Polinomios
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ÁLGEBRA
3. POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo: Todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, cuyo grado se llama grado de homogeneidad. Ejemplo :
P(x; y) = 6x5y
3 – 3x
4y
4 + 6x
6y
2
El polinomio P(x; y) es homogéneo de grado 8°.
Polinomio Ordenado: Los exponentes de una de sus variables están aumentando o disminuyendo (variable ordenatriz) Ejemplo : P(x; y) = x
4y
3 + 2x
2y
5 – 3xy
8
a) Es ordenado respecto a la variable “x”
en forma descendente. b) Es ordenado respecto a la variable “y”
en forma ascendente.
Polinomio Completo: Si figuran todos los exponentes de una de sus variables, desde un valor máximo (mayor exponente) hasta cero (término independiente).
# Términos = Grado + 1
Ejemplo : P(x; y) = x
3 + 4x
2y– 3xy
2 + 5
* El polinomio es completo respecto a la variable “x”.
Polinomio Idéntico: Los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo :
ax2 + bx + c mx
2 + nx + p
Identidad
Debe cumplirse que :
a = m ; b = n ; c = p
Polinomio idénticamente nulo Todos sus coeficientes son iguales a cero.
Ejemplo : ax
2 + bx + c = 0
Debe cumplirse que : a = 0 ; b = 0 ; c = 0
4. VALOR NUMÉRICO:
Es el resultado que se obtiene luego de reemplazar el valor asignado a las variables y realizar las operaciones indicadas. VALORES NUMERICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = término independiente P(1) = Suma de coeficientes Polinomio constante
P(x) = m (m0) Su grado es cero.
5. OPERACIONES: ADICIÓN: Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. SUSTRACCIÓN: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. MULTIPLICACIÓN: Se Multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de signos y se reducen los términos semejantes.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Determina el grado relativo a “x” en “P”, si el grado absoluto de Q es 6.
P(x) =xm-4
– mxm-3
– xm-2
+ 1
Q(x) = 4xm + mx
m+2 – 9x
m+1
Solución :
m + 2 = 6 m = 4 Ahora : m-2 = 4-2 = 2 2).-Se sabe que el polinomio : P(x) = 4x
3 + 3x
2 + mx+x - n+5; es tal
que : P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2) Solución :
P(1) = 4(1)3 + 3(1)
2 + m+1-n+5 = 15
4+3 + m+1-n+5=15 m-n = 2 P(0) =4(0)
3 + 3(0)
2 + m(0) + 0 – n+5 = 2
n = 3 m - 3 = 2 m= 5
P(x) = 4x3 + 3x
2 + 6x + 2
P(-2) = 4(-2)3 + 3(-2)
2 + 6(-2) + 2
P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2
P(-2) = -30
3).- Sabiendo que : P(x) = x
2 + ax + bx + ab
Halla :
Solución :
P(a) = 2a(a+b) P(b) = 2b(a+b) 4a
2b
2(a+b)
2
P(0) = ab
4).- Dado el polinomio completo y
ordenado.
Cuyo número de términos es (n + 1)
Determina :
PR. Solución:
8m + 25 = 1
. Siendo E
m
pn
2xxP
2p
x.....1p 258m m
x4m3n
2
222 )ba(ab2)ba(ba4
)0(P).b(P).a(P
II. POLINOMIOS
1. DEFINICIÓN
Son expresiones algebraicas racionales enteras de dos o más términos. Es decir , la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.
Ejemplo :
x4 – 2x
2 + 3 ; x
5 – 3x
4 + 5 x
2 + ½ x
1.1. NOTACIÓN
P(x, y) = 3abx5y
6
3ab coeficiente (constantes)
x; y variables
Las variables se encierran entre paréntesis, así :
P(x) P(x, y) P(x, y, z)
2. GRADO
Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay de dos tipos: - Grado Relativo. -Grado Absoluto. 2.1. GRADO DE UN MONOMIO
Es siempre una cantidad entera positiva y son de dos clases : a) Grado Absoluto:
Se obtienen sumando los exponentes de sus variables. b) Grado Relativo:
Es el exponente de una variable.
2.2. GRADO DE UN POLINOMIO:
a) Grado Absoluto:
Está dado por el término de mayor grado absoluto.
b) Grado Relativo:
Es el mayor exponente de una variable.
