POLIEDROSCarlos Ivorra

1. Polígonos

Aunque supondremos al lector familiarizado con la geometría plana, dedicaremos la primera sección arevisar los hechos básicos sobre polígonos. Para destacar en la medida de lo posible el paralelismo entrelos conceptos de polígono y poliedro (de modo que, en cierta medida, podamos considerar a éste como elanálogo a aquél en tres dimensiones), vamos a dar de momento una definición de polígono que se apartaligeramente de la comúnmente aceptada:

Un polígono viene determinado por un conjunto finito de puntos situados en un mismo plano,llamados vértices del polígono, y un conjunto de segmentos cuyos extremos son vértices,llamados lados del polígono, de tal modo que cada vértice sea el extremo de exactamente doslados, que no han de ser colineales, y se puede pasar desde cualquier vértice hasta cualquier otroa través de una sucesión de vértices adyacentes. Por vértices adyacentes entendemos dosvértices que sean los extremos de un mismo lado, mientras que dos lados que tengan un vérticeen común se llaman consecutivos. Un polígono es simple si además cumple que cuando dos desus lados tienen un punto en común dicho punto es uno de sus extremos (y, en particular, unvértice del polígono). En caso contrario se dice que es un polígono complejo.

Los polígonos de tres lados se llaman triángulos, los de cuatro cuadriláteros, y a partir de cinco lados sellaman n-ágonos, donde el valor de n se indica con el prefijo griego correspondiente: pentágonos,hexágonos, heptágonos, etc. Los segmentos que unen dos vértices no adyacentes de un polígono dellaman diagonales del polígono.

Por ejemplo, de las tres figuras siguientes, la primera es un pentágono simple, la segunda un pentágonocomplejo y la tercera no es un polígono porque no es posible pasar de un vértice a otro a través de unacadena de vértices adyacentes. Se trata de la unión de dos triángulos.

No es difícil demostrar que los lados de un polígono dividen al plano en un número finito de componentesconexas, de las cuales sólo una es no acotada (la que contiene el exterior de una circunferencia que contengaa todos los vértices del polígono en su interior). Los puntos de dicha componente conexa se llaman puntosexteriores del polígono, mientras que los puntos de las componentes acotadas se llaman puntos interiores delpolígono. Así, por ejemplo, los puntos interiores de los dos polígonos de la figura anterior son los queaparecen sombreados en la figura siguiente:

Nos van a interesar especialmente los polígonos simples. Es claro que un polígono simple es homeomorfoa una circunferencia, y el teorema de la curva cerrada de Jordan prueba que todo subconjunto del planohomeomorfo a una circunferencia divide al plano en exactamente dos componentes conexas, de las cualeses la frontera. En particular, el interior de un polígono simple P es un subconjunto abierto conexo delplano del cual P es la frontera. Más aún, puede probarse que P es homeomorfo a un círculo (aunque estono es cierto para curvas de Jordan arbitrarias).

Nota: El lector que no esté familiarizado con los resultados topológicos a los que aludimos no debería tenerinconveniente en aceptarlos como “intuitivamente evidentes”. Por ejemplo, lo único que hemos dicho hastaahora es que, dado un polígono y un punto del plano que no esté sobre sus lados, o bien está “encerrado” porsus lados (y entonces es interior), o bien no está encerrado y podemos movernos desde él hasta cualquierpunto arbitrariamente lejano sin cruzar ninguno de los lados (en cuyo caso es exterior); cuando afirmamosque todo polígono simple es homeomorfo a una circunferencia no decimos sino que puede ser deformado deforma continua, sin romperlo ni superponer ningún par de puntos, hasta convertirlo en una circunferencia, yentonces sus puntos interiores se convierten en los puntos de un círculo. La figura siguiente ilustra lasituación. Es claro que, por muy complicado que sea el polígono, siempre puede “desenredarse” hasta quesus lados queden listos para ser arqueados y formar una circunferencia. Si no fuera simple tendríamos queseparar sus autointersecciones, y eso se considera una “ruptura”.

Hay una clase de polígonos especialmente notable:

Un polígono es convexo si la recta que prolonga a cada uno de sus lados deja a todo el polígonoen uno de los dos semiplanos que determina.

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Teorema 1.1: Un polígono es convexo si y sólo si es simple y su interior es un abierto convexo en elsentido usual, es decir, tal que si contiene a dos puntos contiene también al segmento que los une.

Demostración: Sea P un polígono convexo, para cada uno de sus lados l, sea Sl el semiplano abierto quedetermina la recta que lo contiene y que contiene a P, y sea I la intersección de dichos semiplanos. Puestoque los semiplanos son convexos (en el sentido usual) y la intersección de convexos es convexa, tenemosque I es un abierto convexo. Veamos que P es la frontera de I. Para ello observamos en primer lugar que laintersección de las clausuras de los semiplanos Sl (es decir, los correspondientes semiplanos cerrados) es uncerrado que contiene a I, luego la clausura de I, y en particular su frontera, están contenidos en dichaintersección.

Así pues, si un punto x está en la frontera de I, está en las clausuras de todos los semiplanos Sl, y tiene queestar en la frontera de alguno de ellos, pues si estuviera en el interior de todos estaría en I, lo cual esimposible porque I es abierto. Esto significa que x está en la recta que prolonga a un lado l. Ahora bien, si losextremos de l son los puntos p y q, sabemos que x está en el semiplano determinado por el lado contiguo a len q que contiene a p y viceversa, lo cual equivale a que x está en el segmento de extremos p y q, es decir,en l, luego en P.

Por otro lado, si l es un lado de P y x es un punto distinto de sus extremos, tenemos que x está en todos lossemiplanos abiertos determinados por los lados restantes (pues es fácil ver que no puede haber dos ladossituados sobre la misma recta, ya que entonces el lado contiguo a uno de ellos dejaría a cada uno en unsemiplano distinto). Por lo tanto, todos los puntos de un entorno U de x están en la intersección de losrestantes semiplanos abiertos y, dado cualquier entorno V de x, tenemos que U › V corta a Sl, luego a I.Esto prueba que x está en la frontera de I. Con esto hemos probado que P es la frontera de I. Notemos ahora que la clausura de I es la intersección delas clausuras de los semiplanos Sl, pues una inclusión es obvia y, si x está en la intersección de lossemiplanos cerrados, o bien está en la intersección de los semiplanos abiertos, es decir, en I, o bien está almenos en la frontera de uno de ellos, y bajo esas hipótesis hemos probado más arriba que x está en P, luegoen ambos casos está en la clausura de I. Veamos que I es un conjunto acotado. En efecto, sea C una circunferencia que contenga a P. Como elexterior de C no contiene puntos de la frontera de I, o bien todos sus puntos están en I, o bien ninguno loestá, pero si todos lo estuvieran, por convexidad todo el interior de C estaría en I, lo cual es imposible (puesP no está en I), luego I está contenido en el interior de C y es, pues, acotado. Por consiguiente, la clausurade I es un convexo compacto, y todo convexo compacto en el plano es homeomorfo a un círculo, de formaque la frontera (en nuestro caso P) es homeomorfa a la circunferencia correspondiente. Esto implica que Pes un polígono simple.

El complementario de I ‹ P es la unión de los semiplanos abiertos complementarios de los Sl, luego es unconjunto no acotado. Si probamos que es conexo podremos concluir que I y dicho complementario son lasdos únicas componentes conexas del complementario de P, y que I es la componente acotada, luego es elinterior de P.

Para probar que el complementario de I ‹ P es conexo consideramos una circunferencia que contenga atodos los vértices de P en su interior. Hemos visto que está en dicho complementario. Como todo semiplanocuya frontera pase por el interior de la circunferencia contiene puntos de la misma, resulta que lossemiplanos cuya unión es el complementario de I ‹ P cortan todos a la circunferencia, luego tenemos unaunión de conjuntos conexos que cortan todos a un mismo conexo. La unión es conexa.

Esto termina la prueba de una implicación. El recíproco es consecuencia de que los compactos convexostienen hiperplanos de soporte en todos los puntos de su frontera. Concretamente, si l es un lado de P,tomamos un punto p que no sea un extremo, con lo que existe una recta que pasa por p y que deja a todo elconvexo (en este caso la unión de P y su interior) en uno de los semiplanos que determina. Es obvio quedicha recta tiene que ser necesariamente la prolongación del lado. ‡

Nota: Hamos advertido antes de dar la definición de polígono que con ella nos estamos apartando de ladefinición comúnmente aceptada. Esto se debe a que lo usual llamar “polígono” a lo que según nuestradefinición es la unión de un polígono y su interior, mientras que lo que hemos llamado “polígono” es (un casoparticular de) lo que usualmente se llama “línea poligonal cerrada”. Entre las razones para dar la definiciónque hemos dado estaba mostrar que un polígono está completamente determinado por sus vértices y susaristas (sin necesidad de especificar su interior), pero a partir de este momento no hay inconveniente enadoptar el convenio usual y entender que un polígono es la figura formada por una poligonal cerrada (unpolígono según nuestra definición) y su interior.

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Nota: Hamos advertido antes de dar la definición de polígono que con ella nos estamos apartando de ladefinición comúnmente aceptada. Esto se debe a que lo usual llamar “polígono” a lo que según nuestradefinición es la unión de un polígono y su interior, mientras que lo que hemos llamado “polígono” es (un casoparticular de) lo que usualmente se llama “línea poligonal cerrada”. Entre las razones para dar la definiciónque hemos dado estaba mostrar que un polígono está completamente determinado por sus vértices y susaristas (sin necesidad de especificar su interior), pero a partir de este momento no hay inconveniente enadoptar el convenio usual y entender que un polígono es la figura formada por una poligonal cerrada (unpolígono según nuestra definición) y su interior.

A partir de aquí supondremos que el lector conoce los términos y de la geometría clásica concernientes apolígonos, es decir, lo que es un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un rombo, un triánguloisósceles, etc., así como los hechos fundamentales. En particular, es claro que los lados que concurren en unvértice de un polígono determinan dos ángulos cuya suma es de 360Î. Si el polígono es simple podemosdistinguir entre el ángulo interior y el ángulo exterior, en el sentido obvio. Cuando hablamos de los ángulosde un polígono se entiende que son los ángulos interiores.

Teorema 1.2: Todo polígono simple tiene al menos un ángulo de menos de 180Î.

Demostración: Fijado un sistema de referencia en el plano, como el interior de un polígono P es un conjuntoacotado, su proyección sobre el eje X será un conjunto acotado y tendrá un supremo s, que será lacoordenada x de un punto p de la frontera de P. Así, la recta vertical de ecuación x = s toca la frontera deP y deja a todo P en uno de sus semiplanos. Si p no es un vértice de P, estará en uno de sus lados, queserá necesariamente vertical, pues si no, cruzaría la recta, luego los extremos de dicho lado estarán sobre larecta y, en cualquier caso, la recta contendrá un vértice v de P. El ángulo interior correspondiente a v estácontenido en un semiplano, luego es menor o igual de 180Î. La definición de polígono exige que sea menor de180Î. †

Teorema 1.3: Todo polígono simple de más de tres lados contiene al menos una de sus diagonales.

Demostración: Sea P un polígono simple de más de tres lados y sea v un vértice cuyo ángulo sea menor de180Î. Sean v1y v2 sus vértices adyacentes. Como P no es un triángulo, estos dos vértices no son adyacentesentre sí, y el segmento que los une es una diagonal. Podemos suponer que no está contenida en P, pues encaso contrario no hay nada que probar. Vamos a distinguir varios casos:

a) El lado contiguo a vv1 está contenido en v1v2 o bien entra en el triángulo vv1v2.

Sea w su otro extremo y consideremos todos los segmentos que unen v con todos los vértices contenidos en

el triángulo vv1w sin contar v y v1. De entre ellos, nos quedamos con el que forma un ángulo menor con el

lado vv1. Si hay varios vértices cuyo segmento forma el mismo ángulo, nos quedamos con el más cercano av, y lo llamamos w’.

v

ww'

v1

v2Observamos que el lado v1w no puede cortar al lado vv2, luego el ángulo que vw forma con vv1 es menor

que el que forma vv2, por lo que w’ no puede ser ninguno de los dos vértices adyacentes a v, luego elsegmento que lo une con v es una diagonal. Si no fuera interior, como no puede contener ningún otro vérticede P, tendría que estar atravesada por un lado de P, pero el extremo w’’ situado en el mismo semiplano

que v1 no puede haber salido del triángulo vv1w ni cruzando vv1 ni cruzando v1w, pues ambos son lados deP y los lados no pueden cortarse. Entonces w’’ sería un vértice contenido en el triángulo vv1w que formaría

un ángulo con vv1 menor que w’, contradicción. Por lo tanto, la diagonal vw’ es interior.

b) El lado contiguo a vv1 está fuera del triángulo vv1v2.

Entonces podemos tomar el punto p de la diagonal v1v2 más cercano a v1, y pueden darse dos casos: quesea un vértice de P o que esté en el interior de un lado l que cruza la diagonal. En el segundo caso llamamos

w al vértice de l que queda dentro del triángulo vv1v2, y en el primero tomamos como w el propio p. Ahora

podemos repetir el argumento anterior con el cuadrilátero vv1pw (que será un triángulo si p = w):

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Entonces podemos tomar el punto p de la diagonal v1v2 más cercano a v1, y pueden darse dos casos: quesea un vértice de P o que esté en el interior de un lado l que cruza la diagonal. En el segundo caso llamamos

w al vértice de l que queda dentro del triángulo vv1v2, y en el primero tomamos como w el propio p. Ahora

podemos repetir el argumento anterior con el cuadrilátero vv1pw (que será un triángulo si p = w):

v

w

p

w'

v1

v2Como antes, consideramos, de entre los vértices contenidos en el cuadriátero sin contar v ni v1, el que hace

que el segmento que lo une con v forme el menor ángulo posible con vv1 y en dicho segmento tomamos elvértice w’ más cercano a v. Nuevamente, el segmento vw’ es una diagonal y no puede contener otrosvértices de P, ni tampoco puede ser cruzada por un lado, ya que el extremo de dicho lado situado en el

semiplano de v1no puede sarlir del cuadrilátero ni por vv1, porque es un lado, ni por v1p, por la minimalidadde p, ni por pw, porque es un fragmento de un lado. Por lo tanto, tiene que estar en el cuadrilátero ycontradice la elección de w’. †A partir de este resultado es fácil probar, por ejemplo, que todo polígono simple se puede triangular, es decir,se puede descomponer en unión de triángulos disjuntos (es decir, que la intersección entre dos de ellos sereduzca a un vértice o una arista común) cuyos vértices son vértices del polígono. Otra consecuencia sencillaes la siguiente:

Teorema 1.4: La suma de los ángulos de un polígono simple de n lados es igual a (n-2)180Î.

Demostración: Lo probamos por inducción sobre n. Lo suponemos conocido para el caso de los triángulos. Sies cierto para polígonos de menos de n lados y P tiene n lados, consideramos una diagonal d de P que seainterior. Digamos que une los vértices v y v’. Es claro que d divide a P en dos polígonos de menos de nlados. Si tienen m y m’ lados, respectivamente, entonces los lados de P son n = m-1+m’-1 = m+m’-2.También es claro que la suma de los ángulos internos de P es la suma de los ángulos internos de los dossubpolígonos, luego ésta es (m-2)180+(m’-2)180 = (n-2)180Î. †

POLÍGONOS REGULARES

Estudiamos ahora los polígonos regulares, en el sentido siguiente:

Un polígono regular es un polígono simple con lados iguales y ángulos iguales.

Es conocido que un triángulo tiene sus lados iguales si y sólo si tiene sus lados iguales. Sin embargo, parael resto de polígonos las dos condiciones son independientes: un rectángulo tiene sus cuatro ángulosiguales, pero no necesariamente sus lados iguales, mientras que un rombo tiene sus cuatro lados iguales,pero no necesariamente sus cuatro ángulos iguales. Del teorema 1.4 se deduce inmediatamente el hechosiguiente:

Teorema 1.5: Cada ángulo de un n-ágono regular mide 180Î- 360Î

n .

En particular, todos los ángulos de un polígono regular miden menos de 180Î.

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Teorema 1.6: Los vértices de un polígono regular están situados sobre una única circunferencia.

Demostración: Consideremos un lado del polígono, de extremos v1 y v2, y construyamos sobre él untriángulo isósceles cuyos ángulos sean los indicados en la figura. Realizamos la misma construcción sobre el

lado contiguo, y observamos que los triángulos obtenidos son iguales y tienen un lado en común, Ov2. En

efecto, sabemos que el ángulo que forman los dos lados contiguos mide 180 - 360n

, luego el segmento Ov2está precisamente sobre su bisectriz.

v1O

v2

v3

360

n90-

180

n

90-180

n

Concluimos que el punto O está a la misma distancia de los tres vértices v1, v2, v3, y laconstrucción puede repetirse con los vértices siguientes, hasta llegar a que todos equidistandel punto O. †

La circunferencia en la que se encuentran los vértices de un polígono regular P se llamacircunferencia circunscrita del polígono (y también se dice que el polígono está inscrito en lacircunferencia), su centro se llama centro del polígono y su radio circunradio o, simplemente,radio del polígono.

Del la prueba del teorema anterior se deduce que los vértices de un n-ágono regular dividen a sucircunferencia circunscrita en n partes iguales, así como que la relación entre la longitud l del lado y el

radio r es la dada por l = 2r senI 180Î

nM. También es obvio que la distancia del centro O al centro de cada

lado es a = r cosI 180Î

nM. Esta distancia se llama apotema o inradio del polígono, y la circunferencia de

centro O y radio a se llama circunferencia inscrita en el polígono, pues claramente es tangente a sus lados(y se dice también que el polígono está circunscrito a ella).

La figura siguiente muestra varios polígonos regulares con su circunferencia inscrita y su circunferenciacircunscrita:

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n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ahora es evidente que dos n-ágonos regulares son iguales si y sólo si tienen el mismo lado (o el mismoradio), y que dos n-ágonos regulares cualesquiera son homotéticos. Veamos una propiedad elemental delos polígonos que usaremos a menudo:

Teorema 1.7: El lugar geométrico de los puntos que equidistan de tres de los vértices de un polígono regulares la recta que pasa por su centro y es perpendicular a su plano, y sus puntos equidistan de hecho de todoslos vértices del polígono.

Demostración: Es fácil ver que el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos dados es elplano que pasa por el punto medio del segmento que los une y es perpendicular a él. Por lo tanto, el lugargeométrico de los puntos que equidistan de tres puntos no colineales es la intersección de dos planos y, porconsiguiente, una recta perpendicular al plano que los contiene. Si aplicamos esto a tres vértices de unpolígono regular, vemos que los puntos que equidistan de ellos forman una recta perpendicular al polígono,pero como el centro cumple dicha propiedad, es concretamente la recta perpendicular al polígono que pasapor su centro. Aplicando esto a cada grupo de tres vértices concluimos que los puntos de dicha rectaequidistan de todos los vértices del polígono. †

Podemos plantearnos qué sucede si tratamos de generalizar la definición de polígono regular suprimiendoel requisito de que el polígono deba ser simple. En principio, nos encontramos con una dificultad, ya queno podemos exigir que los ángulos (internos) sean iguales, pues en un polígono con autointersecciones nohay una forma clara de distinguir entre ángulos internos y externos. En cualquier caso, en cada vérticetenemos dos ángulos, uno mayor de 180Î y otro menor, y podemos exigir simplemente que los pares deángulos en cada vértice tengan las mismas medidas. Con esta definición relajada, existe una amplia gamade “polígonos regulares”. La figura siguiente contiene algunas muestras. Por ejemplo, el primero es un“hexadecágono regular” cuyos vértices determinan ángulos de 45Î y 315Î y. Vemos que ocho de sus ladospasan por encima de otros tantos vértices, cosa que no ocurre en el segundo ejemplo, un “icoságonoregular” con ángulos de 72Î y 288Î, cuyas aristas se cortan únicamente en puntos interiores.

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Ahora bien, al renunciar a la distinción entre ángulos internos y externos resulta que hay polígonos simplesque cumplen esta “definición general” de polígono regular sin cumplir la que habíamos dado para polígonossimples, como es el caso de los dos representados en la figura siguiente:

Resulta así evidente, especialmente a la vista del polígono de la derecha, que nuestro proyecto degeneralización del concepto de polígono regular es demasiado generoso, en tanto que admite objetostotalmente asimétricos, en contraste con la gran simetría de los polígonos regulares simples.Equivalentemente, sucede que la mera exigencia de que un polígono tenga lados iguales y ángulos igualesimplica automáticamente unas condiciones de simetría en el caso de polígonos simples que no tienen por quédarse en el caso de polígonos complejos (o simplemente si prescindimos de la distinción entre ángulosinternos y externos), por lo que razonable es generalizar la noción de polígono regular exigiendo dichascondiciones de simetría:

Una simetría de un polígono es una isometría del plano que transforma vértices en vértices ylados en lados.

Un polígono regular es un polígono tal que para cada par de vértices existe una simetría quetransforma uno en otro y para cada par de lados existe una simetría que transforma uno en otro.

Observemos que, puesto que los conjuntos de vértices y de lados de un polígono son finitos y las simetríasson biyectivas, en realidad una simetría biyecta ambos conjuntos con ellos mismos, es decir, induce unapermutación en el conjunto de los vértices y otra permutación en el conjunto de los lados, de modo que lospares de vértices adyacentes se transforman en pares de vértices adyacentes y los pares de lados contiguosse transforman en pares de lados contiguos. Como las simetrías son también homeomorfismos, es inmediatoque transforman puntos interiores en puntos interiores y, como la inversa de una simetría es también unasimetría, concluimos que las simetrías biyectan los puntos interiores con los puntos interiores, es decir, queinducen una permutación del polígono completo (considerando su interior como parte de él).

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Observemos que, puesto que los conjuntos de vértices y de lados de un polígono son finitos y las simetríasson biyectivas, en realidad una simetría biyecta ambos conjuntos con ellos mismos, es decir, induce unapermutación en el conjunto de los vértices y otra permutación en el conjunto de los lados, de modo que lospares de vértices adyacentes se transforman en pares de vértices adyacentes y los pares de lados contiguosse transforman en pares de lados contiguos. Como las simetrías son también homeomorfismos, es inmediatoque transforman puntos interiores en puntos interiores y, como la inversa de una simetría es también unasimetría, concluimos que las simetrías biyectan los puntos interiores con los puntos interiores, es decir, queinducen una permutación del polígono completo (considerando su interior como parte de él).

En particular, ahora es obvio que un polígono simple es regular en este sentido si y sólo si lo es según ladefinición que habíamos dado previamente. En efecto, puesto que todo lado puede transformarse encualquier otro mediante una simetría, todos los lados son iguales y, como todo vértice puede transformarseen cualquier otro mediante una simetría (y ésta transforma claramente el ángulo interior de un vértice en elángulo interior del otro), los ángulos interiores son también todos iguales. Recíprocamente, en un n-ágonoregular según la primera definición, los giros de ángulo 360k/n respecto de su centro son simetrías quepermiten transformar cualquier vértice en cualquier vértice y cualquier lado en cualquier lado.

Pasamos a estudiar la definición extendida de regularidad. Para ello resulta útil el concepto de centroide,que definimos en espacios de dimensión arbitraria para que los resultados nos aprovechen también parapoliedros:

Dados n puntos distintos en un espacio afín m-dimensional y fijado un sistema de referencia,

llamamos centroide del sistema de puntos al punto de coordenadas p1++ pn

n, donde p1, … , pn

son las coordenadas de los puntos.

Teorema 1.8: Si una biyección afín permuta un conjunto finito de puntos, entonces deja invariante a sucentroide.

Demostración: La expresión en coordenadas de una biyección afín es de la forma x Ø v + xA, donde v esun vector y A una matriz. Por lo tanto, con la notación de la definición precedente, las coordenadas de laimagen del centroide vienen dadas por

v + p1++ pnn A = v+ p1 A ++ v+ pn A

n = p1++ pnn ,

donde hemos usado que los sumandos del numerador de la fracción central son los vectores de coordenadasp1, … , pn permutados. †

De aquí se deduce en particular que el centroide de un conjunto finito de puntos no depende del sistemade referencia respecto al que se calcula.

El centroide de un polígono es el centroide del conjunto de sus vértices. Si el polígono es regularrecibe el nombre de centro.

El teorema anterior nos da que todas las simetrías de un polígono dejan fijo a su centroide. Másprecisamente:

Teorema 1.9: Toda simetría de un polígono es un giro respecto a su centroide o bien una simetría respectode una recta que pasa por su centroide.

Demostración: En general, las isometrías del plano son traslaciones, giros o simetrías axiales, pero las trasla-ciones no tienen puntos fijos, luego quedan descartadas. †

Ahora ya es inmediato:

Teorema 1.10: Los vértices de un polígono regular están inscritos en una circunferencia con el mismo centroque el polígono (circunferencia circunscrita) y sus lados son tangentes a otra circunferencia con el mismocentro (circunferencia inscrita).

Demostración: Dados dos vértices, existe una simetría que transforma uno en otro, la cual fija al centro delpolígono, luego ambos están a la misma distancia de dicho centro. Similarmente, todos los lados están a lamisma distancia del centro, luego son tangentes a la circunferencia cuyo radio es dicha distancia. †

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Así pues, podemos hablar del inradio y del circunradio (o simplemente radio, en el segundo caso) de unpolígono regular en el sentido general.

Consideremos ahora un n-ágono regular y sean v, v', v'' tres vértices consecutivos. Los lados que llegan a v'son cuerdas de la circunferencia circunscrita, y como tienen la misma longitud l, ambas abarcan el mismo

ángulo a < 180Î, que depende únicamente de l, luego, en general, los vértices contiguos a un vértice dado vson los dos puntos de la circunferencia circunscrita separados de v por un arco de amplitud a.

v

v''

v'

a

De este modo, si medimos los arcos a partir de uno de los vértices, los vértices sucesivos del polígono sonlos que están separados del vértice de partida por un ángulo 0, a, 2a, 3a, ... , na y, como el último debecoincidir con el primero, resulta que na = k 360Î, es decir, que a = (k/n)360Î, con k/n<1/2. Además, k yn son primos entre sí, pues si k = xk’ y n = xn’, tendríamos que n’a = k’ 360Î, lo cual significa que eln’-ésimo vértice del polígono coincide con el primero y el polígono tendría n’ vértices en lugar de n.Recíprocamente, si 1 § k § n son dos números naturales primos entre sí con n ¥ 3, al partir de un puntode la circunferencia y avanzar en arcos de (k/n)360Î y, llegamos al punto de partida al cabo de n pasos,pero no antes, ya que si llegáramos al punto de partida en 0 < i < n pasos, sería (ik/n)360 = m 360,luego ik = nm, luego n § i, ya que n es primo con k, contradicción. En resumen:

Si n y k son números primos entre sí tales que n ¥ 3, y 1 § k § n, llamaremos {n/k} al n-ágono regular que resulta de partir de un punto de una circunferencia y avanzar sucesivamentearcos de (k/n) 360Î. Los polígonos {n/k} con k ≠ 1 se llaman polígonos estrellados. Cuando k = 1escribiremos {n} = {n/1}. Claramente {n/k} = {n/(n-k)}.

En estos términos acabamos de probar que todo polígono regular es un polígono estrellado. Más aún, elargumento que nos ha llevado a esta conclusión (tras el teorema 1.10) no ha partido realmente de ladefinición de polígono regular, sino que solamente se ha apoyado en que el polígono considerado estabainscrito en una circunferencia y tenía sus lados iguales. Por consiguiente hemos probado:

Teorema 1.11: Si un polígono tiene sus vértices inscritos en una circunferencia y sus lados iguales,entonces es regular.

La figura siguiente muestra algunos polígonos regulares con sus circunferencias inscrita y circunscrita:

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n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

k 1 2

CircunferenciasCircunscrita

Inscrita

Es fácil justificar que las relaciones entre el lado l, el radio r y el inradio a son las dadas por:

l = 2r sen180 kn

, a = r cos180 kn

.

Ahora es claro que los “presuntos” polígonos regulares que habíamos mostrado más arriba son polígonoscon un cierto grado de simetría (excepto el último, que era totalmente asimétrico), pero no con la simetríatotal propia de los polígonos regulares: en efecto, tienen grupos de vértices que pueden hacersecorresponder mediante giros adecuados que dejan invariante al polígono, pero los vértices más alejadosdel centro no pueden llevarse a los más cercanos. Tampoco es posible transformar cualquier arista encualquier otra.

Cuando n y k no son primos entre sí, la notación {n/k} se emplea para representar la figura que tiene porvértices los vértices del polígno {n} y unir cada uno de ellos con los dos a los que se llega avanzando kvértices en ambos sentidos. Por ejemplo, {6/2} = {6/4} es la estrella de David:

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De acuerdo con la definición que hemos dado, no es un polígono, sino lo que se denomina un compuesto, esdecir, una unión de varios polígonos (dos triángulos, en teste caso).

EL PENTÁGONO Y EL PENTAGRAMA

Vamos a estudiar ahora la geometría de los dos pentágonos regulares: el pentágono convexo {5} y el únicopentágono estrellado {5/2}, conocido también como pentagrama, pentalfa, pentáculo, pentángulo o estrellapitagórica. Como veremos, en las relaciones entre sus partes aparecerá el número áureo

F =1+ 5

2= 1.61803 ...

Es la raíz positiva del polinomio x2-x-1, luego es el único número positivo que cumple: F2 = F + 1.Consideremos el pentágono de lado l que muestra la figura:

A

B

C

DE

F d-l

d

l

l

Teniendo en cuenta que un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que abarca, es fácilver que el triángulo ABF es isósceles, pues su ángulo A mide 36Î, mientras que B mide 72Î, luego F tambiénmide 72Î, y esto hace que AF = l. Igualmente, los triángulos ACD y DCF son semejantes, lo que nos da laproporción

12 |

dl=

ADCD

=CDCF

=l

d -l=

1

dl - 1

,

de la que se sigue que dl2

= dl +1, luego d = lF. Teniendo en cuenta las proporciones y semejanzas

anteriores, ahora es inmediato que, de las cuatro longitudes determinadas por el pentagrama, las que en lafigura siguiente aparecen destacadas con las letras A > B > C > D, se cumple que cada una de ellas esigual a la siguiente multiplicada por F. Además B coincide con el lado del pentágono. En particular, el lado del

pentágono interior es igual al lado del pentágono exterior dividido entre F2.

A

B

C

D

En términos trigonométricos, hemos demostrado que sen 18Î = 1/2F. Usando las fórmulas para el seno y elcoseno del ángulo doble obtenemos fácilmente las razones trigonométricas del ángulo de 36Î, de modo quetambién conocemos las de sus ángulos complementarios: 72Î y 54Î:

Ángulo sen cos

18F-12 = -1+ 5

4F+22 = 5+ 5

8

363-F2 = 5- 5

8F2 = 1+ 5

4

ALGUNOS DATOS SOBRE LOS PRIMEROS POLÍGONOS

Los únicos datos de la tabla siguiente que no son inmediatos son los correpondientes al pentágono, que sededucen de los cálculos precedentes:

| 13

Polígono radio apotema área

83<33

36

34

84<22

12 1

85<5+ 510

12

5+2 55

54

5+2 55

86< 1 32

3 32

88<2+ 22

1+ 22 2+2 2

810<1+ 52

5+2 52

52

5 + 2 5

Los datos corresponden a polígonos de lado l = 1. En general hay que multiplicar el radio y la apotema por ly el área por l2. El área se calcula sumando el área de los n triángulos de vértices en el centro del polígono yen cada par de lados consecutivos: A = nla/2.

2. Definición de poliedro

Los poliedros son el análogo tridimensional de los polígonos. Sin embargo, al pasar a tres dimensiones lasposibilidades se multiplican, y esto vale tanto para los casos de interés como para los casos patológicos quenos gustaría excluir mediante una definición adecuada. La idea básica es la que recoge lo que podríamosconsiderar como "definición" clásica de poliedro:

‡ Un poliedro es una región acotada del espacio limitada por un número finito de caraspoligonales,

o, lo que viene a ser lo mismo, un poliedro es una figura “de este estilo”:

Desgraciadamente, existen distintas posibilidades a la hora de interpretar el grado de parecido que ha detener una figura con la que muestra la figura para que merezca ser considerada como un “poliedro”, y la“definición” anterior es lo suficientemente ambigüa como para no ser de mucha ayuda a la hora de elegir unaen particular. Por otra parte, una definición que fuera completamente fiel a esta idea incluiría necesariamentemuchos casos patológicos que conviene excluir, no porque no sea justo considerarlos “regiones acotadas delespacio limitadas por un número finito de caras poligonales”, sino porque darían lugar a una maraña decontraejemplos a muchos teoremas válidos para poliedros más “razonables”. Por ello, pensando en incluirúnicamente las figuras geométricas susceptibles de dar lugar a una teoría interesante más que en ser fieles ala vaga noción clásica de poliedro, adoptaremos la definición siguiente:

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Desgraciadamente, existen distintas posibilidades a la hora de interpretar el grado de parecido que ha detener una figura con la que muestra la figura para que merezca ser considerada como un “poliedro”, y la“definición” anterior es lo suficientemente ambigüa como para no ser de mucha ayuda a la hora de elegir unaen particular. Por otra parte, una definición que fuera completamente fiel a esta idea incluiría necesariamentemuchos casos patológicos que conviene excluir, no porque no sea justo considerarlos “regiones acotadas delespacio limitadas por un número finito de caras poligonales”, sino porque darían lugar a una maraña decontraejemplos a muchos teoremas válidos para poliedros más “razonables”. Por ello, pensando en incluirúnicamente las figuras geométricas susceptibles de dar lugar a una teoría interesante más que en ser fieles ala vaga noción clásica de poliedro, adoptaremos la definición siguiente:

Un poliedro está determinado por un conjunto finito (no vacío) de puntos del espacio llamadosvértices del poliedro, un conjunto de segmentos cuyos extremos sean vértices, llamados aristasdel poliedro, y un conjunto de polígonos cuyos lados sean aristas, llamados caras del poliedro.Exigimos además las condiciones siguientes:

1) Todo vértice es el extremo de al menos una arista y toda arista es el lado de exactamente doscaras, las cuales no están sobre el mismo plano. (Cuando dos caras comparten una arista diremosque son contiguas.)2) Todo par de caras puede conectarse por una sucesión de caras contiguas.

