Polinomios_apuntes de matemáticas

7 – Matematicas 1 : Preliminares

Capıtulo 2

Polinomios

2.1 Introduccion. Nociones basicas

Los conjuntos de numeros Q , R y C , verifican que la suma y el producto son operaciones internas, es decir lasuma o producto de racionales es racional, de reales es real y de complejos es compleja. Ademas, en ellos existeinverso para la suma y para el producto (resta y division tambien internas).

A los conjuntos con este tipo de caracterısticas se les denomina cuerpos (a los conjuntos de arriba se lesdice cuerpos conmutativos pues el producto es comnutativo, ab = ba) y se usan como conjuntos de numeros (oescalares) asociados a otros elementos: los polinomios, las matrices, los vectores, . . . .

En esta seccion, formalizaremos los conocidos polinomios e investigaremos algunas de sus propiedades ytambien entenderemos el significado del cuerpo asociado.

Definicion 16.- Se llama polinomio en la indeterminada X y con coeficientes en un cuerpo conmutativo K ,a toda expresion formal del tipo siguiente:

a0 + a1X + a2X2 + ...+ anX

n, siendo a0 , a1 , . . . , an elementos de K

Los numeros a0 , . . . , an son los coeficientes del polinomio, y de cada sumando aiXi se dice el termino degrado i o monomio de grado i del polinomio. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada X concoeficientes en K lo denotamos por K[X] :

K[X] ={a0 + a1X + · · ·+ anX

n : ∀ i, ai ∈ K}

Nosotros trabajaremos generalmente con K = R o K = C (y alguna vez con K = Q). Ası:

R[X] ={a0 + a1X+ · · ·+ anXn : ai ∈ R

}es el conjunto de los polinomios reales (con coeficientes reales),

C[X] ={a0 + a1X+ · · ·+ anXn : ai ∈ C

}es el de los polinomios complejos (con coeficientes complejos),

Q[X]={a0+a1X+· · ·+anXn : ai ∈ Q

}es el de los polinomios con coeficientes racionales, . . .

Notar que por ser Q ⊆ R ⊆ C tambien Q[X] ⊆ R[X] ⊆ C[X] .

La letra X no representa ningun valor, no es una variable ni una incognita: es un mero soporte para el ex-ponente (recordemos, polinomio=expresion formal). En otras palabras lo realmente significativo del polinomio,es la sucesion ordenada de sus coeficientes. Ası:

3 + 8X− 9X2 ≡ (3, 8,−9, 0, 0, . . .)8X− 9X2 + 3 ≡ (3, 8,−9, 0, 0, . . .)

3 + 8X2 − 9X5 ≡ (3, 0, 8, 0, 0,−9, 0, 0, . . .)X ≡ (0, 1, 0, 0, 0, . . .)

12 ≡ (12, 0, 0, 0, 0, . . .)

Es util abreviar la escritura de todos los terminos usando la notacion del sumatorio

P (X) = a0 + a1X + ...+ anXn =

n∑i=0

aiXi (por convenio, X0 = 1)

Definicion 17.- Sea P (X) =n∑i=0

aiXi un polinomio. Si an 6= 0, diremos que P (X) tiene grado n , Es decir, el

mayor exponente de X que tenga coeficiente no nulo. Y lo denotaremos por gr(P ) = n .Los polinomios de grado cero son de la forma P (X) = c , con c ∈ K y c 6= 0. Al polinomio cero, P (X) = 0,

no se le asigna ningun grado.

Definicion 18.- Diremos que dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de cada

termino son iguales. Es decir, si P (X) =n∑i=0

aiXi y Q(X) =m∑i=0

biXi , entonces:

P (X) = Q(X) ⇐⇒ n = m y ∀ i, ai = bi .

Prof: Jose Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013

8 – Matematicas 1 : Preliminares 2.1 Introduccion. Nociones basicas

Expresiones tales como X2−12 = X+5 son pues absurdas, como lo serıa escribir 5 = 18, ya que ambos polinomiosson distintos.Ejemplo 19 Encontrar a , b , c , tales que 3X + 5X2 + 12X4 = (a+ 1)X + 5X2 + 2cX4 + (2a+ b)X6 .

