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑥).

- 4 -

Figura 1. 1. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en movimiento.

Fuente: Mecánica vectorial para ingenieros, dinámica, F.Beer, E.Johnston, P.Cornwell. (𝟗∘𝐞𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧).

Del diagrama de cuerpo libre y cinético, y aplicando la segunda ley de Newton se observa que

la ecuación de movimiento de la masa es

∑𝐹𝑋 = 𝑚𝑎𝑥

𝑊 − 𝑘(𝛿 + 𝑥) = 𝑚�̈� (1. 2)

Al remplazar la ecuación (1.1) en la ecuación (1.2), resulta:

𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0 (1. 3)

Este movimiento definido por la ecuación (1.3) se conoce como movimiento armónico simple

y se caracteriza por que la aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene dirección

opuesta (2).

- 5 -

Se puede verificar que cada una de las funciones 𝑥1 = sin√𝑘𝑚⁄ 𝑡 y 𝑥2 = cos√𝑘

𝑚⁄ 𝑡 satisface

la ecuación (1.3). Por lo tanto, estas funciones constituyen dos soluciones particulares de la

ecuación diferencial (1.3). La solución general de la ecuación (1.3) se obtiene al multiplicar cada

una de las soluciones particulares por una constante arbitraria. De tal manera, la solución general

se expresa como

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑥1 + 𝐶2𝑥2

𝑥(𝑡) = 𝐶1 sin√𝑘𝑚⁄ 𝑡 + 𝐶2 cos√𝑘

𝑚⁄ 𝑡 (1. 4)

Siendo que x es una función periódica del tiempo t y que, por lo tanto, representa una vibración

de la partícula. El coeficiente t en la expresión obtenida se conoce como la frecuencia natural

de la vibración, y se denota por 𝜔𝑛.Se tiene

𝜔𝑛 = √𝑘

𝑚 (

𝑟𝑎𝑑

𝑠)

(1. 5)

Al sustituir la fórmula (1.5) en la ecuación (1.4), se escribe:

𝑥(𝑡) = 𝐶1 sin𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 cos𝜔𝑛 𝑡 (1. 6)

Siendo ésta la solución general de la ecuación diferencial

�̈� + 𝜔𝑛2𝑥 = 0 (1. 7)

Obteniendo una ecuación diferencial, lineal, homogénea, de segundo orden, con coeficientes

constantes.

Al derivar dos veces ambos términos de la ecuación (1.6) con respecto a t, se obtienen las

siguientes expresiones para la velocidad y la aceleración en el tiempo t:

- 6 -

𝑣 = �̇�(𝑡) = 𝐶1𝜔𝑛 cos𝜔𝑛 𝑡 − 𝐶2𝜔𝑛 sin𝜔𝑛 𝑡 (1. 8)

𝑎 = �̈�(𝑡) = −𝐶1𝜔𝑛2 sin𝜔𝑛 𝑡 − 𝐶2𝜔𝑛

2 cos𝜔𝑛 𝑡 (1. 9)

Los valores de las constantes 𝐶1 y 𝐶2 dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula

pueden escribirse en una forma más compacta si se observa que la ecuación (1.6) expresa que

el desplazamiento 𝑥 = 𝑂𝑃 es la suma de las componentes de dos vectores 𝐶1 y 𝐶2,

respectivamente, de magnitud 𝐶1 y 𝐶2, como se muestra en la figura 1.2a.Cuando t varía, ambos

vectores giran en el sentido horario; también se nota que la magnitud de su resultante 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es

igual al desplazamiento máximo 𝑥𝑚. El movimiento armónico simple de la partícula a lo largo

del eje 𝑥 puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento de un punto 𝑄 que describe

un círculo auxiliar de radio 𝑥𝑚 con una velocidad angular constante 𝜔𝑛.Al denotar por 𝜙 el

ángulo formado por los vectores 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐶1, se escribe

𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 10)

Que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la

partícula:

𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 11)

𝑣 = �̇�(𝑡) = 𝑥𝑚𝜔𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 12)

𝑎 = �̈�(𝑡) = −𝑥𝑚𝜔𝑛2 sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 13)

La curva desplazamiento versus tiempo se representa por medio de una curva senoidal (figura

1.2b); el valor máximo 𝑥𝑚del desplazamiento se denomina amplitud de la vibración, y el ángulo

𝜙 que define la posición inicial de 𝑄 en el círculo, se llama ángulo de fase. Por lo tanto:

- 7 -

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 14)

𝑣 = �̇�(𝑡) = 𝐴𝜔𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 15)

𝑎 = �̈�(𝑡) = −𝐴𝜔𝑛2 sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (1. 16)

El valor correspondiente de t, denotado por 𝜏𝑛, corresponde al periodo de la vibración libre y se

mide en segundos. Por consiguiente

𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛= 2𝜋√

𝑚

𝑘(𝑠)

(1. 17)

El término 𝑓𝑛 denota el número de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se conoce como

frecuencia natural de la vibración. Por tanto,

𝑓𝑛 =1

𝜏𝑛=

𝜔𝑛

2𝜋(𝐻𝑧) (1. 18)

Figura 1. 2. Gráfica desplazamiento en función del tiempo para una vibración libre.


- 8 -

1.1.3 Vibraciones libres amortiguadas

En análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la fricción o el

amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una

aproximación cercana al movimiento real. Debido a que todas las vibraciones se disipan con el

tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el análisis (3).

Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento se considera un sistema

formado por un cuerpo de masa 𝑚, el cual está suspendido de un resorte de rigidez 𝑘 y conectado

al émbolo de un amortiguador como se muestra en la figura 1.3.

Figura 1. 3. Diagrama de cuerpo libre de una partícula de masa 𝒎 con amortiguamiento.


La magnitud de la fuerza de fricción que ejerce el fluido de los alrededores sobre el émbolo es

igual a 𝑐�̇�˙, donde la constante 𝑐, representa el coeficiente de amortiguamiento viscoso, el que

depende de las propiedades físicas del fluido. Al aplicar la segunda ley de Newton al cuerpo de

masa 𝑚 se obtendrá la ecuación del movimiento, por lo tanto, se tiene que:

- 9 -

∑𝐹𝑋 = 𝑚�̈�

𝑊 − 𝑘(𝛿𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑥) − 𝑐�̇� = 𝑚�̈� (1. 19)

Recordando que en el caso del equilibrio estático 𝑊 = 𝑘𝛿𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎, por lo tanto, la ecuación

anterior se escribe:

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 0 (1. 20)

La ecuación (1.20) es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes

constantes. La teoría de las ecuaciones diferenciales dice que la solución es de la forma

𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒𝑠𝑡 (1. 21)

La velocidad y aceleración del bloque son determinadas tomando derivadas sucesivas con

respecto al tiempo de la ecuación (1.21), lo que resulta en

𝑣 = �̇�(𝑡) = 𝐶𝑠𝑒𝑠𝑡 (1. 22)

𝑎 = �̈�(𝑡) = 𝐶𝑠2𝑒𝑠𝑡 (1. 23)

Remplazando la ecuación (1.21) conjuntamente con sus derivadas en la ecuación (1.20)

𝑠2𝑚𝐶𝑒𝑠𝑡 + 𝑠𝑐𝐶𝑒𝑠𝑡 + 𝑘𝐶𝑒𝑠𝑡 = 0 (1. 24)

Se obtiene la ecuación característica expresada por

𝑚𝑠2 + 𝑐𝑠 + 𝑘 = 0 (1. 25)

Cuyas raíces son

- 10 -

𝑠1,2 =−𝑐 ± √𝑐2 − 4𝑚𝑘

2𝑚

𝑠1,2 = −𝑐

2𝑚± √(

𝑐

2𝑚)2

−𝑘

𝑚

(1. 26)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación se escribe como:

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 + 𝐶2𝑒

𝑠2𝑡 (1. 27)

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒(−

𝑐

2𝑚+√(

𝑐

2𝑚)2−

𝑘

𝑚)𝑡

+ 𝐶2𝑒(−

𝑐

2𝑚−√(

𝑐

2𝑚)2−

𝑘

𝑚)𝑡

(1. 28)

Las constantes 𝐶1 y 𝐶2 se determinan a partir de las condiciones iníciales, mientras que 𝑠1 y 𝑠2

se determinan de la ecuación característica.

Para entender los distintos casos de amortiguamiento que puede presentar un sistema, es

necesario definir que representa el coeficiente de amortiguamiento crítico 𝑐𝑐, siendo éste el valor

de 𝑐 que hace que el radical de la ecuación (1.26) sea cero, puede escribirse

(𝑐𝑐

2𝑚)2

−𝑘

𝑚= 0

𝑐𝑐 = 2𝑚√𝑘

𝑚= 2𝑚𝜔𝑛

(1. 29)

Donde 𝜔𝑛 es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. El coeficiente de

amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida para que

el movimiento no sea vibratorio. Se distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, según

sea el valor del coeficiente c.

- 11 -

a) Movimiento Sobreamortiguado 𝑐 > 𝑐𝑐

Las raíces 𝑠1y 𝑠2 de la ecuación característica (1.25) son reales y distintas. Por lo tanto, la

solución de esta ecuación diferencial (1.20), es de la forma

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 + 𝐶1𝑒

𝑠2𝑡 (1. 30)

Esta solución corresponde a un sistema que no oscila, simplemente vuelve a la posición de

equilibrio en un tiempo finito. Cuanto mayor es el amortiguamiento, menos tiempo tarda el

sistema en alcanzar la posición de equilibrio.

b) Movimiento Críticamente Amortiguado 𝑐 = 𝑐𝑐

En este caso las dos raíces son iguales. La solución general será

𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2𝑡)𝑒𝜔𝑛𝑡 (1. 31)

El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. Él

valor crítico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. En muchas

aplicaciones prácticas se utiliza un amortiguamiento crítico, o próximo al crítico, para evitar

vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rápidamente.

c) Movimiento Subamortiguado 𝑐 < 𝑐𝑐

Las raíces de la ecuación (1.25) son complejas y conjugadas

𝑠1,2 = −𝑐

2𝑚± 𝔦√

𝑘

𝑚− (

𝑐

2𝑚)2

(1. 32)

Donde la frecuencia natural amortiguada está dada por

- 12 -

𝜔𝑑 = √𝑘

𝑚− (

𝑐

2𝑚)2

(1. 33)

Por lo tanto, la solución general, es de la forma

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑐2𝑚⁄ 𝑡(𝐶1 sin(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2 cos(𝜔𝑑𝑡))

(1. 34)

Si se sustituye 𝑘

𝑚= 𝜔𝑛

2en la ecuación (1.33), se tiene que

𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − (𝑐

𝑐𝑐)2

(1. 35)

Donde 𝑐

𝑐𝑐 se conoce como factor de amortiguamiento, siendo éste una cantidad definida como

la razón entre el coeficiente de amortiguamiento 𝑐 y el coeficiente de amortiguamiento cítrico

𝑐𝑐, esto es

𝜉 =𝑐

𝑐𝑐=

𝑐

2√𝑚𝑘=

𝑐

2𝑚𝜔𝑛 (1. 36)

En función de esta cantidad se pueden obtener las siguientes relaciones

𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝔦𝜔𝑛√𝜉2 − 1 (1. 37)

𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝔦𝜔𝑛√1 − 𝜉2

𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝔦𝜔𝑑 (1. 38)

Por lo tanto, la solución general, es de la forma

- 13 -

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒(−𝜉𝜔𝑛+𝔦𝜔𝑑)𝑡 + 𝐶2𝑒

(−𝜉𝜔𝑛−𝔦𝜔𝑑)𝑡

𝑥(𝑡) = 𝑒(−𝜉𝜔𝑛)𝑡(𝐶1𝑒(𝒾𝜔𝑑)𝑡 + 𝐶2𝑒

(−𝒾𝜔𝑑)𝑡)

O también

𝑥(𝑡) = 𝑒(−𝜉𝜔𝑛)𝑡(𝐶1 sin(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2 cos(𝜔𝑑𝑡))

Siendo esta última expresión la ecuación homogénea del sistema.

En función de la razón de amortiguamiento se puede decir que un movimiento es sobre

amortiguado si (𝜉> 1), es críticamente amortiguado si (𝜉 =0) y subamortiguado sí (𝜉< 1) (1).

Figura 1. 4. Comparación del movimiento con diferentes tipos de amortiguamiento.

Fuente: Vibraciones Mecánicas, Singiresu S.Rao (𝟓∘𝐞𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧).

La ecuación general (1.20) se puede escribir también de la siguiente forma

𝑥(𝑡) = 𝑥0𝑒−(

𝑐

2𝑚)𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡 + 𝜙)

(1. 39)

- 14 -

El movimiento definido por la ecuación (1.39) es vibratorio con amplitud decreciente (figura

1.5), y el intervalo de tiempo que separa dos puntos sucesivos donde la curva definida por la

ecuación (1.39) toca una de las curvas límite que se muestran en la figura 1.5 se conoce como

el periodo de la vibración amortiguada.

𝜏𝑑 =2𝜋

𝜔𝑑=

2𝜋

√𝑘

𝑚− (

𝑐

2𝑚)2 (1. 40)

Figura 1. 5. Movimiento subamortiguado definido por la ecuación (1.39) con amplitud decreciente.


- 15 -

1.1.3.1 Decremento Logarítmico

El decremento logarítmico representa la velocidad a la cual se reduce la amplitud de una

vibración libre amortiguada. Se define como el logaritmo natural de la relación de cualquiera de

las dos amplitudes sucesivas positivas (o negativas) (1). Sean 𝑡1 y 𝑡2 los tiempos

correspondientes a dos amplitudes sucesivas (desplazamientos), medidas para un sistema

subamortiguado según muestra la figura 1.5.

La razón de las amplitudes será:

𝑥(𝑡1)

𝑥(𝑡2)=

𝑥0𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡1 + 𝜙)

𝑥0𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡2 + 𝜙)

(1. 41)

Siendo

𝑡2 = (𝑡1 + 𝑛𝜏𝑑)

𝑥(𝑡1)

𝑥(𝑡2)=

𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡1

𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡2= 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡1+𝜉𝜔𝑛𝑡2

(1. 42)

𝑥(𝑡1)

𝑥(𝑡2)= 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑

(1. 43)

Aplicando logaritmo natural a la ecuación (1.43)

𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑 = 𝑙𝑛 (𝑥(𝑡1)

𝑥(𝑡2)) (1. 44)

El decremento logarítmico será

𝛿 = 𝑙𝑛(𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑)

- 16 -

𝛿 = −𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑 (1. 45)

Sabiendo que

𝜏𝑑 =1

𝑓𝑛=

2𝜋

𝜔𝑑

𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑 = 𝜉𝜔𝑛𝑛2𝜋

𝜔𝑑

𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑 = 𝜉𝜔𝑛𝑛2𝜋

𝜔𝑛√1 − 𝜉2

𝜉𝜔𝑛𝑛𝜏𝑑 =𝜉𝑛2𝜋

√1 − 𝜉2 (1. 46)

Con el objetivo de comprender mejor los conceptos básicos de vibraciones libres, antes vistos,

se llevará a cabo un ensayo, en donde se aplicarán las ecuaciones básicas del movimiento

oscilatorio, pudiendo así entender de una forma más tangible el comportamiento de un sistema

real a escala.

- 17 -

1.1.4 Análisis experimental de un sistema real de un grado de libertad

El ensayo se centrará en el análisis de vibraciones básicas de un sistema de un grado de libertad,

con la finalidad de lograr contrastar la información teórica con lo obtenido experimentalmente.

El sistema a analizar consiste en una masa soportada por cuatro vigas verticales, y busca

representar en escala reducida algunos sistemas reales, tales como edificios, torres, u otras

construcciones caracterizadas por la presencia de masas concentradas conectadas por vigas de

distinto tipo. El objetivo central del ensayo corresponde a la obtención de un modelo matemático

validado experimentalmente, que represente con precisión aceptable el comportamiento

dinámico del modelo a escala. En esta primera parte, el foco estará puesto en el análisis de las

vibraciones libres del sistema.

Para comprender mejor el análisis del sistema, este se dividirá en tres pasos:

Paso 1: Consideraciones para obtener el modelo mecánico equivalente

Para determinar el modelo mecánico equivalente se debe hacer una lista de consideraciones, con

el fin de reducir el sistema a uno de un grado de libertad y poder así, simplificar el análisis

vibratorio.

a. Se consideran deformaciones pequeñas en (𝑥)de la masa superior. En consecuencia, se

trabajará en un sistema lineal.

b. Rango de frecuencias bajo, variable necesaria para definir el sistema como uno de un

grado de libertad (GDL) para poder así, continuar trabajando en un sistema lineal, siendo

este el encargado de determinar la posición de todos los elementos de un sistema en un

momento dado.

c. Amplitudes de trabajo bajas para no caer en un sistema no lineal, ya que, en este sistema

el principio de superposición no es válido y las técnicas de análisis son menos conocidas.

- 18 -

d. Masa de las vigas despreciable, la masa considerada será la del bloque superior.

e. Se considera las vigas como resortes y las losas (pisos) como masas, para representar el

modelo mecánico equivalente simplificado.

f. Se desprecia cualquier tipo de disipación de energía, ya sea por deformación, roce o

fuerzas viscosas.

g. Se suponen cuatro rigideces lineales e iguales, las que representan la rigidez de las vigas

a flexión. Él sistema se reduce a una sola rigidez equivalente 𝑘𝑒𝑞, mediante la suma en

serie-paralelo de las rigideces. En este caso se suman en paralelo.

h. No se considera amortiguamiento en el planteamiento de las ecuaciones de movimiento

del sistema, ya que, la magnitud de éste es muy pequeño, al ser el aire el único elemento

de disipación de energía.

Paso 2: Obtención del modelo mecánico equivalente

El propósito del modelo mecánico equivalente es representar todos los detalles importantes del

sistema, como se aprecia en la figura 1.6.

- 19 -

Figura 1. 6. Modelo a escala de un edificio.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1. 7. Representación edificio deformado.


- 20 -

Figura 1. 8. Modelo mecánico equivalente, donde (𝐤𝐞𝐪) es la resultante de las 4 rigideces, (𝐦) la masa del edificio, (𝐱)

la deformación horizontal y (𝒄) el coeficiente de amortiguamiento.


Paso 3: Determinación de parámetros del sistema.

Mediante análisis experimental se obtienen los parámetros que permiten definir la ecuación

fundamental, siendo estos, la rigidez, masa y desplazamiento. Para conseguir la masa de la

estructura, solo es necesario colocar ésta en una balanza.

Se mide en tres ocasiones, arrojando que la masa de la estructura es igual a 2,3(𝑘𝑔), al estar

solo la parte superior sometida a vibración, la masa considerada para efectos de cálculo será la

mitad de la anteriormente calculada 1,03 (𝑘𝑔).

Para obtener la rigidez del sistema es necesario conocer dos parámetros, deformación y fuerza

aplicada. La variable deformación se obtiene midiendo con una regla el desplazamiento que se

logra al deformar el sistema al aplicar una fuerza externa, dicha fuerza se logra al tirar con el

dinamómetro la estructura. El valor de la fuerza es entregado en newton.

Los resultados experimentales son:

Fuerza Deformación

3,15 7

4,9 8

6,6 9

8,3 10

10,3 11

Tabla 1. 1. Valores de fuerza (N) y deformación (cm).

Fuente: Elaboración propia basada en datos experimentales.

- 21 -

Con los datos de la tabla 1.1, se construye la recta que refleja el comportamiento del sistema al

ser deformado por una fuerza externa.

Gráfico 1. 1. Fuerza versus deformación.


La rigidez es la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación

de esa fuerza. A partir del gráfico 1.1, se puede obtener la pendiente de la recta, la que representa

la rigidez del sistema. La pendiente se define como:

𝑘 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

Δ𝐹

Δ𝛿

Tomando dos puntos de la recta:

Punto A ( 7, 3.15)

Punto B ( 10, 8.3)

𝑘 =8,3 − 3,15

10 − 7

𝑘𝑒𝑞 = 1,72 (𝑁

𝑐𝑚)

0

2

4

6

8

10

12

6 7 8 9 10 11 12

Fuer

za (

N)

Deformación(m)

- 22 -

Por lo tanto el valor de la rigidez experimental es 𝑘𝑒𝑞 = 172 (𝑁

𝑚)

Los cálculos realizados experimentalmente presentan un margen de error, este margen de error

se debe principalmente a factores externos al momento de realizar las mediciones, por lo que es

necesario comparar la rigidez experimental con la rigidez teórica. La rigidez teórica se determina

mediante herramientas analíticas como es el método de la curva elástica.

Por método de la curva elástica:

En 𝑥 = 0 En 𝑥 = 𝐿

𝑦(𝑥) = 0 𝑦(𝑥)′ = 0

𝑦(𝑥)′ = 0 𝑦(𝑥)′′′ =

−𝑃

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑦4 = 0

𝐸𝐼𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷

- 23 -

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′ = 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′′ = 6𝐴𝑥 + 2𝐵

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′′′ = 6𝐴

Si 𝑥 = 0; 𝑦 = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 = 𝐷

𝐷 = 0

Si 𝑥 = 0; 𝑦′ = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 = 𝐶

𝐶 = 0

Si 𝑥 = 𝐿; 𝑦′ = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 =−𝑃

2𝐿2 + 2𝐵𝐿

𝐵 =𝑃𝐿

4

Si 𝑥 = 𝐿; 𝑦′′′ =−𝑃

𝐸𝐼

𝐸𝐼 ∙−𝑃

𝐸𝐼= 6𝐴

𝐴 =−𝑃

6

En la elástica:

∆=𝑃𝐿3

12𝐸𝐼

𝑘 =𝑃

𝑃𝐿3

12𝐸𝐼

𝑘 =12𝐸𝐼

𝐿3

Teniendo ℎ = 0,0012(𝑚)y𝑏 = 0,025(𝑚)

- 24 -

𝐼 =𝑏ℎ3

12

𝐼 = 3,6 ∙ 10−12

Con 𝐿 = 0,65(𝑚) y 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎

𝑘 =12 ∙ 200 ∙ 109 ∙ 3,6 ∙ 10−12

0,653

𝑘𝑒𝑞 = 125,8 (𝑁

𝑚)

La rigidez calculada experimentalmente 𝑘 = 172 (𝑁

𝑚) comparada con la rigidez teórica

calculada mediante el método de curva elástica 𝑘𝑒𝑞 = 125,8 (𝑁

𝑚) , es menor, ya que, no se

consideran todos los parámetros medidos experimentalmente, debido a que se asumen

condiciones para idealizar el modelo, como por ejemplo, asumir que las rigideces son iguales

en todas vigas.

La disipación de energía ocurre en todo momento en un sistema real, en ocasiones puede ser

mínimo, como en otros casos afectar en gran magnitud al sistema. Esta disipación se produce

principalmente por roce, fuerzas del viento, histéresis del material, entre otras.

Con el método del decremento logarítmico se determina el coeficiente o factor de

amortiguación, conociendo este resultado, y del conocimiento previo de la masa y rigidez

equivalente, se puede obtener el valor de la constante del amortiguador viscoso equivalente del

sistema, quien representa las pérdidas antes mencionadas.

La obtención del transiente es de forma experimental, la estructura a analizar cuenta con un

acelerómetro, el cual al aplicar la deformación al sistema capta el movimiento oscilatorio

arrojando una serie de datos que dan forma a la sinusoidal.

- 25 -

Según la fórmula de decremento logarítmico se requiere de la elección de dos puntos del

transiente y la posición de estos.

Gráfico 1. 2. Amplitud versus tiempo.


De la gráfica se tomarán dos peak, por lo tanto:

𝑥(6,814) = 1,152[𝑣]

𝑥(7,778) = 1,1[𝑣]

Entonces el decremento logarítmico es:

𝑛 = 2

𝛿 =1

𝑛ln (

𝑥6,814

𝑥7,778)

𝛿 = 3,079 ∙ 10−3

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Am

plit

ud

(v)

Tiempo (s)

- 26 -

𝛿 =2𝜋𝜉

√1 − 𝜉2

𝜉 = 4,9 ∙ 10−3

Para determinar la frecuencia de las vibraciones libres del sistema en forma experimental, es

necesario obtener el periodo de la vibración a través del transiente según se muestra en la gráfica

1.2.

𝜏 = 0,49(𝑠)

Se sabe que:

𝜔𝑑 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 =2𝜋

𝜏(𝑟𝑎𝑑

𝑠)


0,49

𝜔𝑑 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 12,82 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

El valor medido corresponde a la frecuencia natural amortiguada medida experimentalmente,

debido a que posee disipación de energía, es decir, no es una vibración que perdure en el tiempo.

Con la intención de contrastar la información experimental con los conocimientos teóricos, se

calcula la frecuencia natural amortiguada utilizando los parámetros de masa y rigidez obtenidas

anteriormente.

𝜔𝑛 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = √𝑘

𝑚 (

𝑟𝑎𝑑

𝑠)

- 27 -

𝜔𝑛 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = √172

1,03

𝜔𝑛 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = 12,92 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Comparando la frecuencia natural amortiguada experimental con la frecuencia natural obtenida

teóricamente, se observa que las magnitudes varían en 0,10 (𝑟𝑎𝑑𝑠⁄ ) , esta variación se debe a

que, la frecuencia natural amortiguada experimental considera la disipación de energía producto

del roce de la estructura con el aire, en tanto, la frecuencia natural teórica solo considera los

valores de rigidez y masa.

Para comparar el comportamiento de las vibraciones producidas de forma experimental con las

teóricas, se someterá a la estructura a una deformación conocida de 5 (𝑐𝑚).

Gráfico 1. 3. Aceleración versus tiempo al aplicar una deformación de 5 cm a la estructura mostrada en la figura 1.6.


Por teoría se tiene la siguiente ecuación diferencial que describe una vibración libre de un grado

de libertad

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 2500 5000 7500 10000

Ace

lera

ció

n (

m/s

^2)

Tiempo(s)

- 28 -

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 0 (1. 1)

𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0

�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0

Se sabe que

𝜉 =𝑐

2𝑚𝜔𝑛

𝑐 = 2𝜉𝑚𝜔𝑛

𝜔𝑛2 =

𝑘

𝑚

𝑘 = 𝜔𝑛2𝑚

Reemplazando 𝑐 ,𝑘, y multiplicando 1

𝑚 en la ecuación diferencial (1.1), se tiene

�̈� + 2𝜉𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝑥 = 0 (1. 2)

Suponiendo la forma de la solución y derivándola dos veces

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒𝑠𝑡

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑠𝑡

�̈�(𝑡) = 𝐴𝑠2𝑒𝑠𝑡

- 29 -

Donde 𝑠 es una constante. Sustituyendo las derivadas (velocidad y aceleración) en la ecuación

(1.1), resulta

𝐴𝑠2𝑒𝑠𝑡 + 2𝜉𝜔𝑛𝐴𝑠𝑒𝑠𝑡 + 𝜔𝑛2𝐴𝑒𝑠𝑡 = 0 (1. 3)

Al simplificar la ecuación (1.3), la expresión queda de la siguiente forma

𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0

Conocida como ecuación característica la que tiene dos raíces

𝑠1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑠1,2 =−2𝜉𝜔𝑛 ± √(2𝜉𝜔𝑛)2 − 4𝜔𝑛

2

2

𝑠1,2 =−2𝜉𝜔𝑛

2± √

(4𝜉2𝜔𝑛2) − 4𝜔𝑛

2

4

𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± √𝜔𝑛2(𝜉2 − 1)

𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√(𝜉2 − 1)

Reemplazando las soluciones 𝑠1 𝑦 𝑠2 en la siguiente ecuación

𝑥 = 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 + 𝐶2𝑒

𝑠2𝑡

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡+𝜔𝑛√(𝜉2−1)𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝜉𝜔𝑛𝑡−𝜔𝑛√(𝜉2−1)𝑡

Con un movimiento subamortiguado 𝜉 < 1

- 30 -

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡+𝜔𝑛√(1−𝜉2)𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝜉𝜔𝑛𝑡−𝜔𝑛√(1−𝜉2)𝑡

Y sabiendo que

𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√(1 − 𝜉2)

La ecuación queda de la siguiente forma

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡+𝜔𝑑𝑖𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝜉𝜔𝑛𝑡−𝜔𝑑𝑖𝑡

O también puede ser expresada como

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡[𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2 cos(𝜔𝑑𝑡)] (1. 4)

En donde 𝐶1 y 𝐶2 son constantes que deben evaluarse por medio de las condiciones iniciales

𝑥(0) = 𝑥0

�̇�(0) = 𝑣0

Evaluando las condiciones iniciales en la ecuación (1.4)

𝑥(0) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛0[𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑0) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑0)]

𝑥(0) = 𝐵

𝐵 = 𝑥0

�̇�(𝑡) = −𝜉𝜔𝑛𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡[𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)]

+ 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡[𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑 − 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑]

- 31 -

�̇�(0) = −𝜉𝜔𝑛𝑒−𝜉𝜔𝑛0[𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑0) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑0)]

+ 𝑒−𝜉𝜔𝑛0[𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑0)𝜔𝑑 − 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑0)𝜔𝑑]

�̇�(0) = −𝜉𝜔𝑛𝐵 + 𝐴𝜔𝑑

�̇�(0) = −𝜉𝜔𝑛𝑥0 + 𝐴𝜔𝑑

𝑣0 = −𝜉𝜔𝑛𝑥0 + 𝐴𝜔𝑑

𝐴 =𝜉𝜔𝑛𝑥0 + 𝑣0

𝜔𝑑

Solución para las vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad, considerando un

desplazamiento inicial 𝑥0 , velocidad inicial �̇�0 y un factor de amortiguamiento 𝜉 menor que

uno.

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [𝜉𝜔𝑛𝑥0 + 𝑣0

𝜔𝑑𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝑥0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)]

(1.5)

Teniendo las condiciones iniciales del sistema, 𝑣 = 0 (𝑚 𝑠⁄ ) y posición 𝑥 = 5 (𝑐𝑚), junto con

los valores ya calculados de frecuencia natural 𝜔𝑛, factor de amortiguamiento 𝜉 y frecuencia

natural amortiguada 𝜔𝑑 , se reemplazan en la solución (1.5), quedando un transiente con

amplitud decreciente en el tiempo, similar al obtenido de forma experimental.

- 32 -

Gráfico 1. 4. Aceleración versus tiempo. Transiente obtenido a partir de la ecuación 1.5.

Fuente: Elaboración propia en base a datos experimentales.

Para poder estimar la velocidad inicial del sistema cuando este es impacto, se utilizará la

solución para las vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad, considerando un

desplazamiento inicial 0 y un factor de amortiguamiento menor que uno.

Gráfico 1. 5. Aceleración versus tiempo de la estructura al ser impactada.


-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1500 3500 5500 7500 9500 11500 13500 15500Ace

lera

ció

n (

m/s

^2)

Tiempo (s)

- 33 -

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [𝜉𝜔𝑛𝑥0 + 𝑣0

𝜔𝑑𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝑥0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)]

(1.6)

Al evaluar 𝑥0 = 0 en la ecuación (1.6), se tiene

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [(𝑣0

𝜔𝑑) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)]

Derivando dos veces resulta

�̇�(𝑡) = −𝜉𝜔𝑛𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [(

𝑣0

𝜔𝑑) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)] + 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [(

𝑣0

𝜔𝑑) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑]

�̈�(𝑡) = 𝜉2𝜔𝑛2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [(

𝑣0

𝜔𝑑) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)] − 𝜉𝜔𝑛𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [(

𝑣0

𝜔𝑑) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑]

− 𝜉𝜔𝑛𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [(𝑣0

𝜔𝑑) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑] + 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [−𝜔𝑑

2𝑣0

𝜔𝑑𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)]

Evaluando en �̈�(0) = 18,84 (𝑚

𝑠2) en la segunda derivada

�̈�(0) = −𝜉𝜔𝑛 [(𝑣0

𝜔𝑑)𝜔𝑑] − 𝜉𝜔𝑛 [(

𝑣0

𝜔𝑑)𝜔𝑑]

�̈�(0) = −𝜉𝜔𝑛𝑣0 − 𝜉𝜔𝑛𝑣0

�̈�(0) = 𝑣0(−2𝜉𝜔𝑛)

𝑣0 =�̈�(0)

−2𝜉𝜔𝑛

𝑣0 =18,84 (

𝑚

𝑠2)

−2 ∙ 4,9 ∙ 10−3 ∙ 12,92 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

- 34 -

𝑣0 = −148,79 (𝑚

𝑠)

El valor obtenido corresponde a la velocidad inicial con la que se impacta la estructura, es

coherente que esta magnitud sea elevada, ya que, depende del factor de amortiguamiento, y este

tiene una magnitud pequeña. La razón por la cual, la velocidad presenta un signo negativo es

quiere decir que el impacto fue realizado en el sentido contrario

- 35 -

1.1.5 Vibración excitada armónicamente

Las vibraciones armónicas suelen darse principalmente por desbalances en máquinas rotatorias,

lo que provoca que el sistema sea excitado por alguna fuerza aplicada o algún desplazamiento

impuesto al sistema. Este tipo de vibración recibe el nombre de Vibración Armónica Forzada.

Una función armónica se puede representar por un seno, un coseno o por una exponencial

compleja (4). Definiremos la función de excitación 𝐹(𝑡)como:

𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(Ω𝑡) (1. 47)

Donde 𝐹0 representa la magnitud, o la amplitud máxima y Ω representa la frecuencia de la fuerza

aplicada.

Figura 1. 9. Sistema ideal con excitación armónica.


Alternativamente, la fuerza de excitación armónica se puede representar por una exponencial

compleja.

𝐹(𝑡) = 𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡

(1. 48)

Donde 𝑖 es la unidad imaginaria. Cada una de estas expresiones lleva al mismo fenómeno, pero

en algunos casos unas van a ser más fáciles de emplear que otras.

- 36 -

A partir de la figura 1.9 se puede escribir la ecuación de movimiento del sistema.