3) Las aristas que llegan a un mismo vértice pueden disponerse cíclicamente de forma que cadauna y la siguiente sean lados de una misma cara. (Se dice entonces que las aristas sonconsecutivas respecto a dicho vértice.)

La tercera condición sirve para excluir figuras como la siguiente:

Esta figura, con C = 16 caras (4 triángulos, 8 cuadriláteros y 4 pentágonos) A = 32 aristas y V = 17 vértices,cumple todos los requisitos de la definición de poliedro excepto el último, pues las ocho aristas que confluyenen el vértice “peculiar” se dividen en dos grupos de cuatro, de forma que cada uno de esos grupos sí quepuede disponerse cíclicamente como exige la propiedad 3), pero no así la totalidad de ellos. Pese a ello, seajusta perfectamente a la "definición" de poliedro como "región del espacio limitada por caras poligonales".

Por el contrario, el objeto representado en la primera figura de esta sección cumple la definición de poliedro ytiene C = 14 caras (seis octágonos y ocho triángulos), A = 36 aristas y V = 24 vértices.

Si comparamos esta definición con la definición de polígono dada en la sección anterior podemos notarciertos paralelismos, pero también ciertas diferencias significativas. Por lo pronto, en la definición depolígono exigíamos que los lados establezcan un ciclo de vértices, de modo que podemos partir de unvértice cualquiera y recorrerlos todos moviéndonos a través de los lados hasta volver al vértice de partida.En cambio, en el caso de los poliedros no hay ningún recorrido natural que nos lleve por todas sus caras, ylo máximo que podemos pedir es que exista una cadena de caras que nos lleve de una cualquiera a otracualquiera. Esta exigencia nos asegura que no consideraremos como un único poliedro lo que resulta másnatural considerar como dos poliedros independientes sin relación alguna, pero también excluye casoscomo el de la figura siguiente, que en principio encajaría con la “definición” clásica que hemos dado enprimer lugar: el espacio comprendido entre los dos poliedros representados es una región acotada delespacio limitada por caras poligonales (12 cuadrados).

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Por otro lado, la definición precedente admite deliberadamente poliedros con autointersecciones como el quemuestra la figura siguiente, que sería razonable considerar contrarios al “espíritu” de la “definición” clásica:

Aquí vemos un poliedro con C = 9 caras, A = 16 aristas y V = 9 vértices en el que las cuatro caras triangularescortan a una de las caras cuadradas. Para excluir las autointersecciones introducimos las condicionessiguientes:

Diremos que un poliedro es simple si cuando dos de sus aristas tienen un punto en común éste esuno de sus extremos, y cuando dos de sus caras tienen un punto en común entonces suintersección es, o bien uno de sus vértices, o bien uno de sus lados.

En particular, las caras de un poliedro simple son polígonos simples.

Si alguien podría considerar nuestra definición “excesivamente generosa” por admitir autointersecciones,también podría tacharla de “excesivamente restrictiva” por exigir que cada arista sea compartidaexactamente por dos caras. Ciertamente, admitir poliedros con aristas que formen parte de una única carasólo supondría aceptar como tales a objetos patológicos (como por ejemplo, dos polígonos cualesquierasituados en planos distintos y unidos por un lado), pero es cuestionable que no se pueda admitir la existenciade aristas compartidas por más de dos caras. Consideremos por ejemplo la figura siguiente:

16 |

Opacidad

Ocultar Triángulos

Esta figura podría interpretarse como un poliedro simple con C = 16 caras triangulares, A = 18 aristas y V = 7vértices salvo por el hecho de que 6 de las aristas son compartidas por 4 caras cada una. No obstante, lafigura es también un poliedro según la definición que hemos dado, pero considerándolo como formado por C= 7 caras (tres cuadrados y cuatro triángulos), A = 12 aristas y V = 6 vértices, de tal forma que las carascuadradas se cortan por sus diagonales (el lector debería pararse a comprobar que así se cumple también lacondición 3 de nuestra definición de poliedro). Pensando en casos como éste resulta razonable considerar unadefinición de poliedro un poco más generosa que la que hemos dado de forma que se admitan aristas queforman parte de un número par de caras (y en tal caso en la definición de poliedro simple se incluye lacondición de que . No obstante, nosotros nos ceñiremos a la definición que hemos dado.

El concepto de poliedro simple es el equivalente tridimensional al de polígono simple, aunque esto debe sermatizado. En realidad se trata de una propiedad puramente topológica: un poliedro es simple si y sólo si cadauno de sus puntos tiene un entorno homeomorfo a un subconjunto abierto del plano. La ausencia deautointersecciones garantiza que esto es así para los puntos interiores de sus caras, el hecho de que cadaarista sea compartida exactamente por dos caras lo garantiza para los puntos interiores de sus aristas y lapropiedad 3) de la definición de poliedro lo garantiza para sus vértices. Más concretamente, los poliedrossimples son superficies compactas, necesariamente orientables, pues las superficies compactas no orientablesno pueden sumergirse en el espacio tridimensional.

Este hecho tiene su análogo en polígonos: un polígono es simple si y sólo si es homeomorfo a unacircunferencia, es decir, si y sólo si es una variedad topológica compacta de dimensión 1, porque sucede quetodas las variedades topológicas compactas de dimensión 1 son homeomorfas a circunferencias. Sin embargo,existen infinitas superficies topológicas compactas no homeomorfas entre sí, determinadas por un únicoinvariante llamado género: las superficies de género 0 son las homeomorfas a esferas, las de género 1 son lashomemorfas a toros, es decir, las que tienen un “agujero”, las de género 2 tienen dos agujeros, etc.

Por ejemplo, la figura siguiente muestra un poliedro simple de género 1, con C = 16 caras (cuadriláteros), A =32 aristas y V = 16 vértices:

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En general, podemos distinguir puntos interiores y puntos exteriores en cualquier poliedro con el mismocriterio empleado para los polígonos: el complementario de un poliedro tiene una única componente conexano acotada, a saber, la que contiene al exterior de una esfera que contenga al poliedro, por lo que podemosllamar puntos interiores a los de las restantes componentes conexas y puntos exteriores a los de dicha únicacomponente no acotada. Teniendo en cuenta que las componentes conexas de los abiertos son arcoconexas,esto equivale a que un punto es exterior si puede unirse con un punto lejano mediante un arco que no pasapor el poliedro.

El concepto de polígono convexo admite una generalización obvia:

Un poliedro es convexo si, para cada una de sus caras, el plano que la contiene deja todo elpoliedro en uno de los semiespacios que determina.

La prueba del teorema siguiente se obtiene modificando levemente la prueba del teorema 1.1:

Teorema 2.1: Un poliedro es convexo si y sólo si es simple y su interior es un abierto convexo (en el sentidousual) del cual es la frontera.

Demostración: Sea P un poliedro convexo, para cada una de sus caras C, sea SC el semiespacio abierto quedetermina el plano que la contiene y que contiene a P, y sea I la intersección de dichos semiespacios. Puestoque los semiespacios son convexos (en el sentido usual) y la intersección de convexos es convexa, tenemosque I es un abierto convexo. Veamos que P es la frontera de I. Para ello observamos en primer lugar que laintersección de las clausuras de los semiespacios SC (es decir, los correspondientes semiespacios cerrados)es un cerrado que contiene a I, luego la clausura de I, y en particular su frontera, están contenidos en dichaintersección.

Así pues, si un punto x está en la frontera de I, está en las clausuras de todos los semiespacios SC, y tieneque estar en la frontera de alguno de ellos, pues si estuviera en el interior de todos estaría en I, lo cual esimposible porque I es abierto. Esto significa que x está en el plano que prolonga a una cara C. Observemosque la definición de poliedro convexo implica que las caras de un poliedro convexo cumplen la definición depolígono convexo, y el hecho de que x esté en todos los semiespacios cerrados definidos por los planos de lascaras de P que contienen a P implica que x está en todos los semiplanos definidos por los lados de C quecontienen a C, es decir, que está en C, luego en P.

Por otro lado, si C es una cara de P y x es un punto de su interior, tenemos que x está en todos lossemiespacios abiertos determinados por las caras restantes (pues es fácil ver que no puede haber dos carassituadas sobre el mismo plano, ya que entonces, como C es la intersección de los semiplanos determinadospor las prolongaciones de sus lados y otra cara distinta C’ no puede estar contenida en C, si C’ estuviera enel mismo plano no estaría contenida en uno de dichos semiplanos, luego la cara contigua a C por el ladocorrespondiente determinaría un plano que tendría puntos de P en ambos semiespacios, en contradicción conla convexidad de P). Por lo tanto, todos los puntos de un entorno U de x están en la intersección de losrestantes semiespacios abiertos y, dado cualquier entorno V de x, tenemos que U › V corta a SC, luego aI. Esto prueba que x está en la frontera de I.

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Por otro lado, si C es una cara de P y x es un punto de su interior, tenemos que x está en todos lossemiespacios abiertos determinados por las caras restantes (pues es fácil ver que no puede haber dos carassituadas sobre el mismo plano, ya que entonces, como C es la intersección de los semiplanos determinadospor las prolongaciones de sus lados y otra cara distinta C’ no puede estar contenida en C, si C’ estuviera enel mismo plano no estaría contenida en uno de dichos semiplanos, luego la cara contigua a C por el ladocorrespondiente determinaría un plano que tendría puntos de P en ambos semiespacios, en contradicción conla convexidad de P). Por lo tanto, todos los puntos de un entorno U de x están en la intersección de losrestantes semiespacios abiertos y, dado cualquier entorno V de x, tenemos que U › V corta a SC, luego aI. Esto prueba que x está en la frontera de I. Con esto hemos probado que P es la frontera de I. Notemos ahora que la clausura de I es la intersección delas clausuras de los semiespacios SC, pues una inclusión es obvia y, si x está en la intersección de lossemiespacios cerrados, o bien está en la intersección de los semiespacios abiertos, es decir, en I, o bien estáal menos en la frontera de uno de ellos, y bajo esas hipótesis hemos probado más arriba que x está en P,luego en ambos casos está en la clausura de I. Veamos que I es un conjunto acotado. En efecto, sea S una esfera que contenga a P. Como el exterior de Sno contiene puntos de la frontera de I, o bien todos sus puntos están en I, o bien ninguno lo está, pero sitodos lo estuvieran, por convexidad todo el interior de S estaría en I, lo cual es imposible (pues P no está enI), luego I está contenido en el interior de S y es, pues, acotado. Por consiguiente, la clausura de I es unconvexo compacto, y todo convexo compacto en el espacio es homeomorfo a una bola, de forma que lafrontera (en nuestro caso P) es homeomorfa a la esfera correspondiente. Como la esfera es una superficietopológica, esto implica que P es un poliedro simple.

El complementario de I ‹ P es la unión de los semiespacios abiertos complementarios de los SC, luego es unconjunto no acotado. Si probamos que es conexo podremos concluir que I y dicho complementario son lasdos únicas componentes conexas del complementario de P, y que I es la componente acotada, luego es elinterior de P.

Para probar que el complementario de I ‹ P es conexo consideramos una esfera que contenga a todos losvértices de P en su interior. Hemos visto que está en dicho complementario. Como todo semiespacio cuyafrontera pase por el interior de la esfera contiene puntos de la misma, resulta que los semiespacios cuyaunión es el complementario de I ‹ P cortan todos a la esfera luego tenemos una unión de conjuntos conexosque cortan todos a un mismo conexo. La unión es conexa.

Esto termina la prueba de una implicación. El recíproco es consecuencia de que los compactos convexostienen hiperplanos de soporte en todos los puntos de su frontera. Concretamente, si C es una cara de P,tomamos un punto interior p, con lo que existe un plano que pasa por p y que deja a todo el convexo (eneste caso la unión de P y su interior) en uno de los semiespacios que determina. Es obvio que dicho planotiene que ser necesariamente la prolongación de la cara. ‡

En particular hemos visto que los poliedros convexos son homeomorfos a esferas, y que sus interiores sonhomeomorfos a bolas abiertas. En la práctica, la clase de los poliedros simples nos resultará demasiadoamplia, y consideraremos únicamente poliedros simples de género 0. Ya hemos explicado lo que es esto, perodestacamos la definición:

Un poliedro es esferoide o de género 0 si es homeomorfo a una esfera o, equivalentemente, si eshomeomorfo a un poliedro convexo.

Esto significa que el poliedro puede deformarse hasta convertirse en una esfera (o en un poliedro convexo)sin que en la deformación se produzca ninguna ruptura y sin que dos puntos distintos acaben pegándose.La figura siguiente muestra un poliedro esferoide no convexo y cómo puede deformarse hasta convertirseen un poliedro convexo.

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Según hemos explicado, informalmente, un poliedro esferoide es un poliedro simple “sin agujeros”. Elteorema de la curva de Jordan se generaliza al teorema de Jordan-Brouwer, según el cual todo espacio Phomeomorfo a una esfera (en particular todo poliedro esferoide) divide al espacio (más precisamente, a sucomplementario en el espacio) en dos componentes conexas, una acotada y otra no acotada, de las cuales Pes la frontera. En particular, su interior es siempre un conjunto conexo. Así pues, un poliedro esferoide Pdetermina “una región acotada del espacio limitada por un número finito de caras poligonales” (las caras deP), es decir, un poliedro en el sentido de la definición informal que hemos tomado como punto de partida. Noobstante, conviene mantener el convenio que hemos adoptado en virtud del cual el poliedro es la superficieque limita a la región, y no la región misma.

EJEMPLOS: PRISMAS Y PIRÁMIDES

Terminamos esta sección analizando dos ejemplos especialmente simples de poliedros convexos queprobablemente conocerá ya el lector, pero que nos servirán como introducción al estudio de los poliedrosregulares en la sección siguiente.

Un prisma es un poliedro que consta de dos caras paralelas, llamadas bases, de tal forma queuna se obtiene de la otra mediante una traslación y, si las bases tienen n lados, de otras n caras,llamadas caras laterales, que son paralelogramos entre cuyos lados figura un lado de una base ysu trasladado en la otra base. Cuando la traslación que relaciona las bases se realiza en direcciónperpendicular a sus planos (o, equivalentemente, cuando las caras laterales son rectángulos) elprisma se dice recto, y en caso contrario oblicuo. La distancia entre las dos bases se llama alturadel prisma.

La figura muestra un prisma recto y otro oblicuo con la misma base y la misma altura. Un prisma estriangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc. según el número de lados de sus bases. Por lo tanto,los prismas de la figura son pentagonales.

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Claramente, un prisma es un poliedro convexo si y sólo si sus bases son polígonos convexos. Puesto quetodas las secciones de un prisma (recto u oblicuo) respecto a planos paralelos a sus bases tienen la mismaárea (las secciones son también traslaciones de las bases), el teorema de Fubini nos da que el volumen de unprisma es V = Sh, donde S es la superficie de la base y h la altura.

Una pirámide es un poliedro que consta de una cara llamada base y, si la base tiene n lados, deotras n caras, llamadas caras laterales, que resultan de unir un lado de la base con un punto fijosituado fuera de su plano llamado vértice de la pirámide. La distancia entre la base y el vértice sellama altura de la pirámide.

La figura muestra una pirámide pentagonal (con la misma base que los prismas anteriores). Como en el casode los prismas, una pirámide es convexa si y sólo si lo es su base.

Para calcular el volumen de una pirámide, llamamos h a su altura y S a la superficie de su base. Es claro que

la sección de la pirámide por un plano paralelo a la base y a una distancia x del vértice tiene área Sxtal que

Sx = Ixh M2S.

Por lo tanto, el teorema de Fubini nos da que el volumen es

V = Ÿ0hSx „ x = Ÿ0

hI xh M2 S „ x = S

h2B x3

3 F0

h = 13

Sh.Un paralelepípedo es un prisma cuyas caras son paralelogramos, por lo que son paralelas dos a dos.

Claramente, un paralelogramo queda completamente determinado por uno de sus vértices O y tres vectores

linealmente independientes OA, OB, OC, y es conocido que su volumen viene dado por

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Claramente, un paralelogramo queda completamente determinado por uno de sus vértices O y tres vectores

linealmente independientes OA, OB, OC, y es conocido que su volumen viene dado por

V = |det[OA, OB, OC]|.

Por otro lado, los mismos datos determinan también una pirámide (un tetraedro) OABC. Si comparamos elvolumen del paralelepípedo, (que también puede calcularse como la superficie de su base por su altura) conel de la pirámide, que es un tercio de la superficie de su base (que a su vez es la mitad de la superficie de labase del paralelepípedo) por la misma altura, concluimos que el volumen del tetraedro es

V = 16 |det[OA, OB, OC]|.

3. LOS POLIEDROS REGULARES

La definición de polígono regular se generaliza de forma natural a la de poliedro regular. Como en el caso delos polígono, por simetría de un poliedro entendemos una isometría del espacio que transforma cada vérticeen un vértice, cada arista en una arista y cada cara en una cara. Si llamamos centroide de un poliedro alcentroide de sus vértices, el teorema 1.8 implica que todas las simetrías de un poliedro dejan invariante a sucentroide, luego en particular son giros respecto a un eje que pasa por el centroide o bien simetrías respectode un plano que pasa por el centroide (pues éstas son las únicas isometrías del espacio con un punto fijo).

Un poliedro es transitivo para vértices (resp. aristas, caras) si para cada par de vértices (resp.aristas, caras) tiene una simetría que transforma uno en otro. Un poliedro es regular si estransitivo para vértices, aristas y caras.

Veamos algunas consecuencias de estas definiciones:

Teorema 3.1: Los vértices de un poliedro transitivo para vértices están inscritos en una (única) esfera cuyocentro es el centroide del poliedro (y que se suele llamar también circuncentro, o simplemente centro, delpoliedro) y cuyo radio se llama circunradio, o simplemente radio, del poliedro. La esfera recibe el nombre deesfera circunscrita al poliedro.

Demostración: Es inmediato, pues dados dos vértices cualesquiera, existe una simetría del poliedro quetransforma uno en otro y, como ésta deja fijo al centroide, ambos vértices están a la misma distancia deél. †

Teorema 3.2: Las caras (resp. aristas) de un poliedro transitivo para caras (resp. aristas) son tangentes auna (única) esfera cuyo centro es el centroide del poliedro y cuyo radio (para el caso de las caras) se llamainradio del poliedro. La esfera (para el caso de las caras) recibe el nombre de esfera inscrita en el poliedro.

Demostración: Por el mismo argumento empleado en el teorema anterior, todas las caras (resp. aristas) delpoliedro están a la misma distancia r del centroide del poliedro, luego la esfera con dicho centro y radio r estangente a todas ellas, supuesto que r > 0. Ahora bien, no puede ser que todas las caras pasen por el cen-troide del poliedro, pues, si una lo hace, tendrá al menos una arista que no lo contenga, y la cara contiguapor dicha arista no pasará por el centroide. Como todas las caras tienen que estar a la misma distancia delcentroide, ninguna pasa por él. Con las aristas se razona análogamente. †

Teorema 3.3: Las caras de un poliedro transitivo para vértices y aristas son polígonos regulares, que seránsimples si el poliedro lo es.

Demostración: Los vértices de una cara están contenidos en un plano, y también en la esfera circunscrita,luego están en una circunferencia. Por la transitividad para aristas, dos cualesquiera de sus lados tienen lamisma longitud, y el teorema 1.11 nos da entonces que las caras son polígonos regulares. †

Observemos además que, como el centro de un poliedro regular equidista de los vértices de una cara, seencuentra sobre la recta perpendicular a su plano y que pasa por su centro, luego el centro de la cara es elpunto más cercano al centro del poliedro, luego es el punto de tangencia de la esfera inscrita.

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Teorema 3.4: Todas las simetrías de una cara de un poliedro regular que dejen fijo a su centro sonsimetrías del poliedro.

Demostración: La prueba se basa en que podemos reconstruir el poliedro a partir de una de sus caras y de suesfera inscrita mediante el procedimiento siguiente: partimos de una cara C, y le situamos encima la esferainscrita S, de modo que el punto de tangencia sea el centro de C. (En lo sucesivo, cuando digamos que unpolígono reguar es tangente a S sobrentenderemos que el punto de tangencia es el centro del polígino.) Lacara del poliedro contigua a C por uno de sus lados está unívocamente determinada por que es el únicopolígono igual que C que comparte el lado con C y que es tangente a S. (Aquí usamos que por una rectaexterior a una esfera pasan únicamente dos planos tangentes a ella, que en este caso son el plano de C y elplano de la cara contigua.) Por lo tanto, C y S determinan completamente las caras contiguas de C. Si alconstruir estas caras quedan aristas libres, es decir, sin cara contigua, resulta que sus caras contiguas pordichas aristas están unívocamente determinadas del mismo modo, y así podemos ir añadiendo caras sinningún margen de libertad hasta que no queden aristas libres.

Es claro que si aplicamos a C y a S una misma isometría, el poliedro que se obtiene mediante el proced-imiento que acabamos de describir a partir de las imágenes de C y S es la imagen por la isometría del quese obtiene a partir de C y S. En particular, si consideramos una isometría que fije a C y al centro delpoliedro, también dejará fija a S, luego la imagen del poliedro por la isometría será el poliedro construidoa partir de C y S, luego será el propio poliedro de partida. Esto significa que la isometría es una simetríadel poliedro. †

Si las caras de un poliedro regular son polígonos de tipo {n/k}, los giros de ángulo 360/n grados respectode ejes que pasen por el centro del poliedro y el centro de una cara son simetrías del poliedro, al igual quelo son las simetrías respecto de planos que pasen por el centro del poliedro y por un eje de simetría deuna cara. Esto nos da una caracterización de la regularidad:

Teorema 3.5: Un poliedro es regular si para todo par de caras C y C’, todo par de aristas a y a’ talesque a es un lado de C y a’ es un lado de C’ y todo par de vértices v y v’ tales que v es un extremo de ay v’ es un extremo de v’ existe una simetría del poliedro que transforma C en C’, a en a’ y v en v’.

Demostración: Una implicación es inmediata. Si el poliedro es regular, por la transitividad para caras existeuna simetría que transforma C en C’. Componiéndola con un giro adecuado de C podemos hacer que a secorresponda con a’ y, en caso de que v no se corresponda con v’, podemos tomar una simetría de C’ quedeje fija la arista a’ intercambiado sus extremos, y al componer con esta simetría (que también lo es delpoliedro) obtenemos una simetría que cumple lo pedido. †

EL HEXAEDRO

El poliedro regular más fácil de estudiar es el hexaedro o cubo, que no es sino un prisma de bases cuadradascuyas caras laterales son también cuadradas. En particular es un poliedro convexo.

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El cubo tiene C = 6 caras cuadradas, A = 12 aristas y V = 8 vértices, a cada uno de los cuales llegan 3 aristas.Observemos que el cubo es regular, pues los giros de 90Îrespecto a ejes que pasan por el centro de dos carasopuestas son simetrías del cubo y con ellas podemos transformar cualquier cara en cualquier cara, cualquierarista en cualquier arista y cualquier vértice en cualquier vértice.

Es claro que el inradio de un cubo es r = l/2, mientras que de la figura siguiente se deduce que CV = l/ 2 , y

a su vez, teniendo en cuenta que OC = l/2, que el circunradio es R = 32

l.

La tabla siguiente resume los resultados que hemos obtenido y otros inmediatos. Todos se refieren a un cubode arista 1. En general, el ángulo diédrico de un poliedro en una arista es el ángulo que forman las dos carasque la comparten como lado. Es claro que en un poliedro regular todos los ángulos diédricos son iguales, asícomo que en el caso del cubo son de 90Î, como indica la tabla.

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

32

12 1 6 90Î

EL TETRAEDRO

El poliedro regular más sencillo es el tetraedro, que no es sino una pirámide cuya base y cuyas caras lateralesson todas triángulos equiláteros.

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Consta de C = 4 caras triangulares, A = 6 aristas y V = 4 vértices, a cada uno de los cuales llegan 3 aristas. Esfácil ver que existen realmente tetraedros (es decir, que cuatro puntos pueden disponerse de forma que ladistancia entre dos cualesquiera de ellos sea la misma), pero una forma de verlo que nos será particular-mente útil es observar que podemos construir un tetraedro uniendo cuatro de los ocho vértices de un cubo:

Como un vértice equidista de los otros tres, está en la recta perpendicular a su cara opuesta que pasa por sucentro, y los giros de 120Î respecto tales rectas son claramente simetrías del tetraedro que bastan parajustificar su regularidad.

Continuando con la figura, vemos que la esfera circunscrita al tetraedro es la misma que la del cubo, si la

arista del tetraedro mide l, la del cubo mide 2

2l, luego, según los cálculos de la subsección precedente el

circunradio es

R = 32

22

l = 32 2

l.

Para calcular el incentro observamos la figura siguiente, en la que el triángulo VOC es rectángulo, ya que,como el centro equidista de los tres vértices de una cara, está sobre la recta perpendicular a su plano quepasa por su centro, y el segmento OC está sobre dicha recta. Por la geometría del triángulo equilátero

sabemos que VC = 3

3l, y el teorema de Pitágoras nos da que el inradio es r = 1

2 6 l.

| 25

Ahora es inmediato que la altura de un tetraedro (visto como pirámide) es h = R + r = 2

3l. El área de una

cara es 34

l2, luego el área del tetraedro es 3 l2. El volumen es 1/3 del área de una cara por la altura, es

decir, 1

6 2l3. Por último, el ángulo diédrico tiene por seno el cociente entre la altura del tetraedro y la

altura de una cara, que es 32 l, luego dicho seno es

2 23

y el coseno es 1/3. La tabla siguiente recoge los

datos de un poliedro de arista l = 1:

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

32 2

12 6

1

6 23 arccos@1ê3D

EL OCTAEDRO

Para presentar el siguiente poliedro regular observamos primero un hecho general:

Dado un poliedro regular, podemos formar otro poliedro tomando como vértices los centros de lascaras del poliedro dado, como aristas los segmentos que unen los centros de cada par de carascontiguas, y como caras los polígonos determinados por las aristas asociadas a caras del poliedrodado unidas por aristas que llegan a un mismo vértice. Dicho poliedro se llama poliedro dual delpoliedro dado.

Observemos que la condición 3) de la definición de poliedro asegura que las caras del poliedro dual cumplenla definición de polígono.

El poliedro dual tiene tantas caras como vértices tiene el poliedro dado, y viceversa, así como el mismonúmero de aristas (pues cada arista del poliedro dado une dos caras contiguas, las cuales determinan unaarista del poliedro dual).

La figura muestra el poliedro dual del tetraedro, que no es sino otro tetraedro, mientras que el poliedro dualdel hexaedro es un nuevo poliedro regular, llamado octaedro, pues tiene C = 8 caras triangulares, A = 12aristas y V = 6 vértices, a cada uno de los cuales llegan 4 aristas. La figura muestra también que el dual deloctaedro es el hexaedro:

26 |

En general, el poliedro dual de un poliedro regular P es también un poliedro regular, pues todas las simetríasde P son también simetrías de su dual, y la transitividad para vértices (resp. aristas, caras) de P implica latransitividad para caras (resp. aristas vértices) de su dual. Si el octaedro tiene arista l, es claro que los cuatrovértices distintos de dos vértices opuestos forman un cuadrado de lado l, y su radio será el radio del octaedro(pues el centro del cuadrado equidista de cuatro de sus vértices, luego de todos). Por consiguiente, el radio

es R = 2

2l. Para calcular el inradio usamos de nuevo que, tal y como muestra la figura, el radio de una cara

VC, el radio del octaedro OV y el inradio OC forman un triángulo rectángulo y, por la geometría del trián-

gulo equilátero, el radio de la cara es 3

3l, de donde concluimos que r = 1

6l.

La tabla siguiente contiene los datos del octaedro para l = 1.

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico12

16

23

2 3 arccos@-1ê3D

El área y el volumen se obtienen fácilmente (el segundo como suma de los volúmenes de las dos pirámidesde base cuadrada en que puede descomponerse el octaedro). Para obtener el ángulo diédrico basta tener en

cuenta que el seno del ángulo medio es R dividido entre la altura de una cara, que es 3

2l.

EL ICOSAEDRO

A continuación estudiamos un nuevo poliedro regular, el icosaedro, que tiene C = 20 caras triangulares, A = 30aristas y V = 12 vértices, a cada uno de los cuales llegan 5 aristas. La figura siguiente muestra su aspecto,pero no justifica su existencia. Observemos que la existencia del hexaedro y del tetraedro era inmediata, yque el octaedro lo hemos obtenido como dual del hexaedro, mientras que no es evidente que los 20 triángulosque muestra la figura puedan disponerse de forma que sean todos equiláteros y formen ángulos poliédricosiguales.

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A continuación estudiamos un nuevo poliedro regular, el icosaedro, que tiene C = 20 caras triangulares, A = 30aristas y V = 12 vértices, a cada uno de los cuales llegan 5 aristas. La figura siguiente muestra su aspecto,pero no justifica su existencia. Observemos que la existencia del hexaedro y del tetraedro era inmediata, yque el octaedro lo hemos obtenido como dual del hexaedro, mientras que no es evidente que los 20 triángulosque muestra la figura puedan disponerse de forma que sean todos equiláteros y formen ángulos poliédricosiguales.

Realizaremos la construcción en varios pasos:

Paso 1 2 3 4 5 6 7

Mostrar en ventana

Paso 1: Partimos de un pentágono regular de lado l. La geometría del pentágono nos da que su radio esmenor que su lado, por lo que podemos tomar un punto O situado sobre la perpendicular al pentágono quepasa por su centro cuya distancia a cada uno de los vértices sea igual a l.

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Paso 1: Partimos de un pentágono regular de lado l. La geometría del pentágono nos da que su radio esmenor que su lado, por lo que podemos tomar un punto O situado sobre la perpendicular al pentágono quepasa por su centro cuya distancia a cada uno de los vértices sea igual a l. Paso 2: Tenemos así la superficie lateral de una pirámide pentagonal cuyas aristas miden todas l. Ahoraobservamos que el triángulo AOC es igual a ABC, por lo que el ángulo AOC es de 108Î, es decir, el ángulointerior del pentágono regular. Por lo tanto, podemos construir un pentágono regular que contenga a AO yOC como lados, y unir todos sus vértices con el punto B.

Paso 3: Como B está a distancia l de los vértices A, O y C, está sobre la recta perpendicular a su plano yque pasa por el centro de la circunferencia que los contiene, que es el centro del nuevo pentágono OAFGC,luego B está a distancia l de los cinco vértices del pentágono, y así, los ocho triángulos representados en lafigura son equiláteros (y los dos pentágonos que se ven son regulares, y en particular planos).

Observamos ahora que todos los vértices que hemos construido hasta aquí se encuentran sobre una esfera.En efecto, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los vértices del pentágono ABCDE es larecta perpendicular a su plano que pasa por su centro, la cual contiene al vértice O, y sólo uno de sus puntosestá a la misma distancia del vértice O. Llamemos P a dicho punto equidistante de los seis vértices, que esel centro de la única esfera que los contiene. Falta probar que los vértices F y G están en la misma esfera,pero esto se debe a que P equidista de los puntos C, O y A, luego está sobre la recta perpendicular al planoque los contiene y que pasa por el centro de la circunferencia que los contiene, pero éste es el centro delpentágono OAFGC, luego P equidista de todos los vértices de este pentágono.

Por otra parte, observamos que los cuatro vértices D, O, B, G están en el mismo plano. Esto se debe a queestán a la misma distancia tanto de C como de P, luego están en la intersección de dos esferas, que es unacircunferencia. Como los ángulos DOB y OBG son ambos de 108Î, concluimos que los cuatro vérticesforman parte de un pentágono regular. Llamamos H al quinto vértice.

Paso 4: Como en el paso anterior se razona que C está a distancia l de los cinco vértices del nuevo pentá-gono, con lo que todos los triángulos son equiláteros e igualmente concluimos que todos los vértices estánsobre la esfera de centro P. Igualmente razonamos que tanto los vértices E, O, C, H como los vértices E,O, B, F forman parte de sendos pentágonos regulares, que podemos añadir a la construcción.

Paso 5: La repetición de los razonamientos precedentes justifica que todos los vértices representados en lafigura están sobre la misma esfera, que todas las caras que determinan son triángulos equiláteros, y que loscinco pentágonos son regulares. Además, los cinco vértices A, O, D, I, J están sobre una misma circunferen-cia, porque equidistan de E y de P, y como forman ángulos de 108Î, podemos concluir que determinan unnuevo pentágono regular.

Paso 6: En este punto tenemos que todos los pentágonos que muestra la figura son regulares por construc-ción salvo quizá el pentágono FGHIJ. Ahora bien, todos sus puntos están a la misma distancia de O, asaber a distancia Fl, la diagonal de un pentágono regular de lado l, luego los cinco puntos están en la intersec-ción de dos esferas: una de centro P y otra de centro O, luego están sobre una misma circunferencia y a suvez esto nos permite concluir como siempre que forman un pentágono regular. Así podemos repetir el paso 2y construir una pirámide pentagonal sobre él cuyas aristas tengan todas longitud l. Paso 7: Supongamos que no hubiéramos construido el vértice K (ni por tanto la última pirámide), y en sulugar observamos que los vértices G, B, A, J están sobre una misma circunferencia (por el argumentousual, porque equidistan de P por una parte y de F por otra), lo que nos permite concluir como siempre quepueden completarse hasta un pentágono regular con un vértice K’. Como F está a distancia l de G, B, A,J, está a la misma distancia de K’, luego K’ está a la misma distancia l de C, F y G. Esto implica que estáa la misma distancia de los cinco vértices del pentágono regular FGHIJ, luego K’ es el mismo punto K.Con esto hemos probado que la base de la pirámide que rodea a F es un pentágono regular, y el mismoargumento se aplica a las pirámides de C, G, H, I, con lo que concluimos que las doce pirámides pentago-nales del icosaedro tienen base regular.

En la construcción anterior hemos visto que el vértice O equidista de los cinco vértices del pentágonoFGHIJ, los cuales por otra parte equidistan de K y de P. Esto prueba que los puntos O, P y K estánalineados y el argumento vale claramente para todo par de vértices opuestos. Equivalentemente: la diagonalque une dos vértices opuestos de un icosaedro pasa por su centro y es perpendicular a los dos pentágonosregulares que atraviesa. Esto implica que un giro de 72Î respecto de dicha diagonal permuta los vértices deambos pentágonos y fija a los dos vértices que une. Es claro entonces que tal giro es una simetría del icosae-dro, así como que componiendo adecuadamente varios de estos giros (respecto de diagonales distintas)podemos transformar cualquier vértice en cualquier vértice, cualquier arista en cualquier arista y cualquiercara en cualquier cara. Esto prueba que el icosaedro es un poliedro regular.

