Permutaciones alternantes y gráﬁcas completas

Criel MerinoCriel Merino

Permutaciones Permutaciones alternantes y alternantes y

gráficas completasgráficas completas

El polinomio de Tutte

Para Para G=G=((V,EV,E), una grafica, definimos la ), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista función rango de un subconjunto de arista comocomo

.),(||)r( EAAVA

Para H=(Para H=(V,AV,A), ), (A) es el número de (A) es el número de componentes conexas de H. componentes conexas de H.

r(A)=tamaño de un bosque generador r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.máximo.

El polinomio de Tutte

)r(||)r()r( )1()1()(T AA

EA

AEG yxyx,

El polinomio de 2 variables

es conocido como el polinomio de Tuttees conocido como el polinomio de Tutte.

Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)

bbGG(q,j)= número de q-coloraciones de G con j (q,j)= número de q-coloraciones de G con j

aristas monocromáticas. aristas monocromáticas. b(b()=conjunto de aristas monocromáticas)=conjunto de aristas monocromáticasen la coloración en la coloración ..

BBGG((q,q,) = ) = qq55 + (2 + (2qq22 – 2 – 2q)q)33 + +

(4(4qq22 – 4 – 4q)q)22 + (5 + (5qq33 – 14 – 14qq22+ 9+ 9q)q) + +

((qq44 – 5 – 5qq33 + 8 + 8qq22 – 4 – 4q)q)

.),(),(][:

)|(| j

jG

qV

bG jqbqB

F. G. aristas monocromáticasF. G. aristas monocromáticas

F. G. aristas monocromáticas

.

)1()1,(

)(||)(

][:

||][: )(

||][:

)|(|

EA

AA

EAbA

qV

AqV bA

AqV

bG

q

qB

TG y BG

)1,1(

)1,(

)()(

)()()(||)()(

)(||

qTq

qq

qqB

GGEr

EA

ArErArAGEr

EA

AAG

TG y BG

).),1)(1(()1()1(

1)(T || yyxB

xyyx, GVG

).),1)(1(()(T)1()1( || yyxByx,xy GGV

TTnn(x,y)(x,y)

TTnn(x,y)(x,y)

qk

k

k

n

n

n kt

nt

qB

!!),(1

0

2

1

TTnn(x,y)(x,y)

!!4!3!2

!!4!31

!!3!21

24

63

32

24

63

3

23

32

ktttt

t

kttt

t

kttt

t

kk

kk

kk

1

2!t

λ

4!t

λ

2

46

Teorema (Tutte 67)Teorema (Tutte 67)

TTnn(x,y)(x,y)

)1)(1(

0

2

1

!

!),()1()1(1

yx

n

n

n

n

n

nn

nt

y

nt

yxTyx

TTnn(x,-1)(x,-1)

1

1!

)1(

!)1,()2(

)1)(2(

0

2

1

x

nt

nt

xT

xn

n

n

n

n

nn

TTnn(1,-1)(1,-1)

!)1(log)2(

1

1!

)1(

lim!

)1,1()2(

0

2

)1)(2(

0

2

11

nt

x

nt

nt

T

n

n

n

xn

n

n

xn

n

nn

Teorema (Mallows and Riordan ‘68)

0

2

!)1()(

n

nn

nt

tF

TTnn(1,-1)(1,-1)

F(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…F(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…

)sen()cos()( tttF

)sen()cos(ln)2(!)2(

)1,1(1

ttnt

Tn

n

n

Teorema. Para nTeorema. Para n0,0, TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).

TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).

TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).

)sen()cos(ln)2(!)2(

)1,1(1

ttnt

Tn

n

n

20

2)sen()cos(

1!)2(

)1,1(ttn

tT

n

n

n

Derivando dos vecesDerivando dos veces

Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

2

)2(

0

2

1

)sen()cos(

1

!)1(

!)2(

)1,2(1

tt

nt

nt

Tn

n

n

n

n

n

TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).

Como TComo T00(2,-1)=1, basta igualar coeficientes.(2,-1)=1, basta igualar coeficientes.

1 02 !

)2()1,1(

!)2(

)1,2(1n n

n

n

n

n nt

Tnt

T

TTn+2n+2(1,-1)=T(1,-1)=Tnn(2,-1).(2,-1).

TTn,mn,m(x,y)(x,y)

TTn,mn,m(x,y)(x,y)

qlk

lk

klm

mn

n

mn lu

kt

mu

nt

qB

!!!!),(1

0,)0,0(),(,

TTn,mn,m(x,y)(x,y)

)1)(1(

0,

)0,0(),(,

!!

