Phi vala

Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS [Escriba

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CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS 6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013

VALORACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DEL NÚMERO PHI, UN ACERCAMIENTO A LA CIENCIA, ARTE Y FE

Víctor Alfonso López Alcaraz1

CASIO Educación, Montecito 38, 42-17 WTC, Col. Nápoles C. P. 03810, México D. F.

EA-VD-61 Resumen Existen tres números de especiales características que dan sustento a grandes desarrollos de la

matemática, estos son el número (relación entre el diámetro y la circunferencia), el número e (base

de los logaritmos naturales) y el número (phi). La presencia del número phi en la ciencia, el arte y la fe ha asombrado a cuantos medianamente instruidos en las matemáticas la perciben. En momentos donde el estudio de la ciencia necesita mayores adeptos, es conveniente retirar lo abstruso de las matemáticas y valorar las habilidades del pensamiento complejo. Durante el desarrollo del trabajo, se presentará y demostrará la obtención del número phi con apoyo de la ClassPad 330 y su vínculo con los descubrimientos e implicaciones que hacen de este número un puente a gratas experiencias con las matemáticas. Palabras clave: Razón aurea, phi, proporción, arte, número dorado, ciencias.

1. Introducción

La Matemática ha representado para la humanidad un gran apoyo en el desarrollo de las civilizaciones, su estudio implica aceptar al método cuantitativo como motor para describir e inferir la realidad y más allá de ésta (Kline, 1972). Valorar sus bondades a temprana edad puede representar el factor por el que un estudiante opte por continuar en la ciencia. Actualmente en México, sólo el 2% de la población universitaria se forma en ciencias exactas vs 49.8% que lo hace en ciencias sociales y administrativas (SEP, 2010). Ante este panorama, resulta necesario ofrecer experiencias exitosas con las matemáticas, como lo es el estudio del número phi.

El número phi ( ), equivale a √

, si bien sus cifras no fueron conocidas a claridad

por los primeros aportadores, sí se tiene registro de su apreciación geométrica en culturas como la griega clásica. Phi recibió el nombre de proporción áurea por Platón y Euclides, el tesoro de la geometría por Kepler y el número de oro por Leonardo da Vinci (Corbalán, 2010). A diferencia de ó e, cuya utilidad ha favorecido el entendimiento de las matemáticas, phi ha mostrado mejores usos en áreas de la estética, biología, las artes y la religión, funcionando como el resultado de la armonía entre las partes. ¿Cómo se obtiene este número? Existen variados y multiformes métodos por los cuales resulta phi, siendo ello parte de la humildad del número. A continuación mostraré diversos métodos para su cálculo, finalmente se mencionarán lugares en los que se ha comprobado su presencia.

1Víctor Alfonso López Alcaraz [email protected]

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ISBN: 978-607-02-4199-4




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Proporción aurea

Phi es el resultado de la proporción

, como se desarrolla a continuación

(Hortelano, 1990 & Postigo, 1983). Dadas tres cantidades a, b, y (a+b), de modo que a<b<(a+b), se dice que están en proporción aurea (phi) si el total (a+b) es a la parte mayor a, como la parte mayor a es a la parte menor b.

…Ec. (1)

Sea b= 1, entonces

, de donde se obtiene , sea

√

la raíz

positiva de la ecuación.

Otras obtenciones geométricas

Figura 1. División de un

segmento en phi

Sea AB es segmento original, entonces AG/ GB es phi.

Trazo

CB=BD

BD AB DE = DB AE = AG

Figura 2. Ejemplo de

división de un segmento en phi

Figura 3. Trazo del

segmento complementario

Si AD es segmento original entonces AD / DF es phi

ABCD es un cuadrado

AE = ED EC radio de Circunferencia E

AF prolongación AD F intersección de

Circunferencia E con AF

Figura 4. Ejemplo del

segmento complementario

a b

a+b















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Figura 5. Diagonal del

pentágono

Si ABCDE es un pentágono regular, entonces AD / EA es

phi

Trazar el pentágono ABCDE Unir A con D, sea AD

diagonal del pentágono.

Figura 6. Ejemplo de phi en

el pentágono

Figura 7. Hexágono y

decágono

Téngase un hexágono inscrito en un decágono,

entonces el cociente del lado del hexágono sobre el lado

del decágono es phi.

Trazar una circunferencia e inscribir un hexágono y un

decágono.

