plana, que estudia las figuras , que estudia las figu CAP ...

10 Geometría 11Und. 1 - Introducción a la Geometría

1.1.1. Geometría

Es una ciencia que surge de la necesidad de medir los terrenos y trazar sobre ellas líneas divi-soras. La palabra geometría deriva de dos palabras griegas geo, que significa tierra y metron, que significa medir. Para los egipcios el sistema de medir la tierra era puramente práctico y no tenía otro interés que el de su utilidad, es decir, desarrollaron una geometría empírica.

Para los griegos los problemas de medición y de trazado, resueltos por los egipcios, sirvieron de base para transformar la geometría en una verdadera ciencia; ellos reunieron los conocimien-tos diseminados y empíricos para luego darles el verdadero sentido racional y sistemático.

Entre los primeros geómetras griegos podemos citar a Thales de Mileto (600 años a.C); Pitágo-ras (570 años a.C.) y Euclides (300 años a.C.); este último es probablemente el escritor de ma-yor éxito de todos los tiempos pues llega a escribir una obra en 13 tomos titulada «Elementos» (el de la imagen) el cual es un tratado de geometría y de teoría de los números que, después de la Biblia, tuvo la mayor difusión en todos los idiomas y por más de 2000 años fue la base del estudio de la geometría. En esta obra estableció, en forma sistemática, los fundamentos de la geometría elemental partiendo de definiciones, postulados y axiomas con los cuales demuestra teoremas, que a su vez le sirven para demostrar otros teoremas.Hoy en día existen diversas geometrías como la geometría proyectiva, la geometría descriptiva, la geometría analíti-ca, las geometrías no euclidianas, la geometría axiomática desarrollada por el gran matemático inglés David Hilbert (1862 - 1943).

Para su mejor estudio la geometría se ha dividido en dos ramas:

Actualmente la geometría, en sus diversas con-cepciones, tiene muchas aplicaciones como, en la ingeniería y arquitectura.Las construcciones de casas, edificios, puentes, puertos, etc. se han potenciado enormemente desde que contamos con la computadora.Durante estos últimos 30 años han surgido nue-vas aplicaciones tecnológicas de la geometría euclidiana que se ven plasmados en softwares especializados como son: el Autocad, 3D Stu-dio Max, Arq Cad, etc.

CAP. 1.1 Línea Recta

La Geometría plana, que estudia las figuras geométricas cuyos puntos, están en un mis-mo plano. Por ejemplo:

Geometría del espacio, que estudia las figu-ras geométricas cuyos puntos están en más de un plano. Por ejemplo:

1.1.2. Nociones Básicas

1.1.2A. El puntoEl punto o punto geométrico es un concepto abstracto que denota posición en el espacio, que no posee ni longitud, ni anchura ni espesor.

El punto geométrico es la porción de espacio más pe-queña que pueda suponerse. En la práctica se señala la posición de un punto geométrico por un punto de escritura ( · ) o por la intersección de dos trazos (×) y se nombran por letras del alfabeto. El trazo elaborado para representar al punto se llama punto gráfico que, a diferencia del punto geométrico, sí tiene tamaño.

Observación.- Si A y B son puntos diferentes se denota A ≠ B. Debe quedar claro que la nota-ción A = B, corresponde al caso en el que los puntos A y B denotan una misma ubicación, es decir, corresponden a un mismo lugar.

1.1.2B. La línea rectaEn primer lugar a la línea la podemos comprender como un punto, recorriendo el espacio, que no tiene grueso alguno, pero sí longitud o largo.

Las líneas se nombran generalmente por las letras correspondientes a dos o más de sus puntos. En la figura: la línea que pasa por A y B se denota AB , la línea que pasa por C y D se denota CD

.

La línea recta, o simplemente recta, es la línea cuyos trozos o partes pueden superponerse exactamente, cualesquiera que sea el tamaño de dichos trozos y con la sola condición de que coincidan sus extremos.


Asimismo, una recta puede pensarse como un conjunto infinito de puntos. El concepto geométrico abstracto de recta puede visualizarse en forma física como un hilo ten-so que se extiende infinitamente en ambas direcciones.La línea curva, o simplemente curva, es toda línea cuyos trazos o partes no son rectilíneos.

1.1.2C. El planoNuestra noción intuitiva de un plano geométrico es la de una superficie llana, lisa, que se ex-tiende infinitamente en todas las direcciones de la superficie.Un plano es un conjunto de puntos tal que si una recta tiene en común con ella dos de sus pun-tos, los tiene comunes todos, es decir, la recta estará contenida completamente en el plano.Un plano se puede representar por medio de la superficie que forma el agua en calma de un lago, de un espejo llano o una pared lisa, como la parte superior de un pupitre, el piso de la sala de una casa, una hoja de papel o una lámina de vidrio. Todas sugieren la idea geométrica abstracta de un plano o, más precisamente, de una porción de plano.

En la figura se muestra un plano Q, denotado por Q, en el cual se ubican tres puntos: A, B y P. Estos puntos están conte-nidos en la recta L, denotada por L

, y K

es otra recta ubi-cada en el plano Q. Luego se pueden establecer relaciones de pertenencia e inclusión entre estos elementos:

A L B L P L ∈ ∈ ∈

; ; ; L

∈ Q ; K

∈ Q ; L

⊂ Q ; K

⊂ Q L

y K

se llaman rectas coplanares. En base a las nociones fundamentales de: punto, recta y plano, de las definiciones de espacio y figura geométrica, de un conjunto de postulados y del lenguaje conjuntista; los geómetras han construido la ciencia de la geometría.

1.1.3. Definiciones Básicas

OBJETO EJEMPLIFICACIÓNEspacio Geométrico

Es el conjunto formado por todos los puntos. El espacio, lo podemos comprender como lo que llena u ocupa todo el universo.

Figura

Es un subconjunto del espacio formado por líneas o superficies, abiertas o cerradas, respectivamente, con forma y posición.

