7/29/2019 Polinomios simplificado2013

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Licenciatura en AdministracinGeometra y Algebra Ao 2013

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Unidad 1: Nociones bsicas de lgebra

Conjuntos numricos: N, Z, Q y R. Operaciones en los distintos conjuntos numricos. Propiedades de

las operaciones.

Polinomios de variable real. Races de un polinomio. Teorema de Gauss. Teorema fundamental del

lgebra. Divisibilidad de polinomios . Teorema del resto.Tiempo aproximado: 2 clases

Polinomios de una variable

Para a0, ,an ,pertenecientes a o , con an distinto de cero y , entonces

un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir en forma sinttica usando sumatoria como

Las constantes a0, ,an se llaman loscoeficientes del polinomio. A a0 se le llama trmino

independiente y a an, coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se lo

llama mnico o normalizado.

Se dice que el grado del polinomio P es n si y slo si el coeficiente del trmino de mayor potencia

de x que aparece en la expresin es no nulo, es decir gr(p)=n an

Definicin:

Se denomina valor del polinomio P en , se indica P( cuando en la expresin de P se sustituyex por el nmero y se obtiene el nmero .De este modo, cada polinomio puede interpretarse como una funcin(llamada funcin

polinmica) ,de dominio complejo o real segn corresponda

Ejemplo:

Sea P(x)= x2+2x-1. Entonces se puede definir P: -,Por ejemplo Para x = 1 resulta P(1)= 1-2-1=-2

Definicin:

Sean los polinomios P(x)= Se dice que P = Q gr(P) =gr(Q), es decir n=m y Operaciones con Polinomios

Se define la suma P+Q y el producto P.Q de los polinomios P y Q de la siguiente manera:

(P+Q)=

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(P.Q) = Propiedades: El grado de un polinomio tiene las siguientes propiedades:

gr(P+Q) Max(gr(P), gr(Q))

gr(P . Q)= gr(P)+ gr(Q)Definicin:

Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con gr(P) gr(Q), entonces existen dos polinomios C(x),llamado polinomio cociente, y R(x), llamado polinomio resto, de manera que se verifica la

siguiente igualdad P(x)= Q(x). C(x) +R(x), con gr(R)

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Sea P(x) un polinomio de grado mayor o igual a 2, si es una raz de P(x) entonces lasrestantes races de P son la races del cociente que se obtiene al dividir P(x) por (x- )

Teorema:

Si es una raz de P, siendo P un polinomio con coeficientes reales, entonces es tambinraz de P.

Del teorema anterior se deducen las siguientes consecuencias: El nmero de races complejas de un polinomio real es par. Todo polinomio real de grado impar admite al menos una raz real.

En la descomposicin factorial de P los factores (x- con puedenreemplazarse por la forma

Teorema de GaussSea P(x)= un polinomio real con coeficientes ,y trmino independiente no nulo,entonces todo cero racional de P(x) es de la forma

, donde p es un factor del trmino

independiente y q es un factor del coeficiente principal.

Corolario:Todas las races racionales de un polinomio mnico a coeficientes enteros, son enteros

Para calcular las races racionales de un polinomio real a coeficientes enteros, se procede

primero a calcular las posibles races racionales de acuerdo al teorema de Gauss y luego una

verificacin con cada una de ellas, aplicando la regla de Ruffini.

Una vez obtenida una raz se debe tener en cuenta que las races restantes son las races del

polinomio cociente. Es importante continuar con el polinomio cociente por las siguientes

razones:

Para poder detectar las races dobles, triples del polinomio original

Se abrevian los clculos pues se trabaja con un polinomio de un grado menor

Si gr(P)=n y por algn mtodo se logr detectar (n-2) races entonces se llega a un

cociente que es un polinomio de grado 2 que contendr las restantes 2 races, stas se

pueden calcular aplicando la frmula de la resolvente de la correspondiente ecuacin de

segundo grado.