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En la construcción anterior hemos visto que el vértice O equidista de los cinco vértices del pentágonoFGHIJ, los cuales por otra parte equidistan de K y de P. Esto prueba que los puntos O, P y K estánalineados y el argumento vale claramente para todo par de vértices opuestos. Equivalentemente: la diagonalque une dos vértices opuestos de un icosaedro pasa por su centro y es perpendicular a los dos pentágonosregulares que atraviesa. Esto implica que un giro de 72Î respecto de dicha diagonal permuta los vértices deambos pentágonos y fija a los dos vértices que une. Es claro entonces que tal giro es una simetría del icosae-dro, así como que componiendo adecuadamente varios de estos giros (respecto de diagonales distintas)podemos transformar cualquier vértice en cualquier vértice, cualquier arista en cualquier arista y cualquiercara en cualquier cara. Esto prueba que el icosaedro es un poliedro regular.

Observemos ahora que las diagonales que unen dos pares de vértices opuestos se cortan en el centro delpoliedro, luego dos pares de vértices opuestos están contenidos en la misma circunferencia y forman uncuadrilatero inscrito cuyas diagonales son diámetros, luego sus ángulos son rectos (porque abarcan semicircun-ferencias). En resumen: dos pares de vértices opuestos en un icosaedro forman un rectángulo. Podemoselegir tres de estos rectángulos de modo que tengan conjuntos disjuntos de vértices, tal y como muestra lafigura siguiente:

Los lados menores son lados del icosaedro, de longitud l, mientras que los lados mayores son diagonales de

pentágonos de lado l, luego tienen longitud Fl. Así pues, los rectángulos tienen proporción áurea. Es claroque los vértices de uno de los rectángulos equidistan de dos vértices adyacentes de otro, luego un rectánguloestá contenido en el plano perpendicular a un cierto lado de cualquiera de los otros rectángulos, luego los tresrectángulos están sobre planos perpendiculares dos a dos. A partir de aquí es fácil deducir un sencillo con-junto de coordenadas cartesianas para los vértices de un icosaedro respecto de un sistema de referenciaadecuado. Lo dejamos a cargo del lector.

Ahora es inmediato que el radio del icosaedro (que es la mitad de la diagonal de cualquiera de los rectángulos

de lados l y Fl), es

R =F + 2

2l =

12

5 + 52

l

Para calcular el inradio usamos, como de costumbre, que el inradio r, el radio y el radio de una cara formanun triángulo rectángulo, con lo que

r2=5 + 5

8-1

3l2=

7 + 3 5

24l2 ï r=

7+3 5

24l =

F2

2 3l2.

Ahora es fácil calcular el volumen del icosaedro como suma de los volúmenes de las 20 pirámides pentago-nales que lo componen, cuya altura es el inradio. El ángulo diédrico se obtiene observando que los vértices de

dos caras contiguas opuestos al lado común están a una distancia Fl, luego el ángulo diédrico aparece en un

triángulo isósceles cuyo lado opuesto tiene longitud Fl y en el que los lados contiguos miden 3

2Fl. Los

resultados para un icosaedro de lado unitario son:

30 |

Ahora es fácil calcular el volumen del icosaedro como suma de los volúmenes de las 20 pirámides pentago-nales que lo componen, cuya altura es el inradio. El ángulo diédrico se obtiene observando que los vértices de

dos caras contiguas opuestos al lado común están a una distancia Fl, luego el ángulo diédrico aparece en un

triángulo isósceles cuyo lado opuesto tiene longitud Fl y en el que los lados contiguos miden 3

2Fl. Los

resultados para un icosaedro de lado unitario son:

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

12

5+ 52

F2

2 35F2

65 3 arccos@- 5

3D

EL DODECAEDRO

A partir del icosaedro podemos formar su poliedro dual, el dodecaedro, que tendrá C = 12 caras pentagonales,A = 30 aristas y V = 20 vértices, a cada uno de los cuales llegarán 3 aristas (y por ser el dual de un poliedroregular es también regular).

Para calcular el radio del dodecaedro observamos que contiene un cubo del mismo radio:

El lado del cubo es Fl, luego, según los datos que hemos obtenido para el cubo, su radio es R = 32

Fl.Usando una vez más que el inradio, el circunradio y el radio de una cara forman un triángulo rectángulo,obtenemos que

r2 = 34 F

2 l2 - 5+ 510 l2 = 25+11 5

40 l2 ï r = 25+11 540 l.

| 31

Ahora ya es fácil calcular la superficie y el volumen del dodecaedro (como suma de los volúmenes de las docepirámides pentagonales que lo forman). Para l =1 los valores son:

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

3 F2

25+11 540

15+7 54 3 25 + 10 5 arccos@- 5

5 D

Para calcular el ángulo diédrico razonamos sobre la figura siguiente:

Si el dodecaedro tiene lado 1, el pentágono sombreado tiene lado F, luego el rectángulo sombreado tiene

lado F2, luego el triángulo EHG tiene un lado de longitud F2 y los otros dos de longitud h = Fcos 18Î =

F 2+F2 , de donde su altura es de donde la mitad del ángulo diédrico tiene seno igual a

F

2+F= 5+ 5

10.

De aquí se obtiene el coseno que aparece en la tabla anterior. (Nótese que una expresión alternativa esarctan[-2]).

LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

Mientras que existen infinitos polígonos regulares convexos, sucede que los únicos poliedros regulares con-vexos son los cinco que hemos presentado hasta aquí, conocidos también como sólidos platónicos. La figurasiguiente muestra los cinco junto con sus esferas inscritas y circunscritas.

32 |

Poliedro Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Opacidad esfera

Opacidad poliedro

La tabla siguiente recopila la información que hemos obtenido sobre ellos, pero, para no repetir exactamentelo mismo, presentamos los datos para poliedros de radio R = 1 en lugar de arista l = 1. Incluimos además elnúmero de lados de cada cara c y el número de aristas que llegan a cada vértice v.

C A V c v l r Vol Área DTetraedro 4 6 4 3 3 1.63299 0.33333 0.5132 4.6188 70.52Î

Hexaedro 6 12 8 4 3 1.1547 0.57735 1.5396 8 90Î

Octaedro 8 12 6 3 4 1.41421 0.57735 1.33333 6.9282 109.47Î

Dodecaedro 12 30 20 5 3 0.71364 0.79465 2.78516 10.514 116.56Î

Icosaedro 20 30 12 3 5 1.0546 0.79465 2.53615 9.5745 138.19Î

Observemos que si consideramos un vértice P de un poliedro regular cualquiera en el que concurran v caras(luego también v aristas), los v vértices adyacentes a P tienen que estar sobre la esfera de centro P y radioigual a la arista l del poliedro, y también sobre la esfera de centro el centro del poliedro y radio igual al radiodel poliedro, luego están en la intersección de dos esferas, que es una circunferencia de radio r y, en particu-lar están en el mismo plano. Más aún, por definición de poliedro podemos disponer cíclicamente dichosvértices de modo que las aristas que unen P con dos vértices consecutivos sean dos lados contiguos de lamisma cara. Esto implica que si unimos con un segmento cada par de vértices consecutivos obtenemos unpolígono de v lados. Además, dichos lados serán todos iguales, pues si las caras del poliedro tienen c lados,la longitud de cada lado del polígono que hemos formado debe ser la de la diagonal de un c-ágono regular deradio r que une dos vértices adyacentes a un tercero (que en este caso es P). (Notemos que si c = 3 en lugarde una inexistente “diagonal” de un triángulo equilátero lo que tenemos es uno de sus lados, pero el argu-mento vale igualmente). Por el teorema 1.11 sabemos que el polígono que hemos formado es regular, y serásimple si el poliedro lo es, ya que si dos de sus lados se cortan, como dichos lados son diagonales de carasdel poliedro, éstas se cortarían también en puntos distintos de sus aristas.

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Observemos que si consideramos un vértice P de un poliedro regular cualquiera en el que concurran v caras(luego también v aristas), los v vértices adyacentes a P tienen que estar sobre la esfera de centro P y radioigual a la arista l del poliedro, y también sobre la esfera de centro el centro del poliedro y radio igual al radiodel poliedro, luego están en la intersección de dos esferas, que es una circunferencia de radio r y, en particu-lar están en el mismo plano. Más aún, por definición de poliedro podemos disponer cíclicamente dichosvértices de modo que las aristas que unen P con dos vértices consecutivos sean dos lados contiguos de lamisma cara. Esto implica que si unimos con un segmento cada par de vértices consecutivos obtenemos unpolígono de v lados. Además, dichos lados serán todos iguales, pues si las caras del poliedro tienen c lados,la longitud de cada lado del polígono que hemos formado debe ser la de la diagonal de un c-ágono regular deradio r que une dos vértices adyacentes a un tercero (que en este caso es P). (Notemos que si c = 3 en lugarde una inexistente “diagonal” de un triángulo equilátero lo que tenemos es uno de sus lados, pero el argu-mento vale igualmente). Por el teorema 1.11 sabemos que el polígono que hemos formado es regular, y serásimple si el poliedro lo es, ya que si dos de sus lados se cortan, como dichos lados son diagonales de carasdel poliedro, éstas se cortarían también en puntos distintos de sus aristas.

Se llama figura asociada a un vértice P de un poliedro regular al polígono regular cuyos vérticesson los vértices adyacentes al vértice dado, de modo que dos vértices son adyacentes si lasaristas que los unen con P forman parte de la misma cara.

Es claro que una simetría del poliedro que transforma un vértice en otro transforma la figura de uno en lafigura del otro, por lo que todas las figuras de los distintos vértices de un poliedro regular son iguales. Puestoque el vértice P equidista de los vértices de su figura, el segmento que lo une con el centro de su figura esperpendicular al plano de ésta y la recta que lo contiene pasa por el centro del poliedro. Podemos formar unapirámide con base la figura y vértice P, de modo que para visualizar la figura de un vértice P de un poliedrono es necesario considerar sus vértices adyacentes, sino que basta cortar el poliedro por un plano perpendicu-lar a la recta que une P con el centro, y la sección obtenida es homotética a la figura. La figura siguientemuestra las figuras de los sólidos platónicos:

Figura

Observamos que un sólido platónico está completamente determinado por el tipo de cara y el de la figura desus vértices, y es habitual representar mediante {c,v} al sólido platónico cuyas caras son de tipo {c} y lasfiguras de sus vértices son de tipo {v}. Así, {3, 3} es el tetraedro, {4, 3} es el hexaedro, {3, 4} es el octaedro,{5, 3} es el dodecaedro y {3, 5} es el icosaedro. Veamos que, tal y como hemos indicado, no hay másposibilidades:

Teorema 3.6: Los únicos poliedros simples (en particular, convexos), transitivos para vértices,cuyas caras son polígonos regulares iguales (en particular, los únicos poliedros regulares simples)son los sólidos platónicos.

Demostración: Pongamos que las caras del poliedro (que necesariamente son polígonos regulares simples)tienen c lados. Las hipótesis bastan para justificar que los vértices adyacentes a uno dado P deben formar unpolígono regular simple. En efecto, la transitividad para vértices asegura que existe la esfera circunscrita quecontiene a todos los vértices y, por otra parte, como todas las caras son polígonos regulares iguales(necesariamente simples), todas las aristas tienen la misma longitud l, luego todos los vértices adyacentes aP están también en la esfera de centro P y radio l, luego al estar en la intersección de dos esferas estánsobre una circunferencia y por definición de poliedro forman un polígono, que será simple al serlo el poliedro(y lo llamaremos figura F del vértice P). Más aún, todos los lados de la figura son iguales, pues miden l si lascaras son triángulos, y en otro caso su longitud es la de la diagonal d de dos vértices del polígono {c} (delado l) con un vértice adyacente común. El teorema 1.11 justifica que F es un polígono regular, digamos{v}. La transitividad para vértices justifica que el valor de v es el mismo para todos los vértices del poliedro.Un simple cálculo muestra que el lado de la figura F mide d = 2l cos(p/c), con lo que su radio es

r = l cosHpêcLsenHpêvL .

34 |

r = l cosHpêcLsenHpêvL .

Consideremos la pirámide de base F y altura P. Como P equidista de los vértices de F, su altura h y el radior deben formar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es l, lo cual requiere en particular que se cumpla r <l. Para un valor fijo de c, la expresión anterior para r crece a medida que v crece. Por ejemplo, si c = 3,tenemos que, para v = 6 ya sale r = l, por lo que podemos concluir que si el poliedro está formado por carastriangulares, su figura puede ser un triángulo, un cuadrado o un pentágono, pero un número de lados mayores imposible. Similarmente, si c = 4, para v = 4 ya obtenemos r = l, luego si las caras son cuadrados la figuraes necesariamente un triángulo, y lo mismo vale si las caras son pentágonos, pues para v = 4 sale r = 1.14 l,que ya es imposible. Por último, si c ¥ 6 y v = 3 obtenemos que r r l, por lo que las caras no pueden tenermás de cinco lados.

Con esto hemos probado que los valores {c, v} para el poliedro dado deben coincidir con los correspondi-entes a un sólido platónico. Falta probar que es necesariamente el sólido platónico correspondiente. Para elloobservamos que el razonamiento anterior muestra que la figura de cualquier vértice P está completamentedeterminada por los valores de c y v, al igual que la altura h de la pirámide de vértice P que la tiene porbase, pues puede calcularse a partir de r y l por el teorema de Pitágoras. A partir de aquí ya es fácil probarque el poliedro tiene que ser el sólido platónico correspondiente. Vamos a razonarlo para el caso del icosae-dro, y dejamos los otros cuatro casos al lector, que son más sencillos.

Se trata de probar que si el poliedro tiene tipo {3, 5} es necesariamente un icosaedro regular. El razonamientolo ilustra la misma figura que hemos empleado en la construcción del icosaedro. En realidad podemosempezar por el paso 2:

Paso 2: Dado un poliedro en las hipótesis del teorema y de tipo {3, 5}, sabemos que los vértices contiguos auno de sus vértices O deben formar la base de una pirámide pentagonal idéntica a la del icosaedro delmismo lado. Si nos fijamos, por ejemplo, en el vértice B, sabemos que su figura debe contener a los vérticesA, O, C, pero sólo existe un pentágono regular que contenga dichos vértices, luego la figura del vértice Bdebe ser la misma que la del icosaedro.

Paso 3: Por lo tanto, las cinco caras que concurren en el vértice B son exactamente las mismas que las delicosaedro. Similarmente, la figura del vértice C debe tener entre sus vértices a los vértices D, O, B, G,pero sólo hay un pentágono con dichos vértices, que es el que forma la figura correspondiente del icosaedro.

Paso 4: Concluimos que las caras que concurren en el vértice C tienen que ser las mismas que las delicosaedro. Igualmente se razona con los vértices A y D.

Paso 5: Ahora es inmediato que la quinta cara que llega al vértice E tiene que ser la del icosaedro.

Paso 6: Por último, las figuras de los vértices F, G, H, I, J tienen que ser las mismas que las del icosaedro.

Paso 7: Por lo tanto, como le sucede al icosaedro, todas estas figuras comparten un mismo vértice comúnK que cierra el poliedro y lo hace igual al icosaedro. †

Así pues, hemos probado que si estamos dispuestos a restringirnos a poliedros simples, podríamos haberdefinido un poliedro regular como un poliedro (simple) transitivo para vértices cuyas caras son polígonosregulares iguales. Esto basta para justificar que son sólidos platónicos y, en particular regulares en el sentidofuerte. Veremos más adelante que la condición de transitividad para vértices se puede debilitar hasta el puntode no hacer referencia a simetrías (teorema 4.10).

EL GRAN DODECAEDRO

En la construcción del icosaedro hemos visto que cada vértice es el vértice de una pirámide cuya base es unpentágono regular, de modo que en el interior de cada icosaedro hay doce de estos pentágonos. La figurasiguiente permite destacarlos uno a uno para ver su disposición.

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Icosaedro

Dodecaedro

Esfera Inscrita

Ocultar todas las caras Mostrar todas las caras Mostrar en ventana

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

Ahora bien, si hacemos visibles todos los pentágonos y ocultamos el icosaedro nos encontraremos con unnuevo poliedro, conocido como gran dodecaedro, y que consta de C = 12 caras pentagonales, A = 30 aristas yV = 12 vértices, a cada uno de los cuales concurren 5 aristas. Observemos que, ciertamente, el gran dodecae-dro cumple todos los requisitos que exige la definición de poliedro que hemos dado: cada arista perteneceexactamente a dos caras, se puede pasar de cualquier cara a cualquier otra por una cadena de caras con-tiguas y las diez aristas que concurren en un vértice pueden disponerse cíclicamente de forma que cada parde aristas consecutivas comparten cara. Más aún, es fácil ver que las simetrías del icosaedro son tambiénsimetrías del gran dodecaedro, y son suficientes para justificar que es regular. Eso sí, no es un poliedrosimple, sino que sus caras tienen autointersecciones.

Para comprender la estructura de cada vértice conviene seleccionar en la figura las cinco primeras caras,todas las cuales tienen un mismo vértice en común. La forma en que se disponen se aprecia mejor simostramos también la cara número 11. Así se ve cómo las cinco caras concurrentes cortan a la undécima através de los lados de su pentagrama, de modo que dos caras son contiguas si y sólo si sus cortes con la caraundécima son lados contiguos del pentagrama.

Si miramos el vértice por el extremo opuesto veremos que las cinco caras que concurren en él forman lasuperficie lateral de una pirámide pentagonal (para verla entera hay que ocultar la cara undécima) cuya basees otra de las caras del gran dodecaedro (la duodécima en la figura).

La cara undécima trunca la pirámide y le pone una cara superior pentagonal. El pentágono es precisamente elpentágono central de su pentagrama. Los doce pentágonos centrales de las doce caras forman un dodecaedroque puede hacerse visible en la figura con el control correspondiente. Su disposición se aprecia claramentemostrando todas las caras excepto la octava, la décima y la duodécima. La esfera inscrita en el dodecaedrocentral es también la esfera inscrita al gran dodecaedro, y también puede hacerse visible en la figura.

36 |

Puesto que la arista y el radio del gran dodecaedro coinciden con los del icosaedro, sabemos que su relaciónes:

R =1

2

5 + 5

2l.

En cuanto al inradio, es el del dodecaedro interior, cuya arista es la del pentágono interno de los pentagra-mas, cuyo lado mide l/F2, luego es

r =1

F2

25 + 11 5

40l =

1

4

10 + 2 5

5l.

Si interpretamos como área del gran dodecaedro la suma de las áreas de sus doce caras, entonces ésta esigual a

S = 15 5+2 55 l2 = 3 25 +10 5 l2,

aunque también podemos calcular el área de la superficie “real” del gran dodecadedro, es decir, considerán-dolo como un poliedro esferoide formado por 60 caras triangulares, 90 aristas y 32 vértices. En tal caso, cadacara es un triángulo áureo, con un lado de longitud l y otros dos lados de longitud l/F. Por lo tanto, su área es

S = 60sin@36D2F

l2 = 15 5-2 5 l2.

Para calcular el volumen podemos ver al gran dodecaedro como el resultado de quitarle al icosaedro 20pirámides con base un triángulo equilátero de lado l y cuyas caras laterales son triángulos isósceles con unlado igual a l y los otros dos iguales a l/F. Es fácil ver entonces que la altura de la pirámide es

h =1

F2-1

3l =

7 - 3 5

6l =

1

3F4l =

l3 F2

.

Por lo tanto, el volumen del gran dodecaedro es:

V =5F2

6l3 - 20

1

3

3

4

l3

3 F2=5 I3 + 5 M

12l3 -

20

12

2

3 + 5l3 =

5

4H 5 -1L l3

Para calcular el ángulo diédrico observamos la figura siguiente:

| 37

El triángulo tiene al ángulo diédrico por uno de sus ángulos. Si suponemos que el icosaedro tiene lado uni-tario, entonces el lado opuesto al ángulo diédrico mide F (porque es la diagonal de uno de los pentágonos delado 1), y los otros dos lados miden F cos[18Î], de donde es fácil deducir el seno de la mitad del ángulodiédrico y de ahí su coseno. La tabla siguiente resume lo que hemos obtenido:

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

12

5+ 52

14

10+2 55

54 H 5 -1L 15 5-2 5 arccos@ 5

5 D

EL PEQUEÑO DODECAEDRO ESTRELLADO

Vamos a construir el poliedro dual del gran dodecaedro, que será otro poliedro regular. Tiene 12 vértices, queson los centros de las 12 caras del gran dodecaedro, y también los centros de las 12 caras del pequeño dode-caedro (convexo) contenido en su interior. De cada vértice salen cinco aristas que llegan a los centros de lascinco caras contiguas, pero no contiguas en el pequeño dodecaedro, sino en el gran dodecaedro. Para vercuáles son conviene mostrar en la figura interactiva del gran dodecaedro las caras 1, 2, 3, 4, 5 y 12, junto con elpequeño dodecaedro central. Las cinco primeras son las caras contiguas a la duodécima. Si ocultamos éstaúltima y nos fijamos en las caras del pequeño dodecaedro que contienen a las otras cinco, vemos que son lascinco caras que están a “dos caras de distancia” de la cara duodécima. Así pues, para construir el poliedrodual del gran dodecaedro hemos de unir el centro de cada cara de un dodecaedro convexo con los centros delas cinco caras que están a dos caras de distancia.

Por otra parte, las caras 1, 2, 3, 4, 5 son también un grupo de cinco caras con un vértice en común, luego lasaristas del poliedro dual que tienen por vértices sus centros forman una cara de dicho dual. Como cada centrono se une a los centros de las caras contiguas (en el dodecaedro pequeño), sino con los las dos siguientes, elpolígono que forman no es un pentágono, sino un pentagrama. Podemos ver la situación en la figura sigu-iente si mostramos únicamente una de las caras. Si las mostramos todas veremos el pequeño dodecaedroestrellado.

38 |

Dodecaedro Exterior

Icosaedro

Dodecaedro

Ocultar todas las caras Mostrar todas las caras

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

Sabemos que uniendo (de otro modo) los centros de las caras de un dodecaedro obtenemos un icosaedro (elpoliedro dual del dodecaedro), por lo que los vértices del pequeño dodecaedro estrellado son también losvértices de un icosaedro del mismo radio, que también puede mostrarse en la figura. Vemos así que elpequeño dodecaedro estrellado puede obtenerse a partir de un icosaedro de forma análoga a como hemosobtenido el gran dodecaedro: en lugar de tomar como caras los pentágonos situados bajo cada vértice,tomamos los pentagramas correspondientes. Si a partir de un mismo icosaedro construimos su gran dodecae-dro y su pequeño dodecaedro estrellado, ambos compartirán el mismo pequeño dodecaedro interior, quetambién puede verse en la figura (ocultando algunas caras). Por lo tanto, el pequeño dodecaedro estrelladopuede construirse también situando una pirámide pentagonal (de la altura adecuada) sobre cada cara de undodecaedro.

Si el pequeño dodecaedro estrellado tiene arista l, entonces el icosaedro tiene lado l/F, luego su radio (quees el mismo para los dos) es

R=12F

5+ 52 l =

12

5- 52 l.

El inradio es el mismo que el del gran dodecaedro asociado al icosaedro, es decir,

r =1

4F

10 + 2 5

5l =

1

4

10 - 2 5

5l.

Para construir un pequeño dodecaedro estrellado a partir de un dodecaedro de lado l hemos de añadirlepirámides de base de lado l y aristas laterales de longitud Fl, luego, teniendo en cuenta la fórmula del radiodel pentágono, la altura será

| 39

Para construir un pequeño dodecaedro estrellado a partir de un dodecaedro de lado l hemos de añadirlepirámides de base de lado l y aristas laterales de longitud Fl, luego, teniendo en cuenta la fórmula del radiodel pentágono, la altura será

h = F2 -5+ 5

10l = 5+2 5

5l.

Ahora bien, si el pequeño dodecaedro estrellado tiene arista l, la arista del pequeño dodecaedro sobre el que

hay que poner las pirámides es l/F3 = ( 5 -2)l, luego el volumen de la pirámide añadida es

33 54

5+2 5

5J 5 - 2N

2 5+2 5

5( 5 -2)l3 = -20+9 5

12l3.

De aquí obtenemos el volumen del pequeño dodecaedro estrellado, sumando el del pequeño dodecaedrocentral más el de las doce pirámides que lo extienden:

V = 15+7 5

4J 5 - 2N

3l3+(-20+9 5 )l3 = 54(5 5 -11)l3.

El área (de la superficie “real” del pequeño dodecaedro estrellado, es decir, la suma de las áreas de los 60triángulos áureos visibles desde el exterior, es

S = 15 85 - 38 5 l2.Dejamos el cálculo a cuenta del lector. El ángulo diédrico es el suplementario del del gran dodecaedro, comode deduce de la figura anterior mostrando el icosaedro y las caras 1, 11 y 12. Las dos últimas son paralelas, yel ángulo que forma la primera con la undécima coincide con el suplementario del ángulo que forma el pentá-gono circunscrito a la primera con el de la duodécima, que es uno de los ángulos diédricos del gran dodecae-dro, pues los pentágonos las caras 1 y 12 son caras contiguas de éste. En resumen, para un pequeño dodecae-dro estrellado de arista 1 tenemos:

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

12

5- 52

14

10-2 55

54I5 5 - 11M 15 85 - 38 5 arccos@- 5

5 D

EL GRAN ICOSAEDRO

La figura siguiente muestra el pequeño dodecaedro estrellado. Si pulsamos el botón titulado “Aristas” vemossus aristas, entre las cuales hemos destacado las que forman una de las caras pentagrámicas y las que unenlos vértices de dicha cara con el vértice opuesto. Dichas aristas destacadas forman cinco triángulos equi-láteros. En total tenemos 5 x 12 / 3 = 20 triángulos, que podemos tomar como caras de un nuevo poliedroregular, conocido como gran icosaedro. El gran icosaedro tiene C = 20 caras triangulares, A = 30 aristas y V =12 vértices, y puede verse pulsando el tercer botón de la figura. Es fácil convencerse de que las simetrías delpequeño dodecaedro estrellado son también simetrías del gran icosaedro, y bastan para probar que es unpoliedro regular.

40 |

Pequeño dodecaedro estrellado Aristas Gran Icosaedro

El gran icosaedro es el poliedro más complejo que hemos estudiado hasta ahora. Empezamos observando quetiene la misma arista y el mismo radio que el pequeño dodecaedro estrellado, por lo que la proporción entreambos es la misma, es decir,

R= 12

5- 52 l.

Para analizarlo más a fondo consideramos las figuras siguientes:

| 41

Icosaedro inscrito

Todas 1 2 3 Ninguna

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

c13

c14

c15

c16

c17

c18

c19

c20

1 F CB F A1 A2

T

A

P1

B1C1

B2C2

P

La figura de la izquierda nos permite mostrar y ocultar independientemente cada una de las veinte caras. Unade ellas, c1, está pintada de negro para que nos sirva de referencia. La figura de la derecha muestra una cara(que podemos identificar con c1) y todas las rectas por donde la cortan las caras restantes. Si en la figura dela izquierda pulsamos el botón 1 ocultaremos las caras que no cortan a c1, con lo que es más fácil comprobarla correspondencia con la figura de la derecha.

En primer lugar observamos que los cortes dividen cada lado del triángulo equilátero en tres partes, y lafigura de la izquiera muestra que se trata de la división que dos lados consecutivos de un pentagramainducen en un tercero. Por lo tanto, si tomamos como unidad la longitud del tramo central, los otros dostramos miden F.

Si pulsamos el botón 2 ocultamos las cinco caras que confluyen en un vértice. Se ve entonces la superficielateral de una pirámide pentagonal cuyas caras laterales son el triángulo A1A2T de la figura de la derecha ysus correspondientes en otras cuatro caras. Observemos que el triángulo es equilátero, pues la el lado A2T esparalelo a AC, luego el ángulo A2 es de 60Î. De este modo, vemos que cada vértice del gran icosaedro tiene ensu base un pentágono unitario, por lo que podemos ver al gran icosaedro como el resultado de tomar undodecaedro regular y sustituir cada una de sus caras por la superficie lateral de una pirámide pentagonalformada por triángulos equiláteros (con lo que obtenemos el poliedro de la figura siguiente) y a continuacióninsertar en cada oquedad una “punta” de estructura complicada que estudiaremos luego.

42 |

Pulsando el botón 3 se ocultan las caras traseras del gran icosaedro, de modo que dándole la vuelta podemosver su interior. Concretamente, vemos cinco triángulos equiláteros, correspondientes al triángulo central de lafigura de la derecha. Hay un total de 20 triángulos que, por simetría equidistan del centro del gran icosaedro,luego forman las caras de un pequeño icosaedro central (que también puede mostrarse en la figura), cuyoinradio es también el inradio del gran icosaedro. Para calcularlo sólo necesitamos calcular el lado del triángulocentral y aplicar la fórmula para el inradio de un icosaedro. Ahora bien, por semejanza de triángulos, la razónentre el lado l del triángulo interior y el segmento A1A2, que mide 1, es

l = 1+F1+2F = 5 -12

Por consiguiente, el inradio del pequeño icosaedro interior es

F2

2 35 -12 ,

para un gran icosaedro cuyo segmento A1A2 mida 1. Para un icosaedro de arista l tenemos que A1A2 = l

2F+1,

luego el inradio es

r = F2

2 35 -12

l2F+1 =

3- 54 3

l .

El área del gran icosaedro entendida como suma de las áreas de sus veinte caras triangulares se calculatrivialmente (es la misma que la del icosaedro convexo). Vamos a calcular el área de su superficie exterior.Para ello observamos que cada cara deja en el exterior seis triángulos iguales a BA1P1 y tres iguales a PA1A2,luego la superficie del gran icosaedro consta de un total de 180 triángulos. La figura siguiente nos permitecalcular la altura del triángulo PA1A2, sin más que observar que tenemos un triángulo rectángulo de base 1 +

F/2 y altura 3 F

2, luego una simple proporción nos da que la altura de PA1A2 es

1ê21+Fê2

3 F2 =

1510 .

| 43

1 Fê2

3 F

2

CB A1 A2

A

B1

Q

P

De aquí se sigue a su vez que el lado A1P mide 10 í5, y su área es 15 /20. Para estudiar el triángulo BA1P1consideramos la figura siguiente:

1 F CB F A1 A2

T

A

P1

B2

B1C1

C2

P

Como los triángulos A1CB2 y C2B2A son equiláteros, los triángulos A1B1C y A1C2B2 son iguales, pues tienen unángulo de 60Î y dos lados iguales. Esto hace que los triángulos A1A2P y A1TP1 sean iguales, pues tienen unlado igual, un ángulo igual, y ambos son isósceles, el segundo debido a que el triángulo BA2C2 es equilátero.Así ya tenemos que A1P1 es igual a A1P (cosa que se deducía también de la figura tridimensional, ya que esosdos segmentos de dos caras distintas forman una misma arista del gran icosaedro). Seguidamente observa-mos que la altura del triángulo A1A2T es 3 /2, luego BT mide

HF + 1 ê2L2 + 3 ê4 = 3 + 5 = 2 F.

Por consiguiente, BP1 = 2 F - 10 í5 = 2 5+3 510 . Ahora, una proporción a partir de la altura del trián-

gulo A1A2T nos da la altura del triángulo BA1P1, que resulta ser:

BP1BT

32 =

3 J5+3 5 N

20F

Por lo tanto, el área es 12 F

3 J5+3 5 N

20F = 3 J5+3 5 N

40 y el área total del gran icosaedro es

44 |

Por lo tanto, el área es 12 F

3 J5+3 5 N

20F = 3 J5+3 5 N

40 y el área total del gran icosaedro es

120 3 J5+3 5 N

40 + 60 1520 = 3 3 (5+4 5 ).

Esto es válido para un gran icosaedro construido sobre un dodecaedro de arista unitaria (luego de arista2F+1). Por consiguiente, el área en función del lado es

S = 3 3 5+4 5 l2

H2F+1L2=3 3 (16 5 -35) l2.

El cálculo del volumen es más complicado. Teniendo en cuenta la fórmula para el radio de un pentágonoregular, es fácil ver que la altura de una pirámide pentagonal formada por triángulos equiláteros de lado

unitario es h = 5- 5

10, luego su volumen es

13 54

5+2 55

5- 510 = 112

15+5 52 =

5+ 524

Por consiguiente, el volumen del dodecaedro “abombado” por pirámides pentagonales es

V0 = 15+7 54

- 5+ 52 =

5+5 54

El volumen del gran icosaedro será la suma de este volumen más el volumen de las doce “puntas” que hayque insertar en los huecos dejados por las pirámides. La figura siguiente nos permite estudiar su estructura:

Ocultar todo Mostrar todo

Pirámide central superior

Pirámide central inferior

Pirámide base

Pirámide superior 1

Pirámide superior 2

Pirámide superior 3

Pirámide superior 4

Pirámide superior 5

Pirámide inferior 1

Pirámide inferior 2

Pirámide inferior 3

Pirámide inferior 4

Pirámide inferior 5

1 F CB F A1 A2

T

A

P1

B1C2

B2C1

P

La pirámide base es simplemente una pirámide pentagonal formada por triángulos equiláteros. Es la basesobre la que está construida la “punta”. Si la ocultamos, vemos que ésta está formada por una parte exterior,fomada por diez triángulos iguales al triángulo BA1P1, y una parte oculta bajo la pirámide base formada porotros diez triángulos iguales al triángulo A1PT. Podemos descomponer esta figura en diez pirámides triangu-lares, cinco superiores y cinco inferiores, las cuales encierran otras dos pirámides pentagonales centrales,como se puede ver en la figura ocultando algunas de las pirámides. Calcularemos el volumen de la “punta”como suma de los volúmenes de las doce pirámides.

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La pirámide base es simplemente una pirámide pentagonal formada por triángulos equiláteros. Es la basesobre la que está construida la “punta”. Si la ocultamos, vemos que ésta está formada por una parte exterior,fomada por diez triángulos iguales al triángulo BA1P1, y una parte oculta bajo la pirámide base formada porotros diez triángulos iguales al triángulo A1PT. Podemos descomponer esta figura en diez pirámides triangu-lares, cinco superiores y cinco inferiores, las cuales encierran otras dos pirámides pentagonales centrales,como se puede ver en la figura ocultando algunas de las pirámides. Calcularemos el volumen de la “punta”como suma de los volúmenes de las doce pirámides.