«F» es una figura cerrada con forma y tamaño, y «P» es un punto de ella. «G» es una figura abierta.

Segmento de Recta

El segmento de recta se define como el conjunto de puntos comprendido entre otros dos de una misma recta y de valor equivalente llamados extremos. Un segmento con extremos A y B se denota por AB o bien BA.

El segmento AB define a la recta AB

de un modo úni-co. Asimismo se dice que un punto «P» está «entre» A y B si P ∈ AB.

OBJETO EJEMPLIFICACIÓN

Puntos Colineales

Tres o más puntos se llaman colineales o alineados, si hay una misma recta que los contiene.

Los puntos A, B y C son colineales.

Rayo

Si A y B son dos puntos de una recta L

, se define el rayo AB, con extremo «A», denotado por , como el conjunto de puntos que resulta de la reunión del segmento AB y de todos los puntos «P», tal que «B» está comprendido entre «A» y «P».

= AB ∪ { P | B está entre A y P}

Asimismo, si el punto «A» está entre «B» y «C», se dice que y son dos rayos opuestos.

Semi Recta

Una semirrecta es un rayo sin su extremo. La semi-rrecta AB se denota por . = – {A}

1.1.4. Postulados y Distancia

1.1.4A. PostuladoLos postulados, llamados también axiomas, son proposiciones que expresan propiedades que satisfacen determinados puntos, rectas o planos, cuya verdad se admite sin pruebas, y que sirven de base a posteriores razonamientos.

1.1.4B. Postulados de la distancia1er.- A cada par de puntos diferentes le corresponde un único número positivo, llamado dis-tancia entre los dos puntos.

2do.- Entre el conjunto de los puntos de una recta y el conjunto de números reales, existe una correspondencia biunívoca, de forma que a cada punto le corresponde un número.

3er.- Dados dos puntos A y B de una recta, es posible elegir un sistema de coordenadas de manera que la coordenada de A coincida con el cero y la de B con un número real positivo.

Ejemplo.- Mostremos la distancia entre A y B mediante una regla graduada en cm.

Entre A y B hay una distancia, denotada por AB, que está dada por el valor que le corresponde a «B» en la regla, de este modo AB es siempre un número positivo.

Observación.- Según estos axiomas, a todo segmento AB le corresponde un número real posi-tivo AB llamado su longitud o distancia entre los puntos A y B.


1.1.5. Definición de Segmento Nulo

Si A = B, el segmento AA se compone de un solo punto, de este modo, un segmento AB es nulo si se verifica que está compuesto de un solo punto.

Según esta definición se infiere que la longitud de un segmento nulo es cero, lo cual se denota así:

AA = {A} , AA = 0

1.1.6. Propiedades de la Distancia

Sean A, B, C y D un conjunto de puntos ubicados en un mismo plano, entonces se cumple que:

1ra.- AB = BA

2da.- Si A ≠ B, se verifica que: AB > 0

3ra.- Un punto C se encuentra en el segmento AB sí y sólo si:

AC + CB = AB

Esta expresión se llama suma de segmentos.

4ta.- Para todo punto D que no se encuentra en el segmento AB se cumple la desigualdad:

AD + DB > AB llamada desigualdad triangular.

Ejemplo 1.- En la siguiente figura mostramos un conjunto de segmentos:

Entonces se puede decir que: AB = 5; BC = 3; CD = 5 ; DE = 3

Además: AB + BC = 8 ; CD + DE = 8

También: AB + CD = 10 ; BC + DE = 6

Asimismo: AC = CE

Finalmente: AE = 5 + 3 + 5 + 3 = 16

Ejemplo 2.- Si A, B C y D son puntos colineales y consecutivos de modo que: AB = CD, BC = 3 y AD = 15, determinamos AB.

Sea AB = x, entonces elaboramos un diagrama indicando los datos para identificar una relación entre éstos y la incógnita «x»:

Por condición: AB + BC + CD = 15

Luego: x + 3 + x = 15 → x = 6

1.1.7. Congruencia Geométrica

1.1.7A. DefiniciónLa congruencia geométrica o congruencia de figuras se define como la relación biyectiva por medio de la cual se establece que dos o más figuras tienen la misma forma y tamaño.

La congruencia de dos figuras F y G se denota así: F @ G,

que se lee: La figura F es congruente con la figura G.

1.1.7B. Congruencia de segmentos

Dos segmentos AM y MB, se dice que son congruentes, lo cual se denota como: AM @ MB, cuando sus longitudes tienen igual valor.

Ejemplo.- En la figura se muestra un rectángulo, entonces se puede decir que:

Los lados congruentes son: AB @ CD ∧ AD @ BC

Las diagonales congruentes: AC @ BD

Observación.- En matemática, la congruencia no se reduce a una igualdad de formas y tama-ños, es además un tipo de relación binaria, cuya aplicación se proyecta hacia los números, funciones, matrices, etc.

1.1.7C. Punto medio de un segmentoUn punto «M» se llama punto medio de un segmento AB, si «M» está entre A y B, tal que:

AM @ MB ∧ AM = MB

Ejemplo.- En la figura mostramos un segmento AB y su punto medio «M».

En este ejemplo los segmentos AM y MB son congruentes dado que:

AM = MB = a


01.- Anota todas las rectas posibles que determi-nan los puntos indicados.

02.- A partir del siguiente gráfico, escribe el resul-tado de cada operación conjuntista.

* AB CD

∩ =

* AD BC

∩ =

* DE AC

∩ =

* AB AC

∩ =

* AB AC DA

∩ ∩ =

* CE BE

∩ =

03.- Si P y Q son dos planos diferentes, escribe (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada una de las operaciones.