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(Ω𝑡) (1. 49)

Para poder simplificar el proceso de solución de la ecuación diferencial se trabajará con la

siguiente expresión:

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡

(1. 50)

Se supone la forma de la solución particular como

𝑥(𝑡) = 𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡

(1. 51)

Derivando dos veces la ecuación se obtiene la velocidad y aceleración

�̇�(𝑡) = 𝑖Ω𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡

�̈�(𝑡) = −Ω2𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡

Sustituyendo las derivadas anteriormente calculadas en la ecuación del movimiento (1.49)

−Ω2𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡𝑚 + 𝑖Ω𝑥0𝑒

𝑖Ω𝑡𝑐 + 𝑥0𝑒𝑖Ω𝑡𝑘 = 𝐹0𝑒

𝑖Ω𝑡

−Ω2𝑥0𝑚 + 𝑖Ω𝑥0𝑐 + 𝑥0𝑘 = 𝐹0 (1. 52)

Y factorizando la ecuación (1.52) por 𝑥0 , la expresión queda

𝑥0 =𝐹0

𝑘 − 𝑚Ω2 + 𝑖Ω𝑐

(1. 53)

- 37 -

Multiplicando el numerador y denominador del lado derecho de la ecuación (1.53) por

𝑘 − 𝑚Ω2 − 𝑖Ω𝑐, se tiene

𝑥0 =𝐹0(𝑘 − 𝑚Ω2 − 𝑖Ω𝑐)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2

𝑥0 =𝐹0(𝑘 − 𝑚Ω2 − 𝑖Ω𝑐)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2

(1. 54)

Al separar la parte real e imaginaria la expresión (1.54)

𝑥0 =𝐹0(𝑘 − 𝑚Ω2)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2−

𝐹0(𝑖Ω𝑐)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2

Y utilizando la relación 𝑥 + 𝑖𝑦 = ‖𝐴‖𝑒𝑖𝜙 , donde ‖𝐴‖ = √𝑥2 + 𝑦2 y tan𝜙 =𝑦

𝑥

‖𝐴‖ = √𝑥2 + 𝑦2

‖𝐴‖ = √(𝐹0(𝑘 − 𝑚Ω2)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2)

2

+ (𝐹0(Ω𝑐)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2)

2

‖𝐴‖ = √𝐹0

2

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2

tan𝜙 =𝑦

𝑥

tan𝜙 =

𝐹0(Ω𝑐)

(𝑘−𝑚Ω2)2+(Ω𝑐)2

𝐹0(𝑘−𝑚Ω2)

(𝑘−𝑚Ω2)2+(Ω𝑐)2

- 38 -

tan𝜙 =Ω𝑐

(𝑘 − 𝑚Ω2)

La ecuación se expresa como

‖𝐴‖ =𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2 (1. 55)

Donde

𝜙 = tan−1 (Ω𝑐

𝑘 − 𝑚Ω2)

(1. 56)

Por lo tanto, la ecuación (1.55), se escribe como

𝑥(𝑡) =𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2𝑒𝑖(Ω𝑡−𝜙)

𝑥(𝑡) =𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2cos(Ω𝑡 − 𝜙)

O también

𝑥(𝑡) =𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2(cos(Ω𝑡) ∙ cos(𝜙) + sin(Ω𝑡) ∙ sin(ϕ))

Siendo esta última expresión la ecuación particular del sistema.

Dado que el sistema es lineal, la solución final viene dada por la suma de la solución homogénea

más la solución particular. Por lo tanto, la solución final para la ecuación es de la forma

- 39 -

𝑥(𝑡) = 𝑒(−𝜉𝜔𝑛)𝑡(𝐶1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡))

+𝐹0

√(𝑘 − 𝑚𝛺2)2 + (𝛺𝑐)2(𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜙) + 𝑠𝑖𝑛(𝛺𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜙))

(1. 57)

�̇�(𝑡) = −𝜉𝜔𝑛𝑒(−𝜉𝜔𝑛)𝑡(𝐶1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡))

+ 𝑒(−𝜉𝜔𝑛)𝑡(𝐶1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) 𝜔𝑑 − 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) 𝜔𝑑)

+𝐹0

√(𝑘 − 𝑚𝛺2)2 + (𝛺𝑐)2(−𝑠𝑒𝑛(𝛺𝑡)𝛺 𝑐𝑜𝑠(𝜙)

+ 𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡)𝛺 𝑠𝑖𝑛(𝜙))

(1. 58)

Los dos sumandos tienen un significado muy diferente. El primero representa una componente

transitoria de la respuesta, que desaparece con el tiempo al tender su amplitud exponencialmente

a cero. El segundo sumando representa, sin embargo, la respuesta estacionaria y es mucho más

interesante, porque está presente mientras esté presente la excitación (Figura 1.10)

Figura 1. 10. Solución Homogénea (a), solución particular (b) y solución general (c)


- 40 -

Los coeficientes 𝐶1 𝑦 𝐶2 están dados por las condiciones iniciales 𝑥(0) = 𝑥0 𝑦 �̇�(0) = 𝑣0 ,

definiendo 𝑥0 𝑦 𝑣0 como el desplazamiento y la velocidad inicial. Evaluando dichas condiciones

en las ecuaciones (1.57) (1.58)

𝑥(0) = 𝐶2 +𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2cos 𝜙

𝐶2 = 𝑋0 −𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2cos 𝜙 (1. 59)

�̇�(0) = −𝜉𝜔𝑛𝐶2 + 𝐶1𝜔𝑑 +𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2(Ω sin(ϕ)) (1. 60)

Reemplazando la ecuación (1.59) en la ecuación de velocidad (1.60)

𝑣0 = −𝜉𝜔𝑛 (𝑋0 −𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2cos𝜙) + 𝐶1𝜔𝑑

+𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2(Ω sin(ϕ))

𝐶1 =

(𝑣0 −𝐹0

√(𝑘−𝑚Ω2)2+(Ω𝑐)2(Ω sin(ϕ))) + 𝜉𝜔𝑛𝑥0 − (𝜉𝜔𝑛

𝐹0

√(𝑘−𝑚Ω2)2+(Ω𝑐)2cos𝜙)

𝜔𝑛

Solución Total

𝑥(𝑡) = 𝑒(−𝜉𝜔𝑛)𝑡 [((𝑣0 −𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2(𝜉𝜔𝑛 cos(𝜙) + Ω sin(𝜙) + 𝜉𝜔𝑛𝑥0)) sin(𝜔𝑑𝑡)

+ (𝑥0 −𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2cos(𝜙)))] cos(𝜔𝑑𝑡)

+𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2(cos(Ω𝑡) cos(𝜙) + sin(Ω𝑡) sin(ϕ))

(1. 61)

- 41 -

Para un sistema sin amortiguación la expresión queda reducida a:

𝑋0 =𝐹0

𝑘 − 𝑚Ω2

(1. 62)

Un sistema al vibrar producto de una excitación externa pasa por varias zonas. En cada zona

dependiendo de la frecuencia de excitación se aprecian distintos comportamientos, los que se

mencionarán a continuación. Estas zonas son estudiadas para casos sin amortiguación y con

amortiguación, para ambos casos el análisis solo se realiza con la solución particular de la

ecuación general.

a. Sin amortiguamiento

a.1 Zona Resorte:

En esta zona la frecuencia de excitación tiende a cero por lo tanto la ecuación se transforma en:

𝑋(𝑡) = 𝑋0𝑒𝑖Ω𝑡

𝑋(𝑡) =𝐹0

𝑘 − 𝑚Ω2𝑒𝑖Ω𝑡

Ω 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 , 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑎 0

𝑋(𝑡) =𝐹0

𝑘𝑒𝑖Ω𝑡

Es decir, él sistema responde igual que si sobre un solo resorte actuara la fuerza 𝐹(𝑡), por lo que

se dice que el sistema tiene un comportamiento resorte. La acción de la fuerza 𝑓(𝑡) queda

equilibrada principalmente por la fuerza elástica (deformación) de resorte como se muestra en

la figura 1.11. Dentro de esta zona predomina la rigidez por sobre la masa del sistema, la 𝑓(𝑡)

y 𝑥(𝑡) están en fase (5).

- 42 -

Figura 1. 11. Comportamiento resorte del sistema ideal para 𝛀 ≈ 𝟎.

Fuente: Apuntes Análisis del sistema dinámico, Pedro Saavedra.G.

a.2 Zona másica

En esta zona la frecuencia de excitación tiende a infinito por lo tanto la ecuación se transforma

en:


𝑋(𝑡) =𝐹0

𝑘 − 𝑚Ω2𝑒𝑖Ω𝑡

Ω 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 , 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑎 ∞

𝑋(𝑡) = −𝐹0

𝑚Ω2𝑒𝑖Ω𝑡

Es decir , el sistema responde igual que si sobre una sola masa ,𝑚 , actuara la fuerza 𝑓(𝑡), por

lo que se dice que el sistema tiene un comportamiento másico. La acción de la fuerza 𝑓(𝑡) queda

equilibrada principalmente por la fuerza de inercia, como se ilustra en la figura, lo que hace que

la deformación x del resorte sea pequeña, y que los esfuerzos sobre él también lo sean (5).

Dentro de esta zona predomina la masa por sobre la rigidez del sistema, la 𝑓(𝑡) y 𝑥(𝑡) están en

contrafase.

- 43 -

Figura 1. 12. Comportamiento másico del sistema ideal para 𝛀 → ∞


Con amortiguamiento

1. Zona resorte:

En esta zona la frecuencia de excitación tiende a cero por lo tanto la ecuación se transforma en:


𝑋(𝑡) =𝐹0

𝑘 − 𝑚Ω2 + 𝑖Ω𝑐𝑒𝑖Ω𝑡

Ω 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑎 0

𝑋(𝑡) =𝐹0

𝑘 + 𝑖Ω𝑐𝑒𝑖Ω𝑡

Es decir, él sistema responde igual que si sobre un solo resorte actuara la fuerza 𝑓(𝑡), por lo que

se dice que el sistema tiene un comportamiento resorte. La acción de la fuerza 𝑓(𝑡) queda

equilibrada principalmente por la fuerza elástica (deformación) de resorte (5). Dentro de esta

zona predomina la rigidez por sobre la masa del sistema, la 𝑓(𝑡) y 𝑥(𝑡) están en fase.

- 44 -

2. Zona resonante

En esta zona la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema por lo tanto

la ecuación se transforma en:


𝑋(𝑡) =𝐹0


Ω 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 √𝑘

𝑚

𝑋(𝑡) = −𝐹0

Ω𝑐𝑒𝑖Ω𝑡

En la resonancia, la fuerza 𝑓(𝑡) queda solo equilibrada por la acción del amortiguamiento. Es

decir, la respuesta del sistema es la respuesta de la fuerza 𝑓(𝑡) actuando solo sobre un

amortiguador. Es por esto que cuando no existe amortiguamiento 𝑥(𝑡) tiende a infinito. Dentro

de esta zona predomina la amortiguación por sobre la masa y rigidez del sistema, la 𝑓(𝑡) y

𝑥(𝑡) están en desfase en 900.

Figura 1. 13. Comportamiento resonante del sistema ideal para 𝛀 = 𝝎𝒏.


- 45 -

3. Zona másica

En esta zona la frecuencia de excitación tiende a infinito por lo tanto la ecuación se transforma

en:


𝑋(𝑡) =𝐹0


Ω 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑎 ∞

𝑋(𝑡) = −𝐹0

𝑚Ω2𝑒𝑖Ω𝑡

Es decir , el sistema responde igual que si sobre una sola masa ,𝑚 , actuara la fuerza 𝑓(𝑡), por

lo que se dice que el sistema tiene un comportamiento másico. La acción de la fuerza 𝑓(𝑡) queda

equilibrada principalmente por la fuerza de inercia, lo que hace que la deformación x del resorte

sea pequeña, y que los esfuerzos sobre él también lo sean. Dentro de esta zona predomina la

masa por sobre la rigidez del sistema, la 𝑓(𝑡) y 𝑥(𝑡) están en contrafase.

- 46 -

1.1.6 Función Respuesta en Frecuencia

Dada una excitación armónica, la respuesta estacionaria del sistema tendrá diferentes

características dependiendo de la frecuencia de la excitación Ω. La amplitud de la vibración

resultante es variable, así como el desfase con respecto a la fuerza de excitación.

Resulta conveniente resumir esta información y expresarla en forma gráfica. De esta manera, es

posible conocer el grado de amplificación o reducción que tiene la respuesta del sistema como

función de la frecuencia de excitación, así como de su fase.

Esta representación se conoce como Función Respuesta en frecuencia 𝐻(Ω) o por su forma

abreviada FRF. Evidentemente se obtiene como función de la frecuencia de excitación Ω.

A continuación se puede observar un ejemplo de FRF.

Figura 1. 14. Función respuesta en frecuencia en Amplitud y Fase.

Fuente: Análisis de Vibraciones, Alejandro Cerda Varela.

Para su representación gráfica, resulta favorable expresarla en términos de Amplitud y Fase.

|𝐻(Ω)| =1

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (𝑐Ω)2

(1. 63)

𝜙𝐻(Ω) = tan−1 (−𝑐Ω

𝑘 − 𝑚Ω2)

- 47 -

En términos de frecuencia natural 𝜔𝑛 y factor de amortiguamiento 𝜉, se expresa como:

|𝐻(Ω)| =1

√(𝜔𝑛2 − Ω2)2 + (2𝜉𝜔𝑛Ω)2

𝜙𝐻(Ω) = tan−1 (2𝜉𝜔𝑛Ω

𝜔𝑛2 − Ω2

)

A partir de estos datos, es posible obtener la respuesta estacionaria de un sistema de un grado

de libertad, excitado por una fuerza externa armónica, como se muestra:

𝐹(𝑡) = 𝐹0 sin(Ωt)

𝑥(𝑡) = 𝐹0|𝐻(Ω)| sin(Ωt + 𝜙𝐻(Ω))

Analizando el grafico función respuesta en frecuencia este presenta su valor peak en amplitud

alrededor de la frecuencia natural del sistema. En resonancia, la respuesta presenta un desfase

de 90° con respecto a la excitación. Para bajas frecuencias, el desfase tiende a 0°, y para altas

frecuencias tiende a 180°, es decir, la respuesta está en contrafase con la excitación.

Una modificación del valor en el factor de amortiguamiento 𝜉 tiene influencia principalmente

en las cercanías de la zona resonante, donde reduce la magnitud de la función respuesta y suaviza

el gráfico de fase, en la “zona resorte” (bajas frecuencias) y en la “zona másica” (altas

frecuencias) prácticamente no tiene influencia.

- 48 -

1.1.7 Análisis experimental de un sistema real de un grado de libertad excitado

El sistema a analizar consiste en dos vigas unidas mediante un resorte, una masa soportada en

una de ellas y un motor eléctrico.

El objetivo central del ensayo corresponde a la obtención de un modelo matemático validado

experimentalmente, que represente con precisión aceptable el comportamiento dinámico del

modelo a escala. En particular, se busca que sea capaz de predecir la respuesta a la excitación

armónica suministrada por la masa desbalanceada del motor eléctrico.

Para comprender mejor el análisis del sistema, este se dividirá en tres pasos:



el fin de simplificar el sistema a uno de un grado de libertad y poder así, aplicar las ecuaciones

antes vistas.

a. Se consideran deformaciones pequeñas en (𝑥) de la masa superior. En consecuencia, se


i. Rango de frecuencias bajo, variable necesaria para definir el sistema como uno de un

grado de libertad (GDL) para poder así, continuar trabajando en un sistema lineal, siendo

este el encargado de determinar la posición de todos los elementos de un sistema en un

momento dado.

b. Amplitudes de trabajo bajas para no caer en un sistema no lineal, ya que, en este sistema


c. Se considera solo la mitad de la masa total del sistema, ya que la masa que está sometida

a vibración es solo la parte superior.

- 49 -

d. Se considera las vigas como resortes en busca de un modelo mecánico equivalente

simplificado.

e. Se desprecia cualquier tipo de disipación de energía, ya sea por deformación, roce o

fuerzas viscosas.

f. Se suponen tres rigideces, dos correspondientes a las vigas (iguales) y una tercera propia

del resorte. Él sistema se reduce a dos rigideces, una rigidez equivalente𝑘𝑒𝑞, la que se

obtiene sumando en serie la rigidez de la viga (sin masa) con la rigidez del resorte y la

rigidez de la viga con masa.

g. No se considera amortiguamiento en el planteamiento de las ecuaciones de movimiento

del sistema, ya que, la magnitud de éste es muy pequeño, al ser el aire el único elemento

de disipación de energía.

- 50 -


Figura 1. 15. Representación de un sistema real a escala sometido a una excitación armónica.


Figura 1. 16. Modelo mecánico equivalente de la figura 1.15


Suma de rigideces:

𝑘𝑒𝑞 =1

1

𝑘𝑟+

1

𝑘

- 51 -

Figura 1. 17. Modelo mecánico equivalente.


Figura 1. 18. Diagrama de cuerpo libre del modelo mecánico equivalente.


∑𝐹 = 𝑚�̈�

−𝑘𝑥 − 𝑘𝑒𝑞𝑥 − 𝑐�̇� = 𝑚�̈�

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + (𝑘 + 𝑘𝑒𝑞)𝑥 = 0

𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘∗𝑥 = 0

- 52 -

Figura 1. 19. Modelo mecánico equivalente reducido.


Paso 3: Determinación de parámetros del sistema.

Mediante análisis experimental se obtienen los parámetros que permiten definir la ecuación

fundamental, siendo estos, la rigidez, masa y desplazamiento. Para obtener la masa de la

estructura, solo es necesario medir la carga de cada elemento con el dinamómetro. Él resultado

obtenido da en newton, por lo que es necesario cambiar la unidad, dividiendo este por la

gravedad.

La masa de cada parte de la estructura es:

Elemento Masa (kg)

Motor 0,0550

Viga (2) 0,0732

Masa 0,242

Total Sistema 0,369

Mitad de la masa del Sistema 0,1845

Tabla 1. 2. Elementos que componen el sistema con sus respectivos pesos en kg.


Para obtener la rigidez del sistema es necesario conocer dos parámetros, deformación y fuerza

aplicada. La variable deformación se obtiene midiendo con una regla el desplazamiento que se

logra al deformar el sistema al aplicar una fuerza externa, dicha fuerza se logra al tirar con el

dinamómetro la estructura. El valor de la fuerza es entregado en newton.

- 53 -

Los resultados experimentales son:

Fuerza Deformación

4,5 6,8

7,21 7

8,28 7,1

10,28 7,3

12,84 7,5

Tabla 1. 3. Valores de Fuerza (N) y deformación (cm) del sistema.


Con los datos de la tabla 1.3, se construye la recta que refleja el comportamiento del sistema al

ser deformado por una fuerza externa.

Gráfico 1. 6. Fuerza versus deformación.


La rigidez es la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación

de esa fuerza. A partir del gráfico 1.6, se puede obtener la pendiente de la recta, la que representa

la rigidez del sistema. La pendiente se define como:

0

2

4

6

8

10

12

14

6,7 6,8 6,9 7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6

Fuer

za (

N)

Deformación (cm)

- 54 -

𝑘 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

Δ𝐹

Δ𝛿

Tomando dos puntos de la recta:

Punto A ( 7; 7.21)

Punto B ( 7.5; 12.84)

𝑘∗ =12,84 − 7,21

7,5 − 7

𝑘∗ = 11,26 (𝑁

𝑐𝑚)

Por lo tanto el valor de la rigidez es 𝑘∗ = 1126 (𝑁

𝑚)

Con el método del decremento logarítmico se determina el coeficiente o factor de

amortiguación, conociendo este resultado, y del conocimiento previo de la masa y rigidez

equivalente, se puede obtener el valor de la constante del amortiguador viscoso equivalente del

sistema.

La obtención del transiente es de forma experimental, la estructura a analizar cuenta con un

acelerómetro, el cual al aplicar la deformación al sistema capta el movimiento oscilatorio

arrojando una serie de datos que dan forma a la sinusoidal.



- 55 -

Gráfico 1. 7. Decremento logarítmico.


De la gráfica se tomarán dos peak:

𝑥(1,082) = 0,131915[𝑣]

𝑥(1,124) = 0,030442[𝑣]


𝑛 = 2

𝛿 =1

𝑛ln (

𝑥1,082

𝑥1,124)

𝛿 = 3,074 ∙ 10−3

𝛿 =2𝜋𝜉

√1 − 𝜉2

𝜉 = 4,8 ∙ 10−4

-0,2

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

0

0,04

0,08

0,12

0,16

1 1,6 2,2 2,8 3,4 4

Señ

al r

egis

trad

a (v

)

Tiempo (s)

- 56 -

La disipación de energía ocurre en todo momento en un sistema real, el cual en ocasiones puede

ser mínimo como en otros afectar en gran magnitud al sistema.

Estos son producidos principalmente por parámetros como el roce, fuerza del viento, entre otros.

Para determinar la frecuencia de las vibraciones libres del sistema en forma experimental, es

necesario obtener el periodo de la vibración a través del transiente mostrado en la gráfica 1.7.

𝜏 = 0,07(𝑠)

Se sabe que:


𝜏(𝑟𝑎𝑑

𝑠)


0,07

𝜔𝑑 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 89,76 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

El valor medido corresponde a la frecuencia natural amortiguada, debido a que posee una

disipación de la energía, es decir, no es una vibración que perdure en el tiempo.

Con la intención de contrastar la información experimental con los conocimientos teóricos, se

calcula la frecuencia natural amortiguada utilizando los parámetros de masa y rigidez obtenidas

anteriormente.

𝜔𝑛 = √𝑘

𝑚(𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝜔𝑛 = √1126

0,1845

- 57 -

𝜔𝑛 = 78,12 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Para la frecuencia natural amortiguada se tiene que:

𝜔𝑑 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝜔𝑛√(1 − 𝜉2)

𝜔𝑑 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = 78,12√(1 − (4,8 ∙ 10−4)2)

𝜔𝑑 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = 78,12 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

El desbalanceo mecánico es la fuente de vibración más común en sistemas con elementos

rotativos, para determinarlo es necesario tener conocimiento de cómo se comporta el sistema

cuando es excitado externamente. El valor del desbalanceo equivalente se define como el valor

de la masa desbalanceada por su radio de giro

𝜇 = 𝑚𝑑𝑟𝑑

Para determinar el desbalanceo es necesario hacer que el sistema vibre mediante el giro del

motor eléctrico a distintas velocidades angulares, con la finalidad, de poder observar cómo se

comporta el sistema.

El sistema pasa por tres zonas, zona resorte, zona resonante y zona másica, estas zonas se

presentan al variar la frecuencia de excitación.

Para este análisis se toman dos mediciones, a baja frecuencia de excitación (baja velocidad de

giro del motor) con el fin de llevar al sistema a la zona resorte, y a altas frecuencias de excitación

(alta velocidad de giro del motor) para alcanzar la zona másica.

Zona resorte, baja frecuencia de excitación

Por medio de los resultados experimentales se construye la siguiente gráfica:

- 58 -

Gráfico 1. 8. Aceleración versus tiempo zona resorte.


Para calcular el periodo de la vibración en la zona resorte, es necesario tomar dos puntos de la

gráfica 1.8. Éstos son:

Punto 1(1,07, 1,046743158)

Punto 2(1,158, 1,046743158)

𝜏 = 0,088(𝑠)

Frecuencia de excitación

Ω =2𝜋

𝜏

Ω =2𝜋

0,088

Ω = 71,40 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Para obtener el valor del desbalanceo en la zona resorte, es necesario evaluar la excitación de la

fuerza en la función respuesta en frecuencia.

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

Ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Tiempo (s)

- 59 -

𝑋(𝑡) =𝐹0


(1. 1)

En ésta zona la frecuencia de excitación es cercana a cero, predominando la rigidez del sistema,

quedando la función respuesta en frecuencia resumida en

𝑋0 =𝐹0

𝑘

(1. 2)

𝑋0 =𝜇Ω2

𝑘

𝜇 =𝑋0𝑘

Ω2

(1. 3)

Siendo 𝑋0 la amplitud teórica, 𝑘 la rigidez del sistema y 𝜇 el valor del desbalanceo.

La fuerza de excitación se representa como

𝑓(𝑡) = 𝑋0 sin(Ω𝑡 + 𝜙) (1. 4)

Para determinar la amplitud teórica es necesario derivar dos veces la ecuación (1.4)

�̈� = −𝑋0 Ω2 sin(Ω𝑡 + 𝜙)

�̈� = −𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 sin(Ω𝑡 + 𝜙)

Donde

𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 𝑋0Ω2

𝑋0 =𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙

Ω2

(1. 5)

- 60 -

De la gráfica 1.8 se extrae la amplitud experimental del sistema en unidades de aceleración,

reemplazando dicho valor en la ecuación (1.5), se tiene que

𝑋0 =1,046743158

71,402

𝑋0 = 2,05 ∙ 10−4(𝑚)

Por lo tanto, el valor del desbalanceo en la zona resorte es

𝜇 =2,05 ∙ 10−4 ∙ 1126

71,402

𝜇 = 4,5 ∙ 10−5(𝑘𝑔𝑚)

Zona másica, alta frecuencia de excitación

Gráfico 1. 9. Aceleración versus tiempo zona másica.


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

Ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Tiempo(s)

- 61 -

Para calcular el periodo de la vibración en la zona másica, es necesario tomar dos puntos de la

gráfica. Éstos son:

Punto 1 (0,612, 3,401992632)

Punto 2 (0,656, 3,401992632 )

𝜏 = 0,044(𝑠)

Frecuencia de excitación

Ω =2𝜋

𝜏

Ω =2𝜋

0,044

Ω = 142,80 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Para obtener el valor del desbalanceo en la zona másica, es necesario evaluar la excitación de la

fuerza en la función respuesta en frecuencia.

𝑋(𝑡) =𝐹0


(1. 6)

En ésta zona la frecuencia de excitación es muy alta cercana a infinito, predominando los valores

de masa del sistema, quedando la función respuesta en frecuencia resumida en

𝑋0 =𝐹0

𝑚Ω2

(1. 7)

𝑋0 =𝜇Ω2

𝑚Ω2

- 62 -

𝜇 = 𝑋0𝑚 (1. 8)

Siendo 𝑋0 la amplitud teórica, 𝑚 la masa y 𝜇 el valor del desbalanceo.

La fuerza de excitación se representa como

𝑓(𝑡) = 𝑋0 sin(Ω𝑡 + 𝜙) (1. 9)

Para determinar la amplitud teórica es necesario derivar dos veces la ecuación (1.9)

�̈� = −𝑋0 Ω2 sin(Ω𝑡 + 𝜙)

�̈� = −𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 sin(Ω𝑡 + 𝜙)

Donde

𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 𝑋0Ω2

𝑋0 =𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙

Ω2

(1. 10)

De la gráfica 1.9 se extrae la amplitud experimental del sistema en unidades de aceleración,

reemplazando dicho valor en la ecuación (1.10), se tiene que

𝑋0 =3,401992632

142,802

𝑋0 = 1,66 ∙ 10−4(𝑚)

Por lo tanto, el valor del desbalanceo en la zona másica es

- 63 -

𝜇 = 1,6610−4 ∙ 0,1845

𝜇 = 3,08 ∙ 10−5(𝑘𝑔𝑚)

Basándose en el modelo mecánico equivalente y el valor de desbalanceo calculado en el punto

anterior, se puede predecir el valor de la amplitud de la respuesta vibratoria máxima del sistema

al operar en resonancia.

Para determinar la amplitud es necesario saber los valores de la frecuencia de excitación, la

constate de amortiguamiento y el desbalanceo.

De acuerdo al modelo mecánico equivalente desarrollado anteriormente, ya se tiene el valor de

la frecuencia natural, y se sabe que en resonancia la frecuencia de excitación es igual a la

frecuencia natural del sistema, por lo tanto:

𝜔𝑛 ≈ Ω

Ω = 89,76 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Al igual que la frecuencia de excitación del sistema, la constante de amortiguamiento se calcula

a partir del modelo mecánico equivalente.

𝜉 = 4,8 ∙ 10−4

𝜉 =𝑐

2𝑚𝜔𝑛

𝑐 = 𝜉2𝑚𝜔𝑛

𝑐 = 4,8 ∙ 10−4 ∙ 2 ∙ 0,1845 ∙ 89,76

- 64 -

𝑐 = 0,016 (𝑘𝑔 𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Para trabajar con la función respuesta en frecuencia es necesario eliminar los términos

imaginarios, para esto se calcula la magnitud del vector que representa la amplitud de la

respuesta vibratoria máxima al operar el sistema en resonancia, quedando la fórmula en:

𝑋0 =𝐹0

𝑘 − 𝑚Ω2 + 𝚤𝑐Ω𝑒𝚤Ω𝑡

‖𝑋0‖ = √𝑥2 + 𝑦2

‖𝑋0‖ = √(𝐹0(𝑘 − 𝑚Ω2)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2)

2

+ (𝐹0(Ω𝑐)

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2)

2

‖𝑋0‖ = √𝐹0

2

(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2

Quedando

‖𝑋0‖ =𝐹0

√(𝑘 − 𝑚Ω2)2 + (Ω𝑐)2 (1. 11)

Cuando el sistema entrar en resonancia la 𝜔𝑛 ≈ Ω, por lo que de la ecuación (1.11) se eliminan

todos los términos relacionados con la frecuencia natural, quedando:

𝑋0 =𝐹0

Ω𝑐

𝐹0 = 𝜇Ω2

- 65 -

𝑋0 =𝜇Ω2

𝑐Ω

Por lo tanto, la amplitud de la respuesta máxima en resonancia es

𝑋0 =3,79 ∙ 10−5(𝑘𝑔𝑚) ∙ 89,76(𝑟𝑎𝑑

𝑠⁄ )

0,016 (𝑘𝑔 𝑟𝑎𝑑

𝑠⁄ )

𝑋0 = 0,21 (𝑚)

Sometiendo el sistema a operar en la zona resonante y graficado los datos, se obtiene el siguiente

transiente.

Gráfico 1. 10. Aceleración versus tiempo zona resonante.


Para calcular la amplitud experimental y poder así contrastar dicha magnitud con la obtenida

anteriormente, es necesario determinar la frecuencia de excitación del sistema.

Según gráfica 1.10 el periodo es:

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Tiempo(s)

- 66 -

𝜏 = 0,07(𝑠)

Ω =2𝜋

𝜏

Ω =2𝜋

0,07

Ω = 89,75 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝐴 = 𝑋0Ω2

𝑋0 =𝐴

Ω2

𝑋0 =4,720498947 (𝑚 𝑠2⁄ )

89,752 (𝑟𝑎𝑑𝑠2⁄ )

Quedando la amplitud máxima

𝑋0 = 5,86 ∙ 10−4(𝑚)

Graficando la función respuesta en frecuencia del sistema estudiado, en amplitud y fase, se

obtiene

- 67 -

Gráfico 1. 11. Amplitud y fase del sistema en zona resonante.


Gráfico 1. 12. Amplitud y fase del sistema al remover la mitad de la masa en zona resonante.


- 68 -

Gráfico 1. 13. Amplitud y fase al remover el resorte helicoidal del sistema en zona resonante.


Al comparar las gráficas 1.12 y 1.13 con la gráfica 1.11, se puede concluir que, al variar los

parámetros de masa y rigidez, el sistema cambia su comportamiento en amplitud y fase. Al

reducir la masa a la mitad, se observa que la frecuencia natural aumenta, dando un mayor rango

de trabajo al sistema antes de que éste entre en resonancia, mientras que la amplitud disminuye

a causa del aumento de ésta. Por otra parte, al remover el resorte helicoidal, la frecuencia natural

disminuye provocando que el sistema alcance la resonancia en una menor frecuencia de

excitación. La amplitud aumenta debido a la disminución de la frecuencia natural del sistema.

- 69 -

1.1.8 Sistemas de dos grados de libertad

Los sistemas de dos grados de libertad representan importantes diferencias respecto a los

sistemas de un grado de libertad, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un

sistema con N grados de libertad. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que

aparecen en los sistemas de dos grados de libertad son idénticos a los de sistemas con 𝑛 grados

de libertad, tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente

manejables y accesibles permitiendo así una formulación analítica sencilla.

Al cambiar de un sistema de un grado de libertad a sistemas de dos o más grados de libertad,

aparecen dos conceptos importantes. El primero, es que un sistema de dos grados de libertad

tiene dos frecuencias naturales. El segundo concepto es el de modo de vibración, que no está

presente en un sistema de un grado de libertad. Un modo de vibración es un vector que describe

el movimiento relativo entre los dos grados de libertad.

1.1.8.1 Ecuaciones de movimiento para vibraciones forzadas

Considerando un sistema de resorte - masa - amortiguador de dos grados de libertad, como el

que se muestra en la figura. Las coordenadas 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡) describen totalmente el movimiento

del sistema, las cuales definen las posiciones de las masas 𝑚1 y 𝑚2 en cualquier momento

(𝑡) con respecto a las posiciones de equilibrio. Las fuerzas externas 𝐹1(𝑡) y 𝐹2(𝑡) actúan en las

masas 𝑚1 y 𝑚2, respectivamente. Los diagramas de cuerpo libres de las masas 𝑚1 y 𝑚2 se

muestran en la figura 1.20 .La aplicación de la segunda Ley de Newton a cada una de las masas

proporciona la ecuación del movimiento.

- 70 -

Figura 1. 20. (a) Modelo mecánico equivalente (b) Diagrama de cuerpo libre.

Fuente: Elementos de máquinas y vibraciones, Universidad Navarra.

Aplicando Segunda Ley de Newton

∑𝐹 = 𝑚𝑎

Ecuación para 𝑚1

𝑚1�̈�1 + (𝑐1 + 𝑐2)�̇�1 − 𝑐2�̇�2 + (𝑘1 + 𝑘2)𝑥1 − 𝑘2𝑥2 = 𝐹1 (1. 64)

Ecuación para 𝑚2

𝑚2�̈�2 − 𝑐2�̇�1 + (𝑐2 + 𝑐3)�̇�2 − 𝑘2𝑥1 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑥2 = 𝐹2 (1. 65)

Se ve que la ecuación (1.64) contiene términos que implican 𝑥2 (es decir, − 𝑐2�̇�2 𝑦 − 𝑘2𝑥2), en

tanto que la ecuación (1.65) contiene términos que implican 𝑥1 (es decir, −𝑐2�̇�1 𝑦 − 𝑘2𝑥1). Por

- 71 -

consiguiente, representan un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas de segundo

orden. De este modo, se puede esperar que el movimiento de la masa 𝑚1 influya en el

movimiento de la masa 𝑚2 y viceversa. Las ecuaciones (1.64) y (1.65) se pueden escribir en

forma matricial como

[𝑚1 00 𝑚2

] {�̈�1

�̈�2} + [

𝑐1 + 𝑐2 −𝑐2

−𝑐2 𝑐2 + 𝑐3] {

�̇�1

�̇�2} + [

𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2

−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3] {

𝑥1

𝑥2} = {

𝐹1(𝑡)

𝐹2(𝑡)}

O, de forma más abreviada

[𝑚]𝑥 ̈(𝑡) + [𝑐](𝑡)𝑥 ̇ + [𝑘]𝑥 (𝑡) = 𝐹 (𝑡)

Donde [𝑚], [𝑐] y [𝑘] , se conocen como matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,

respectivamente y �⃑�(𝑡) y �⃑�(𝑡) son los vectores de desplazamiento y fuerza.

Se ve que [𝑚], [𝑐] y [𝑘] son matrices de 2 x 2 cuyos elementos son las masas, coeficientes de

amortiguamiento y rigideces conocidos del sistema. Además, se ve que estas matrices son

simétricas.

Se observa, que la matriz [𝑚] es diagonal. Esta es una característica de los sistemas de

parámetros discretos que no se presentan en muchas otras ocasiones. Si en la expresión las tres

matrices [𝑚], [𝑐] y [𝑘] fueran diagonales, las dos ecuaciones serian independientes o estarías

desacopladas, siendo en tal caso resolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para

los sistemas con 1 grado de libertad (1).