Para que coincidan deben tener la misma sucesion de coeficientes, es decir,3X + 5X2 + 12X4 ≡ (0, 3 , 5, 0, 12, 0, 0 , 0, . . ., 0, . . .),

(a+ 1)X + 5X2 + 2cX4 + (2a+ b)X6 ≡ (0, a+ 1, 5, 0, 2c, 0, 2a+ b, 0, . . ., 0, . . .),deben ser iguales. Igualando coeficiente a coeficiente se obtiene el sistema de ecuaciones:

0 = 03 = a+ 15 = 50 = 0

12 = 2c0 = 2a+ b0 = 0· · ·

=⇒

3 = a+ 1

12 = 2c0 = 2a+ b

=⇒

a = 2c = 6b = −2a

=⇒

a = 2c = 6b = −4

4

2.1.1 Operaciones en IK[X]

Sean P (X) =n∑i=0

aiXi y Q(X) =m∑i=0

biXi polinomios de K[X]

Definicion 20.- Llamaremos suma de los polinomios P y Q al polinomio P +Q , obtenido de:

P (X) +Q(X) =

(n∑i=0

aiXi

)+

(m∑i=0

biXi

)=

max{n,m}∑i=0

(ai + bi)Xi

Si, m > n , entonces an+1 = an+2 = · · · = am = 0, es decir, completamos con coeficientes cero.

Nota: gr(P +Q) ≤ max{gr(P ), gr(Q)}

Ejemplo Para P (X) = 3 + 6X2 − 5X4 y Q(X) = 2− 8X− 6X2 + 7X6 , se tiene

P +Q=(

3 + 6x2 − 5X4)

+(

2− 8X− 6X2 + 7X6)

=(

3 + 0X + 6X2 + 0X3 − 5X4 + 0X5 + 0X6)

+(

2− 8X− 6X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 7X6)

= (3 + 2) + (0− 8)X + (6− 6)X2 + (0 + 0)X3 + (−5 + 0)X4 + (0 + 0)X5 + (0 + 7)X6

= 5− 8X + 0X2 + 0X3 − 5X4 + 0X5 + 7X6 = 5− 8X− 5X4 + 7X6.

y podemos comprobar que gr(P +Q) ≤ max{gr(P ), gr(Q)} = max{4, 6} = 6.

Definicion 21.- Llamaremos producto de los polinomios P y Q al polinomio P ·Q , obtenido de:

P (X) ·Q(X) =

(n∑i=0

aiXi

)(m∑i=0

biXi

)=n+m∑i=0

ciXi, donde ci =

i∑k=0

akbi−k

Nota: gr(P ·Q) = gr(P ) + gr(Q).

Observaciones:? El neutro de la suma es el polinomio cero P (X) = 0 y del producto el polinomio 1, P (X) = 1.

? El inverso para la suma: de P (X) es (−1)P (X) = −P (X).

? No hay inversos para el producto: si el polinomio P (X) = X tuviera un inverso Q(X), tendrıa que ocurrirque P (X)Q(X) = 1. Pero entonces 0 = gr(1) = gr(P ·Q) = 1 + gr(Q) ≥ 1.

? Se cumplen las propiedades asociativas y distributivas.

? Si P (X) 6= 0 y P (X)Q(X) = 0, entonces Q(X) = 0.

En efecto, si fuera gr(Q) = 0 con Q(X) = k 6= 0, entonces P (X)Q(X) = kP (X) 6= 0 (absurdo); y sigr(Q) > 0, entonces gr(PQ) > 0 y P (X)Q(X) 6= 0 (tambien absurdo), luego Q(X) = 0.

? Si P (X) 6= 0 y P (X)Q(X) = P (X)R(X), entonces Q(X) = R(X). (Inmediata de la anterior.)