P se extiende indefinidamente ( )

MN

∈ P ....................................... ( )

MN

⊂ Q ....................................... ( )

MN

⊂ P ....................................... ( )

A ∈ P ....................................... ( )

P ∩ Q = MN

.......................... ( )

BC

⊂ P ....................................... ( )

A ⊂ P ....................................... ( )

04.- Se tiene la siguiente recta:

Escribe entre paréntesis (V) o (F), según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

05.- Según el gráfico escribe «C» si los puntos son colineales y «NC», si son no colineales.

a. A, B y C ..... ( ) b. A, G y F ..... ( )

c. A, D y C ..... ( ) d. G, B y D ..... ( )

e. D, C y F ..... ( ) f. G, B y A ..... ( )

g. D, B y G ..... ( ) h. B, D y C ..... ( )

APÉNDICE 1Algunos autores prefieren definir los objetos de estudio de la Geometría según el siguiente orden:

A. Definiciones

1ro. Se llama espacio geométrico, en adelante simplemente espacio, al conjunto formado por todos los objetos de la geometría.

2do. Se llama cuerpo geométrico a una porción completamente limitada del espacio.

3ro. Se llaman superficies a los límites de los cuerpos y también a los límites que separan una de otra dos partes de un cuerpo.

4to. Se llaman líneas a los límites de las superficies y también los de dos porciones de una superficie.

5to. Los puntos son los límites de las líneas o de dos porciones de una línea.

Según este orden de definiciones se procede a afirmar que:

a) Un punto que se mueve engendra una línea, ésta, moviéndose, engendra una superficie, y el movimiento de una porción de superficie engendra un cuerpo geométrico.

b) Un conjunto cualquiera de puntos, de líneas, de superficies o de cuerpos geométricos se llama figura geométrica.

B. Línea RectaLa línea recta, o simplemente recta, se define como aquella figura que se prolonga indefinida-mente en sus dos direcciones y que satisface las siguientes condiciones:

1ra. A toda línea recta se la puede hacer coincidir con cualquier otra línea recta, de modo que un punto cualquiera de la primera coincide con un punto cualquiera de la segunda.

2da. Por dos puntos, del espacio, puede pasar una recta y solamente una.

Según esta definición, dos rectas diferentes no pueden cortarse más que en un punto. Obsér-vese que si tuvieran dos puntos comunes, o más, ya no serían distintas.

C. Líneas No Rectasc1) Línea quebrada.- Es la que está formada por porciones de líneas rectas distintas.

c2) Línea curva.- Es la que no tiene ninguna porción rectilínea.

c3) Línea mixta.- Es la que se compone de porciones de línea recta y línea curva.

D. PlanoSe llama plano a una superficie que se extiende indefinidamente en todas direcciones y en el que toda recta que tenga con ella dos puntos comunes, está toda ella contenida en dicha superficie.

Adaptado de: Curso de Geometría, Dr. Luciano Olabarrieta, Editorial El Mensajero del Corazón de Jesús, Bilbao 1944,

3ra Edición.


06.- Observa, identifica y escribe todos los rayos, semirectas y segmentos que hay en la gráfica.

Rayos: ________________________

Semirectas: ________________________

Segmentos: ________________________

07.- La figura muestra cuatro puntos colineales y consecutivos A, B, C y D.

Calcula:

a. AB + CD = _____________

b. AC + BD = _____________

c. BD – AC = _____________

d. AB · BD = _____________

e. (AB – BC) · (CD – BC) = _____________

f. 2AB + 3BC = _____________

g. 2AC + 4AD = _____________

08.- Para determinar de forma gráfica (con compás) el punto medio de un segmento se procede así:

I. Haciendo centro en «A» y «B», se trazan dos arcos de la misma abertura.

II. Se traza una recta por los puntos de intersec-ción de los arcos.

III. El punto medio «M» de AB está dado por la in-tersección de la recta CD

, llamada mediatriz, con el segmento dado.

09.- Ubica gráficamente el punto medio de cada segmento, compruébalo mostrando con tu regla los segmentos determinados.

10.- Usando la abertura de un compás compara los segmentos y anota el que es congruente al segmento dado.

AB @ ____ BC @ ____ CD @ _____

DE @ ____ JK @ ____ FG @ _____

11.- Con respecto al siguiente gráfico:

Calcula y escribe las longitudes de:

a. FG = _____ b. BC = _____

c. BE = _____ d. AC = _____

e. CD = _____ f. CG = _____

g. AG = _____ h. BF = _____

Prob. 01En una línea recta se ubican los puntos A, B y C en el orden indicado, tal que AC + BC = 10. Si «M» es el punto medio de AB, calcular MC.

Graficando y ubicando los datos, donde «M» es el punto medio de AB, entonces: AM = MB = a, además haciendo MC = x, se tiene:

Por dato: AC BC

+ = 10

a + x + x – a = 10

2x = 10 \ x = 5

Prob. 02A, B, C, D y E son puntos colineales y conse-cutivos de tal manera que B, C y D son puntos medios de AC, AE y BE respectivamente. Si CD = 2, calcular AE.

Graficando y haciendo AB = BC = a, enton-ces: AC = CE = 2a y BD = DE = a + 2.

Nos piden: AE = 4a . . . (1)

Del gráfico: 2a = 2 + a + 2 → a = 4

Sustituyendo en (1): AE = 4(4)

\ AE = 16

Prob. 03Sobre una recta se tienen los puntos consecu-tivos A, B, C, D y E de manera que «C» es punto medio de AE y AC = BD. Si además se sabe que: AD – DE = 8, calcular AB.

Considerando la gráfica adjunta la incógni-ta es AB = x.

Como «C» es punto medio de AE, entonces:

AC = CE = a

Por dato: AD DE

− = 8 . . . (*)

También:

AD = x + a y DE = AE – AD = a – x

Y en (*): (x + a) – (a – x) = 8

x + a – a + x = 8

\ x = 4

Prob. 04Sobre una recta se ubican los puntos conse-cutivos A, B y C de modo que BC = 2AB. Si AC = 24, calcular AB.

