Guía Nº2 Teorema de Pitágoras Matemática 3º Año ES 2020

Apellido y Nombre:

División: Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Guía Nº2 – Teorema de Pitágoras 1 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón.

Nació en la isla de Samos, no muy lejos de Mileto, el lugar donde nació Thales. Algunos pintan a

Pitágoras como alumno de Thales, pero eso no parece muy probable debido a la diferencia de

casi medio siglo entre ambos. Lo que sí es muy probable que Pitágoras haya ido a Babilonia y a

Egipto, e incluso a la India, para tener información de primera mano sobre matemática y

astronomía. Pitágoras fue contemporáneo de Buda, de Confucius y de Lao-Tze, de manera que el

siglo estaba en plena ebullición, tanto desde el punto de vista de la religión como de la

matemática. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde

fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como

pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos debido,

en parte, a la pérdida de todos los documentos de esa época.

Entre las amplias investigaciones realizadas por los pitagóricos se encuentran :

Astronomía : fueron los primeros en considerar la Tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Esto marcó un importante avance en el pensamiento

científico clásico.

Geometría : el gran descubrimiento de la escuela fue el Teorema de la hipotenusa, conocido como “Teorema de Pitágoras”. Este teorema fue descubierto en una escritura en Babilonia, entre

1900 y 1600 aC. Pitágoras vivió entre 560 y 480 aC pero, si bien se le adjudica a él la solución del

problema, no está claro si fue él o alguno de sus discípulos. E incluso esta posibilidad tampoco es

necesariamente cierta.

Aritmética : sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los

cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Hasta ese momento, los únicos números que se

conocían eran los racionales. Cuando Pitágoras y su gente descubrieron el famoso teorema,

plantearon la posibilidad de trabajar con un triángulo cuyos catetos midieran 1 (una unidad de

medida) ; por lo tanto, la hipotenusa tiene que medir 2 . Este número presentó inmediatamente

un problema : 2 , ¿es racional? ¿existe una fracción que represente a 2 ? Luego de varias

demostraciones comprobaron que no es racional, Eso abrió un campo nuevo, inexplorado y muy

fructífero : el de los números irracionales. Juntos, los racionales y los irracionales componen el

conjunto de los números reales. Son todos los números que necesitamos para medir en nuestra

vida cotidiana.

Los pitagóricos, a través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.

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Se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un

ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

En el dibujo que está a continuación, vemos todos los elementos de un

triángulo rectángulo.

Tiene un ángulo recto (mide 90º) y sus otros dos ángulos son agudos (miden menos de 90º).

El ángulo recto, en el triángulo rectángulo, está formado por los dos lados de menor longitud, conocidos como catetos.

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La longitud de la hipotenusa siempre es menor que la suma de los catetos.

La hipotenusa, por otra parte, siempre es más extensa que cualquiera de los dos catetos.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Los triángulos rectángulos isósceles tienen sus ángulos agudos iguales (ambos miden 45º) y sus catetos, también, iguales.

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º.

Para poder definir el Teorema de Pitágoras vamos a ayudarnos con una herramienta llamada

GEOGEBRA.

http://geogebra.org/m/h4yhqqns

Escaneando el código QR o clickeando sobre el enlace web que está a su derecha, accederemos a un

archivo creado con GEOGEBRA.

Utilizaremos la figura de trabajo y la información detallada de ese archivo, para tratar de definir

el Teorema de Pitágoras, y para ello completaremos la siguiente tabla e intentaremos llegar a

alguna conclusión.

Para completar la tabla con distintas medidas debemos Mover y variar la posición de los puntos D

y/o E.

A la derecha del triángulo aparecerán todos los datos necesarios para completar la tabla que se

encuentra a continuación.

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ (cm)

𝐶𝐸̅̅ ̅̅ (cm)

𝐷𝐸̅̅ ̅̅ (cm)

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 2 (cm

2)

𝐶𝐸̅̅ ̅̅ 2 (cm

2)

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 2 + 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ 2 (cm

2)

𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 2 (cm

2)

¿Qué puedes observar que sucede con los valores de las dos últimas columnas?

