Plantilla

INSTITUTO TECNOLGICO DE LALAGUNA

Divisin de Estudios de Posgrado eInvestigacin

Maestria en Ciencias en Ingenieria ElctricaMecatrnica y Control

CONTROL AVANZADO

Tarea 6Diseo de Controladores por Realimentacin de

Estados

Ing. Ismael Medina LpezM1513050

Catedrtico: Dr. Jos Luis Meza Medina

Torren, Coah. - 16 de diciembre de 2015

Diseo de Controladores porRealimentacin de Estados

por Ismael Medina Lpez

NDICE

ndice1. Introduccin 1

2. Marco Terico 22.1. Diseo por ubicacin de polos a travs de la realimentacin de estados . . . . . . . 2

3. Ejemplo 43.1. Simulacin en Matlab-Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Conclusiones 11

I Ing. Ismael Medina Lpez

Diseo de Controladores por Realimentacin deEstados

Tecnolgico Nacional de Mxico, Instituto Tecnolgico de la LagunaMaestra en Ciencias en Ingeniera Elctrica

Mecatrnica y Control

16 de diciembre de 2015

Resumen

El objetivo del presente trabajo es aplicar la tcnica de realimentacin de estados a un siste-ma dado, mostrando sobre todo la eleccin de ciertos parmetros que modifiquen la respuestadinmica del sistema, esto es, partiendo del comportamiento del sistema original, modificarlopara que cumpla ciertas especificaciones, en general , ajustar el rgimen transitorio y ajustarel rgimen permanente.

1. IntroduccinEn este trabajo se pretende analizar el control de un sistema mediante la realimentacin de sus

variables de estado, poniendo de manifiesto la potencia de esta estructura de control para fijar lascaractersticas del comportamiento dinmico de un sistema. Primeramente se realiza un anlisis dela dinmica del sistema cuando se efecta la realimentacin de sus variables de estado, medianteuna matriz constante, para actuar sobre las variables de entrada del sistema segn el esquema de laFigura 1. A continuacin, se aborda el diseo de la matriz de realimentacin del estado con objetode fijar el comportamiento dinmico del sistema, justificndose la asignacin directa de todos lospolos de la parte controlable del sistema.

Para proceder a la aplicacin de un control por realimentacin del estado, se parte del conoci-miento de las variables de estado del sistema, que se suponen directamente medibles. Sin embargo,se puede suponer el hecho de que las variables de estado no sean directamente medibles, en cuyocaso se disean unas estructuras denominadas observadores, que permiten estimar el verdaderovalor de las variables de estado de la parte observable, a partir del conocimiento de la evolucin delas variables de entrada y de salida del sistema, que constituyen la informacin accesible de ste[2].

Como se vio en el trabajo anterior, un sistema puede descomponerse en varios subsistemasatendiendo a sus caractersticas de controlabilidad y observabilidad, existiendo un subsistema quees a la vez controlable y observable, conocido como realizacin mnima del sistema. La parte nocontrolable del sistema total tiene un comportamiento independiente de las entradas y, por tanto,no puede modificarse mediante ninguna realimentacin del estado que acte sobre ellas. Por otrolado, el valor de las variables que constituyen la parte no-observable del sistema total no pueden

1

2 Marco Terico

conocerse mediante la observacin de la entrada y la salida, y por tanto no pueden utilizarse parasu realimentacin. Consecuentemente, slo la realizacin mnima de un sistema puede utilizarse enuna estructura de realimentacin del estado.

2. Marco TericoLa mayora de las tcnicas de diseo en la teora de control moderna estn basadas en la

configuracin de la realimentacin de estados. Esto es, en lugar de emplear controladores conconfiguracin fija en las trayectorias directas o de realimentacin, el control se realiza al realimentarlas variables de estado a travs de ganancias constantes [3]. El diagrama de bloques de un sistemade control por la realimentacin de estados se muestra en la figura 1.

Figura 1. Diagrama de bloques del sistema de control mediante la realimentacin de estados.

El diseo de sistemas de control en el espacio de estados a travs del mtodo de realimentacinde estados, tambin conocido mtodo de asignacin de polos [1].

2.1. Diseo por ubicacin de polos a travs de la realimentacin deestados

Cuando se tiene un proceso controlado de tercer orden o mayor, los controladores PD, PI,de adelanto de fase de una etapa o el de atraso de fase no son capaces de controlar en formaindependiente todos los polos del sistema, ya que solo hay dos parmetros libres en cada uno deestos controladores [3].