9 – Matematicas 1 : Preliminares 2.2 Division euclıdea de polinomios. Divisibilidad y factorizacion

2.2 Division euclıdea de polinomios. Divisibilidad y factorizacion

El conjunto K[X] tiene en muchos aspectos una profunda semejanza con el conjunto Z de los enteros (algebrai-camente tienen la misma estructura, ambos son anillos conmutativos). Repasamos brevemente algunos hechosbasicos que ocurren en Z , para despues hacer el estudio paralelo en K[X] .

? Dados a, b ∈ Z , b 6= 0 existen q, r ∈ Z unicos tal que a = qb + r con 0 ≤ r < |b| (la division entera oeuclıdea, con q y r el cociente y el resto).

? Dados a, b ∈ Z , se dice que ”b divide a a” (o que ”a es multiplo de b”) si existe c ∈ Z tal que a = bc .Se escribe b | a y significa que el resto de la division entera de a entre b es 0.

? Si a, b ∈ Z , se llama maximo comun divisor de a y b , mcd(a, b), a un entero d tal que: d | a y d | b y esel mayor, es decir, para cualquier otro δ ∈ Z tal que δ | a y δ | b entonces δ | d .

? mcd(a, b) = mcd(±a,±b) = mcd(b, a).

? El Algorıtmo de Euclides permite calcular el mcd(a, b) sin necesidad de utilizar la descomposicion dea y b en factores.

La realizacion practica del algoritmo se dispone ası:

q1 q2 q3 · · · · · · qn−1 qn qn+1

a b r1 r2 · · · · · · rn−2 rn−1 rn

r1 r2 r3 · · · · · · rn−1 rn 0

a = bq1 + r1

b = r1q2 + r2

r1 = r2q3 + r3

· · ·rn−1 = rnqn+1 + 0

donde qi y ri son respectivamente los cocientes y restos de las divisiones, y rn = mcd(a, b).

La conclusion es correcta, pues por ser a = q1b+ r1 y d un divisor de a y b , a y b se descomponen ena = da1 y b = db1 , luego r1 = a − bq1 = da1 − db1q1 = d(a1 − b1q1) y d divide a r1 . Luego cualquierdivisor de a y b lo es tambien de b y r1 . Analogamente b = q2r1 + r2 y por el mismo proceso losdivisores de b y r1 tambien lo son de r1 y r2 . El proceso es mcd(a, b) = mcd(b, r1) = mcd(r1, r2) =· · · = mcd(rn−1, rn) = rn pues rn | rn−1 y rn | rn .

? Un elemento p ∈ Z se dice irreducible si los unicos enteros que lo dividen son 1, −1, p y −p . A losenteros irreducibles positivos se los llama numeros primos. El 1 no suele considerarse primo.

? Todo numero entero n admite una descomposicion unica (salvo el orden de los factores) de la forman = (±1)pt11 p

t22 · · · ptrr con pi numero primo ∀ i .

Ejemplo El mcd(711, 243) = 9 y el mcd(−300, 432) = 12 pues

2 1 12 2711 243 225 18 9225 18 9 0

−1 3 3 1 2−300 432 132 36 24 12132 36 24 12 0

2.2.1 Division entera o euclıdea de polinomios

Regresemos de nuevo a K[X] , y veamos que podemos encontrar resultados bastante analogos:

Definicion 22.- Dados P (X) y Q(X) con Q(X) 6= 0, existen dos unicos polinomios C(X) y R(X) tales que:P (X) = C(X) ·Q(X) +R(X), siendo R(X) = 0 o gr(R) < gr(Q).

Si R(X) = 0, se dice que Q(X) divide a P (X) y se escribe Q(X) |P (X). Tambien se dice que Q(X) es un factorde P (X) (de P (X) = C(X) ·Q(X), claramente).

Nota: El metodo de division de polinomios es el conocido por los alumnos. Los polinomios constantes, de gradocero, dividen a todos los polinomios y el polinomio cero es multiplo de cualquiera.

Definicion 23.- Se dice que D(X) es un maximo comun divisor de P (X) y Q(X) si se verifica que D(X) |P (X)y D(X) |Q(X) y es el mayor, es decir, si para cualquier otro ∆(X) ∈ K[X] tal que ∆(X) |P (X) y ∆(X) |Q(X)entonces ∆(X) |D(X).