1 9
ÁLGEBRA
5).- Sea el monomio:
Donde G.A.(M)=2 . Halla el coeficiente de dicho monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) –1/3 e) 5/4
23).- Dado el monomio:
Halla su grado absoluto: a) 48 b) 98 c) 78 d) 58 e) 68
7).- Sea el monomio:
Si: G.A. de M=600. Halla : “m+n+p” a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
8).- Sea el monomio:
Si: GR(x)=3 GA=7 Halla el coeficiente del monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9).- Sea el monomio:
Si: GR(x)=6 GR(y)=2 Halla el coeficiente del monomio. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
10).- Sea el monomio:
Si: G.A.=18
Calcula: a) 210 b) 211 c) 212 d) 213 e) 214
11).- Si los términos : t1(x; y) = bx
3y
a+1
t2(x; y) = (a + b)xb+2
y4
t3(x; y) = axa
yb+3
Son semejantes , calcula su suma: a) 4x
3y
4 b) 6x
3y
4 c) 8x
3y
4
d) 5x3y
4 e) 9x
3y
4
12).- Dado el polinomio : P(x) = 2x
2(1 + x
4) – 3x
6 – 5
Calcula :
a)1,3 b)1,4 c)1,5 d)1,6 e)2 13).- Si el grado absoluto de :
es 19 y el grado relativo de “y” es 7, calcula “m” a) 9 b) 12 c) 10 d) 11 e) 1
14).- Si :
es de 4to grado. Halla “n” : a) 6 b) –4 c) 4 d) 3 e) 2
15).-Calcula: P(P(0))
Si: P(x)= x2 – x + 1
a) -2 b) 1 c) 0 d) -1 e) 2 16).- Si: P(x)= x
2 – 3x + 1
Calcula:
a) -2 b) 1 c) 4 d) -4 e) 2
17).- Si P(x) = 2x2 +
Calcular P(-1/2) a) 17/120 b) 91/120 c) 11/120 d) 97/12 e) 1/120
18).- Si : P(x) = Determina : P(P(x))
a) x b) 2x c)–x d)x/2 e)-x/2
19).- Dado el monomio:
para qué valor de “n”; M(x) es constante. a) 4 b) 0,5 c) 10 d) 1,3 e) 14 20).- En el monomio:
Se cumple que: G.A. = 83 y G.R.(y) = 20 Halla: a + b
a) 4 b) 9 c) 10 d) 8 e) 14 21).-Determina ( m- n), si el monomio:
Es de segundo grado respecto de “a” y de séptimo grado absoluto. a) 4 b) 9 c) 5 d) 13 e) 6 22).- Si el monomio:
es de tercer grado, entonces el valor de “m” es :
a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25
23).- Halla el valor de “n” en el monomio:
Sabiendo que es de primer grado. a) 1/9 b) 2/9 c) 9/2 d) 4/9 e) 9/5
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) d 3) e
4) e 5) c 6) c
7) a 8) c 9) c
10)a 11)c 12)d
13)d 14)d 15)b
16)c 17)b 18)a
19)b 20)d 21)a
22)c 23)c
)x(M
x
x.x 2n3 3n
1n6
x
xx 2m
2m3
)b,a(M
ba
ba 6nnm3
32
n1
)b2a5(4)b3a2(3 y.x)y,x(M
)x(m
x
x.x 1n23n2 3
45n2
2x1x2
3 3 x5
13
E 3P)4(P
)1(P)2(P
)x(
x)x(
n2
4n32n
yx
y;xM yx n32n21
m2m1
E
)0(P
)1(P)1(P
.xGRT zGR.yGR
z.y.x16z;y;xM 3a2a1a
bay;xM y.x
6a
baba
b
y;xM y.xa
4a
4a
a
ba
p3n2m2p2n3mpnm3 z.y.x2z;y;xM
323 xyyxyx)y;x(M 2
2
2
2
y;xM
14a yx .6a2
23a2a
5a4a
m = -3 (-3)
2 – 3n – 4 (-3) = 0
n = 7 P
2 + P + 1 = n = 7
P = -3 P = 2
Luego :
33
7 2
m
n pE
3
4
3
7 3E
5).- Que valor debe asignarse a “n” en la
expresión:
(xn+2
+xn+1
yn+y
n+1)n
de modo que su grado absoluto excede en 9 al grado relativo de “y”. Solución:
GA = GR(y) + 9 (2n + 1)n = (n+1) n+9 2n
2 + n = n
2 + n + 9
2n2 – n
2 = 9
n2 = 9
n = 3
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02
1).-Determina “m”, si el grado de la expresión: x
4y
m + x
5y
m+1 + xy
m + mx
my
5 es igual a 8.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2).- Determina el grado relativo a “y” si el grado respecto de “x” en :
xn-3
y4 + 2x
n – 1y
n+3 + xy
n es 9
a) 4 b) 9 c) 10 d) 13 e) 14 3).- Determina mn, si se sabe que el
polinomio: P(x) = x
m-3 + mx
n-4 + nx
m-5 , m es
completo y ordenado. a) 16 b) 20 c) 24 d) 36 e) 25
4).- Si el siguiente polinomio de 14
términos es completo y ordenado : P(x)=x
n+4 + . . .+ x
a-1 + x
a-2 + x
a-3
Calcula : “a + n” a) 3 b) 9 c) –4 d) 16 e) 12
2