Para calcular las dimensiones de la pirámide central inferior imaginemos primero que tuviera los vértices desu base en los puntos medios de las aristas de la base de la pirámide base. Entonces la base sería un pentá-gono de radio igual a la apotema de la base de la pirámide base, y su altura sería la misma que la de lapirámide base. En suma, sus datos serían:

r = 12

5+2 55

, l = 12

3+ 5

2, h = 5- 5

10.

Ahora bien, la pirámide inferior real resulta de aplicar a ésta una homotecia con centro su vértice de modo

que sus aristas laterales pasen de medir 3 í2 a tener longitud igual al segmento PT, que mide 3

2- 15

10 =

3 5- 5

10. Por lo tanto, los valores anteriores se contraen en la misma proporcion, es decir, 5- 5

5 y en

realidad son

r = 110 10 + 2 5 , l = 55 , h = 2 5-2 5

5 .Con estos datos ya podemos calcular el volumen de la pirámide central inferior, que resulta ser:

V1 = 13 54

5+2 55 15 2 5-2 5

5 = 130 .

De la pirámide central superior conocemos el lado de la base: 5 /5, el radio de la base, 1

1010 + 2 5 y

la arista lateral, BP1 = 2 5+3 510 . Del radio y la arista lateral sacamos la altura:

h = 2 5+3 5

10

2

- 110

10 + 2 52

= 110 130 + 58 5 .

A su vez de aquí obtenemos el volumen:

V2 = 13 545+2 5

5

15110 130 + 58 5 = 246+110 5

120 = 11+5 5120 .

Analicemos ahora las pirámides superiores. Conocemos la longitud de todas sus aristas:

F

10

5

25 + 3 5

10

5

5

De aquí es fácil deducir que la base es un triángulo (isósceles) de altura 110

135 + 60 5 , con lo que, en el

sistema de referencia indicado en la figura, el vértice (x, 0, z) cumple

(x- 110

135 + 60 5 L2 + z2= F2, x2 + 5100 + z2 = 1025 ,

de donde se concluye que la altura de la pirámide es z = 3 /3. Por consiguiente, su volumen es:

V3 = 1312

55

110 135 + 60 5 3

3 =

160 9 + 4 5 =

2+ 560

La situación para las pirámides inferiores es similar. Conocemos las medidas de sus aristas, de donde,

tomando como base el triángulo que comparte con la pirámide superior, la altura de la base resulta ser 35

10y

el vértice opuesto tiene coordenadas (x, 0, z) que cumplen:

46 |

La situación para las pirámides inferiores es similar. Conocemos las medidas de sus aristas, de donde,

tomando como base el triángulo que comparte con la pirámide superior, la altura de la base resulta ser 35

10y

el vértice opuesto tiene coordenadas (x, 0, z) que cumplen:

(x- 3510 L2 + z2 = 1, x2 + 5

100 + z2 = 3 J5- 5 N

2

100 .

Este sistema tiene por solución z = 7-3 514 y ésta es, pues, la altura de la pirámide.

1

3 J5- 5 N

10

10

5

5

5

Por lo tanto, su volumen es

V4 = 13 12

55

3510

7-3 514 =

160

7-3 52 =

3- 5120 .

Así pues, el volumen de la “punta” (teniendo en cuenta que las pirámides laterales hay que contarlas cincoveces) es

130

+ 11+5 5120 +

2+ 512 +

3- 524 =

5+ 512

Y el volumen del gran icosaedro resulta ser

5+5 54 +5+ 5 =

25+9 54 .

Recordemos que éste es el volumen de un gran icosaedro construido sobre un dodecaedro de arista unitaria.El volumen de un gran icosaedro de arista l es

V = 25+9 54 H2F+1L3

l3= 83 5 -185

4 l3

El ángulo diédrico es fácil de calcular. Como se aprecia en la primera figura de este apartado (en la opciónque muestra las aristas del gran icosaedro), cuando la arista es unitaria, dos caras contiguas son triángulos

equiláteros de altura 3

2 y cuyos vértices opuestos al lado común forman dos vértices no adyacentes de un

pentagrama de lado unitario, luego su distancia es 1/F. De aquí se sigue que la mitad del ángulo diédrico

tiene seno (1/2F)/( 3 /2), y de aquí se obtiene inmediatamente el coseno del ángulo diédrico. La tabla sigu-iente resume los resultados que hemos obtenido:

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

12

5- 52

3- 54 3

83 5 -1854 3 3 I16 5 - 35M arccos@ 5

3 D

EL GRAN DODECAEDRO ESTRELLADO

El poliedro dual del gran icosaedro se llama gran dodecaedro estrellado, y es necesariamente un poliedroregular, que tendrá C = 12 caras, A = 30 aristas y V = 20 vértices. Los vértices del gran dodecaedro estrelladoson los centros de las caras del gran icosaedro, que coinciden con los centros de las caras del pequeñoicosaedro que encierra en su interior, es decir, con los vértices de su dodecaedro dual. La figura siguientepermite ver las caras del pequeño icosaedro correspondientes a un grupo de caras del gran icosaedro queconfluyen en el mismo vértice (las pintadas de oscuro), cuyos centros serán los vértices de una cara del grandodecaedro estrellado:

| 47

El poliedro dual del gran icosaedro se llama gran dodecaedro estrellado, y es necesariamente un poliedroregular, que tendrá C = 12 caras, A = 30 aristas y V = 20 vértices. Los vértices del gran dodecaedro estrelladoson los centros de las caras del gran icosaedro, que coinciden con los centros de las caras del pequeñoicosaedro que encierra en su interior, es decir, con los vértices de su dodecaedro dual. La figura siguientepermite ver las caras del pequeño icosaedro correspondientes a un grupo de caras del gran icosaedro queconfluyen en el mismo vértice (las pintadas de oscuro), cuyos centros serán los vértices de una cara del grandodecaedro estrellado:

Opacidad

Todas Vértice Ninguna

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

c13

c14

c15

c16

c17

c18

c19

c20

Vemos que son los cinco triángulos contiguos a las cinco caras que confluyen en un mismo vértice delpequeño icosaedro. Más aún, si nos fijamos vemos que dos caras contiguas del gran icosaedro se correspon-den con dos de las cinco caras separadas por una tercera. Por lo tanto, las caras del gran dodecaedro estrel-lado se forman uniendo grupos de cinco vértices, pero no formando un pentágono regular, sino un penta-grama. La figura siguiente permite explorar el gran dodecaedro estrellado.

48 |

Icosaedro exterior

Dodecaedro exterior

Gran dodecaedro estrellado

Icosaedro interior

Todas Ninguna

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

Si mostramos únicamente una cara junto con el dodecaedro exterior podremos apreciar su disposiciónrespecto a éste. Si mostramos las tres primeras caras podremos ver un vértice completo del gran dodecaedroestrellado. Observemos que los pentagramas están dibujados sin su pentágono central, pero esto es porconveniencia, pues en realidad dicho pentágono forma parte de la cara. Los pentágonos interiores de lascaras “encajan” en un icosaedro interior que puede hacerse visible en la figura. Así, el gran dodecaedroestrellado puede verse como el resultado de pegar una pirámide triangular sobre cada una de las caras de unicosaedro convexo, con la altura adecuada para que sus caras laterales formen pentagramas (planos). Note-mos que los pentágonos centrales forman un gran dodecaedro dentro de dicho icosaedro, el cual contiene asu vez un dodecaedro interior.

Por otra parte, los vértices del gran dodecaedro estrellado son también los vértices del dodecaedro inscrito alicosaedro exterior. Si en la figura mostramos únicamente el dodecaedro exterior y una cara del gran dodecae-dro estrellado podemos determinar fácilmente la relación entre el lado y el radio. En efecto, la arista l delgran dodecaedro estrellado es una diagonal de un pentágono cuyo lado es una diagonal de una cara deldodecaedro. Así pues, la diagonal de dicha cara mide l/F y el lado del dodecaedro mide l/F2, luego el radiodel dodecaedro (que es el mismo que el del gran dodecaedro estrellado) es

R = 3 F2 l

F2=

32F

l.

Por otra parte, el icosaedro interior que muestra la figura tiene arista l/F3, que es la misma que la del grandodecaedro determinado por dicho icosaedro, cuyo inradio (que es el mismo que el del gran dodecaedroestrellado) es

r = 14

10+2 55 l

F3 =

12

25-11 510 l.

| 49

r = 14

10+2 55 l

F3 =

12

25-11 510 l.

Si partimos de un icosaedro de arista unitaria, la pirámide que le pegamos a cada cara tiene aristas lateralesde longitud F. Como el radio de la base es 3 /3, su altura es

h = F2 - 1 ê3 = 7+3 5

6 .

Su volumen es

13 3

4

7+3 56 =

3+ 524 .

Por lo tanto, el volumen del gran dodecaedro estrellado es el de un icosaedro de arista unitaria más el deveinte de estas pirámides:

5F26 + 20

3+ 524 =

54

(3+ 5 ).El volumen de un gran dodecaedro estrellado de arista l será:

V = 543+ 5H2F+1L3

l3 = 5 J13 5 -29N

4 l3.

Volviendo al gran dodecaedro estrellado de arista 2F+1, la altura de una de sus caras triangulares es

F2 - H1 ê2L2 = 12

5 + 2 5 , luego la superficie lateral es 15 5 + 2 5 . Para el gran dodecaedro estrellado

de arista l es

S = 15 5+2 5H2F+1L2

l2 = 15 85 - 38 5 l2.

Por último, si en la figura anterior mostramos dos caras contiguas del gran dodecaedro estrellado y el icosae-dro interior, veremos que el ángulo diédrico del gran dodecaedro estrellado es el mismo que el del grandodecaedro, pues los pentágonos centrales de las dos caras son caras contiguas del gran dodecaedro constru-ido a partir del icosaedro.

Radio Inradio Volumen Área Ángulo diédrico

32F

12

25-11 510

5 J13 5 -29N

4 15 85 - 38 5 arccos@ 55 D

LOS SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT

Kepler fue el primero en advertir que el pequeño y el gran dodecaedro estrellado podían verse como poliedrosregulares admitiendo intersecciones entre caras, aunque las figuras en sí ya eran conocidas. Ambas figurasfueron redescubiertas por Louis Poinsot en el siglo XIX, quien observó que lo mismo era válido para el grandodecaedro y el gran icosaedro. Por ello, las cuatro figuras son conocidas como sólidos de Kepler-Poinsot, yresultan ser los únicos poliedros regulares no convexos. La figura siguiente los muestra a la vez que permiteponer de manifiesto las figuras de sus vértices. Vemos que la notación {c,v} para referirse al sólido de cara{c} y figura {v} basta para distinguir un sólido de Kepler-Poinsot de otro, así como para distinguir los sólidosplatónicos de los sólidos de Kepler-Poinsot (y, dado que son los únicos poliedros regulares, para determinarcompletamente a cualquiera de ellos).

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Gran Dodecaedro 85,5ê2< Pequeño DodecaedroEstrellado 85ê2,5<

Gran Icosaedro 83,5ê2< Gran DodecaedroEstrellado 85ê2,3<

Reunimos en una misma tabla los datos que hemos obtenido para los sólidos platónicos y los de Kepler-Poinsot (correspondientes a poliedros de radio unitario):

C A V c v N E l r Vol Área D

TetrÖaeÖdrÖo

4 6 4 3 3 1.63Ö299

0.33Ö333

0.51Ö32

4.61Ö88

70.5Ö2Î

| 51

HexaÖedÖro

6 12 8 4 3 1.15Ö47

0.57Ö735

1.53Ö96

8 90Î

OctaÖedÖro

8 12 6 3 4 1.41Ö421

0.57Ö735

1.33Ö333

6.92Ö82

109.Ö47Î

DodeÖcaÖedÖro

12 30 20 5 3 0.71Ö364

0.79Ö465

2.78Ö516

10.5Ö14

116.Ö56Î

IcosÖaeÖdrÖo

20 30 12 3 5 1.05Ö46

0.79Ö465

2.53Ö615

9.57Ö45

138.Ö19Î

GrandoÖdeÖcaÖedÖro

12 30 12 5 5ê2 DodeÖcaÖedÖro

IcosÖaeÖdrÖo

1.05Ö14

0.44Ö721

1.79Ö611

12.0Ö486

63.4Ö3Î

PequÖeñÖodoÖdeÖcaÖedÖroesÖtrÖelÖlaÖdo

12 30 12 5ê2 5 DodeÖcaÖedÖro

IcosÖaeÖdrÖo

1.70Ö13

0.44Ö721

1.11Ö005

7.44Ö64

116.Ö56Î

GranicÖosÖaeÖdrÖo

20 30 12 3 5ê2 IcosÖaeÖdrÖo

IcosÖaeÖdrÖo

1.70Ö13

0.18Ö759

0.73Ö081

11.6Ö873

41.8Ö1Î

52 |

GrandoÖdeÖcaÖedÖroesÖtrÖelÖlaÖdo

12 30 20 5ê2 3 DodeÖcaÖedÖro

DodeÖcaÖedÖro

1.86Ö83

0.18Ö759

0.56Ö156

8.98Ö05

63.4Ö3Î

La tabla incluye una columna para el “núcleo” y otra para la “envoltura” de cada sólido de Kepler-Poinsot. Elnúcleo es el poliedro convexo que determinan los planos de sus caras (el que vería alguien situado en sucentro) y la envoltura es el menor poliedro convexo que lo contiene, cuyos vértices son los mismos que losdel poliedro dado. En efecto, hemos visto que los vértices de todo sólido de Kepler-Poinsot coinciden con losvértices de un sólido platónico, y no es difícil comprobar el recíproco:

Teorema 3.7: Los únicos poliedros regulares cuyos vértices coinciden con los de un sólido platónico sonlos propios sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot.

Demostración: La prueba consiste simplemente en buscar entre los vértices de un sólido platónico grupos queformen polígonos regulares que podamos tomar como caras de un poliedro regular, y para cada uno de elloscomprobar si tales polígonos realmente forman un poliedro. En el caso del tetraedro es claro que los únicospolígonos que pueden formarse con sus cuatro vértices son sus cuatro caras, luego del tetraedro no obten-emos nada más que el tetraedro.

Consideremos ahora un cubo. (Notemos que estamos buscando configuraciones regulares dentro de unnúmero finito (y no muy grande) de posibilidades, así que no entraremos en detalles a la hora de justificarque presentamos todos los casos posibles. Es algo que el lector puede constatar sin más que un poco depaciencia.) Es claro que, aparte de los cuadrados que forman sus caras, los únicos polígonos regulares quepodemos formar con sus vértices son los triángulos equiláteros que muestra la figura siguiente, y con dichostriángulos se forman tetraedros:

Con los vértices de un octaedro, aparte de sus caras, sólo se pueden formar tres cuadrados que no forman unpoliedro:

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En un dodecaedro hay cinco clases distintas de polígonos regulares (distintos de sus caras):

Los triángulos de la primera figura no forman poliedros, pues no hay triángulos análogos que compartanaristas con uno dado. Los cuadrados de la segunda figura forman cubos (véase la cuarta figura en la construc-ción del dodecaedro), los triángulos de la tercera figura forman los tetraedros inscritos en los cubos que seforman con los cuadrados anteriores, los pentágonos de la cuarta figura no forman ningún poliedro, porqueno hay otros que compartan aristas con uno dado. Por último, los pentagramas de la última figura forman ungran icosaedro estrellado (sin más opción: al añadir pentagramas análogos que compartan las cinco aristasdel pentagrama señalado, y a su vez añadir pentagramas que compartan las aristas libres de los nuevospentagramas, y así sucesivamente hasta cerrar el poliedro, lo que nos sale es un gran gran icosaedroestrellado).

En un icosaedro sólo hay tres clases de polígonos regulares:

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Los primeros forman un gran dodecaedro, los segundos un pequeño dodecaedro estrellado y los terceros ungran icosaedro. †

El hecho de que los núcleos de los sólidos de Kepler-Poinsot sean sólidos platónicos se traduce en que losplanos de las caras de todo sólido de Kepler-Poinsot contienen a las caras de un sólido platónico. También secumple el recíproco:

Teorema 3.8: Los únicos poliedros regulares cuyas caras están sobre las de un sólido platónico son lospropios sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot.

Demostración: En general, las caras de un poliedro son polígonos determinados por las intersecciones con unplano de los planos de las caras contiguas. Por lo tanto, ahora hemos de tomar cada sólido platónico, prolon-gar el plano de una cara y estudiar las intersecciones con dicho plano de las prolongaciones de las demáscaras, en busca de polígonos regulares. Si se forman polígonos regulares, habrá que ver si éstos se combinanpara formar poliedros.

Es obvio que, fijada una cara de un tetraedro, las otras tres caras la cortan entres rectas que forman untriángulo: la propia cara del tetraedro, luego de un tetraedro sólo obtenemos el propio tetraedro. Lo mismosucede con el cubo, donde, fijada una cara, hay otra paralela que no la corta y otras cuatro que determinanla propia cara cuadrada del cubo.

Consideremos ahora un octaedro:

Si nos fijamos en una de sus caras, vemos que hay otra paralela que no corta a su plano, tres caras con-tiguas que determinan en su plano el triángulo correspondiente a la cara del octaedro, y los planos de lasotras tres caras forman un triángulo equilátero que, combinado con triángulos análogos, forma un tetraedro.Así pues, del octaedro sólo se obtiene el propio octaedro y el tetraedro.

Consideramos ahora un dodecaedro y observamos que, fijada una cara, hay otra paralela que no proporcionaningún corte, las cinco caras contiguas cortan al plano de la cara en las prolongaciones de sus lados, con loque tenemos pentágonos regulares que dan lugar al propio dodecaedro. Pero dichas prolongaciones de loslados forman también un pentagrama, y estos pentagramas constituyen las caras de un pequeño dodecaedroestrellado. (La justificación de este hecho y de los hechos análogos que indicaremos seguidamente se encuen-tra en la construcción del poliedro correspondiente, en este caso la del pequeño dodecaedro estrellado.)

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Por otra parte, las cinco caras no contiguas a la cara fijada forman otro pentágono regular, y estos pentá-gonos regulares forman un gran dodecaedro. Ahora bien, también podemos prolongar los lados de estepentágono mayor y formar otro pentagrama (que no aparece en la figura), y estos pentagramas mayoresforman un gran dodecaedro estrellado. No hay más posibilidades.

El caso del icosaedro se visualiza fácilmente con la figura siguiente, que hemos usado para estudiar el granicosaedro:

CB A1 A2

A

B1C2

B2C1

Fijada una cara de un icosaedro (el triángulo central de la figura), hay una cara paralela que no induce ningúncorte, y la figura muestra los cortes de las 18 caras restantes. Los únicos polígonos regulares son:

a) El triángulo exterior ABC, que da lugar a un gran icosaedro,

b) Dos triángulos A1B1C1y A2B2C2, que generan un tetraedro, como puede verse en la primera figura de lasección correspondiente al gran dodecaedro estrellado mostrando las caras c1, c8, c13, c19, c) Otros dos triángulos menores, que resultan de unir los puntos medios de los lados de los anteriores, y quedan lugar a octaedros, concretamente a los octaedros que contienen los tetraedros del caso b) tal y comoindica la primera figura de esta demostración,

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c) Otros dos triángulos menores, que resultan de unir los puntos medios de los lados de los anteriores, y quedan lugar a octaedros, concretamente a los octaedros que contienen los tetraedros del caso b) tal y comoindica la primera figura de esta demostración,

d) El triángulo interior, que no es sino la cara de icosaedro de partida. No hay más posibilidades. ‡

Cauchy demostró el teorema siguiente a partir del teorema 3.8 y Bertrand a partir del teorema 3.7. Vamosa exponer las dos demostraciones.

Teorema 3.9 (Cauchy-Bertrand): Los únicos poliedros regulares son los sólidos platónicos y los sólidosde Kepler-Poinsot.

Demostración: Sea P un poliedro regular (que podemos suponer no convexo). La prueba de Cauchy se basaen que todas las caras de un poliedro regular están a una misma distancia no nula de su centro, luego éstaslimitan un núcleo convexo en su interior al que llamaremos N. De este modo, N es un poliedro convexo talque las caras de P son prolongaciones de las caras de N. Si demostramos que N es un sólido platónico, elteorema 3.8 implicará que P es un sólido de Kepler-Poinsot.

Puesto que las simetrías de P transforman P en el mismo poliedro, es obvio que también dejan invariante aN, (puesto que N está determinado por P), es decir, toda simetría de P es una simetría de N. Cada cara deN está contenida en una cara de P, luego una simetría de P que transforme una cara en otra, hace correspon-der también las caras de N contenidas en ellas. Esto implica que N es transitivo para caras, luego en particu-lar todas sus caras son iguales. Ahora usamos un teorema que demostraremos en la sección siguiente(teorema 4.3): todo poliedro convexo debe tener al menos una cara triangular, cuadrangular o pentagonal.Como N tiene todas sus caras iguales, todas ellas son triángulos, cuadrángulos o pentágonos.

Supongamos que las caras de P son polígonos de c lados (no necesariamente convexos), con lo que los girosde 360/c grados respecto de ejes que pasan por el centro de P y por el centro de una de sus caras sonsimetrías de P, luego también de N. Esto implica que los vértices de N se distribuyen en órbitas de c puntos,luego su número es múltiplo de c, pero como dicho número es 3, 4 o 5 y c ¥ 3, la única posibilidad es queambos coincidan, de modo que las caras de N tienen c lados y quedan invariantes por giros de 360/c grados.Esto sólo es posible si son polígonos regulares. Con esto tenemos que N es un poliedro regular, pues yasabemos que es transitivo para caras, y ahora podemos afirmar que es transitivo para aristas y vértices, yaque para llevar una arista hasta otra sólo tenemos que llevar una cara que contenga a la primera hasta unacara que contenga a la segunda y luego aplicar un giro de esta cara que haga corresponder la imagen de laarista con la arista deseada, e igualmente con vértices. Como es convexo, concluimos que N es un sólidoplatónico.

Veamos ahora la prueba de Bertrand. En ella consideramos la envoltura convexa E de los vértices de P, queclaramente es un poliedro convexo. El hecho de que los vértices de P estén inscritos en una esfera se traduceen que los vértices de E son exactamente los mismos que los de P (no puede ocurrir que un vértice de P seacombinación convexa (no trivial) de otros y que, por lo tanto, no sea vértice de E). Así pues, si probamosque E es un sólido platónico el teorema 3.7 nos dará que P es un sólido de Kepler-Poinsot.

El argumento es totalmente paralelo al anterior. Ahora sabemos que todas las simetrías de P son simetríasde E y que, por tanto, E es transitivo para vértices. Esto implica que a cada vértice de E llega el mismonúmero de aristas. El teorema 4.4 que demostraremos en la sección siguiente nos da que dicho número debeser necesariamente tres, cuatro o cinco.

Aquí necesitamos el teorema análogo a 3.4 (que se demuestra análogamente): toda simetría de la figura deun vértice de P que deje fijo al centro de P es una simetría de P, por lo que P, y por consiguiente E, tienesimetrías a los giros de 360/v grados respecto de ejes que pasen por cualquiera de sus vértices y por el centrode P, donde v es el número de lados de la figura de los vértices de P o, equivalentemente, el número dearistas o caras que concurren en cada uno de ellos. Estos giros dejan invariante al conjunto de vérticesadyacentes al que está en el eje de giro, luego el número de dichos vértices ha de ser múltiplo de v, pero,como no puede pasar de 5, debe ser igual a v. Concluimos que existen simetrías de E que transformancualquier arista que llega a un vértice de E en cualquier otra. Uniendo esto a que E es transitivo para vér-tices es claro que E es transitivo para aristas.

Similarmente, E es transitivo para caras, pues para transformar una cara A en otra A', aplicando unasimetría podemos suponer que ambas tienen un vértice V en común y los vértices adyacentes a V estántodos a la misma distancia de V y a la misma distancia del centro de E, luego están en una circunferencia, yun giro los permuta cíclidamente, luego forman un polígono regular dos de cuyos lados son diagonales de A yA' (o lados, si son triángulos) que unen vértices adyacentes a V. Tenemos que existe una simetría de E quetransforma una diagonal en la otra, y claramente entonces transforma una cara en la otra. †

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Similarmente, E es transitivo para caras, pues para transformar una cara A en otra A', aplicando unasimetría podemos suponer que ambas tienen un vértice V en común y los vértices adyacentes a V estántodos a la misma distancia de V y a la misma distancia del centro de E, luego están en una circunferencia, yun giro los permuta cíclidamente, luego forman un polígono regular dos de cuyos lados son diagonales de A yA' (o lados, si son triángulos) que unen vértices adyacentes a V. Tenemos que existe una simetría de E quetransforma una diagonal en la otra, y claramente entonces transforma una cara en la otra. †

4. ALGUNOS TEOREMAS GENERALES SOBRE POLIEDROS

Dedicamos esta sección a demostrar algunos resultados generales, en particular los dos que hemos usado enla clasificación de los poliedros regulares.

EL TEOREMA DE EULER

El teorema de Euler es probablemente el resultado más famoso sobre poliedros:

Teorema 4.1 (Euler): Si un poliedro esferoide tiene C caras, A aristas y V vértices, entonces C- A + V = 2.

En particular esta fórmula es válida para todo poliedro convexo. En cambio, no la cumplen, por ejemplo, elgran dodecaedro y el pequeño dodecaedro estrellado (que no son simples) ni tampoco el poliedro de lafigura inmediatamente anterior al teorema 2.1 (que es simple, pero no esferoide). En cambio, el granicosaedro y su dual la cumplen a pesar de no ser simples.

Aunque el teorema de Euler, tal y como lo hemos enunciado, es un caso muy particular de un resultadogeneral de la topología algebraica, vamos a ver una prueba específica para este caso.

Demostración: Consideremos un poliedro esferoide y vamos a formar un grafo G1 con sus vértices y algunasde sus aristas, con la condición de que sea conexo, es decir, que dos cualesquiera de sus vértices puedanunirse por una cadena de aristas y que no contenga ningún circuito cerrado, es decir, que no exista ningúnconjunto de vértices distintos v1, … , vn de forma que cada uno esté conectado con el siguiente por una aristay el último esté conectado con el primero. Para ver que esto es posible partimos de un grafo que consteúnicamente de un vértice cualquiera v1 y añadimos cualquiera de las aristas que partan de él. En general, sihemos llegado a un grafo conexo sin circuitos que contenga a parte de los vértices del poliedro y todavíaquedan vértices fuera de él, tomamos uno cualquiera de ellos. Claramente existe una cadena de aristas quelo conecta con un vértice del grafo, luego en dicha cadena tiene que haber dos vértices consecutivos talesque uno no esté en el grafo y el siguiente sí. Si añadimos dicho vértice al grafo junto con la arista que lo uneal otro vértice que ya estaba en él, hemos extendido nuestro grafo con una arista y un nuevo vértice de modoque sigue siendo conexo y, precisamente porque el nuevo vértice no estaba en el grafo, no hemos podidocrear un circuito, ya que ello requeriría unir dos vértices que ya estuvieran en el grafo. Este proceso puedecontinuar hasta que ya no queden vértices fuera del grafo.

Esto demuestra que existe un grafo G1 en las condiciones indicadas y, más aún, como en su construcciónhemos partido de un vértice y en cada paso hemos añadido una nueva arista y un nuevo vértice, concluimos

que el número de aristas de G1 es necesariamente V - 1.Ahora construimos un nuevo grafo G2 cuyos vértices sean los centros de las caras del poliedro, y cuyasaristas no sean aristas del poliedro, sino líneas que unan los centros de cada par de caras contiguas cuyaarista común no forme parte del grafo G1. La figura siguiente muestra ejemplos de grafos G1 y G2 sobre undodecaedro:

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En general, observemos que el grafo G2 es conexo, pues esto equivale a que el complementario de la uniónde las aristas de G1 sea un espacio topológico conexo, y esto es así, ya que si tuviera al menos dos compo-nentes conexas, la clausura de cada una de ellas sería una unión de caras y los lados de dichas caras cuyacara contigua estuviera en otra componente conexa distinta formarían un circuito en G1.

Por otra parte, y es en este punto donde usamos que el poliedro dado es esferoide, el grafo G2 no puedetener circuitos cerrados. En efecto, si tuviera un circuito cerrado, podríamos eliminar una de sus aristas(concretamente, una que formara parte de un circuito) para pasar a un grafo G2

' que seguiría siendo conexo.

Dicha arista eliminada cruzaría una arísta del poliedro, que podríamos añadir a G1 para obtener un grafo G1'

que necesariamente tendría un circuito, pero el hecho de que G2' sigue siendo conexo se traduce en que el

complementario de G1' sobre el poliedro es un espacio topológico conexo (arcoconexo, de hecho, pues, dados

dos cualesquiera de sus puntos, podemos unirlos con los centros de sus caras respectivas sin tocar a G1' , y

dichos centros pueden unirse a través de aristas de G2' , que tampoco tocan a G1

' ). Ahora bien, esto es

imposible, pues un circuito de G1' que conste del menor número posible de aristas es claramente homeo-

morfo a una circunferencia, y el teorema de la curva de Jordan (válido para una esfera y, por consiguiente,para todo poliedro esferoide) afirma que tal circuito debe dividir al complementario en dos componentesconexas, luego G1

' debe dividir a su complementario en al menos dos componentes conexas.

Por construcción G2 tiene C vértices, y el hecho de que no tenga circuitos se traduce en que tiene necesaria-mente C - 1 aristas. En efecto, si partimos de un vértice y nos vamos moviendo a vértices adyacentes, comono hay circuitos, nunca podemos volver a ningún vértice por el que ya hayamos pasado, luego tras unnúmero finito de pasos tendremos que llegar a un vértice terminal, es decir, un vértice al que llega una únicaarista. Si eliminamos dicho vértice junto con la arista que llega a él, obtenemos un nuevo grafo conexo y sincircuitos, y procediendo de este modo podemos llegar a un grafo formado por una única arista con sus dosvértices, y finalmente a un único vértice. Así pues, hemos reducido los vértices a 1 y las aristas a 0 en pasossucesivos en los que hemos quitado un vértice y una arista cada vez. Esto prueba que el número de vérticesdel grafo de partida era una unidad mayor que el número de aristas.

Por otra parte, también por construcción toda arista del poliedro está en el grafo G1 o bien está cruzadapor una (única) arista del grafo G2, luego el número total A de aristas del poliedro es la suma de lasaristas de ambos grafos, es decir, A = V - 1 + C - 1, que equivale a la fórmula de Euler. †

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Por otra parte, también por construcción toda arista del poliedro está en el grafo G1 o bien está cruzadapor una (única) arista del grafo G2, luego el número total A de aristas del poliedro es la suma de lasaristas de ambos grafos, es decir, A = V - 1 + C - 1, que equivale a la fórmula de Euler. †

Veamos algunas aplicaciones:

Teorema 4.2: Si todas las caras de un poliedro esferoide tienen c lados y a todos sus vértices llegan varistas, entonces las únicas posibilidades para c y v son (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) y (5,3). Además, los númerosde vértices, aristas y caras coinciden con los del sólido platónico {c,v}.

Demostración: Como cada arista llega a dos vértices, se cumple que vV = 2A, y como cada arista es compar-tida por dos caras cC = 2A, luego la fórmula de Euler nos da la relación

2 Av - A + 2 Ac = 2 ï 1v + 1c = 1A + 12 .

Como obviamente c, v ¥ 3, tenemos que 1v > 12 - 1c ¥ 12 - 13 = 16 , luego v < 6. Igualmente con-

cluimos que c < 6. Ahora bien, si c ¥ 4 entonces queda v < 4, luego las únicas posibilidades son las quecontempla el enunciado. La última ecuación que hemos obtenido determina el valor de A a partir de v y c,luego el número de aristas del poliedro tiene que coincidir con el número de aristas del sólido platónico {c,v}, y dos primeras ecuaciones determinan a su vez los valores de V y C. †

Teorema 4.3: Todo poliedro esferoide tiene al menos una cara triangular, cuadrangular o pentagonal.

Demostración: Sea Cn el número de caras con n lados, de modo que C = C3 + C4 + C5 + C6 + C7 +

Similarmente, sea Vn el número de vértices a los que llegan n aristas, de modo que V = V3 + V4 + V5 + V6

+ V7 + Como cada arista llega a dos vértices y es compartida por dos caras tenemos que

2A = 3C3 + 4C4 + 5C5 + 6C6 + 7C7 + , 2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + 6V6 + 7V7 + ¥ 3V.

Por la fórmula de Euler:

12 = 6V + 6C - 6A b 4A + 6C - 6A = 6C - 2A = 3C3 + 2C4 + C5 - C7 -

Como el miembro derecho tiene que ser positivo, concluimos que al menos uno de los tres números C3, C4,C5 tiene que ser no nulo. †

Un razonamiento análogo intercambiando los papeles de vértices y caras prueba:

Teorema 4.4: Todo poliedro esferoide tiene al menos un vértice al que concurren exactamente tres,cuatro o cinco aristas.

En particular, si un poliedro es transitivo para vértices, a todos sus vértices llegan tres, cuatro o cinco aristas,y si es transitivo para caras, éstas son triángulos, cuadriláteros o pentágonos.

EL DEFECTO DE UN VÉRTICE

En esta sección daremos una prueba (que esencialmente es de Euclides) del teorema siguiente:

Teorema 4.5 (Euclides): La suma de los ángulos de las caras de un poliedro convexocorrespondientes a un mismo vértice es menor de 360Î.

La diferencia entre 360Î y la suma de los ángulos de las caras se llama defecto del vértice correspondiente.La figura siguiente muestra un poliedro esferoide (no convexo) que tiene ángulos con defecto igual a -180Î.

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Demostraremos un resultado previo:

Teorema 4.6: Si en un vértice de un poliedro concurren tres caras, la suma de los ángulos de dos de ellases mayor que el ángulo de la tercera.

Demostración: Llamemos A al vértice del poliedro y sean B, C, D puntos equidistantes de A en los treslados que concurren en él, y consideremos el tetraedro (no necesariamente regular) con vértices en loscuatro puntos. El vértice A del tetraedro tiene los mismos ángulos que pretendemos comparar. Si los tresángulos son iguales, obviamente la suma de dos de ellos es mayor que el tercero. En caso contrario, pode-mos suponer que BAC es el ángulo mayor y que BAD es el menor. Sea E el punto en BC tal que el ánguloBAE es igual a BAD. Moviendo el punto C sobre la recta AC podemos exigir que el segmento AE seaigual a AD sin alterar los tres ángulos que estamos estudiando (de modo que C ya no está necesariamente ala misma distancia de A que B y D)

A

B

D

E C

Los triángulos BAD y BAE tienen dos lados iguales, así como el ángulo A, por lo que son iguales, y enparticular BD es igual a BE. Por otra parte, BD + DC > BC, luego BE + DC > BC y DC > EC. Por otraparte, los triángulos DAC y EAC tienen en común el lado AC y el lado AD es igual a AE, pero el tercer ladoes mayor en el primer triángulo, luego el ángulo DAC es mayor que EAC.