La solución de las ecuaciones (1.64) y (1.65) implica cuatro constantes de integración (dos por

cada ecuación). Los desplazamientos y velocidades iniciales de las dos masas se suelen

especificar como 𝑥1(𝑡 = 0) = 𝑥1(0) , �̇�1(𝑡 = 0) = �̇�1(0), 𝑥2(𝑡 = 0) = 𝑥2(0) , �̇�2(𝑡 = 0) =

�̇�2(0).

- 72 -

1.1.8.2 Vibraciones libres no amortiguadas

1.1.8.2.1 Modos de vibración

La resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la determinación

de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de libertad: sus dos

frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración.

Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos disipativos de

energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a

𝑚�̈�1 + (𝑘1 + 𝑘2)𝑥1 − 𝑘2𝑥2 = 0

𝑚�̈�2 − 𝑘2𝑥1 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑥2 = 0

[𝑚1 00 𝑚2

] {�̈�1

�̈�2} + [

(𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2

−𝑘2 (𝑘2 + 𝑘3)] {

𝑥1

𝑥2} = {

00}

O

[𝑚]{�̈�} + [𝑘]{𝑥} = {0}

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos

procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento

armónico, se supondrá la forma de la solución como se hacía con un sistema de un grado de

libertad.

𝑥1(𝑡) = 𝑋1𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑋1 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

(1. 66)

𝑥2(𝑡) = 𝑋2𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑋2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

(1. 67)

- 73 -

Derivando dos veces respecto al tiempo se tiene

�̇�1(𝑡) = 𝑖𝜔𝑋1𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔𝑋1 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

�̇�2(𝑡) = 𝑖𝜔𝑋2𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔𝑋2 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

�̈�1(𝑡) = −𝜔2𝑋1𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝑋1 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

�̈�2(𝑡) = −𝜔2𝑋2𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝑋2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

Sustituyendo estos valores se obtendrán dos ecuaciones:

[−𝑚1𝜔2 + (𝑘1 + 𝑘2)]𝑋1 − 𝑘2𝑋2 = 0 (1. 68)

−𝑘2𝑋1 + [−𝑚2𝜔2 + (𝑘2 + 𝑘3)]𝑋2 = 0 (1. 69)

Las cuales representan dos ecuaciones algebraicas homogéneas, la solución no trivial se da solo

si el determinante de los coeficientes de 𝑋1 y 𝑋2 es igual a 0.

|(𝑘1 + 𝑘2) − 𝑚1𝜔

2 −𝑘2

−𝑘2 −𝑚2𝜔2 + (𝑘2 + 𝑘3)

| = 0

O

(𝑚1𝑚2)𝜔4 − [(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]𝜔

2 + [(𝑘1 + 𝑘2)(𝑘2 + 𝑘3) − 𝑘22] = 0

(1. 70)

La ecuación (1.70) se conoce como ecuación de frecuencia o característica porque su solución

predice las frecuencias o valores característicos del sistema.

Haciendo cambio de variable

- 74 -

𝑢 = 𝜔2

Se tiene que

(𝑚1𝑚2)𝑢2 − [(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]𝑢 + [(𝑘1 + 𝑘2)(𝑘2 + 𝑘3) − 𝑘2

2] = 0

Las raíces de la ecuación están dadas por

𝑢2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑢1,22 =

[(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]

2𝑚1𝑚2

±√[(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]

2 + 4𝑚1𝑚2[(𝑘1 + 𝑘2)(𝑘2 + 𝑘3) − 𝑘22]

2𝑚1𝑚2

Por lo que,

𝜔12 =

[(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]

2𝑚1𝑚2

+√[(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]

2 + 4𝑚1𝑚2[(𝑘1 + 𝑘2)(𝑘2 + 𝑘3) − 𝑘22]

2𝑚1𝑚2

(1. 71)

𝜔22 =

[(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]

2𝑚1𝑚2

−√[(𝑘1 + 𝑘2)𝑚2 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑚1]

2 + 4𝑚1𝑚2[(𝑘1 + 𝑘2)(𝑘2 + 𝑘3) − 𝑘22]

2𝑚1𝑚2

(1. 72)

Esto demuestra que es posible que el sistema tenga una solución armónica no trivial de la forma

de las ecuaciones (1.66) (1.67) cuando 𝜔 es igual a 𝜔1 y 𝜔2 dada por las ecuaciones (1.71)

(1.72). Se denomina a 𝜔1 y 𝜔2 como las frecuencias naturales del sistema (1).

- 75 -

Los valores de 𝑋1 y 𝑋2 no se han determinado, estos dependen de las frecuencias naturales 𝜔1

y 𝜔2 , para poder hacerlo se indicaran los valores de 𝑋1 y 𝑋2 correspondientes a 𝜔1 como 𝑋1(1)

y 𝑋2(1)

y los correspondientes a 𝜔2 como 𝑋1(2)

y 𝑋2(2)

(1). Dado que las ecuaciones (1.68) (1.69)

son homogéneas, solo se pueden determinar las relaciones 𝑟1 = {𝑋2(1)

𝑋1(1)

⁄ } y 𝑟2 =

{𝑋2(2)

𝑋1(2)

⁄ }. Para 𝜔2 = 𝜔12 y 𝜔2 = 𝜔2

2, quedando

𝑟1 =𝑋1

(1)

𝑋2(1)

=−𝑚1𝜔1

2 + (𝑘1 + 𝑘2)

𝑘2=

𝑘2

−𝑚1𝜔12 + (𝑘2 + 𝑘3)

𝑟2 =𝑋1

(2)

𝑋2(2)

=−𝑚1𝜔2

2 + (𝑘1 + 𝑘2)

𝑘2=

𝑘2

−𝑚1𝜔22 + (𝑘2 + 𝑘3)

Se observa que las dos relaciones son iguales. Los modos normales de vibraciones

correspondientes a 𝜔12 y 𝜔2

2 se pueden expresar, respectivamente, como

�⃑�(1) = {𝑋1

(1)

𝑋2(1)

} = {𝑋1

(1)

𝑟1𝑋1(1)

}

�⃑�(2) = {𝑋1

(2)

𝑋2(2)

} = {𝑋1

(2)

𝑟2𝑋1(2)

}

Los vectores �⃑�(1) y �⃑�(2), los cuales indican los modos normales de vibración, se conocen como

vectores modales del sistema. La solución de vibración libre o el movimiento en el tiempo se

puede expresar, utilizando las ecuaciones (1.66) (1.67), como

�⃑�(1)(𝑡) = {𝑋1

(1)(𝑡)

𝑋2(1)(𝑡)

} = {𝑋1

(1)cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1)

𝑟1𝑋1(1)

cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1)} = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑜𝑑𝑜

- 76 -

�⃑�(2)(𝑡) = {𝑋1

(2)(𝑡)

𝑋2(2)(𝑡)

} = {𝑋1

(2)cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2)

𝑟2𝑋1(2)

cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2)} = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜

Donde las condiciones iniciales determinan las constantes 𝑋1(1)

, 𝑋1(2)

, 𝜙1, 𝜙2.

Como se mencionó antes, cada una de las dos ecuaciones de movimiento, ecuaciones (1.64) y

(1.68), implica derivadas de segundo orden; por consiguiente, se requiere especificar dos

condiciones iniciales para cada masa

𝑥1(𝑡 = 0) = 𝑥1(0) , �̇�1(𝑡 = 0) = �̇�1(0)

𝑥2(𝑡 = 0) = 𝑥2(0) , �̇�2(𝑡 = 0) = �̇�2(0) (1. 73)

Suponiendo la forma de la solución se tiene

𝑥1(𝑡) = 𝑥1(1)(𝑡) + 𝑥1

(2)(𝑡) = 𝑥1(1)

cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 𝑥1(2)

cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) (1. 74)

𝑥2(𝑡) = 𝑥2(1)(𝑡) + 𝑥2

(2)(𝑡) = 𝑟1𝑥1(1)

cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 𝑟2𝑥1(2)

cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) (1. 75)

La sustitución de la ecuación (1.73) en las ecuaciones (1.74) y (1.75) conduce a

𝑥1(0) = 𝑥1(1)

cos𝜙1 + 𝑥1(2)

cos𝜙2 (1. 76)

�̇�1(0) = −𝜔1𝑥1(1)

sin 𝜙1 − 𝜔2𝑥1(2)

sin𝜙2 (1. 77)

𝑥2(0) = 𝑟1𝑥1(1)

cos𝜙1 + 𝑟2𝑥1(2)

cos𝜙2 (1. 78)

�̇�2(0) = −𝜔1𝑟1𝑥1(1)

sin 𝜙1 − 𝜔2𝑟2𝑥1(2)

sin𝜙2 (1. 79)

- 77 -

Las ecuaciones (1.76, 1.77, 1.78, 1.79) se pueden considerar, como cuatro ecuaciones

algebraicas que tiene como incógnitas a 𝑥1(1)

cos𝜙1 , 𝑥1(2)

cos 𝜙2, 𝑥1(1)

sin𝜙1 , 𝑥1(2)

sin𝜙2.

Las soluciones de dichas ecuaciones se expresan como

𝑥1(1)

cos𝜙1 = {𝑟2𝑥1(0) − 𝑥2(0)

𝑟2 − 𝑟1}

𝑥1(2)

cos𝜙2 = {−𝑟1𝑥1(0) + 𝑥2(0)

𝑟2 − 𝑟1}

𝑥1(1)

sin 𝜙1 = {−𝑟2�̇�1(0) + �̇�2(0)

𝜔1(𝑟2 − 𝑟1)}

𝑥1(2)

sin𝜙2 = {𝑟1�̇�1(0) − �̇�2(0)

𝜔2(𝑟2 − 𝑟1)}

A partir de las cuales se obtiene la solución deseada:

𝑥1(1)

= [(𝑥1(1)

cos 𝜙1)2

+ (𝑥1(1)

sin𝜙1)2

]1 2⁄

𝑥1(1)

=1

(𝑟2 − 𝑟1)[(𝑟2𝑥1(0) − 𝑥2(0))

2+

(−𝑟2�̇�1(0) + �̇�2(0))2

𝜔12 ]

1 2⁄

𝑥1(2)

= [(𝑥1(2)

cos 𝜙2)2

+ (𝑥1(2)

sin𝜙2)2

]1 2⁄

𝑥1(2)

=1

(𝑟2 − 𝑟1)[(−𝑟1𝑥1(0) + 𝑥2(0))

2+

(𝑟1�̇�1(0) − �̇�2(0))2

𝜔22 ]

1 2⁄

- 78 -

𝜙1 = tan−1 {𝑥1

(1)sin𝜙1

𝑥1(1)

cos𝜙1

} = tan−1 {−𝑟2�̇�1(0) + �̇�2(0)

𝜔1(𝑟2𝑥1(0) − 𝑥2(0))}

𝜙2 = tan−1 {𝑥1

(2)sin𝜙2

𝑥1(2)

cos𝜙2

} = tan−1 {𝑟1�̇�1(0) − �̇�2(0)

𝜔2(−𝑟1𝑥1(0) + 𝑥2(0))}

1.1.8.2.2 Vibraciones Forzadas

Se estudia el caso en que no existe amortiguamiento, y se prescindirá también de las

componentes de la respuesta debida a las condiciones iniciales.

Este método permite determinar la respuesta estacionaria de un sistema de dos grados de libertad

bajo una excitación armónica.

Utilizado las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema correspondiente a la figura

1.20 se tiene la siguiente expresión

[𝑚1 00 𝑚2

] {�̈�1

�̈�2} + [

𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2

−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3] {

𝑥1

𝑥2} = {

𝐹1

0} 𝑒𝑖Ω𝑡

Donde

𝑚�̈�1 + (𝑘1 + 𝑘2)𝑥1 − 𝑘2𝑥2 = 𝐹1𝑒𝑖Ω𝑡

𝑚�̈�2 − 𝑘2𝑥1 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑥2 = 0

Suponiendo la forma de la solución

𝑥1(𝑡) = 𝑋1𝑒𝑖Ω𝑡 = 𝑋1 cos(Ω𝑡 + 𝜃)

(1. 80)

𝑥2(𝑡) = 𝑋2𝑒𝑖Ω𝑡 = 𝑋2 cos(Ω𝑡 + 𝜃)

(1. 81)

- 79 -

Derivando dos veces la ecuación (1.80) y la ecuación (1.81) se tiene

�̇�1(𝑡) = 𝑖Ω𝑋1𝑒𝑖Ω𝑡 = −Ω𝑋1 sin(Ω𝑡 + 𝜃)

�̈�1(𝑡) = −Ω2𝑋1𝑒𝑖𝜔𝑡 = −Ω2𝑋1 cos(Ω𝑡 + 𝜃)

�̇�2(𝑡) = 𝑖Ω𝑋2𝑒𝑖Ω𝑡 = −Ω𝑋2 sin(Ω𝑡 + 𝜃)

�̈�2(𝑡) = −Ω2𝑋2𝑒𝑖Ω𝑡 = −Ω2𝑋2 cos(Ω𝑡 + 𝜃)

Sustituyendo estos valores y reordenando, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones con dos

incógnitas

[−𝑚1Ω2 + (𝑘1 + 𝑘2)]𝑋1 − 𝑘2𝑋2 = 𝐹1

−𝑘2𝑋1 + [−𝑚2Ω2 + (𝑘2 + 𝑘3)]𝑋2 = 0

Aplicando la regla de Cramer para resolver éste sistema de ecuaciones, se obtienen los valores

de las amplitudes de los movimientos armónicos que se están buscando.

Determinante del sistema

Δ𝑠 = |[−𝑚1Ω

2 + (𝑘1 + 𝑘2)] −𝑘2

−𝑘2 [−𝑚2Ω2 + (𝑘2 + 𝑘3)]

|

Δ𝑠 = [−𝑚1Ω2 + (𝑘1 + 𝑘2)] ∙ [−𝑚2Ω

2 + (𝑘2 + 𝑘3)] − 𝑘22

Determinante de 𝑋1

- 80 -

Δ𝑋1 = |𝐹1 −𝑘2

0 [−𝑚2Ω2 + (𝑘2 + 𝑘3)]

|

Δ𝑋1 = 𝐹1 ∙ [−𝑚2Ω2 + (𝑘2 + 𝑘3)]

Determinante de 𝑋2

Δ𝑋2 = |[−𝑚1Ω

2 + (𝑘1 + 𝑘2)] 𝐹1

−𝑘2 0|

Δ𝑋2 = 𝑘2 ∙ 𝐹1

Por lo que

𝑋1 =Δ𝑋1

Δ𝑠

𝑋1 =𝐹1 ∙ [−𝑚2Ω

2 + (𝑘2 + 𝑘3)]

[−𝑚1Ω2 + (𝑘1 + 𝑘2)] ∙ [−𝑚2Ω2 + (𝑘2 + 𝑘3)] − 𝑘22

𝑋2 =Δ𝑋2

Δ𝑠

𝑋2 =𝑘2 ∙ 𝐹1

[−𝑚1Ω2 + (𝑘1 + 𝑘2)] ∙ [−𝑚2Ω2 + (𝑘2 + 𝑘3)] − 𝑘22

Que pueden expresarse como

𝑋1 =𝐹1 ∙ [−𝑚2Ω

2 + (𝑘2 + 𝑘3)]

𝑚1𝑚2(Ω2 − 𝜔12)(Ω2 − 𝜔2

2)

(1. 82)

- 81 -

𝑋2 =𝑘2 ∙ 𝐹1

𝑚1𝑚2(Ω2 − 𝜔12)(Ω2 − 𝜔2

2) (1. 83)

Por lo tanto, al reemplazar las ecuaciones (1.80 y 1.81) en las ecuaciones (1.82 y 1.83)

respectivamente

𝑥1(𝑡) = (𝐹1 ∙ [−𝑚2Ω

2 + (𝑘2 + 𝑘3)]

𝑚1𝑚2(Ω2 − 𝜔12)(Ω2 − 𝜔2

2)) 𝑒𝑖Ω𝑡

𝑥2(𝑡) = (𝑘2 ∙ 𝐹1

𝑚1𝑚2(Ω2 − 𝜔12)(Ω2 − 𝜔2

2)) 𝑒𝑖Ω𝑡

Frecuencia de Resonancia y Anti-Resonancia

Figura 1. 21. Función respuesta en frecuencia de la función 𝒙𝟏(𝒕) en función de la frecuencia de excitación Ω.


- 82 -

De la figura 1.21 se puede observar que al igual que para los sistemas de un grado de libertad,

cuando la frecuencia de la excitación Ω coincide con algunas de las frecuencia naturales del

sistema 𝜔𝑛, se generan grandes amplitudes de vibración para sistemas poco amortiguados, lo

que se conoce como resonancia.

Se puede ver también que el número de frecuencias naturales es igual al número de grados de

libertad del sistema.

Se observa que para cierta frecuencia de excitación Ω, la respuesta de 𝑋1 = 0, esto sucede

cuando

Ω2 = (𝑘2 + 𝑘3)

𝑚2

En esta frecuencia, para sistemas poco amortiguados la amplitud de la vibración es cero, ocurre

lo opuesto que en resonancia, se le llama frecuencia de anti resonancia 𝜔𝐴1 y se genera entre las

dos frecuencias de resonancia.

Se puede observar también que el desfase entre el desplazamiento vibratorio y la fuerza cambia

abruptamente en 180°a través de las resonancias y anti resonancias.

- 83 -

1.1.9 Análisis experimental de un sistema real de dos grados de libertad

El ensayo se centrará en el análisis de vibraciones básicas de un sistema de dos grados de

libertad, con la finalidad de lograr contrastar la información teórica con lo obtenido

experimentalmente.

El sistema a analizar consiste en un sistema de vigas, soportando un bloque donde se monta un

motor con una masa desbalanceada. Adicionalmente, dicho bloque soporta una viga en voladizo.

El objetivo central del ensayo corresponde a la obtención de un modelo matemático validado

experimentalmente, que represente con precisión aceptable el comportamiento dinámico del

modelo a escala.

Para comprender mejor el análisis del sistema, se dividirá en tres pasos:



el fin de simplificar el sistema a uno de dos grados de libertad y poder así, aplicar las ecuaciones

antes vistas.

a. Se consideran deformaciones pequeñas en (𝑥)de la masa superior. En consecuencia, se


b. Rango de frecuencias bajo, variable necesaria para definir el sistema como uno de dos

grados de libertad (GDL), siendo este el encargado de determinar la posición de todos

los elementos de un sistema en un momento dado.

c. Amplitudes de trabajo bajas para no caer en un sistema no lineal, ya que, en este sistema


d. Se considera solo la mitad de la masa total del sistema, ya que la masa que está sometida

a vibración es solo la parte superior.

- 84 -

e. Se considera las vigas como resortes en busca de un modelo mecánico equivalente

simplificado.

f. Se desprecia cualquier tipo de disipación de energía, ya sea por deformación, roce o

fuerzas viscosas.

g. Se suponen tres rigideces. Él sistema se reduce a dos, una rigidez equivalente 𝑘𝑒𝑞, la que

se obtiene sumando en paralelo las rigideces de las vigas que soportan la masa central y

la rigidez de la viga en voladizo.

h. En el sistema real, la viga que sostiene al motor eléctrico se posiciona de forma vertical,

ya que, el sistema de eje coordenado de deformación, será el mismo en ambas

posiciones, esto facilitará la elaboración del sistema mecánico equivalente.


El propósito del modelo mecánico equivalente es representar todos los detalles importantes del

sistema, como se aprecia en la figura.

- 85 -

Figura 1. 22. Representación de un sistema real a escala de dos grados de libertad sometido a una excitación armónica.




Suma de rigideces:

𝑘𝑒𝑞 =1

𝑘0+

1

𝑘1

- 86 -



Sumatoria de fuerzas masa uno

∑𝐹 = 𝑚𝑎

−𝑘𝑒𝑞𝑥1 + 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1) = 𝑚1�̈�

𝑚1�̈� + 𝑘𝑒𝑞𝑥1 − 𝑘2𝑥2 + 𝑘2𝑥1 = 0

Sumatoria de fuerza masa dos

∑𝐹 = 𝑚𝑎

−𝑘2(𝑥2 − 𝑥1) = 𝑚2�̈�

𝑚2�̈� + 𝑘2𝑥2 − 𝑘2𝑥1 = 0

[𝑚1 00 𝑚2

] [�̈�1

�̈�2] + [

(𝑘𝑒𝑞 + 𝑘2) −𝑘2

−𝑘2 𝑘2

] [𝑥1

𝑥2] = [

00]

Para poder calcular las frecuencias naturales del sistema es necesario conocer los valores de las

matrices de masa y rigidez y obtener el determinante de la siguiente expresión:

[𝑘] − 𝜔2[𝑚] = 0

|(𝑘𝑒𝑞 + 𝑘2 − 𝜔2𝑚1) −𝑘2

−𝑘2 (𝑘2 − 𝜔2𝑚2)| = 0

- 87 -

(𝑘𝑒𝑞 + 𝑘2 − 𝜔2𝑚1)(𝑘2 − 𝜔2𝑚2) − (−𝑘2)(−𝑘2) = 0

(𝑘𝑒𝑞𝑘2 − 𝑘𝑒𝑞𝜔2𝑚2 + 𝑘2

2 − 𝑘2𝜔2𝑚2 − 𝑘2𝜔

2𝑚1 + 𝜔4𝑚1𝑚2) − (𝑘22) = 0

Quedando

𝜔4𝑚1𝑚2 − 𝜔2(𝑘𝑒𝑞𝑚2 + 𝑘2𝑚2 + 𝑘2𝑚1) + 𝑘𝑒𝑞𝑘2 = 0 ( 1.1)

Para calcular las rigideces del sistema es necesario utilizar el método de la curva elástica


𝑦(𝑥) = 0 𝑦(𝑥)′ = 0

𝑦(𝑥)′ = 0 𝑦(𝑥)′′′ =

−𝑃

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑦4 = 0

- 88 -


𝐸𝐼𝑦(𝑥)′ = 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′′ = 6𝐴𝑥 + 2𝐵

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′′′ = 6𝐴

Si 𝑥 = 0; 𝑦 = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 = 𝐷

𝐷 = 0

Si 𝑥 = 0; 𝑦′ = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 = 𝐶

𝐶 = 0

Si 𝑥 = 𝐿; 𝑦′ = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 =−𝑃

2𝐿2 + 2𝐵𝐿

𝐵 =𝑃𝐿

4

Si 𝑥 = 𝐿; 𝑦′′′ =−𝑃

𝐸𝐼

𝐸𝐼 ∙−𝑃

𝐸𝐼= 6𝐴

𝐴 =−𝑃

6

En la elástica:

∆=𝑃𝐿3

12𝐸𝐼

𝑘 =𝑃

𝑃𝐿3

12𝐸𝐼

𝑘 =12𝐸𝐼

𝐿3

- 89 -

Teniendo ℎ = 0,0012(𝑚)𝑏 = 0,025(𝑚)

𝐼 =𝑏ℎ3

12

𝐼 = 3,6 ∙ 10−12

Con 𝐿 = 0,11548(𝑚) y 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎

𝑘 =12 ∙ 200 ∙ 109 ∙ 3,6 ∙ 10−12

0,115483

𝑘𝑒𝑞 = 5610𝑁

𝑚


𝑦(𝑥) = 0 𝑦(𝑥)′ = 0

𝑦(𝑥)′ = 0 𝑦(𝑥)′′ =

−𝑃

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑦4 = 0


𝐸𝐼𝑦(𝑥)′ = 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′′ = 6𝐴𝑥 + 2𝐵

𝐸𝐼𝑦(𝑥)′′′ = 6𝐴

Si 𝑥 = 0; 𝑦 = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 = 𝐷

𝐷 = 0

Si 𝑥 = 0; 𝑦′ = 0

𝐸𝐼 ∙ 0 = 𝐶

𝐶 = 0

Si 𝑥 = 𝐿; 𝑦′ = 0

- 90 -

𝐸𝐼 ∙ 0 =−𝑃

2𝐿2 + 2𝐵𝐿

𝐵 =𝑃𝐿

4

Si 𝑥 = 𝐿; 𝑦′′ =−𝑃

𝐸𝐼

𝐸𝐼 ∙−𝑃

𝐸𝐼= 6𝐴

𝐴 =−𝑃

6

En la elástica:

∆=𝑃𝐿3

3𝐸𝐼

𝑘 =𝑃

𝑃𝐿3

3𝐸𝐼

𝑘 =3𝐸𝐼

𝐿3

Teniendo ℎ = 0,0012(𝑚)𝑏 = 0,025(𝑚)

𝐼 =𝑏ℎ3

12

𝐼 = 3,6 ∙ 10−12

Con 𝐿 = 0,1318(𝑚) y 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎

𝑘 =3 ∙ 200 ∙ 109 ∙ 3,6 ∙ 10−12

0,13183

- 91 -

𝑘2 = 943 𝑁

𝑚

Conociendo los valores de masas y rigideces del sistema, éstos se reemplazan en la ecuación

(1.1) para así determinar las frecuencias naturales.

𝑚1 = 0,468(𝑘𝑔)

𝑚2 = 0,242(𝑘𝑔)

𝑘𝑒𝑞 = 5610 (𝑁

𝑚)

𝑘2 = 943 (𝑁

𝑚)

𝜔40,113𝑘𝑔2 − 𝜔2 (1356,6

𝑁

𝑚𝑘𝑔 + 228,2

𝑁

𝑚𝑘𝑔 + 441,3

𝑁

𝑚𝑘𝑔) + 5290230

𝑁2

𝑚2= 0

𝜔40,113𝑘𝑔 − 𝜔2 (2028,1𝑁

𝑚𝑘𝑔) + 5290230

𝑁2

𝑚2= 0

Utilizando un cambio de variable 𝜇 = 𝜔2

𝜇20,113𝑘𝑔2 − 𝜇 (2028,1

𝑁

𝑚𝑘𝑔) + 5290230

𝑁2

𝑚2= 0

𝜇 =2028,1 ± √2028,12 − 4 ∙ 0,113 ∙ 5290230

2 ∙ 0,113

𝜇 =2028,1 ± √1722005,65

0,226

𝜔22 = 14780,3 (

𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

- 92 -

𝜔12 = 3167,46 (

𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

Por lo tanto,

𝜔2 = 121,57 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝜔1 = 56,28 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Estas frecuencias naturales reflejan los dos modos de vibrar, siendo la frecuencia más baja la

correspondiente al primer modo y la de mayor magnitud correspondiente al segundo. Es posible

llegar a esta conclusión, ya que, a menores velocidades de giro solo es posible visualizar el

primer modo de vibrar.

Para determinar los modos de vibrar del sistema será necesario calcular la siguiente expresión:

([𝑘] − 𝜔2[𝑚])[𝐴] = [0]

Con 𝜔1

([6553 −943−943 943

] − 56,282 [0,468 0

0 0,242]) [

1𝐴1

] = [00]

([6553 −943−943 943

] − [1482,361171 0

0 766,5200928]) [

1𝐴1

] = [00]

[5070,638829 −943

−943 176,479907] [

1𝐴1

] = [00]

Ecuación 1:

5070,63 − 943𝐴1 = 0

𝐴1 = 5,38(𝑚)

Ecuación 2:

−943 + 176,579907𝐴1 = 0

- 93 -

𝐴1 = 5,34(𝑚)

Con 𝜔2

([6553 −943−943 943

] − 121,572 [0,468 0

0 0,242]) [

1𝐴2

] = [00]

([6553 −943−943 943

] − [6916,695973 0

0 3576,582106]) [

1𝐴2

] = [00]

[−363,6959732 −943

−943 −2633,58211] [

1𝐴2

] = [00]

Ecuación 1:

−363,6959732 − 943𝐴2 = 0

𝐴2 = −0,39(𝑚)

Ecuación 2:

−943 − 2633,58211𝐴2 = 0

𝐴2 = −0,36(𝑚)

Para calcular el decremento logarítmico es necesario impactar el sistema, ya que, éste solo se

puede calcular cuando el sistema vibra después de ser perturbado, en éste caso se impacta en

dos puntos con la finalidad de visualizar ambos modos de vibrar. Es necesario realizar éste

cálculo para poder obtener las constantes 𝛼 𝑦 𝛽 de la matriz de amortiguamiento proporcional

del sistema.



- 94 -

Primer modo de vibración

Gráfico 1. 14. Amplitud versus tiempo primer modo de vibración.


De la gráfica se tomarán dos puntos, por lo tanto:

𝑥(0,116) = 0,040612[𝑣]

𝑥(0,346) = 0,035535[𝑣]


𝑛 = 2

𝛿 =1

𝑛ln (

𝑥0,116

𝑥0,346)

𝛿 = 0,065

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Am

plit

ud

(v)

Tiempo (s)

- 95 -

𝛿 =2𝜋𝜉

√1 − 𝜉2

𝜉1 = 0,010

Segundo modo de vibración

Gráfico 1. 15. Amplitud versus tiempo segundo modo de vibrar.


De la gráfica 1.15 se tomarán dos peak, por lo tanto:

𝑥(3,648) = −0,061032[𝑣]

𝑥(3,738) = −0,05086[𝑣]


𝑛 = 2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

1700 2200 2700 3200 3700

Am

plit

ud

(v)

Tiempo (s)

- 96 -

𝛿 =1

𝑛ln (

𝑥3,648

𝑥3,738)

𝛿 = −0,0911

𝛿 =2𝜋𝜉

√1 − 𝜉2

𝜉2 = 0,014

Para determinar la matriz de amortiguamiento proporcional es necesario conocer los valores de

las constantes 𝛼 𝑦 𝛽 (constantes adimensionales).

[𝑐] = 𝛼[𝑚] + 𝛽[𝑘]

0,010 =1

2(

𝛼

56,28+ 56,28𝛽)

0,014 =1

2(

𝛼

121,57+ 121,57𝛽)

0,02 =1

56,28𝛼 + 56,28𝛽

0,028 =1

121,57𝛼 + 121,57𝛽

[0,017768301 56,280,008225714 121,57

] ∙ [𝛼𝛽] = [

0,020,028

]

⌊0,017768301 56,280,008225714 121,57

⌋−1

∙ [𝛼𝛽] = [

0,020,028

]

𝛼 = 0,504116

- 97 -

𝛽 = 0,000196

[𝑐] = 𝛼 [0,468 0

0 0,242] + 𝛽 [

6553 −943−943 943

]

[𝑐] = 0,504116 [0,468 0

0 0,242] + 0,000196 [

6553 −943−943 943

]

[𝑐] = [0,235926288 0

0 0,121996072] + [

1,284388 −0,184828−0,184828 0,184828

]

[𝑐] = [1,520314288 −0,184828−0,184828 0,306824072

]

Vibraciones con excitación Armónica

Gráfico 1. 16. Aceleración versus tiempo máxima velocidad de giro.


([𝑘11 −𝑘12

−𝑘21 𝑘22]−Ω2 [

𝑚1 00 𝑚2

]) [𝐴1

𝐴2] = [

0𝐹0

]

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Tiempo(s)

- 98 -

Ω =2𝜋

𝜏

τ = 0,024(𝑠)

Ω = 261,79 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝐹0 = 𝜇Ω2

𝐹0 = 4,5 ∙ 10−5(261,70)2

𝐹0 = 3,08(𝑁)

([6553 −943−943 943

] − (261,79)2 [0,468 0

0 0,242]) [

𝐴1

𝐴2] = [

03,08

]

([6553 −943−943 943

] − [32073,914 0

0 16585,229]) [

𝐴1

𝐴2] = [

03,08

]

[−25520,914 −943

−943 −15642,229] [

𝐴1

𝐴2] = [

03,08

]

[−25520,914 −943

−943 −15642,229]−1

∙ [0

3,08] = [

𝐴1

𝐴2]

𝐴1 = 0,000007291(𝑚)

𝐴2 = −0,000197342(𝑚)

Para comparar la medición experimental con los resultados anteriores es necesario calcular la

amplitud teórica, ya que, el gráfico 1.16 entrega los valores de amplitudes experimentales

unidades de aceleración.

𝐴 = 𝑋0Ω2

- 99 -

𝑋0 =2,356538947

(261,70)2

𝑋0 = 0,00003441(𝑚)

Máxima velocidad de giro sin masa

Gráfico 1. 17. Aceleración versus tiempo máxima velocidad de giro sin masa.


([𝑘11 −𝑘12

−𝑘21 𝑘22]−Ω2 [

𝑚1 00 𝑚2

]) [𝐴1

𝐴2] = [

0𝐹0

]

([6553 −943−943 943

] − (261,79)2 [0,468 0

0 0,0366]) [

𝐴1

𝐴2] = [

0𝐹0

]

Ω =2𝜋

𝜏

τ = 0,024(𝑠)

Ω = 261,79 (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Tiempo (s)

- 100 -

𝐹0 = 𝜇Ω2

𝐹0 = 4,5 ∙ 10−5(261,79)2

𝐹0 = 3,08 (𝑁)

([6553 −943−943 943

] − (261,79)2 [0,468 0

0 0,0366]) [

𝐴1

𝐴2] = [

03,08

]

([6553 −943−943 943

] − [32073,914 0

0 2508,345]) [

𝐴1

𝐴2] = [

03,08

]

[−25520,914 −943

−943 −1565,345] [

𝐴1

𝐴2] = [

03,08

]

[−25520,914 −943

−943 −1565,345]−1

∙ [0

3,08] = [

𝐴1

𝐴2]

𝐴 = 0,000074358 (𝑚)

𝐴 = −0,00201241(𝑚)

- 101 -

Gráfico 1. 18. Amplitud y fase.


Se puede apreciar que en la gráfica 1.18 el sistema es de dos grados de libertad, por lo que, se

presentan dos frecuencias naturales, dos resonancias y dos modos de vibración. También se

observa la presencia de una antiresonancia entre las dos resonancias, punto en donde la amplitud

y la vibración son cero, este fenómeno se puede visualizar en ambos gráficos. En el de amplitud

la antiresonancia se ve reflejada cuando el sistema atraviesa la primera frecuencia natural y llega

a un punto en donde la amplitud decae hasta cero. En el de fase éste fenómeno se observa en las

caídas de fases.

- 102 -

CAPÍTULO 2

ANALISIS DE VIBRACIONES MECÁNICAS

Hoy en día la gran parte de las industrias modernas dentro de sus programas de mantenimiento

predictivo, utilizan una serie de técnicas de monitoreo y análisis con el fin de establecer cuál es

el estado de salud mecánica de las máquinas y en particular de sus elementos más críticos

mientras están en funcionamiento, de manera de prevenir fallas catastróficas. Estas técnicas de

monitoreo evalúan la condición del equipo identificando el problema o falla que se presente.

Dentro de este concepto de mantención existen diversas técnicas como la termografía, ensayos

no destructivos, análisis de vibraciones, etc., los cuales entregaran la condición de las máquinas

y equipos según los síntomas que estos emiten al exterior. Es en este punto donde las vibraciones

juegan un rol fundamental en la industria, el análisis de las mismas es una de las técnicas de

mayor empleo, debido a su eficiencia en la detección incipiente de fallas. Por ello, es de suma

importancia poder entender lo que conlleva realizar un análisis de vibraciones.

