PERMUTACIONES CIRCULARES(1)

P P P E E E R R R M M M U U U T T T A A A C C C I I I O O O N N N E E E S S S C C C I I I R R R C C C U U U L L L A A A R R R E E E S S S . . . una permutación circular de n objetos distintos de orden r, r ≤ n, es una colocación ordenada de r de los n objetos en r posiciones igualmente espaciados sobre la circunferencia. Consideramos dos permutaciones iguales cuando puede ser obtenida una de la otra mediante una rotación apropiada de la circunferencia alrededor de su centro. El número de permutaciones circulares de n objetos distintos de orden r, r ≤ n es: ( ) ( ) 1! r r n n PC C r = − i # Dado que si se eligen primero r objetos y se colocan en r posiciones distintas sobre una circunferencia. Este proceso se puede llevar a cabo de r n C formas. Supongamos que los objetos colocados son a 1 , a 2 , ... , a r . De la definición de igualdad de permutaciones circulares de orden r, podemos fijar la posición para el primer objeto; luego sólo hay una forma para elegir una posición para a 1 . Después de haber hecho esta elección hay que elegir posición para los r-1 objetos restantes. Pero esto equivale a formar una selección de r-1 objetos distintos y dicho proceso se puede llevar a cabo de (r-1)! Formas. Luego el número total de permutaciones circulares de orden r de n objetos distintos es ( ) ( ) 1! r r n n PC C r = − i Una permutación circular de n objetos distintos de orden n se denominará PERMUTACIÓN CIRCULAR DE n OBJETOS. Y su número de permutaciones vendrá dado por: ( ) ( ) ( ) 1! 1! n n n n PC C n n = − = − i # Ejemplo: ¿De cuántas formas pueden colocarse cinco mujeres y cinco hombres alrededor de una mesa circular si se quiere que no haya dos personas del mismo sexo contiguas? Consideramos que el primer hombre está sentado, el resto se tiene que sentar en posiciones alternadas, pero esto es equivalente a realizar una permutación circular de cinco objetos y se puede llevar a cabo de ( ) ( ) 5 5 5 5 1! 4! 24 PC C = 5− = = i

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PPPEEERRRMMMUUUTTTAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCIIIRRRCCCUUULLLAAARRREEESSS...

una permutacin circular de n objetos distintos de orden r, r n, es una colocacin ordenada de r de los n objetos en r posiciones igualmente espaciados

sobre la circunferencia. Consideramos dos permutaciones iguales cuando puede

ser obtenida una de la otra mediante una rotacin apropiada de la circunferencia

alrededor de su centro.

El nmero de permutaciones circulares de n objetos distintos de orden r, r n es: ( ) ( )1 !r rn nPC C r= i # Dado que si se eligen primero r objetos y se colocan en r posiciones distintas sobre

una circunferencia. Este proceso se puede llevar a cabo de rnC formas.

Supongamos que los objetos colocados son a1 , a2 , ... , ar. De la definicin de igualdad

de permutaciones circulares de orden r, podemos fijar la posicin para el primer objeto;

luego slo hay una forma para elegir una posicin para a1 . Despus de haber hecho esta

eleccin hay que elegir posicin para los r-1 objetos restantes. Pero esto equivale a

formar una seleccin de r-1 objetos distintos y dicho proceso se puede llevar a cabo de

(r-1)! Formas. Luego el nmero total de permutaciones circulares de orden r de n

objetos distintos es

( ) ( )1 !r rn nPC C r= i & Una permutacin circular de n objetos distintos de orden n se denominar PERMUTACIN CIRCULAR DE n OBJETOS. Y su nmero de permutaciones

vendr dado por:

( ) ( ) ( )1 ! 1 !n nn nPC C n n= = i # Ejemplo: De cuntas formas pueden colocarse cinco mujeres y cinco hombres

alrededor de una mesa circular si se quiere que no haya dos personas del mismo sexo

contiguas?

Consideramos que el primer hombre est sentado, el resto se tiene que sentar en

posiciones alternadas, pero esto es equivalente a realizar una permutacin circular de

cinco objetos y se puede llevar a cabo de

( ) ( )5 55 5 1 ! 4! 24PC C= 5 = =i
formas. Despus de haberse llevado a cabo este primer proceso se tienen que colocar

las cinco mujeres en los lugares vacos y esto se puede realizar de 5! Formas. Luego, el

nmero total de formas distintas de sentarse es (4!).(5!)=288