Por consiguiente, tenemos las relaciones siguientes entre ángulos: BAD + DAC = BAE + DAC > BAE +EAC = BAC. Ésta es una de las tres desigualdade que tenemos que probar, pero las otras son inmediatas:BAC es mayor o igual que los otros dos ángulos, luego si le sumamos cualquiera de ellos, la suma es mayorque el tercero. †

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Por consiguiente, tenemos las relaciones siguientes entre ángulos: BAD + DAC = BAE + DAC > BAE +EAC = BAC. Ésta es una de las tres desigualdade que tenemos que probar, pero las otras son inmediatas:BAC es mayor o igual que los otros dos ángulos, luego si le sumamos cualquiera de ellos, la suma es mayorque el tercero. †

Pasamos ya a demostrar el teorema 4.5. Por concretar supondremos que en el vértice A concurren cincocaras, aunque el argumento es válido en general. Si cortamos el poliedro por un plano cercano al punto A, lasección será un polígono convexo que formará una pirámide con el vértice A tal que los ángulos de sus caraslaterales en A son los que queremos estudiar.

A

BC

D

E

F

Aplicamos el teorema anterior al ángulo B de la pirámide, con lo que concluimos que CBA + ABF > FBC.Lo mismo vale para los demás vértices de la base: la suma de los ángulos situados en las caras laterales esmayor que el ángulo de la base. Si sumamos las cinco desigualdades obtenemos en el miembro izquierdo lasuma de todos los diez ángulos de las caras laterales que no están en el vértice A, y dicha suma es mayorque la suma de todos los ángulos de la base. Ahora bien, por el teorema 1.4 sabemos que dicha suma es(5-2)180Î, mientras que la suma de todos los ángulos de las caras laterales es 5·180Î, luego la suma de losángulos en A es menor que 5·180Î - (5-2)180Î = 360Î, como había que probar. †

Ahora podemos obtener otra consecuencia del teorema de Euler:

Teorema 4.7 (Descartes): La suma de los defectos de los vértices de un poliedro convexo esigual a 720Î.

Demostración: La suma de los defectos es igual a la suma, para cada vértice P, de 360Î menos la suma delos ángulos de las caras que concurren en P, que a su vez es igual a 360ÎV menos la suma de los ángulosde todas las caras del poliedro, donde V es el número de vértices. Llamemos Cn al númerode caras delpoliedro con n lados. La suma de los ángulos de un n-ágono regular es (n-2)180Î, luego la suma de losdefectos es

⁄P dP = 360ÎV - ⁄nCn(n-2)180Î = 360ÎV -180Î⁄nCnn - 360Î⁄nCn = 360ÎV -180η2A - 360ÎC = 360Î (V - A+C)=720Î. †

Veamos otra aplicación:

Teorema 4.8: Si las caras de un poliedro convexo son todas cuadrados o todas pentágonos regulares,entonces es un cubo o un dodecaedro regular.

Demostración: Por el teorema 4.5, a cada vértice sólo pueden concurrir tres caras, luego los vértices adya-centes a uno dado P forman un triángulo F, y la pirámide de base F y vértice P tiene caras laterales queson triángulos isósceles cuyos lados iguales forman todos el mismo ángulo (el ángulo de una cara), luego loslados de F son todos iguales y es, por tanto, un triángulo equilátero. A partir de aquí es válido el razon-amiento del teorema 3.4, según el cual no tenemos ningún grado de libertad para construir un poliedro conestas características, sino que necesariamente se ha de tratar del sólido platónico {4,3} o {5,3}. †

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Demostración: Por el teorema 4.5, a cada vértice sólo pueden concurrir tres caras, luego los vértices adya-centes a uno dado P forman un triángulo F, y la pirámide de base F y vértice P tiene caras laterales queson triángulos isósceles cuyos lados iguales forman todos el mismo ángulo (el ángulo de una cara), luego loslados de F son todos iguales y es, por tanto, un triángulo equilátero. A partir de aquí es válido el razon-amiento del teorema 3.4, según el cual no tenemos ningún grado de libertad para construir un poliedro conestas características, sino que necesariamente se ha de tratar del sólido platónico {4,3} o {5,3}. †

La primera figura de esta sección muestra que el resultado es falso sin la hipótesis de convexidad. Por otraparte, el resultado no es cierto para triángulos equiláteros. Por ejemplo, si unimos dos tetraedros por unacara obtenemos un poliedro convexo formado por triángulos equiláteros que no es un sólido platónico (no estransitivo para vértices):

El teorema de Descartes nos da una información sobre los poliedros convexos formados por triángulos equi-láteros que usaremos más adelante para clasificarlos:

Teorema 4.9: Si todas las caras de un poliedro son triángulos equiláterios, en cada vértice concurrentres, cuatro o cinco caras, y si llamamos V3, V4 y V5 al número de vértices de cada tipo, se cumple larelación 3V3+2V4 +V5= 12.

Demostración: Los ángulos de las caras son todos de 60Î, luego para que el defecto sea positivo no puedehaber más de cinco caras en cada vértice. La suma de los defectos es 360(V3 + V4 + V5) - 60(3V3 + 4V4 + 5V5)= 720. †

EL TEOREMA DE CAUCHY

Presentamos seguidamente otro resultado fundamental sobre poliedros convexos:

Teorema 4.9 (Cauchy): Si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre losvértices, las aristas y las caras de dos poliedros convexos de modo que los lados de una cara secorrespondan con los lados de su imagen y los extremos de una arista se correspondan con losextremos de su imagen, y además cada cara es congruente con su imagen, entonces los poliedrosson congruentes (a través de una isometría que no conserva necesariamente la orientación).

En otros términos: imaginemos que “demontamos” un poliedro convexo separando sus caras, pero anteshemos numerado sus vértices y sus aristas y hemos anotado los números en cada cara. De este modo, siqueremos reconstruir el poliedro, tomamos una cara y observamos que en una de sus aristas aparece laequiqueta “5” y en sus vértices las etiquetas “3” y “8”, eso significa que debemos buscar otra cara que tengatambién una arista numerada con el “5” y pegarla a la primera por las aristas numeradas con el “5” y demodo que el vértice “3” coincida con el “3” y el “8” con el “8”. La forma de pegar dos caras de esta forma noes única, sino que falta especificar el ángulo diédrico que deben formar las dos caras. Supongamos quetambién hemos anotado los ángulos diédricos en cada arista. En tal caso tenemos datos suficientes parareconstruir el poliedro a partir de sus caras y de las anotaciones de ensamblaje. En efecto, empezaríamostomando una cara cualquiera c, nos fijaríamos en el número de una de sus aristas y buscaríamos la cara c’que tiene una arista con el mismo número, pegaríamos ambas caras por dicha arista cuidando de que secorresponda la numeración de los vértices y de modo que el ángulo entre sus planos fuera el ángulo diédricoanotado para la arista. La primera vez que hacemos esto tenemos un grado de libertad, y es que podemossituar la cara c’ en cualquiera de los dos semiplanos determinados por la cara c. Ahora bien, una vez real-izada la primera elección, al repetir el proceso con cualquiera de las aristas de la figura formada por c y c’que todavía no tienen pareja, ya no podemos elegir el semiplano, sino que, como buscamos un poliedroconvexo, estamos obligados a poner cada nueva cara en el semiespacio que contiene a las anteriores. Laprimera elección del semiespacio hace que podamos acabar con dos poliedros simétricos respecto del planode la primera cara que hemos tomado, pero ambos resultados serán claramente congruentes con el poliedroinicial que habíamos “desmontado”.

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En otros términos: imaginemos que “demontamos” un poliedro convexo separando sus caras, pero anteshemos numerado sus vértices y sus aristas y hemos anotado los números en cada cara. De este modo, siqueremos reconstruir el poliedro, tomamos una cara y observamos que en una de sus aristas aparece laequiqueta “5” y en sus vértices las etiquetas “3” y “8”, eso significa que debemos buscar otra cara que tengatambién una arista numerada con el “5” y pegarla a la primera por las aristas numeradas con el “5” y demodo que el vértice “3” coincida con el “3” y el “8” con el “8”. La forma de pegar dos caras de esta forma noes única, sino que falta especificar el ángulo diédrico que deben formar las dos caras. Supongamos quetambién hemos anotado los ángulos diédricos en cada arista. En tal caso tenemos datos suficientes parareconstruir el poliedro a partir de sus caras y de las anotaciones de ensamblaje. En efecto, empezaríamostomando una cara cualquiera c, nos fijaríamos en el número de una de sus aristas y buscaríamos la cara c’que tiene una arista con el mismo número, pegaríamos ambas caras por dicha arista cuidando de que secorresponda la numeración de los vértices y de modo que el ángulo entre sus planos fuera el ángulo diédricoanotado para la arista. La primera vez que hacemos esto tenemos un grado de libertad, y es que podemossituar la cara c’ en cualquiera de los dos semiplanos determinados por la cara c. Ahora bien, una vez real-izada la primera elección, al repetir el proceso con cualquiera de las aristas de la figura formada por c y c’que todavía no tienen pareja, ya no podemos elegir el semiplano, sino que, como buscamos un poliedroconvexo, estamos obligados a poner cada nueva cara en el semiespacio que contiene a las anteriores. Laprimera elección del semiespacio hace que podamos acabar con dos poliedros simétricos respecto del planode la primera cara que hemos tomado, pero ambos resultados serán claramente congruentes con el poliedroinicial que habíamos “desmontado”.

Lo que dice el teorema de Cauchy es que para reconstruir el poliedro no hace falta haber anotado los ángulosdiédricos, sino que al ir uniendo las caras según las instrucciones de ensamblaje y modificando los ángulosdiédricos según vaya siendo necesario, al final obtendremos el mismo poliedro que habíamos “desmontado”.Cualquiera que haya construido un poliedro con cartulina a partir de una red de polígonos sabe que esto escierto, pues siempre se acaba con el poliedro previsto sin haberse preocupado por medir ángulos diédricos.

Sin embargo, hay que señalar que la hipótesis de convexidad es necesaria, pues la figura siguiente muestrados poliedros que pueden ensamblarse a partir de las mismas caras siguiendo las mismas instrucciones deensamblaje (sin conocer a priori los ángulos diédricos) y que, no obstante, no son congruentes:

Demostración: Supongamos que existen dos poliedros convexos P y P’ que cumplen las hipótesis del teo-rema pero no son congruentes. Por la discusión precedente, al menos un ángulo diédrico de P debe serdistinto de su correspondiente en P’. Así pues, hay una arista de P cuyo ángulo diédrico es distinto delángulo diédrico de su correspondiente en P’. Sea v uno de sus extremos y sea v’ su análogo en P’. Resultaentonces que al menos uno de los ángulos diédricos de una de las aristas que concurren en v es distinto delde su análoga en v’. Sin embargo, los ángulos laterales son iguales en ambos vértices, pues las caras soncongruentes (mediante congruencias que hacen corresponder v con v’). Fijemos una esfera E de centro v deradio suficientemente pequeño como para que corte a todas las aristas que concurren en v, así como suanáloga E’ con centro v’.

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Cada cara concurrente en v corta a la esfera en un arco que pasa por un círculo máximo (porque el plano dela cara pasa por el centro de la esfera, luego corta a la esfera en un círculo máximo). Estos arcos estánencadenados cíclicamente, y forman una figura análoga a un polígono, salvo que está sobre una esfera enlugar de sobre un plano y sus lados son arcos de circunferencia en lugar de segmentos de recta. Llamaremospolígonos esféricos convexos a las figuras obtenidas de este modo por intersección de una pirámide convexacon una esfera.

Si tomamos como medida el radio de la esfera y medimos los ángulos en radianes, podemos afirmar que lalongitud del arco determinado por cada cara es igual a su ángulo en v. Así pues, tenemos dos polígonosesféricos convexos, el determinado en E por P y el determinado en E' por P' tales que cada lado de uno secorresponde con un lado del otro de la misma longitud. Sin embargo, los ángulos de los polígonos se corre-sponden con los ángulos diédricos de las aristas de v y v', por lo que no son iguales.

Marquemos cada ángulo del polígono en E con un +, un - o un = según si es mayor, menor o igual que elángulo correspondiente en E’ y vamos a probar que, al recorrer el polígono, se producen al menos cuatroalternancias de signo (entendiendo por tal un paso de + a - o de - a + con posibles valores 0 intermedios).Obviamente el número de alternancias tiene que ser par, luego basta probar que no puede ser ni 0 ni 2. Paraello probamos un hecho general:

Sean A1An y B1Bn dos polígonos esféricos convexos sobre esferas del mismo radio tales quecada lado AiAi+1 tiene la misma longitud que BiBi+1 para i = 1, … , n-1 (pero no decimos nada sobreAnA1). Supongamos además que cada ángulo Ai es menor o igual que Bi para i = 2, … , n-1 y quealguno de ellos es estrictamente menor. Entonces AnA1es estrictamente menor que BnB1.

En la prueba admitiremos el caso en que algunos de los ángulos de los polígonos sean llanos, pero supon-dremos que B2 no lo es. Lo probamos por inducción sobre n. Si n = 3 hemos de probar que si dos triángulosesféricos ABC y A'B'C' determinados por una pirámide convexa tienen iguales los lados AB = A'B' y AC= A'C' y el ángulo A es menor que A', entonces el lado BC también es menor que B'C', pero esto esconsecuencia inmediata del teorema del coseno de la geometría esférica, que (suponiendo la circunferenciaunitaria) afirma que:

cos[BC] = cos[AB] cos[AC] + sen[AB] sen[AC] cos A.

Como los senos son positivos, un aumento del ángulo A conlleva un aumento del lado BC.

Supongamos ahora que n ¥ 4 y consideremos el caso en que al menos un ángulo (no llano) Ai es igual al

correspondiente Bi (para un i = 2, …, n-1). Entonces los triángulos esféricos Ai-1AiAi+1 y Bi-1BiBi+1 tienen sustres lados iguales (de nuevo por el teorema del coseno), luego son congruentes y podemos considerar lospolígonos que resultan de suprimir los vértices Ai y Bi, con lo que estamos en las condiciones del teoremapero con polígonos de n-1 vértices. (Aquí se usa que los polígonos están definidos por pirámides convexas,

pues en otro caso la diagonal Ai-1Ai+1 podría cortar los lados del polígono y el argumento no valdría. Si elvértice que eliminamos es el segundo, es fácil ver que el nuevo B2 no puede ser llano, pues es el anterior B3menos un cierto ángulo no nulo.)

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Supongamos ahora que n ¥ 4 y consideremos el caso en que al menos un ángulo (no llano) Ai es igual al

correspondiente Bi (para un i = 2, …, n-1). Entonces los triángulos esféricos Ai-1AiAi+1 y Bi-1BiBi+1 tienen sustres lados iguales (de nuevo por el teorema del coseno), luego son congruentes y podemos considerar lospolígonos que resultan de suprimir los vértices Ai y Bi, con lo que estamos en las condiciones del teoremapero con polígonos de n-1 vértices. (Aquí se usa que los polígonos están definidos por pirámides convexas,

pues en otro caso la diagonal Ai-1Ai+1 podría cortar los lados del polígono y el argumento no valdría. Si elvértice que eliminamos es el segundo, es fácil ver que el nuevo B2 no puede ser llano, pues es el anterior B3menos un cierto ángulo no nulo.)

Nos falta considerar el caso en que todos los ángulos del primer polígono son estrictamente menores que losdel segundo (y, en particular, ninguno es llano). En tal caso consideramos el polígono esférico que tiene losmismos vértices que A1An salvo que sustituimos A1 por otro punto A1* tal que el arco A1* A2 sea igual a

A1A2, pero de modo que el ángulo A1* A2A3 coincida con B1B2B3. En este punto hay que tener en cuentatres posibilidades, todas ellas ilustradas en la figura siguiente:

a b c

Al abrir el ángulo A2 sólo se modifican los ángulos A2, A1 y An. El ángulo A2 se mantendrá convexo, puesacaba siendo igual a B2, que es convexo, el ángulo A1 (o A1* ) se mantendrá convexo porque no dajará de

formar un triángulo A2A1* An, (aquí usamos que el polígno de partida es convexo por lo que contiene a la

diagonal A2An) pero el ángulo An-1 puede mantenerse convexo, como en el caso a) de la figura, puedehacerse llano, con lo que el polígono sigue siendo convexo, pero tiene un vértice menos (caso b), o puedehacerse cóncavo, con lo que el polígono deja de ser convexo (caso c). Observemos que si se da el caso c,entonces hay un punto intermedio A1' que satisface el caso b.

En los casos a) y b), el polígono A1An tiene al menos un ángulo (el A3, que no es llano) igual a su corre-spondiente en A1*An, y otro (el A2) estrictamente menor, luego por el caso ya probado sabemos que el

arco AnA1 es menor que AnA1* . A su vez, el polígono A1*An tiene un ángulo (el A2) igual al de B1Bn(luego no es llano, porque B2 no lo es) y los restantes menores, por lo que también podemos aplicar la parteya probada y concluir que el arco AnA1* es menor que BnB1, lo que nos da la conclusión.

Pasamos ahora al caso c), en el cual consideramos el punto intermedio A1' que cumple el caso b). Por dicho

caso, al comparar el polígono A1An con A1' An (que es igual a A1' An-1) concluimos que el arco AnA1 es

menor que AnA1' . A continuación comparamos el polígono A1' An-1 con B1Bn-1, donde podemos usar la

hipótesis de inducción, según la cual el arco An-1A1' es menor que Bn-1B1.

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Pasamos ahora al caso c), en el cual consideramos el punto intermedio A1' que cumple el caso b). Por dicho

caso, al comparar el polígono A1An con A1' An (que es igual a A1' An-1) concluimos que el arco AnA1 es

menor que AnA1' . A continuación comparamos el polígono A1' An-1 con B1Bn-1, donde podemos usar la

hipótesis de inducción, según la cual el arco An-1A1' es menor que Bn-1B1.

Por otra parte, como An-1, An y A1' están alineados, se cumple que AnA1' = An-1A1' - An-1An, de modo

que, en conclusión,

AnA1 < AnA1' = An-1A1' - An-1An < Bn-1B1 - Bn-1Bn § B1Bn, donde la última desigualdad es simplemente la desigualdad triangular sobre la esfera.

Volviendo a la demostración del teorema, tenemos dos polígonos esféricos convexos y queremos probar queel número de alternancias en las diferencias de sus ángulos no puede ser 0 ni 2. Si fuera 0, ello significaríaque todos los ángulos de uno de los polígonos son menores o iguales que los ángulos correspondientes en elotro, y alguna desigualdad es estricta. El resultado que hemos probado implica que uno de los lados delsegundo polígono tiene que ser estrictamente mayor que el lado correspondiente del primero, pero sabemosque los lados son todos iguales.

Supongamos ahora que hay exactamente dos alternancias y distinguimos varios casos: si sólo hay uno o dossignos + consecutivos, entonces numeramos los vértices del polígono de modo que uno de sea A1 y, si hayotro, sea An. El resultado anterior nos da que el arco AnA1 es menor que Bn B1, lo cual es falso, pues cadaarco tiene la misma longitud que su análogo en el segundo polígono. Lo mismo vale si sólo hay uno o dossignos - consecutivos (intercambiando el papel de los dos polígonos). En otro caso, los dos vértices donde seproducen las dos alternancias no son contiguos, por lo que la diagonal que los une divide al polígono en dospolígonos convexos menores, uno de los cuales tiene todos sus vértices marcados con + o con = (salvo losdos correspondientes a la diagonal) y el otro tiene todos sus vértices marcados con - o con = (salvo los doscorrespondientes a la diagonal). Al aplicar el teorema anterior a ambos polígonos, concluimos que la longitudde la diagonal debe ser mayor y menor estrictamente que la diagonal correspondiente en el polígono sobre laesfera E’. Esta contradicción prueba que al menos hay cuatro alternancias.

Todo lo dicho hasta aquí es válido para cualquier par de vértices correspondientes en los dos poliedros dadosa los que llegue al menos una arista con ángulo diédrico distinto de la de su correspondiente en el otropolígono. Más en general, dados los dos poliedros P y P’, podemos marcar cada arista de P con un +, un - oun = según si su ángulo diédrico es mayor, menor o igual que el de su arista correspondiente en P’. Lo quehemos probado es que, en cada vértice de P, o bien concurren únicamente aristas marcadas con =, o bien, alrecorrer cíclicamente las aristas que concurren a él, encontramos al menos cuatro cambios de signo.

A partir de aquí prescindimos de la interpretación geométrica de los signos que hemos asignado a cada aristay vamos a ver simplemente que es imposible establecer una asignación arbitraria de signos +, - o = a lasaristas de un poliedro convexo con la condición de que alrededor de cada vértice al que concurra al menosuna arista marcada con + o con - se produzcan al menos cuatro cambios de signo (salvo que todas las aristasestén marcadas con un =, que es lo que queremos probar).

Para probarlo necesitamos trabajar con un concepto abstracto de poliedro:

Un poliedro combinatorio es una estructura determinada por un conjunto finito {v1, … , vk}, a cuyoselementos llamaremos vértices, un conjunto de pares de vértices {vi, v j}, a cuyos elementos

llamaremos aristas (y a los elementos de una arista los llamaremos extremos) y un conjunto acuyos elementos llamaremos caras, de modo que cada cara es un conjunto finito de al menos tresaristas (llamadas lados de la cara) que pueden disponerse cíclicamente de modo que cada aristacomparte un extremo con la arista anterior y el otro con la siguiente. Exigimos además que cadaarista pertenezca exactamente a dos caras, que dos vértices de una cara no formen una arista salvoque sea uno de sus lados, que a cada vértice concurran al menos tres aristas, que las aristas queconcurren a un vértice puedan disponerse cíclicamente de modo que cada una y la siguiente seanaristas consecutivas de una misma cara y que dos caras cualesquiera puedan unirse por una cadenade caras contiguas. Por último, exigimos que el número de vértices, el de caras y el de aristascumplan la fórmula de Euler).

Un poliedro combinatorio marcado es un poliedro combinatorio a cuyas aristas hemos asignado signos +, - =de modo que al recorrer las aristas que rodean a un vértice, si no todas ellas tienen signo =, encontramos almenos cuatro cambios de signo. Será trivial si todas las marcas son =.

Obviamente, el poliedro P determina un poliedro combinatorio marcado. Ahora todo se reduce a probarprobar que, en general, no existen poliedros combinatorios marcados no triviales. Supongamos que no es así.

Dado un poliedro marcado no trivial, podemos pasar a otro con los mismos vértices y cuyas caras son todastriángulos. En efecto, toda cara puede ser dividida en triángulos añadiendo como aristas los pares formadospor uno de sus vértices y todos los demás vértices no adyacentes (y las nuevas aristas las marcamos consignos =). Si la cara tenía n lados, hemos añadido n-2 aristas y n-2 caras, luego la fórmula de Euler siguecumpliéndose cada vez que triangulamos una cara. Como no hemos añadido vértices y las nuevas aristasestán marcadas con =, el poliedro sigue estando marcado.

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Dado un poliedro marcado no trivial, podemos pasar a otro con los mismos vértices y cuyas caras son todastriángulos. En efecto, toda cara puede ser dividida en triángulos añadiendo como aristas los pares formadospor uno de sus vértices y todos los demás vértices no adyacentes (y las nuevas aristas las marcamos consignos =). Si la cara tenía n lados, hemos añadido n-2 aristas y n-2 caras, luego la fórmula de Euler siguecumpliéndose cada vez que triangulamos una cara. Como no hemos añadido vértices y las nuevas aristasestán marcadas con =, el poliedro sigue estando marcado.

Ahora observamos que si el poliedro tiene un vértice al que concurren exactamente tres aristas, todas ellasdeben estar marcadas con =, pues no puede haber cuatro alternancias de signo. En particular, no puedesuceder que todos los vértices del poliedro sean triples. Si un vértice es triple, no puede suceder que sus tresvértices adyacentes formen una cara, porque, como las caras tienen que estar conectadas, las tres carasconcurrentes en el vértice y la cara opuesta serían todas las caras del poliedro, que sería un “tetraedrocombinatorio” con todos sus vértices triples. Por lo tanto, podemos construir otro poliedro combinatorioeliminando el vértice junto con las tres caras concurrentes en él y añadiendo una nueva cara formada por lostres vértices adyacentes. Es fáci ver que seguimos teniendo un poliedro combinatorio. En particular siguecumpliendo la fórmula de Euler, pues hemos eliminado un vértice, tres aristas y tres caras, y hemos añadidouna cara, luego la expresión V - A + C no se altera. Como todas las aristas que hemos eliminado estabanmarcadas con =, el nuevo poliedro combinatorio sigue estando marcado.

Como el número de vértices se reduce en cada paso, repitiendo este proceso podemos pasar a un poliedrocombinatorio marcado con caras triangulares en el que no haya vértices triples. Supongamos que quedaalgún vértice cuyas aristas están todas marcadas con signos = y veamos que también puede ser eliminado.Para ello eliminamos el vértice, las n aristas y las n caras que concurren en él y añadimos una nueva caracuyos vértices sean los n vértices adyacentes al que hemos eliminado. Notemos que en cada vértice adya-cente hemos eliminado una arista y hemos unido la anterior y la posterior mediante la cara nueva, por lo quesigue teniendo sus aristas dispuestas cíclicamente según la definición de poliedro combinatorio (aquí usamosque los vértices adyacentes tienen al menos cuatro aristas, por lo que ahora se quedan con al menos tres,como exige la definición). Notemos que hemos eliminado un vértice, n aristas y n caras y hemos añadido unacara, con lo que V - A + C no se altera. Como todas las aristas eliminadas estaban marcadas con =, el nuevopoliedro combinatorio también está marcado. Ahora lo triangulamos, si tiene vértices triples los eliminamos y,si todavía sigue quedando un vértice con todas las aristas marcadas con =, lo eliminamos también repitiendoel proceso descrito.

Como el número de vértices va descendiendo, tras un número finito de pasos tenemos que llegar a unpoliedro combinatorio de caras triangulares en el que todos los vértices tengan alguna arista marcada con + ocon -, luego en todos los vértices hay al menos cuatro cambios de signo. Ahora reemplazamos todas lasmarcas = por marcas +, y observamos que el poliedro sigue estando marcado, pues, mirando un ciclo designos alrededor de un vértice, si hemos sustituido una cadena +===+ por +++++ no hemos cambiado elnúmero de alternancias, al igual que si hemos cambiado +===- por ++++-, mientras que si hemos cambi-ado -===- por -+++- hemos añadido una alternancia.

Así pues, ahora tenemos un poliedro combinatorio marcado de caras triangulares en el que todas las marcasson + o -. Llamamos t a la suma de alternancias en cada vértice, de modo que, necesariamente, se cumplirát ¥ 4V. Por otra parte, en cada cara triangular tiene que haber dos signos ++ p -- consecutivos, luego cada triánguloproporciona a lo sumo dos alternancias a sus tres vértices, y por consiguiente 4V § t § 2C.

Ahora aplicamos el teorema de Euler:

2V = 2A - 2C + 4 = 3C -3C + 4 = C + 4.Combinando las dos fórmulas resulta: C + 4 § C, contradicción. †

Veamos una aplicación:

Teorema 4.10: Un poliedro convexo es regular si y sólo si sus caras son polígonos regulares iguales y atodos sus vértices llega el mismo número de aristas.

Demostración: Por el teorema 4.2 sabemos que un poliedro en las condiciones del enunciado tiene tipo {c,v}igual al de un poliedro regular. Si sus caras son cuadrados o pentágonos el teorema 4.8 ya nos da que setrata del cubo o del dodecaedro regular (aunque podríamos llegar a la misma conclusión razonando comovamos a hacer a continuación para el caso de las caras triangulares, usando el teorema de Cauchy). Supong-amos, pues que las caras del poliedro son triángulos equiláteros, en cuyo caso a cada vértice tienen quellegar tres, cuatro o cinco aristas. Es inmediato que si a cada vértice llegan tres aristas se trata de un tetrae-dro regular.

Supongamos que a cada vértice llegan cuatro aristas, con lo que el poliedro tiene seis vértices y ocho caras, yhemos de probar que se trata de un octaedro. Por el teorema de Cauchy, basta probar que las ocho carasestán conectadas como en un octaedro, pero esto es trivial: en un vértice concurren cuatro caras, que formanla superficie lateral de una pirámide de base cuadrada. A priori no podemos asegurar que las cuatro aristas“viudas” de dicha superficie lateral estén sobre un mismo plano, pues tal estructura puede deformarse. Ahorabien, aparte de los cinco vértices considerados hasta ahora hay un sexto vértice, que también tendrá otrascuatro caras concurrentes con sus cuatro aristas viudas. Como ya no puede haber más vértices, el poliedrotiene que formarse identificando cada una de las cuatro aristas viudas de la primera mitad con una de lascuatro aristas viudas de la otra mitad y, por consiguiente, sus ocho caras están dispuestas exactamente igualque en un octaedro regular. Por el teorema de Cauchy, el poliedro es un octaedro regular.

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Supongamos que a cada vértice llegan cuatro aristas, con lo que el poliedro tiene seis vértices y ocho caras, yhemos de probar que se trata de un octaedro. Por el teorema de Cauchy, basta probar que las ocho carasestán conectadas como en un octaedro, pero esto es trivial: en un vértice concurren cuatro caras, que formanla superficie lateral de una pirámide de base cuadrada. A priori no podemos asegurar que las cuatro aristas“viudas” de dicha superficie lateral estén sobre un mismo plano, pues tal estructura puede deformarse. Ahorabien, aparte de los cinco vértices considerados hasta ahora hay un sexto vértice, que también tendrá otrascuatro caras concurrentes con sus cuatro aristas viudas. Como ya no puede haber más vértices, el poliedrotiene que formarse identificando cada una de las cuatro aristas viudas de la primera mitad con una de lascuatro aristas viudas de la otra mitad y, por consiguiente, sus ocho caras están dispuestas exactamente igualque en un octaedro regular. Por el teorema de Cauchy, el poliedro es un octaedro regular.

Supongamos ahora que a cada vértice llegan cinco aristas, con lo que el poliedro tiene doce vértices y veintecaras. Consideremos la figura con la que mostramos la existencia del icosaedro. Podemos empezar por elpaso 2, en el que se muestran cinco caras de un icosaedro regular. Dado un poliedro cualquiera de tipo{3,5}, podemos tomar uno cualquiera de sus vértices y llamarlo O, el cual tendrá cinco vértices adyacentesque podemos nombrar cíclicamente como A, B, C, D, E, con lo que a cada una de las cinco caras queconcurren en O le podemos asignar la cara correspondiente en la figura, de modo que si, en general, a cadavértice, arista o cara determinada por los seis vértices que estamos considerando le hacemos corresponder elobjeto análogo en la figura, tenemos una biyección tal que las imágenes de los lados de una cara son loslados de su imagen y las imágenes de los extremos de una arista son los extremos de su imagen.

En el vértice B del poliedro arbitrario concurrirán cinco aristas, tres de las cuales son BC, BO y BA, perofaltan otras dos, que no pueden acabar ni en D ni en E, pues si, por ejemplo, B y D fueran adyacentes,entonces BCD sería una cara del poliedro y al vértice C llegarían sólo tres aristas (pues las tres que yaestamos considerando cerrarían el ciclo de aristas adyacentes). Así pues, los vértices adyacentes a B son A,O, C y dos vértices nuevos, que podemos llamar F y G. Podemos etiquetarlos de forma que la arista ABpertenezca a la cara ABF, tal y como muestra el paso 3, y es claro que la correspondencia entre vértices,aristas y caras del poliedro arbitrario y el icosaedro regular de la figura puede extenderse hasta incluir todoslos vértices representados y las aristas y caras determinados por ellos. El vértice C debe tener un quintovértice adyacente, que no puede ser ninguno de los considerados hasta ahora. No puede ser E (resp. F)porque entonces D (resp. G) tendría cuatro vértices adyacentes nada más, ni puede ser A, porque entoncesDCA y GCA serían caras del poliedro, y A tendría siete vértices adyacentes. Por lo tanto el quinto vérticeadyacente a C es un nuevo vértice al que podemos llamar H, tal y como aparece en el paso 4, y la correspon-dencia entre los elementos del poliedro arbitrario y el icosaedro regular puede extenderse hasta englobartodos los representados hasta ahora. Igualmente se razona que el quinto vértice adyacente a D no puede serninguno de los considerados hasta ahora, ni tampoco el quinto vértice adyacente a A. Llamamos I, J a estosdos vértices, tal y como se muestran en el paso 5, que tampoco pueden coincidir entre sí, pues entonces a Ellegarían sólo cuatro aristas. Como tenemos ya cinco vértices adyacentes a E, no falta ninguno, y los vérticesEIJ deben formar una cara tal y como se muestra en el paso 6. Así pues, es claro que podemos biyectarquince de las caras del poliedro dado con las quince caras del icosaedro representadas en la figura de modoque la correspondencia se extiende coherentemente a aristas y vértices. El poliedro tiene un último vérticeadicional K (pues sabemos que en total tiene doce), que tendrá cinco nuevas caras concurrentes en él.Puesto que con esto completamos las veinte caras, las cinco aristas viudas de dichas cinco caras nuevastienen que identificarse con las cinco aristas viudas de vértices FGHIJ, lo que nos lleva a que su disposicióndebe ser exactamente la que muestra el paso 7, que es el icosaedro regular completo. Por el teorema deCauchy, esta correspondencia entre caras, aristas y vértices muestra que el poliedro dado es congruente a unicosaedro regular, es decir, es un icosaedro regular. †

En la sección siguiente daremos una última caracterización de los poliedros regulares convexos basadaúnicamente en el tipo y el número de sus caras.

5. DELTAEDROS CONVEXOS

Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son triángulos equiláteros.