El mcd de dos polinomios esta determinado salvo un factor constante. En particular, puede elegirse unmcd monico (coeficiente del termino de mayor grado 1) que con esta condicion adicional es unico.



Definicion 24.- Un polinomio P (X) de grado n > 0 se dice reducible en K[X] si existen Q(X) y C(X)polinomios no constantes de K[X] tales que P (X) = Q(X)C(X).

Si no es reducible en K[X] , se dice irreducible en K[X] .

Observaciones:? Si Q(X) y C(X) reducen a P (X), entonces 0 < gr(Q) < gr(P ) y 0 < gr(C) < gr(P ).

? En consecuencia, los polinomios de grado 1 son siempre irreducibles.

? Las constantes no se consideran irreducibles.

? Un polinomio es o no irreducible en K[X] . Ası, X2 + 1 es irreducible en R[X] mientras que no lo es enC[X] , pues X2 + 1 = (X− i)(X + i).

? Si Q(X) |P (X), entonces kQ(X) |P (X), para todo k∈K . Por ello suele trabajarse con divisores monicos.

? El Algoritmo de Euclides es valido en K[X] para obtener el maximo comun divisor de dos polinomios.

Teorema 25.- Todo polinomio P (X) ∈ K[X] admite en K[X] una descomposicion unica en la forma

P (X) = k(Q1(X)

)m1(Q2(X)

)m2

· · ·(Qr(X)

)mrdonde k ∈ K y los Qi(X) son polinomios irreducibles monicos.

2.2.2 Raız de un polinomio

Dado un polinomio P (X) = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ K[X] y α ∈ K , denotaremos por P (α) al resultado deefectuar en K los calculos: a0 + a1α+ · · ·+ anα

n .

Definicion 26.- Se dice que α ∈ K es una raız del polinomio P (X) ∈ K[X] si P (α) = 0.

Teorema 27.- α ∈ K es raız de P (X) ⇐⇒ (X− α) |P (X).

Demostracion:Siempre podemos dividir P (X) entre X−α y su division entera es P (X) = C(X) · (X−α) +R(X) donde R(X) = 0o gr(R(X)) < gr(X − α) = 1, es decir R(X) es cero o es una constante distinta de cero luego R(X) = k ∈ K ytenemos que: P (X) = C(X) · (X−α)+r , luego P (α) = C(α) · (α−α)+r = r . Como P (α) = r se puede concluirque

P (α) = 0⇐⇒ r = 0⇐⇒ P (X) = C(X) · (X− α)⇐⇒ (X− α) |P (X)

Corolario 28.- Un polinomio, de grado mayor que 1, irreducible en K[X] no tiene raıces en K .

Nota: El resultado inverso “si no tiene raıces en K entonces es irreducible en K[X]” no es cierto. Por ejemplo,en R[X] , el polinomio X4 + 5X2 + 4 = (X2 + 1)(X2 + 4) es reducible, pero no tiene raıces en R .

La condicion “de grado mayor que 1” es obvia, pues los polinomios de grado uno aX + b son siempreirreducibles y siempre tienen una raız.

Definicion 29.- Diremos que α ∈ K es una raız de multiplicidad m del polinomio P (X) ∈ K[X] , si se cumpleque P (X) = (X− α)m ·Q(X), con Q(α) 6= 0.

Lema 30.- Sea P (X) = Q(X)R(X). Si α ∈ K es raız de P (X) con multiplicidad m y Q(α) 6= 0 (no es raız deQ(X)), entonces α es raız de R(X) con multiplicidad m . .

Teorema 31.- Un polinomio de grado n posee, a lo mas, n raıces (contadas con sus multiplicidades).