¿Crees que si realizas más mediciones esto cambiará o se mantendrá?

De acuerdo a la conclusión que hayas obtenido completa la definición y la fórmula a

continuación.

http://geogebra.org/m/h4yhqqns

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Guía Nº2 – Teorema de Pitágoras 5 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Importante: En los ejercicios a resolver, debes realizar una figura de análisis, en la que

colocarás los datos que fueron dados para resolver la situación problemática. Además

debes indicar claramente que estás calculando en cada momento.

1. De acuerdo con los datos, calcular el valor de los lados restantes, en un triángulo abc,

rectángulo en �̂�. a. 𝑏𝑐̅̅ ̅ = 13𝑐𝑚, 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 10𝑐𝑚 b. 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 9𝑚𝑚, 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 12𝑚𝑚 c. Triángulo rectángulo isósceles, 𝑏𝑐̅̅ ̅ = 25𝑑𝑎𝑚

2. En el triángulo abc, rectángulo en �̂�, se verifica que 𝑏𝑐̅̅ ̅ = 10cm y 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 6cm. Averiguar 𝑎𝑏̅̅ ̅.

3. Dada la siguiente figura, calcular 𝑏𝑐̅̅ ̅ y 𝑎𝑑̅̅̅̅

4. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,5m y 8,3m.

5. Calcular el perímetro del trapecio rectángulo abcd que se muestra en la siguiente figura (AYUDA: Traza la altura que pasa por el punto C)

Guía Nº2 – Teorema de Pitágoras 6 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

6. Hallar la superficie de un triángulo equilátero de 4dm de lado. (AYUDA: Traza su altura)

7. Calcular el perímetro en forma exacta (no realizar la aproximación decimal) de:

a. Un triángulo abc rectángulo en �̂�, sabiendo que 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 3√3𝑚 y 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 4√3𝑚.

b. Un triángulo abc isósceles, sabiendo que 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 𝑏𝑐̅̅ ̅, 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 8√7𝑑𝑚 y la altura mide

3√7𝑑𝑚.

c. Un rectángulo abcd, sabiendo que 𝑎𝑐̅̅ ̅ = √125𝑘𝑚 y 𝑎𝑑̅̅̅̅ = √80𝑘𝑚.

8. Calcula el perímetro de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 7,2mm y 0,48cm respectivamente (Recuerda: Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente por

su punto medio y son bisectrices de sus ángulos).

9. El perímetro de un rectángulo es igual a 18hm. Si la base supera al duplo de la altura en 3hm, ¿cuál es la longitud de sus diagonales?

10. La torre Eiffel proyecta a las 15hs una sombra de 55m de largo (desde el centro de su base). Si se mide la distancia entre la parte más alta de la torre y el punto donde termina la sombra

tenemos 30,5dam. Calcular la altura de la torre.

11. Alejandro compró una escuadra que en sus lados más cortos mide 20cm y 21cm. ¿Cuánto mide su lado más largo?

12. La altura de un arco de fútbol reglamentario es de 2,4m y la distancia desde el punto de penal hasta la raya de gol es de 10,8m. ¿Qué distancia recorre una pelota que se patea desde

el punto de penal y se estrella en el punto central del travesaño?

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1)

a) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 8,31𝑐𝑚 b) 𝑏𝑐̅̅ ̅ = 15𝑚𝑚

c) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 25√2𝑑𝑎𝑚 ≅ 35,36𝑑𝑎𝑚

2) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 8𝑐𝑚

3) 𝑏𝑐̅̅ ̅ = 18,36𝑐𝑚 𝑎𝑑̅̅̅̅ = 7,94𝑐𝑚

4) 𝑃 = 25,34𝑚

5) 𝑃 = 24𝑐𝑚

6) 𝑆 = 6,92𝑑𝑚2

7)

a) 𝑃 = 12√3𝑚

b) 𝑃 = 18√7𝑑𝑚

c) 𝑃 = 14√5𝑘𝑚

8) 𝑃 = 17,32𝑚𝑚

9) 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 7,28ℎ𝑚

10) 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 300𝑚

11) 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚á𝑠 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 29𝑐𝑚

12) 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 10,28𝑚