En esta sección describiremos todos los deltaedros convexos y aplicaremos los teoremas de la sección ante-rior para demostrar que, efectivamente, no existe ningún otro aparte de los que vamos a describir. Ya conoce-mos tres deltaedros convexos: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Vamos a ver que sólo existen cincomás. Es inmediato que existen infinitos deltaedros no convexos, que pueden tener formas arbitrariamentecaprichosas. Basta ir uniendo deltaedros convexos cualesquiera (por ejemplo tetraedros) a través de una carapara formar deltaedros con toda clase de tentáculos, anillos, nudos, etc.

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En esta sección describiremos todos los deltaedros convexos y aplicaremos los teoremas de la sección ante-rior para demostrar que, efectivamente, no existe ningún otro aparte de los que vamos a describir. Ya conoce-mos tres deltaedros convexos: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Vamos a ver que sólo existen cincomás. Es inmediato que existen infinitos deltaedros no convexos, que pueden tener formas arbitrariamentecaprichosas. Basta ir uniendo deltaedros convexos cualesquiera (por ejemplo tetraedros) a través de una carapara formar deltaedros con toda clase de tentáculos, anillos, nudos, etc.

LAS BIPIRÁMIDES TRIANGULAR Y PENTAGONAL

Los deltaedros más sencillos después del tetraedro regular son las bipirámides triangular y pentagonal, queresultan de unir por sus bases dos pirámides de base regular triangular o pentagonal. También podríamosconsiderar la bipirámide cuadrada, pero no es sino el octaedro regular. En general, una bipirámide es la figuraque resulta de unir dos pirámides con la misma base y la misma altura superponiendo las bases. Dicha baseidentificada se sigue llamando base de la bipirámide, pero hay que tener presente que no es una de suscaras. Podemos formar bipirámides con cualquier polígono regular y cuyas caras sean triángulos isósceles,pero es fácil ver que sólo pueden ser equiláteros cuando la base tiene tres, cuatro o cinco lados. Lasbipirámides son los poliedros duales de los prismas.

En general, las bipirámides de base regular son transitivas para caras, pero no lo son para vértices ni aristas(salvo en el caso del tetraedro regular). Las características de ambos deltaedros se deducen fácilmente de loscálculos que ya tenemos hechos. Por ejemplo, el radio mayor de la bipirámide triangular es la altura deltetraedro, que es la suma de su inradio más su cinrcunradio, el radio menor es el radio de la base, y elinradio forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el apotema de la base y cuyo ángulo opuesto es elángulo diédrico del tetraedro, cuyo coseno es 1/3.El radio mayor de la bipirámide pentagonal es el del pentágono regular, el radio mayor forma un triángulorectángulo con dicho radio y con la arista, y el inradio forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es laapotema de la base y cuyo ángulo opuesto tiene tangente igual a la altura de la pirámide sobre la apotema dela base. Cuando la arista mide 1 queda:

R1 R2 Inradio Volumen Área

Bipirámide triangular63

33

2 618

26

3 32

Bipirámide pentagonal5+ 510

5- 510

3+ 530

5+ 512

5 32

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EL DODECAEDRO SIAMÉS

Presentamos ahora un deltaedro de 12 caras cuya estructura es especialmente complicada. Para construirlopartimos de una bipirámide triangular y le hacemos un corte longitudinal a través de dos aristas consecuti-vas. Deslizando la barra de la figura siguiente (en el paso 1) vemos cómo se deforma la bipirámide: se formaun agujero limitado por cuatro aristas de forma que a medida que un par de vértices opuestos se separa elotro par se junta hasta que la figura queda plana.

Paso 1

1 2 3 4

Por consiguiente, tiene que haber una posición en la que la distancia entre cada par de vértices opuestos esla misma, digamos d. Dicha posición es la que se muestra en el Paso 2. En dicha posición, los cuatro ángulosdel agujero son iguales, pues forman triángulos isósceles con dos lados de longitud igual a la de la arista dela bipirámide y el opuesto de longitud d. Por lo tanto, si tomamos otra figura idéntica pero girada 90Î tal ycomo se muestra en el paso 3, al juntarlas (moviendo de nuevo la barra deslizante) las dos piezas encajan yforman el dodecaedro siamés, llamado así porque está formado por dos bipirámides pegadas a modo degemelos siameses. (También se le conoce como biesfenoide romo, por razones que explicaremos más ade-lante). Vemos que se trata de un deltaedro con V = 8 vértices, A = 18 aristas y C = 12 caras.

El paso 4 nos permite calcular las proporciones del dodecaedro siamés. Para una arista unitaria, tenemos que

x2 + Hz - 1 ê2L2 = 1, de donde obtenemos la relación entre x y z, que viene dada por x = 34+z - z2 . Por otra

parte, (x-x0L2 +y02 + z2 = 1 y x02 + y02 = 3/4, de donde obtenemos que

x0 = 2 z+1

4 34+z-z2

, y0 = 34

- 2 z+1

43

4+z-z2

2

.

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La condición para que las dos piezas encajen es y0 = z, de donde se obtiene la ecuación

4z4-4z3-7z2+2z+2 = 0.Concretamente, z es la única raíz de esta ecuación comprendida entre 0 y 1. Concretamente, z = 0.64458… Apartir de aquí es fácil calcular las coordenadas de los ocho vértices.

El dodecaedro siamés es un poliedro muy irregular: no es transitivo para vértices, pues tiene vértices cuádru-ples y vértices quíntuples, tampoco es transitivo para aristas, pues hay aristas que unen vértices cuádruples,aristas que unen vértices quíntuples y aristas que unen un vértice cuádruple con otro quíntuple, y tampoco estransitivo para caras, pues hay caras con dos vértices cuádruples y caras con uno solo. Quizá la mejor formade hacerse una idea de su estructura es observar su red, es decir, la figura plana que resulta de"desplegarlo":

Cerrando la tira central de ocho triángulos obtenemos el anillo que muestra la figura siguiente (paso 1):

1 2 3

Notemos que podríamos cerrarlo con dos cuadrados para obtener lo que se conoce como un antiprisma. Sinembargo, el dodecaedro siamés requiere rellenar cada uno de los dos agujeros con dos triángulos, para locual primero hemos de deformar los huecos cuadrados como indica el paso 2. En el paso 3 vemos elresultado.

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Notemos que podríamos cerrarlo con dos cuadrados para obtener lo que se conoce como un antiprisma. Sinembargo, el dodecaedro siamés requiere rellenar cada uno de los dos agujeros con dos triángulos, para locual primero hemos de deformar los huecos cuadrados como indica el paso 2. En el paso 3 vemos elresultado.

Obviamente, el área de un dodecaedro siamés de arista l es 3 3 l2. Para calcular su volumen descom-ponemos el dodecaedro en dos poliedros disjuntos, como muestra la figura:

Una de las piezas es unión de tres tetraedros iguales (por el teorema de Cauchy, pues sus cuatro caras sontriángulos isósceles iguales). El tetraedro central tiene por vértices (de acuerdo al sistema de coordenadasque hemos establecido antes para justificar la existencia del dodecaedro siamés) (0, 0, 1/2), (0, 0, -1/2), (x0, y0, 0),(x0, -y0, 0), luego es el tetraedro determinado por los vectores (0, 0, 1), (x0, y0, 1/2), (x0, -y0, 1/2) y su volumen es

16 |det

0 0 1x0 y0 1 ê2x0 -y0 1 ê2

| = x0 y03 .

La segunda pieza es una bipirámide de altura z cuya base es un trapecio de bases 1 y 2z y altura x, luego suvolumen es

23

2 z+12

x z.Por lo tanto, el volumen de un dodecaedro siamés de arista unitaria es

V = 2 z+13

x z + x0z º 0.85949…

Un razonamiento más fino permite probar que V es la raíz positiva del polinomio 5832 V 6-1377 V 4-2160 V 2-4.

EL PRISMA TRIANGULAR TRIAUMENTADO

Al contrario de lo que sucedía en el caso anterior, el siguiente deltaedro tiene una estructura muy simple: unprisma triangular triaumentado es el poliedro que se forma a partir de un prisma triangular (cuyas bases sontriángulos equiáteros y sus caras laterales cuadrados) cuando sobre cada cara lateral se sitúa una pirámidecuadrada (cuyas caras laterales son triángulos equiláteros). El resultado se muestra en la figura siguiente:

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Al contrario de lo que sucedía en el caso anterior, el siguiente deltaedro tiene una estructura muy simple: unprisma triangular triaumentado es el poliedro que se forma a partir de un prisma triangular (cuyas bases sontriángulos equiáteros y sus caras laterales cuadrados) cuando sobre cada cara lateral se sitúa una pirámidecuadrada (cuyas caras laterales son triángulos equiláteros). El resultado se muestra en la figura siguiente:

Se trata de un poliedro con V = 9 vértices, A = 21 aristas y C = 14 caras. De los nueve vértices, tres soncuádruples (los vértices de las pirámides añadidas al prisma) y seis son quíntuples (los vértices del prismainicial). Obviamente no es transitivo ni para vértices, ni para aristas ni para caras. El cálculo del área y elvolumen no ofrece ninguna dificultad:

S = 7 3

2, V = 3

4 + 3 1

3

2

2 = 3

4 + 2

2.

LA BIPIRÁMIDE CUADRADA GIROELONGADA

Pese a su nombre, el deltaedro que consideramos ahora también es muy sencillo. Consiste en un antiprismacuadrado sobre cuyas bases cuadradas hemos puesto dos pirámides cuadradas.

Si juntáramos las dos pirámides cuadradas sin el antiprisma enmedio tendríamos una bipirámide cuadrada.Una bipirámide cuadrada elongada sería el poliedro que resulta de separar las dos pirámides e intercalar uncubo entre ambas. Para intercalar un antiprisma hemos de girar 45Îuna de las pirámides, y de ahí el nombrede bipirámide cuadrada giroelongada. Vemos que tiene V = 10 vértices, A = 24 aristas y C = 16 caras. Tampocoes transitiva ni para vértices, ni para aristas ni para caras.

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Si juntáramos las dos pirámides cuadradas sin el antiprisma enmedio tendríamos una bipirámide cuadrada.Una bipirámide cuadrada elongada sería el poliedro que resulta de separar las dos pirámides e intercalar uncubo entre ambas. Para intercalar un antiprisma hemos de girar 45Îuna de las pirámides, y de ahí el nombrede bipirámide cuadrada giroelongada. Vemos que tiene V = 10 vértices, A = 24 aristas y C = 16 caras. Tampocoes transitiva ni para vértices, ni para aristas ni para caras.

Para calcular su volumen calcularemos primero la altura del antiprisma. Para ello observamos que, respecto

del sistema de referencia indicado en la figura, hay dos vértices adyacentes con coordenadas (0, 2

2, h2) y J 1

2,

12, - h

2N. Como la distancia entre ellos debe ser 1, resulta que h = 8

4

2.

Así pues, el radio del antiprisma es R = 14+ h2

4 = 4+ 2

8. Su volumen es la suma de los volúmenes de las

diez pirámides de vértice en su centro y base cada una de sus caras. La altura de las pirámides lateralesforma ángulo recto con el radio y con el radio de una cara, luego es

h0 = 4+ 2

8- 13

= 4+3 2

24.

Por consiguiente, el volumen es

2 13

84

4 + 8 1

3 3

4

4+3 2

24= 84

6 + 1

3

4+3 2

2 = 2 24

6 +

2 4+3 2

6.

Usando la identidad 4 + 3 2 = 24

( 2 +1) la expresión anterior se simplifica fácilmente hasta

4+3 23

. Por consiguiente, el volumen de la bipirámide cuadrada giroelongada es

V = 2 13

2

2 + 4+3 2

3 = 13 2 + 4 + 3 2 .

Obviamente el área es S = 4 3 .

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CLASIFICACIÓN DE LOS DELTAEDROS CONVEXOS

La tabla siguiente recoge la información sobre todos los deltaedros convexos que hemos estudiado:

C A V V3 V4 V5 Volumen Área

Tetraedro 4 6 4 4 0 0212 3

Bipirámide triangular 6 9 5 2 3 026

3 32

Octaedro 8 12 6 0 6 023 2 3

Bipirámide pentagonal 10 15 7 0 5 25+ 512

5 32

Dodecaedro siamés 12 18 8 0 4 4 0.85949… 3 3

Prisma triangular triaumentado 14 21 9 0 3 62 2 + 3

47 32

Bipirámide cuadrada giroelongada 16 24 10 0 2 82 + 4+3 2

3 4 3

Icosaedro 20 30 12 0 0 1215+5 5

12 5 3

Comparando los resultados, es imposible no llegar a la conjetura de que nos falta uno, que debe existir undeltaedro convexo con 18 caras, 27 aristas y 11 vértices, uno de ellos cuádruple y los otros 10 quíntuples. Sinembargo, vamos a demostrar que no existe tal poliedro:

Teorema 5.1: Los únicos deltaedros convexos son los poliedros que aparecen en la tabla precedente.

Admitiendo este hecho, la tabla muestra que un deltaedro convexo está completamente determinado tantopor su número de caras, como por su número de aristas, como por su número de vértices.

Demostración: Nuestro punto de partida es el teorema 4.9, según el cual los deltaedros convexos tienenúnicamente vértices triples, cuádruples o quíntuples, y el número de vértices de cada tipo satisface larelación 3V3+2V4 +V5= 12. Esta ecuación tiene un número finito de soluciones enteras:

C A V V3 V4 V54 6 4 4 0 0 Tetraedro6 9 5 3 1 18 12 6 3 0 36 9 5 2 3 0 Bipirámide triangular8 12 6 2 2 210 15 7 2 1 412 18 8 2 0 68 12 6 1 4 110 15 7 1 3 312 18 8 1 2 514 21 9 1 1 716 24 10 1 0 98 12 6 0 6 0 Octaedro10 15 7 0 5 2 Bipirámide pentagonal12 18 8 0 4 4 Dodecaedro siamés14 21 9 0 3 6 Prisma triangular triaumentado16 24 10 0 2 8 Bipirámide cuadrada giroelongada18 27 11 0 1 1020 30 12 0 0 12 Icosaedro

Para cada caso, el número de aristas es necesariamente el dado por la relación 2A = 3V3+4V4 +5V5 y lafórmula de Euler nos da el número de caras. Hemos de probar que los casos que tienen la última columna enblanco no pueden darse, mientras que los que tienen el nombre de uno de los poliedros que hemos estudiadosólo se cumplen para el poliedro en cuestión. Por el teorema de Cauchy, esto se reduce a probar que unpoliedro en uno de estos casos debe tener las caras dispuestas igual que el poliedro indicado en la tabla.

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Para cada caso, el número de aristas es necesariamente el dado por la relación 2A = 3V3+4V4 +5V5 y lafórmula de Euler nos da el número de caras. Hemos de probar que los casos que tienen la última columna enblanco no pueden darse, mientras que los que tienen el nombre de uno de los poliedros que hemos estudiadosólo se cumplen para el poliedro en cuestión. Por el teorema de Cauchy, esto se reduce a probar que unpoliedro en uno de estos casos debe tener las caras dispuestas igual que el poliedro indicado en la tabla.

A partir de aquí consideramos un deltaedro convexo arbitrario y vamos a demostrar que es uno de los queconocemos. Para ello distinguiremos varios casos y subcasos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

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A) El poliedro no tiene vértices triples. El teorema 4.10 nos asegura que si todos los vértices son cuádrupleso todos son quíntuples el poliedro es necesariamente un octaedro o un icosaedro regular. Por lo tanto, pode-mos suponer que nuestro deltaedro arbitrario tiene tanto vértices cuádruples como quíntuples.

A1) No hay dos vértices cuádruples adyacentes. (Este caso incluye la posibilidad de que sólo haya un vérticecuádruple, que, como veremos, no puede darse realmente.) Consideamos uno de los vértices cuádruples,llamémoslo A, y sean B, C, D, E sus vértices adyacentes, tal y como muestra la figura (paso 1). Es impor-tante que la única información relevante de las figuras que vamos a considerar es la disposición de las caras yvértices. Por ejemplo, hemos representado los cuatro vértices B, C, D, E formando un cuadrado, pero nadanos garantiza a priori que los ángulos vayan a ser rectos. Ninguno de los razonamientos que haremos sobrelas figuras se apoyará en los ángulos mostrados entre las aristas o los ángulos diédricos.

Estamos suponiendo que los cuatro vértices son quíntuples. En particular, B debe tener otros dos vérticesadyacentes, ninguno de los cuales puede ser D, pues si BD fuera una arista del poliedro, o bien compartiríacara con BC, en cuyo caso C sería un vértice triple, o bien la compartiría con BE, en cuyo caso E seríatriple. Llamemos F y G a los otros dos vértices contiguos de B, de modo que su disposición tiene que sercomo se muestra en el paso 2. Falta un vértice adyacente a C, que no puede ser ninguno de los representa-dos en la figura, pues si fuera E el vértice D sería triple y si fuera F el vértice G sería triple. Si llamamos Hal nuevo vértice, la situación es necesariamente la que muestra el paso 3. Nuevamente, a D le falta unvértice adyacente, y no puede ser ninguno de los ya representados, pues si fuera F el vértice E sería cuádru-ple y si fuera G el vértice H sería triple. Esto nos lleva a la situación representada en el paso 4. Como elvértice E tiene que ser quíntuple, los vértices F, I tienen que ser adyacentes, como se muestra en el paso 5.

A partir de aquí distinguimos más casos:

A1.1) Los vértices F, G, H, I son quíntuples (el caso en que el poliedro tuviera un único vértice cuádrupleestaría contenido en éste). Entonces el quinto vértice adyacente a F no puede ser H, pues entonces G, Iserían cuádruples. La situación tiene que ser la mostrada en el paso 6. Ahora, bien, como los vértices G, Ideben ser quíntuples, necesariamente J tiene que ser adyacente a H y ello lo convierte en un vértice cuádru-ple (paso 7). Esto descarta la posibilidad de que haya un único vértice cuádruple, y además llegamos a queun deltaedro convexo en el caso A1.1 tiene sus caras dispuestas como las de la bipirámide triangular giroelon-gada, luego por el teorema de Cauchy es una bipirámide triangular giroelongada.

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A1.1) Los vértices F, G, H, I son quíntuples (el caso en que el poliedro tuviera un único vértice cuádrupleestaría contenido en éste). Entonces el quinto vértice adyacente a F no puede ser H, pues entonces G, Iserían cuádruples. La situación tiene que ser la mostrada en el paso 6. Ahora, bien, como los vértices G, Ideben ser quíntuples, necesariamente J tiene que ser adyacente a H y ello lo convierte en un vértice cuádru-ple (paso 7). Esto descarta la posibilidad de que haya un único vértice cuádruple, y además llegamos a queun deltaedro convexo en el caso A1.1 tiene sus caras dispuestas como las de la bipirámide triangular giroelon-gada, luego por el teorema de Cauchy es una bipirámide triangular giroelongada.

A1.2) Alguno de los vértices F, G, H, I (por ejemplo el G) es cuádruple.

Ahora hemos de volver al paso 5, pero en su lugar seguiremos en el paso 8, que representa la mismaconfiguración pero con otros ángulos, adaptados al caso siguiente. Ahora basta observar que si G es cuádru-ple las aristas GF y GH deben estar en una misma cara, que es la representada en el paso 9. Finalmente,como al vértice F no pueden llegar más de cinco aristas, las aristas FH y FI deben compartir cara, lo cualcierra el poliedro como se muestra en el paso 10, y concluimos (por el teorema de Cauchy) que en este casoel poliedro debe ser un prisma triangular triaumentado.

A2) Hay dos vértices cuádruples adyacentes. Esto nos devuelve al paso 1, pero ahora suponemos que almenos uno de los cuatro vértices B, C, D, E es cuádruple. Podemos suponer que es el vértice B. Le faltaentonces un vértice adyacente, que no puede ser el D, pues entonces los vértices C y E serían triples. Por lotanto, tenemos la situación que muestra el paso 11. Observamos que C y E no pueden ser ambos cuádru-ples, pues entonces se cerraría el poliedro y sería un octaedro, con todos sus vértices cuádruples, cuando yahemos descartado este caso. Por lo tanto no perdemos generalidad si suponemos que C es quíntuple. Le faltaentonces un vértice adyacente, que no puede ser E, pues entonces D y F serían triples. Por lo tanto, ten-emos la situación del paso 12. Ahora observamos que E tiene que ser también quíntuple, pues en casocontrario habría una cara EDF que a su vez forzaría a D y F a ser quíntuples, lo que forzaría la exitencia deuna cara DFG que convertiría a G en un vértice triple.

Si el quinto vértice adyacente a E es G el poliedro se cierra y su estructura es la de una bipirámide pentago-nal, luego por el teorema de Cauchy es una bipirámide pentagonal. En caso contrario hay un nuevo vértice enla situación del paso 13. Finalmente, como D y F no pueden tener más de cinco aristas, ha de haber carasDHG y FHG que cierran el poliedro y concluimos que es un dodecaedro siamés (paso 14).

Con esto hemos probado que los únicos deltaedros convexos sin vértices triples son los indicados en lasegunda mitad de la tabla anterior. Falta estudiar el caso opuesto:

B) El poliedro tiene al menos un vértice triple. Vamos a considerar una por una las doce ternas posibles (V3,V4, V5) según la primera parte de la tabla anterior. El teorema 4.10 nos asegura que el caso (4,0,0) sólo locumple el tetraedro regular. Los tres vértices adyacentes a un vértice triple forman un triángulo equilátero. Sialguno de dichos vértices fuera a su vez triple, dicho triángulo sería una cara y el deltaedro sería un tetrae-dro. Por lo tanto, una vez descartado el caso (4,0,0) sabemos que nuestro deltaedro arbitrario no puedetener dos vértices triples consecutivos. En particular, el caso (3,1,1) no puede darse, pues si sólo hay dosvértices no triples, cualquier vértice triple tiene al menos otro vértice triple adyacente. Lo mismo vale para(3,0,3), pues uno de los vértices triples debe tener como vértices adyacentes los tres vértices quíntuples,luego éstos forman un triángulo equilátero, igualmente, el segundo vértice triple tiene por adyacentes esosmismos tres vértices, pero con esto se cierra ya el poliedro, que será una bipirámide triangular y eso nocorresponde al caso (3,0,3). El mismo argumento muestra que el caso (2,3,0) sólo lo cumplen las bipirámidestriangulares, pues cada uno de los dos vértices triples debe tener por adyacentes a los tres vértices cuádru-ples. Con esto hemos tratado los cuatro primeros casos. Nos falta probar que los ocho restantes sonimposibles.

Para ello hacemos una observación general: dado un deltaedro convexo en cualquiera de los ocho casos,fijado uno de sus vértices triples, el plano que contiene a sus tres vértices adyacentes divide al poliedro endos mitades convexas (porque cada una de ellas es la intersección de un semiespacio (convexo) con unpoliedro convexo. Una de las mitades es un tetraedro regular, mientras que la otra es el poliedro que resultade eliminar las tres caras que llegan al vértice fijado y sustituirlas por una nueva cara formada cuyos vérticesson los tres vértices adyacentes. Dicha parte será, pues, otro deltaedro convexo.

Por ejemplo, consideremos el caso (2,2,2). Los vértices adyacentes a uno de sus vértices triples serán doscuádruples y un quíntuple o bien un cuádruple y dos quíntuples. Podemos representarlo así:(1,0,0)+(0,2,1)+(1,0,1) (para el primer caso) o (1,0,0)+(0,1,2)+(1,1,0). El primer sumando representa elvértice triple que estamos considerando, el segundo sumando sus tres vértices adyacentes y el tercero losvértices restantes del poliedro. Al “amputar” el tetraedro formado por las caras que llegan al vértice consider-ado estamos eliminando el primer sumando y restando una arista de cada vértice del segundo sumando,luego el resultado es (2,1,0)+(1,0,1) = (3,1,1) en el primer caso y (1,2,0)+(1,1,0) = (2,3,0). Puesto que noexisten deltaedros de tipo (3,1,1), concluimos que el caso (2,2,2) sólo puede darse en el segundo caso, ynuestro poliedro resulta de pegar un tetraedro en una de las caras de una bipirámide triangular. Dichopoliedro puede construirse, naturalmente, pero no es convexo, como puede apreciarse en la figura:

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Por ejemplo, consideremos el caso (2,2,2). Los vértices adyacentes a uno de sus vértices triples serán doscuádruples y un quíntuple o bien un cuádruple y dos quíntuples. Podemos representarlo así:(1,0,0)+(0,2,1)+(1,0,1) (para el primer caso) o (1,0,0)+(0,1,2)+(1,1,0). El primer sumando representa elvértice triple que estamos considerando, el segundo sumando sus tres vértices adyacentes y el tercero losvértices restantes del poliedro. Al “amputar” el tetraedro formado por las caras que llegan al vértice consider-ado estamos eliminando el primer sumando y restando una arista de cada vértice del segundo sumando,luego el resultado es (2,1,0)+(1,0,1) = (3,1,1) en el primer caso y (1,2,0)+(1,1,0) = (2,3,0). Puesto que noexisten deltaedros de tipo (3,1,1), concluimos que el caso (2,2,2) sólo puede darse en el segundo caso, ynuestro poliedro resulta de pegar un tetraedro en una de las caras de una bipirámide triangular. Dichopoliedro puede construirse, naturalmente, pero no es convexo, como puede apreciarse en la figura:

Similarmente, si seleccionamos un vértice triple en un deltaedro de tipo (2,1,4) obtenemos dos posiblesdescomposiciones: (1,0,0)+(0,1,2)+(1,0,2) o bien (1,0,0)+(0,0,3)+(1,1,1). Al amputar el tetraedro obten-emos (1,2,0)+(1,0,2) = (2,2,2) o bien (0,3,0)+(1,1,1) = (1,4,1). Ya hemos visto que el tipo (2,2,2) corre-sponde a la figura anterior, pero dicho deltaedro no tiene una cara formada por un vértice triple y dos cuádru-ples para poder pegar el tetraedro en ella, luego el primer caso no puede darse. Más abajo veremos que nohay deltaedros de tipo (1,4,1), luego el segundo caso también es imposible.

Si partimos de un deltaedro de tipo (2,0,6) la única descomposición posible es (1,0,0)+(0,0,3)+(1,0,3), quenos da (0,3,0)+(1,0,3) = (1,3,3). Más abajo veremos que sí que hay deltaedros de este tipo, pero no sonconvexos, luego los de tipo (2,0,6) tampoco lo son.

El caso (1,4,1) permite dos descomposiciones: (1,0,0)+(0,3,0)+(0,1,1) o bien (1,0,0)+(0,2,1)+(0,2,0), quedan lugar a (3,0,0)+(0,1,1) = (3,1,1) o bien (2,1,0)+(0,2,0) = (2,3,0). Ya hemos visto que (3,1,1) es imposi-ble, mientras que (2,3,0) es una bipirámide, pero este caso también es imposible porque las bipirámides notienen caras con dos vértices triples y uno cuádruple para pegarles el tetraedro. Esto completa también elcaso (2,1,4).

El caso (1,3,3) permite cuatro variantes:

(1,0,0)+(0,3,0)+(0,0,3) ï (3,0,0)+(0,0,3) = (3,0,3) (imposible)

(1,0,0)+(0,2,1)+(0,1,2) ï (2,1,0)+(0,1,2) = (2,2,2) (imposible, porque (2,2,2) no tiene caras con dosvértices triples)

(1,0,0)+(0,1,2)+(0,2,1) ï (1,2,0)+(0,2,1) = (1,4,1) (imposible)

(1,0,0)+(0,0,3)+(0,3,0) ï (0,3,0)+(0,3,0) = (0,6,0)

El último caso corresponde a pegar un tetraedro en una cara de un octaedro, lo cual es posible y además dalugar a un poliedro convexo, como muestra la figura, pero no es un deltaedro porque las caras del tetraedroestán en el mismo plano que sus caras adyacentes y forman rombos (esto se debe a que los ángulos diédri-cos del tetraedro y del octaedro son suplementarios, tal y como calculamos en su momento).

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Esto zanja también el caso (2,0,6). Ahora vemos que los deltaedros de este tipo resultan de pegar otrotetraedro a la figura anterior sobre la única cara que sigue teniendo vértices cuádruples. Nuevamente, lafigura es convexa, pero tiene cuatro caras romboidales.

Para (1,2,5) tenemos:

(1,0,0)+(0,2,1)+(0,0,4) ï (2,1,0)+(0,0,4) = (2,1,4) (imposible)

(1,0,0)+(0,1,2)+(0,1,3) ï (1,2,0) + (0,1,3) = (1,3,3) (imposible)

(1,0,0)+(0,0,3)+(0,2,2) ï (0,3,0)+(0,2,2) = (0,5,2) (imposible)

El segundo caso es imposible porque la figura anterior no tiene una cara con un vértice triple y dos cuádru-ples, y el tercero porque una bipirámide pentagonal no tiene una cara formada por tres vértices cuádruples.

Para (1,1,7) hay dos posibilidades:

(1,0,0)+(0,1,2)+(0,0,5) ï (1,2,0)+(0,0,5) = (1,2,5) (imposible)

(1,0,0)+(0,0,3)+(0,1,4) ï (0,3,0)+(0,1,4) = (0,4,4) (imposible)

El segundo caso es imposible porque el dodecaedro siamés no tiene una cara formada por vértices cuádruples.

Por último, (1,0,9) = (1,0,0)+(0,0,3)+(0,0,6) ï(0,3,0)+(0,0,6) = (0,3,6), que es imposible, pues un prismatriangula triaumentado no tiene una cara de vértices cuádruples. ‡

En particular, podríamos definir un tetraedro, un octaedro y un icosaedro como los únicos poliedros convexosformados por cuatro, ocho o veinte triángulos equiláteros (mientras que ya sabíamos que el cubo es el únicopoliedro convexo formado por cuadrados y el dodecaedro el único poliedro convexo formado por pentágonosregulares, sin necesidad de especificar el número).

6. POLIEDROS UNIFORMES

El concepto de poliedro regular es muy restrictivo, desde el momento en que sólo cinco (o nueve) poliedrosson regulares. Si tratamos de definir una familia más amplia de poliedros que, no obstante, sigan pudiendoconsiderarse “bastante regulares” en el sentido de tener un alto grado de simetría, resulta natural admitir quelas caras, aun siendo poliedros regulares, no sean necesariamente iguales entre sí. Esto obliga a eliminar lacondición de transitividad para caras (y también conviene eliminar la transitividad para aristas, permitiendoasí que haya aristas que unan caras iguales y aristas que unan caras distintas), pero podemos conservar latransitividad para vértices, como forma de conservar una parte de la regularidad de los poliedros regulares.Esto nos lleva a la definición siguiente:

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El concepto de poliedro regular es muy restrictivo, desde el momento en que sólo cinco (o nueve) poliedrosson regulares. Si tratamos de definir una familia más amplia de poliedros que, no obstante, sigan pudiendoconsiderarse “bastante regulares” en el sentido de tener un alto grado de simetría, resulta natural admitir quelas caras, aun siendo poliedros regulares, no sean necesariamente iguales entre sí. Esto obliga a eliminar lacondición de transitividad para caras (y también conviene eliminar la transitividad para aristas, permitiendoasí que haya aristas que unan caras iguales y aristas que unan caras distintas), pero podemos conservar latransitividad para vértices, como forma de conservar una parte de la regularidad de los poliedros regulares.Esto nos lleva a la definición siguiente:

Un poliedro uniforme es un poliedro transitivo para vértices cuyas caras son todas polígonosregulares.

Los poliedros uniformes también reciben el nombre de poliedros semirregulares, aunque este término se usaa veces con significados distintos. De momento estudiaremos únicamente los poliedros uniformes convexos,aunque la definición no excluye el caso de poliedros no convexos o con autointersecciones.

La condición de transitividad para vértices nos asegura que todo poliedro uniforme tiene un centro y un radio,de modo que sus vértices están inscritos en la esfera determinada por éstos.

TRUNCAMIENTO

Una forma de obtener poliedros uniformes a partir de poliedros regulares es el truncamiento. Truncar unpoliedro regular significa sustituir cada uno de sus vértices por la cara resultante de cortar todas las aristasque llegan a él a una misma distancia (menor o igual que la mitad de la arista) y unir cíclicamente los puntosde corte formando un polígono, necesariamente regular. La figura siguiente muestra los truncamientos de loscinco sólidos platónicos.

h o

i Truncado uniforme

Vemos que las nuevas caras son las figuras de los vértices y las antiguas se convierten en polígonos con eldoble número de lados. Esto es así salvo en el caso extremo en que el truncamiento llega hasta la mitad de laarista. Entonces las caras antiguas se reducen a polígonos del mismo tipo que las originales. Este trun-camiento extremo se llama rectificación. El tetraedro rectificado es otro tetraedro, mientras que el cuborectificado es el mismo poliedro que el octaedro rectificado, y tiene tantas caras cuadradas como el cubo ytantas caras triangulares como el octaedro, por lo que recibe el nombre de cuboctaedro. Similarmente, larectificación del dodecaedro coincide con la del icosaedro y comparte las caras de ambos, por lo que recibe elnombre de icosidodecaedro (ambos nombres se remontan a Kepler). Ahora bien, cada sólido platónico admiteotra truncación que da lugar a un poliedro uniforme, es la llamada truncación uniforme, que consiste entruncar la medida justa para que la longitud de lo que queda de las aristas originales iguale a la longitud delas nuevas aristas.

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Vemos que las nuevas caras son las figuras de los vértices y las antiguas se convierten en polígonos con eldoble número de lados. Esto es así salvo en el caso extremo en que el truncamiento llega hasta la mitad de laarista. Entonces las caras antiguas se reducen a polígonos del mismo tipo que las originales. Este trun-camiento extremo se llama rectificación. El tetraedro rectificado es otro tetraedro, mientras que el cuborectificado es el mismo poliedro que el octaedro rectificado, y tiene tantas caras cuadradas como el cubo ytantas caras triangulares como el octaedro, por lo que recibe el nombre de cuboctaedro. Similarmente, larectificación del dodecaedro coincide con la del icosaedro y comparte las caras de ambos, por lo que recibe elnombre de icosidodecaedro (ambos nombres se remontan a Kepler). Ahora bien, cada sólido platónico admiteotra truncación que da lugar a un poliedro uniforme, es la llamada truncación uniforme, que consiste entruncar la medida justa para que la longitud de lo que queda de las aristas originales iguale a la longitud delas nuevas aristas.