Demostracion:En efecto, si P (X) tiene r raıces α1 , α2 , . . . , αr , de multiplicidades respectivas m1 , m2 , . . . , mr , en-tonces P (X) = (X − α1)m1(X − α2)m2 · · · (X − αr)mrQ(X), por el Lema 30 anterior. Luego n = gr(P (X)) =m1 +m2 + · · ·+mr + gr(Q(X)), por lo que el numero de raices, m1 +m2 + · · ·+mr , es a lo mas n .

Corolario 32.- Un polinomio de grado n con n+ 1 raıces es el polinomio 0.



2.2.3 Factorizacion de polinomios de coeficientes complejos

El siguiente resultado (que no es elemental) aporta la informacion necesaria:

Teorema fundamental del Algebra 33.- Todo polinomio con coeficientes complejos, de grado mayor o igualque uno posee al menos una raiz compleja.

Corolario 34.- En C[X] :

? Un polinomio de grado n tiene n raıces (contadas con sus multiplicidades).

? Todo polinomio de grado n ≥ 1 se descompone en producto de n factores de grado 1.

? Los unicos polinomios irreducibles son los de grado 1.

Ejemplos

? 4X2 − 8X + 13 = 4(X− (1 + 3

2i))(

X− (1− 32i))

? 12X

4 + 8 = 12 (X4 + 16) = 1

2 (X− 2eiπ4 )(X− 2ei

3π4 )(X− 2e−i

3π4 )(X− 2e−i

π4 ) 4

2.2.4 Factorizacion de polinomios en R[X]

Puesto que R ⊆ C , un polinomio de R[X] puede mirarse como perteneciente a C[X] , y se descompone en factoreslineales en C[X] . Ahora bien, estos factores puede que no pertenezcan todos ellos a R[X] .

Lema 35.- Sea P (X) =n∑i=0

aiXi ∈ R[X] . Si α es una raız compleja (y no real) de P (X), entonces α tambien es

raız de P (X), y con la misma multiplicidad que α . .

Nota: Los polinomios de grado 2 formados como en la demostracion del lema anterior (por (X− α)(X− α) conα no real), son irreducibles en R[X] .

Teorema 36.- Todo polinomio de coeficientes reales y grado mayor o igual que 1 se descompone en R[X] comoproducto de factores irreducibles de grado 1 o de grado 2.

Nota: La factorizacion del polinomio ası obtenida es unica (por la unicidad de la factorizacion compleja):

P (X) = an(X− α1)m1 · · · (X− αr)mr (X2 + c1X + d1)n1 · · · (X2 + ctX + dt)nt

donde αi ∈ R son las raıces reales, y los coeficientes reales de los polinomios de grado 2 se obtienen concj = −(βj + βj) y dj = βjβj , de las raıces βj y βj complejas de P (X).

Corolario 37.- Un polinomio real de grado impar tiene al menos una raız real.

2.2.5 Factorizacion de polinomios de coeficientes racionales

Sea P (X) =n∑i=0

miniXi un polinomio de Q[X] . Entonces, si m∗ es el mınimo comun multiplo de los denominadores

ni , el polinomio P∗(X) = m∗P (X) tiene todos sus coeficientes enteros, y las mismas raıces que P (X).En consecuencia, basta estudiar las raıces de un polinomio de coeficientes enteros:

Teorema 38.- Sea P (X) = a0 + a1X + · · ·+ an−1Xn−1 + anXn un polinomio con ai ∈ Z , ∀ i . Entonces,

1.- Si P (X) posee una raız α ∈ Z , entonces α | a0 .

2.- Si P (X) posee una raız α = pq ∈ Q , entonces p | a0 y q | an .

(La expresion de α = pq debe estar simplificada al maximo, es decir, mcd(p, q) = 1.) .

Nota: La utilidad del teorema estriba en que se puede construir una lista de candidatos a raıces y bastacomprobar si cada uno de ellos es o no raız del polinomio.

Ejemplo Hallar las raıces racionales del polinomio P (X) = 7X4 + 954 X3 + 41

4 X2 − 20X− 3.Buscamos las raıces racionales de Q(X) = 4P (X) = 28X4 + 95X3 + 41X2 − 80X− 12.



? Como 12 = 223, sus divisores son 1, 2, 3, 4 (22 ), 6 (2 · 3) y 12 (223) y los negativos −1, −2, −3, −4,−6 y −12.