!!),()1()1(1

yx

lk

lk

kl

m

mn

n

mnnm

lu

kt

y

mu

nt

yxTyx

TTn,mn,m(1,-1)(1,-1)

!!)1(log)2(

1

1!!

)1(

lim!)2(

!)2(

)1,1(

0,

)1)(2(

0,

11,

,

lu

kt

x

lu

kt

mu

nt

T

lk

lk

kl

xlk

lk

kl

xmn

mn

mn

!!)1(),(

0, lu

kt

utFl

lk

kkl

TTnn(1,-1)(1,-1)

1, 1, 1, 1, 1, 1,…1, 1, 1, 1, 1, 1,…

)senh()cosh(),( utututF

F(t,u) es la F.G.E. de la sucesiónF(t,u) es la F.G.E. de la sucesión

1, 1, 1, 1, 1, 1,…1, 1, 1, 1, 1, 1,…1,-1, 1,-1,1,-1,…1,-1, 1,-1,1,-1,…

Teorema. Para n,m Teorema. Para n,m 0 0 TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).

TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).

TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).

)senh()cosh(ln)2(

!)2(

!)2(

)1,1()0,0(),(

,

utut

mu

nt

Tm

mn

n

mn

TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).

Diferenciando en t y luego en uDiferenciando en t y luego en u

2

0,1,1

))senh()(cosh(1

!)2(

!)2(

)1,1(

utut

mu

nt

Tm

mn

n

mn

Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).

2

2

0,

)0,0(),(,

))senh()(cosh(1

!!)1(

!)2(

!)2(

)1,2(1

utut

lu

kt

mu

nt

T

lk

lk

kl

m

mn

n

mn

TTn+1,m+1n+1,m+1(1,-1)=T(1,-1)=Tn,mn,m(2,-1).(2,-1).

!)2(

!)2(

)1,1(

!)2(

!)2(

)1,2(1

0,1,1

)0,0(),(,

mu

nt

T

mu

nt

T

m

mn

n

mn

m

mn

n

mn

Basta igualar coeficientes.Basta igualar coeficientes.

Otros ejemplos.Otros ejemplos.

mn KK mnK ,

nK

Gráficas “Threshold”Gráficas “Threshold”

TTGG(1,y)(1,y)

)r(||

)(

)r()r( )1()1()(T AA

GEA

AEG yxyx,

conexo

)r(||)1()1(TEA

AAG yy,

x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V|-V|-(A)= |V|-(A)= |V|-(E), o sea, H=(V,A) es conexo.(E), o sea, H=(V,A) es conexo.

TTnn(1,y)(1,y)

2),1(3 yyT

1),1(2 yT

1),1(1 yT

663),1( 234 yyyyT

.243630

20104),1(2

34565

yy

yyyyyT

1)1,1(3 T

1)1,1(2 T

1)1,1(1 T

2)1,1(4 T

5),1(5 yT

TTnn(1,y)(1,y)

).,1(),1()1(1

2),1( 1

1

1

yTyTyk

nyT knk

kn

kn

TTnn(1,y)(1,y)

11

kknn

BB AA

H=({1,..,n},D)H=({1,..,n},D)

|D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1|D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1

CC

TTnn(1,y)(1,y)

),1( yTk

1

2

k

n),1( yT kn

1

1

n

k)1( 1 ky

Variando A, B y CVariando A, B y C

k

j

jyj

k

1

1)1( 1

111

y

y k

1

)1(1

y

yj

kk

j

j

AA

CCBB

Una permutación Una permutación SSnn es alternate (o updown) si es alternate (o updown) si

(1)<(1)<(2)>(2)>(3)<…. .Denotamos por Alt(3)<…. .Denotamos por Altnn a las a las

permutaciones alternates en Spermutaciones alternates en Snn. Definimos a. Definimos a00=1 y =1 y

aann=|Alt=|Altnn|, o sea, a|, o sea, a11=1,a=1,a22=1, a=1, a33=2,a=2,a44=5.=5.

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantes

Ejemplo n = 4:Ejemplo n = 4:

(1324)(1324) (1423)(1423) (2314)(2314) (2413)(2413) (3412)(3412)

44332211

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesLema 1:Lema 1:

(1)<(1)<(2)>… >(2)>… >(j-1) <(j-1) <nn> > (j+1)< (j+1)< (j+2)>…< (j+2)>…< (n)(n)

aaj-1j-1 aan-jn-j

impar 0

par 1

1|})(:Alt{| 1

j

jaaj

nnj jnj

n

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesProposición :Proposición :

Lema 1 sumando sobre j impar.Lema 1 sumando sobre j impar.