Elaboramos una gráfico indicando los datos y condiciones del problema:


Según la gráfica adjunta reconocemos que la incógnita es AB = x y BC = 2x. Utilizando la adición de segmentos se tiene:

AB BC

+ = 24

→ x + 2x = 24

3x = 24

\ x = 8

Prob. 05En una recta se eligen los puntos consecuti-vos A, B, C y D de manera que: CD = 3AB, AD = 5BC. Calcular BD sabiendo además que AC = 6.

Graficando según las condiciones:

Según la gráfica: AB = b y BC = a

Luego se establece que: x = a + 3b

Del gráfico: 5a = b + a + 3b → a = b

Como el segmento AC = 6 → a = b = 3

\ x = 12

Prob. 06Se tienen los puntos colineales y conse-cutivos A, B, C y D tal que: AB = 6. Si: AB · BD = AC · CD, calcular CD.

Graficando y ubicando los datos, establece-mos que: CD = x y BC = a.

Reemplazando en la condición:AB BD AC CD

⋅ = ⋅

6(a + x) = (6 + a)x

6x + 6a = 6x + ax

6a = ax

\ x = 6

Prob. 07En la recta se eligen los puntos consecuti-vos A, B, C y D de manera que se cumple: AB BC CD3

= =2 y AD = 60. Calcular AB.

Graficando según los datos:

Condición: AB3

BC2

= = CD

Si: CD = a → AB = 3a ∧ BC = 2a

Según el dato AD = 60, luego se tiene que:

3a + 2a + a = 60 → a = 10

Además: x = 3a = 3(10) \ x = 30 m

Prob. 08Se tienen los puntos colineales y consecuti-vos A, B, C y D tal que AB = 2CD y además: 3AC – BC = 20. Calcular AD.

Considerando la gráfica adjunta, la incógni-ta es x = 3a + b.

Condición: AB = 2CD

Si: CD = a → AB = 2a

Luego en el dato: 3 20AC BC

− =

Reemplazando: 3(2a + b) – b = 20

6a + 3b – b = 20 → 6a + 2b = 20

3 10a bx+ =

\ x = 10

Prob. 09En la recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E de tal forma que las medidas de los segmentos AB, BC, CD y DE están en progresión aritmética de razón 1. Además AE = 46, calcular AB.

Considerando la gráfica adjunta la incógni-ta es AB = x.

Como AB, BC, CD y DE se encuentran en progresión aritmética de razón 1, entonces:

AB = x, BC = x + 1, CD = x + 2 y DE = x + 3

Del dato: AE = 46 → 4x + 6 = 46

4x = 40 \ x = 10

Prob. 10

Sobre una recta se ubican 3 puntos consecuti-vos A, B y C tal que la distancia entre los pun-tos medios de AB y AC es 36. Calcular BC.

Considerando la gráfica adjunta la incógni-ta es BC = x. Por dato:M es punto medio de AB → AM = MB = aN es punto medio de AC → AN = NC = b

Según la gráfica se verifica que:

x = 2b – 2a → x = 2(b – a) . . . (1)

Asimismo: b – a = 36 . . . (2)

De (2) en (1): x = 72

Prob. 11En una recta se ubican los puntos consecuti-vos A, B y C de modo que AC = 30. Deter-minar la distancia entre los puntos medios de AB y BC.

Graficamos los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente, donde MN = x.

Haciendo además que:

AM = MB = a y BN = NC = b

Del gráfico reconocemos que:MN MB BN

= +

= +x a b

Se observa que: AC

( )

= + + +

= +

a a b b

a b30 2

→ 30 = 2· x \ x = 15

Prob. 12

En una recta se ubican los puntos consecuti-vos A, B y C de modo que AC = 10 y BD = 12. Determinar la distancia entre los puntos me-dios de AB y CD.


Graficamos los puntos medios M y N de AB y CD respectivamente, donde MN = x.

Haciendo además que:

AM = MB = a , BC = c y CN = ND = b

Del gráfico reconocemos:MN MB BC CN

= + +

= + +x a c bSe observa que: 2a + c = 10

2b + c = 12

Sumando las igualdades: 2(a + b + c) = 22

→ 2x = 22 \ x = 11

Prob. 13Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, D y luego se ubican «M» y «N» que son los puntos medios de AB y BD respectivamente. Si AB = 12, calcular FN, siendo «F» el punto medio de MD.

Graficando y ubicando los datos y la incóg-nita FN = x, se tiene:

Por dato:

M es punto de AB → AM = MB = a

N es punto medio de BD → BN = ND = b

F es punto medio de MD → MF = FD

Observando el gráfico, establecemos que:

FD = x + b → MF = x + b

También: (x + b) + x = a + b

2x = a . . . (1)

Por dato: AB

= 12

→ 2a = 12

→ a = 6 . . . (2)

Reemplazando (2) en (1): x = 3

Prob. 14Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, verificándose que: AC + BD = 5(AB + CD) y AD = 12. Calcular BC.

En la gráfica elaborada, hemos indicado que:

BC = x

Además hemos establecido que:

AB = a y CD = b

Por condición: AC BD AB CD

+ = +5( )

(a + x) +(x + b) = 5(a + b)

→ 2x = 4a + 4b → x = 2a + 2b

→ a b x+ =2

. . . (1)

Por dato: AD

= 12

De la figura: a + x + b = 12 . . . (2)

(1) en (2): x x2

12+ =

\ x = 8

Prob. 15En una línea recta se tienen los puntos con-secutivos A, B, C y D de modo que: BC = 4, AC + BD = 18 y AB – CD = 2. Calcular: AB · CD.

Haciendo AB = a y CD = b, elaboramos la siguiente gráfica:

En la condición: AC BD

+ = 18

Del gráfico: (a + 4) + (4 + b) = 18

→ a + b = 10 . . . (1)

También: AB – CD = 2

→ a – b = 2 . . . (2)

De (1) ∧ (2): a = 6 ∧ b = 4

Nos piden: AB· CD = (6)(4)

\ AB· CD = 24

Prob. 16Sobre el rayo OY

se ubican los puntos A, B y C consecutivamente de modo que los puntos A y B distan del origen «O», «a» y «b» res-pectivamente. Calcular la longitud de OC, si:

AC BCAB+ = 3

2

Graficando de acuerdo con los datos dados reconocemos que la incógnita es OC = x.

