UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTÁ. Laboratorio fundamentos de mecánica.

PERIODO DEL PÉNDULO SIMPLE

Laura Casas - 244607, Fabián Huertas - 244640, Daniel Jaimes - 244643,

Andrea Perico - 244674, Karen Piñeros - 244675.

RESUMEN: En la práctica se intenta demostrar

como varia el periodo y las características principales de un

movimiento armónico simple en un péndulo. Se debe tomar

varias mediciones variando características del sistema tales

como la amplitud (modificando el ángulo), la longitud de la

cuerda y la masa del péndulo. Entre los resultados se

evidenció que el periodo de uno de estos sistemas no

depende de magnitudes como la masa o la amplitud, este

solo depende de la longitud de la cuerda utilizada, sin

embargo en ángulos grandes es claro que estas

afirmaciones no son del todo ciertas, esto debido a que en

la fuerza que causa el movimiento el peso comienza a

tomar una gran participación, esto no indica que este

movimiento no sea de un armónico simple, sencillamente

dice que a ángulos mayores estas características deben

variarse .

PALABRAS CLAVES: Amplitud angular, longitud, masa,

péndulo.

1. INTRODUCCIÓN El propósito del experimento llevado a cabo es observar y

analizar el comportamiento de un péndulo simple con

respecto a la variación de la longitud de la cuerda, la masa

de las pesas y el ángulo. De acuerdo a esto en el

laboratorio, se toma el tiempo de cada oscilación (período)

en distintos momentos. Con los datos obtenidos, se realiza

el análisis del período de oscilación y la variación de los

parámetros mencionados.

2. OBJETIVOS

GENERAL

Encontrar una relación entre el periodo de un péndulo y su

longitud, masa y amplitud angular.

ESPECÍFICOS

• Determinar el valor del periodo de un péndulo simple,

en función de su longitud, amplitud angular y masa, y la

relación existente entre ellos.

• Establecer el diagrama de cuerpo libre de un péndulo

simple, de acuerdo a las fuerzas que actúan sobre el

sistema durante el movimiento.

• Utilizar el proceso de linealización y aprender más

sobre este.

• Identificar las diferencias entre el valor teórico y el

experimental en cuanto a periodo.

3. MARCO TEÓRICO

3.1 OSCILACIÓN ARMÓNICA SIMPLE

El péndulo simple se define como una partícula de masa m

suspendida del punto O por una cuerda de longitud l y de

masa despreciable. Para determinar la naturaleza de las

oscilaciones, debemos escribir las ecuaciones de

movimiento de la partícula, La partícula se mueve en un

arco de circulo de radio l = OA.

Figura1. Péndulo simple

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso mg y la

tensión T a lo largo de la cuerda. De la Fig., se ve que la

componente tangencial de la fuerza es:

F + mgsenθ = 0 (1)

Donde el signo menos se debe a que se opone al

desplazamiento S=CA. La ecuación de movimiento

tangencial es Ft=mat y, como la partícula se mueve a lo

largo de un círculo de radio l, podemos usar la ecuación

(2)

(3)

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Considerando al ángulo θ pequeño, lo cual es cierto sí la

amplitud de las oscilaciones son pequeñas, entonces

podemos escribir en forma aproximada como:

(3)

Esta es la ecuación diferencial del movimiento angular. Por

ello podemos llegar a la conclusión que, dentro de nuestra

aproximación, el movimiento angular del péndulo es

armónico simple con w2=g/l. El ángulo θ puede así

expresarse en la forma θ=θsen(wt+α), lo que da P=2π/w, el

periodo de oscilación esta dado por la expresión:

� � ��� (4)

Nótese que el periodo es independiente de la masa del

péndulo. Para mayores amplitudes, la aproximación

senθ =θ no es válida. en tal caso, la fórmula del periodo

depende de la amplitud.

4. DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA

Los materiales requeridos para la ejecución de la práctica

son:

• Base

• Soporte

• Pesas

• Cronómetro

• Papel milimetrado

• Cuerda

• Regla

• Graduador

Para la realización de esta práctica es necesario seguir el

siguiente procedimiento:

• Efectuar el montaje de la práctica:

1. Atar una masa (m) al extremo inferior de una

cuerda de masa despreciable.

2. Establecer la longitud de la cuerda (del extremo

superior de la cuerda cuyo punto está en el eje de

giro al centro de la masa (m).)

3. Situar el péndulo en posición de equilibrio.

4. Determinar el ángulo θ de oscilación con el eje x

perpendicular al suelo.

