7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

1/9

1

Universidade de Braslia

Instituto de Cincias Exatas IE

Departamento de Matemtica MAT

Disciplina: Estio !upervisionado de "encia

#ro$essores: %rancisca #riscila %erreira da !ilva &'(''&&&)&

*essica de A+reu Bar+osa &'(''&,-).

Plano de Aula

Tema: /r$ico das $un01es trionom2tricas3 %un01es cos 4 e t 4

Nvel: Ensino M2dio5

Durao: &6,'min 78 aulas95

Objetivo: %aer a constru0;o e a anlise dos r$icos das $un01es cos 4 e t 45

Introduo

= de$inida como uma

$un0;o com domnio nos n?meros reais5 Da mesma $orma= na aula de 6o@e= vamos

construir os r$icos das $un01es cos 4 e t 45 #ara isso= vamos analisar o ue acontece

com cos 4 e t 4 em cada uadrante do circulo trionom2trico e tam+2m= como os

r$icos das $un01es $749 cos 4 e $749 t 4 se comportam5

Contedo

Grfio da funo o! "

Como vimos na aula anterior= ualuer n?mero real pode ser interpretado como um

nulo medido em radianos5 #ortanto= podemos determinar o domnio das $un01es

trionom2tricas dentro dos n?meros reais5

!e $749 cos 4= ent;o o domnio dessa $un0;o consiste de todos n?meros reais 4 para os

uais 2 de$inido cos 45

Consideremos o crculo trionom2trico:

Como cos = a/re rnunca se anula= o domnio de cos 2 o

con@unto de todos os n?meros reais5

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

2/9

2

amos determinar a imaem de cos 4 a partir do r$ico da $un0;o $749 cos 45 Iremos

completar uma ta+ela com os valores para $749 cos 4 para nos a@udar a construir o

r$ico5

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

3/9

3

amos aora= montar uma ta+ela com os valores reais para cos >5 Usamos a calculadora

uando necessrio para encontrar esses valores5

4 ' G() G(- G(, G(8 8G(, ,G(- .G() G HG() .G(- -G(, ,G(8 .G(, HG(- &&G()

cos 4 & '=)) '=H'H '=. ' 3'=. 3'=H'H 3'=)) 3& 3'=)) 3'=H'H 3'=. ' '=. '=H'H '=))

#inal da funo o! $

Analisando o sinal da $un0;o cos 4= vemos ue ela 2 positiva para valores do primeiro e

uarto uadrante= e neativa para os valores do seundo e terceiro uadrantes5

J+servando o r$ico da $un0;o $749 cos 4= vemos ue o r$ico exi+e uma simetria

com rela0;o ao eixo K5 Como a $un0;o $749 cos 4 2 uma $un0;o par= ou se@a= satis$a a

rela0;o $7349 $749= temos:

cos 7349 cos 4Exemplo:

cos 73G(-9 cos 7G(-9 '=H'H

Utiliamos esses pontos para o+ter o r$ico de $749 cos 4 a+aixo:

Periodiidade da funo o! $

Uma $un0;oy=f(x)2 periLdica se existe um n?meroptal uef(x+p)=f(x)para todox no

domnio def.J menor n?mero positivopdeste tipo 2 c6amado perodo da $un0;o5

#elo r$ico= o+servamos ue:

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

4/9

4

cos 4 cos 74 8G9 cos 74 -G9 cos 74 )G9 555

Diemos ent;o ue o perodo da $un0;o cos 4 2 8G5 Assim= o r$ico completo de cos 4

2:

Como @ $oi mencionado= uma ve ue temos o r$ico de cos 4= podemos ver ue o

domnio da $un0;o $749 cos 4 2 o con@unto de todos os n?meros reais e a sua imaem 2

NK O3&P K P&Q5

Grfio da funo t% "

* vimos anteriormente= ue existem aluns valores 4 onde a $un0;o trionom2trica t 4

n;o est de$inida5 Consideremos o crculo trionom2trico:

Como tg = b/a = sen /cos = n;o est de$inida para a '5

Ju se@a= a $un0;o tg n;o est de$inida uando o cos 4 '5

#ortanto= o domnio de tg 2 N4O4 R G(8 SGQ = onde S 5

#ara determinar o r$ico de t 4= vamos veri$icar o ue acontece com os valores de$749 t 4= uando 4 cresce de ' a 8G5

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

5/9

5

Exemplo:

#ara 4 G()= temos:

cos G() '= )) e sen G() '=.

t G() '=.( '= )) X '=.HH

#ara 4 G(-= temos:

cos G(- '= H'H e sen G(- '=H'H

t G(- '=H'H( '= H'H &

#ara 4 G(,= temos:

cos G(, '=. e sen G(, '=))

t G(, '=)) ( '=. &=H,8

#ara valores de > muito prLximos de G(8= por2m menores= t 4 cresce cada ve mais:

Exemplo:

#ara 4 G(8='&

t G(8='& &8H=Y.HY)Y8))

#ara 4 G(8=''&

t G(8=''& &8H,=H.Y'8-

#ara 4 G(8='''&

t G(8='''& &8H,,=',8'-'Y

#ara valores de 4 muito prLximos de G(8= por2m maiores= correspondentes a nulos no

seundo uadrante= + est prLximo de & e a2 um n?mero neativo muito prLximo de '5

#or tanto= o uociente +(aser neativo= mas tender a um valor a+soluto muito rande5

Exemplo:

#ara 4 G(&=YYYY

t G(&=YYYY 3&8H,&=H.Y

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

6/9

6

#ara 4 G(&=YYY

t G(&=YYY 3&8H8=)'8-

#ara 4 G(&=YY

t G(&=YY 3&8)=)-H&

!e continuarmos a anlise no seundo uadrante= veremos ue os valores de t 4

continuam crescendo5 #ara 4 G= temos ue sen 4 ' e cos 4 &= loo t 4 '5

amos resumir em uma ta+ela= o ue ocorre em cada uadrante:

4 +sen 4 a=cos t 4 +(a

4 cresce de ' a G(8 Cresce ' a & Decresce de & a ' Cresce de ' a Z

4 cresce de G(8 a G Decresce de & a ' Decresce de ' a 3& Cresce de 3Z a '

4 cresce de G a ,G(8 Decresce de ' a 3& Cresce de 3& a ' Cresce de ' a Z

4 cresce de ,G(8 a 8G Cresce de 3& a ' Cresce de ' a & Cresce de 3Z a '

Destacamos ue uando 4 G(8 e ,G(8= a $un0;o t 4 n;o est de$inida= pois nesses

casos= a $un0;o cos 4 '5

amos aora= montar uma ta+ela com os valores reais para t 45 Usamos a calculadora

uando necessrio para encontrar esses valores5

4 ' G() G(- G(, G(8 8G(, ,G(- .G() G HG() .G(- -G(, ,G(8

.G(, HG(-

&&G()

t 4 ' '=.HH & &=H,8 [ 3&=H,8 3& 3'=.HH ' '=..H & &=H,8

[ 3&=H,8

3& 3'=.HH

Utiliamos esses pontos para o+ter o r$ico de $749 t 4 a+aixo:

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

7/9

7

Como @ $oi mencionado= uma ve ue temos o r$ico de t 4= podemos ver ue o

domnio da $un0;o $749 t 4 2 N4O4 R G(8 SGQ= onde S 5 E sua imaem 2 o con@unto

de todos os n?meros reais5

#inal da funo t% "

Analisando o sinal da $un0;o t 4= vemos ue ela 2 positiva para valores do primeiro e

terceiro uadrante= e neativa para os valores do seundo e uarto uadrantes5

J+servando o r$ico da $un0;o $749 t 4= vemos ue o r$ico exi+e uma simetria

com rela0;o ao eixo K5 Como a $un0;o $749 t 4 2 uma $un0;o mpar= ou se@a= satis$a a

rela0;o $7349 3 $749= temos:

t 7349 3 t 4

Exemplo:

t 73G(-9 3 t 7G(-9 3 &

Periodiidade da funo t% "

J perodo da $un0;o $749 t 4 2 G= essa conclus;o pode ser o+tida a partir do circulo

trionom2trico5 Assim:

t 4 t 74 G9 t 74 8G9 555 t 74 SG9= onde S 5

Assim= o r$ico completo de $749 t 4 2:

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

8/9

8

&'erio! (ro(o!to!:

)* Con!trua o %rfio da! fun+e! dada! no intervalo ,-./ 0 ./1

a* f2"*3 4 o! "

4 38G 3,G(8 3G 3 G(8 ' G(8 G ,G(8 8Gcos 4 & ' 3& ' & ' 3& ' &\ cos 4 &(8 ' 3&(8 ' &(8 ' 3&(8 ' &(8

b* f2"*3 - t% "

438G 3HG(- 3,G(8 3.G(- 3G 3,G(- 3 G(8 3G(- ' G(- G(8 ,G(

-G .G(

-,G(8 HG(- 8G

3 t 4' & [ 3& ' & [ 3& ' & [ 3& ' & [ 3& '

.* Determine o! valore! de m'imo e mnimo da funo f2"*3 5 6 . o! ":

O valor mnimo de cos ! "1# ent$o%

7/25/2019 Plano de Aula-trigonometria9

9/9

9

f()= & + ' ("1) =

O valor mximo de cos ! 1# ent$o%

f()= & + ' (1) = *

ogo o valor mnimo da f,n-$o ! . o valor mximo da f,n-$o ! *.

7* 8erifi9ue 9ual o domnio da funo f2"* 3 t% 2." ; /