De donde se deduce que:

AC = x – a , BC = x – b y AB = b – a

Y al sustituir en la condición dada se tiene:( ) ( )x a x b

b a− + −

−= 3

2 \ x b a== −−5

4

Prob. 17Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos M, N, P, Q, tal que: PQ = 3NP y 3MN + MQ = 4. Determinar la longitud de MP.

Como PQ = 3NP, hacemos:

NP = a ∧ PQ = 3a

Elaboramos un gráfico en el que MP = x.

De este gráfico deducimos que:

MN = x – a ∧ MQ = x + 3a

En la condición: 3 4MN MQ

+ =

3(x – a ) + (x + 3a) = 4

3x – 3a + x + 3a = 4

→ 4x = 4 \ x = 1

Prob. 18Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; y luego se ubican los puntos medios M y F de AB y MC respectiva-mente. Si: AB + FC – AM = 22, calcular AF.

Graficando según los datos la incógnita es:

AF = x


Por dato «M» es punto medio de AB.

→ AM = MB = a

F es punto medio de MO → MF = FC = b

Por operaciones con segmentos: x = a + b

Por datos: AB FC AM

+ − = 2

Sustituyendo: 2a + b – a = 2

→ a + b = 2

\ x = 2

Prob. 19

Sobre una línea recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C, D y luego se toman «M» y «F» puntos medios de AB y CD respectiva-mente. Si: AC + BD = 50, calcular MF.

Elaboramos una gráfica indicando los datos y la incógnita MF = x.

Por datos:

M es punto medio de AB → AM = MB = a

F es punto medio de CD → CF = FD = b

Sea: BC = c

Según la gráfica: x = a + c + b

\ x = 25

Prob. 20

Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que: CD = 4AC y BD – 4AB = 20. Calcular BC.

Graficando y ubicando datos la incógnita es BC = x.

Como CD = 4AC, luego si:

AC = a → CD = 4a

Por operaciones con segmentos:

BD = x + 4a ∧ AB = a – x

En la condición: BD – 4AB = 20

→ (x + 4a) – 4(a – x) = 20

→ x + 4a – 4a + 4x = 20

\ x = 4

Prob. 21

Sobre una línea recta se consideran los puntos A, B, C, de forma que «Q» es punto medio de AC. Si BC – AB = 6, calcular BQ.

Graficando y ubicando datos la incógnita es:

BQ = x

Como «Q» es punto medio de AC.

→ AQ = QC = a

Del gráfico: AB = a – x

Por dato: BC AB

− = 6

(x + a) – (a – x) = 6

x + a – a + x = 6 \ x = 3

Prob. 22Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que: BC = CD y AC · BC = 20. Determinar: AD2 – AB2.

Graficando y ubicando datos:

Sea: AB = a y BC = bComo: BC = CD → CD = bPor dato: AC· BC = 20 → (a + b)· b = 20 . . . (1)Piden: AD2 – AB2 → (a + 2b)2 – a2

Luego: 4

20

b a b( )+

. . . (2)

\ AD2 – AB2 = 80

Prob. 23Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que se cumple: AB · BD = AC · CD y AB = 8. Determinar CD.

Graficando y ubicando datos, la incógnita es: CD = x.

Sea: BC = aPor suma de segmentos: BD = a + x AC = 8 + 2Condición: AB BD AC CD

⋅ = ⋅

Reemplazando: 8(a + x) = (8 + a)x 8a + 8x = 8x + ax \ x = 8

Prob. 24Sobre una recta se consideran los puntos conse-cutivos A, B, C y D, tal que: CD = 2AB; AB = a y BD = b. Determinar AC.

Graficando y ubicando los datos, la incógni-ta es: AC = x.

Como: CD = 2AB → CD = 2a

Por operaciones con segmentos:

x + 2a = a + b \ x = b – a

Prob. 25Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F tal que:

AC + BD + CE + DF = 91 y BE AF= 58

Calcular AF.

Graficando y ubicando datos:

Condición: AC + BD + CE + DF = 91

del gráfico: a + b + b + c + c + d + d + c = 91

a b c d e b c d+ + + + + + + =

91

Reemplazando: AF + BE = 91

Sustituyendo: AF AF+ =58

91

→ 13AF = 91· 8

\ AF = 56


Prob. 26

A, B, C y D, son puntos colineales y consecuti-vos con la condición que AB = 2(BC) = 3(CD). Sean P y Q puntos tales que P ∈ AB ∧ Q ∈ CD, si AP – CQ = 40 y PB @ QD. Calcular PQ.

Elaboramos el diagrama correspondiente indicando los datos del problema:

Consideremos que: AB = 6a

→ BC = 3a ∧ CD = 2a

Además hacemos que: PB = QD = b

Luego del gráfico: x = b + 3a + 2a – b

→ x = 5a . . . (1)

Por condición del problema:

AP – CQ = 40

Sustituyendo: 6a – b – (2a – b) = 40

4a = 40

→ a = 10 . . . (2)

Reemplazando (2) en (1): x = 5(10)

\ x = 50

Prob. 27

En una línea recta se ubican los puntos conse-cutivos P, A, B, C y D; con la condición que: 7(PC) = 3(PD) + 4(PB) y 3(AD) + 4(AB) = 7. Calcular AC.

En un diagrama ubicamos los puntos dados.

Del dato: 7(PC) = 3(PD) + 4(PB) . . . (*)

Como: PC = PA + AC; PD = PA + AD

y: PB = PA + AB

Reemplazando en (*) se tiene:

7(PA + AC) = 3(PA + AD) + 4(PA + AB)

7PA + 7AC = 3PA + 3AD + 4PA + 4AB

Reduciendo: 7AC = 3AD + 4AB

Pero: 3(AD) + 4(AB) = 7

Sustituyendo: 7AC = 7 \ AC = 1

Prob. 28

Dado el segmento AB y un punto «M» pertene-ciente a él. Demostrar que el producto AM · MB es máximo sí y sólo si «M» es el punto medio de AB.

