Matemticas Financieras

Rentas Perpetuas: Definicin, Valor Presente, Valor Futuro, Costos Capitalizados, Costos Equivalente.

Rentas PerpetuasEs una anualidad cuyo plazo no tiene fin.

Valores de las Rentas Perpetuas simples: 1. Clculo del Valor Futuro de una renta perpetua 2. Clculo del Valor Presente de una renta perpetua simple

ordinaria 3. Clculo del Valor Presente de las Rentas perpetuas

simples anticipadas. 4. Valor Presente de las Rentas Perpetuas por pagar al

final de cada cierto nmero de perodos de capitalizacin.

Valor Futuro de una renta perpetua

Debido a que nunca cesarn los pagos de una renta perpetua, resulta imposible calcular su valor futuro

Clculo del Valor Presente de una renta perpetua simple ordinaria

Sea la renta perpetua de $A, pagadera al final de cada perodo, a la tasa i por perodo:

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que, en un perodo produce como intereses la suma A, es decir:

A = P*i

donde P = A * 1/i

El factor 1/i es el valor presente de una renta

La frmula anterior se puede obtener como:

P = lim A 1-(1+i)-n n! i P= lim A 1- 1/(1+i)n n! i Como lim 1/(1+i)n = 0 n!

Valor Presente de las Rentas perpetuas simples anticipadas

Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, al dibujar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en el primer pago que debe efectuarse de inmediato

De lo anterior se deduce que el valor presente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad P que, disminuida en la primera cuota A, produce como intereses la suma A, es decir:

(P-A)*i = A De este modo, P = A/i + A Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W

Ejemplo 1

En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se invertirn de modo que el hospital de ancianos reciba, a perpetuidad, una renta de $1.000.000 cada fin de ao. Si la tasa de inters es del 8%, hallar el valor actual de la donacin

P = A* 1/i A= 1.000.000 i=0,08

P = 1.000.000 /0,08 P = 12.500.000

Ejemplo 2

Al fallecer, una persona deja un legado a un Hospital, estipulando lo siguiente: $600.000 para la adquisicin de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 8%.

Valor Presente de las Rentas Perpetuas por pagar al final de cada cierto nmero de

perodos de capitalizacin

F = A [ (1+i)n -1] i Se reemplaza F = W , n=k

W= A [ (1+i)k -1] i

P = A * 1/i P = W*i * 1 [ (1+i)k -1] i

El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de k pagos de valor A, efectuados al final de cada perodo de capitalizacin.

Ejemplo

Un municipio toma la decisin de crear un fondo para proveer a perpetuidad las reposiciones de un puente de madera cuyo costo es de $9.000.000. Los ingeniero estiman que ser necesario reemplazarlo cada 12 aos, a un costo de $5.460.000. Encontrar el valor requerido para el fondo a fin de proveer los reemplazos futuros, si la tasa de inters es del 7%

W= 5.460.000 i= 7% k=12 P = W [ (1+i)k -1] P = 5.460.000 (1+0,07)12 -1 P = 5.460.000 = 4.360.355

Capitalizacin

Esta expresin se acostumbra a utilizarse como sinnimo de valor presente en las rentas perpetuas. Por ejemplo, el valor capitalizado de un terreno arrendado en $1.500.000 mensuales por mes anticipado, a una tasa del 12% capitalizable mensualmente, es: A=1.500.000 P = A + A/i j=0,12 P = 1 . 5 0 0 . 0 0 0 + 1.500.000/0,01

Ejercicio

En una localidad, las inversiones rinden el 14%, con capitalizacin semestral. Un comerciante que muestra en sus libros una utilidad semestral de$25.000.000, en promedio de los ltimos balances, ofrece en venta su negocio por $350.000.000. Determinar si es o no una oferta atractiva, e indicar el precio mximo que puede pagarse por el negocio

P = A* 1/i

A=25.000.000 j=0,14 m=2 i=0,07

P= 25.000.000* 1/0,07

Costos Capitalizados

Es la suma de su costo original ms el valor presente de la renta necesaria para la renovaciones futuras. La vida til del activo se mide en perodos de capitalizacin de las inversiones. Sean: K= costo capitalizado C= costo original o inicial W= costo de cada reposicin k= nmero de perodos de vida til

El costo capitalizado es:

K = C + P

Donde P es el valor presente de la renta perpetua, necesaria para las renovaciones futuras.