Todas las máquinas generan vibraciones como parte normal de la actividad, sin embargo,

cuando falla alguno de sus componentes, las características de estas vibraciones cambian,

permitiendo bajo un estudio detallado identificar el lugar y el tipo de falla que se está

presentando. Es el análisis de vibraciones, el que permite diagnosticar el estado de las máquinas

y sus componentes mientras funcionan normalmente, es una de las tecnologías más utilizadas

en el mantenimiento predictivo de las máquinas rotativas.

Éste tipo de análisis se realiza a través de equipos analizadores de vibraciones y herramientas

informáticas que agilizan y facilitan el análisis, puesto que, entregan al usuario gráficas de las

señales de las vibraciones, ya sea en el dominio del tiempo o de la frecuencia, para realizar su

interpretación y emitir un diagnóstico acertado sin afectar el desarrollo normal de la planta de

producción.

Debido a que las máquinas están formadas por múltiples piezas que trabajan en conjunto para

lograr determinado objetivo, las vibraciones presentes en éstas, no son más que la suma de todas

las señales de vibración provenientes de cada una de sus partes.

- 103 -

Debido a la complejidad que presentan las señales de las vibraciones, muchas veces, es necesario

convertirlas en señales más sencillas para facilitar su análisis e interpretación. Esto se consigue

transformando la señal al dominio de la frecuencia a través de las Transformada Rápida de

Fourier (FFT).

2.1 Transformada de Fourier

La transformada de Fourier, es una función matemática, que permite obtener a partir de la forma

de la vibración u onda en el tiempo, x(t), el espectro en frecuencias, X(f), según muestra la

ecuación

𝑋(𝑓) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡

∞

−∞

𝑑𝑡 (2. 84)

Siendo 𝑋(𝑓) un número complejo. Un número complejo se puede expresar en función de una

componente real 𝑋𝑅(𝑓) y una imaginaria 𝑋𝐼(𝑓).

𝑋(𝑓) = 𝑋𝑅(𝑓) + 𝑗𝑋𝐼(𝑓)

Otra forma de expresar un número complejo es en su forma polar, es decir, en función de su

módulo o amplitud, |𝑋(𝑓)| y su fase 𝜃(𝑓), como se indica.

𝑋(𝑓) = |𝑋(𝑓)|𝑒𝑗𝜃

La transformada inversa de Fourier realiza el proceso inverso, es decir, conocido el espectro

permite obtener la forma de onda.

𝑥(𝑡) = ∫ 𝑋(𝑓)𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡

∞

−∞

𝑑𝑓 (2. 85)

- 104 -

Para poder obtener el espectro vibratorio utilizando la transformada de Fourier, debe tomarse

como indica ecuación (2.1), un registro de señal de longitud infinita (∞) y efectuar la

integración. Esto en la práctica no es posible, por lo que para el cálculo del espectro es necesario

utilizar la transformada discreta de Fourier (7).

2.2 Transformada Discreta de Fourier

Corresponde a una aproximación numérica de la transformada de Fourier, que se aplica a una

señal digital (discreta) en vez de una señal analógica. La transformada discreta de fourier realiza

dos aproximaciones:

1) Calcula el espectro a partir de un registro de vibraciones de longitud T, finito.

2) Efectúa el cálculo con valores discretos de la señal.

La transformada discreta de Fourier utiliza para el cálculo del espectro 𝑁 ∙ 𝑁 términos

complejos, lo que hace muy lento el proceso. Es por esta razón que se utiliza un algoritmo más

eficiente para calcular la transformada discreta de Fourier (TDF), el cual utiliza 𝑁 2⁄ log2 𝑁

términos, por lo que es significativamente más rápido y eficaz. Este algoritmo que permite la

determinación computacional de la transformada discreta de Fourier se conoce como la

transformada rápida de Fourier FFT (Fast Fourier Transform).

En la figura 2.1 se ejemplifica lo que hace el algoritmo (FFT). Una señal se muestrea durante

un período de tiempo y se divide en sus componentes de frecuencia. Estos componentes son

oscilaciones sinusoidales únicas en distintas frecuencias, cada una con su propia amplitud y fase.

Durante el período de tiempo medido, la señal contiene 3 frecuencias dominantes distintas.

- 105 -

Figura 2. 1. Vista de una señal en el dominio de tiempo y frecuencia.

Fuente: http://www.nti-audio.com/en/functions/fast-fourier-transform-fft.aspx.

Antes de ahondar en cómo se lleva a cabo el proceso del análisis de vibraciones, es necesario

tener conocimiento de los problemas que pueden surgir al momento de muestrear una señal.

Como se sabe ningún sistema llega a ser perfecto, está no es la excepción, por ello, a

continuación, se hace referencia a los problemas que se generan al usar la transformada Rápida

de Fourier.

2.3 Problemas que se generan al usar Transformada Rápida de Fourier

2.3.1 Aliasing

Se define como el efecto que se produce cuando la señal continua se vuelve indistinguible al

muestrearla digitalmente. Este fenómeno se genera cuando se utiliza una frecuencia de muestreo

(fs) inadecuada, la cual no satisface el Teorema de Shanon (Nyquist).

Este teorema establece que, si se desea replicar precisamente la forma de una señal determinada,

la frecuencia de muestreo debe ser superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear. Por

ejemplo, si se desea replicar una señal cuya frecuencia es de 200 Hz la tasa o rango de muestreo

- 106 -

con la que trabaja debe ser superior a 400 Hz. Si dicha condición no se cumple, se generan

replicaciones de la señal original (alias) que difieren de ésta en su composición, y que además

se superponen, generando el efecto de aliasing, imposibilitando recuperar la señal original (8).

2 ∙ 𝑓𝑚á𝑥 ≤ 𝑓𝑠 (2. 86)

Donde, 𝑓𝑚á𝑥 corresponde a la máxima frecuencia en la señal y 𝑓𝑠 a la frecuencia de muestreo.

En la figura 2.2, se muestra una discretización adecuada e inadecuada de la señal. La señal

medida en la figura (a) tiene periodo 0,1(s) y por lo tanto una frecuencia de

𝑓 =1

𝑇

𝑓 =1

0,1(𝑠)

𝑓 = 10(𝐻𝑧)

En este caso se ha muestreado tomando 4 puntos en cada ciclo de la señal, por lo tanto, los

puntos están separados en

∆𝑡=0,1(𝑠)

4

∆𝑡= 0,025(𝑠)

Por lo tanto, la frecuencia de muestreo es

𝑓𝑠 =1

0,025(𝑠)

- 107 -

𝑓𝑠 = 40(𝐻𝑧)

Con la frecuencia de muestreo ya calculada se puede demostrar que el teorema de Nyquist para

este caso se cumple, ya que, la frecuencia de muestreo es mayor que el doble de la frecuencia

máxima.

Figura 2. 2. Ejemplo de aliasing. (a) Discretización adecuada. (b) Discretización inadecuada.

Fuente: Técnica de la Demodulación en el Diagnóstico de Fallas en Máquinas Rotatorias, UACh (2002).

Para el caso que se muestra en la figura 2.2 (b) se ha realizado una discretización inadecuada de

la señal. En este ejemplo, la señal medida tiene un periodo de 0,8(s) y por lo tanto una frecuencia

de

𝑓 =1

0,8(𝑠)

𝑓 = 1,25(𝐻𝑧)

- 108 -

En este caso se ha muestreado tomando 2 puntos en cada ciclo de la señal, con una frecuencia

de muestreo de

𝑓𝑠 =1

0,9(𝑠)

𝑓𝑠 = 1,11(𝐻𝑧)

Lo que no satisface el teorema de Nyquist, ya que, la frecuencia de muestreo no es mayor que

la frecuencia máxima. A consecuencia de esto, la transformada rápida de Fourier realiza un mal

cálculo, creando una frecuencia de menor valor que el real. En la siguiente figura se ejemplifica

un espectro en condiciones normales (a) y cómo se comporta este mismo al presentar el

fenómeno de aliasing (b).

Figura 2. 3. (a) Espectro real (b) Espectro con aliasing.

Fuente: Análisis modal operacional: teoría y práctica; análisis en el dominio de la frecuencia, capítulo 4.

Para evitar que se presente el fenómeno de aliasing y asegurar que se cumpla el teorema de

Nyquist, se debe limitar el rango de frecuencias de la señal. Esto se puede obtener utilizando un

filtro pasa bajo antes de que se realice la conversión de la señal de análoga a digital. Este filtro

permite el paso de las frecuencias más bajas y atenúa las frecuencias más altas como se muestra

en la siguiente figura.

- 109 -

Figura 2. 4. Filtro pasa bajo.


2.3.2 Fugas Laterales

Como se mencionó en los párrafos anteriores, no es posible tener un registro infinito de la señal

medida, sólo es posible realizar un registro finito de longitud T. La transformada rápida de

Fourier de la señal de longitud T finito deja de ser para la señal sinusoidal un espectro de una

sola raya y pasa a ser un espectro de forma continua.

En este caso la energía no se encuentra concentrada en una sola línea como en el caso anterior,

sino que está esparcida en lóbulos laterales como se muestra en la figura 2.5. Este efecto,

causado por la troncadura de la señal, se conoce como fugas laterales.

Figura 2. 5. Representación fugas laterales.


Para reducir el efecto de las fugas laterales, es necesario vigilar que, el nivel de la señal este en

cero al principio y al final de la grabación de tiempo. Esto se hace multiplicando los datos

recopilados por una función llamada ventana o ponderada que puede tener varias formas. El

- 110 -

propósito de las ventanas es remover o suavizar las discontinuidades que existen al principio y

fin de la muestra.

Son los analizadores de vibraciones quienes utilizan dichas ventanas, estos ofrecen comúnmente

tres tipos, Uniforme o Rectangular, Hanning y Flat Top. Para comprender la forma en que las

ventanas afectan al espectro, se deben conocer las características de cada una de ellas.

2.3.2.1 Ventana uniforme o rectangular

La ventana rectangular se caracteriza por no realizar ningún tipo de ponderación en el tiempo

que dura el registro. Es equivalente a multiplicar la señal de longitud infinita por una ventana

de forma rectangular que tiene un valor 1 durante el tiempo T de registro y valor cero fuera de

ella. En las siguientes figuras se ejemplifica el funcionamiento de la ventana rectangular.

Figura 2. 6. Función de ponderación de una ventana Rectangular o Uniforme.

Fuente: Análisis en el dominio de la frecuencia, cuarto capítulo.

- 111 -

Figura 2. 7. Ejemplos del funcionamiento de la ventana Rectangular sobre distintas señales.

Fuente: Análisis en el dominio de la frecuencia, cuarto capítulo.

2.3.2.2 Ventana Hanning

En éste caso, se multiplica el registro de datos por una función del tipo coseno, tal como se

ilustra en la figura 2.8. Se caracteriza porque realiza una ponderación que da menor importancia

a los datos tomados al principio y al final del muestreo (7).

Figura 2. 8. Función de ponderación de una ventana Hanning.

Fuente: https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.19.1/reference/generated/scipy.signal.flattop.html

La figura 2.9 muestra el comportamiento de la ventana de ponderación Hanning sobre una señal

muestreada.

- 112 -

Figura 2. 9. Ejemplos del funcionamiento de la ventana Hanning sobre distintas señales.

Fuente: Análisis en el dominio de la frecuencia, cuarto capítulo

2.3.2.3 Ventana Flat Top

Esta ventana presenta la mejor precisión en amplitud en comparación con las otras ventanas

mencionadas anteriormente, sin embargo, este aumento se consigue perdiendo resolución en

frecuencias (8).

Figura 2. 10. Función ponderación de una ventana Flat Top.

Fuente: https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.19.1/reference/generated/scipy.signal.flattop.html

Cada ventana posee características que la hacen más o menos apropiada dependiendo de la

aplicación. Al momento de elegir que ventana de ponderación utilizar se debe conocer o al

- 113 -

menos tener una idea de cómo es el contenido espectral de la señal a la cual se le aplicará la

ventana. Si lo que se quiere conseguir es obtener la menor cantidad de fugas laterales, la ventana

Flat top es la más indicada, luego hanning y finalmente rectangular. En cambio, cuando se

requiere mayor precisión en la medida de amplitud y mejor resolución en frecuencia, quien

lidera con mejor resolución es la ventana rectangular, luego la de hanning y finalmente la

ventana flat top, cómo se muestra en la siguiente figura.

Figura 2. 11. Gráfica comparativa de las ventanas de ponderación.

Fuente: Análisis de vibraciones de máquinas rotatorias nivel 1, Dr. Ing. Pedro Saavedra.

2.3.3 Efecto de Rendija

Como se mencionó anteriormente, para poder aplicar la transformada rápida de fourier es

necesario utilizar un espectro discreto, el que es calculado a frecuencias discretas. Cuando se

hace este procedimiento, la señal real pierde amplitud y frecuencia, esta pérdida es equivalente

a mirar el espectro a través de las rendijas de un cerco cuyas tablas están separadas en ∆𝑓, como

se muestra en la figura 2.12.

- 114 -

Figura 2. 12. Representación efecto rendija.

Fuente: Técnica de la Demodulación en el Diagnóstico de Fallas en Máquinas Rotatorias, UACh (2002).

Cuando se registra un número entero de ciclos, una de las rendijas coincide con la frecuencia de

la sinusoidal 𝑓0 y se obtiene para la amplitud su valor exacto 𝐴.

Figura 2. 13. Cuando la longitud de onda medida para el cálculo del espectro es un número exacto de ciclos.


Cuando no se registra un número entero de ciclos, el cerco queda corrido, obteniendo valores

de amplitud y frecuencia errados. El caso más desfavorable, se genera cuando se registra un

número entero de periodo más medio periodo, como se muestra en la figura 2.14, en este caso

se obtienen dos componentes de igual amplitud y otras componentes de valores pequeños.

- 115 -

Figura 2. 14. Cuando la longitud de onda medida es un número entero de ciclos más ½ de ciclo.


Una vez que se entiende como una vibración pasa del dominio del tiempo al dominio de las

frecuencias, que herramienta lo permite realizar, los problemas que se pueden generar y como

solucionarlos, es necesario conocer las diferentes formas de vibraciones que comúnmente

pueden encontrarse en máquinas rotatorias, con la finalidad, que al momento de analizar un

espectro se logre interpretar de la mejor manera las gráficas.

- 116 -

2.4 Clasificación de las Vibraciones

Considerando siempre, que toda máquina en funcionamiento, aunque este muy bien diseñada,

ajustada y equilibrada, se ve sometida a vibraciones en todos sus elementos. Este fenómeno no

es posible eliminarlo, las razones son varias, fundamentalmente se puede decir que hay

solicitaciones tanto externas como internas a la máquina, que hacen vibrar a todos sus

componentes. Las vibraciones han sido clasificadas en dos grupos:

2.4.1 Vibraciones Periódicas

Una vibración periódica corresponde a un movimiento oscilatorio cuyo patrón de amplitud se

repite de forma regular después de un cierto periodo tiempo. Dentro de las vibraciones

periódicas se encuentran las vibraciones armónicas simples y las periódicas de forma cualquiera.

2.4.1.1 Vibración Armónica Simple o Sinusoidal

Corresponde a un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro

de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Al presentar una vibración sinusoidal en el dominio del tiempo y llevarla al dominio de las

frecuencias, está será representada como una sola componente o raya. La Transformada Rápida

de Fourier comprime toda la información de la onda senoidal de un tiempo infìnito en un punto

a una frecuencia única, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2. 15. Representación de una vibración sinusoidal en el dominio del tiempo y frecuencia.


- 117 -

2.4.1.2 Vibración Periódica de forma cualquiera

Cuando la vibración se repite en el tiempo cada 𝑇0(𝑠), la Transformada Rápida de Fourier

convierte esta vibración al dominio de las frecuencias en una serie de componentes separadas

cada una de ellas por 𝑓0, cuyas frecuencias son múltiplos o armónicos de la frecuencia

fundamental 𝑓0.

Figura 2. 16. Representación de una vibración periódica cualquiera en el dominio del tiempo y frecuencias.


2.4.2 Vibraciones No Periódicas

Cuando la frecuencia de las ondas integrantes es múltiplo de la frecuencia más baja, decimos

que la onda es periódica. Si no se da esa relación, la onda es aperiódica.

2.4.2.1 Vibraciones Transientes

Una vibración transiente es una vibración que dura un determinado tiempo y luego desaparece,

como es, por ejemplo, la que se genera con un impacto.

Cuando la vibración no es periódica en el dominio del tiempo, al aplicar la Transformada Rápida

de Fourier ésta convierte la vibración en una de forma continua dentro de un determinado rango

de frecuencias.

- 118 -

Figura 2. 17. Representación de una vibración transiente en el dominio del tiempo y frecuencias.


2.4.2.2 Vibraciones Aleatorias

En una vibración aleatoria es difícil detectar donde comienza y donde termina un ciclo, cuando

se aplica la Transformada Rápida de Fourier ésta convierte la vibración en una de forma

continua durante un amplio rango de frecuencias, el espectro se asemeja a la forma que tiene el

pasto, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2. 18. Representación de una vibración aleatoria en el dominio del tiempo y frecuencias.


2.5 Medición de la Vibración

La medición y análisis de vibraciones es utilizado, en conjunto con otras técnicas, en todo tipo

de industrias como técnica de diagnóstico de fallas. En el caso de los equipos rotatorios, la

ventaja que presenta el análisis vibratorio respecto a otras técnicas como tintas penetrantes,

radiografía, ultrasonido, etc., es que la evaluación se realiza con la máquina funcionando,

- 119 -

evitando con ello la pérdida de producción que genera una detención. Las etapas para medir y

analizar una vibración, que constituyen la cadena de medición son:

2.5.1 Etapa Transductora

El transductor o sensor es el punto de partida en la cadena de medición, es la etapa en la cual el

sensor debe reproducir exactamente las características de la magnitud que se desea medir. Un

transductor es un dispositivo electrónico que capta una cantidad física tal como vibración,

temperatura o presión y la convierte en una señal eléctrica (voltaje) que es proporcional a la

magnitud medida.

La selección y el montaje del transductor es una de las determinaciones de mayor importancia

en lo que respecta el análisis de vibraciones. De esta selección depende que la señal que entrega

el sensor se acerque lo más posible a la realidad, ya que, si la señal captada por el sensor no

refleja lo que verdaderamente ocurre, ya sea por los altos niveles de ruido, errores en el

procedimiento, etc., no sirve de nada tener el resto de la cadena en perfectas condiciones, debido

a que la información que se analizará no será la correspondiente. Hay cuatro tipos de sensores

o transductores de vibraciones (8)

Sensor de desplazamiento relativo sin contacto

Sensor de desplazamiento relativo con contacto

Sensor de velocidad o velocímetro

Sensor de aceleración o acelerómetro

Para las mediciones de vibraciones hoy en día se utilizan fundamentalmente los acelerómetros,

por esa razón y por ser los que se utilizarán en las mediciones que se realizarán en el banco de

prueba, sólo se hará mención a este tipo de sensores.

- 120 -

2.5.1.1 Acelerómetro

Los acelerómetros son sensores inerciales que miden la segunda derivada de la posición. Un

acelerómetro mide la fuerza de inercia generada cuando una masa es afectada por un cambio de

velocidad.

Existen varios tipos de tecnologías y diseños que, aunque todos tienen el mismo fin pueden ser

muy distintos unos de otros según la aplicación a la cual van destinados y las condiciones en las

que han de trabajar.

2.5.1.1.1 Acelerómetros piezoeléctricos

Es el sensor más utilizado, el cual se basa en las propiedades piezoeléctricas de ciertos materiales

cerámicos como, por ejemplo, el cuarzo. Estos materiales tienen una distribución asimétrica de

carga interna, de manera que al aplicarles una fuerza externa en la dirección de su polarización

se desarrolla una carga eléctrica entre sus superficies, generando una diferencia de potencial

entre ellas. Dicha carga es proporcional a la fuerza aplicada y, por lo tanto, a la aceleración.

Figura 2. 19. Acelerómetro Piezoeléctrico.

Fuente: http://adash.com/es/diagnostico-vibraciones/aceler%C3%B3metro-medidor-analizador-de-vibraciones/

El acelerómetro está compuesto por un número de discos de cuarzo, sobre los cuales se apoya

por un lado la masa, y por el otro están rígidamente unidas a la base, la cual, a su vez, se fija a

- 121 -

la superficie cuyo movimiento se desea medir. Al tener un acelerómetro unido a un sistema

vibrante, la masa ejerce fuerzas de inercia sobre el material piezoeléctrico, el que genera cargas

eléctricas proporcionales a la aceleración y la masa (9).

2.5.1.1.2 Acelerómetro piezoresistivo

Un acelerómetro piezoresistivo a diferencia de uno piezoeléctrico utiliza un sustrato en vez de

un cristal piezoeléctrico, en esta tecnología las fuerzas que ejerce la masa sobre el sustrato varían

su resistencia, midiendo la intensidad de la corriente.

Figura 2. 20. Acelerómetro Piezoresisitivo.

Fuente: Sensor medidor de Aceleración, universidad de Sevilla, Capitulo 4.

2.5.1.1.3 Acelerómetro capacitivo

Este tipo de acelerómetro contiene internamente placas capacitivas, algunas fijas, mientras que

otras se encuentran unidas a pequeños resortes que se mueven internamente a medida que las

fuerzas de aceleración actúan sobre el sensor, este movimiento provoca en las placas un cambio

en su capacitancia, pudiendo así determinar la aceleración.

Cuando la aceleración o desaceleración ejerce una fuerza a la masa central, esta al moverse

libremente, desplaza las minúsculas placas del condensador, provocando un cambio en la

capacidad, este cambio de capacidad es detectado y procesado para obtener un voltaje de salida.

- 122 -

Figura 2. 21. Esquema del Acelerómetro Capacitivo.

Fuente: http://atomosybits.com/la-fisica-tras-el-acelerometro/

2.5.2 Etapa de acondicionamiento de la señal eléctrica

La mayoría de las señales requieren alguna forma de preparación antes de que puedan ser

digitalizadas. Durante esta etapa se modifica la señal que sale del transductor para que pueda

ser medida adecuadamente, esto contempla en algunos casos, dependiendo del tipo de

transductor filtraje, integración o amplificación. Por ejemplo, si la señal es demasiado pequeña

será necesario amplificarla, o si esta es análoga va a requerir ser digitalizada. Una vez

acondicionada la señal se pasa a la etapa de procesamiento donde esta es medida y analizada.

Dependiendo del tipo de modificación que requiera la señal se utilizan distintos instrumentos

para acondicionar la señal.

2.5.2.1 Amplificadores

Los amplificadores son uno de los componentes más importantes en los sistemas de

instrumentación. Se emplean en cada aplicación que requiera aumentar las pequeñas señales que

proporcionan los transductores a un nivel suficientemente elevado para lograr una mejor

adaptación al rango del convertidor análogo-digital para su registro y tratamiento.

2.5.2.2 Atenuadores

Al contrario de los amplificadores, son necesarios cuando las tensiones que se van a digitalizar

están fuera del rango del convertidor análogo-digital. Esta forma de acondicionamiento de la

- 123 -

señal disminuye la amplitud de la señal de entrada de modo que la señal acondicionada quede

dentro del rango de tensión del convertidor.

2.5.2.3 Filtros

Los filtros son circuitos electrónicos que sólo dejan pasar componentes de la señal cuyas

frecuencias estén dentro de la banda designada por el filtro. Estos filtros pueden ser clasificados

como:

2.5.2.3.1 Filtro pasa bajo

Un filtro pasa bajo, es un filtro que elimina todas las componentes que tienen frecuencias sobre

la frecuencia especificada, llamada frecuencia de corte del filtro y deja pasar todas las

componentes de frecuencias que estén bajo dicha frecuencia.

Figura 2. 22. Filtro pasa bajo.

Fuente: http://www.rcubero.es/acustica/Acustica%20Musical.html

2.5.2.3.2 Filtro pasa alto

Al contrario de un filtro pasa bajo, este elimina todas las componentes que tienen frecuencias

bajo la frecuencia de corte del filtro especificada y deja pasar todas las componentes de

frecuencias que estén sobre dicha frecuencia.

- 124 -

Figura 2. 23. Filtro pasa alto.


2.5.2.3.3 Filtro pasa banda.

Un filtro pasa banda es un filtro que sólo deja pasar las frecuencias que están dentro de un rango

de frecuencias especificadas, llamado el ancho de banda del filtro, como se muestra en la figura.

Figura 2. 24. Filtro pasa banda.


2.5.3 Etapa de procesamiento

Es en esta etapa donde se analizan las señales vibratorias con la finalidad de obtener la máxima

información de dicha señal. Existen decenas de formas de procesar una señal, de acuerdo a la

información que se quiera obtener. Si se logra identificar un problema, es decir una componente

que es síntoma de una falla, debemos realizar un seguimiento. Para determinar el grado de

avance de una falla es necesario establecer parámetros en los cuales se pueda dar cuenta de la

condición de la máquina, como por ejemplo medir su amplitud. Existen tres maneras diferentes

para expresar los niveles de la amplitud de vibración. Estas son:

- 125 -

2.5.3.1. Valor pico o amplitud

Corresponde al mayor valor que alcanza la vibración, ya sea un valor positivo o negativo.

Figura 2. 25. Representación valor pico.

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide

2.5.3.2 Valor pico a pico

Indica la distancia entre el máximo y el mínimo valor alcanzados por la señal. Es un parámetro

importante para aplicaciones en las que el desplazamiento vibratorio de una parte de la máquina

es crítico para obtener las máximas tensiones.

Figura 2. 26. Representación valor pico a pico.

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide.

- 126 -

2.5.3.3 Valor RMS (Root Mean Square)

Corresponde al valor de la raíz cuadrada del promedio de los valores instantáneos de la vibración

elevados al cuadrado durante un tiempo T de medición, toma en cuenta todo el historial de la

vibración durante el tiempo de medición y es usado, para definir la severidad de la vibración.

𝑉𝑅𝑀𝑆 = √𝑉1

2 + 𝑉22 + ⋯𝑉𝑁

2

𝑁

(2. 87)

Figura 2. 27. Representación valor RMS.

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide

2.5.4 Etapa de registro

Finalmente, está la etapa de registro, en donde se almacena la señal vibratoria y los resultados

del procesamiento para su posterior visualización.

- 127 -

CAPÍTULO 3

FALLAS COMUNES EN MÁQUINAS ROTATORIAS

La intención principal para analizar y diagnosticar el estado de una máquina es poder determinar

las medidas necesarias para corregir la condición de la vibración; es decir, reducir el nivel de

las fuerzas vibratorias no deseadas y no necesarias. Son las vibraciones las que indican la

condición mecánica de una maquinaría y pueden ser una herramienta que permite predecir la

evolución de un defecto. Es por ello, que es de suma importancia tener conocimiento de las

diferentes causas que generan las vibraciones y sus consecuencias, su comprensión permitirá

interpretar los datos que se puedan obtener, determinando así el tipo de vibración que se

presenta, para así, buscar la corrección de la misma. A continuación, se presentarán los

problemas más comunes que se generan en máquinas.

3.1 Desbalanceamiento

La vibración debido al desbalance de rotores es un problema común en máquinas rotatorias. El

desbalanceamiento es una condición donde el centro de masas del disco no es coincidente con

su centro de rotación. Al girar el rotor se genera una fuerza radial hacia afuera según muestra la

figura 3.1, lo que hace que el eje del rotor se flecte y la fuerza sea transmitida a los descansos

de la máquina (10).

Figura 3. 1. Representación de la fuerza producto del desbalanceo.

Fuente: Análisis de vibraciones de máquinas rotatorias nivel 1, Dr. Ing. Pedro Saavedra

- 128 -

Esta fuerza centrífuga que genera desbalanceamiento se calcula según la siguiente ecuación.

𝐹𝑐 = 𝑚𝑟𝜔2 (3. 1)

Donde 𝑚 es la masa de la partícula, 𝑟 la distancia respecto al eje de rotación donde se ubica la

partícula y 𝜔 la velocidad de rotación.

La fuerza centrífuga es la resultante de dos fuerzas armónicas de igual frecuencia a la misma

velocidad de giro, que actúan en la dirección horizontal y vertical como se muestra en la

siguiente figura.

Figura 3. 2. Componentes de la fuerza centrífuga resultante.


Debido a que las fuerzas que producen desbalanceamiento son sinusoidales, la vibración

generada también será de la misma forma de onda. Al analizar la vibración en el dominio de las

frecuencias, ésta se verá representada por una sola componente de frecuencia 1𝑋𝑅𝑃𝑀, esto será

válido siempre y cuando la máquina tenga un comportamiento lineal perfecto. Sin embargo, en

la realidad siempre existen pequeñas no linealidades en el sistema, generando en el espectro

múltiplos de la velocidad de giro, la presencia de estas componentes distorsiona ligeramente la

forma de onda, obteniéndose una forma de onda aproximadamente sinusoidal (11).

- 129 -

Figura 3. 3. Espectro de un rotor desbalanceado.

Fuente: Técnica de la Demodulación en el Diagnóstico de Fallas en Máquinas Rotatoria, UACh (2002).

Las principales fuentes de desbalanceo son ocasionadas por, falta de simetría producto de

desplazamientos de corazones en la fundición, material no homogéneo inclusiones en materiales

forjados o rolados, excentricidad, desalineamiento de los rodamientos, desplazamiento de las

partes debido a deformación plástica, etc.

El mantener controlado el desbalanceo permitirá evitar fallas por fatiga en estructuras y

elementos asociados al elemento giratorio, incrementar la vida útil de la máquina y prevenir

cargas excesivas en rodamientos debido a sobrecargas, entre otras cosas.

3.2 Desalineamiento

La desalineación es una condición en que las líneas centrales de los ejes no coinciden, se

considera, al igual que el desbalanceamiento uno de los problemas más comunes en máquinas

rotatorias. Dependiendo del tipo de desalineamiento será la representación de la vibración en el

dominio de las frecuencias. Por lo tanto. si las líneas centrales de los ejes desalineados están

paralelas, pero no coinciden, entonces se dice que la desalineación es una desalineación paralela,

y si las líneas centrales se juntan, pero no son paralelas, entonces la desalineación se llama

desalineación angular (6).

- 130 -

3.2.1 Desalineación paralela

Ocurre cuando las líneas centrales de sus ejes son paralelas, y no están a la misma altura, pero

se encuentran alineadas al mismo ángulo respecto a la horizontal. En este tipo de desalineación

se presenta una fuerte vibración radial en 1X con armónicos en 2X y 3X, el amónico 2X puede

alcanzar un valor igual o incluso superior a 1X en dirección radial. En cuanto a la fase de la

vibración radial, se presenta un desfase de 180° (12).

Figura 3. 4. Desalineación paralela.

Fuente: Sinais, Ingeniería de Mantenimiento.

3.2.2 Desalineación angular

Ocurre cuando las líneas centrales de los ejes no están en el mismo ángulo respecto a la

horizontal. En este tipo de desalineación se presenta una fuerte vibración axial en 1X

posiblemente con armónicos en 2X y 3X, el amónico 2X puede alcanzar un valor igual o incluso

superior a 1X en dirección axial. En cuanto a la fase de la vibración axial, se presenta un desfase

de 180° (12).

- 131 -

Figura 3. 5. Desalineación angular.

Fuente: Sinais, Ingeniería de Mantenimiento.

Si el desalineamiento angular o radial toma un carácter más severo, pueden aparecer

componentes desde 4X a 8X, o incluso toda una serie armónica de alta frecuencia. El

desalineamiento puede ser causado por problemas generados en la instalación de componentes

de la máquina, como también, problemas que se generen durante la operación, máquinas con

ejes inicialmente alineados pierden su alineamiento durante su operación debido a problemas

tales como: esfuerzos producidos por deformaciones en cañerías, dilataciones desiguales de la

máquina, deformaciones desiguales bajo carga (10) (11).

3.3 Transmisión por correas

Las correas son la manera más común y de menor costo para transmitir potencia desde un eje a

otro. Aunque ellas no son tan durables, ni capaces de transmitir tanta potencia como las

transmisiones por engranajes, son mucho más baratas, pueden funcionar suavemente, y tienen

buena capacidad para absorber choques y vibraciones. Sin embargo, pueden ser fuente de

vibraciones especialmente en máquinas de herramientas, donde se requieren bajos niveles de

vibración.

- 132 -

3.3.1 Desalineación polea

Dos poleas están desalineadas cuando no se encuentran en el mismo plano. Este problema

produce alta vibraciones predominantes en la dirección axial a 1X del conductor o el conducido,

generalmente el conducido. Para aumentar la vida de una transmisión por correas es muy

importante que la tensión en las correas y el alineamiento de las poleas sean el correcto (12).

Figura 3. 6. Poleas desalineadas.

Fuente: Tutorial de vibraciones para mantenimiento mecánico, A-MAQ.

3.3.2 Poleas excéntricas

Excentricidad se produce cuando una polea gira en torno a un punto que no es su centro

geométrico. Las poleas excéntricas causan alta vibración a 1X de la polea excéntrica. La

amplitud es normalmente la más alta cuando se encuentra alineada con las correas y debe

aparecer tanto en los rodamientos de la polea conductora como en la conducida.

Figura 3. 7. Excentricidad en una polea.

Fuente: Carta ilustrada de diagnóstico de vibración, Ademinsac.

Los problemas de vibraciones que generan las transmisiones por correas se deben al cambio de

tensión que se produce en ellas debido a imperfecciones en la transmisión. Estas pueden

provenir de problemas como, grietas, puntos altos (por ejemplo, debido a una costura),

- 133 -

variaciones en el ancho en correas en V, correas desgastadas o sueltas, correas no iguales o no

igualmente tensadas.

3.4 Engranajes

Muchas máquinas usan conjuntos de engranajes para transmitir el movimiento a otros

componentes de la máquina. Los engranajes y las cajas de engranajes tienen marcas únicas de

vibración que identifican tanto su funcionamiento normal como anormal. La caracterización de

las señales de vibración de una caja de engranajes es difícil de establecer, pero resulta ser una

valiosa herramienta para diagnosticar problemas en la máquina.

Una componente vibratoria importante y permanente al funcionamiento de las cajas de

engranajes es la que se produce a múltiplos de la frecuencia de engrane,𝑓𝑒, es decir, cada vez

que los dientes entran en contacto.

𝑓𝑒 = 𝑍 ∙ 𝑅𝑃𝑀 (3. 2)

Donde 𝑅𝑃𝑀 es la frecuencia de rotación y Z corresponde al número de dientes del engranaje.

Esta componente vibratoria, que es normal al funcionamiento del engrane, se debe a la

desviación en el perfil del diente respecto a su forma ideal de involuta, curva que define la forma

del diente. Esta forma de perfil compleja, es para tener una relación de transmisión de

velocidades constante.