Comprobamos si Q(1) = 0, si Q(2) = 0, si Q(−1) = 0, etc. Si lo hacemos usando la division por Ruffini,tenemos ademas la descomposicion del polinomio

28 95 41 −80 −12−2 + −56 −78 74 12

28 39 −37 −6 0= Q(−2)y se tiene Q(X) = (X + 2)(28X3 + 39X2 − 37X− 6)

Buscamos ahora las raıces de Q1(X) = 28X3 + 39X2 − 37X − 6, y la lista de candidatos se reduce a ±1,±2, ±3 y ±6 (desaparecen ±4 y ±12)

28 39 −37 −6−2 + −56 34 6

28 −17 −3 0= Q1(−2)y se tiene Q(X) = (X + 2)2(28X2 − 17X− 3)

Buscamos ahora las raıces de Q2(X) = 28X2 − 17X − 3, y la lista de candidatos se reduce a ±1 y ±3.Ninguno de ellos es raız, por lo que buscamos las raıces fraccionarias:

? Como 28 = 227, sus divisores positivos son 1, 2, 7, 4, 14 y 28. Las posibles raıces racionales de Q2 son:±12 , ±1

4 , ±17 , ±1

14 , ±128 , ±3

2 , ±34 , ±3

7 , ±314 y ±3

28 (son todas distintas y estan simplificadas al maximo).

28 −17 −3− 1

7 + −4 328 −21 0= Q2(−1

7 )y se tiene Q(X) = (X + 2)2(X + 1

7 )(28X− 21)

Luego la descomposicion final es: Q(X) = 28(X + 2)2(X + 17 )(X− 3

4 ).(Por supuesto, como el polinomio Q2 es de grado 2, es mas facil y sencillo obtener sus raıces de la manera

habitual α = 17±√

(−17)2−4(−3)28

2·28 .)

4

Nota: Para evaluar un polinomio real a mano o con calculadora, es muy util reescribirlo de manera que sepueda hacer con sumas y productos sucesivos, sin almacenaje. Por ejemplo,

P (X) = a4X4 + a3X

3 + a2X2 + a1X + a0 = (a4X

3 + a3X2 + a2X + a1)X + a0

= ((a4X2 + a3X + a2)X + a1)X + a0 = (((a4X + a3)X + a2)X + a1)X + a0

y basta realizar las operaciones, sucesivamente de dentro a fuera.

2.2.5.1 Descomposicion en fracciones simples

Dados P (X), Q(X) ∈ K[X] , se considera la fraccion racional P (X)Q(X) . Se dice que esta simplificada, si P (X) y Q(X) no

tienen divisores comunes (salvo las constantes), es decir, considerando los divisores monicos, mcd(P (X), Q(X)) =1.

Las fracciones racionales reales y complejas admiten una expresion equivalente que es suma de fraccionesracionales mas simples que simplifican su manejo. El proceso para encontrar dicha expresion se denomina des-composicion en fracciones simples (de esta manera se usa en integracion, series de potencias, variable compleja,etc.).

Supondremos que la fraccion P (X)Q(X) esta simplificada y gr(P (X)) < gr(Q(X)). De no ser ası, podremos hacer:

? Si P (X)Q(X) y mcd(P (X), Q(X)) = D(X) 6= 1, la expresion equivalente P (X)/D(X)

Q(X)/D(X) esta simplificada.

? Si gr(P (X)) ≥ gr(Q(X)), entonces P (X)Q(X) = C(X) + R(X)

Q(X) , con gr(R(X)) < gr(Q(X)).

y obtener una fraccion que sı lo cumple.Consideremos la descomposicion de Q (eliminamos el soporte X del nombre de los polinomios, por como-

didad) en producto de polinomios monicos irreducibles: Q = Qm11 Qm2

2 · · ·Qmrr . En C[X] , todos los polinomiosirreducibles son de grado 1 luego los Qi son de grado 1, es decir, Qi(X) = X − αi . Pero en R[X] , los poli-nomios irreducibles pueden ser de grado 1 o de grado 2, es decir, de la forma Qi(X) = X − ai o de la formaQi(X) = X2 + biX + ci .