Ubicamos los puntos A, M y B en una línea recta que a continuación representamos gráficamente.

Hacemos que: AB = a ∧ AM = x

Para demostrar que «M» es el punto medio de AB bastará demostrar que x a=

2.

Sea: K = AM· MB

→ K = x(a – x) = -(x2 – ax)

→ K = −( ) −

= − −( )- x a a a x a2 4 4 2

2 2 2 2

Observamos que el valor máximo de «K» se

obtiene cuando x a−( )22

sea mínimo para lo

cual x a−2

, debe ser cero, de donde:

x a== 2 l.q.q.d.

Prob. 29

Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB + CD = 12, luego se ubican «M» y «N» que son los pun-tos medios de AC y BD respectivamente. Cal-cular MN.

Graficando y ubicando los datos, la incógni-ta es MN = x.

Como «M» es punto medio de AC, deduci-mos que:

AM = MC = a

Del mismo modo «N» es punto medio de BD, luego:

BN = ND = b

Del gráfico se observa: AB = a + x – b

CD = b + x – a

En la condición: AB + CD = 12

(a + x – b) + (b – x + a) = 12

→ 2x = 12 \ x = 6

Prob. 30

A, B, C y D son puntos colineales y consecu-tivos tal que «B» es el punto medio de AC y

AD CD(AC)⋅ + =

2

449 . Calcular BD.

Graficando y considerando AB = BC = a y BD = x, se tiene:

Por condición del problema:

AD CD AC⋅ + =( )2

449 . . . (*)

Como AD = a + x ; CD = x – a y AC = 2a

Sustituyendo en (*):

( ) ( ) ( )x a x a a+ + − + =24

492

x a a2 2 24

449− + =

x2 – a2 + a2 = 49

x2 = 49

\ x = 7

Prob. 31Dados los puntos colineales y consecutivos: P, Q, R, S, T, U, tal que:

PQ QR RS ST TU= = = =2 3 4 5 y PR = 9

Calcular PU.

Graficando y considerando PQ = a, se ob-tienen:

QR = 2a ; RS = 3a ; ST = 4a y TU = 5a


Nos piden: PU = a + 2a + 3a + 4a + 5a

→ PU = 15a . . . (*)

Del gráfico: a + 2a = 9 → a = 3

Sustituyendo en (*): PU = 15(3)

\ PU = 45

Prob. 32A, B, C y D son puntos colineales y consecu-tivos de modo tal que AB · CD = AD · BC, AB · BC = x, AD · CD = y. Calcular BD.

Esquematizamos el problema y ubicamos los datos correspondientes.

Haciendo:

BD = a → BC = a – CD ∧ CD = a – BC

Sustituyendo en la primera condición:

AB(a – BC) = AD(a – CD)

AB· a – AB· BC = AD· a – AD· CD

Reemplazando: AB· a – x = AD· a – y

Agrupando y factorizando:

y – x = a(AD – AB)

Pero: AD – AB = a

Luego: y – x = a2 \ a y x== −−

Prob. 33P, Q, R y S son puntos ubicados en una línea recta en forma consecutiva tal que PR es me-dia proporcional entre PS y QS. Calcular el valor numérico de la expresión:

M 7( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )= + −RS PR PQ PR QS RSRS PR

Construimos un esquema donde ubicamos los puntos y los datos correspondientes, además hacemos PR = b; PQ = a y QS = c.

Por condición del problema: b2 = ac de la expresión:

M RS PR PQ PR QS RS

RS PR= + −7( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

M PQ PR QS RSRS PR

= + ⋅ − ⋅⋅

7

Sustituyendo: M = + − − −−

7 ( ) ( )( )

a c b c a ba b b

Operando: M = + − − +−

7 ab bc ac bca b b( )

Reduciendo: M = + −−

7 ab aca b b( )

Reemplazando: M = + −−

= +7 7 12

2ab bab b

\ M = 8

Prob. 34En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D que forman una cuaterna armónica. Si: AB

BCADCD

= , se cumple

que: 2 1 1 1 22

kk

+⋅ = + − +AD BC BC AD

.

Calcular AC, sabiendo que la medida de AC y «k» son números primos.

Del gráfico se observa que:AB = AC – BC y CD = AD – AC

Entonces al reemplazar en (*):

AC BCBC

ADAD AC

− =−

AD· AC - AC2 - AD· BC + BC· AC = AD· BC

Ubicamos los sumandos convenientemente y factorizamos AC:

(AC)2 = AC(AD + BC) – 2AD· BC

Dividiendo ambos miembros por:

AC· BC· AD

Se tendrá: ACAD BC BC AD AC⋅

= + −1 1 2

Comparando esta expresión con el dato:2 1 1 1 2

2k

k+⋅

= + =+AD BC BC AD

Se tiene: AC = 2k + 1 = k + 2 → k = 1

\ AC = 3

Prob. 35En una línea recta se ubican los puntos consecu-tivos A1, A2, A3, A4, A5 y así sucesivamente. Si: A1A2 = 5; A2A3 = 1; A A3 4

15

= ; A A4 5125

= ;

...; calcular el límite de la suma de las medidas de estos segmentos consecutivos.

Graficamos y ubicamos los puntos así como los valores numéricos correspondientes.

Sea: S = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + .....

Luego: S = + + + +5 1 15

125

.....

Ya que la suma pedida es una serie de nú-meros que forman una progresión geomé-trica de razón 4/5 luego:

S 1er términorazón

S=−

→ =−15

1 15

S = 545

\ S == 254

Prob. 36En una recta se consideran los puntos conse-cutivos A1, A2, A3, A4, ....., An de modo que se determinan (3n – 201) segmentos consecu-tivos los cuales tienen sus medidas relaciona-das por:

A A A A A A A A3 n n1 2 2 3 4 112

13

11

= ( )= ( )= = − ( )−...n

si A23A67 = 9790. Calcular A1An.