122121

12 12

2

ini

n

in aa

i

na

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesTeorema ( Goulden, Jackson ‘83)

.)1,1(1 nn aT

impar si 1

par si 0)1()1()1(1 12

k

kk

).,1(),1()1(1

2),1( 1

1

1

yTyTyk

nyT knk

kn

kn

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesTeorema ( Goulden, Jackson ‘83)

.)1,1(1 nn aT

12

122121

22221

22

12

2

)1,1()1,1( 12

2)1,1(

n

knk

n

k

knk

n

kn

a

aak

n

TTk

nT


CorolarioCorolario Para nPara n0,0,

.)1,2( 1 nn aT

.)1,1(1 nn aT


Teorema ( André 1879)Teorema ( André 1879)

).sec()tan(!0

uunu

an

n

n

Basta derivar la F.G.E. de TBasta derivar la F.G.E. de Tnn(1,-1) y hacer el (1,-1) y hacer el

cambio de variables -2cambio de variables -2t=ut=u

FINFIN

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesLema1:Lema1:

par 0

impar 1

1|}1)(:Alt{| 1

j

jaaj

nj jnj

n

(1)<(1)<(2)>… <(2)>… <(j-1) > (j-1) > 11< < (j+1)> (j+1)> (j+2)<…> (j+2)<…> (n)(n)

aaj-1j-1 aan-jn-j

n-n-(j+1)<n- (j+1)<n- (j+2)>…<n-(j+2)>…<n-(n)(n)’’(1)<(1)<’(2)>… <’(2)>… <’(n-j)’(n-j)

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesProposición:Proposición:

ini

n

in aa

i

na 222

012

2

2

122121

12 12

2

ini

n

in aa

i

na

Lema 1 sumando Lema 1 sumando sobre j imparsobre j impar

Lema 2 sumando Lema 2 sumando sobre j parsobre j par

Polinomio de inversiónPolinomio de inversión

11

22 55

4433

Para un árbol A de KPara un árbol A de Kn n con raíz en r, una con raíz en r, una inversióninversión

es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A.inv(A) el número de inversiones de A.

Inv(A)= 3Inv(A)= 3

Polinomio de inversiónPolinomio de inversiónEl polinomio de inversiones esEl polinomio de inversiones es

,)( )inv(

nFA

An yyJ

la suma es sobre todos los árboles generadores Fla suma es sobre todos los árboles generadores Fnn

de Kde Kn n con raíz en 1.con raíz en 1.


.243630

20104)(2

34565

yy

yyyyyJ

2)(3 yyJ

1)(2 yJ

1)(1 yJ

663)( 234 yyyyJ

Polinomio de inversiónPolinomio de inversiónSea GSea Gn n el conjunto de árboles generadores deel conjunto de árboles generadores de KKnn

con raíz en r, 1con raíz en r, 1rrn. n.

.)( )inv(

nGA

An yyJ

Polinomio de inversiónPolinomio de inversiónProposición.Proposición.

).()1()( 1 yJxxyJ nn

n

}en raízcon { kGAF nkn

Prueba.Prueba.

. ,1)inv())(inv( knk FAAA

: 1 kn

knk FFconstruirconstruir biyección tal quebiyección tal que

SeaSea


22

55

4433

1122 55

4433

11


).()()1(1

2)( 1

1

1

yJyJyk

nyJ knk

kn

kn

Proposición.Proposición.


nn

11

)()1( 1 yJy kk

1

2

k

n)(yJ kn

1

1

n

k

)(yJ k

kk

AA

CCBB

Inv (A)=inv( B) + inv (C)Inv (A)=inv( B) + inv (C)

Proposición. Proposición. TTnn(1,y)=J(1,y)=Jnn(y).(y).

Satisfacen la misma recurrencia y tienen la misma Satisfacen la misma recurrencia y tienen la misma condiciones inicialescondiciones iniciales



Teorema ( André 1879) ).sec()tan(!0

ttnt

an

n

n

0

2

2 !2)(

i

i

i ix

axg

0

12

12 !12)(

i

i

i ix

axf

(x)xffxfxf tan)( 0)0( ,)(1)(' 2

)sec()( 1)0( ,)()(' 2 xxggxgxf

Permutaciones alternantesPermutaciones alternantesProposición:Proposición:

ini

n

in aa

i

na 222

012

2

2

ini

n

in aa

i

na 2212

1

02

12

12

122121

12 12

2

ini

n

in aa

i

na Lema 2 sumando Lema 2 sumando

sobre j parsobre j par

Lema 1 sumando Lema 1 sumando sobre j parsobre j par

Permutaciones alternantes y gráﬁcas completas

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