13 – Matematicas 1 : Preliminares 2.3 Ejercicios

Se plantea entonces la fraccion PQ como suma de un cierto numero de fracciones: por cada factor Qi se

tendran mi sumandos, en la forma

· · ·+ Ti1Qi

+Ti2Q2i

+ · · ·+ Tij

Qji+ · · ·+ Timi

Qmii+ · · ·

donde gr(Tij) < gr(Qi). Entonces,

? En C[X] , todos los numeradores son Tij(X) = tij ∈ C .

? En R[X] , los numeradores son Tij(X) = tij ∈ R si Qi(X) = X − ai (si Qi es de grado 1) y de la formaTij(X) = pijX + qij ∈ R[X] si Qi(X) = X2 + biX + ci (de grado 2).

Para determinar los coeficientes de los numeradores se realiza la suma indicada, poniendo como denominadorcomun Qm1

1 · · ·Qmrr , es decir, Q . El polinomio obtenido en el numerador, se iguala a P y, de esta igualdad depolinomios, se extrae el sistema de ecuaciones que nos permite obtener los valores concretos: este sistema tienesiempre solucion unica.

El numero de incognitas es siempre igual al gr(Q) y como el polinomio obtenido en el numerador al sumares (inicialmente) de grado gr(Q) − 1 tambien tiene gr(Q) coeficientes. Luego el sistema de ecuaciones tienegr(Q) ecuaciones y gr(Q) incognitas. (Ver ejercicio 19)

Ejemplo 39 Sea P (X)Q(X) = X3+X2+3

X3(X−1)(X2+1)2 .

En R[X] , Q(X) = X3(X− 1)(X2 + 1)2 , pero en C[X] , Q(X) = X3(X− 1)(X− i)2(X + i)2 . Luego

X3 + X2 + 3X3(X− 1)(X2 + 1)2

=t11

X+t12

X2+t13

X3+

t21

X− 1+

p31X + q31

X2 + 1+p32X + q32

(X2 + 1)2

en R[X] , siendo tij , pij , qij ∈ R . Y en C[X] , con los valores tij ∈ C , se tiene

X3 + X2 + 3X3(X− 1)(X− i)2(X + i)2

=t11

X+t12

X2+t13

X3+

t21

X− 1+

t31

X− i+

t32

(X− i)2+

t41

X + i+

t42

(X + i)2

Para calcular los coeficientes en el caso de R[X] , hacemos:

P

Q=a

X+

b

X2+

c

X3+

d

X− 1+eX + f

X2 + 1+

gX + h

(X2 + 1)2=aX2+bX+c

X3+

d

X− 1+eX3 + fX2 + (e+g)X + f+h

(X2 + 1)2

=(aX2+bX+c)(X−1)(X2+1)2 + dX3(X2+1)2 + (eX3+fX2+(e+g)X+f+h)(X−1)X3

X3(X− 1)(X2 + 1)2

[=C(X)Q(X)

]= (a+d+e)X7+(b−a+f−e)X6+(c−b+2a+2d+e+g−f)X5+(2b−2a−c+f+h−e−g)X4+(a−2b+2c+d−f−h)X3+(b−a−2c)X2+(c−b)X−c

X3(X−1)(X2+1)2

e igualando los coeficientes de P (X) = 0X7 + 0X6 + 0X5 + 0X4 + X3 + X2 + 0X+ 3 con los del polinomio construidoC(X), se obtiene el sistema (1) de 8 ecuaciones y 8 incognitas con solucion unica.