Graficamos y ubicamos los datos respec-tivamente así como los valores de los seg-mentos: A1A2 = a , A2A3 = 2a , A3A4 = 3a ..... y An – 1An = (n – 1)a

Nos piden calcular:A1An = a + 2a + 3a + ... + (n – 1)a

→ A An1 21= −a n n( ) . . . (1)

Por dato: A23A67 = 9790

A1A67 – A1A23 = 9790

Luego: a a2

67 662

23 22 9790( )( ) ( )( )− =

De donde: a = 5 . . . (2)Por condición del problema:

3n – 201 = n – 1 → n = 100 . . . (3)Sustituyendo (2) y (3) en (1):

A An152

100 100 1= ⋅ −( )

\ A1An = 24750


01.- Se ubican los puntos A, B , C y D sobre una línea recta de manera que AC = 5 y BD = 7. Calcular BC, si: AB + CD = 8.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

02.- Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que: AC + AB = 12, si «M» es punto medio de BC, calcular AM.A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

03.- Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C, de tal manera que: AB – BC = 10. Calcular MB, si «M» es punto medio de CA.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 10

04.- Dado un segmento AB y su punto medio «O», ¿a qué distancia de «O» se tendrá que ubicar el punto «P» para que PA – PB = 8?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

05.- Sobre una recta se toman los puntos con-secutivos P, Q, R y S. Si: PQ = 6 y RS = 2, determinar la longitud del segmento que une los puntos medios de PR y QS.A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

06.- Sobre una recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C y D tal que: CD = 3 AB y AD + 3BC = 60. Calcular AC.A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 30

07.- Sobre una recta se tienen los puntos A, B, C y D tal que: 4AC = CD. Calcular BC, si: BD – 4AB = 20.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

08.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AB = 10 y CD = 20; M y N puntos medios de AC y BD. Encontrar MN.

A) 12 B) 18 C) 20 D) 15 E) 12

09.- Sobre una recta se dan los puntos conse-cutivos M, A y B. Siendo «O» punto medio de AB, determinar MO, si MA = 8, AB = 10.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 18

10.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si: AB + CE = 16; BE – CD = 14 y AE – DE = 12, calcular AE.

A) 20 B) 22 C) 21 D) 23 E) 24

11.- Sobre una recta se toman 4 puntos conse-cutivos A, B, C y D tal que AB · CD = AD · BC. Calcular AC, si: AB = 4; AD = 6.

A) 5 B) 4 C) 6 D) 5,4 E) 4,8

12.- Sobre una recta se toman los pun-tos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que: AC + BD + CE + DF = 54, si: 5BE = 4AF. Calcular: AB + EF

A) 6 B) 5 C) 9 D) 4 E) 7

13.- En una recta se toman los puntos conse-cutivos A, B, C, D y E, tal que: AC = AD/2; 3DE = AE y 4AB = BC. Calcular BD, si: CD = 5.

A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 E) 6

14.- A, B, C y D son puntos colineales conte-nidos en una recta tal que: n · AC = m · CD y m · BD – n · AB = m · n. Determinar BC.

1.1. Línea Recta

A) m nmn+ B) mn

m n+ C) mnm n−

D) m nm n

+− E) n

m n+

15.- En una recta tenemos los puntos consecu-tivos A, B, C y D donde: AD · AB = 3AC · CD y 1 1 3

AC CD+ = . Calcular AB.

A) 1 B) 1/5 C) 1/2 D) 1/4 E) 1/3

16.- Sobre una recta se dan los puntos con-secutivos A, B, C y D de tal manera que: 5AC = 3CD y 3BD – 5AB = 40, calcula BC.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8

17.- Sobre una recta se ubican los puntos conse-cutivos P, Q, R y S tal que «R» es punto medio de QS. Si: PS2 – QP2 = 16QS, calcular PR.A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 16

18.- Sobre una recta se dan tres puntos consecutivos M, A y B tal que: AB = 2 y MA · MB = 24. Calcular la distancia de «M» al punto medio de AB.A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 12

19.- Dada una recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C y D tal que: AB · BD + AC · CD = AC · BD y AB · CD = 324Calcular BC.A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 22

20.- Sobre una recta se toman los puntos con-secutivos A, B, C, D, y E: M y N son puntos medios AD y BE respectivamente. Además MC = CN, si AB + DE = 32, calcular MC.A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

21.- Sobre una recta se toman los puntos con-secutivos P, Q, R y S tal que «R» es punto medio de QS; PQ · PS = 40 y QS = 6. Deter-minar PQ.A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5

22.- Se tienen los puntos colineales A, B, C y D tal que: AB + CD = 16; BM – MC = 2. Eva-luar CD; siendo «M» punto medio de AD.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 14

23.- Sobre una recta se toman los puntos con-secutivos O, A, B, C; cumpliéndose:

1 1 1OA OB OC

= +

Expresar OA en términos de AB y AC.

A) AB AC+2

B) AB + AC

C) AB AC⋅ D) AB – BC

E) AB AC⋅2

24.- Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos R, A, C, S, O; cumpliéndose: RS = SO; RA = AS, RC + AS + CO + RO = 72;

1 2 1AC RO

+ = . Calcular: AC

A) 15/16 B) 16/15 C) 10/7

D) 7/12 E) 5/18

25.- En una recta se toman los puntos conse-cutivos A, B, C y D. Luego se toman M y F puntos medios de AB y CD respectivamente. Determinar MF, si: AC = 18, BD = 34.

A) 10 B) 15 C) 26 D) 30 E) 35

26.- En una recta se tienen los puntos conse-cutivos A, B, C y D de modo que: AC > CD y se considera el punto medio «M» de AD, calcular MC, si «C» es punto medio de BD y AB = a.