- 134 -

Figura 3. 8. Involuta engranaje.

Fuente: https://es.slideshare.net/luisvaleriovalentin/5-1-engranajes1.

Si los dientes mientras funcionan mantuvieran el perfil de involuta perfecta, el engrane no

generaría vibraciones. Sin embargo, aunque el perfil del diente sea de involuta perfecta, debido

a las fuerzas que se transmiten de un diente al otro cuando ellos hacen contacto, los dientes se

deforman, y pierden la forma de involuta. Las fuentes de tales desviaciones que no se pueden

evitar, y por lo tanto estarán presentes desde que el engrane empieza a trabajar, son:

a) DEFLEXIÓN DEL DIENTE BAJO CARGA

Debido a la deformación de los dientes al transmitir la carga se generarán vibraciones en todo

tipo de engranajes a la frecuencia de engrane y múltiplos. El número de múltiplos que se

observará en el espectro depende del diseño del engrane, especialmente del valor de su relación

de transmisión. Por lo tanto, en algunos engranes solo será distintivo en el espectro solo el primer

armónico de la frecuencia de engrane, mientras que en otros serán distintivos varios armónicos

de la frecuencia de engrane.

Como la causa de las vibraciones a la frecuencia de engrane se debe a la pérdida de forma de

involuta del diente, estas serán de mayor valor entre mayor sea la desviación que alcanza el

perfil del diente respecto a su forma de involuta. Como la deformación del diente depende de la

carga sobre él, las vibraciones a la frecuencia de engrane son muy dependientes de la carga.

- 135 -

Figura 3. 9. Forma de onda y espectro del engranaje debido a carga.


b) ERRORES GEOMÉTRICOS DEBIDO AL PROCESO DE MAQUINADO

A pesar que los engranajes son fabricados en talladoras de precisión, quedan con errores

geométricos de fabricación. Engranajes de mala calidad de fabricación generarán mayores

valores de estas vibraciones normales al engrane, y en algunos casos otras vibraciones, las cuales

dificultarán su diagnóstico.

3.4.1 Desgaste de los flancos de los dientes

Los dientes deslizan durante el contacto entre ellos, en el único instante en que ellos no deslizan,

es cuando hacen contacto en el punto de paso (el cual queda aproximadamente en el medio del

diente) según se muestra en la figura 3.10. Entre más alejado se realice el contacto entre los

dientes desde el punto de paso, mayor será el valor del deslizamiento entre ellos y, por lo tanto,

mayor será el desgaste.

Es decir, el mayor desgaste se producirá en la punta y en la raíz de los dientes y teóricamente

no debería haber desgaste en el punto de paso (al no existir deslizamiento entre los dientes en

ese punto). El desgaste del diente genera un aumento en el valor de las componentes normales

a la frecuencia de engrane ( 𝑓𝑒.).

- 136 -

Figura 3. 10. Espectro típico de dientes desgastados.


El aumento de valor de los armónicos de la frecuencia de engrane con el desgaste de los dientes

no es uniforme, pude indistintamente aumentar más cualquiera de los armónicos de la frecuencia

de engrane. Esto va a depender de la forma de desgaste en los dientes. En general, el desgaste

será frecuentemente más distintivo en el espectro por los cambios en el valor de los altos

armónicos, que a la frecuencia de engrane misma. De aquí, que cuando se monitorea vibraciones

en engranajes, es conveniente incluir al menos los primeros tres armónicos de la frecuencia de

engrane para detectar desgastes en la etapa más temprana posible (11).

3.4.2 Desalineamiento del engrane

Al presentar delineación los engranajes no están haciendo un contacto uniforme a lo largo del

diente. Los engranajes desalineados aumentan el valor de las vibraciones normales a la

frecuencia de engrane y múltiplos, de forma similar al desgaste de los flancos de los dientes.

Es importante que los engranajes trabajen alineados, para aumentar la vida de operación de ellos.

Si los dientes trabajan desalineados, habrá esfuerzos excesivos en una parte del diente, lo que

desgastará aceleradamente esa parte disminuyendo significativamente la vida de ellos, como se

ilustra en la siguiente figura.

- 137 -

Figura 3. 11. Distribución de esfuerzos a lo largo del diente.


La desalineación del engranaje casi siempre excita la armónica de segundo orden 2𝑓𝑒 o una

mayor. A menudo mostrará solo una pequeña amplitud en 𝑓𝑒, pero en niveles más altos como a

2𝑓𝑒 o 3𝑓𝑒 la amplitud aumentará.

Figura 3. 12. Espectros típicos producto de la desalineación de engranajes.


3.4.3 Engranajes con excesivo backlash

Backlash corresponde al juego que queda entre dientes cuando los dientes están haciendo

contacto en el punto de paso. El valor del backlash lo especifica el diseñador entre un valor

- 138 -

máximo y un valor mínimo. Se necesita un mínimo valor del backlash para, absorber las

dilataciones de los dientes y absorber los errores geométricos de fabricación, especialmente los

errores en el paso de los dientes.

Figura 3. 13. Representación de Backlash.

Fuente: www.wikipedia.cl.

Es necesario además que el backlash no sea demasiado grande, pues si esto sucede y los dientes

se separan del contacto, podrán adquirir mucha velocidad y golpearse con el diente de atrás

fuertemente. Uno de los síntomas característico de tener un excesivo backlash entre los dientes,

es el ruido que generan estos encuentros de dientes. Este síntoma es muy útil cuando el proceso

no genera mucho ruido propio.

Este efecto de los dientes que al entrar en contacto lo hacen con el diente que les corresponde y

con el de atrás, genera un doble contacto en cada engrane, por lo que su característica vibratoria

es una componente a 2𝑓𝑒 predominante en el espectro (11).

Figura 3. 14. Espectro debido a Backlash.


- 139 -

3.4.4 Dientes dañados

Cuando una rueda dentada tiene fallas locales como, por ejemplo, dientes rotos, agrietados,

desastillados o picados, se genera una modulación brusca de la componente de engrane

produciendo en el espectro muchas bandas laterales de pequeño valor, con una distancia entre

ellas igual a las RPM del piñón, durante un periodo de engrane. Esto es repetido una vez por

revolución, como se observa en figura x. Determinando la frecuencia a la que se encuentran

separadas las bandas laterales se puede detectar el origen de la rueda en problema.

Un diente agrietado o roto podrá generar una gran amplitud a 1X del engranaje y mostrará un

pico pronunciado cada vez que el diente problemático trate de engranar con los dientes del

engranaje compañero (11).

Figura 3. 15. Espectro diente dañado.


3.5 Rodamientos

Los rodamientos son elementos mecánicos presentes en la mayoría de las máquinas rotativas.

Los principales componentes de un rodamiento incluyen: pista exterior, pista interior, caja y

elementos de rodadura. El deterioro de cada uno de estos elementos generará una o varias

frecuencias características en los espectros de frecuencia que permitirán una rápida y fácil

identificación. A continuación, se presentan los defectos más típicos de rodamientos y su

identificación en el espectro de frecuencias.

- 140 -

Figura 3. 16. Componentes de un rodamiento.

Fuente: www.Google.cl.

3.5.1 Picadura en las pistas de rodadura o en los elementos rodantes

La presencia de un defecto en la superficie de una de las pistas o en los elementos rodantes de

un rodamiento produce una excitación cada vez que el defecto contacta otra superficie rodante.

Los cambios abruptos en los esfuerzos de contacto en las interfaces entre los elementos rodantes

y las pistas cuando un elemento rodante pasa sobre un defecto local, genera una fuerza impulsiva

en el defecto.

Las frecuencias de los impulsos generados por los defectos, y, por lo tanto, de las vibraciones

que ellos generan, son llamadas frecuencias características de falla del rodamiento. Estas

frecuencias características de fallas dependerán de su ubicación, sea ésta sobre la pista interna,

pista externa o en los elementos rodantes.

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Figura 3. 17. Representación medidas rodamientos.


3.5.1.1 Frecuencia de deterioro de la pista interior (BPFI): Corresponde a la frecuencia de paso

de los elementos rodantes por un defecto en la pista interna. Físicamente es el número de bolas

o rodillos que pasan por un punto de la pista interior cada vez que el eje realiza un giro completo.

Para el cálculo de las frecuencias de deterioro de un rodamiento se utiliza la siguiente formula:

𝐵𝑃𝐹𝐼 =𝑅𝑃𝑀 ∙ 𝑛

2(1 +

𝑑 cos𝜙

𝑑𝑚) (3. 88)

𝑑𝑚 =𝐷𝑖 + 𝐷𝑒

2

Donde 𝑑𝑚 es la distancia entre centros de los elementos rodantes, 𝑑 el diámetro de los elementos

rodantes, 𝜙 ángulo de contacto, n el número de elementos rodantes.

Para éste caso, el espectro presenta varios picos armónicos de la frecuencia de deterioro de la

pista interior, normalmente entre ocho a diez armónicos de la BPFI modulados por bandas

laterales a 1x RPM (12).

- 142 -

Figura 3. 18. Espectro correspondiente a una falla en la pista interior.

Fuente: Curso de análisis de vibraciones, Sinais, Ingeniería de Mantenimiento.

3.5.1.2 Frecuencia de deterioro de la pista exterior (BPFO): Corresponde a la frecuencia de paso

de los elementos rodantes por un defecto en la pista externa. Físicamente es el número de bolas

o rodillos que pasan por un punto de la pista exterior cada vez que el eje realiza un giro completo.

Para el cálculo de las frecuencias de deterioro de un rodamiento se utiliza la siguiente formula:

𝐵𝑃𝐹𝑂 =𝑅𝑃𝑀 ∙ 𝑛

2(1 −

𝑑 cos𝜙

𝑑𝑚) (3. 89)

Para esta falla, los espectros se caracterizan por presentar picos armónicos de la frecuencia de

deterioro de la pista exterior entre ocho a diez armónicos de la BPFO (12).

Figura 3. 19. Espectro correspondiente a una falla en la pista exterior.


3.5.1.3 Frecuencia de deterioro de la jaula (FTF): esta frecuencia corresponde al número de giros

que realiza la jaula del rodamiento cada vez que el eje realiza un giro completo. Esta frecuencia

se calcula con la siguiente formula:

𝐹𝑇𝐹 =𝑅𝑃𝑀

2(1 +

𝑑 cos𝜙

𝑑𝑚) (3. 90)

- 143 -

Generalmente un defecto en jaula va acompañado por defectos en pistas y las FTF suelen

modular a estas frecuencias de deterioro de pista como sumas y/o diferencias de frecuencias

Figura 3. 20. Espectro correspondiente a una falla en la jaula.


3.5.1.4 Frecuencia de deterioro de los elementos rodantes (BSF): La frecuencia de giro de los

elementos rodantes se genera cuando un defecto en los elementos golpea en las pistas en cada

giro. Debido a que las bolas no siempre golpean en las pistas cuando están en la zona de carga,

la amplitud de estas es pequeña, pero pueden aparecer como bandas laterales de alguna otra

frecuencia separadas por la BSF. Esta frecuencia se calcula con la siguiente formula:

𝐵𝑆𝐹 =𝑅𝑃𝑀 ∙ 𝑑𝑚

2𝑑[1 − (

𝑑

𝑑𝑚)2

cos2 cos2 𝜙] (3. 91)

El espectro para este caso, se caracteriza por presentar frecuencias de deterioro de los elementos

rodantes (BSF). En la mayoría de las ocasiones, el armónico de mayor amplitud nos suele indicar

el número de bolas o rodillos deteriorados. Normalmente van acompañadas por defectos en pista

(12).

Figura 3. 21. Espectro correspondiente a una falla en el elemento rodante.


- 144 -

3.5.2 Falta de lubricación

Una falta de lubricación en su etapa inicial podría ser considerada como un rozamiento continuo

entre rugosidades uniformemente distribuidas tanto en las superficies de las pistas como de los

elementos rodantes. Por consiguiente, la respuesta estructural del rodamiento será la de un

sistema sometido a una excitación aleatoria. Lo anterior genera “pasto” en el espectro, con zonas

resonantes (aumentos de la magnitud de las componentes) a las frecuencias naturales del

rodamiento y/o de su soporte (11).

3.5.3 Excesivo juego interno de los elementos rodantes

Los rodamientos con excesivo juego interno de los elementos rodantes, generan espectros

vibratorios típicos de solturas mecánicas. Generalmente esto se presenta cuando hay un desgaste

excesivo de los elementos rodantes y de las pistas de rodadura por la presencia de partículas

extrañas en el lubricante, generalmente polvo.

3.5.4 Fases del deterioro en rodamientos

3.5.4.1 Fase 1

En esta fase, el rodamiento se encuentra en perfecto estado con lo cual en el espectro sólo se

aprecian las componentes vibratorias normales de la máquina (1X, 2X, etc.), como se muestra

en la siguiente figura.

Figura 3. 22. Fase 1 del deterioro de un rodamiento.


- 145 -

3.5.4.2 Fase 2

Durante esta etapa, aparecen lecturas de vibración a alta frecuencia, las cuales constituyen el

primer indicador del inicio del deterioro de un rodamiento. Este indicio de falla corresponde a

una grieta microscópica bajo la superficie, cuando pasan los elementos rodantes sobre esta grieta

no se generan vibraciones, pero el cierre de la grieta genera ondas de muy bajo nivel.



3.5.4.3 Fase 3

Aparecen las frecuencias características de defectos y sus armónicos. A medida que el daño

progresa se incrementa la magnitud y la cantidad de los armónicos de las frecuencias de fallo y

aumenta la aceleración a alta frecuencia.



3.5.4.4 Fase 4

Esta es la fase final del rodamiento. Cuando este se encuentra muy dañado aparecen síntomas

similares a holguras y roces. Aparecen, además, ruidos de fondo detectables en aceleración a

- 146 -

altas frecuencias. Aumenta la amplitud de 1x RPM y sus armónicos y disminuyen o desaparecen

las frecuencias de fallo enmascaradas en el ruido de fondo.



- 147 -

3.6 Solturas mecánicas

La vibración característica de una soltura mecánica es generada por alguna otra fuerza de

excitación, como un desbalance o una falta de alineamiento. Sin embargo, las solturas mecánicas

empeoran la situación, transformando cantidades relativamente pequeñas de desbalance o falta

de alineamiento en amplitudes de vibración excesivamente altas. Corresponde por lo tanto decir

que las solturas mecánicas permiten que se den mayores vibraciones de las que ocurrirían de

por sí, derivadas de otros problemas, cambiando de un comportamiento vibratorio lineal que

generalmente tiene la máquina, a un comportamiento no lineal.

Los datos obtenidos nos pueden dar dos posibles resultados bien diferenciados, en función de

los cuales se determina con total fiabilidad la existencia o no de holguras entre ellos. Si los

espectros obtenidos en la misma dirección en los dos elementos presentan amplitudes similares

y además las lecturas de fase son idénticas nos indicarán que existe una buena unión entre los

dos elementos. Por el contrario, si las amplitudes de los picos armónicos de la frecuencia de giro

en las mismas direcciones de medida en los dos elementos son distintas, y además hay

diferencias importantes de fase entre ellas, nos confirmarán la existencia de holguras entre

ambos elementos (12).

Figura 3. 26. Soltura mecánica.

Fuente: Curso de análisis de vibraciones, Sinais, Ingeniería de mantenimiento.

- 148 -

CAPÍTULO 4

DISEÑO BANCO DE PRUEBA

El diseño y construcción del banco de pruebas se realizó, con la finalidad de poder representar

los espectros que son generados en los componentes que forman el banco, al momento de exhibir

alguna falla. Varios fueron los diseños planteados antes del diseño definitivo, diseños que fueron

modificados debido a la imposibilidad de simular todos los defectos propuestos y de observar

los resultados que producían. En el diseño final, el simulador, es una máquina portátil de

pequeñas dimensiones que es accionada mediante un motor eléctrico. Los componentes del

diseño definitivo del simulador son: motor, poleas, correa, rodamientos, ejes, engranajes, freno,

acoplamiento flexible, pernos, golillas y tuercas. El motor y los seis rodamientos van fijos a la

base, por medio de pernos. En el caso del motor, este será sujeto a través de cuatro pernos y en

el de los rodamientos a través de pernos 7/8, con sus respectivas golillas y tuercas. Los demás

elementos son montados sobre los ejes, por medio de chavetas y prisioneros.

El banco de prueba es accionado por un motor eléctrico (2), el que gira a una velocidad de 2800

rpm, unido a él se encuentra la polea motriz (3), la que transmite el movimiento a través de la

correa a la polea conducida (4), la que se encuentra ensamblada al primer eje (5), transmitiendo

la mitad de las revoluciones a éste. Este eje esta soportado sobre rodamientos que le permiten

girar libremente, y sobre él se encuentra montado un engranaje recto, el que puede ser colocado

en dos posiciones dependiendo de la falla a analizar. El movimiento es transmitido a un segundo

eje (6), a través de los engranajes (7), en este caso, ambos engranajes se encuentran fijos a él

por medio de chavetas y prisioneros. Al igual que el primero, el segundo eje también está

montado sobre rodamientos, las dimensiones de este son mayores, ya que sobre él también se

encuentra fijo el disco (9), quien permitirá aplicar carga al sistema al accionar el mango de freno

(8). Finalmente se encuentra el acoplamiento flexible (10), el que une éste segundo eje con un

tercero (11) y permite desalinear angularmente ambos ejes, como se muestra en la siguiente

figura.

- 149 -

Figura 4. 1. Banco de ensayo.


1. Variador de Frecuencia.

2. Motor Eléctrico.

3. Polea Motriz.

4. Polea Conducida.

5. Eje 1.

6. Eje 2.

7. Engranaje Recto.

8. Mango de freno.

9. Disco.

10. Acoplamiento flexible.

11. Eje 3.

Tabla 4. 1. Componentes banco de ensayo.


Éste proyecto se realizó con fines educativos, con el objetivo principal de poder afianzar el saber

teórico- práctico del curso de vibraciones, además de brindar a los estudiantes de la Escuela de

Ingeniería Mecánica de la PUCV, las herramientas para poder desenvolverse al momento de

estar bajo una situación de estas características en el mundo laboral. A continuación, se hace

mención a todos los componen que forman este banco, los criterios que se usaron para su

selección y sus características principales.

- 150 -

4.1 Componentes del banco de ensayo de vibraciones

4.1.1 Motor eléctrico.

Un motor eléctrico es una máquina eléctrica que transforma energía eléctrica en energía

mecánica por medio de campos magnéticos variables, los motores eléctricos se componen en

dos partes, una fija llamada estator y una móvil llamada rotor. Atendiendo al tipo de corriente

utilizada para su alimentación se clasifican en:

Figura 4. 2. Clasificación motor eléctrico


Motor eléctrico

Corriente Alterna

Motores síncronos

Motores asíncronos

Monofásico

De bobinado auxiliar

De espira en corto circuito

Universal

Trifásico

De rotor bobinado

De rotor en cortocircuito(jaula de ardilla)

CorrienteContinua

De excitación independiente

De excitación serie

De excitación (shunt) o derivación

De excitación compuesta (compund)

- 151 -

Todos los motores de corriente continua, así como los síncronos de corriente alterna incluidos

en la clasificación anterior tienen utilizaciones y aplicaciones muy específicas.

Los motores de corriente alterna asíncronos, tanto monofásicos como trifásicos, son los que

tienen una aplicación más generalizada gracias a su facilidad de utilización, poco mantenimiento

y bajo costo de fabricación. Los motores monofásicos son muy parecidos a los trifásicos, con el

inconveniente de que su rendimiento y factor de potencia son inferiores. A igual potencia, el

monofásico es más voluminoso que el trifásico. Por ello, se seleccionó un motor asíncrono

trifásico jaula de ardilla.

4.1.1.1. Motor asíncrono trifásico

Es un motor de corriente alterna cuyo rotor nunca llega a girar en la misma velocidad de giro

con la que lo hace el campo magnético del estator, debido a la fricción del rotor en los cojinetes,

rozamiento con el aire y a la carga acoplada al eje del rotor. Constan de dos partes fundamentales

y distintas:

a) El estator

Parte fija del motor. Está constituido por una carcasa en la que está fijada una corona de chapas

de acero al silicio provistas de unas ranuras. Los bobinados de sección apropiada están

dispuestos en dichas ranuras formando las bobinas que se dispondrán en tantos circuitos como

fases tenga la red a la que se conectará la máquina.

Figura 4. 3. Estator

Fuente: Motores de corriente alterna, Departamento de SAP.2011

- 152 -

b) El rotor

Parte móvil del motor. Está situado en el interior del estator y consiste en un núcleo de chapas

de acero al silicio apiladas que forman un cilindro, en el interior del cual se dispone un bobinado

eléctrico.

b.1) Rotor de jaula de ardilla

Los conductores del rotor están distribuidos por la periferia del rotor. Los extremos de estos

conductores están cortocircuitados, por tanto, no hay posibilidad de conexión del devanado del

rotor con el exterior. La posición inclinada de las ranuras mejora las propiedades de arranque y

disminuye los ruidos.

Figura 4. 4. Rotor jaula de ardilla.

Fuente: https://www.todoexpertos.com/preguntas/6urnxeyt698frkkn/en-los-motores-asincronicos-hay-dos-tipos-de-rotores

4.1.1.1.1 Funcionamiento

Su funcionamiento se basa en la interacción de campos magnéticos producidos por corrientes

eléctricas. Las corrientes que circulan por el rotor son producidas por el fenómeno de inducción

electromagnética, conocido comúnmente como ley de Faraday, que establece que, si una espira

es atravesada por un campo magnético variable en el tiempo, se establece entre sus extremos

una diferencia de potencial (13).

- 153 -

Para realizar el diseño del banco de pruebas para la simulación de fallas, se ha decidido utilizar

un motor de corriente alterna asíncrono, trifásico, jaula de ardilla de potencia 3/4 HP a 2800

rpm, dos polos, marca siemens. El motor se encuentra unido a un sistema de poleas,

transmitiendo movimiento al resto de los elementos que forman la maqueta. Para los datos

técnicos del motor ver Anexo A.1.

4.1.2 Base

Corresponde a la superficie donde se instalarán todos los elementos que forman parte del banco

de pruebas. Está formada por una plancha de polipropileno de 1000 milímetros de largo por 400

milímetros de ancho. El Polipropileno, es un polímero de amplia variedad de aplicaciones

incluyendo embalaje, industria textil, equipos de laboratorio y lo más reciente en la industria de

la construcción. Es un plástico de bajo costo, alta resistencia química a los disolventes, alta

resistencia a la fractura por flexión o fatiga; buena resistencia al impacto a temperaturas

superiores a los 15 °C; buena estabilidad térmica; soldable y liviano. Por ello, se decidió fabricar

la base de la maqueta de éste material, ya que cumple con una de las condiciones más

importantes del diseño, que es crear un banco de prueba de fácil traslado.

Figura 4. 5. Plancha de polipropileno.


- 154 -

4.1.3 Acoplamiento

Son elementos de máquinas que permiten comunicar el movimiento entre dos ejes en línea recta

con dirección paralela, inclinada o en planos diferentes. El fundamento principal del

acoplamiento es transmitir permanentemente el par requerido desde el eje motor al eje

conducido, al mismo tiempo compensar el desalineamiento angular o paralelo o una

combinación de ambos. Los acoplamientos se clasifican en dos tipos, rígidos y flexibles.

Figura 4. 6. Clasificación acoplamientos

Fuente: Elaboración propia

Los acoplamientos rígidos se diseñan para unir dos ejes de manera que no sea posible que se

genere movimiento relativo entre ellos, deben emplearse solo cuando la alineación de los ejes

pueda mantenerse con mucha precisión, a diferencia de estos, los acoplamientos flexibles son

diseñados de tal manera que sean capaces de transmitir torque con suavidad, en tanto permiten

compensar cierta desalineación axial, radial o angular. Por esta razón, se ha seleccionado un

acoplamiento flexible con elastómero tipo estrella, marca lovejoy, ya que, es necesario

evidenciar en el banco de prueba desalineaciones.

Acoplamientos

Rígidos

De manguito

De plato

De brida

Flexibles

De elementos deslizantes

De engranaje

De cadena

De rejilla de acero

De elementos flexionantes

Con elemento metálico

Con elemento elastómero

- 155 -

4.1.3.1 Acoplamiento flexible con elastómero tipo estrella

Este tipo de acoplamientos incorporan un componente de caucho, que ofrece una buena

resistencia y una larga vida útil. El componente de caucho amortigua los choques y ofrece una

transmisión de potencia suave y silenciosa.

Este tipo de acoplamiento absorbe la desalineación por la flexión de uno o más de sus

componentes. El montaje es muy sencillo, debido a que el componente de caucho es una

inserción partida, por lo que se puede montar después de haber alineado los ejes.

Figura 4. 7. Acoplamiento flexible.

Fuente: Catálogo acoplamientos elastoméricos lovejoy, Ducasse Comercial LTDA.

4.1.3.2 Dimensionamiento acoplamiento

La selección del acoplamiento se realizó de acuerdo al procedimiento recomendado por el

fabricante. Según lovejoy, el proceso de selección para determinar el tamaño apropiado del

acoplamiento de mordaza comienza determinando el torque nominal (14).

El torque nominal a transmitir está en función de la potencia a transmitir y de la velocidad de

rotación, según se muestra en la siguiente formula

𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =(𝐻𝑝 ∙ 63025)

𝑟𝑝𝑚(𝑖𝑛 − 𝑙𝑏) (4. 1.)

- 156 -

𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =(𝑘𝑤 ∙ 9550)

𝑟𝑝𝑚(𝑁𝑚) (4. 2.)

Reemplazando la potencia del motor de 0,75(ℎ𝑝)/0,56(𝑘𝑤) y una velocidad de rotación de

1400(𝑟𝑝𝑚) en la ecuación (4.1 - 4.2), se tiene

𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 33,76(𝑖𝑛 − 𝑙𝑏)

𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 3,82 (𝑁𝑚)

En el cálculo del torque nominal interviene el factor de servicio que se obtiene en función del

tipo de máquina a acoplar, el tipo de máquina motriz y las horas diarias de funcionamiento.

Debido a que la carga es uniforme, la maquina motriz utilizada es un motor eléctrico y la

duración diaria de funcionamiento como máximo será de 1-3 horas, el factor de servicio

seleccionado es 1.

Seleccionado el factor de servicio (ver Anexo A.2), se determina el torque de diseño. El torque

de diseño se calcula multiplicando el torque nominal por el factor de servicio.

𝑇𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 ∙ 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 (4. 3.)

𝑇𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 3,82 (𝑁𝑚)

𝑇𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 33,76(𝑖𝑛 − 𝑙𝑏)

Una vez calculado el torque de diseño, se selecciona el elastómero según las características que

mejor se adapte a la aplicación mostrada en el Anexo A.2. Dado que no existen condiciones

ambientales especiales, y la capacidad de amortiguación es alta, se selecciona el material

elastómero NBR.

Finalmente teniendo los valores del torque de diseño y el material del elastómero, se determinan

las dimensiones del acoplamiento. Como el acoplamiento seleccionado, debe tener como

- 157 -

mínimo, una capacidad de transmisión nominal igual o superior a la calculada, se seleccionó un

acoplamiento L070, para un 𝑇𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 3,8 (𝑁𝑚) y un elastómero NBR (ver Anexo A.2).

4.1.4 Rodamientos

Un rodamiento es un elemento mecánico que se sitúa entre dos componentes de una máquina,

con un eje de rotación común, de forma que un componente puede girar respecto al otro. Son de

fácil lubricación, ya sea por grasas o aceites, tienen la capacidad de soportar cargas radiales y

axiles y versatilidad en el montaje y ubicación de ejes.

Los componentes básicos de un rodamiento son, anillo exterior, anillo interior, cuerpos rodantes

(bolas o rodillos), jaula o separador.

Figura 4. 8. Componentes básicos de un rodamiento.

Fuente: http://www.aficionadosalamecanica.com/hazlo-rodamientos.htm

Los elementos de rodadura pueden ser bolas, rodillos, conos, esferas o agujas. En general, suelen

fabricarse con una aleación de acero al cromo de gran pureza. También suelen utilizarse

materiales especiales tales como cerámica y plásticos.

Los elementos de rodadura ruedan sobre los caminos de rodadura formados especialmente en

los anillos o discos, y se mantienen separados y guiados por la jaula.

- 158 -

De acuerdo a las cargas que son capaces de soportar los rodamientos, se pueden clasificar en

tres categorías según muestra la figura 4.8.

Figura 4. 9. Clasificación según las cargas que son capaces de soportar.


Cada tipo de rodamiento presenta propiedades características según el diseño que los hace más

o menos apropiados para una determinada aplicación. Por ser de uso general, operar a

velocidades elevadas, ser de fácil mantenimiento y soportar cargar radiales, axiales y una

combinación de éstas, se seleccionó un rodamiento de bolas.

Las dimensiones principales del rodamiento están predeterminadas por el diseño de la máquina,

como era necesario tener dimensiones pequeñas, el diámetro del eje de 12 mm determinó el

diámetro del agujero del rodamiento. Las cargas a que la maqueta estará sometida son de ligeras

a normales, en cuanto a la dirección de estas, el rodamiento debe soportar cargas radiales como

también axiales.

Otra consideración que se tomó al momento de seleccionar los rodamientos, fue la capacidad de

estos de encargarse de desalineaciones, como también desviaciones del eje que se pueden

presentar debido a errores de mecanizado, pero principalmente debido al montaje de estos, por

Rodamientos

Radial

BolasRígido de bolas

De bola a rótula

Rodillo

De rodillos cilíndricos

De rodillos a rótula

Axial

BolasDe bolas con

contacto angular 1 o 2 hileras

Rodillo De rodillos cónicos

Radial-Axial

BolasAxial de bolas de

simple y doble efecto

RodilloAxial de rodillo a

rótula

- 159 -

esta razón se decidió seleccionar rodamientos autoalineables. Para facilitar la instalación de

estos y disminuir costos de fabricación, se determinó utilizar soportes de fundición de hierro

que en su interior mantienen insertos los rodamientos. Para conocer las dimensiones

correspondiente a los rodamientos elegidos ver anexo A.3

4.1.4.1 Características del soporte con rodamiento orientable

a) Autoalineamiento

El anillo externo del rodamiento está rectificado de forma esférica para acoplarse en el

alojamiento del soporte, construido también de forma esférica, afín de conseguir el

autoalineamiento.

b) Construcción interna del rodamiento

Estos rodamientos pueden trabajar con cargas radiales, con cargas axiales o con una

combinación de las mismas.

Este rodamiento tiene una posibilidad de carga notablemente superior a la de los rodamientos

autoalineables a bolas de doble hilera usados en cualquier otro tipo de soporte.

c) Fijación del rodamiento

El rodamiento del soporte orientable está sujeto, por dos tornillos prisioneros situados en la

prolongación del anillo interno.

d) Solidez del soporte

El cuerpo del soporte está construido de una sola pieza lo cual garantiza una máxima solidez y

duración.

e) Intercambiabilidad del rodamiento respecto al soporte

Una completa intercambiabilidad del rodamiento en el soporte permite un fácil recambio en el

caso de que este fuera necesario.

- 160 -

Componentes Material

Rodamiento Anillo interior y exterior Carbono cromado

Bolas Acero

Retén protector Acero laminado en frío

Prisionero Acero

Soporte Fundición

Tabla 4. 2. Material de los componentes del pillowblocks.

Fuente: Catálogo rodamientos ASAHI.

4.1.5 Poleas

Está formada por una rueda móvil alrededor de un eje, que presenta un canal en su

circunferencia. Por esa garganta atraviesa una correa de trasmisión de material elástico. En toda

polea se distinguen tres partes:

a) Cuerpo

El cuerpo es el elemento que une el cubo con la garganta. En algunos tipos de poleas está

formado por radios o aspas para reducir peso y facilitar la ventilación de las máquinas en las

que se instalan.

- 161 -

b) Cubo

El cubo es la parte central que comprende el agujero, permite aumentar el grosor de la polea

para aumentar su estabilidad sobre el eje. Suele incluir un chavetero que facilita la unión de la

polea con el eje.

a) Garganta

La garganta (o canal) es la parte que entra en contacto con la correa y está especialmente

diseñada para conseguir el mayor agarre posible. Puede adoptar distintas formas plana,

semicircular, triangular, etc., pero la más empleada es la trapezoidal.

Figura 4. 10. Partes principales de una polea.

Fuente: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/operadores/ope_polea.htm

Las poleas tienen diferentes características según sea la clase de correas que portan. Así por

ejemplo en las correas planas la polea puede ser un tambor o un disco cualquiera, mientras que

para correas redondas o en V, las poleas tienen acanaladuras de sección semicircular o

trapezoidal y para las correas sincrónicas, las poleas son ruedas dentadas. En la figura 4.10 se

muestran algunas clases de poleas.

- 162 -

Figura 4. 11. Distintos tipos de poleas. a) Para correas en V o trapezoidales, b) Para correas planas, c) Para correas

circulares, d) Para correas sincrónicas.

Fuente: Tulio Piovan, Marcelo. Proyecto de elementos de transmisión flexibles, 2014.Archivo PDF

Básicamente la polea se utiliza para transmitir un movimiento giratorio de un eje a otro. La

trasmisión entre ejes puede ser realizada a través de diferentes formas, adicionalmente a los

engranajes se usan elementos flexibles, tales como correas, cadenas y cables.

4.1.5.1 Correas

Las transmisiones por medio de correas absorben vibraciones y choques de los que sólo tienden

a transmitir un mínimo al eje arrastrado. Son estas transmisiones adecuadas para distancias entre

ejes relativamente grandes, actuando bajo condiciones adversas de trabajo (polvo, humedad,

calor, etc.), son además silenciosas y tienen una larga vida útil sin averías ni problemas de

funcionamiento. Existen varios tipos característicos de correas, en la figura 4.11 se muestran

algunos ejemplos.

- 163 -

Figura 4. 12. Diferentes clases de correas. a) Correas Planas, b) Correas Redondas, c) Correas en V, d) Correas

Sincrónicas, e) Correas planas segmentadas.

Fuente: Tulio Piovan, Marcelo. Proyecto de elementos de transmisión flexibles, 2014.Archivo PDF.

Debido a que tienen gran versatilidad en cuanto a la disposición de ejes, un montaje y

desmontaje sencillo, no necesitan un mayor mantenimiento, corresponde a una transmisión

económica y cumplen con los requerimientos de dimensión que son necesarios en el banco de

prueba, se decidió utilizar una transmisión de polea con correas en V.

4.1.5.1.1 Transmisión de poleas con correa en v

Este tipo de transmisión está basado en la polea, y se utiliza cuando la distancia entre los dos

ejes de rotación es grande. El mecanismo consiste en dos poleas que están unidas por una misma

correa, y su objetivo es transmitir del eje de una de las poleas al de la otra.

