Programación Lineal: Cómo plantear ecuaciones de programación lineal para la solución de problemas

Introducción:

La PL es una técnica matemática para resolver una clase amplia de problemas de optimización, en

los cuales se requiere ya sea maximizar o minimizar una función lineal de n variables reales, sujeta

a m restricciones. Se pueden formular y resolver una gran cantidad de problemas reales con la PL.

Podemos mencionar:

Programación de personal

Variedades de problemas de formulación de mezclas

Control de inventarios y planeación de producción

Problemas de distribución y logística

Problemas de asignación

Elementos de las ecuaciones:

Función Objetivo: La meta que se trata de optimizar (maximizar o minimizar)

Variables de decisión: variables que se tratan de determinar y utilizaran para el modelo

Restricciones (y relación): lo que se debe satisfacer para el modelo.

Ejemplo: Un negocio se dedica a la fabricación de mesas y sillas. Fabricar cada una ofrece una

ganancia en ventas pero consume recursos de manera tal y como se presenta en la siguiente tabla:

Proceso

Consumo de recursos por cada entidad

fabricada Tiempo disponible en

cada proceso Mesas Sillas

Corte 1 hora 2 horas 120 horas

Ensamble 1 hora 1 hora 90 horas

Ganancia unitaria $50 $80

El dueño del negocio desea saber cuántas mesas y sillas fabricar para obtener la máxima ganancia

con los recursos disponibles.

Solución:

Se requieren plantear los siguientes elementos:

Variables de decisión:

X1 =

X2 =

Función objetivo (en este caso Maximizar ganancias):

Z=

Restricciones

Proceso Consumo Relación Disponible

Anotaciones:

Problemas de PL ():

1) Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas —de cortar, coser y teñir— se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser, tres horas, y la de teñir, una hora. Fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora; la de coser, una hora, y la de teñir, ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser, once horas y la de cortar, siete horas. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearemos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? Plantee el modelo de Programación Lineal.

2) Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble del de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 150 € por electricista y 120 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? Plantee el modelo de Programación Lineal.

3) Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 8 €. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 10 €. En el almacén les quedan 10 kilos de azúcar y 120 huevos. ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas? Plantee el modelo de Programación Lineal.

4) La Ápex Televisión debe decidir el numero de televisores de 27” y 20”, producidos en una de sus fabricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más 40 televisores de 27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por mes, un televisor de 27” requiere 20 horas-hombre y uno 20” requiere 10 horas-hombre, cada televisor de 27” produce una ganancia de $ 120 y cada uno de 20” da una ganancia de $ 80. Un distribuidor está de acuerdo comprar todos los televisores producidos siempre en cuando no exceda el máximo indicado por el estudio de mercado. Formule el modelo de programación lineal.

5) Sidneyville fabrica muebles de oficina y para el hogar. La división Oficina produce 2 escritorios, el de tapa corrediza o de cierre y el normal. Los fabrica en su planta en las afueras de Medford, Oregon, usando una selección de maderas. Éstas se cortan a un espesor uniforme de 1 pulgada. Por esta razón, la madera se mide en metros cuadrados. Un escritorio de cierre requiere 10 metros cuadrados de pino, 4 de cedro y 15 de arce. Para un escritorio normal se requieren 20 metros cuadrados de pino, 15 de cedro y 10 de arce. Los escritorios producen ganancias respectivas de 115 dólares (escritorio de cierre) y 90 dólares (escritorio normal) por venta. En la actualidad la empresa dispone de 200 metros cuadrados de pino, 128 de cedro y 220 de arce. Han recabado pedidos para ambos escritorios y les gustaría producir una cantidad de piezas con cierre y normales que maximice sus ganancias. ¿Cuántos escritorios deben producir de cada uno? Formule el modelo de Programación Lineal.

Problema #____:

Lo que se requiere:

Solución:

Se requieren plantear los siguientes elementos:

Variables de decisión:

X1 =

X2 =

Función objetivo (en este caso Maximizar ganancias):

Z=

Restricciones

Proceso Consumo Relación Disponible

*** Diseñe esta plantilla en Microsoft Excel, modifíquela según sea necesario, de acuerdo a cada

planteamiento de problema, y utilice una en cada hoja para cada ejercicios (Problema1,

Problema2, etc…)