UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA-SEDE QUITO

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA MECÁNICA

OCTAVO NIVEL

“TEORÍA DE CONTROL”

“Ejercicios PID’S”

CARLOS BRITO RUEDA

Quito, Febrero, 2012

CONTROLADOR HIDRAULICO

1.- La figura muestra un controlador PID hidráulico de

tubos a chorro. El fluido hidráulico se expele del tubo

a chorro. Si el tubo a chorro se cambia hacia la

derecha de la posición neutral, el pistón de potencia

se mueve a la izquierda, y viceversa. La válvula del

tubo a chorro no se usa tanto como la válvula de la

aleta, debido a un gran flujo nulo, a una respuesta

más lenta y a características impredecibles. Su

principal ventaja estriba en su insensibilidad a los

fluidos sucios. Suponga que el pistón de potencia se

conecta a una carga ligera, de modo que la fuerza de

inercia del elemento de la carga es insignificante en

comparación con la fuerza hidráulica que desarrolla el

pistón de potencia.

Que tipo de acción de control produce este

controlador?

Solución. Defina como x el desplazamiento de la tobera a chorro a partir de la

posición neutral y como y el desplazamiento del pistón de potencia. Si la tobera a

chorro se mueve a la derecha un desplazamiento x pequeño, el aceite fluirá al lado

derecho del pistón de potencia y el aceite del lado izquierdo del pistón de potencia

regresará al drenaje. El aceite que fluye hacia el cilindro de potencia está a una

presión alta; el aceite que fluye desde el cilindro de potencia al drenaje está a una

presión baja.

La diferencia de presión resultante provoca que el pistón de potencia se mueva a

la izquierda. Para un desplazamiento pequeño de la tobera a chorro x, el flujo q

hacia el cilindro de potencia es proporcional a x; es decir:

Para el cilindro de potencia:

En donde A es el área del pistón de potencia y p es la densidad del aceite. De este

modo:

En donde K = Ki d(Ap) = constante. Por tanto, la función de transferencia Y(s)/X(s)

es:

CONTROLADOR ELECTRÓNICO

2.- Considere el circuito electrónico con dos amplificadores operacionales que

aparecen en la figura. Se trata de un controlador PID electrónico, en el cual la

función de transferencia contiene un integrador y un término de retraso de primer

orden. Obtenga la función de transferencia de este controlador PID.

Solución. Dado que:

Y:

Tenemos que:

Así mismo:

En consecuencia:

Observe que RICI y R2C2 determinan las ubicaciones de los ceros del

controlador, en tanto que R3 afecta la ubicación del polo en el eje real negativo.

R5/R4 ajusta la ganancia del controlador.

CONTROLADOR NEUMATICO

3.- Considere el sistema de control PID del nivel de líquido de la figura. Suponga que el punto de definición del controlador PID está fijo. Suponiendo una perturbación escalón de magnitud DO, determine el error. Considere que DO es pequeña lo mismo que las variables a partir de sus valores en estado estable respectivos. El controlador es proporcional. Si el controlador no es proporcional sino integral, cuál es el error en estado estable? Solución. La figura es un diagrama de bloques del sistema cuando el controlador es proporcional con una ganancia de K,,. (Suponemos que la función de la válvula neumática es unitaria.) Dado que el punto de ajuste está fijo, la variación en el punto de ajuste es cero o X(s) = 0. La transformada de Laplace de h(t) es:

Entonces:

Por lo tanto:

Dado que:

Obtenemos:

La solución en el tiempo para t > 0 es:

Por tanto, la constante de tiempo es RCI(1 + K,R). (Ante la ausencia del

controlador, la constante de tiempo es igual a RC.) Conforme la ganancia del

controlador crece, la constante de tiempo disminuye.

El error en estado estable es:

Conforme la ganancia Kp del controlador crece, el error en estado estable, o el

offset, se reduce. Por tanto, matemáticamente, entre más grande es la ganancia

Kp, más pequeños son el offset y la constante de tiempo. Sin embargo, en los

sistemas prácticos, si la ganancia Kp del controlador proporcional llega a un valor

muy grande, puede producirse una oscilación en la salida, dado que en nuestro

análisis no se consideran todos los retrasos pequeños y todas las constantes de

tiempo pequeñas que existen en el sistema de control real. (Si en el análisis se

incluyen estos retrasos y constantes de tiempo pequeños, la función de

transferencia ge vuelve de un orden mayor y, para valores muy grandes de Kp,

existe la posibilidad de oscilación o incluso la inestabilidad.)

Si el controlador es integral, suponiendo que la función de transferencia del

controlador es:

Obtenemos:

El error en estado estable para una perturbación escalón D(s) = Dd(s) es:

Por tanto, un controlador integral elimina un error en estado estable o un offset

debido a la perturbación escalón. (El valor de K debe elegirse para que la

respuesta provocada por la entrada del comando y/o la perturbación se amortigüe

con una velocidad razonable.)

CONTROLADOR MECANICO

4.- Suponga que tenemos un problema de masa simple, resorte y amortiguador.

La ecuación de modelo de este sistema es: Tomando transformada de Laplace de la ecuación del modelo: La función de transferencia entre el desplazamiento X(s) y la entrada F(s) es entonces: Sea: M = 1kg

b = 10 N.s/m

k = 20 N/m

F(s) = 1

Introduzca estos valores en la función de transferencia anterior Cuál es la respuesta a lazo abierto?

La ganancia de continua de la función de transferencia de la planta es 1/20, así

que0.05 es el valor final de la salida a una entrada escalón unitario. Esto se

corresponde al error de estado estacionario de 0.95, bastante grande de hecho.

Además, el tiempo de elevación es alrededor de un segundo, y el tiempo de

establecimiento es alrededor de 1.5 segundos. Diseñemos un controlador que

reducirá el tiempo de elevación y el tiempo de establecimiento, y eliminará el error

de estado estacionario.