Ambas poleas giran solidarias al eje y arrastran a la correa por adherencia entre ambas. La

correa, a su vez, arrastra y hace girar la otra polea (polea conducida o de salida), transmitiéndose

así el movimiento. El número de revoluciones de cada eje vendrá dado por el tamaño de las

poleas, de modo que, la polea mayor girará a una velocidad más baja que la polea menor.

4.1.5.1.2 Dimensionamiento polea y correa

La selección y dimensionamiento de las poleas y correa se realizó basándose en la información

presentada en el libro Diseño y Selección de elementos de máquinas (J. Castillo).

- 164 -

Para diseñar una transmisión por correa trapecial se deben conocer ciertas condiciones de

trabajo, tales como

Potencia motor 34⁄ (ℎ𝑝)

Velocidad de rotación 2800(𝑟𝑝𝑚)

Relación de transmisión 12⁄

Tabla 4. 3. Condiciones de trabajo.


El primer paso para poder determinar las poleas y correa es corregir la potencia a transmitir.

Para determinar la potencia de diseño se emplea una simple fórmula donde se relacionan la

potencia del motor o elemento motriz y el factor de servicio que predice los incrementos de

carga que se producen en las correas, de acuerdo con los diferentes tipos de máquinas en las que

se instalará la transmisión (ver Anexo A.4).

𝑃𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 𝐹𝑠 ∙ 𝑃𝑀 (4. 4.)

Donde 𝐹𝑠 corresponde al factor de servicio y 𝑃𝑀 la potencia del motor. De acuerdo a las

características de motor y según la aplicación, se seleccionó un factor de servicio de 1.4, según

tabla (ver Anexo A.4). Reemplazando los valores en la ecuación 4.4, se tiene que

𝑃𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 1,4 ∙3

4 (ℎ𝑝)

𝑃𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 1,05(ℎ𝑝)

En función de la potencia de diseño y de las revoluciones de giro de la polea más rápida, es

posible seleccionar el tipo de perfil de la correa por implementar en la transmisión, mediante el

siguiente gráfico.

- 165 -

Tabla 4. 4. Determinación del perfil de la correa.

Fuente: Diseño y Selección de elementos de máquinas, Juan Castillo.

De la gráfica se obtiene que para una potencia de diseño de 1,05 hp versus 2800 rpm a la que

girará la polea motriz, el perfil de la correa corresponderá al tipo sección A. Una vez conocido

el perfil de la correa a utilizar, se puede obtener el diámetro primitivo mínimo recomendado de

la polea motriz.

Cuando la polea conductora va instalada a un motor eléctrico, no es recomendable emplear

poleas de diámetros muy pequeños, puesto que esto reduce la vida útil de las correas y también

de los rodamientos de los motores. Por esta razón, según la potencia y velocidad de giro del

motor, se selecciona el diámetro primitivo mínimo recomendado para la polea motriz.

Para una potencia del motor de 0,75 hp a 2800 rpm, no hay un diámetro mínimo según muestra

la tabla (Ver Anexo A.4). Por consiguiente, se seleccionó el menor diámetro fabricado en poleas

de aluminio según catálogo ducasse (𝑑𝑝 = 50(𝑚𝑚)), cumpliendo con la condición de mantener

dimensiones pequeñas en el banco de prueba.

- 166 -

Para determinar el diámetro de la polea conducida, es necesario conocer la relación de

transmisión. Como se requiere que la velocidad de rotación disminuya a la mitad, la relación de

transmisión será igual a 𝒾 =1

2.

𝜃1𝑛1 = 𝜃2𝑛2

𝜃1

𝜃2=

𝑛2

𝑛1= 𝒾 (4. 5.)

Donde 𝜃1 es el diámetro de la polea motriz, 𝑛1 su velocidad de giro, y 𝜃2 y 𝑛2 son el diámetro

y velocidad de giro de la polea conducida.

Reemplazando los valores establecidos anteriormente en la ecuación (4.5), se tiene que

50(𝑚𝑚)

𝜃2=

1

2

𝜃2 = 100(𝑚𝑚)

Se obtiene que el diámetro primitivo de la polea conducida debe ser de 100 (mm). Según la tabla

4.14, el valor más cercano al obtenido es de 102 (mm), por lo que se elige dicho valor para el

diámetro de la polea conducida.

La distancia entre centros de los ejes es un factor importante de considerar puesto que afecta la

capacidad de transmisión de las correas, sobre todo cuando la diferencia entre los diámetros de

las poleas conductora y conducida es significativa. Esto se debe a que cuando las poleas están

demasiado cerca una de la otra, las correas forman un ángulo más abierto sobre la polea más

pequeña disminuyendo su área de contacto y, en consecuencia, mermando su capacidad de

transmisión. Lo ideal es que el arco de contacto de las correas sobre la polea pequeña, este entre

120 a 180 grados.

- 167 -

Figura 4. 13. Representación dimensiones correas.

Fuente: Catalogo transmisión de potencia poleas en V, Intermec.

Para la mayoría de las transmisiones por correas en V la distancia entre centros recomendada se

obtiene sumando el diámetro de la polea mayor con el de la polea menor y multiplicando el

resultado por 1,5.

𝐶 = 1,5(𝐷 + 𝑑) (4. 6.)

Donde C es la distancia entre centros, D el diámetro de la polea mayor y d el diámetro de la

polea menor.

𝐶 = 1,5(102(𝑚𝑚) + 50(𝑚𝑚))

𝐶 = 228(𝑚𝑚)

Reemplazando los diámetros elegidos anteriormente para ambas poleas, la distancia entre

centros recomendada será de 228 (mm).

Sin embargo, la distancia podrá ajustarse según requerimientos de montaje hasta máximo dos

veces la suma de los diámetros de las poleas y mínimo 0,7 veces.

Distancia máxima entre centros

𝐶 = 2(𝐷 + 𝑑) (4. 7.)

𝐶 = 2(102(𝑚𝑚) + 50(𝑚𝑚))

- 168 -

𝐶 = 304(𝑚𝑚)

Distancia mínima entre centros

𝐶 = 0,7(𝐷 + 𝑑) (4. 8.)

𝐶 = 0,7(102(𝑚𝑚) + 50(𝑚𝑚))

𝐶 = 106(𝑚𝑚)

Luego de calcular la distancia entre centros, se calcula la longitud primitiva de la correa

mediante la siguiente expresión

𝐿𝑝 = 2𝐶 + 1,57(𝐷𝑝 + 𝑑𝑝) +(𝐷𝑝 − 𝑑𝑝)

2

4𝐶 (4. 9.)

Reemplazando los valores de diámetros primitivos y distancia entre centros antes calculados en

la ecuación (4.9), se tiene

𝐿𝑝 = 2 ∙ 228(𝑚𝑚) + 1,57(102(𝑚𝑚) + 50(𝑚𝑚)) +(102(𝑚𝑚) − 50(𝑚𝑚))2

4 ∙ 228(𝑚𝑚)

𝐿𝑝 = 698(𝑚𝑚)

Conociendo la longitud y la sección utilizada de la correa, se consulta la tabla en el Anexo A.4,

que da la identificación de la correa adecuada. Según lo anteriormente mencionado, se

seleccionó una carrea A 2612⁄ .

Debido a que la correa seleccionada tiene un largo diferente al valor calculado se debe ajustar

la distancia entre centros acercando o alejando los ejes. Por lo tanto para una correa A 26 12⁄ ,

su largo primitivo es 700 (mm).

- 169 -

𝐿𝑝 = 2𝐶 + 1,57(𝐷𝑝 + 𝑑𝑝) +(𝐷𝑝 − 𝑑𝑝)

2

4𝐶

4𝐶 ∙ 𝐿𝑝 − 6,28𝐶(𝐷𝑝 + 𝑑𝑝) − 8𝐶2 = (𝐷𝑝 − 𝑑𝑝)2

8𝐶2 − 1845,44𝐶 + 2704 = 0

𝐶 =1845,44 ± √3319120,7936

16

𝐶1 = 1,47(𝑚𝑚)

𝐶2 = 229,21(𝑚𝑚)

Por lo tanto la distancia entre centros definitiva es 229(𝑚𝑚), la otra raíz no se considera ya que

su valor es pequeño e inconsistente con los datos.

Finalmente, la cantidad de correas a utilizar en la transmisión se determina según siguiente

formula

𝑧 =𝑃𝑀 ∙ 𝑓𝑠

𝑁1 ∙ 𝐶2 ∙ 𝐶3 (4. 10.)

Donde 𝑁1 corresponde a la potencia nominal transmitida por correa en hp, 𝑓𝑠 el factor de

servicio, 𝑃𝑀 la potencia motor en hp, 𝐶2 el factor de corrección del largo de la correa y 𝐶3 el

factor de corrección del arco de contacto.

Reemplazando los valores de los factores de corrección obtenidos en las tablas (Ver Anexo A.4)

según corresponda en la ecuación (4.10), se obtiene que el número de correas a utilizar es 1.

𝑧 =0,75 ∙ 1,4

2,07 ∙ 0,97 ∙ 0,78

𝑧 = 0,67

𝑧 ≈ 1

- 170 -

4.1.6 Freno

Un freno es un dispositivo utilizado para detener o disminuir el movimiento de algún cuerpo,

generalmente, un eje, árbol o tambor. Los frenos transforman energía cinética de un cuerpo en

calor o trabajo, por lo que se consideran extractores de energía. La capacidad de frenado depende

de la fuerza o presión entre el freno y la superficie a frenar, del coeficiente de fricción y de la

facilidad que tenga el freno en disipar el calor equivalente a la energía absorbida. Los frenos se

pueden clasificar según su funcionamiento y según su accionamiento.

Figura 4. 14. Clasificación frenos según funcionamiento y accionamiento.


El banco de prueba se realizó con la finalidad de representar los espectros que producen ciertas

fallas en máquinas rotatorias ejemplificando así, lo que ocurre a nivel industrial. Por ello, es

Freno

Funcionamiento

Freno de Fricción

Freno de Disco

Freno de llanta

Freno de cinta o banda

Freno de Tambor

Accionamiento

Freno Mecánico

Freno Hidraúlico

Freno Eléctrico

Freno Neumático

- 171 -

necesario considerar las condiciones de carga que pueden afectar al sistema. Estas condiciones

se representan en el banco de prueba con un sistema de frenado. Por ser un sistema que entrega

una mayor potencia de frenado con una escasa fuerza, necesita poco mantenimiento, es ligero y

tiene las dimensiones adecuadas para el banco de prueba, se decidió utilizar un freno de disco

hidráulico de bicicleta.

4.1.6.1 Freno hidráulico

Los frenos hidráulicos son dispositivos que utilizan la resistencia que tienen los líquidos a fluir

para frenar un sistema, estos dispositivos disipan la potencia en forma de calor. Los frenos

hidráulicos son los más ampliamente difundidos por disipar grandes cantidades de potencia con

un costo de montaje relativamente bajo, además de ser muy durables y de fácil mantenimiento.

4.1.6.1.1 Funcionamiento

Un freno de disco hidráulico incorpora un pistón maestro en la maneta de freno, un manguito

de frenos hidráulico, dos o más pistones esclavos situados en la pinza, y un fluido hidráulico

(líquido de frenos o aceite mineral). El frenado se consigue oprimiendo la maneta de freno, lo

cual empuja el pistón maestro dentro del cuerpo de la maneta e impulsa el líquido dentro del

manguito de frenos. Con ello el líquido llega al interior de la pinza y presiona contra los pistones

esclavos. Las pastillas de freno van fijadas a los pistones esclavos, para que, cuando el líquido

de frenos ejerza presión contra los pistones, las pastillas de freno hagan pinza sobre el rotor.

Una vez que las pastillas han hecho contacto con el rotor, si se ejerce más fuerza sobre la maneta

de freno, aumenta la presión dentro del sistema y, con ello, la fuerza de inmovilización con la

que la pinza aprisiona el rotor.

Son varios los factores que intervienen en el funcionamiento de un freno de disco hidráulico. La

fuerza con que se comprime la maneta de freno, unida a la relación de palanca (factor de

multiplicación de dicha fuerza producido por el sistema hidráulico) da lugar a una fuerza de

inmovilización en la pinza. Esa fuerza de inmovilización, unida al efecto del material del que

están hechas las pastillas de freno, produce una fricción en el rotor. La cantidad de fricción, en

combinación con el diámetro del rotor, es lo que genera la fuerza de frenado. La fuerza de

- 172 -

frenado, junto con la duración de la acción de frenado, determina lo rápido que se reducirá la

velocidad, así como la cantidad de calor generada en el proceso (15).

4.1.6.1.2 Componentes del sistema hidráulico

1. Maneta del freno.

Las manetas de freno suelen diseñarse con el cilindro maestro en dos posibles configuraciones:

radial o en línea. En los diseños radiales, el cilindro maestro va colocado perpendicularmente al

manillar, mientras que en los diseños en línea el cilindro maestro va aproximadamente paralelo

al manillar. La principal diferencia entre estos dos diseños es la posición del pivote de la maneta

de freno, que puede tener un enorme impacto sobre la ergonomía de la maneta.

2. Manguito de freno.

El manguito de freno conecta la maneta con la pinza. Es también un aspecto fundamental para

el diseño y el funcionamiento general del freno. Los manguitos de freno están especialmente

diseñados para soportar presiones internas de más de 138 bar sin deformarse ni dilatarse

significativamente.

Figura 4. 15. Partes del sistema hidráulico de bicicleta.

Fuente: http://rykybike.blogspot.cl/2013/11/descripcion-de-los-frenos-de-disco.html

http://rykybike.blogspot.cl/2013/11/descripcion-de-los-frenos-de-disco.html

- 173 -

3. Pinza de freno.

Los pistones esclavos de la pinza de freno suelen utilizar juntas especiales que se flexionan

ligeramente cuando los pistones y las pastillas se ven empujados hacia el rotor al frenar. Al

soltar el freno, las juntas de los pistones se relajan y tiran del conjunto pistón/pastilla alejándolo

del rotor. Esto es lo que se conoce como “retracción de las pastillas”.

Figura 4. 16. Funcionamiento del pistón esclavo.


4. Rotor.

Es el encargado de frenar la rueda gracias a la fricción con las pastillas de frenado. Tienen

distintos tamaños, pero lo habitual es el uso de 160 mm o 180 mm de diámetro. Puesto que la

mayor parte del calor queda aislada en el rotor, los rotores se diseñan para que absorban y disipen

adecuadamente el calor.

Se utilizan recortes y orificios en el rotor para aumentar la superficie total con objeto de facilitar

la disipación al aire de este calor por convección, así como para limpiar la suciedad y el polvo

de frenado procedente de las superficies de las pastillas.

- 174 -

Figura 4. 17. Rotor.


4.1.7 Variador de frecuencia

Un variador de frecuencia es un sistema para el control de la velocidad rotacional de un motor

de corriente alterna (AC) por medio del control de la frecuencia de alimentación suministrada

al motor. El banco de ensayo debe operar para poder realizar mediciones a varias velocidades y

así tener un análisis más completo, por ello se seleccionó un variador de frecuencia que permite

esta modificación en el funcionamiento del motor, la selección se realizó basándose en la

potencia eléctrica de funcionamiento del motor, para un motor de 0,55 [Kw] se seleccionó el

variador Mitsubishi D700, quien cumple con las siguientes características: fácil de instalar, el

dial de configuración digital integrado con pantalla permite una configuración rápida y sencilla,

operación simple: control digital integrado, capacidad de 1 HP y dimensiones pequeñas e

instalación sencilla.

- 175 -

Figura 4. 18. Variador de frecuencia Mitsubishi D700.

Fuente: https://www.rhona.cl.

4.1.8 Engranajes

Se denomina engranaje al mecanismo utilizado para transmitir potencia mecánica entre las

distintas partes de una máquina. Los engranajes están formados por dos ruedas dentadas, de las

cuales a la mayor se le denomina corona y al menor piñón. Un engranaje sirve para transmitir

movimiento circular mediante contacto de ruedas dentadas. Una de las aplicaciones más

importantes de los engranajes es la transmisión del movimiento desde el eje de una fuente de

energía, como puede ser un motor de combustión interna o un motor eléctrico, hasta otro eje

situado a cierta distancia y que ha de realizar un trabajo. De manera que una de las ruedas está

conectada por la fuente de energía y es conocido como engranaje motor y la otra está conectada

al eje que debe recibir el movimiento del eje motor y que se denomina engranaje conducido. Si

el sistema está compuesto de más de un par de ruedas dentadas, se denomina tren de engranajes.

La principal clasificación de los engranajes se efectúa según la disposición de sus ejes de

rotación y según los tipos de dentado. Según estos criterios existen los siguientes tipos de

engranajes:

- 176 -

Figura 4. 19. Clasificación engranajes.


Puesto que, se necesita transmitir movimiento entre ejes paralelos, y por ser el tipo de engranaje

más fácil de fabricar, se decidió utilizar engranajes de dientes rectos. Para reducir costos de

fabricación y reducir peso, se fabricaron en plástico, específicamente Ertacetal, material que

presenta las siguientes características:

Elevada resistencia mecánica, rigidez y dureza.

Excelente resiliencia: capacidad de recuperar después del impacto

Buena resistencia a la fluencia

Elevada resistencia al impacto incluso a bajas temperaturas.

Muy buena estabilidad dimensional

Buenas propiedades de deslizamiento y resistencia al desgaste

Muy fácil de mecanizar

Buenas propiedades dieléctricas y de aislamiento eléctrico.

Engranajes

Transmisión entre ejes paralelos

De dientes rectos

De dientes helicoidales

Doble helicoidales

Transmisión entre ejes perpendiculares

Helicoidales cruzados

Cónicos de dientes rectos

Cónicos de dientes helicoidales

Cónicos hipoides

De rueda y tornillo sinfín

- 177 -

Tabla 4. 5. Propiedades térmicas y eléctricas Ertacetal.

Fuente: Plásticos de Ingeniería, Plastigen.

4.1.8.1 Dimensionamiento engranajes rectos

4.1.8.1.1 Resistencia a flexión

Para el cálculo de la resistencia a flexión del diente se considera que el perfil del diente trabaja

como si se tratara de una viga o barra en voladizo donde se aplica una carga puntual en su

extremo (Ft). En realidad, la zona de contacto no se realiza en la punta del diente, sino que

tendrá lugar en una zona de la cara del diente situada más abajo, por lo que, si se considera

aplicada en su extremo, las tensiones resultantes en la base del diente serán mayores que las

reales. Se considerará también a efectos de cálculo, que en cada momento sólo existe una pareja

de dientes en contacto que absorbe toda esta fuerza transmitida, cuando en realidad y si el diseño

se ha realizado correctamente, en cada momento habrá más de una pareja de dientes en contacto

que se distribuyan la fuerza transmitida, por lo que realmente el esfuerzo que soportará cada

diente será menor que el considerado (16).

- 178 -

Para obtener la fuerza que se ejerce sobre el diente del engranaje, es necesario calcular el par de

fuerzas (T) que se transmite. Conocida la potencia y el régimen de giro del engranaje, se tiene

que

𝑇 =𝑃 ∙ 71620

𝑟𝑝𝑚 (4. 11.)

Reemplazando los valores de potencia del motor y velocidad de giro mostrados en la tabla (4.20)

en la ecuación (4.11)

𝑇 =0,75 ∙ 71620

1400

𝑇 = 38,3 (𝑘𝑝 𝑐𝑚)

𝑇 = 3,83 (𝑁𝑚)

Se tiene que el torque transmitido por el engranaje será 3,83 (Nm).

Potencia 0,75 (ℎ𝑝)

Velocidad de giro eje 1400 (𝑟𝑝𝑚)

Tabla 4. 6. Datos de partida engranajes.


A continuación, se selecciona un valor inicial de módulo y diámetro primitivo del engranaje.

Basándose en las dimensiones de la maqueta establecidas inicialmente se determinó un diámetro

primitivo de 93 (mm) y un módulo 3. Reemplazando estos valores en la ecuación (4.12) se tiene

𝑑 = 𝑚 ∙ 𝑧 (4. 12.)

𝑧 =93(𝑚𝑚)

3(𝑚𝑚)

- 179 -

𝑧 = 31

Conocido el par de fuerzas que se transmite y el diámetro primitivo del engranaje, se puede

calcular la fuerza tangencial transmitida al diente, donde

𝐹𝑡 =𝑇

𝑟

(4. 13.)

Figura 4. 20. Diagrama de cuerpo libre engranaje recto.

Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_a4tVA49oLyM/TFt2naWd5yI/AAAAAAAAAFs/WbSdHD6B5cE/s320/27.png

𝐹𝑡 =3,83(𝑁𝑚)

0,0465(𝑚)

𝐹𝑡 = 82,3(𝑁)

La fuerza tangencial transmitida por el engranaje es 82,3 (N), valor que permitirá calcular la

tensión que se origina en la base del diente. Si b es el ancho del diente, la tensión en el punto

"a" (sin tener en cuenta la compresión) es:

- 180 -

Figura 4. 21. Diente sometido a flexión.

Fuente: https://oposinet.cvexpres.com

𝜎 =6𝐹𝑡𝑙

𝑏𝑡2=

𝐹𝑡

𝑏∙6𝑙

𝑡2

(4. 14.)

Donde el factor 6𝑙 𝑡2⁄ es una relación geométrica, y se puede sustituir en función del módulo y

de un factor conocido por el factor de Lewis (Y) que depende exclusivamente de la norma de

dentado y del número de dientes. Por lo tanto,

𝜎 =𝐹𝑡

𝑏 ∙ 𝑚 ∙ 𝑌

(4. 15.)

Donde m es el módulo, Y es el factor de Lewis y b es la anchura de la cara diente.

Según tabla (Ver Anexo A.7) el ancho de la cara del diente será 6,76. Con estos valores se

calcula la tensión del diente

𝜎 =82,3 (𝑁)

0,00676(𝑚) ∙ 0,003(𝑚) ∙ 0,115

𝜎 = 35,2 (𝑀𝑃𝑎)

Calculada la tensión de trabajo (σ) que alcanza el diente, ahora sólo queda comprobar que ésta

sea inferior a la máxima tensión admisible (𝜎𝑎𝑑𝑚) que aguanta el material del que está fabricado

el engranaje. Según datos técnicos del ertacetal,

- 181 -

𝜎 < 𝜎𝑎𝑑𝑚

35,2(𝑀𝑃𝑎) < 78(𝑀𝑃𝑎)

Concluyendo que el material del diente fabricado con un módulo 3 y 31 dientes resiste.

El valor de la fuerza tangencial máxima (𝐹𝑡,𝑚á𝑥) que podría transmitir el diente por limitaciones

de resistencia a flexión se obtendría sustituyendo el valor de la tensión (σ) por el valor de la

tensión máxima admisible que aguante el diente (generalmente se suele considerar el límite

elástico del material (𝜎𝑦) del cual está fabricado el diente, es decir, (𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑦) (16). De esta

manera se obtendría el valor de la máxima fuerza que podría transmitir el diente por flexión:

𝐹𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎𝑑𝑚 ∙ 𝑏 ∙ 𝑚 ∙ 𝑌 (4. 16.)

𝐹𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 78(𝑀𝑝𝑎) ∙ 0,00676(𝑚) ∙ 0,003(𝑚) ∙ 0,115

𝐹𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 182,91(𝑁)

La ecuación (4.16) que proporciona la fuerza tangencial (Ft) transmitida al diente, está obtenida

aplicando sólo la estática, es decir, no tiene en cuenta los efectos dinámicos producidos durante

el movimiento de giro del engranaje. En efecto, la velocidad de rotación del engranaje introduce

nuevas fuerzas ligadas a la inercia de las masas en movimiento, que van a producir un

incremento de la fuerza transmitida al diente.

Para tener en cuenta este efecto se corrige la ecuación (4.16) afectándola de un coeficiente de

carga Cs, en función de la velocidad de giro medida en la circunferencia primitiva (𝑣 = 𝜔𝑟,

donde ω es la velocidad angular de giro en rad/s, y r es el radio primitivo).

Para 𝑣 < 600(𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ )

- 182 -

𝐶𝑠 =180 + 𝑣

180

(4. 17.)

𝐶𝑠 =180 + 409,014

180

𝐶𝑠 = 3,27

Por lo tanto, la expresión que proporcionaría la fuerza transmitida al diente, considerando los

efectos dinámicos, quedaría de la siguiente forma:

𝐹𝑡,𝑚á𝑥 = 𝜎𝑎𝑑𝑚 ∙ 𝑏 ∙ 𝑚 ∙ 𝑌 ∙ 𝐶𝑠 (4. 18.)

Reemplazando los valores en la ecuación (4.18) se tiene que

𝐹𝑡,𝑚á𝑥 = 78(𝑀𝑃𝑎) ∙ 0,00676(𝑚) ∙ 0,003(𝑚) ∙ 0,115 ∙ 3,27

𝐹𝑡,𝑚á𝑥 = 594,85 𝑁

De esta manera se obtiene el valor de la máxima fuerza que podrá transmitir el diente.

4.1.9 Ejes

Elemento constructivo destinado a guiar el movimiento de rotación a una pieza o de un conjunto

de piezas, como una rueda o un engranaje. Un eje se aloja por un diámetro exterior al diámetro

interior de un agujero, como el de cojinete o un cubo, con el cual tiene un determinado tipo de

ajuste. En algunos casos el eje es fijo no gira y un sistema de rodamientos o de bujes insertas en

el centro de la pieza permite que ésta gire alrededor del eje. En otros casos, la rueda gira

solidariamente al eje y el sistema de guiado se encuentra en la superficie que soporta el eje.

- 183 -

El eje soportará en un extremo una polea de aluminio y en su centro un engranaje de ertacetal,

el que se podrá mover a lo largo del mismo, tendrá dos apoyos y en ellos dos rodamientos de

bolas.

Se ha decidido seleccionar como material para el eje un acero AISI/SAE 1020 en frio, las

propiedades mecánicas del material son:

AISI/SAE Módulo

de

elasticidad

E

Módulo

de rigidez

G

Resistencia

de fluencia

en tracción

𝑺𝒚

Esfuerzo

último en

tracción

𝑺𝒖

Elongación

(en 2 pulg)

Dureza

Brinell

GPa GPa MPa MPa % HB

1020 207 80.8 393 469 15 131

Tabla 4. 7. Propiedades mecánicas AISI/SAE 1020.

Fuente: Diseño de máquinas, Norton. R.1999

4.1.9.1 Dimensionamiento ejes.

Puesto que las dimensiones del accionamiento todavía no se conocen, se realiza un cálculo

previo para determinar los diámetros de los ejes, basado en la torsión, lo que siempre se hace

para el caso en que los momentos flectores actúan provocando esfuerzos de pequeña magnitud.

En este punto del diseño solo se conoce el momento torsor transmitido (17). Para un eje circular

de sección constante el momento torsor está dado por:

𝑀𝑇 =𝜏𝑦 ∙ 𝐽𝑐

𝑐

(4. 19.)

Donde, 𝜏𝑦 corresponde al esfuerzo admisible de fluencia en el eje [Pa], 𝑐 el radio del eje en el

punto para el cual se define el esfuerzo [m] y 𝐽 el momento polar de inercia [m4].

Se conoce que el momento polar de inercia para un eje sólido está dado por la siguiente

expresión:

- 184 -

𝐽 =1

2𝜋𝑑4 =

1

2𝜋𝑐4

(4. 20.)

Al reemplazar la ecuación (4.19) en la ecuación (4.18) se tiene:

𝜏𝑦 =2𝑀𝑇

𝜋𝑐3

Teniendo en cuenta que 𝑐 =𝑑

2 donde 𝑑 es diámetro del eje, se obtiene:

𝜏𝑦 =16𝑀𝑇

𝜋𝑑3

Despejando el diámetro,

𝑑 ≥ √16𝑀𝑇

𝜋𝜏𝑦

3

(4. 21.)

Donde, 𝑀𝑇, es el momento de torsión máximo (se toma en relación al momento de torsión

nominal [N m]), 𝜏𝑦 es el esfuerzo permisible de fluencia en cizalladura tomando para el cálculo

el diámetro previo del intervalo 𝜏𝑦=20…25 MPa. El material del eje será acero AISI SAE 1020,

se tomará 𝜏𝑦=20 MPa para prevenir riesgos en los cálculos.

Utilizando 𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1,9(𝑁𝑚) que corresponde a las condiciones de funcionamiento del

motor, además del momento pico que se obtiene en 𝑇𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 2,2𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙, se tiene:

𝑀𝑇 = 𝑇𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 2,2𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 (4. 22.)

𝑀𝑇 = 4,18 (𝑁𝑚)

Reemplazando los valores de 𝑀𝑇 𝑦 𝜏𝑦 en las ecuación (4.20)

- 185 -

𝑑 ≥ √16 ∙ 4,18(𝑁𝑚)

𝜋 ∙ 20 (𝑀𝑝𝑎)

3

𝑑 ≥ 10,2 (𝑚𝑚)

Se selecciona un eje de diámetro 15 mm que corresponderá al escalón mayor, lugar en donde se

encontrará el engranaje, y una reducción a 12 mm donde se posicionarán los soportes de pies y

la polea. En la figura 4.22 se muestra la configuración del eje a diseñar.

Figura 4. 22. Eje para el banco de prueba.


En A se encontrará ubicada la polea, en las secciones B y E se ubicarán los rodamientos con su

respectivo soporte, en la seccione C o D se ubicará el engranaje. El engranaje se podrá desplazar

por el eje, posicionándose en el punto C o D, dependiendo del fenómeno a analizar.

Antes de obtener los diagramas de cuerpo libre del eje, es necesario determinar la fuerza

distribuida que actúa sobre el eje debido a su propio peso, para esto se realiza los cálculos para

los dos diámetros de las secciones del eje.

- 186 -

𝐹𝑒𝑗𝑒 = 𝑚𝑒𝑗𝑒 ∙ 𝑔 = 𝑣𝑒𝑗𝑒 ∙ 𝜌𝑎𝑐 ∙ 𝑔 (4. 23.)

𝐹𝑒𝑗𝑒 = (𝜋 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑙

4) ∙ 𝜌𝑎𝑐 ∙ 𝑔 (4. 24.)

Donde, 𝑚𝑒𝑗𝑒 Corresponde a la masa del eje, 𝑣𝑒𝑗𝑒 Volumen del eje y 𝜌𝑎𝑐 Densidad del acero.

Reemplazando los valores correspondientes en la ecuación (4.23), para la primera sección

transversal de diámetro 12 mm se obtiene:

Primera sección:

𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑2= (

𝜋 ∙ (0,012 𝑚)2 ∙ 0,11 𝑚

4) ∙ 7800

𝑘𝑔

𝑚3∙ 9,8

𝑚

𝑠2

𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑2= 0,95 (𝑁 ∙ 𝑚)

Segunda sección:


𝜋 ∙ (0,015 𝑚)2 ∙ 0,26 𝑚

4) ∙ 7800

𝑘𝑔

𝑚3∙ 9,8

𝑚

𝑠2

𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑1= 3,51(𝑁 ∙ 𝑚)

Tercera sección:


𝜋 ∙ (0,012 𝑚)2 ∙ 0,064 𝑚

4) ∙ 7800

𝑘𝑔

𝑚3∙ 9,8

𝑚

𝑠2

𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑2= 0,55 (𝑁 ∙ 𝑚)

Fuerza total del eje:

- 187 -

𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑2+ 𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑1

+ 𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑑2

𝐹𝑒𝑗𝑒,𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5,01 (𝑁 ∙ 𝑚)

Encontradas las fuerzas que se desarrollan en el eje debido a los diferentes componentes, se

realiza los diagramas de fuerzas cortantes, momentos flectores, para los planos Z-Y y Z-X. Los

diagramas fueron obtenidos con ayuda del programa MD solids11.

- 188 -

4.1.9.1.1 Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-y

(a)

(b)

(c)

Figura 4. 23. Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-y.


De la gráfica (c), se obtiene los momentos resultantes en cada punto del eje

𝑀𝐴 = 0(𝑁𝑚)

- 189 -

𝑀𝐵 = −0,4385 (𝑁𝑚)

𝑀𝐶 = 1,12(𝑁𝑚)

𝑀𝐷 = 0(𝑁𝑚)

4.1.9.1.2 Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-x

(a)

(b)

(c)

Figura 4. 24. Diagrama momento fuerza cortante y momento flector en el plano z-x.


- 190 -

𝑀𝐴 = 0(𝑁𝑚)

𝑀𝐵 = −10,24(𝑁𝑚)

𝑀𝐶 = −4,32(𝑁𝑚)

𝑀𝐷 = 0(𝑁𝑚)

Determinando el momento flector equivalente de cada punto en el eje generado en los planos Z-Y y

Z-X, se tiene

𝑀𝑅𝐴 = 0(𝑁𝑚)

𝑀𝑅𝐵 = 10,25(𝑁𝑚)

𝑀𝑅𝐶 = 4,46(𝑁𝑚)

𝑀𝑅𝐷 = 0(𝑁𝑚)

El máximo momento de flexión resultante (𝑀𝑅𝐵 ) se ubica en la sección de menor diámetro y

donde está el primer apoyo, correspondiendo ésta zona a la de mayor criticidad. Para verificar

que la elección del diámetro del eje es el adecuado, se realizara el cálculo del factor de seguridad

en la zona critica, al estar sometido al máximo esfuerzo. La ecuación general para determinar el

factor de seguridad

1

𝑁2= (

𝑆𝑚

𝑆𝑦+

𝑘𝑓 ∙ 𝑆𝑎

𝑆𝑛)

2

+ (𝑆𝑚𝑠

𝑆𝑦𝑠+

𝑘𝑓𝑠 ∙ 𝑆𝑎𝑠

𝑆𝑛𝑠)

2

(4. 25.)

Por flexión

En primer lugar, se calculan los esfuerzos medios y alternos con el momento resultante máximo

antes obtenido

𝑀𝑚 =𝑀𝑚á𝑥 + 𝑀𝑚𝑖𝑛

2

(4. 26.)

𝑀𝑚 =10,25 − 10,25

2

- 191 -

𝑀𝑚 = 0

𝑆𝑚 = 0

𝑀𝑎 =𝑀𝑚á𝑥 − 𝑀𝑚𝑖𝑛

2

(4. 27.)

𝑀𝑎 =10,25 + 10,25

2

𝑀𝑎 = 10,25 (𝑁𝑚)

𝑆𝑎 =𝑀

𝑤𝜃 (4. 28.)

𝑆𝑎 =10,25(𝑁𝑚) ∙ 32

𝜋(0,012(𝑚))3

𝑆𝑎 = 60,42(𝑀𝑃𝑎)

Se obtiene a través de los cálculos que no hay esfuerzos medios, pero si esfuerzos alternos. Una

vez calculado los esfuerzos, se determinan los factores que afectan la resistencia a la fatiga,

permitiendo obtener un valor adecuado de las condiciones reales de servicio del eje. Estos

factores son

a) Factor de confiabilidad (CR)

Corrige la resistencia a la fatiga de tal manera que se tenga una mayor probabilidad (y

confiabilidad) de que la resistencia real de una pieza sea mayor o igual que el valor corregido.