Para investigar la condicin requerida para colocar los polos en forma arbitraria en un sistemade orden n, se considera que el proceso esta descrito por la ecuacin siguiente:

x(t)

dt= Ax(t) +Bu(t) (1)

y(t) = Cx(t) (2)

2 Ing. Ismael Medina Lpez

2.1 Diseo por ubicacin de polos a travs de la realimentacin de estados

donde x(t) es un vector de estado de n 1 y u(t) es la entrada de control. El control mediantela realimentacin del estado es:

u(t) = Kx(t) + r(t) (3)donde K es un vector de ganancias del controlador por realimentacin estados de dimensin

1 n con elementos de ganancia constantes. r(t) es la variable de referencia o variable deseada.Al sustituir la ecuacin (3) en (1) el sistema en lazo cerrado esta representado por la ecuacin deestado:

dx(t)

dt= (ABK)x(t) +Br(t) (4)

Asignando

A = (ABK) (5)La ecuacin anterior se puede escribir de la forma

x = Ax(t) +Br(t) (6)Donde A es la matriz principal del sistema en lazo cerrado.A continuacin se mostrara que si el par [A,B] es completamente controlable1, existe una

matriz K que puede dar un conjunto arbitrario de valores caractersticos de (ABK); esto es, lasn races de la ecuacin caracterstica:

|sI A+BK| = 0 (7)se pueden ubicar de forma arbitraria. Para mostrar que esto es cierto, se sabe que si un sistema

es completamente controlable, siempre se puede representar en la forma cannica controlable; estoes

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

...... . . .

...0 0 0 . . . 1a0 a1 a2 . . . an1

, B =

00...01

(8)La matriz de ganancia de realimentacin K se expresa como:

K =[k1 k2 kn

](9)

donde k1, k2, . . ., kn son constantes reales. Entonces:

ABK =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

...... . . .

...0 0 0 . . . 1

a0 k1 a1 k2 a2 k3 . . . an1 kn

(10)1Si un sistema es completamente de estado controlable, sus valores caractersticos pueden ser asignados de forma

arbitrara a travs de la realimentacin de estados


3 Ejemplo

Los valores caractersticos de ABK se encuentran de la siguiente ecuacin caracterstica:

|sI (ABK)| = sn + (an1 + kn) sn1 + (an2 + kn1) sn2 + . . .+ (a0 + k1) = 0 (11)Claramente los valores caractersticos se pueden asignar en forma arbitrara ya que las ganancias

k1, k2, . . ., kn estn aisladas en cada coeficiente de la ecuacin caracterstica. En forma intuitiva,tiene sentido que un sistema deba ser controlable para que los valores caractersticos sean colocadosen forma arbitrara. Si una o mas variables de estado no son controlables, los valores caractersticosasociados con estas variables de estados tambin son no controlables y no se pueden mover comose desea [3].

3. EjemploUna vez revisados los fundamentos tericos sobre el diseo de controladores por realimentacin

de estados procedemos a aplicar tales conceptos matemticos a un sistema particular.Realizar el diseo de un controlador por realimentacin de estados para la siguiente planta

expresada como funcin de transferencia [3]:

Funcin de Transferencia en lazo abierto de la planta a controlar, Gp(s):

Gp(s) =k0(s+ z1)

s(s+ 1)(s+ 2)=

k0s+ k0z1s3 + (1 + 2)s2 + (12)s

(12)

Parmetros de la planta:

k0 = 20z1 = 51 = 12 = 4

Funcin de Transferencia de la planta

Gp(s) =Y (s)

U(s)=

20s+ 100

s3 + 5s2 + 4s(13)

Hacemos

Gp(s) =Y (s)

U(s)=

b1s+ b0s3 + a2s2 + a1s+ a0

(14)

Por lo tanto

b1 = k0 = 20b0 = k0z1 = 100a2 = (1 + 2) = 5a1 = (12) = 4a0 = 0


3 Ejemplo

Bloque de la FDT de la plantaConsiderando la forma general de variables de fase para la representacin de estado:

x(t) =d

dt

x1(t)x2(t)x3(t)

= 0 1 00 0 1a0 a1 a2

x1(t)x2(t)x3(t)

+00

1

u(t) (15)Ecuacin de estado de la planta:

x(t) =d

dt

x1(t)x2(t)x3(t)

=0 1 00 0 1

0 4 5

x1(t)x2(t)x3(t)

+00

1

u(t)Ecuacin de salida:

Y (s) = (b1s+ b0)X1(s)

Y (s) = b1sX1(s) + b0X1(s)

Y (s) = b1X2(s) + b0X1(s)

y(t) =[b0 b1 0

] x1(t)x2(t)x3(t)

= [100 20 0]x1(t)x2(t)x3(t)

Controlador por realimentacin de estados:

u(t) = r(t)Kx(t) (16)K R1n Vector de ganancias del controlador por realimentacin de estados.r(t) Variable de referencia o variable deseada.