5. Iniciar las oscilaciones con el fin de medir el

periodo (T).

* Se debe variar la longitud de la cuerda, el grado θ y las

masas situadas en la parte inferior de la cuerda.

• Mediciones:

1. Utilizar una regla para medir la longitud de la

cuerda utilizada.

2. Establecer el ángulo de oscilación con un

graduador.

3. Determinar el peso de las masas utilizadas

con la ayuda de la balanza.

4. Utilizar un cronómetro para medir el periodo

de oscilación (T), realizar un numero N de

oscilaciones para cada una de las longitudes y

ángulos; dividir el tiempo entre N.

5. Anotar todos los datos que sean necesarios

en una tabla para permitir un mejor

entendimiento del movimiento, tales como,

longitud, peso de las masas utilizadas, ángulo

θ respecto al eje x y tiempo empleado (T) en

cada oscilación.

• Realizar los cálculos y diseñar las gráficas necesarias:

1. Ya teniendo la tabla de datos, se procede a

encontrar el valor del periodo (T).

2. Realizar el diagrama de cuerpo libre con las

fuerzas presentes en el sistema.

Figura 2. Montaje

5. CÁLCULOS Y RESULTADOS

Luego de realizar el montaje adecuado en el laboratorio con

una longitud del péndulo de 100 cm para iniciar y 11° de

amplitud, se procedió a tomar la medida del tiempo que

gasta el péndulo en realizar 5 oscilaciones para una masa de

10 g registrando los datos obtenidos en la tabla 1, con su

respectivo periodo para cada intento de medición.

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TABLA 1. Datos para péndulo con masa de 10 g.

Intento Tiempo t(s) Periodo T (s)

1 10,24 2,05

2 10,15 2,03

3 9,93 1,99

4 10,99 2,20

5 10,23 2,05

6 10,13 2,03

7 10,16 2,03

Se procedió luego a cambiar la masa del péndulo,

manteniendo constante la longitud y la amplitud angular y a

medir el tiempo para 5 oscilaciones tres veces más, los

datos obtenidos en esta parte de la experiencia se

registraron en la tabla 2, pero que por abreviación se

consolidaran el promedio de tiempo y periodo.

TABLA 2. Datos para diferentes masas.

Masa (g) Tiempo (s) Periodo(s)

10 10,26 2,05

20 10,15 2,03

40 10,10 2,02

60 10,17 2,03

La siguiente parte del experimento consistía en dejar una

masa fija de 20 g e ir cambiando la amplitud y la longitud

del péndulo, de forma tal que para cada ángulo de

oscilación se midan varias longitudes, tomando la medida

del tiempo que le toma al péndulo realizar 5 oscilaciones

para hallar el periodo posteriormente, realizando varios

intentos en las medidas. Los datos se registraron en la tabla

3, consolidando todas las medidas, mostrando solamente

por comodidad los promedios.

TABLA 3. Datos para masa 20 g con diferentes amplitudes y longitudes de péndulo.

Amplitud

(ΘΘΘΘ)

10° 15° 30°

Longitud L (cm)

Tiempo (s)

Periodo (s)

Tiempo (s)

Periodo (s)

Tiempo (s)

Periodo (s)

21 4,63 0,93 4,73 0,95 4,83 0,97

40 6,38 1,28 6,33 1,27 6,58 1,32

60 7,87 1,57 7,81 1,56 8,29 1,66

Amplitud

(ΘΘΘΘ)

45° 60°

Longitud L (cm)

Tiempo (s)

Periodo (s)

Tiempo (s)

Periodo (s)

21 4,89 0,98 5,08 1,02

40 6,64 1,33 6,79 1,36

60 8,29 1,66 8,30 1,66

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS

� Haga la gráfica T vs m con los datos de la tabla 2.

¿Cuánto vale la pendiente?

Para las 4 masas (10g, 20g, 40g y 60g) se obtuvo un periodo

entre un rango de 2,02 y 2,05 lo cual se aleja muy poco del

valor teórico equivalente a 2,01. Con los resultados

obtenidos se puede notar que a pesar de variar las masas,

la variación del periodo es mínima, se podría decir

despreciable. Teóricamente el periodo es constante, debido

a que este movimiento no depende de la masa, por lo cual

la pendiente de la gráfica es cero. Fue necesario realizar

una línea de tendencia a los datos obtenidos

experimentalmente mostrando así la veracidad de la

fórmula (anexo 1), ya que debido a los errores humanos

existentes en las mediciones, se presentaron variaciones en

los resultados esperados.