Notemos que, en general, si truncamos un poliedro y después aplicamos una isometría, el resultado es elmismo que si primero aplicamos la isometría y luego truncamos. En particular, toda simetría de un poliedro loes de cualquiera de sus truncamientos. Esta observación basta para justificar que todo truncamiento de unsólido platónico es transitivo para vértices. En efecto, como el sólido platónico de partida cumple que todovértice se puede transformar en cualquier otro mediante una simetría, sus truncamientos cumplen que todacara nueva puede transformarse en cualquier otra mediante una simetría, y como hay simetrías que permu-tan cíclicamente las aristas que llegan a un vértice, el poliedro truncado tiene simetrías que permutan cíclica-mente los vértices (y las aristas) de cada cara nueva. Si el truncamiento es uniforme o una rectificación,entonces las caras son polígonos regulares y el poliedro es uniforme. Más aún, las rectificaciones son transiti-vas para aristas, pues toda arista está en una de las caras nuevas. Así pues, de los sólidos platónicos obten-emos siete poliedros uniformes mediante truncamiento: cinco de ellos por truncamiento uniforme y dos porrectificación. Vamos a estudiarlos separadamente.

EL CUBOCTAEDRO

El cuboctaedro es la rectificación del cubo o del octaedro. Se trata de un poliedro uniforme con con C = 14caras (8 triángulos y 6 cuadrados), A = 24 aristas y V = 12 vértices. Más aún, vemos que también es transi-tivo para aristas.

Notemos que la distancia entre dos caras cuadradas opuestas es la diagonal de una de las caras cuadradas,es decir, suponiendo la arista unitaria, 2 . El segmento que une el centro del poliedro con el centro de unacara cuadrada mide, pues, r4= 2 /2. Este segmento forma un ángulo recto con el radio del cuboctaedro y elradio de una cara, que mide también 2 /2. Por lo tanto, el radio es R = 1. (También podemos obtener el radioobservando que es el radio de un hexágono regular de arista unitaria.) A partir de aquí podemos calcular la

distancia del centro del cuboctaedro al centro de una cara triangular, que es r3 = 1 - 1 ê3 = 6 /3. A su vezahora es fácil obtener el volumen del cuboctaedro como suma de los volúmenes de las ocho pirámides triangu-lares y seis pirámides cuadradas en que podemos descomponerlo:

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Notemos que la distancia entre dos caras cuadradas opuestas es la diagonal de una de las caras cuadradas,es decir, suponiendo la arista unitaria, 2 . El segmento que une el centro del poliedro con el centro de unacara cuadrada mide, pues, r4= 2 /2. Este segmento forma un ángulo recto con el radio del cuboctaedro y elradio de una cara, que mide también 2 /2. Por lo tanto, el radio es R = 1. (También podemos obtener el radioobservando que es el radio de un hexágono regular de arista unitaria.) A partir de aquí podemos calcular la

distancia del centro del cuboctaedro al centro de una cara triangular, que es r3 = 1 - 1 ê3 = 6 /3. A su vezahora es fácil obtener el volumen del cuboctaedro como suma de los volúmenes de las ocho pirámides triangu-lares y seis pirámides cuadradas en que podemos descomponerlo:

V = 83

34

63

+ 63

22

= 5 23 .

Por otra parte, el área es

S = 8 34

+ 6 = 6 + 2 3 .Si hacemos descansar el cuboctaedro sobre una de sus caras cuadradas, sus triángulos contiguos tienen su

vértice opuesto a una altura de 2 /2, por lo que el seno del ángulo diédrico es sen a = 2 ì2

3 ì2, luego cos a =

- 3

3.

Radio Volumen Área Ángulo diédrico

15 23 6 + 2 3 arccos@- 3

3 D

EL ICOSIDODECAEDRO

El icosidodecaedro es la rectificación del icosaedro o del dodecaedro. Se trata de un poliedro uniforme transi-tivo para aristas, con C = 32 caras (20 triángulos y 12 pentágonos), A = 60 aristas y V = 30 vértices.

El plano que pasa por el centro de un icosaedro perpendicular al eje que une dos vértices opuestos corta a lospuntos medios de diez caras, luego diez vértices del icosidodecaedro forman un decágono regular que pasapor su centro, como muestra la figura. A partir de aquí es fácil calcular su radio:

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R = 12 sin@18ÎD

= F.A partir del radio de las caras obtenemos la distancia del centro al centro de cada cara. Para las triangulares

es r3 = F2 - 13

= 7+3 5

6, mientras que para las pentagonales es r5 = F2 -

5+ 5

10 = 5+2 5

5. De aquí

obtenemos el volumen:

V = 203

3

4

7+3 5

6 + 12

3 54 5+2 5

5

5+2 5

5 = 5

3

7+3 5

2+5+2 5 = 5

3 3+ 5

2+5+2 5 = 45+17 5

6 .Por otro lado, el área es claramente

S = 20 3

4 + 12 5

45+2 5

5 = 5 3 +3 25 + 10 5 .

Para calcular el ángulo diédrico consideramos los triángulos rectángulos indicados en la figura siguiente:

Conocemos las longitudes de todos los lados (el lado común es la apotema del decágono, que mide F cos18Î),por lo que los ángulos que forman el pentágono y el triángulo con el plano del decágono tienen senos dadospor

sen a =

7+3 5

6

F5+ 5

8

= 150+30 5

15 , sen b =

5+ 5

5

F5+ 5

8

= 2 55 .

A partir de aquí podemos calcular el coseno de la suma. Incluimos el resultado en la tabla siguiente:

Radio Volumen Área Ángulo diédrico

F45+17 5

6 5 3 +3 25 + 10 5 arccos@- 5+2 515 D

EL TETRAEDRO TRUNCADO

Al truncar un tetraedro recortando cada arista 1/3 de su longitud en cada vértice obtenemos el poliedrouniforme que muestra la figura, con C = 8 caras (cuatro triángulos equiláteros y cuatro hexágonos regulares),A = 18 aristas y V = 12 vértices, pero no es transitivo para aristas, pues hay aristas que unen dos hexágonos yaristas que unen un triángulo y un hexágono.

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Observemos que para obtener un tetraedro truncado de arista 1 debemos truncar un tetraedro de arista 3,por lo que el volumen del tetraedro truncado es el de un tetraedro de arista 3 menos el de cuatro tetraedrosde arista 1 (las puntas truncadas). El resultado es

V = 27

6 2 - 4

6 2 = 23 2

12.

El área es claramente

S = 4 3 32

+ 4 34

= 7 3 .

Por último observamos que la distancia del centro al centro de una cara hexagonal es el inradio del tetraedro

de arista 3, luego es 3

2 6, y de aquí, teniendo en cuenta que el radio del hexágono es 1, obtenemos el radio:

R = 924

+ 1 = 224 .

Radio Volumen Área

224

23 212 7 3

EL HEXAEDRO TRUNCADO

Si truncamos un cubo de arista l quitándole un segmento de longitud ll a cada extremo de cada arista las

nuevas aristas miden (1-2l)l y 2 ll, por lo que el truncamiento será uniforme si l= 2- 2

2, y el hexaedro

truncado tendrá arista unitaria si la arista del cubo original era l = 1+ 2 . El resultado es un poliedro uni-forme (no transitivo para aristas) con C = 14 caras (8 triángulos equiláteros y 6 octágonos regulares), A = 36aristas y V = 24 vértices.

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Cada pirámide recortada tiene aristas laterales de longitud 2 /2, luego su altura es 1/ 6 , luego el volumendel hexaedro truncado es

V = J1 + 2 N3 - 8 1

3 34

16

= 21+14 23

.

El área de cada cara octagonal puede calcularse como el área del cuadrado del cubo original menos la de loscuatro triángulos eliminados:

(1+ 2 L2 - 4 12

J 12N2 = 2+2 2 .

Por lo tanto el área del hexaedro truncado es

S = 6(2+2 2 )+8 34

= 12+12 2 +2 3 .

Para calcular el radio tenemos en cuenta que el radio del octágono es 4+2 2

2 y que la distancia del centro

al centro del octágono es 1+ 2

2, con lo que el radio es

R = 4+2 24

+ J 1+ 22

N2

= 7+4 22

.

Radio Volumen Área

7+4 22

21+14 23 12+12 2 +2 3

EL OCTAEDRO TRUNCADO

El truncamiento uniforme de un octaedro requiere cortar un tercio de arista en cada vértice, luego hemos departir de un octaedro de arista 3 para obtener un octaedro truncado de arista 1. Claramente, el octaedrotruncado es un poliedro uniforme (no transitivo para aristas) formado por C = 14 caras (6 cuadrados y 8hexágonos regulares), A = 36 aristas y V = 24 vértices.

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Cada pirámide eliminada tiene aristas laterales de longitud 1, luego su altura es 2 /2, luego el volumen deloctaedro truncado, obtenido a partir del volumen del octaedro de arista 3, viene dado por:

V = 23 27 - 6

13

22 = 8 2 .

El área es claramente S = 6+12 3 . La distancia del centro al centro de un hexágono es el inradio del octaedrode arista 3, y el radio del hexágono es 1, luego el radio del octaedro truncado es

R = 1+ J 36N2

= 102

.

Radio Volumen Área

102 8 2 6+12 3

EL DODECAEDRO TRUNCADO

Cuando truncamos un dodecaedro de arista l cortando ll cada arista en cada vértice, las nuevas aristas

miden 2ll sen(54Î) = 1+ 5

2ll. Para que el truncamiento sea uniforme esta longitud debe ser la misma que la

de la parte restante de las aristas viejas, que es l - 2ll, lo que nos da el valor l = 5- 5

10. Si queremos que las

nuevas aristas sean unitarias las antiguas deben medir l = 5 . El resultado es claramente un poliedrouniforme (pero no transitivo para aristas) con C = 32 caras (20 triángulos equiláteros y 12 decágonos regu-lares), A = 90 aristas y V = 60 vértices.

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La altura de cada pirámide eliminada es 5 5- 5

10

2

- 13

= 7-3 5

6, luego el volumen del dodecaedro

truncado es

V = 15+7 54

I 5 M3 - 20 1

3 34

7-3 56

= 54

(35+15 5 ) - 53

7-3 52

= 54

(35+15 5 ) - 53

3- 5

2= 512

(99+47 5 ).

Es fácil ver que el área de un decágono de lado unitario es 52

5 + 2 5 , con lo que el área del dodecaedro

truncado es

S = 20 34

+ 30 5 + 2 5 = 5 3 +30 5 + 2 5 .

La distancia del centro a los centros de los decágonos es el inradio del dodecaedro de arista 5 , luego es

25+11 5

8. Teniendo en cuenta que el radio del decágono es 1

2 sin 18Î=F, concluimos que el radio del dodecae-

dro truncado es

R = 25+11 5

8+ F2 = 37+15 5

8.

Radio Volumen Área

37+15 58

512H99+47 5 L 5 3 +30 5 + 2 5

EL ICOSAEDRO TRUNCADO

Claramente, el icosaedro truncado (uniformemente) es un poliedro uniforme (no transitivo para aristas) conC = 32 caras (12 pentágonos y 20 hexágonos regulares), A = 90 aristas y V = 60 vértices.

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Su volumen (cuando la arista es unitaria) es la diferencia entre el volumen de un icosaedro de arista 3 menos

el de 12 pirámides pentagonales de arista 1 (luego de altura 5- 5

10):

V = 5F2

627 - 12 1

3 54

5+2 55

5- 510

= 45 J3+ 5 N

4 - 5 3+ 52 =

45 J3+ 5 N

4 - 5

1+ 52 =

125+43 54 .

Su superficie es:

S = 12 54

5+2 55 + 20

3 32 = 3 25 + 10 5 +30 3 .

Para calcular el radio usamos que la distancia del centro al centro de un hexágono es el inradio del icosaedrode arista 3:

R = 1 + F2 3

2 3

2

= 29+9 5

8.

Radio Volumen Área

29+9 58

125+43 54 3 25 + 10 5 +30 3

BISELADO

En lugar de truncar los vértices de un sólido platónico, podemos obtener nuevos poliedros uniformes bise-lando sus aristas. El biselado (aplicado al sólido platónico {c,v}) consiste en reducir cada cara manteniendofijo su centro, con lo que cada arista se duplica y cada vértice se multiplica por v. El “vacío” entre las carasreducidas se llena con una cara {v} formada por los vértices escindidos de cada vértice original y un rectán-gulo que conecta cada par de aristas escindidas.

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En lugar de truncar los vértices de un sólido platónico, podemos obtener nuevos poliedros uniformes bise-lando sus aristas. El biselado (aplicado al sólido platónico {c,v}) consiste en reducir cada cara manteniendofijo su centro, con lo que cada arista se duplica y cada vértice se multiplica por v. El “vacío” entre las carasreducidas se llena con una cara {v} formada por los vértices escindidos de cada vértice original y un rectán-gulo que conecta cada par de aristas escindidas.

La figura siguiente muestra el efecto de biselar un cubo, un icosaedro y un tetraedro. Observamos que siacentuamos el biselado hasta que las caras originales se reducen a puntos, obtenemos el poliedro dual. Enparticular, recorriendo la secuencia del cubo al revés tenemos los biselados del octaedro, y recorriendo lasecuencia del icosaedro al revés tenemos los biselados del dodecaedro. Puesto que los rectángulos queaparecen en cada arista van reduciendo dos de sus lados hasta hacerse nulos y van aumentando los otrosdos, tiene que haber un punto en el que sean cuadrados. Dicho punto corresponde al biselado uniforme, y lospoliedros que resultan de biselar uniformemente los sólidos platónicos son uniformes.

i

Biselado uniforme

Vemos que el tetraedro (uniformemente) biselado no es sino el cuboctaedro, mientras que las biselaciones(uniformes) del cubo (o del octaedro) y del icosaedro (o del dodecaedro) son dos nuevos poliedros queestudiamos a continuación. En general, razonando igual que en el caso de los truncamientos, es fácil ver quecualquier biselado de un sólido platónico (no necesariamente uniforme) es transitivo para vértices. Másconcretamente, en este caso tenemos que las simetrías del sólido platónico que transforman una cara en otrason también simetrías del poliedro biselado que transforman (los restos de) las mismas caras, y toda simetríaque permuta los vértices de una cara del sólido platónico cumple lo mismo (con los vértices de lo que quedade ella) en el poliedro biselado. El biselado uniforme garantiza que las caras sean polígonos regulares y, porconsiguiente, que el poliedro sea uniforme.

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Vemos que el tetraedro (uniformemente) biselado no es sino el cuboctaedro, mientras que las biselaciones(uniformes) del cubo (o del octaedro) y del icosaedro (o del dodecaedro) son dos nuevos poliedros queestudiamos a continuación. En general, razonando igual que en el caso de los truncamientos, es fácil ver quecualquier biselado de un sólido platónico (no necesariamente uniforme) es transitivo para vértices. Másconcretamente, en este caso tenemos que las simetrías del sólido platónico que transforman una cara en otrason también simetrías del poliedro biselado que transforman (los restos de) las mismas caras, y toda simetríaque permuta los vértices de una cara del sólido platónico cumple lo mismo (con los vértices de lo que quedade ella) en el poliedro biselado. El biselado uniforme garantiza que las caras sean polígonos regulares y, porconsiguiente, que el poliedro sea uniforme.

EL PEQUEÑO ROMBICUBOCTAEDRO

Aunque sería más razonable llamarlo cubo biselado u octaedro biselado, el poliedro que nos ocupa es cono-cido con el nombre que le dio Kepler: rombicuboctaedro (aunque actualmente se le antepone el adjetivo“pequeño” por razones que veremos luego). Es un poliedro uniforme con C = 26 caras (8 triángulos y 18cuadrados), A = 48 aristas y V = 24 vértices. El nombre se debe a que si prolongamos los planos de sus carastriangulares recuperamos el octaedro del que procede por biselación, si prolongamos seis de sus carascuadradas recuperamos el cubo del que procede por biselación, mientras que si prolongamos las otras docecaras cuadradas que proceden de las doce aristas del cubo o del octaedro obtenemos un dodecaedro rómbico,un poliedro que estudiaremos más adelante:

Dodecaedro rómbico

Observemos que el centro del pequeño rombicuboctaedro es el centro de un prisma octagonal de altura

unitaria. El radio del octágono es 4+2 2

2, luego el radio del pequeño rombicuboctaedro es

R = I 12M2+ 4+2 2

4 = 5+2 2

2.

La distancia del centro al centro de los cuadrados es el apotema del octágono, es decir, r4 = 1+ 22

. La

distancia al centro de los triángulos se calcula a partir del radio y del radio del triángulo:

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La distancia del centro al centro de los cuadrados es el apotema del octágono, es decir, r4 = 1+ 22

. La

distancia al centro de los triángulos se calcula a partir del radio y del radio del triángulo:

r3 = 5+2 24

- 13

= 11+6 212

= 3+ 22 3

.

A partir de aquí podemos calcular el volumen como suma de los volúmenes de las 8 pirámides triangulares y18 pirámides cuadradas en que se descompone:

V = 8 1334

3+ 22 3

+ 18 131+ 22

= 12+10 23 .

El área es claramente

S = 18+ 8 34

= 18+2 3 .

Radio Volumen Área

5+2 22

12+10 23 18+2 3

EL PEQUEÑO ROMBICOSIDODECAEDRO

Kepler llamó rombicosidodecaedro al icosaedro biselado o, equivalentemente, al dodecaedro biselado. Setrata de un poliedro uniforme con C = 62 caras (20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos), A = 120 aristas yV = 60 vértices. Como en el caso del pequeño rombicuboctaedro, el nombre se debe a que los planos de lostriángulos se pueden extender hasta reconstruir el icosaedro del que proviene por biselación, los de lospentágonos se extienden hasta reconstruir el dodecaedro, mientras que los de los cuadrados determinan untriacontaedro rómbico:

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Triacontaedro rómbico

Observemos que si biselamos un icosaedro de arista l para obtener un pequeño rombicosidodecaedro de

arista 1, la apotema de una cara triangular pasa de medir 3

6l a medir 3

6, luego la distancia de cada arista

original a una de las dos aristas en las que se desdobla es 3

6(l-1).

Si llamamos d al ángulo diédrico del icosaedro, la figura muestra que sen d2

= 1ê236

Hl-1L. Puesto que conoce-

mos el ángulo diédrico del icosaedro, es fácil calcular que el seno de la ecuación anterior vale 3+ 5

6, lo que

nos permite calcular l = -1+3 52 . Esto nos permite concluir que la distancia del centro del pequeño rombi-

cosidodecaedro al centro de una de sus caras triangulares es el inradio de un icosaedro del lado indicado, esdecir,

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Si llamamos d al ángulo diédrico del icosaedro, la figura muestra que sen d2

= 1ê236

Hl-1L. Puesto que conoce-

mos el ángulo diédrico del icosaedro, es fácil calcular que el seno de la ecuación anterior vale 3+ 5

6, lo que

nos permite calcular l = -1+3 52 . Esto nos permite concluir que la distancia del centro del pequeño rombi-

cosidodecaedro al centro de una de sus caras triangulares es el inradio de un icosaedro del lado indicado, esdecir,

r3 = 3+ 52 3

-1+3 52 =

3+2 52 3

.

De aquí deducimos el radio:

R = 13+3+2 5

2 3

2

= 11+4 5

2 .

Usando los radios del cuadrado y del pentágono obtenemos las distancias entre el centro del poliedro y loscentros de las caras restantes:

r4 = 11+4 5

4- 12

= 9+4 52 =

2+ 52 , r5 = 11+4 5

4-5+ 5

10 = 3

2

5+2 55 .

A su vez, de aquí obtenemos el volumen como suma de volúmenes de pirámides:

V = 201334

3+2 52 3

+ 3013

2+ 52

+ 12 1354

5+2 55

32

5+2 55 = 60+29 5

3 .

El área es:

S = 20 34

+ 30 + 12 54

5+2 55

= 30 + 5 3 +3 25 + 10 5 .

Radio Volumen Área

11+4 52

60+29 53 30 + 5 3 +3 25 + 10 5

OMNITRUNCAMIENTO

El truncamiento y el biselado pueden combinarse en una operación conocida como omnitruncamiento. Con-siste en truncar uniformemente un poliedro regular para después biselar uniformemente sus aristas (las delpoliedro original, pero no las nuevas originadas por el truncamiento). La figura siguiente muestra el procesode omnitruncamiento de un cubo:

94 |

Truncamiento Omnitruncamiento

Una vez llegamos al truncamiento uniforme tenemos caras regulares, triangulares y octogonales. Entoncesempezamos a biselar las aristas originales, es decir, reducimos las caras octogonales (con lo que no dejan deser regulares) y convertimos cada arista original en un rectángulo (y cada triángulo en un hexágono). Amedida que reducimos las caras octogonales, el lado mayor del rectángulo disminuye y el menor crece, yterminan invirtiendo sus tamaños, luego hay un momento en el que son cuadrados (lo que a su vez implicaque los hexágonos tienen que ser regulares). Dicho punto corresponde al cubo omnitruncado.

En cuanto a la uniformidad del poliedro resultante es un poco más delicada de establecer que en los casosanalizados hasta ahora, pues en todos los poliedros que hemos estudiado hasta aquí era posible transformarcualquier vértice en cualquier otro mediante una simetría positiva (una composición de giros, que de hecho esun giro), mientras que ahora dos vértices adyacentes de una cara cuadrada no se corresponden a través deningún giro (que sea simetría del poliedro). La razón es que si recorremos las caras concurrentes en uno delos vértices en sentido antihorario (viendo el poliedro desde fuera) obtenemos la secuencia {4}, {6}, {8},mientras que en otro de los vértices la secuencia es {8}, {6}, {4}. Pese a ello, la simetría respecto del planoperpendicular a la arista común por su punto medio es una simetría del poliedro que hace corresponderambos vértices.

La figura siguiente muestra el proceso de omnitruncamiento a partir de los truncamientos de los cinco sólidosplatónicos. Observamos que el tetraedro omnitruncado es simplemente el octaedro truncado, mientras quecada par de poliedros duales (cubo-octaedro y dodecaedro-icosaedro) da lugar a un mismo poliedro uniforme,que pasamos a estudiar seguidamente. Notemos que el obtenido a partir del dodecaedro y del icosaedro tienela misma característica que acabamos de destacar del obtenido a partir del cubo y del octaedro: en la mitadde los vértices las caras se disponen en ciclo {4}, {6}, {10} en sentido antihorario, mientras que en la otramitad el ciclo es {10}, {6}, {4}, por lo que son necesarias simetrías inversas (respecto de planos) para tranfor-mar vértices del primer tipo en vértices del segundo tipo.

| 95

h o

i Omnitruncamiento

EL GRAN ROMBICUBOCTAEDRO

El cubo omnitruncado (u octaedro omnitruncado) es un poliedro uniforme con C = 26 caras (12 cuadrados, 8hexágonos y 6 octágonos), A = 72 aristas y V = 48 vértices. Recibe también el nombre de gran rombicuboctae-dro porque, similarmente a lo que sucede con el pequeño rombicuboctaedro, los planos de sus caras octago-nales forman un cubo, los de sus caras hexagonales forman un octaedro y los de sus caras cuadradas formanun dodecaedro rómbico:

96 |

Dodecaedro rómbico

También es conocido con el nombre que le dio Kepler: cuboctaedro truncado, si bien el propio Kepler señalóque este nombre no es exacto, pues la figura siguiente muestra los truncamientos de un cuboctaedro:

Vemos que podemos obtener poliedros con la misma estructura que el gran rombicuboctaedro (con 12cuadriláteros, 8 hexágonos y 9 octágonos, etc.), salvo por el hecho de que las caras no son polígonosregulares.

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Vemos que podemos obtener poliedros con la misma estructura que el gran rombicuboctaedro (con 12cuadriláteros, 8 hexágonos y 9 octágonos, etc.), salvo por el hecho de que las caras no son polígonosregulares.

Si el poliedro tiene arista unitaria, el triángulo réctángulo destacado en la figura siguiente tiene catetos de

longitud 2

2, luego la distancia del centro del poliedro al centro de un octágono es la suma de esta distancia

más la apotema del octágono:

r8 = 12

+ 22

+ 22

= 12

+ 2 .

El radio del octágono es 2+ 2

2, luego el radio del gran rombicuboctaedro es

R = J 1+2 22

N2+ 2+ 2

2 = 13+6 2

2.

De aquí deducimos

r4 = 13+6 24 - 1

2 = 3+ 22 , r6 = 13+6 2

4 - 1 = 9+6 22 .

Con esto podemos calcular el volumen:

V = 12 133+ 2

2+8 1

33 32

9+6 2

2+6 1

3I2 + 2 2 M 1+2 2

2 = 22+14 2 .

Finalmente, el área es:

S = 12+8 3 32 + 6 I2 + 2 2 M = 12 (2+ 2 + 3 ).

Radio Volumen Área

13+6 22 22+14 2 12 H2+ 2 + 3 L

98 |

EL GRAN ROMBICOSIDODECAEDRO

El dodecaedro omnitruncado (o icosaedro omnitruncado) es un poliedro uniforme con C = 62 caras (30 cuadra-dos, 20 hexágonos y 12 decágonos), A = 180 aristas y V = 120 vértices. Es más conocido como gran rombicosido-decaedro, porque los planos de sus caras hexagonales determinan un icosaedro regular, las de los decágonosun dodecaedro regular y las de los cuadrados un triacontaedro rómbico:

Triacontaedro rómbico

Kepler lo denominó icosidodecaedro truncado, aunque, como en el caso del gran rombicuboctaedro, el nom-bre no es exacto, como puede verse en la figura siguiente:

| 99

La figura siguiente muestra dos caras hexagonales del gran rombicosidodecaedro, la cara cuadrada interme-dia y las dos caras del icosaedro que resulta de prolongar las caras hexagonales dadas.

Si el lado de los triángulos grandes mide l y el lado de los hexágonos y del cuadrado es unitario, el lado del

triángulo intermedio mide 3, y la diferencia entre las apotemas de los triángulos es 3

6(l-3). Si llamamos d al

ángulo diédrico del icosaedro, resulta que send2 = 1ê2

3

6Jl-3N

. Teniendo en cuenta que el seno es 3+ 5

6,

concluimos que l = 3F. Por lo tanto, la distancia del centro del gran rombicosidodecaedro al centro de unacara hexagonal es el inradio de un icosaedro de arista 3F, es decir:

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Si el lado de los triángulos grandes mide l y el lado de los hexágonos y del cuadrado es unitario, el lado del

triángulo intermedio mide 3, y la diferencia entre las apotemas de los triángulos es 3

6(l-3). Si llamamos d al

ángulo diédrico del icosaedro, resulta que send2 = 1ê2

3

6Jl-3N

. Teniendo en cuenta que el seno es 3+ 5

6,

concluimos que l = 3F. Por lo tanto, la distancia del centro del gran rombicosidodecaedro al centro de unacara hexagonal es el inradio de un icosaedro de arista 3F, es decir:

r6 = J2+ 5 N 3

2.

De aquí deducimos el radio:

R = 31+12 52

.A su vez, de aquí obtenemos que

r4 = 3+2 52

, r10 = 25+10 52

. El volumen es, entonces:

V = 30 133+2 52

+ 20133 32

J2+ 5 N 3

2 + 12 1

352

5 + 2 5 25+10 52

=

45 + 25 5 + 25 9 + 4 5 = 45 + 25 5 + 25 J2 + 5 N = 95 + 50 5 .

Finalmente calculamos el área:

S = 30 + 20 3 32 + 12

52

5 + 2 5 = 30 (1+ 3 + 5 + 2 5 ).

Radio Volumen Área

31+12 52 95+50 5 30 H1 + 3 + 5 + 2 5 L

EL CUBO ROMO

Vamos a construir un nuevo poliedro uniforme a partir del pequeño rombicuboctaedro que muestra la figura.

| 101

P.Rombicuboctaedro Flexible Cubo romo

Si pulsamos en el botón etiquetado “Flexible” borramos las caras cuadradas que se han creado al biselar lasaristas del cubo o del octaedro truncado. La figura resultante es flexible, y podemos girar sus caras mediantela barra de desplazamiento. Un giro de 45Î en cualquiera de los dos sentidos da lugar a un cuboctaedro. Sinembargo, si observamos los vértices opuestos de cualquiera de los cuadrados eliminados, vemos que ladistancia entre ellos varía continuamente desde 2 hasta 0, luego en un momento dado tiene que valer 1.Cuando esto sucede, el hueco puede llenarse con dos triángulos equiláteros, y podemos ver el resultadopulsando el botón etiquetado “Cubo romo”.

Éste es el nombre que dio Kepler al poliedro que acabamos de construir. Vemos que se trata de un poliedrocon C = 38 caras (32 triángulos equiláteros y 6 cuadrados), A = 60 aristas y V = 24 vértices. Es claro que siaplicamos un giro de 90Î al pequeño rombicuboctaedro de partida respecto a un eje que pase por los centrosde dos caras opuestas y después aplicamos el proceso de “romificación”, el resultado será el mismo que siprimero “romificamos” y luego aplicamos el giro de 90Î respecto del mismo eje. Esto se traduce en que elcubo romo tiene simetrías que dejan invariantes dos caras cuadradas opuestas y permutan cíclicamente lasotras cuatro. Estos giros bastan para justificar que el cubo romo es transitivo para vértices, luego es unpoliedro uniforme.

Ahora bien, en realidad no hemos construido un nuevo poliedro, sino dos, pues el resultado de realizar el girode los cuadrados en sentido horario o antihorario es diferente. Aquí podemos ver los dos casos juntos:

102 |

Uno es la imagen especular del otro, pero no son iguales. Se pueden distinguir de varias formas. Por ejemplo,si plantamos ambas figuras sobre una cara cuadrada, con dicha base en la misma posición, en una de lasfiguras vemos los cuadrados laterales a la izquierda, y en la otra a la derecha. Esto significa que el cubo romono tiene planos de simetría. Es el primer poliedro que encontramos con esta característica. Los poliedros sinplanos de simetría se llaman poliedros quirales (del griego “mano”) y cada poliedro quiral tiene dos variantesenantiomorfas (del griego “forma opuesta”), es decir dos formas isométricas, pero no congruentes mediantemovimientos.

Consideremos un pequeño rombicuboctaedro de arista unitaria y sea d la distancia de su centro al centro decada cara cuadrada. Entonces, respecto a un sistema de coordenadas natural, los 24 vértices de dichas caras

son de la forma (±d, ± 12, ± 1

2), donde cada par ±d acompaña en las tres posiciones posibles a cada una de

las cuatro combinaciones (± 12, ± 1

2). La figura destaca dos de estos vértices:

| 103

Si giramos las caras correspondientes un ángulo a en sentido antihorario cuando se miran desde fuera depoliedro, las coordenadas pasan a ser

( 12

cos[a]+ 12

sen[a], 12

sen[a] - 12

cos[a], d), ( 12

cos[a]- 12

sen[a], -d, 12

sen[a]+ 12

cos[a]).Ahora bien, si nos limitamos a girar las caras manteniendo d constante, los triánguos se agrandarán. Concreta-mente, hay que ajustar d para que la longitud de la arista que une ambos vértices sea 1, es decir, de modoque se cumpla:

sen2@aD + Id - cos@aD2 + sen@aD

2 M2+ Id - cos@aD

2 - sen@aD2 M

2= 1.

Equivalentemente:

2 d2 - 2 d cos@aD + 32 - cos2@aD =1.

La raíz positiva de esta ecuación es

d = 12 cos@aD + -1 + 3 cos2@aD .

Por simetría, la condición es la misma para cualquier par de vértices que consideremos (que formen parte deuna misma cara triangular del pequeño rombicuboctaedro). Notemos que d está definido siempre que cos[a] ¥

3

3, es decir, para †a§ § 60Î, en particular para †a§ § 45Î. Esto justifica que todos los grupos “flexibles” de caras

que muestra la figura con la que hemos construido el cubo romo existen realmente (es decir, están formadospor triángulos equiláteros y cuadrados).

Observamos ahora que el vértice opuesto a 12 , -d, 1

2 M es -12 , - 1

2 , dM, que al girarlo se transforma en

(- 12

cos[a]+ 12

sen[a], - 12

sen[a] - 12

cos[a], d), y el cubo romo se obitene para el valor de a que, con su valor d correspondiente, cumple

Hcos@aD - sen@aDL2 + I-d + cos@aD2 + sen@aD

2 M2+ I-d + cos@aD

2 + sen@aD2 M

2= 1,

104 |

o equivalentemente:

2 d2 - 2 d cos@aD - 2 d sen@aD - cos@aD sen@aD + 32 = 1.

Esto nos da la relación

d = 12 Icos@aD + sen@aD ± 2 sen@2 aD M.

El signo correcto es el positivo, como se comprueba observando la gráfica siguiente:

1

2Hcos@aD+ -1+ 3 cos@aD2 L

1

2Hcos@aD-sen@aD- -2 sen@2 aD L

1

2Hcos@aD-sen@aD+ -2 sen@2 aD L

-p

40 p

4

0.5

1

1.5

Sólo la gráfica con el signo positivo corta a la gráfica de la expresión anterior que hemos encontrado para d,y lo hace para un ángulo positivo (para ángulos negativos los dos vértices se separan y nunca están a distan-cia 1). Si llamamos x = cos[a], tenemos la ecuación

12x + -1 + 3 x2 = 1

2x + 1 - x2 + 4 x 1 - x2 .

Mathematica muestra que esta ecuación sólo tiene una raíz real:

PlotB:1

2x + -1 + 3 x2 -

1

2x + 1 - x2 + 4 x 1 - x2 >, 8x, -1, 1<F

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

que matemática permite calcular en términos de radicales:

| 105

SolveB1

2x + -1 + 3 x2 ==

1

2x + 1 - x2 + 4 x 1 - x2 F

::x Ø1

6

1+J19-3 33 N1ë3

+J19+3 33 N1ë3

>>

Ordenando un poco la solución tenemos que

cos[a] = 1+ 19-3 33

3+ 19+3 33

3

6 º 0.9589803843703376…

que corresponde a a º 0.2874131487577779… º 0 16Î 28’ 3.22’’. Éste es el ángulo que hay que girar los cuadradospara obtener el cubo romo.

Por otro lado, si despejamos x = cos[a] en función de d en la primera ecuación que hemos obtenido (y nosquedamos con la raíz positiva), el resultado es

x = 12

-2 d + 2 1 + 6 d2 .