K =[k1 k2 k3

]Ecuacin de estado del sistema en lazo cerrado, tomando como referencia la ecuacin (10)

tenemos:


3 Ejemplo

x(t) =d

dt

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 00 0 1(a0 + k1) (a1 + k2) (a2 + k3)

x1(t)x2(t)x3(t)

+00

1

r(t)De la ecuacin (11) tenemos el polinomio caracterstico de lazo cerrado:

Pc(s) = s3 + (a2 + k3)s

2 + (a1 + k2)s+ (a0 + k1) = 0

Para la sintonizacin de ganancias del controlador es necesario proponer un polinomio carac-terstico deseado, a partir de la respuesta transitoria especificada.

Pd(s) = s3 + d2s

2 + d1s+ d0 = (s+ 1)(s+ 2)(s+ 3) = 0

Pd(s) = s3 + (1 + 2 + 3)s

2 + (12 + 13 + 23)s+ (123) = 0

Igualando ambos polinomios Pd(s) = Pc(s)

k3 = d2 a2 = (1 + 2 + 3) a2k2 = d1 a1 = (12 + 13 + 23) a1k1 = d0 a0 = (123) a0

Parmetros deseados de la respuesta transitoria.

Mximo sobrepaso:

Mp = 0,095

Tiempo de establecimiento:

ts(2 %) = 0,74[s]

Error de estado estacionario:

ess = 0 (17)

Calculamos 1, 2 y 3

Factor de amortiguamiento

=

[In (Mp)]

2

pi2 + [In (Mp)]2 =

[In (0,095)]2

pi2 + [In (0,095)]2= 0,599622333

Frecuencia natural no amortiguada

n =4

ts=

4

(0,5996)(0,74)= 9,01468


3 Ejemplo

Frecuencia natural amortiguada

d = n

1 2 = 7,2142[rad

s

]Por lo tanto se tiene

1 = n + jd = 5,4054 + j7,2142

2 = 1 = n jd = 5,4054 j7,2142

Para producir la cancelacin del cero de lazo cerrado (z1 = 5) del sistema de control, propone-mos;

3 = 5,1

Puesto que la dinmica del sistema se puede ver alterada por el cero en el numerador, en ne-cesario, sino bien cancelarlo por completo, por lo menos reducir sus efectos. Esto es precisamentelo que se hace en este caso al asignar 3 = 5,1.

Por lo tanto las ganancias del vector K R1n quedaran:

k3 = d2 a2 = (1 + 2 + 3) a2 = 10,9108k2 = d1 a1 = (12 + 13 + 23) a1 = 132,3981k1 = d0 a0 = (123) a0 = 414,4415

Sustituyendo los valores la ecuacin de estado del sistema en malla cerrada quedara de laforma:

x(t) =d

dt

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 00 0 1(0 + 414,4415) (4 + 132,3981) (5 + 10,9108)

x1(t)x2(t)x3(t)

+00

1

r(t)La ecuacin de salida seguira siendo la misma:

y(t) =[b0 b1 0

] x1(t)x2(t)x3(t)

= [100 20 0]x1(t)x2(t)x3(t)

Controlador por realimentacin de estados:

u(t) = r(t) kx(t)

k =[414,4415 132,3981 10,9108

]

u(t) =[414,4415 132,3981 10,9108]

x1(t)x2(t)x3(t)

+ r(t)7 Ing. Ismael Medina Lpez

3 Ejemplo

Polinomio caracterstico de malla cerrada:

Pc(s) = s3 + (15,9108)s2 + (136,3981)s+ (414,4415) = 0

Funcin de Transferencia del sistema en lazo cerrado:

G(s) =Y (s)

R(s)=

20s+ 100

s3 + (15,9108)s2 + (136,3981)s+ (414,4415)

Considerando R(s) =1

s(Escaln unitario) y aplicando el teorema del valor final tenemos.