A) a/2 B) a C) 2a D) a/3 E) a/5

27.- Sobre una recta se toman consecutiva-mente los puntos A, B, C, D, E y F, luego se toman los puntos medios de AB y EF, M y N respectivamente, calcular MN, si: AC = 20; BD = 22; CE = 30; DF = 40.

A) 14 B) 49 C) 56 D) 28 E) 42


28.- Se tienen los puntos colineales y conse-cutivos A, B, M y C, tal que «M» es punto medio de BC, además: (AM)2 + (BM)2 = 20. Calcular: (AB)2 + (AC)2.A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20

29.- Sobre una recta se toman los puntos con-secutivos A, B y C, luego se toman los puntos medios «M» y «N» de AB y MC respecti-vamente. Simplificar la siguiente expresión: AB + NC – AM.A) AC B) MN C) AN D) NC E) BC

30.- Ubicando consecutivamente los puntos A, B, C, D y E, tal que:

BD + AC + BE + AD + CE = AE · BD

evaluar «x», si: x = +1 1AE BD

.

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0,5 E) 2,5

31.- Se dan los puntos colineales y consecuti-vos A, B, C y D tal que «B» es el punto medio de AD y AD = 2CD + 9. Calcular BC.A) 3,5 B) 4,5 C) 5 D) 4 E) 3

32.- Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si:AB · CD = kBC · AD y 1 12

AB AD AC+ = −k k ,

determinar «k».A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3 E) 4

33.- A, B, C y D son puntos colineales y con-secutivos, si AC es media proporcional entre

AD y BD, determinar k = −( )2 1ADAC

ABCD

.

A) 1 B) 2 C) 0,5 D) 3 E) 4

34.- Al dividir un cierto segmento en partes cuyas medidas son directamente proporciona-les a 1/3, 1/4 y 1/2 se obtienen tres segmen-tos, el segundo de los cuales mide 12 cm. La suma, en cm, de las medidas del segundo y tercer segmento es:

A) 38 B) 36 C) 39 D) 40 E) 37

35.- Sobre una recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C, D, E y F, tal que «D» es el punto medio de CE. Si AC @ CE y BD @ DF, calcular el valor numérico de la expresión:

AB BEAC EF

2 2

2 2++

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

36.- O, A, B y M son puntos colineales y con-secutivos tales que: MA MB AB+ = 3

2. Cal-

cular OM en función de OA y OB.

A) 4 24

( ) ( )OB OA+ B) 3 24

( ) ( )OB OA−

C) 54

( ) ( )OB OA− D) 34

( ) ( )OB OA−

E) 54

( ) ( )OB OA+

37.- En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo «C» punto medio de BD. Simplificar:

K = ++

( ) ( )

( ) ( )

AB AD

AC BC

2 2

2 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

38.- A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tales que AB + DE = 24, se ubican M y N puntos medios de AD y de BE respectivamente, siendo MC = NC. Calcular MC.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

39.- Se dan los puntos consecutivos A, B, C y D sobre una recta de modo que: (AC)2 = AD · BD. Calcular el valor de la expresión:

AB AC BD CDCD AC

⋅ − ⋅⋅

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1/2

40.- Dados los puntos colineales y consecuti-vos A, B, C y D se sabe que: 2 3AB

ADBCCD

= y 2 5 1

BC AC− = . Calcular CD.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

41.- Dados los puntos colineales y consecuti-vos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Si: BI AJ= 5

7,

CH BI= 34

( ) y AD + BE + CF + DG + EH +

FI + GJ = 63. Calcular AJ.A) 20 B) 25 C) 28 D) 30 E) 32

42.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB · CD = AD · BC. Si: a b d

AC CD BD AB+ = +c ,

calcular: a + b + c + d.A) 6 B) 3 C) 2 D) 5 E) 8

43.- En una línea recta se consideran los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que: PQ

QRPSRS

= ,

QRRS

= 47 y PSPQ

= 96 . Calcular PR.

A) 10 B) 9 C) 8 D) 6 E) 7

44.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D, si se sabe que AC = m , AB · AD = BC · CD y BC2 – AB2 = AB · CD, calcular (CD)2.

A) m2 B) m C) m D) m2

E) m2

2

45.- En una línea recta se consideran los pun-tos consecutivos G, R, C y M. Si:

GR · CM(2b – 1) = GM · RC ya b c+ + + = +3 3 11 4GC GR GM

, calcular: a + 2b + 3c.

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

46.- Se tiene los puntos colineales y con-secutivos A, B, C y D tal que AB = 2(CD);

(BC)2 = AB · CD y 1 1 12CD BD

+ = .

Calcular AB.A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

47.- A, C, M y B son puntos colineales y conse-cutivos tal que AC @ CB, 1

22 1

( )MB AM AC= −

y AM · AB = 8. Calcular MB.

A) 4 B) 2 C) 2 D) 6 E) 3

48.- Sobre una recta se han tomado los puntos A, B, O y C consecutivos tal que «O» es el punto medio de BC. Si: AB · AC + BO2 = 36, calcular AO.A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

49.- Se tienen los puntos colineales P, A, B, C, D y E dispuestos de modo que:

5PC = 2PD + 3PBCalcular AC, si: 2AD + 3AB = 15.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

50.- A, B, C, D, E y F son puntos colineales en una recta L

donde: AD + BE + CF = 85, AF BE= 9

7; CD BE=

7. Calcular CD.

A) 7 B) 5 C) 9 D) 17 E) 16

01 02 03 04 05 06 07 08B C D D C C D D09 10 11 12 13 14 15 16D C E A C B A D17 18 19 20 21 22 23 24C B D C B C C B25 26 27 28 29 30 31 32C A C A C D B B33 34 35 36 37 38 39 40B B B C B C D C41 42 43 44 45 46 47 48C A E C C D C C49 50C B

CLAVES

plana, que estudia las figuras , que estudia las figu CAP ...

Documents

Transcript of plana, que estudia las figuras , que estudia las figu CAP ...