Por otra parte, la segunda ecuación es

2d2-2dx-2d 1- x2 -x 1- x2 + 32

=1.Sustituyendo queda:

SolveB

2 d2 - 2 d1

2-2 d + 2 1 + 6 d2 - 2 d 1 -

1

2-2 d + 2 1 + 6 d2

2

-

1

2-2 d + 2 1 + 6 d2 1 -

1

2-2 d + 2 1 + 6 d2

2

+3

2== 1, dF

:8d Ø 0<, :d Ø1

2 3

4+J199-3 33 N1ë3

+J199+3 33 N1ë3

>>

Este valor d es ladistancia del centro del cubo romo al centro de cualquiera de sus caras cuadradas. Reorde-nando la expresión resulta ser igual a

r4 = 4+ 199-3 33

3+ 199+3 33

3

12 º 1.142613508925962…

De aquí obtenemos el radio del cubo romo:

R = r42 + 12

= 10+ 199-3 33

3+ 199+3 33

3

12 º 1.3437133737446016…

Y a su vez:

r3 = R2- 13

= 6+ 199-3 333

+ 199+3 333

12 º 1.2133558000218923…

106 |

r3 = R2- 13

= 6+ 199-3 333

+ 199+3 333

12 º 1.2133558000218923…

Por consiguiente, el volumen es

V = 32 13

34

6+ 199-3 333

+ 199+3 333

12 + 6 13

4+ 199-3 333

+ 199+3 333

12 º

7.889477399975389…Para simplificar esta expresión calculamos su polinomio mínimo:

MinimalPolynomialB321

3

3

4

6 + 199 - 3 333

+ 199 + 3 333

12

+ 61

3

4 + 199 - 3 333

+ 199 + 3 333

12, VF

-12 482 + 19 386 V2 - 45 684 V4 + 729 V6

Las seis raíces de esta ecuación son:

| 107

SolveA-12 482 + 19 386 V2 - 45 684 V4 + 729 V6 ã 0E

::V Ø -1

3H-1L3ê4 .

1

2J376 Â + 35ê6 J2 149 479 - 15 037 33 N

1ê3-

 J3 J2 149 479 - 15 037 33 NN1ê3

- 35ê6 J2 149 479 + 15 037 33 N1ê3

-

 J3 J2 149 479 + 15 037 33 NN1ê3

N >,

:V Ø1

3H-1L3ê4 .

1

2J376 Â + 35ê6 J2 149 479 - 15 037 33 N

1ê3-

 J3 J2 149 479 - 15 037 33 NN1ê3

- 35ê6 J2 149 479 + 15 037 33 N1ê3

-

 J3 J2 149 479 + 15 037 33 NN1ê3

N >,

:V Ø -1

3 2H-1L1ê4 -J-376 Â + 35ê6 J2 149 479 - 15 037 33 N

1ê3+

 J3 J2 149 479 - 15 037 33 NN1ê3

- 35ê6 J2 149 479 + 15 037 33 N1ê3

+

 J3 J2 149 479 + 15 037 33 NN1ê3

N>,

:V Ø1

3 2H-1L1ê4 -J-376 Â + 35ê6 J2 149 479 - 15 037 33 N

1ê3+

 J3 J2 149 479 - 15 037 33 NN1ê3

- 35ê6 J2 149 479 + 15 037 33 N1ê3

+

 J3 J2 149 479 + 15 037 33 NN1ê3

N>, :V Ø -1

3

188 + J3 J2 149 479 - 15 037 33 NN1ê3

+ J3 J2 149 479 + 15 037 33 NN1ê3

>,

:V Ø1

3

188 + J3 J2 149 479 - 15 037 33 NN1ê3

+ J3 J2 149 479 + 15 037 33 NN1ê3

>>

Si las evaluamos:

NASolveA-12 482 + 19 386 V2 - 45 684 V4 + 729 V6 ã 0EE

88V Ø 0.606584 + 0.395648 Â<,8V Ø -0.606584 - 0.395648 Â<, 8V Ø -0.606584 + 0.395648 Â<,8V Ø 0.606584 - 0.395648 Â<, 8V Ø -7.88948<, 8V Ø 7.88948<<

Vemos que la que nos interesa es la última. Por lo tanto:

V = 13

188 + 3 I2149479 - 15037 33 M3 + 3 I2149479 + 15037 33 M3 .

El cálculo del área no ofrece ninguna dificultad:

S = 32 34

+ 6 = 6 + 8 3 .

108 |

S = 32 34

+ 6 = 6 + 8 3 .

Radio Volumen Área

10+ 199-3 333

+ 199+3 333

1213 / 188 + 3 I2149479 - 15037 33 M3 +

3 I2149479 + 15037 33 M3

6 + 8 3

EL DODECAEDRO ROMO

Describimos ahora el poliedro que Kepler bautizó como dodecaedro romo. El proceso de construcción es elmismo: partimos del dodecaedro biselado es decir, del pequeño rombicosidodecaedro, eliminamos sus carascuadradas (las que se han creado al biselar las aristas del dodecaedro o del icosaedro truncado) y giramos lascaras hasta que una diagonal de cada hueco se vuelve unitaria. Entonces rellenamos cada hueco dejado poruna de las caras cuadradas por dos triángulos equiláteros:

P.Rombicosidodecaedro Flexible Dodecaedro Romo

Así obtenemos un poliedro con C = 92 caras (80 triángulos y 12 pentágonos), A = 150 aristas y V = 60 vértices.Como en el caso del cubo romo, el dodecaedro romo es quiral. La figura siguiente muestra dos dodecaedrosromos enantiomorfos:

| 109

Tratar de encontrar las ecuaciones que describen los giros ilustrados por la primera figura de esta secciónanálogamente a como hemos hecho con el cubo romo es muy complicado y no vamos a hacerlo. En su lugardemostraremos su existencia por un argumento de construcción similar al que empleamos con el icosaedro.Concretamente, vamos a probar que (salvo homotecias e isometrías) existe un único poliedro uniforme encuyos vértices concurran cuatro triángulos y un pentágono.

Empezamos observando que esto exige que cada vértice tenga cinco vértices adyacentes, y todos ellos hande estar inscritos en una circunferencia, pues, por una parte, equidistan del vértice indicado y, por otra, delcentro del poliedro. A continuación demostramos que, en efecto, es posible inscribir un pentágono en unacircunferencia como muestra la figura siguiente: los cuatro lados superiores miden 1 y el inferior mide F,pues queremos que sea la diagonal de un pentágono de lado unitario.

a

r

1

1 + 5

2

El ángulo a señalado en la figura cumple sen[ a2

] = 12 r

, de donde cos[a] = 1 - 2r2

y cos[2a] = 1- 8r4- 8r2

.

Por consiguiente:

1+ 54 = r sen[2a] = r 1 - 1- 8

r4- 8r2

2.

110 |

1+ 54 = r sen[2a] = r 1 - 1- 8

r4- 8r2

2.

Operando llegamos a la ecuación

29- 52 r6 -20 r4 +8 r2 -10 = 0.

Esta ecuación tiene una única raíz positiva, como muestra su gráfica:

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Además puede resolverse por radicales. Mathematica proporciona el resultado exacto, que es de la forma

r = 580+g1+g2+g31254 ,

donde

g1 = 20 5 ,

g2 = 12384286 + 5127094 5 - 54351559270008 + 26548539170472 53

,

g3 = 12 384 286 + 5 127 094 5 + 54 351 559 270 008 + 26 548 539 170 472 53 ,

Así pues, si en una circunferencia de radio r º 0.972733… trazamos cuatro cuerdas consecutivas de longitud 1,la quinta tendrá longitud F. El hecho de que r sea menor que 1 implica que existe la pirámide que muestra elpaso 1 de la figura siguiente, en la que todas las aristas son unitarias excepto el lado mayor del pentágono,que mide F:

| 111

Paso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Mostrar en ventana

La distancia del sexto vértice al centro de la circunferencia es

h = 1- r2 = 674-g1-g2-g31254 > 0.231928…

Ahora observamos (paso 2) que existe un punto que equidista de los seis vértices. Para ello basta construirun triángulo isósceles con una de las aristas y la perpendicular al pentágono que pasa por su centro. Dehecho, estamos en condiciones del calcular el que será el radio del dodecaedro romo:

112 |

Hr,hLHr

2,h

2L

1ê2

La altura del triángulo isósceles es una recta que pasa por el punto (r/2, h/2) con la dirección del vector (-h,r). Es fácil ver que su ecuación es

y = - rh

x + h2

+ r2

2h = - r

hx + h

2+r2

2h = - r

hx + 1

2h.

Haciendo x = 0 obtenemos el radio buscado:

R = 12h

= 6272 H674-g1-g2-g3L

> 2.15584…

Así pues, los seis vértices que hemos construido están inscritos en una (única) esfera de radio R. Más aún(paso 3) todos los vértices del pentágono regular representado están inscritos en la esfera, pues sabemosque tres de ellos lo están.

En este punto conviene observar que, por simetría, el ángulo diédrico entre dos triángulos cualesquiera essiempre el mismo, al igual que es el mismo el ángulo diédrico entre cada uno de los dos triángulos y elpentágono (pero no el mismo que el ángulo entre dos triángulos).

En particular, de aquí se desprende que podemos completar dos pentágonos idénticos al orgiginal comomuestra el paso 4. Aquí usamos concretamente que los dos lados de cada pentágono que ya estaban dibuja-dos en el paso anterior forman el ángulo correcto, lo cual se debe a que, como hemos señalado, los ángulosdiédricos de los dos triángulos adyacentes al pentágono son iguales.

Para cada uno de los nuevos pentágonos, el punto que está a distancia unitaria de cada uno de sus vérticesestá determinado por estar a distancia unitaria de tres de ellos, luego es necesariamente el vértice correspon-diente del pentágono original. Por lo tanto, los tres vértices completados en el paso 5 son iguales entre sí (enel sentido de que un giro de 72Î transforma uno en otro). Más aún, como el centro de la esfera que ya ten-emos dibujada equidista de tres de los vértices de cada pentágono, equidista de todos ellos, es decir, todoslos vértices dibujados hasta aquí están inscritos en la misma esfera.

Dejamos al lector la comprobación de que, prosiguiendo de este modo, podemos terminar de orlar el pentá-gono como se muestra en el paso 6, de modo que todos los vértices estén inscritos en la misma esfera ytodos los polígonos sean regulares. Más aún, todos los ángulos diédricos entre triángulos son iguales, al igualque todos los ángulos diédricos entre triángulos y el pentágono. La figura es simétrica en el sentido de que esinvariante por giros de 72Î respecto a la recta perpendicular al pentágono que pasa por su centro.

| 113

La igualdad entre los ángulos diédricos entre triángulos implica que todos los vértices incompletos que mues-tra la figura pueden ser completados a vértices idénticos al mostrado inicialmente en el paso 3.

En este punto hemos de señalar que, hasta ahora, toda la construcción ha sido unívoca en el sentido de queno hemos tenido ningún margen de elección a la hora de que la construcción pueda dar lugar a un poliedro delas características indicadas (que sea uniforme y en cada vértice tenga un pentágono y cuatro triángulos). Sinembargo, ahora se nos presenta la única elección arbitraria en el proceso, de la que dependerá que obteng-amos una de las dos variantes enantiomorfas del dodecaedro romo: si nos fijamos en cualquiera de los cincovértices incompletos a los que concurren tres triángulos, hemos de completarlo con un triángulo y un pentá-gono, pero podemos elegir en qué lado ponemos el triángulo y en cuál el pentágono. El paso 7 muestra unaelección posible para uno de los vértices. Ahora bien, el resultado de una de las dos elecciones posibles setransforma en el resultado de la otra sin más que aplicar una simetría respecto del plano adecuado, por loque los dos poliedros que podemos obtener según la elección que hagamos serán isométricos y no se perderála unicidad anunciada.

Una vez hecha la elección, ésta fuerza la compleción del vértice siguiente con dos triángulos (paso 8), y estosólo nos deja una forma de situar el pentágono en el vértice siguiente (paso 9). En cada paso hemos decomprobar que las caras que concurren en los vértices que quedan incompletos forman entre sí los ángulosdiédricos correctos, por lo que pueden completarse a vértices idénticos al del paso 3. Dejamos al lector lacomprobación de que cada vértice completado determina a su vez la forma de completar el siguiente, hastaobtener laz figuras mostradas sucesivamente en los pasos 10, 11, 12, 13. Al llegar al paso 13 queda unhueco en forma de pentágono regular (lo que no es trivial es que los cinco vértices están en el mismo plano),pues el anillo de triángulos equiláteros que lo rodea es idéntico al obtenido en el paso 6 (pues los ángulosdiédricos entre los triángulos son todos iguales), y sabemos que el anillo del paso 6 rodea a un pentágonoregular. Esto nos permite cerrar el poliedro en el paso 14.

El poliedro obtenido es uniforme, porque tiene por simetrías a los giros de 72Î respecto de ejes que pasan porel centro de dos pentágonos opuestos, y con estos giros basta para transportar cualquier vértice a cualquierotro.

A partir del radio del dodecaedro romo podemos calcular las distancias entre el centro y los centros de lascaras:

r3 = R2 - 13 , r5 = R2 - 5+ 5

10 ,

y a partir de ellas el volumen:

V = 80 13

34

r3+12 1354

5+2 55 r5 > 37.6166…

Sucede que V es un número algebraico de grado 12, así que no merece la pena considerar su expresión entérminos de radicales (que la tiene, por tenerla R).

Radio Volumen Área

2.15584… 37.6166… 20 3 +3 5 I5 + 2 5 M

SOBRE LOS POLIEDROS ROMOS

Hemos visto cómo el cubo romo puede obtenerse a partir del pequeño rombicuboctaedro, que es el cubobiselado y también el octaedro biselado mientras que el dodecaedro romo se obtiene del pequeño rombicosido-decaedro, que es el dodecaedro biselado, y también el icosaedro biselado. Es natural plantearse si no pode-mos obtener un tetraedro romo a partir del tetraedro biselado, es decir, del cuboctaedro. La figura siguientenos da la respuesta:

114 |

Cuboctaedro Flexible Tetraedro romo

Vemos, pues que el “tetraedro romo” no es más que el icosaedro. En general, si partimos del poliedro regular{c,v}, al biselarlo estamos sustituyendo cada vértice por un polígono {v} y cada arista por un cuadrado, lacual se sustituye por dos triángulos al “romificar”. En definitiva, la “romificación” de {c,v} es un poliedro quese construye disponiendo V polígonos {v} (aproximadamente) en las posiciones que ocupan los vértices de{c,v}, uniéndolos con A pares de triángulos {3} para formar un “armazón” que imita a las aristas de {c,v} yrellenando los huecos que deja este armazón con C polígonos {c}. La figura siguiente muestra los arma-zones a falta de completar con los polígonos correspondientes a las caras. Los polígonos correspondientes alos vértices están pintados de oscuro y los de las aristas de claro:

| 115

Ciertamente, los armazones formados por las “aristas” triangulares son más “romos” que las aristas linealesoriginales. El hecho de que el cubo romo coincida con el octaedro romo y que el dodecaedro romo coincidacon el icosaedro romo ha motivado que ambos poliedros hayan recibido también el nombre de cuboctaedroromo e icosadodecaedro romo, respectivamente.

Terminamos esta sección observando que un polinomio que hemos previamente puede verse también comouna romificación. En general, se llama biesfenoide a todo tetraedro con caras iguales. En particular, untetraedro regular es un biesfenoide (y aquí no necesitamos considerar otro caso). La palabra griegaesfenoides significa “cuña”, de modo que pensar en un tetraedro como un biesfenoide significa considerarlocomo un poliedro formado por dos “caras” esfenoidales y, por consiguiente, con cuatro aristas (es decir, sincontar las dos aristas que conectan los dos triángulos de cada esfenoide), como muestra la parte izquierda dela figura siguiente, en la que hemos resaltado las cuatro aristas del biesfenoide. Cada una de esas cuatroaristas puede reemplazarse por un par de triángulos equiláteros, como muestra la figura de la derecha (comoa cada vértice del biesfenoide concurren sólo dos aristas, no lo sustituimos por ningún polígono al romificarloo, si se quiere, lo sustituimos por una arista) y las ocho aristas resultantes rodean dos huecos esfenoidales,que pueden a su vez ser rellenados con dos esfenoides (es decir, dos pares de triángulos, equiláteros ennuestro caso) y el resultado no es sino un dodecaedro siamés.

116 |

Ésta es la razón por la que el dodecaedro siamés recibe también el nombre de biesfenoide romo.

LOS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS

Los trece poliedros uniformes que hemos obtenido en las secciones posteriores reciben el nombre de sólidosarquimedianos, pues la primera descripción sistemática de ellos que se conoce se debe a Arquímedes, si biensu trabajo se ha perdido. La primera descripción que se conserva es de Kepler. Empezamos recopilándolos enla tabla siguiente, en la que los datos se refieren a poliedros de radio 1 y no de arista 1.

C A V Figura Arista Volumen ÁreaTetraedro truncado 8 18 12 H3, 6, 6L 0.852803 1.68115 8.81771Hexaedro truncado 14 36 24 H3, 8, 8L 0.562169 2.41618 10.2505Octaedro truncado 14 36 24 H4, 6, 6L 0.632456 2.86217 10.7138

Dodecaedro truncado 32 90 60 H3, 10, 10L 0.336763 3.24783 11.4533Icosaedro truncado 32 90 60 H5, 6, 6L 0.403548 3.63342 11.8242

Cuboctaedro 14 24 12 H3, 4, 3, 4L 1 2.35702 9.4641Icosidodecaedro 32 60 30 H3, 5, 3, 5L 0.618034 3.26612 11.1939

Pequeño rombicuboctaedro 26 48 24 H3, 4, 4, 4L 0.714813 3.18272 10.9673Pequeño rombicosidodecaedro 62 120 60 H3, 4, 5, 4L 0.447838 3.7378 11.8943

Gran rombicuboctaedro 26 72 48 H4, 6, 8L 0.431479 3.35772 11.4972Gran rombicosidodecaedro 62 180 120 H4, 6, 10L 0.262992 3.76172 12.0549

Cubo romo 38 60 24 H3, 3, 3, 3, 4L 0.744206 3.25183 10.9973Dodecaedro romo 92 150 60 H3, 3, 3, 3, 5L 0.463857 3.75433 11.8957

La columna “Figura” contiene las caras que concurren cílcicamente a cada vértice. Por ejemplo, (3, 4, 3, 4)indica que en cada vértice de un cuboctaedro concurren un triángulo adyacente a un cuadrado adyacente aotro triángulo adyacente a otro cuadrado. La tabla siguiente ordena los sólidos arquimedianos en familiassegún su relación con los sólidos platónicos. Notemos que los poliedros de la familia del tetraedro aparecentodos en las dos familias siguientes excepto el tetraedro truncado.

| 117

Los únicos sólidos arquimedianos que son transitivos para aristas son el cuboctaedro y el icosidodecaedro.

Observemos que la figura (en el sentido de la primera tabla) de un sólido arquimediano determina su númerode vértices, aristas y caras (y el número de caras de cada tipo). Por ejemplo, a partir de la figura (3, 4, 3, 4)podemos deducir que el defecto de cada vértice es 360 - 2·90 - 2·120 = 60Î, luego, según el teorema de

Descartes, el número de vértices es V = 72060 = 12. Por lo tanto, el número de caras triangulares y cuadradas

es, respectivamente, C3= 12ÿ23 = 8 y C4 =

12ÿ24 = 6, luego C = 14, y por el teorema de Euler A = 24.

Sucede que todo poliedro (no necesariamente uniforme en principio) cuyas caras sean polígonos regulares ycuyos vértices tengan todos una misma figura igual a la de uno de los sólidos arquimedianos es necesaria-mente el sólido arquimediano correspondiente salvo por una excepción: el pseudormbicuboctaedro es elpoliedro que se obtiene del pequeño rombicuboctaedro mediante la transformación que ilustra la figurasiguiente:

118 |

Pequeño Rombicuboctaedro

Si observamos los vértices afectados por la transformación, vemos que en cada uno de ellos sustituimos untriángulo y un cuadrado por un cuadrado y un triángulo, por lo que todos los vértices siguen teniendo figura(3, 4, 4, 4), pero los poliedros no son isométricos. De hecho, el pseudorombicuboctaedro no es uniforme. Estose debe a que está rodeado por un único cinturón de ocho cuadrados, por lo que toda simetría transformadicho cinturón en él mismo, luego los vértices de los dos cuadrados que no forman parte del cinturón nopueden transformarse en ninguno de los vértices del cinturón. Por lo demás, el pseudorombicuboctaedrotiene el mismo número de vértices, caras y aristas que el pequeño rombicuboctaedro, el mismo volumen, lamisma superficie, etc.

Teorema 6.1: Todo poliedro convexo cuyas caras sean cuadrados y triángulos equiláteros de modo que acada vértice concurran tres cuadrados y un triángulo es isométrico a un pequeño rombicuboctaedro o biena un pseudorombicuboctaedro.

Demostración: Dado un poliedro en las condiciones del enunciado, distinguimos dos casos:

1) Una de las caras cuadradas comparte una arista con otro cuadrado y la arista paralela con un triángulo, esdecir, el poliedro tiene tres caras dispuestas como se muestra en el paso inicial de la figura siguiente:

| 119

Inicio < > Fin

Entonces es fácil ir razonando que las caras que vamos añadiendo en cada paso de la figura tienen que estarsituadas necesariamente como lo están. Es importante que no aifrmamos que los ángulos diédricos tenganque ser necesariamente los que muestra la figura. Por ejemplo, al avanzar dos pasos lo que tenemos es queuno de los vértices que inicialmente compartían un cuadrado y un triángulo tiene que completarse necesaria-mente con otros dos cuadrados. Entonces vemos que queda un vértice al que llegan tres cuadrados, luego lefalta el triángulo que aparece en el paso siguiente, y así sucesivamente. Terminamos concluyendo que elpoliedro dado debe tener las mismas caras que el pseudorombidodecaedro conectadas del mismo modo,luego por el teorema de Cauchy es (isométrico a) un pseudorombidodecaedro.

2) Siempre que una cara cuadrada comparte una arista con un cuadrado, comparte la arista paralela con otrocuadrado.

En este caso partimos de un vértice cualquiera, como muestra el paso inicial de la figura siguiente, y observa-mos que la condición adicional determina completamente la forma de completar el poliedro:

120 |

Inicio < > Fin

Por ejemplo, dicha condición nos permite situar dos cuadrados en aristas paralelas a aristas que ya com-parten dos cuadrados, lo que nos permite completar una cúpula. A continuación sólo podemos añadir uncinturón de cuadrados, tras lo cual podemos aplicar de nuevo la condición del caso 2 para determinar dóndedebemos colocar cuadrados y dónde triángulos, y así llegamos a un poliedro con las caras dispuestas igualque las de un pequeño rombicuboctaedro, luego por el teorema de Cauchy es un rombicuboctaedro. †

Ahora bien, el caso del teorema anterior es totalmente excepcional, pues cualquier otra configuración devértices realizable por un sólido arquimediano sólo puede ser realizada por el sólido arquimediano correspondi-ente:

Teorema 6.2: Si las caras de un poliedro convexo son polígonos regulares y las caras que concurren encada vértice lo hacen según el patrón con que lo hacen en un sólido arquimediano distinto del pequeñorombicuboctaedro, entonces el poliedro es dicho sólido arquimediano.

Demostración: La prueba consiste en la comprobación rutinaria, en cada uno de los doce casos posibles, deque el patrón de cada vértice determina completamente el poliedro exactamente igual que hemos hecho en elteorema anterior, pero sin necesidad de distinguir casos. En realidad sí que tendremos que distinguir doscasos cuando tratemos la configuración correspondiente al cubo y al dodecaedro romo, pero la conclusión esentonces que en cada caso se llega a una de las dos variantes enantiomorfas del poliedro.

Como ejemplo podemos reconsiderar la figura en la que construimos cara a cara el dodecaedro romo.Suponemos que tenemos un poliedro convexo con figura (3, 3, 3, 3, 5), de modo que uno cualquiera de susvértices tendrá el aspecto que muestra el paso 3 de la figura (tal vez con ángulos diédricos diferentes).Entonces podemos completar dos vértices del pentágono como indica el paso 5 y los otros dos como indica elpaso 6. En el paso 7 realizamos una elección al añadir un pentágono y un triángulo en la forma en que lohacemos y no al revés. Es la única elección arbitraria en todo el proceso. A partir de ahí todos los pasossiguientes vienen forzados por la estructura de los vértices, y concluimos que el poliedro dado tiene sus carasdispuestas igual que las de un dodecaedro romo, luego, por el teorema de Cauchy, tiene que ser un dodecae-dro romo. †

Sucede que los sólidos platónicos y arquimedianos no son todos los poliedros uniformes convexos, pues enrealidad hay infinitos de ellos, pero todos los restantes pertenecen a una de las dos familias de poliedros queestudiamos a continuación. La primera es elemental:

| 121

Sucede que los sólidos platónicos y arquimedianos no son todos los poliedros uniformes convexos, pues enrealidad hay infinitos de ellos, pero todos los restantes pertenecen a una de las dos familias de poliedros queestudiamos a continuación. La primera es elemental:

LOS PRISMAS (UNIFORMES)

Dado cualquier polígono regular, podemos construir fácilmente un poliedro uniforme a partir de él: bastaconsiderar un prisma con dicha base y caras laterales cuadradas:

Base 3 4 5 6 7 8 9 10

Es obvio que los prismas son ciertamente poliedros uniformes (pero, salvo en el caso n = 4, no son transitivospara aristas), así como que el prisma de base {n} es el único poliedro convexo cuyos vértices tienen figura (4,4, n). Es fácil ver que el volumen y el área vienen dados por

V = n4 cotanB p

nF, S = n +

n2 cotanB p

nF.

El radio es

R = 1+cosec2@pênD2

.

LOS ANTIPRISMAS (UNIFORMES)

Existe una forma ligeramente más sofisticada de obtener poliedros uniformes a partir de dos polígonos {n}arbitrarios. La figura siguiente muestra algunos casos particulares:

122 |

Base 3 4 5 6 7 8 9 10

Un antiprisma de base {n} se forma disponiendo dos polígonos {n} iguales en planos paralelos, girando unode ellos 180Î/n y uniendo cada vértice de uno de los polígonos con los dos más próximos del otro. Si la distan-cia entre los dos polígonos es la adecuada, los triángulos que se forman son equiáteros y el antiprisma esuniforme. Más aún, es claro que el antiprisma de base {n} es el único poliedro convexo cuyos vértices tienentodos figura (3, 3, 3, n).

Para calcular la altura h del antiprisma observamos que ésta forma un triángulo rectángulo con la altura deltriángulo equilátero y con la diferencia entre el radio y la apotema de la base. Así pues:

h2 = 34 - J 12 sen@pênD

- cos@pênD2 sen@pênD

N2

= 34 - 1

4tan2[ p

2n] = 1- 1

4(1+tan2[ p

2n]),

luego

h = 1 - 14

sec2B p

2nF .

Con esto podemos calcular el radio:

R = I h2 M2+ I 12 cscA pn EM

2 = 12 1+ 14 K

-1cos2A p

2 n E+ 1sen2A p

2 n E cos2A

p2 n E

O = 14 4+ csc2A p2 n E .

La distancia del centro al centro de los triángulos laterales es

r3= R2 - 13 = 1

16 J4 + cscA p2 n E

2N - 1

3 ,

luego el volumen del antiprisma es

V = 2n3

3

4116

K4 + cscB p

2nF2O - 1

3 + 2

3n2

cotan@pênD2

12

1 - 14

sec2B p

2nF = n

1234

cscB p

2nF2- 1 + n

12

cotanA pnE 1 - 1

4sec2B p

2nF .

La expresión se simplifica ligeramente si tenemos en cuenta que

34

cscB p

2nF2- 1 = 4 cos

2Bp

2nF-1

4 sen2Bp

2nF

= cotan2B p

2nF J1 - 1

4sec2B p

2nFN.

| 123

34

cscB p

2nF2- 1 = 4 cos

2Bp

2nF-1

4 sen2Bp

2nF

= cotan2B p

2nF J1 - 1

4sec2B p

2nFN.

Así pues:

V = n12

(cotanA pn E+cotanA p2 n E) 1 - 1

4 sec2A p2 n E .

Para los primeros valores de n esta expresión se reduce a

V3 = 23 , V4 = 4+3 2

3 , V5 = 5+2 56 , V6 = 2 + 2 3 .

Dejamos al lector la comprobación de la fórmula para la superficie de los antiprismas:

S = n2

(cotanA pn E+ 3 ).

LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS UNIFORMES CONVEXOS

Finalmente demostramos que los sólidos platónicos y los arquimedianos, junto con las familias infinitas deprismas y antiprismas, son todos los poliedros uniformes convexos. De hecho, podemos probar algo ligera-mente más general:

Teorema 6.3: Los únicos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares tales que a cada uno desus vértices concurre un mismo número de caras de cada tipo son los prismas, los antiprismas, los sólidosplatónicos, los sólidos arquimedianos y el pseudorombicuboctaedro.

Demostración: Partimos del teorema 4.5, según el cual la suma de los ángulos de las caras en un vértice ha

de ser inferior a 360Î. Los ángulos de un polígono {n} miden 180 -360n , luego si la figura de cada vértice es

(a1, … , ak), se tiene que cumplir que

⁄i=1k 180 -

360ai

< 360,

equivalentemente,

⁄i=1k 2

ai> k - 2.

Puesto que ai ¥ 3, tenemos que k-2 < 2k/3, de donde k < 6, es decir, a lo sumo puede haber 5 caras en cadavértice. Para k = 3, 4, 5, la desigualdad se particulariza a

1a+ 1

b+ 1c > 12 , 1a+ 1

b+ 1c+ 1

d > 1, 2a+ 2b+ 2

c+ 2d + 2

e > 3.Basta demostrar que las únicas posibilidades para (a, b, c), (a, b, c, d) o (a, b, c, d, e) son las que corre-sponden a los poliedros indicados en el enunciado, pues sabemos que, para cada una de estas configura-ciones, la única posibilidad es la del poliedro correspondiente (salvo en el caso de (3, 4, 4, 4), que puederealizarse en el pequeño romicuboctaedro o en el pseudorombicuboctaedro).

A) Si cada vértice tiene cinco caras, al menos cuatro deben ser triángulos, pues si al menos dos de ellas no lofueran, digamos d, e ¥ 4, entonces

2 = 23

+ 23

+ 23

r 2a

+ 2b

+ 2c

> 3 - 2d- 2e

r 3 - 24- 24

= 2.

Con cuatro triángulos, la quinta cara debe cumplir que 23+ 2

3+ 23+ 2

3+ 2e > 3, lo que se traduce en e < 6,

luego las únicas posibilidades son (3, 3, 3, 3, 3), (3, 3, 3, 3, 4) y (3, 3, 3, 3, 5), que corresponden con el icosaedro, elcubo romo y el dodecaedro romo, respectivamente.

B) Si cada vértice tiene cuatro caras (a, b, c, d) y llamamos x al mínimo de los cuatro números, la desigual-dad nos da que x = 3. Si los cuatro son iguales, tenemos (3, 3, 3, 3), que corresponde al octaedro. Los casos (3,3, 3, n) son todos posibles, y corresponden a los antiprismas. Falta considerar que en cada vértice haya uno odos triángulos.

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B) Si cada vértice tiene cuatro caras (a, b, c, d) y llamamos x al mínimo de los cuatro números, la desigual-dad nos da que x = 3. Si los cuatro son iguales, tenemos (3, 3, 3, 3), que corresponde al octaedro. Los casos (3,3, 3, n) son todos posibles, y corresponden a los antiprismas. Falta considerar que en cada vértice haya uno odos triángulos.

La figura siguiente muestra que si a = 3, al completar los tipos de caras que rodean a dos de los vértices deltriángulo, vemos que para completar el tercero hace falta que b = d, es decir, que la figura de cada vérticedebe ser necesariamente de la forma (3, b, c, b).

a

b

c

a

d

a

cd

Podemos suponer que b ¥ 4, pues el caso contrario ya lo hemos considerado. La desigualdad nos da entoncesque c < 6, luego las posibilidades son (3, b, 3, b), (3, b, 4, b) o (3, b, 5, b). En el primer caso la desigualdad nos dala cota b § 5 y en los otros dos b § 4, con lo que las únicas posibilidades son (3, 4, 3, 4), (3, 5, 3, 5), (3, 4, 4, 4) y (3, 4,5, 4), que corresponden al cuboctaedro, al icosadodecaedro, al pequeño rombicuboctaedro y pequeño rombicosi-dodecaedro.

C) Si cada vértice tiene tres caras, podemos suponer a § b § c, con lo que la desigualdad implica que a <6. Si a = b = c, las únicas opciones son (3, 3, 3), (4, 4, 4) y (5, 5, 5), que corresponden necesariamente al tetrae-dro, al cubo y al dodecaedro.

En el supuesto de que haya dos caras distintas, por ejemplo a ≠ b, si una arista de una cara {c} limita conuna cara {a}, entonces sus aristas contiguas deben limitar con caras {b}, lo que implica que c debe ser par.En particular, si en (a, b, c) hay dos números iguales (y otro distinto) los dos iguales deben ser pares, y si lostres son distintos dos a dos, los tres deben ser pares. Esto ya nos descarta todos los casos imposibles:

Si a es impar, la única posibilidad es (a, b, b), con b par. Concretamente, si a = 3 la desigualdad nos daademás que b < 12, luego las únicas posibilidades son (3, 4, 4), (3, 6, 6), (3, 8, 8), (3, 10, 10), que corresponden alprisma triangular, al tetraedro truncado, al hexaedro truncado y al dodecaedro truncado. Si a = 5 la desigual-dad nos da b < 20/3, luego necesariamente b = 6 y queda (5, 6, 6), que corresponde al icosaedro truncado.

Sólo falta considerar el caso en que a = 4. Los casos (4, 4, c) son todos posibles, y corresponden a prismas. Sib > 4 entonces a ≠ c, luego b es par, y la desigualdad implica que b = 6, de donde a su vez c < 12. Esto nosdeja únicamente las posibilidades (4, 6, 6), (4, 6, 8) y (4, 6, 10), que corresponden al octaedro truncado, al granrombicuboctaedro y al gran rombicosidodecaedro. †

En particular:

Teorema 6.4: Los únicos poliedros convexos uniformes son los sólidos platónicos, los arquimedianos, losprismas y los antiprismas.

Teniendo en cuenta que el cubo es un prisma y el octaedro un antiprisma, sólo hay 16 poliedros convexosuniformes fuera de las dos familias infinitas.

Teorema 6.5: Los únicos poliedros convexos transitivos para vértices y aristas son los sólidos platónicos, elcuboctaedro y el icosidodecaedro.

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