Para la determinación de este factor se utiliza la siguiente ecuación

- 192 -

𝐶𝑅 = 1 − 0,08 ∙ 𝐷 (4. 29.)

Se tomará un factor de supervivencia del 90%, al que le corresponde un factor multiplicativo de

1.28, según se muestra en la tabla. Reemplazando los valores en la ecuación (4.28)

𝐶𝑅 = 1 − 0,08 ∙ 1,28

𝐶𝑅 = 0,8976

Relación de supervivencia % Factor multiplicativo D

50 0

60 0.25

70 0.50

80 0.90

90 1.28

95 1.64

98 2.05

99 2.33

99.99 3.6

Tabla 4. 8. Factor de confiabilidad.


b) Factor de tamaño (CS)

El límite de fatiga se ve reducido por efecto del tamaño, debido al hecho de que es posible que

una pieza mayor pueda tener más defectos que una pieza más pequeña. Los datos experimentales

permiten establecer que para piezas cilíndricas de acero, sometidas a flexión o torsión, el factor

de tamaño para 8(𝑚𝑚) ≤ 𝑑 ≤ 250(𝑚𝑚) es

- 193 -

𝐶𝑆 = 1,189 ∙ 𝑑−0,097 (4. 30.)

Reemplazando el valor del diámetro de la zona crítica (12 mm) establecido anteriormente en la

ecuación, se tiene

𝐶𝑆 = 0,93

c) Factor de acabado superficial (CF)

El límite de fatiga se ve reducido ya que la calidad superficial obtenida en un proceso de

mecanizado no es perfecta. Un mal acabado superficial puede afectar el funcionamiento,

rendimiento y duración de una máquina o mecanismo. El factor se obtiene a través de la gráfica

que considera el acabado de la superficie del eje y la resistencia a la tensión.

Figura 4. 25. Factor acabado superficial.


- 194 -

Considerando un acabado maquinado y un esfuerzo a tensión de 68 kpsi, el factor de acabado

superficial corresponde

𝐶𝐹 = 0,8

El comportamiento a la fatiga de un elemento depende también del tipo de carga al cual se

somete. Las resistencias a la rotura y a la fluencia de un material son diferentes para esfuerzos

cortantes y normales; sucede lo mismo con la resistencia a la fatiga. Para aceros con 𝑆𝑢 <

1400(𝑀𝑃𝑎)

𝑆´𝑛 = 0,50 ∙ 𝑆𝑢 (4. 31.)

𝑆´𝑛 = 0,50 ∙ 469(𝑀𝑃𝑎)

𝑆´𝑛 = 235(𝑀𝑃𝑎)

Calculados los factores que reducen la resistencia a la fatiga, se determina el límite de fatiga

modificado, donde

𝑆𝑛 = 𝐶𝑅 ∙ 𝐶𝑆 ∙ 𝐶𝐹 ∙ 𝑆´𝑛 (4. 32.)

𝑆𝑛 = 0,8976 ∙ 0,93 ∙ 0,8 ∙ 235(𝑀𝑃𝑎)

𝑆𝑛 = 157(𝑀𝑃𝑎)

d) Coeficiente de reducción de la resistencia a la fatiga 𝐾𝑓

- 195 -

La zona critica en la que se está basando el diseño del eje, presenta un chavetero el que permite

la fijación de la polea. Este chavetero es de tipo patín, por ello y según se muestra en la tabla

4.26, el coeficiente de reducción de resistencia a fatiga es 𝐾𝑓 = 1,6

Tabla 4. 9. Coeficiente de reducción de resistencia a fatiga


La ecuación general (4.26) está formada por esfuerzos que se deben a flexión y también por

esfuerzos que se deben a torsión. Los primeros ya fueron determinados, del mismo modo se

procede a calcular los esfuerzos que se generan en el eje por torsión, a fin, de obtener el factor

de seguridad que determinara si el eje falla o no.

Siguiendo el mismo procedimiento que el cálculo de los esfuerzos por flexión, se tiene que

𝑇𝑚 =𝑇𝑚á𝑥 + 𝑇𝑚𝑖𝑛

2

(4. 33.)

𝑇𝑚 =−3,83 − 3,83

2

𝑇𝑚 = −3,83(𝑁𝑚)

𝑇𝑎 =𝑇𝑚á𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛

2

𝑇𝑎 =−3,83 + 3,83

2

- 196 -

𝑇𝑎 = 0(𝑁𝑚)

𝑆𝑚𝑠 =𝑇

𝑤⨀ (4. 34.)

𝑤⨀ =𝜋𝑑3

16

(4. 35.)

𝑆𝑚𝑠 =3,83(𝑁𝑚) ∙ 16

𝜋(0,012(𝑚))3

𝑆𝑚𝑠 = 11,28(𝑀𝑃𝑎)

Para este caso, el factor que afecta a la fatiga por el tipo de carga se determina según la siguiente

ecuación

𝑆𝑦𝑠 = 0,6 ∙ 𝑆𝑦 (4. 36.)

𝑆𝑦𝑠 = 0,6 ∙ 393(𝑀𝑃𝑎)

𝑆𝑦𝑠 = 235,8(𝑀𝑃𝑎)

Una vez calculados todos los factores que afectan la resistencia a la fatiga que permiten tener

un valor adecuado de las condiciones reales de servicio del eje para esfuerzos de torsión y

flexión, se reemplazan dichos valores en la ecuación (4.24) obteniendo así el factor de seguridad.

1

𝑁2= (

1,6 ∙ 60,42(𝑀𝑃𝑎)

157(𝑀𝑃𝑎))2

+ (11,28(𝑀𝑃𝑎)

235,8(𝑀𝑃𝑎))2

1

𝑁2= 0,381

- 197 -

𝑁 = 1,61

El factor de seguridad resulto ser mayor que 1, con lo que se garantiza la resistencia a la fatiga

en esta sección que se determinó como la zona critica. En definitiva, el diámetro elegido para

dicha sección es el adecuado., ya que, el eje no falla a los esfuerzos por flexión y torsión.

4.2 Descripción y características de los equipos y sensores utilizados.

4.2.1 Acelerómetro

Corresponde a un instrumento para medir la aceleración de un objeto al que va unido, lo hace

midiendo respecto de una masa inercial interna. Los acelerómetros son sensores inerciales que

miden la segunda derivada de la posición. Un acelerómetro mide la fuerza de inercia generada

cuando una masa es afectada por un cambio de velocidad.

Existen varios tipos de tecnologías (piezo-eléctrico, piezo-resistivo, galgas extensométricas,

láser, térmico) y diseños que, aunque todos tienen el mismo fin pueden ser muy distintos unos

de otros según la aplicación a la cual van destinados y las condiciones en las que han de trabajar.

El acelerómetro que se utilizará en el banco de prueba es un ADXL325+/-3G de tres ejes, éste

dispositivo será montado en distintas partes de la maqueta, posición que dependerá de las

vibraciones generadas por los elementos que se quieran analizar. Se decidió utilizar éste

dispositivo por ser pequeño, delgado, de baja potencia, alta calidad, pero principalmente por su

bajo costo.

- 198 -

Figura 4. 26. Acelerómetro de tres ejes ADXL325 +/- 3G.


El montaje del sensor se realiza en una base de plástico impresa en 3D, llamado PLA, esta base

posee las dimensiones exactas para insertar el sensor en ella, por la parte posterior cuenta con

un agujero para encajar un imán de Neodimio, encargado de la sujeción de los acelerómetros en

los soportes del banco de ensayo.

Figura 4. 27: Base acelerómetro (PLA).


4.2.1.1 Características

El ADXL325 es un acelerómetro de 3 ejes pequeño de 4 mm × 4 mm × 1,45 mm, delgado y de

baja potencia con salidas de tensión con señal condicionada, mide la aceleración con un rango

de escala mínima de ± 3 g. Puede medir la aceleración estática de la gravedad en las aplicaciones

de detección de inclinación, así como la aceleración dinámica resultante del movimiento,

choque o vibración.

- 199 -

Figura 4. 28. Diagrama de bloques funcional.

Fuente: Small, Low Power, 3-Axis ±3 g Accelerometer Analog Devices, 2009

Contiene un sensor micromecanizado de superficie de polisilicio y circuitos de

acondicionamiento de señal para implementar una arquitectura de medición de aceleración de

ciclo abierto. Las señales de salida son tensiones analógicas que son proporcionales a la

aceleración.

4.2.1.2 Funcionamiento

El sensor es una estructura micromecanizada de superficie de polisilicio construida sobre una

oblea de silicio. Los resortes de polisilicio suspenden la estructura sobre la superficie de la oblea

y proporcionan una resistencia contra las fuerzas de aceleración. La deflexión de la estructura

se mide utilizando un condensador diferencial que consta de placas y placas fijas independientes

unidas a la masa móvil. Las placas fijas son impulsadas por ondas cuadradas fuera de fase de

180 °. La aceleración desvía la masa móvil y desbalancea el condensador diferencial dando

como resultado una salida del sensor cuya amplitud es proporcional a la aceleración.

4.2.2 LabJack U3

El dispositivo LabJack U3-HV es un sistema de adquisición de datos (DAQ) con entrada USB,

específicamente de señales de 12 bits, contiene cuatro entradas exclusivamente analógicas de

alto voltaje, 12 entradas/salidas (I/O) flexibles y cuatro entradas/salidas exclusivamente

- 200 -

digitales. Las I/O flexibles pueden ser configuradas tanto como digitales y analógicas, por lo

tanto, provee hasta 16 entradas analógicas o hasta 16 I/O digitales. Además, proporciona dos

salidas analógicas de 10 bits.

Este dispositivo es el encargado de recibir la información de los acelerómetros y del transductor

de fuerza, incorpora un convertidor análogo/digital que permite la lectura de los datos por parte

del computador. Los datos obtenidos se muestran y se comparan en el software del PC a modo

de osciloscopio y se almacenan en el disco duro en intervalos configurables, no necesita

alimentación externa y dispone de un software en inglés.

La serie U3 es muy versátil para la medición y control dentro de sistemas analógicos y digitales

simples. Principalmente porque da la opción de configurar sus entradas/salidas como analógicas

o digitales, dando al usuario flexibilidad en la elección de sensores para una determinada

aplicación.

Dentro de las aplicaciones más comunes en que se utiliza este dispositivo destacan proyectos de

aficionados, programas educativos, control y monitoreo industrial y desarrollo de prototipos.

(Ver Anexo A.6).

Figura 4. 29. LabJack U3-HV.


- 201 -

4.2.3 Tacómetro Digital

Para obtener una medición más exacta de la velocidad de giro con la que funciona el banco de

ensayo se utilizó, un dispositivo digital de precisión de fácil uso que puede medir a través de un

láser o por contacto.

Figura 4. 30. Tacómetro Digital.

Fuente: https://multimetros.es.

- 202 -

CAPÍTULO 5

EVALUACIÓN EXPERIMENTAL DEL BANCO DE PRUEBA

La detección de fallas de manera oportuna y eficiente constituye uno de los retos más

importantes asociados al mantenimiento predictivo. Fallas imprevistas pueden afectar la

integridad y la confiabilidad de los equipos a través de paradas no programadas, reducción de

su vida útil, altos costos de asociados al mantenimiento correctivo y baja calidad de los

productos. Monitorear constantemente y reconocer cuando se presenta algún tipo de falla en los

elementos críticos para una máquina es de suma importancia. Por ello, a través del análisis de

las vibraciones generadas se puede identificar y evitar daños mayores.

Para realizar la detección de las vibraciones generadas por las fallas en los elementos, se utilizó

un acelerómetro piezoeléctrico el cual varía su ubicación dependiendo de la falla a analizar. El

proceso de muestreo durante la adquisición lo ejecuta el Labjack, dispositivo que convierte la

señal análoga a digital. Cabe mencionar, que es en esta etapa donde se selecciona la frecuencia

de muestreo, la que debe cumplir con el teorema de Nyquist para evitar problemas, como el

aliasing. Los datos captados por el dispositivo son guardados en un block de notas y

posteriormente analizados a través de un código en el programa MATLAB. Se utilizó también

un tacómetro digital con el que se midió la velocidad de giro del eje.

- 203 -

5.1 Diagnóstico de falla en acoplamiento

El desalineamiento de acoplamientos es una condición donde el eje de la máquina conductora y

conducida no están en la misma línea durante su funcionamiento, lograr que estos estén

perfectamente alineados se hace difícil, es por ello, que para absorber este desalineamiento se

utilizan acoples flexibles. El uso de éstos disminuye significativamente las vibraciones

generadas, pero no las elimina. Niveles de vibración muy elevados pueden llegar a acelerar la

vida útil de los rodamientos y rotura de pernos, entre otros, por lo que es conveniente corregirla

antes de que produzca daños más considerables que pueden llegar a producir paros en las

máquinas. Por ello, a continuación se realizará el análisis de las vibraciones que se generan al

presentar este tipo de falla.

La disposición del acelerómetro es como se muestra en la siguiente figura. Las mediciones

fueron realizadas en el pillow-block número 5 y 6.

Figura 5. 1. Disposición de sensores.


Estas pruebas fueron realizadas a dos frecuencias de funcionamiento del variador a 27 [Hz] y

40 [Hz], aplicando carga al sistema, y con un tiempo de 15 segundos por medición. El estudio

realizado se basa en la comparación cuando los ejes se encuentran alineados y cuando presentan

algún grado de desalineación angular.

- 204 -

5.1.1 Desalineación angular

Al presentar éste tipo de desalineamiento se generaran altas vibraciones axiales, pues la fuerza

que se necesita aplicar para unir el acople son predominantemente axiales, por esta razón, sólo

fueron analizadas la vibraciones generadas en esta dirección. Sin embargo, lo más común es

presentar una combinación de ambos desalineamientos, angular y paralelo, aun así, debido a que

la rigidez axial de las máquinas es menor que la radial es más frecuente analizar las vibraciones

axiales.

(a)

(b)

Figura 5. 2. (a) Acoplamiento alineado. (b) Acoplamiento desalineado angularmente.


Analizar la respuesta en tiempo es otra forma de determinar si los ejes se encuentran alineados

o presentan algún grado de desalineación, según lo mencionado en la teoría cuando se presenta

éste tipo de falla la forma de onda de cada señal deberían estar desfasadas en 180°. Para éste

caso, lograr que los ejes estén perfectamente alineados es difícil de conseguir, por ello al analizar

las señales bajo las dos condiciones y determinar claramente el desfase entre ellas es complejo,

- 205 -

puesto que, la respuesta en tiempo bajo condiciones normales ya presenta un desfase producto

de que el eje no está correctamente alineado.

(a)

(b)

Gráfico 5. 1. (a) Respuesta en tiempo acople alineado. (b) Respuesta en tiempo acople desalineado.


Al analizar espectro en frecuencia para el caso donde el acople se encuentra alineado, se observa

a 11,83[Hz] la frecuencia de giro del eje 1X, componente originada por el desbalance residual

del eje, seguida por algunos de sus múltiplos 2X,3X,5X. En 364,7[Hz] se encuentra la frecuencia

de engrane (Fe).

- 206 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 2. (a) Espectro en frecuencia acople alineado. (b) Espectro en frecuencia acople desalineado.


Cuando el acople se desalinea angularmente y se compara con el espectro alineado, se observa

que la frecuencia de giro del eje 1X aumenta en amplitud, al igual que su múltiplo 2X. Como se

tiene un mayor grado de desalineamiento se logran excitar armónicos superiores a los 10X, lo

que alcanzan altas amplitudes.

Del análisis se puede concluir, que al presentar un desalineamiento angular si se excitan una

mayor cantidad de armónicos de la frecuencia de giro del eje que cuando se encuentran

alineados, como se menciona en la teoría. En cuanto a la forma que debe tomar el espectro se

menciona que se deben presentar distintivamente los tres primero armónicos de la velocidad de

rotación, para este caso se cumple, sin embargo no es un parámetro determinante al momento

- 207 -

del análisis, ya que éste dependerá de las condiciones estructurales y de funcionamiento de la

maquina a analizar.

Así mismo se hicieron mediciones a 40 [Hz] del variador de frecuencia para verificar que a esta

frecuencia se presentaran los mismos efectos, se adjuntan las gráficas respuesta en tiempo y

espectro en frecuencia para 40 [Hz] en el Anexo B.2.

5.2 Diagnóstico de falla en poleas

Las correas son la manera más común y de menor costo para transmitir potencia desde un eje a

otro, aunque no son tan durables, tienen buena capacidad para absorber choques y vibraciones,

aun así, estas generan vibraciones debido a que, la tensión de la correa varía durante su

accionamiento, es por ello, que no existe una transmisión perfecta.

Para efectuar un buen análisis de las señales vibratorias que se verán a continuación, es necesario

conocer la disposición del dispositivo de medición. En la siguiente figura se presenta el montaje

del sensor utilizado.

Figura 5. 3. Disposición del sensor.


- 208 -

Los ensayos fueron realizados a dos frecuencias de funcionamiento del variador a 27 [Hz] y 40

[Hz], todas las pruebas se realizaron aplicando carga al sistema a excepción de la imperfección

en la correa, y con un tiempo de 15 segundos por medición. El estudio realizado se basa en la

comparación del comportamiento de la correa en buenas condiciones con la correa al

introducirle una falla., según sea la falla a analizar, se tomarán vibraciones radiales o axiales.

El comportamiento normal que se hace mención en el párrafo anterior, se considera cuando las

poleas se encuentran alineadas, sin ninguna falla en la correa y con la tensión correcta, como se

muestra en la figura 5.4.

Figura 5. 4. Condición normal de funcionamiento.


5.2.1 Imperfección en la correa

Con el fin de poder representar y estudiar las vibraciones que no son propias del funcionamiento

y que generan oscilaciones perjudiciales para los componentes que forman parte del sistema, se

instala sobre la correa un bulto que simboliza costuras o zonas duras que puede portar la correa

producto de su fabricación, como se muestra en la siguiente figura. Estas mediciones fueron

tomadas bajo condiciones normales: poleas alineadas y correa tensada.

- 209 -

Figura 5. 5. Imperfección en la correa.


A continuación, se adjuntan los gráficos obtenidos al realizar la medición para condiciones

normales y al presentar este tipo de falla.

Analizar la respuesta en tiempo es otra forma de determinar en qué condiciones se encuentra la

correa durante su funcionamiento, al presentar la correa este tipo de imperfección, la respuesta

en tiempo mostrará un impacto cada vez que la falla se encuentre con la polea (gráfico 5.3 (b)),

excitación que claramente será percibida por el analizador, para este caso durante 1 segundo el

sensor captaron cinco impactos, separado cada uno a 0,189 [s].

- 210 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 3. (a) Respuesta en tiempo correa sana. (b) Respuesta en tiempo correa con falla.


Bajo esta condición de funcionamiento la teoría hace referencia a que se generaran vibraciones

a frecuencias múltiplos de la velocidad de rotación de la correa, conocidos como los rpm de la

correa. Por ello, antes de comenzar el análisis espectral se hace el cálculo de estas frecuencias,

cálculo que se realiza conociendo los diámetros de las poleas, el largo de la correa y las rpm de

cada polea. La velocidad de giro de los ejes donde van montadas las poleas se obtiene a través

del uso de un tacómetro.

𝑅𝑃𝑀𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑎 =𝜋 ∗ 𝑑1 ∗ 𝑅𝑃𝑀1

𝐿=

𝜋 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑅𝑃𝑀2

𝐿

- 211 -

Donde 𝑑1, 𝑑2 corresponden a los diámetros de paso de la polea motriz y conducida

respectivamente, 𝐿 el largo de la correa y 𝑟𝑝𝑚1, 𝑟𝑝𝑚2 las velocidades de rotación de ambos ejes

donde van montadas las poleas. En la tabla que sigue, se indican los valores antes mencionados.

RPM

Motriz (d1)

Hz

(d1)

RPM

Conducida (d2)

Hz

(d2)

RPM

Correa (d1)

Hz

(d1)

RPM Correa

(d2)

Hz

(d2)

1582 26,367 754 12,567 347,067 5,784 337,449 5,624

Tabla 5. 1. Frecuencias múltiplos de la velocidad de rotación de la correa.


De la tabla, se puede observar que el valor de las rpm de la correa siempre será menor que las

rpm de ambas poleas, esto se debe a que 𝜋 ∗ 𝑑𝐿⁄ siempre será menor que uno, ya que, el

perímetro de la polea siempre será menor que el largo de la correa. El cálculo de los RPM de la

correa será aproximado, ya que, se utilizó el largo exterior de la correa y no el largo en su línea

de paso.

A continuación se presenta la respuesta en frecuencia para las dos condiciones de

funcionamiento.

- 212 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 4. (a) Espectro en frecuencia correa sana. (b) Espectro en frecuencia correa con falla.


Se observa en el espectro normal de funcionamiento de la correa en el gráfico 5.4 (a), tres

componentes a bajas frecuencias, donde la primera a 26,67[Hz] corresponde a la 2X del giro del

eje donde va montada la polea conducida componente generada por el desbalanceamiento

residual del eje, la segunda es un múltiplo de la frecuencia de la correa (10RPMc), y la tercera

al igual que la segunda es un múltiplo (13RPMc), frecuencias de la correa más bajas (5,34[Hz])

no son posible de visualizar, ya que el sensor no tiene la capacidad para medir tan bajas

frecuencias, por esta razón solo se logra ver a partir del décimo múltiplo. Se visualiza también

la frecuencia de engrane a 390, 7 [Hz] pero de pequeña amplitud.

Al comparar el espectro generado cuando la correa presenta una protuberancia (gráfico 5.4 (b))

con el antes analizado, se observa que al presentar esta falla las frecuencias que se generan a las

- 213 -

rpm de la correa aumentan su amplitud y se excitan una mayor cantidad de armónicos (2-21)

que en condiciones normales.

De éste análisis, se puede concluir que lo mencionado respecto a lo que se genera en este tipo

de falla se cumple pero no del todo. Cuando una correa se encuentra sana y con la tensión

adecuada conforme se menciona en la teoría no se deberían generar armónicos de los rpm de la

correa, en este caso, si se generan pero con amplitudes muy pequeñas, por ello, se asume este

comportamiento como un proceder normal de la correa. Por lo tanto, presentar este tipo de

imperfección, sí genera vibraciones a frecuencias múltiplos de la velocidad de rotación de la

correa.



espectro en frecuencia para 40 [Hz] en el Anexo B.2.1.

5.2.2 Correa destensada

Al presentar éste tipo de problema en la transmisión se generan vibraciones a frecuencias

múltiplos de la velocidad de rotación de la correa debido al cambio de la tensión de ésta. Para

éste caso la mejor manera de detectar el problema es medir en la dirección de la tensión donde

se detectaran mayores amplitudes, por ello se analizarán las vibraciones generadas radialmente.

Figura 5. 6. Corre destensada.


- 214 -

Previo al análisis se hace el cálculo de las frecuencias que genera la correa, cálculo que se realiza

conociendo los diámetros de las poleas, el largo de la correa y las rpm de cada polea. La

velocidad de giro de los ejes donde van montadas las poleas se obtiene a través del uso de un

tacómetro.

RPM

Motriz (d1)

Hz

(d1)

RPM

Conducida (d2)

Hz

(d2)

RPM

Correa (d1)

Hz

(d1)

RPM Correa

(d2)

Hz

(d2)

1519,8 25,33 760,2 12,67 333,42 5,56 340,22 5,67 Tabla 5. 2. Frecuencias múltiplos de la velocidad de rotación de la correa.


Al analizar la respuesta en el tiempo, se observa que la señal vibratoria se encuentra modulada

de forma aleatoria para ambas condiciones. Esta modulación es producto del accionamiento del

freno cuando se le aplica carga al sistema. Para cuando la correa no se encuentra tensada

correctamente (gráfico 5.5 (b)), se generan oscilaciones de mayor magnitud, lo que se ve

reflejado en un aumento de la amplitud.

- 215 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 5. (a) Respuesta en tiempo correa tensada. (b) Respuesta en tiempo correa destensada.


Cuando se analiza el espectro que se genera con la correa tensionada correctamente se observa

la frecuencia de giro de la polea conducida 1X y de la conductora 2X, múltiplos de la correa

(RPMc) y la frecuencia de engrane acompañada de bandas laterales producto de la modulación

que genera la acción del freno. Estas bandas se encuentran separadas cada una a 12,67 [Hz]

frecuencia de giro del eje de la polea conducida. La amplitud que tiene el múltiplo 31 de la

correa es producto de que esta frecuencia coincidió con la frecuencia natural de la correa, esto

puede ser corroborado al observar el gráfico 5.6.

- 216 -

Gráfico 5. 6. Espectro en frecuencia FFT correa tensada.


Gráfico 5. 7. (a) Espectro en frecuencia correa tensada. (b) Espectro en frecuencia correa floja.


- 217 -

Al tener una menor tensión en la correa, la frecuencia de giro del eje de la polea conducida 1X

y de la polea motriz 2X varía su amplitud. La cantidad de armónicos a la frecuencia de la correa

disminuyen, debido a que la magnitud de la fuerza se reduce al soltar la tensión de la correa. Se

observa también que la frecuencia de engrane disminuye en amplitud y cambia su forma, ésta

modificación se atribuye a que la relación de transmisión no es perfecta puesto que, al estar

menos tensionada la correa pierde adhesión y patina sobre la polea, generando que la velocidad

de giro del eje no sea constante.

De éste análisis se puede concluir, que lo mencionado en la teoría para este caso se cumple, al

cambiar la tensión si se presentan frecuencias múltiplos de la correa, sin embargo, la cantidad

de armónicos que se excitarán dependerán de las condiciones estructurales y de funcionamiento

del banco a analizar.



espectro en frecuencia para 40 [Hz] en el Anexo B.2.2.

5.2.3 Poleas desalineadas

Un requisito importante para el funcionamiento correcto de la transmisión por poleas es su

montaje, mantener alineadas angular y paralelamente éstas evitan reparaciones costosas y

tiempos muertos de los equipos. Por ello, realizar un monitoreo constante de estos elementos

aumenta la vida de rodamientos y disminuye considerablemente fallas inesperadas.

Según la teoría este tipo de falla genera altas vibraciones axiales, ya que, la rigidez axial de las

máquinas en general, es menor que las radiales. Por esta razón al momento de realizar la

medición solo se consideran las vibraciones axiales obtenidas por el sensor.

Para analizar las vibraciones generadas por este tipo de falla, se desalineo paralelamente las

poleas. Debido a que la teoría menciona que se excita mayormente las vibraciones axiales, se

decide tomar las mediciones colocando el sensor sobre el pillow 1, puesto que, éste es menos

rígido axialmente que el motor.

- 218 -

(a)

(b)

Figura 5. 7. (a) Poleas alineadas. (b) Poleas desalineadas.

Figura: Elaboración propia.

A continuación se presenta la respuesta en frecuencia para las dos condiciones de

funcionamiento, ambos espectros fueron reducidos en frecuencia, ya que después de cierta

frecuencia no se muestra nada relevante para el análisis.

- 219 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 8. (a) Respuesta en tiempo poleas alineadas. (b) Respuesta en tiempo poleas desalineadas.


De la gráfica respuesta en tiempo se puede observar que la señal para ambos casos se encuentra

modulada. Ésta modulación es producto de la carga aplicada al sistema, el freno al ser accionado

durante el tiempo de medición no genera la misma fuerza para toda la superficie del disco, lo

que genera que la carga varíe durante el funcionamiento. Al comparar ambas gráficas se logra

visualizar que se genera un aumento de las amplitudes cuando las poleas están desalineadas.

Para el espectro en frecuencia en condiciones normales gráfico 5.15(a) el primer peak a 12[Hz]

corresponde a la frecuencia de giro del eje donde va montada la polea conducida, seguido a éste,

se encuentra a 24[Hz] un múltiplo exacto de dicha frecuencia 2X y que coincide con la

frecuencia de giro de la polea motriz. El tercer y cuarto peak corresponde a armónicos de la

frecuencia de la correa (RPMc). Se logra visualizar también la frecuencia de engrane a 365,

- 220 -

18[Hz], la que va acompañada de bandas laterales a 12[Hz].producto de la modulación de la

señal y a 730,36[Hz] un múltiplo de esta frecuencia.

(a)

(b)

Gráfico 5. 9. (a) Espectro en frecuencia poleas alineadas. (b) Espectro en frecuencia polea desalineada.


Cuando las poleas se encuentran desalineadas se tiene que el primer peak a 12[Hz] corresponde

a la frecuencia de giro del eje donde va montada la polea conducida al igual que el espectro

normal, pero con la diferencia que para este caso la 1X alcanza una mayor amplitud, a 24[Hz]

se encuentra un múltiplo exacto de la 1X la que coincide con la frecuencia de giro de la polea

motriz. Del mismo modo el tercer y cuarto peak corresponden a los armónicos de la frecuencia

de la correa (RPMc), pero con amplitudes menores. La frecuencia de engrane a 365, 18[Hz] y

su múltiplo 2X acompañadas ambas de bandas laterales no presentan un gran cambio en su

- 221 -

amplitud, pero si en su forma, esto producto de que la relación de transmisión no se mantiene

constante ya que la correa resbala sobre ella y se pierde la tensión.

Del análisis, se concluye que al presentar este tipo de falla la 1X de la frecuencia de giro del eje

donde va montada la polea conducida, sí predomina más en amplitud que la 1X de la polea en

condiciones normales, por lo tanto, lo que se menciona en la teoría se cumple para éste caso. En

definitiva, el análisis que se realizó para esta situación permite diagnosticar este tipo de defecto.



espectro en frecuencia para 40 [Hz] en Anexo B.2.3.

5.3 Diagnóstico de falla en rodamientos

Puesto que los rodamientos son unos de los componentes más críticos de las máquinas y fallan

con mayor frecuencia, es necesario monitorear constantemente su funcionamiento con el fin de

establecer cuál es su estado mecánico y poder así, a través del análisis prevenir fallas

catastróficas. Por ello, a continuación se realizará el análisis de vibraciones al presentar una falla

en la pista interna del rodamiento.

La disposición del acelerómetro es como se muestra en la siguiente figura. Las mediciones

fueron realizadas en el pillow-block número 6, posición donde se permite el intercambio de

rodamiento fallado y sano.

- 222 -

Figura 5. 8. Disposición sensor de medición.



40 [Hz], aplicando carga al sistema, y con un tiempo de 15 segundos por medición. El estudio

realizado se basa en la comparación del comportamiento del rodamiento en buenas condiciones

con el rodamiento al introducirle una falla.

La presencia de un defecto en la superficie de una de las pistas o en los elementos rodantes

produce una excitación cada vez que estos pasan por el defecto. Las frecuencias de estos

impactos, y por lo tanto, de las vibraciones que ellas generan, se llaman frecuencias

características de falla del rodamiento. Por ello, antes de comenzar el análisis espectral se hace

el cálculo de estas frecuencias, cálculo que se realiza conociendo la geometría del rodamiento y

su velocidad de rotación. Las dimensiones de éste se muestran en la siguiente tabla

𝑑𝑚 [mm] 33,5

𝑑 [mm] 9,1

𝜃 0

𝑛 8

𝑅𝑃𝑀 11,75 Tabla 5. 3. Dimensiones rodamientos.


Frecuencia de paso de los elementos rodantes por un defecto por la pista externa.

- 223 -

𝐵𝑃𝐹𝑂 =𝑅𝑃𝑀 ∗ 𝑛

2(1 −

𝑑 cos 𝜃

𝑑𝑚)

Frecuencia de paso de los elementos rodantes por un defecto por la pista interna.

𝐵𝑃𝐹𝐼 =𝑅𝑃𝑀 ∗ 𝑛

2(1 +

𝑑 cos 𝜃

𝑑𝑚)

Frecuencia de rotación del porta elementos o jaula que contiene los elementos rodantes.

𝐹𝑇𝐹 =𝑅𝑃𝑀

2(1 +

𝑑 cos 𝜃

𝑑𝑚)

Frecuencia de giro de los elementos rodantes.

𝐵𝑆𝐹 =𝑅𝑃𝑀 ∗ 𝑑𝑚

2𝑑(1 − (

𝑑

𝑑𝑚)2

cos 𝜃 cos 𝜃2)

Donde 𝑑𝑚 es el diámetro entre los centros de los elementos rodantes, 𝑑 diámetro de los

elementos rodantes y 𝜃 el ángulo de contacto. En la tabla que sigue, se indican los valores antes

mencionados.

BPFO 2,913*RPM

BPFI 5,087*RPM

FTF 0,636*RPM

BSF 1,705*RPM Tabla 5. 4. Frecuencias fundamentales de rodamientos dependiendo de la falla.


El análisis de la forma de la onda de la vibración en el domino del tiempo es una técnica útil

para detectar defectos en rodamientos, ya que, el análisis de la forma de onda de la aceleración

vibratoria permite identificar los impactos producidos por el paso de los elementos rodantes

- 224 -

sobre un defecto localizado, y por medio de su periodicidad y su relación con la frecuencia de

falla identificar la localización del defecto (pista interna, externa o canastillo).

Gráfico 5. 10. (a) Respuesta en tiempo rodamiento sano. (b) Respuesta en tiempo rodamiento con falla.


Al analizar la forma de la onda de la gráfica obtenida cuando el rodamiento está sano y cuando

presenta la falla, permite identificar claramente la periodicidad de los impactos producidos por

el paso de los elementos rodantes sobre el defecto, para la velocidad de giro del eje. El tiempo

que ocurre entre un peak y otro corresponde al inverso de la frecuencia de falla. Para este caso

se observa que los impactos están separados cada 0,167[s] y 0,202[s], el inverso de estos valores

dan un frecuencia de 5,9 [Hz] y 4,95 [Hz] respectivamente, permitiendo confirmar la existencia

de un defecto en la pista interna del rodamiento, conclusión que se puede corroborar al comparar

estos valores con los calculados teóricamente y mostrados en la tabla 5.1. La periodicidad de

los impactos cambia de valor debido a la variación de velocidad que presenta el eje.

- 225 -

Para el espectro en frecuencia en condiciones normales gráfico 5.19a se observa el primer peak

a 11,75[Hz] correspondiente a la frecuencia de giro del eje donde va montado el rodamiento

sano, se logra visualizar también pero con amplitudes bajo los 0,05 [𝑚 𝑠2⁄ ] componentes

múltiplos de la 1X (11,75[Hz]).

(a)

(b)

Gráfico 5. 11. (a) Espectro en frecuencia rodamiento sano. (b) Espectro en frecuencia rodamiento con falla.


La presencia del defecto en la pista interna del rodamiento genera nuevas frecuencias que no

son múltiplos exacto de la velocidad de rotación del eje, pero si, armónicos de la frecuencia

característica de falla 5,086[Hz], como se logra visualizar en el gráfico 5.11 (b). Se observa

también la frecuencia de giro del eje 1X y sus múltiplos.