Figura 8. Ejemplo de phi en

Hexágono y decágono. DATO: Los doce vértices de un icosaedro están sobre la superficie de un cubo, la razón entre la arista del cubo y la del icosaedro inscrito es phi. Obtención algebraica

De la proporción

Se tiene

De donde

Si a y b son reales positivos, al resolver la ecuación en a y tomando la raíz positiva se tiene

√ √ √ √

√ √ √ √














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√

√

√

De la ecuación

supongamos a = x y b = 1 entonces

tal que x = Podemos decir ahora que

Tal que √ Al sustituir en el segundo miembro de la ecuación tenemos

Figura 9. Ejemplo de cálculo el raíz

reiterada

Análogamente si

… Ec. (2) entonces

Al dividir en ambos miembros de la ecuación

Al sustituir en el segundo miembro de iteradamente se tiene

Figura 10. Ejemplo de cálculo en

fracción reiterada.

Los desarrollos como valores continuos se conocen desde la Grecia clásica, sin embargo el límite indicado se atribuye a Nathan Altshiller-Court, en un artículo publicado en 1917 en la Universidad de Oklahoma. Obtención Funcional












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Téngase una de las expresiones más simples de función lineal, es decir, sumar la unidad a la variable, f(x) = x+1, además la curva más simple que es elevara al cuadrado la variable f(x) = x2, entonces la intercesión de las funciones es phi y el recíproco de phi.

( ) … Ec. (3)

( ) … Ec. (4) Entonces

El resultado quedó antes demostrado.

Figura 11. Operaciones

Figura 12. Raíz negativa

Figura 13. Raíz positiva

Obtener phi es ya un camino de heurística en sí mismo, pero no queda ahí su importancia, a continuación menciono algunos personajes y sitios que han hecho de phi el número áureo, de oro, divino en muchos sentidos. Ciencia

La razón entre el largo y ancho en un ciclo completo de la doble hélice de la molécula de AND.

360° dividido por phi es la apertura deseable para que una semilla germine, garantizando luz solar a las hojas de la planta.

El crecimiento de los cuernos de los carneros, caracoles como el nautilus, la reproducción de los conejos, las alas de la libélula, el cuerpo de las abejas entre otros aspectos biológicos, crecen a razón de phi (Ghyka,1977).

La rotación de algunas galaxias así como el enfriamiento de cuerpos masivos está vinculado a phi.

Diversas proporciones a partir del cuerpo humano son phi, para ello baste conocer el Hombre de Vitruvio de Da Vinci.













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Arte

El rectángulo principal del Partenón Griego, es un rectángulo áureo.

La torre Eiffel está dividida a razón de phi, al igual que el edificio de la ONU.

Pintores como Leonardo da Vinci, Diego de Velázquez y Salvador Dalí utilizaron constantemente en sus obras phi como razón de distribución y recalco de los detalles.

El poema de Rafael Alberti “A la divina proporción” cuenta con una métrica y alusiones claras a phi.

De acuerdo con los trabajos de Yolanda Toledo, músicos como Mozart, Le Corbusier, Beethoven, Bartok dividieron la escritura musical a razón de phi.

Religión

De acuerdo con los trabajos del Dr. Hernández Illescas (1990), el sagrado original de la virgen de Guadalupe conserva proporciones áureas.

La Kaaba en la Meca, se encuentra situada justo en el phi del mundo, además de contener en sí mismo mediciones relacionadas a phi.

Pirámides de las culturas Egipcia y Teotihuacana o estructuras como Stonehenge fueron construidas a partir de número dorado.

Edificaciones religiosas como Borobudur, Pagoda de Yakushiji, Nôtre Damme mantienen proporciones en phi.

El número phi mantiene gratas sorpresas sobre su presencia dentro y fuera de nuestro planeta. No resulta difícil aceptarlo como divino ya que es precisamente en lo más bello, estético y armónico en donde entrelaza su misterio y hermosa simetría. El tema resulta interesante tanto para matemáticos como para medianamente instruidos, puesto que a los primeros otorga oportunidad de demostrar y descubrir nuevas aplicaciones, para los segundos hace de las matemáticas una ciencia más inteligible. Referencias

Corbalán, F. (2010). La proporción aurea. El lenguaje matemático de la belleza. Barcelona: RBA Libros S. A.

Ghyka, M. (1977). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las artes. Barcelona: Poseidón.

Hernández, J. (1999). La Virgen de Guadalupe y la Proporción Dorada. México: CEG.

Hortelano, L. (1990). La sección aurea y la construcción de polígonos regulares. [En línea] Disponible en www. revistasuma.es

Kline, M. (1972): Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. USA: Oxford University Press.

Postigo, L. (1983). Matemáticas. España: Ramón Sopena.

SEP (2010). Sistema Educativo de los Estados Unidos Mexicanos, principales cifras. México: Autor.

Toledo, Y. (S/A). Sección aurea en el arte, arquitectura y música. [En línea] Disponible en de www. matematicas.uclm.es







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