y(t) = lmt

y(t) = lms0

F (s) =100

414,4415= 0,2412

Como podemos darnos cuenta el error de estado estado estable del sistema ante una entradaescaln no ser cero, puesto que como ya comprobamos el sistema se estabilizara en un valoraproximado a 0.2412, cuando tendra que llegar a uno. Las condiciones de mximo sobreimpulso ytiempo de establecimiento se obtendrn en la respuesta transitoria del sistema con gran precisin,sin embargo, para hacer el error cero es necesario calcular una ganancia g que multiplique a laentrada de referencia r(t),es decir, al escaln unitario, el valor de dicha ganancia g se obtiene dela siguiente manera:

g =1

0,2412= 4,144415

El valor de la ganancia calculado garantiza que el error en estado estable ess sea cero, y con losvalores de las constantes K obtendremos la respuesta dinmica deseada del sistema.


3.1 Simulacin en Matlab-Simulink

3.1. Simulacin en Matlab-Simulink

A continuacin se presenta al diagrama realizado en Matlab-Simulink con el cual obtuvimos larespuesta del sistema con realimentacin de estado.

Figura 2. Diagrama a bloques del sistema en lazo cerrado con realimentacin de estado.

Observaciones: De acuerdo a los valores de las ganancias K calculadas anteriormente estasson colocadas en el lazo de realimantacin correspondiente a cada estado, tal y como se indica enla figura 1. Ademas, como ya se haba mencionado, fue necesario colocar una ganancia extra"quefuera capaz de hacer al error ess = 0, condicin que se expuso al inicio del desarrollo del ejemplo.


3.1 Simulacin en Matlab-Simulink

Figura 3. Respuesta del sistema origianal sin realimentacin.

Figura 3. Respuesta del sistema con realimentacin de estado ante una entrada escalonunitario.

Observaciones: Como se puede apreciar la respuesta del sistema realimentado cumple conlos parmetros de diseo, el error de estado estable es cero, el mximo sobreimpulso es aproxi-madamente el 9.5 % de valor final (llega casi a 1.1) y el tiempo de establecimiento es de 0.74segundos.


4 Conclusiones

4. ConclusionesCon el desarrollo del presente trabajo demostramos teoricamente y por simulacin el mtodo

de asignacin o ubicacin de polos a travs de la realimentacin de estados para un sistema dado.Este tipo de diseo de controladores permite obtener una respuesta deseada del sistema mediantela asignacin de polos de lazo cerrado en las posiciones que se deseen. Este diseo ubica los polosde lazo cerrado de modo que las condiciones transitorias sean llevadas a una forma preestablecida,como lo vimos en el ejemplo.Sin embargo, y de acuerdo a la literatura, hay un costo asociado concolocar todos los polos en lazo cerrado, porque para realizarlo se requiere tener buenas medidasde todas las variables de estado o bien incluir un observador de estado en el sistema. Existe unrequisito por parte del sistema para poder realizar la asignacin de polos en forma arbitraria, estaexigencia es que el sistema sea de estado completamente controlable. Algo importante que hemosaprendido es que el diseo de realimentacin de estados a pesar de poder mover los polos de formaarbitraria no tiene ningn efecto sobre los ceros del sistema en lazo cerrado. Esta propiedad explicapor qu la realimentacin de estados puede alterar la propiedad de observabilidad, ya que uno oms polos pueden ubicarse mediante realimentacin para cancelar ceros del sistema, lo que vuelveesos modos inobservables. De ante mano conocemos que el mtodo de diseo de controladores enespacio de estados se basa en dos factores: el primero de ellos es obtener todas las mediciones delas variables del sistema, ya sea por sensores o estimando estos valores mediante observadores deestado. El segundo, por su parte es la ley de control. Al combinarse estos dos factores proporcionanuna dinmica del sistema en lazo cerrado. En conclusin, una de estas tcnicas es la realimentacinde estados la cual nos proporciona varias ventajas, ya que permite ubicar los polos del sistemadonde se produzca un mejor desempeo del mismo.

Referencias[1] K. Ogata. Ingeniera de Control Moderna. Pearson, 5ta Ed. 2010.

[2] Dominguez, Sergio; Campoy, Pascual; Jos Maria, Sebastin. Control en el Espacio de Estado.Pearson, Prentice Hall, 2da Ed. 2009.

[3] B. C. Kuo. Sistemas de Control Automtico. Prentice-Hall Inc. 7ma Ed. 1996. pp 932.


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