- 226 -

Del análisis, se concluye que al presentar este tipo de falla si se producen vibraciones cada vez

que el elemento rodante pasa por el defecto, corroborando que la técnica de análisis de

vibraciones es factible para monitorear y diagnosticar la condición de sus rodamientos.



espectro en frecuencia para 40 [Hz] en el Anexo B.3.

5.4 Diagnóstico de falla en engranajes

Los engranajes son empleados en la ingeniería como piezas fundamentales del diseño mecánico,

con la finalidad de transmitir la potencia mecánica de una aplicación a otra, permitiendo el

movimiento desde un eje principal hasta piezas complementarias del sistema. Por ser de uso

común en la industria y ser parte fundamental en maquinarias, es de suma importancia

monitorear constantemente su funcionamiento, con el fin de evitar daños mayores. Por ello, a

continuación se realizara un análisis de vibraciones para distintas fallas que estos puedan

presentar.

Antes de comenzar con el análisis es necesario conocer la disposición que utilizara el sensor,

dependiendo de la posición de los engranajes, ya sea cercana a las poleas como se muestra en la

figura o al freno, se tomarán distintos puntos de medición. Cuando se analiza la falla diente roto

el sensor se ubica en el punto 4, para el caso de diente dañado se ubica en el punto de medición

número 1, al igual que para analizar desbalanceo.

- 227 -

Figura 5. 9. Puntos de medición del sensor.



40 [Hz], aplicando carga al sistema a excepción del desbalanceo, y con un tiempo de 15

segundos por medición. El estudio realizado se basa en la comparación del comportamiento de

los engranajes en buenas condiciones con los engranajes al introducirle una falla.

Para obtener un diagnóstico más completo, la frecuencia máxima de análisis a configurar en el

espectro, de acuerdo a lo recomendado en la literatura, debe ser mayor al triple de la frecuencia

de engrane, es por ésta razón que no se considera lo que sucede sobre los 1200 [Hz].

La deformación de los dientes que se genera al transmitir la carga de un diente a otro produce

vibraciones, las que estarán presentes en todos los engranajes ya que no se pueden evitar. Por

ello, este comportamiento generará vibraciones a la frecuencia de engrane y a sus múltiplos,

siendo considerado un comportamiento normal del funcionamiento del engranaje. Estas

frecuencias se calculan conociendo la velocidad de giro del eje y el número de dientes que posee

el engranaje, como se muestra en la siguiente tabla.

Velocidad de giro eje

[Hz]

Numero de dientes

[Z]

Fe

[Hz]

2Fe

[Hz]

3Fe

[Hz]

12,5 31 387,5 775 1162,5 Tabla 5. 5. Frecuencia fundamental de engranajes.


- 228 -

5.4.1 Diente dañado

Cuando un engranaje presenta una falla local en alguno de sus dientes, se genera un impacto

cada vez que el diente dañado entra en contacto con otro. Con el fin de poder representar y

estudiar las vibraciones que no son propias del funcionamiento y que generan oscilaciones

perjudiciales para los componentes que forman parte del sistema, se dañó un diente del

engranaje. Para este tipo de falla su detección muchas veces es más fácil visualizarla en la

respuesta en tiempo que en el espectro en frecuencia, ya que, a cada vuelta del eje esta

imperfección producirá una modulación abrupta.

Figura 5. 10. Daño local en engranaje.


Al analizar la respuesta en tiempo cuando el engranaje se encuentra sano y compararlo cuando

éste presenta un daño local en uno de sus dientes, permite observar que al tener la falla se genera

un impacto cada vez que el diente engrana, que ocurre una vez por vuelta del eje, para este caso

cada 0.076[s]. Se observa también, que la señal se encuentra modulada debido a la carga que se

le aplica, provocando que la velocidad de giro del eje no sea constante durante su

- 229 -

funcionamiento, a éste comportamiento se le atribuye la diferencia de tiempo que se genera entre

cada impacto.

(a)

(b)

Gráfico 5. 12. (a) Respuesta en tiempo engranaje sano. (b) Respuesta en tiempo engranaje diente dañado.


Para realizar el análisis del espectro en frecuencia es necesario primero realizar el cálculo de las

componentes fundamentales del comportamiento de los engranajes. Para este caso, la frecuencia

de engrane y sus múltiplos son:

- 230 -

Velocidad de giro eje

[Hz]

Numero de dientes

[Z]

Fe

[Hz]

2Fe

[Hz]

3Fe

[Hz]

12 31 372 744 1116 Tabla 5. 6. Frecuencia fundamental engranajes.


Del espectro para el caso en donde el engranaje se encuentra sano, se observa a bajas frecuencias

la 1X correspondiente al giro del eje la que es producida por el desbalanceo residual de éste,

seguido de varios componentes múltiplos. A 372 [Hz] se visualiza la frecuencia de engrane y a

744[Hz] un múltiplo de ésta, ambas frecuencias acompañadas de bandas laterales separadas cada

una a 12[Hz] frecuencia de giro del eje. Estas bandas laterales son generadas por la modulación

que presenta la señal al no permanecer constante la velocidad de giro del eje durante la medición.

(a)

(b)

Gráfico 5. 13. (a) Espectro en frecuencia engranaje sano. (b) Espectro en frecuencia engranaje diente dañado.


- 231 -

Cuando el engranaje tiene una falla en un diente se observa en el espectro, al igual que en

condiciones normales, a bajas frecuencias la 1X componente correspondiente a la velocidad de

giro del eje, seguida por su armónico 2X, con la diferencia que este último alcanza una mayor

amplitud. La frecuencia de engrane y su múltiplo se modulan y adquieren esa forma debido al

cambio en la velocidad que se genera producto a la acción del freno.

Del análisis se puede concluir que al momento de presentar una falla local en un diente del

engranaje, si se genera un aumento en la componente 1X que corresponde a la frecuencia de

giro del eje. La información entregada por el espectro no es suficiente para determinar con

exactitud lo que está sucediendo, por ello, una parte importante del análisis es lo que se observa

en la respuesta en tiempo de la vibración, cada impacto genera una modulación brusca,

excitación que claramente será percibida por el analizador.

Del mismo modo, se realizaron mediciones a 40[Hz] del variador de frecuencias. Las gráficas

respuesta en tiempo y espectro en frecuencias obtenidas se adjuntan en el anexo B.4.1.

- 232 -

5.4.2 Diente roto

Con el objetivo de poder representar y estudiar las vibraciones que no son propias del

funcionamiento y que generan oscilaciones perjudiciales para los componentes que forman parte

del sistema, se elimina un diente del engranaje como se muestra en la siguiente figura.

Figura 5. 11. Engranaje con un diente menos.


Analizar la respuesta en tiempo cuando el engranaje se encuentra en buenas condiciones y

cuando presenta la falla, es otra forma de poder determinar si hay algún problema durante su

funcionamiento. Cuando el engranaje tiene un diente menos, la respuesta en tiempo mostrará un

impacto cada vez que el diente dañado entra en contacto, excitación que claramente será

percibida por el analizador, para éste caso durante 0,5[s] el sensor capto cinco impactos cada

uno separado a 12,5[Hz], frecuencia de giro del eje. La periodicidad de los impactos cambia de

valor debido a la variación de velocidad que presenta el eje. Se observa también un aumento en

el valor de amplitud en comparación con el espectro normal y una modulación a la velocidad de

giro del eje, debido que la carga aplicada al sistema no es la misma en todos los puntos del disco.

- 233 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 14. (a) Respuesta en tiempo engranaje sano. (b) Respuesta en tiempo engranaje diente menos.


En el espectro en condiciones normales del engranaje se observa a bajas frecuencias una

componente de mayor valor correspondiente a 12,5 [Hz], frecuencia de giro donde van montado

el engranaje, originada producto del desbalance residual del eje. Seguido a ésta se visualizan

componentes múltiplos de dicha velocidad, logrando ver desde la 2X a la 13X. A frecuencias

más altas, aparece a 387,5 [Hz] la frecuencia de engrane y a 775 [Hz] un múltiplo de ella

correspondiente a la 2Fe, ambas frecuencias se encuentran acompañadas por bandas laterales

separadas entre ellas a la velocidad de giro del eje 12,5[Hz] producto de la modulación de la

señal vibratoria.

- 234 -

(a)

(b)

Gráfico 5. 15. (a) Espectro en frecuencia engranaje sano. (b) Espectro en frecuencia engranaje diente menos.


Cuando el engranaje tiene un diente menos se observa en el espectro, al igual que en condiciones

normales, a bajas frecuencias la 1X componente correspondiente a la velocidad de giro del eje,

seguida por sus armónicos 2X, 3X , con la diferencia que estos últimos alcanzan mayores

amplitudes. Se observa también que la frecuencia de engrane y su múltiplo disminuye en

amplitud y cambia su forma, esto se debe al incremento de la velocidad de giro del eje cuando

pasa por el diente faltante.

Del análisis se puede concluir, que lo mencionado en la teoría cuando se presenta este tipo de

falla se cumple. El aumento en la amplitud de la frecuencia de giro del eje, la forma que adquiere

la frecuencia de engrane y las bandas laterales generadas por el cambio de velocidad al tener un

- 235 -

diente menos, permiten identificar la falla. Si no se tiene claridad en el espectro, es posible

visualizar la falla en la respuesta en tiempo, puesto que, cada vez que el diente dañado trata de

engranar se genera un impacto.

Del mismo modo, se realizaron mediciones a 40[Hz] del variador de frecuencias. Las gráficas

respuesta en tiempo y espectro en frecuencias obtenidas se adjuntan en el anexo B.4.2.

- 236 -

5.5 Diagnostico de falla desbalance

El desbalance es una de las fuerzas que más causan problemas en los rotores y por consecuencia

en las máquinas rotativas. Si una máquina no está correctamente balanceada, generalmente

presenta altos niveles de vibración, ruido y desgaste que son evidentes. Las fuerzas de vibración

en el desbalance se deben a que el centro de masa del rotor es excéntrico al eje de rotación, por

lo tanto, se generan fuerzas centrífugas que actúan sobre la masa del rotor y que deben ser

contenidas por los rodamientos y su carcaza o estructura de soporte. Saber cómo identificar y

posteriormente analizar las vibraciones generadas es de suma importancia, por ello, para

representar este tipo de falla, se le agrego una masa al engranaje y se estudió su comportamiento

en tiempo y en frecuencia.

El ensayo fue realizado a dos frecuencias de funcionamiento del variador a 27 [Hz] y a 40[Hz],

sin aplicarle carga al sistema y con un tiempo de 15 segundos por medición. El sensor que se

utiliza para medir se ubica en el punto de medición número 1 y la masa desbalanceada es de

15gr.

Figura 5. 12. Posición del sensor y masa desbalanceada.


- 237 -

Al analizar la respuesta en tiempo cuando presenta desbalanceo, se observa que la señal

vibratoria se encuentra modulada y que cada 0,085[s] ocurre una vuelta del eje. La forma de

onda de la vibración debería ser aproximadamente sinusoidal, pero producto de las vibraciones

externas que se suman en la medición no se alcanza esta forma.

(a)

(b)

Gráfico 5. 16. (a) Respuesta en tiempo balanceado. (b) Respuesta en tiempo desbalanceado.


Al analizar el espectro en condiciones normales, sin desbalancear, gráfico 5.17b, se observa la

frecuencia de giro del eje donde va montada la polea motriz y un múltiplo de dicha velocidad.

Al comparar este espectro con el generado cuando se presenta desbalanceo, se observa al igual

que en el espectro normal la frecuencia de giro del eje del motor y su múltiplo, pero con la

diferencia que en este caso es posible visualizar la 1X que corresponde a la frecuencia de giro

del eje de la polea conducida, ya que esta aumenta en amplitud. Las frecuencias del motor que

- 238 -

fueron excitadas se asumen como una condición de funcionamiento normal de éste y se

atribuyen a un posible desbalanceamiento del eje del motor o a un cambio en la tensión de las

correas.

(a)

(b)

Gráfico 5. 17. (a) Espectro en frecuencia balanceado. (b) Espectro en frecuencia desbalanceado.


Del análisis se concluye que cuando un rotor se encuentra desbalanceado, si se genera una

amplitud significativa de la frecuencia de giro 1X, como se menciona en la teoría. En cuanto a

la respuesta en tiempo, se debe considerar que lo que se hace referencia en los documentos

considera una maquina con un comportamiento lineal perfecto, lo que en la realidad no se

cumple, debido a que siempre existirán no linealidades en el sistema y por esta razón la forma

de la onda no es sinusoidal.

- 239 -

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES Y ASPECTOS FUTUROS

La presente tesis se ha dedicado al estudio experimental de problemas típicos en máquinas

rotatorias. Para ello, se diseñó y construyó un banco de ensayos el que permitió representar

algunas de las fallas típicas que se pueden encontrar en la industria, logrando identificar, analizar

y diagnosticar las vibraciones generadas por el funcionamiento normal o bajo falla de

engranajes, rodamientos, poleas, desalineación y desbalance.

De los resultados obtenidos

Se comprueba experimentalmente que el diseño y construcción del banco de ensayo, es

apto como herramienta pedagógica para el monitoreo de condición en máquinas

rotatorias, mediante el análisis de vibraciones mecánicas.

El banco de ensayo es capaz de representar fallas en engranajes, poleas, correa y

rodamientos, también la desalineación y desbalanceo en el eje. Se caracteriza por ser de

fácil montaje y de tamaño reducido, por lo cual es un equipo portátil.

Se verifica que los instrumentos de medición, ya sea acelerómetros tipo mems ADXL

325 y la interfaz Labjack, son adecuados para la adquisición de datos del banco de

ensayo para efectos pedagógicos caracterizándose por tener un bajo costo. Si bien, no

son instrumentos para uso industrial son suficientes para evidenciar las vibraciones

generadas en el banco.

La información obtenida al aplicar la transformada rápida de Fourier a una señal

vibratoria permitió identificar y diagnosticar la presencia de fallas al generarse un

cambio en su espectro, siendo ésta una herramienta efectiva para diagnosticar el estado

de una máquina.

Se comprueba experimentalmente que lo mencionado en la teoría al presentar un

desalineamiento angular se cumple, ya que, se generan una mayor cantidad de armónicos

de la frecuencia de giro del eje que cuando se encuentran alineados y se presentan

distintivamente los tres primeros armónicos de la velocidad de rotación,

comportamientos que permiten diagnosticar este tipo de falla.

Se comprueba experimentalmente que al presentarse una imperfección en la correa, se

generan frecuencias a la velocidad de rotación de la correa, y se observa en la señal

- 240 -

temporal un impacto cada vez que el defecto pasa por la polea, es decir una vez por

vuelta, comportamiento que concuerda con lo mencionado en la teoría y que permite

diagnosticar el estado en que se encuentra la correa.

Se concluye que cuando la correa pierde tensión se producen múltiplos a la frecuencia

de giro de esta, como se menciona en la teoría, sin embargo, no se cumple en cuanto a

la cantidad de armónicos que se deben generar, ya que esto dependerá de las condiciones

estructurales y de funcionamiento del banco analizado.

Se comprueba experimentalmente que al producirse desalineación en poleas se genera

una alta vibración a la 1X de la frecuencia de giro del eje predominante en la dirección

axial, como se menciona en la teoría, permitiendo a través de este comportamiento

diagnosticar este problema en el banco de ensayo.

Se concluye experimentalmente que la presencia de una imperfección en la superficie

de la pista interna del rodamiento produce una excitación cada vez que el defecto

contacta la superficie rodante, comportamiento que se observa claramente en la señal

temporal. En el espectro, se muestra que la frecuencia de falla y sus múltiplos se

producen a mayores frecuencias que la 1X y que estos, no son valores exactos de la

velocidad de rotación (1X), cumpliendo así con lo mencionado en la teoría.

Se concluye que al momento de presentar una falla local en el diente o un diente menos

del engranaje, se genera una alta amplitud en la 1X, componente correspondiente a la

frecuencia de giro del eje, además de excitar la frecuencia de engrane acompaña de

bandas laterales. Es en la onda en el tiempo donde se detectan mejor estas

imperfecciones, debido al impacto que se genera una vez por vuelta cada vez que el

diente con el defecto hace contacto con los dientes del engranaje vecino. De modo que,

los resultados obtenidos experimentalmente cumplen con lo que se indica en la teoría,

permitiendo identificar y diagnosticar con la información entregada el estado en que se

encuentra del engranaje.

Se comprueba experimentalmente que al encontrarse un rotor desbalanceado se genera

una amplitud significativa a la 1X de la frecuencia de giro del eje, cumpliendo con la

teoría. Sin embargo, lo mencionado respecto a la respuesta en tiempo no se cumple, ya

que, en un sistema real siempre existirán no linealidades que distorsionarán la señal y no

permitirán tener una sinusoidal perfecta.

- 241 -

Para la realización de un buen diagnóstico fue necesario conocer el funcionamiento de

cada uno de los componentes del banco de ensayo para así tener claro la sintomatología

que estos presentan al momento de fallar.

Finalmente, como aspectos futuros se podría incorporar al banco de ensayo

Un encoder (sensor de velocidad angular), dispositivo que permite detectar el

movimiento rotacional del eje, permitiendo realizar mediciones con mayor exactitud,

debido a que, la actual medición es realizada con un tacómetro y se ve alterada por

errores de lectura como también de posicionamiento del instrumento utilizado.

Un sistema de freno que permita medir la carga que se aplica al banco de ensayo,

permitiendo así realizar mediciones con una mayor precisión , ya que las mediciones con

tacómetro se vieron alteradas por errores de lectura y posicionamiento del instrumento.

Se podría implementar un freno prony, sistema que consta de un brazo, sobre el que van

montados un dinamómetro y una rueda que se conecta al eje, que tiene adosada una cinta

de alto rozamiento. El ajuste de la cinta es variable, permitiendo así controlar el torque

de carga aplicado.

Un mayor número de fallas, como por ejemplo, excentricidad y desalineación en

engranajes, desalineación angular y excentricidad en poleas, desalineamiento y falla en

la pista externa en rodamientos, entre otras.

- 242 -

NOMENCLATURA

𝑚 Masa del sistema [𝐾𝑔]

𝑘 Rigidez del resorte [𝑁 𝑚⁄ ]

𝑎 Aceleración [𝑚 𝑠2⁄ ]

𝜔𝑛 Frecuencia natural del sistema [𝑟𝑎𝑑𝑠⁄ ]

𝑡 Tiempo [𝑠]

𝑥 Desplazamiento [𝑚]

𝑥0 Desplazamiento inicial [𝑚]

𝑥𝑚 Desplazamiento máximo [𝑚]

�̇� Primera derivada de la posición [𝑚 𝑠⁄ ]

�̈� Segunda derivada de la posición [𝑚 𝑠2⁄ ]

𝜙 Angulo de fase [𝑟𝑎𝑑]

𝜏𝑛 Periodo de la vibración [𝑠]

𝑓𝑛 Frecuencia natural [𝐻𝑧]

𝑐 Coeficiente de amortiguamiento viscoso [𝑘𝑔𝑟𝑎𝑑

𝑠⁄ ]

𝑠1, 𝑠2 Raíces de la ecuación característica [−]

𝐶𝑐 Coeficiente de amortiguamiento crítico [−]

𝜔𝑑 Frecuencia natural amortiguada [𝐻𝑧]

𝑐

𝐶𝑐

Factor de amortiguamiento [−]

𝜉 Relación de amortiguamiento [−]

𝜏𝑑 Periodo de la vibración amortiguada [𝑠]

𝑘𝑒𝑞 Rigidez equivalente [𝑁 𝑚⁄ ]

𝐸 Módulo de elasticidad [𝐺𝑃𝑎]

𝑣0 Velocidad inicial [𝑚 𝑠⁄ ]

𝐹0 Amplitud máxima [𝑚]

Ω Frecuencia de excitación [𝐻𝑧]

- 243 -

𝑋0 Amplitud teórica [𝑚]

𝐻(Ω) Función respuesta en frecuencia [−]

𝑟𝑑 Radio de giro [𝑚]

𝑚𝑑 Masa desbalanceada [𝐾𝑔]

𝜇 Desbalanceo [𝐾𝑔𝑚]

[𝑚] Matriz de masa [−]

[𝑐] Matriz de amortiguamiento [−]

[𝑘] Matriz de rigidez [−]

�⃑�(1)(𝑡) Primer modo de la vibración [−]

�⃑�(2)(𝑡) Segundo modo de la vibración [−]

𝜔𝐴1 Frecuencia de la antiresonancia [𝐻𝑧]

𝛿 Decremento logarítmico [−]

X(f) Espectro en frecuencia [−]

𝑋𝑅(𝑓) Componente real [−]

𝑋𝐼(𝑓) Componente imaginaria [−]

𝑓𝑚á𝑥 Frecuencia máxima [𝐻𝑧]

𝑓𝑠 Frecuencia de muestreo [𝐻𝑧]

𝐹𝑐 Fuerza centrifuga [𝑁]

𝑅𝑃𝑀 Revoluciones por minuto [𝑟𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛⁄ ]

𝑓𝑒 Frecuencia del engranaje [𝐻𝑧]

𝑍 Número de dientes del engranaje [−]

𝑑𝑚 Distancia entre centros de los elementos rodantes [𝑚𝑚]

𝑑 Diámetro de los elementos rodantes [𝑚𝑚]

𝑛 Número de elementos rodantes [−]

𝑇𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 Torque nominal [𝑁𝑚]

𝑃𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 Potencia de diseño [ℎ𝑝]

𝐹𝑠 Factor de servicio [−]

𝑃𝑀 Potencia del motor [ℎ𝑝]

𝑑𝑝 Diámetro primitivo [𝑚𝑚]

- 244 -

𝒾 Relación de transmisión [−]

𝜃1 Diámetro polea motriz [𝑚𝑚]

𝜃2 Diámetro polea conducida [𝑚𝑚]

𝐶 Distancia entre centros poleas [𝑚𝑚]

𝐿𝑝 Longitud primitiva [𝑚𝑚]

𝑁1 Potencia nominal [ℎ𝑝]

𝐶2 Factor de corrección del largo de la correa [−]

𝐶3 Factor de corrección del arco de contacto [−]

𝑧 Número de correas [−]

𝐹𝑡 Fuerza tangencial [𝑁]

𝑌 Factor de Lewis [−]

𝑏 Ancho cara de diente engranaje [𝑚]

𝜎 Tensión de trabajo [𝑀𝑃𝑎]

𝜎𝑎𝑑𝑚 Tensión máxima admisible [𝑀𝑃𝑎]

𝜎𝑦 Límite elástico del material [𝑀𝑃𝑎]

𝐶𝑠 Coeficiente de carga [−]

𝜏𝑦 Esfuerzo admisible de fluencia [𝑃𝑎]

𝐽 Momento polar de inercia [𝑚4]

𝑀𝑇 Momento de torsión máximo [𝑁𝑚]

𝐶𝑅 Factor de supervivencia [−]

𝐶𝑆 Factor de tamaño [−]

𝐶𝐹 Factor acabado superficial [−]

𝑆𝑛 Límite de fatiga [𝑀𝑃𝑎]

𝐾𝑓 Coeficiente de reducción de la resistencia a la fatiga [−]

- 245 -

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Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Concepción. Concepción,Chile : s.n.

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Departamento Ingeniería Mecánica, Universidad Tecnológica de Pereira. 2013.

- 247 -

ANEXOS

ANEXO A: ESPECIFICACIONES TÉCNICAS ELEMENTOS BANCO DE ENSAYO.

A.1 Motor Eléctrico.

Tabla A. 1. Tabla de selección del motor.

Fuente: Catálogo Motores 1LA7, 1LG4 y 1LA8 con rotor jaula de ardilla. D81.1. A 2006.

Tabla A. 2. Forma constructiva del motor eléctrico.


- 248 -

Tabla A. 3. Material de los elementos del motor.


- 249 -

Tabla A. 4. Dimensiones motor eléctrico.


- 250 -

A.2 Acoplamiento Mecánico.

Tabla A. 5. Factor de servicio.

Fuente: Catálogo técnico acoplamientos ERHSA.

- 251 -

Material Temperatura

Intervalo

Desalineación Dureza Capacidad de

amortiguación

Resistencia

química

Color

Angular Paralelo

Goma SOX (NBR)

La goma de nitrilo

butadieno (Buna N) es un

material elastomérico

flexible diseñado para

resistir al aceite y que se

asemeja al caucho natural

por su resistencia y

elasticidad.

-40 °F a 212 °F

(-40 °C a 100

°C)

1° 0,015 80A Alto Bueno Negro

Uretano

La mayor capacidad de

par que el NBR (1,5

veces) posibilita un menor

efecto amortiguador, y

opera en un intervalo de

temperaturas menor.

Buena resistencia al aceite

y las sustancias químicas.

No se recomienda para

aplicaciones cíclicas ni de

arranque/parada.

-30 °F a 160 °F

(-34 °C a 71°C)

1° 0,015 55D Bajo Muy bueno Azul

Hytrel®

Flexible elastómero

diseñado para operaciones

de altos pares y

temperaturas. Excelente

resistencia al aceite y a las

sustancias químicas. No

recomendable para

aplicaciones cíclicas o de

arranque/parada.

-60 °F a 250 °F

(-51 °C a 121

°C)

1/2° 0,015 D 55 Bajo Excelente Pardo

Bronce

Accesorio de inserción

metálico rígido, poroso e

impregnado de aceite,

exclusivamente para

aplicaciones de baja

velocidad (máx. 250 rpm)

que requieran una alta

capacidad de par. No le

afectan las temperaturas

extremas, el agua, el

aceite ni la suciedad.

-40 °F a 450 °F

(-40 °C a 232

°C)

1/2° 0,01 - Ninguno Excelente Bronce

Tabla A. 6. Datos rendimiento del elastómero.

Fuente: Catálogo lovejoy, Ducasse Comercial LTDA.

- 252 -

Diámetro

interior

máximo

Material de la araña

Par de SOX

(NBR)

Par de uretano Par de Hytrel® Par de bronce

Dimensiones pulg mm pulg-lb Nm pulg-lb Nm pulg-lb Nm pulg-lb Nm

L035 0,375 9 3,5 0,4 — — — — — —

L050 0,625 16 26,3 3 39 4,5 50 5,6 50 5,6

L070 0,75 19 43,2 4,9 65 7,3 114 12,9 114 12,9

L075 0,875 22 90 10,2 135 15,3 227 25,6 227 25,6

L090 1 25 144 16,3 216 24,4 401 45,3 401 45,3

L095 1,125 28 194 21,9 291 32,9 561 63,4 561 63,4

L099 1,188 30 318 35,9 477 53,9 792 89,5 792 89,5

L100 1,375 35 417 47,1 626 70,7 1.134 128 1.134 128

L110 1,625 42 792 89,5 1.188 134 2.268 256 2.268 256

L150 1,875 48 1.240 140 1.860 210 3.708 419 3.706 419

L190 2,125 55 1.728 195 2.592 293 4.680 529 4.680 529

L225 2,625 65 2.340 264 3.510 397 6.228 704 6.228 704

L276 2,875 73 4.716 533 — — — — 12.500 1412

Tabla A. 7. Datos nominales de par de torsión según el elastómero.

Fuente: Catálogo lovejoy, Ducasse Comercial LTDA.

- 253 -

A.3 Rodamiento y Soporte Rígido.

Eje

d(mm)

H L J A N1 N H1 H2 B S Tornillo Rodamiento Soporte Peso

Kg

UCP201 12 30.2 127 95 38 19 13 15 62 31 12.7 M10 UC201 P203 0.65

UCP202 15 30.2 127 95 38 19 13 15 62 31 12.7 M10 UC202 P203 0.63

UCP203 17 30.2 127 95 38 19 13 15 62 31 12.7 M10 UC203 P203 0.62

UCP204 20 33.3 127 95 38 19 13 15 65 31 12.7 M10 UC204 P204 0.65

UCP205 25 36.5 140 106 38 16 13 16 70 34 14.3 M10 UC205 P205 0.79

UCP206 30 42.9 165 121 48 21 17 18 83 38.1 15.9 M14 UC206 P206 1.3

UCP207 35 47.6 167 127 48 21 17 19 94 42.9 17.5 M14 UC207 P207 1.6

UCP208 40 49.2 184 137 54 25 17 19 100 49.2 19 M14 UC208 P208 1.9

UCP209 45 54 190 146 54 22 17 20 106 49.2 19 M14 UC209 P209 2.2

UCP210 50 57.2 206 159 60 25 20 22 114 51.6 19 M16 UC210 P210 2.6

UCP211 55 63.5 219 171 60 25 20 22 126 55.6 22.2 M16 UC211 P211 3.3

UCP212 60 69.8 241 184 70 25 20 25 138 65.1 25.4 M16 UC212 P212 4.7

UCP213 65 76.2 265 203 70 29 25 27 150 65.1 25.4 M20 UC213 P213 5.6

UCP214 70 79.4 266 210 72 31 25 27 156 74.6 30.2 M20 UC214 P214 7.3

UCP215 75 82.6 275 217 74 31 25 28 163 77.8 33.3 M20 UC215 P215 7.9

UCP216 80 88.9 292 232 78 31 25 30 175 82.6 33.3 M20 UC216 P216 10.0

UCP217 85 95.2 310 247 83 31 25 32 187 85.7 34.1 M20 UC217 P217 12.2

UCP218 90 102 327 262 88 33 27 34 200 96 39.7 M22 UC218 P218 14.7

Tabla A. 8. Dimensiones rodamiento y soporte.

Fuente: Catálogo rodamientos ASAHI.

- 254 -

A.4 Poleas y Correa.

Tabla A. 9. Factor de servicio


- 255 -

Tabla A. 10. Diámetro primitivo mínimo recomendado para poleas acopladas a motores eléctricos.


- 256 -

POLEAS PERFIL A

1 Canal Dimensión en mm

Numero de partes

1 a 2 Ø A Ø B C D E Ø F Ø G

1 a 2.1/2 50 24 13 21 46 30 10

1 a 3 63.5 37 13 21 46 30 10

1 a 3.1/2 77 51 13 21 46 40 10

1 a 4 90 64 13 21 46 52 10

1 a 4.1/2 102 76 13 21 46 52 12,7

1 a 5 112 86 13 21 49 52 12,7

1 a 5.1/2 127 101 13 21 49 60 12,7

1 a 6 140 113 13 21 49 60 12,7

1 a 6.1/2 154 128 13 21 49 60 12,7

1 a 7 165 137 13 21 49 60 12,7

1 a 8 180 154 13 23 51 82 12,7*

1 a 9 203 177 13 23 51 82 12,7*

1 a 10 229 203 12 23 51 82 12,7*

1 a 11 254 228 13 23 51 82 12,7*

1 a 12 280 251 13 23 51 96 17*

1 a 13 305 274 13 23 51 108 17 *

1 a 14 330 297 13 23 51 108 17 *

1 a 15 356 320 13 23 51 110 17 *

1 a 16 381 343 13 23 51 112 17 *

Tabla A. 11. Dimensiones poleas perfil en A.

Fuente: Catálogo Poleas de Aluminio, Ducasse Comercial LTDA.

- 257 -

Tabla A. 12. Designación y largos primitivos.

Fuente: Manual técnico Correas trapeciales, Correas múltiples. Optibelt

- 258 -

Tabla A. 13. Factor de corrección del arco de contacto.


- 259 -

Tabla A. 14. Potencia nominal para correas de sección A/13.


- 260 -

Tabla A. 15. Factor de corrección longitud de la correa.


- 261 -

A.5 Acelerómetro Analog Devices, modelo ADXL 325.

Tabla A. 16. Especificación Técnica Acelerómetro ADXL 325.

Fuente: Catálogo ADXL 325.

- 262 -

A.6 LabJack U3.

Tabla A. 17. Especificación Técnica LabJack U3.

Fuente: Catálogo LabJack U3

- 263 -

A.7 Engranajes

Tabla A. 18. Valores del factor de forma de Lewis Y (estos valores son para un ángulo normal de presión de 20°)

Fuente: Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, Octava edición.

- 264 -

Tabla A. 19. Dimensiones del diente en los pasos normales del módulo.

Fuente: Máquinas Cálculos de Talles, A.L.Casillas.

- 265 -

ANEXO B: GRÁFICAS EXPERIMENTALES A 40 [HZ].

B.1 Falla en acoplamiento

(a)

(b)

Gráfico B. 1. (a) Respuesta en tiempo acople alineado 40 [Hz]. (b) Respuesta en tiempo acople desalineado 40[Hz].


- 266 -

(a)

(b)

Gráfico B. 2. (a) Espectro en frecuencia acople alineado 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia acople desalineado 40[Hz].


- 267 -

B.2 Falla en poleas y correa.

B.2.1 Imperfección en la correa

(a)

(b)

Gráfico B. 3. (a) Respuesta en tiempo correa sana 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo correa con falla 40[Hz].


- 268 -

Gráfico B. 4. (a) Espectro en frecuencia correa sana 40 [Hz]. (b) Espectro en frecuencia correa con falla 40 [Hz].


- 269 -

B.2.2 Correa Destensada

(a)

(b)

Gráfico B. 5. (a) Respuesta en tiempo correa tensada 40 [Hz]. (b) Respuesta en tiempo correa floja 40[Hz].


- 270 -

(a)

(b)

Gráfico B. 6. (a) Espectro en frecuencia correa tensada 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia correa floja 40[Hz].


- 271 -

B.2.3 Poleas Desalineadas

(a)

(b)

Gráfico B. 7. (a) Respuesta en tiempo polea alineada 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo polea desalineada 40[Hz].


- 272 -

(a)

(b)

Gráfico B. 8. (a) Espectro en frecuencia polea alineada 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia polea desalineada 40[Hz].


- 273 -

B.3 Falla en Rodamientos

(a)

(b)

Gráfico B. 9. (a) Respuesta en tiempo rodamiento sano 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo rodamiento con falla 40[Hz].


- 274 -

(a)

(b)

Gráfico B. 10. (a) Espectro en frecuencia rodamiento sano 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia rodamiento con falla

40[Hz].


- 275 -

B.4 Falla en Engranajes

B.4.1 Diente dañado

(a)

(b)

Gráfico B. 11. (a) Respuesta en tiempo engranaje sano 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo engranaje diente dañado

40[Hz].


- 276 -

(a)

(b)

Gráfico B. 12. (a) Espectro en frecuencia engranaje sano 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia diente dañado 40[Hz].


- 277 -

B.4.2 Diente Roto

(a)

(b)

Gráfico B. 13. (a) Respuesta en tiempo engranaje sano 40[Hz]. (b) Respuesta en tiempo engranaje diente menos

40[Hz].


- 278 -

(a)

(b)

Gráfico B. 14. (a) Espectro en frecuencia engranaje sano 40[Hz]. (b) Espectro en frecuencia engranaje diente menos

40[Hz].


- 279 -

ANEXO C: PLANOS DE CONSTRUCCIÓN BANCO DE ENSAYO.

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