K = C + P K = C + W [ (1+i)k -1]

Si W = C, se tiene:

K = C + C = C[(1+i)k -1] + C [ (1+i)k -1] [ (1+i)k -1]

K = C[ (1+i)k 1 + 1] [ (1+i)k -1]

K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1]

Ejemplo 1

Encontrar el costo capitalizado de una mquina que se compra por $4.000.000, si su vida til es de 12 aos, al final de los cuales debe reemplazarse al mismo costo inicial. El precio del dinero tiene una tasa efectiva del 8%.

K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1]

C=W= 4.000.000 k=12 i=8% K = 4.000.000*(1+0,08)12 = 10.072.680,47 [(1+0,08)12 -1] 1,51817012

Ejemplo 2

Encontrar el costo capitalizado de la maquina anterior, si al final de su vida til tiene un valor de salvamento igual al 15% de su costo inicial. En este caso, el costo de reposicin es igual al costo inicial menos el valor de salvamento.

K = C + W [ (1+i)k -1]

C= 4.000.000 W=4.000.000*(0.85)=3.400.000 k=12 i=8%

K= 4.000.000 + 3.400.000/(1,51817012)

K=6.239.538

Ejemplo 3

Un municipio debe tomar la decisin de construir un puente para lo cual tiene 2 alternativas: 1. construir un puente de madera con un costo de

$6.000.000, cuya vida til es de 10 aos, al cabo de los cuales se debe reemplazar, al mismo costo

2. Construir un puente de madera y hierro con un costo de $10.000.000, cuya vida til es de 25 aos, al cabo de los cuales se debe reemplazar, con un costo de $8.000.000.-

Alternativa 1 K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1]

C=6.000.000 i=8% k=10 K= 6.000.000*(1,08)10 [(1,08)10 -1] K= 12.953.549,98 1,15892500

Alternativa 2

K = C + W [ (1+i)k -1]

C=10.000.000 W=8.000.000 i=8% k=25 K= 10.000.00 + 8.000.000 [(1,08)25 -1]

Costos Equivalentes

Por medio de ecuaciones de costos equivalentes se puede dar respuesta a las preguntas:

Cunto puede pagarse por un activo que prestar el mismo servicio que otro, si son diferentes sus vidas tiles y sus costos, tanto iniciales como de reposicin? Se justifica o no cierto gasto adicional, para prolongar la vida de un activo?

Ejemplo

Un equipo tiene un costo inicial de $2.400.000 y una vida til de 10 aos, al cabo de los cuales se debe sustituir, con el mismo costo. Cunto puede pagarse por un equipo similar que tiene una vida til de 8 aos y un costo de reposicin igual al costo inicial, si la tasa efectiva es del 6%?

K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1] K= 2.400.000(1,06)10 / (1,06)10 -1 K= 4.298.034,473 / 0,79084770 = 5.434.718,329

K = C (1,06)8 / (1,06)8 -1 K= C*1,59384808/0,59384808 K= C*2,68393238

Ejercicio 1

Un hospital recibi como legado una renta perpetua mensual de $200.000. Si la tasa de inters para las inversiones es del 6%, hallar el valor por el cual puede ceder sus derechos a la renta perpetua.

Ejercicio 2

Hallar el valor actual de una renta perpetua de $600.000 semestral con un primer pago inmediato, si la tasa de inters nominal es del 14%.

Ejercicio 3

Hallar el valor actual de una renta perpetua de $500.000 por ao vencido, si la tasa de inters es del 8% capitalizable semestralmente.