Tambien puede construirse un sistema equivalente obligando a que ambos polinomios coincidan en 8 valores(uno mas que el grado), pues si P (αi) = C(αi) para α1, . . . , α8 todas distintas, el polinomio P (X)−C(X) tiene8 raıces y, por el corolario 32, es el polinomio 0; luego P (X) = C(X). Por ejemplo, podemos construir un sistemaa partir de (2):

(1)

0 = a+ d+ e0 = b− a+ f − e0 = c− b+ 2a+ 2d+ e+ g − f0 = 2b− 2a− c+ f + h− e− g1 = a− 2b+ 2c+ d− f − h1 = b− a− 2c0 = c− b3 = −c

(2)

3=P (0) =C(0)5=P (1) =C(1)3=P (−1)=C(−1)

15=P (2) =C(2)−1=P (−2)=C(−2)39=P (3) =C(3)−15=P (−3)=C(−3)

83=P (4) =C(4)4

2.3 Ejercicios

2.14 Encontrar las raıces de P (X) = X3 − 2X2 − 5X + 6 y Q(X) = 2X5 − 5X3 + 2X en R[X] , y sus expresionesfactorizadas. Hacerlo tambien en Q[X] .


14 – Matematicas 1 : Preliminares 2.3 Ejercicios

2.15 Probar que el polinomio X2 + 2X + 2 divide a P (X) = X4 + 4, y obtener de ello todas las raıces de P (X)en C[X] , ası como su expresion factorizada en R[X] .

2.16 Sean P (X) = X5 + 3X4 + 3X3 + 3X2 + 2X y Q(X) = X3 − 3X2 + X− 3 dos polinomios de coeficientes reales.

a) Usar el algoritmo de Euclides para hallar su maximo comun divisor.

b) Encontrar su mınimo comun multiplo.

c) Factorizar ambos polinomios en R[X] .

d) ¿Cuales son sus factorizaciones en C[X]?

2.17 Calcular el polinomio real monico, maximo comun divisor de X19 − 9X18 + 21X17 + X16 − 30X15 yX4 − 6X3 − 16X2 + 54X + 63

¿Que raıces tienen en comun? ¿Podemos usar esto para obtener todas las raıces de ambos polinomios?¿Son todas sus raıces reales?

2.18 ¿Cuantos polinomios reales de grado 2 que tengan por raıces el 0 y el 1 hay? ¿Cual es su expresion?

2.19 El polinomio, P (X), de coeficientes reales y grado 3, tiene a 1 y −1 por raıces. ¿Puede asegurarse que latercera raız es tambien real?

Si P (0) = 1, ¿cual serıa la tercera raız de P ?

2.20 Resolver la ecuacion 2x4 − x3 − 4x2 + 10x− 4 = 0 sabiendo que 1− i es una de las raıces del polinomioasociado.

2.21 Probar que si α es una raız de multiplicidad 5 del polinomio P , entonces α es una raız de multiplicidad4 de P ′ (el polinomio derivado de P ).

2.22 Encontrar la multiplicidad de la raız r :

a) r = 2, en X5 − 5X4 + 7X3 − 2X2 + 4X− 8.

b) r = −2, en X5 + 7X4 + 16X3 + 8X2 − 16X− 16.

c) r = 1, en X5 − 5X4 + 7X3 − 2X2 + 4X− 5.

2.23 Sea P (X) = (1 − X)(X(X + a)(X − 1 − b) − (a + X)(a − aX + ba)

). Hallar todas las raıces y estudiar su

multiplicidad en funcion de los valores de los parametros a y b .

2.24 Sea la matriz A =

a −a 0−a a 0b 0 2b

. Encontrar las raıces, y su multiplicidad en funcion de los valores de

los parametros a y b , del polinomio P (X) = det(XI −A).

2.25 Expresar como suma de fracciones simples los cocientes siguientes, sin hallar los valores de los coeficientes:

a) X2+1X4−6X3−16X2+54X+63 b) X−5

(X−1)(X3−1) c) X+52X4−X3−4X2+10X−4

d) X2+2X5+7X4+16X3+8X2−16X−16 e) X3−3X2+X−3

X5+3X4+3X3+3X2+2X f) X5+3X4+3X3+3X2+2X(X3−3X2+X−3)3

(Nota: Todos los polinomios de este ejercicio aparecen en alguno de los anteriores.)


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