� Para cada valor de amplitud constante, grafique T

vs L. ¿Qué clase de relación sugiere estas gráficas entre

periodo y longitud?

Con la realización de las gráficas se puede notar que las

variables tienden a cumplir la función y=√� en donde y es el

periodo y x corresponde a la longitud del péndulo. Las

gráficas obtenidas de forma experimental (anexo 2) en

comparación con la gráfica teórica (anexo 3) presentan un

porcentaje de error pequeño, por lo que se puede decir que

las medidas fueron tomadas correctamente.

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� Linealice los datos de T vs L. Para ello, eleve L a la

potencia n, sugerida por las graficas del punto anterior.

Haga las gráficas correspondientes de T vs Ln

¿Cuál es el

valor de n?

Teniendo en cuenta la tendencia de las gráficas anteriores,

para la linealización el valor de n debe corresponder a 0,5, y

considerando la ecuación para el movimiento relacionando

las variables mencionadas se da, tomando como K a la

constante de 2π/g1/2

:

ln � � ln(� �/�)

ln � � ln � + ln �/�

ln � � ln � + 1/2 ln �

Por tanto los datos para graficar se encuentran en la

siguiente tabla:

TABLA 4.Datos para linealización

Amplitud 10 15

Raiz (L) T

4,58 0,93 0,95

6,32 1,28 1,27

7,75 1,57 1,56

T

30 45 60

0,97 0,98 1,02

1,32 1,33 1,36

1,66 1,66 1,66

Con la realización de las gráficas de linealización para

diferentes ángulos, se puede observar que en todas ellas se

presenta una relación de proporcionalidad directa entre el

periodo y la raíz cuadrada de la longitud.

� Encuentre la pendiente (pen) de cada gráfica. Sus

valores, con sus unidades. Realice una tabla.

El valor de la pendiente se obtiene mediante la relación

entre la variación de periodo y la variación de la raíz

cuadrada de la longitud, como sigue:

��� � ∆�∆√� , dando como unidades � √��⁄ , los datos se

consolidan en la tabla 4.

� ¿Cambia pen al cambiar θ, para los ángulos

pequeños?

Según las gráficas obtenidas para ángulos pequeños, se

observa una pequeña variación en las pendientes, casi

despreciable, la cual se puede justificar con los errores de

medición generalmente presentes durante las prácticas,

como la realización de un montaje inestable (donde las

variables deseadas no se mantienen constates) o un mal

manejo del cronometro.

Teniendo en cuenta la ecuación, el hecho de que la

pendiente no cambie mucho, se debe a que el periodo es

independiente de la amplitud, y para ángulos pequeños,

esta propiedad se observa más claramente que para

ángulos grandes.

TABLA 5. Datos de pen a diferentes amplitudes angulares.

Amplitud(θθθθ) Pendiente

(s/√��)

10 0,2049

15 0,1938

30 0,2183

45 0,2144

60 0,2031

� ¿Cómo cambia pen cuando θ toma valores

grandes?

Para grandes amplitudes angulares se observa una

disminución de la pendiente en la gráfica, a medida que la

amplitud aumenta, esto sucede debido a que la

aplicabilidad de la propiedad anteriormente mencionada (el

periodo no depende del ángulo de amplitud) es cada vez

menor a medida que el ángulo es mayor, puesto que la

amplitud del movimiento no se mantiene constante y el

tiempo que tarda en realizar el número de oscilaciones

establecidas, se vuelve cada vez menor. Modificando de

esta forma el comportamiento establecido por la

propiedad.

� Las unidades de pen sugieren que pen=C*gn. Anote el

valor de n y los valores de C para cada θ.

El valor de n es -1/2 y, sabiendo esto para calcular el valor

de C se toma en cuenta que C*g-1/2

es igual a la pendiente

de la gráfica de cada ángulo, por lo que los valores de C son:

C*g-1/2

=pen → C=pen*g1/2

TABLA 6. Valores de C para cada ángulo.

C θθθθ

6,38 10

6,04 15

6,82 30

6,89 45

6,35 60

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� Para los valores de θ pequeños el valor de C

sugiere que allí está contenida otra constante fundamental

de la física. ¿Cuál es?

Observando los datos de C obtenidos en la tabla anterior,

con el promedio de C para ángulos pequeños igual a 6,21,

se puede ver que la constante es π y que el producto de 2π

es un valor muy cercano al esperado, además concuerda

con la ecuación teórica para estos casos.

� Para θ pequeños escriba como depende T de todos

los parámetros estudiados.

El periodo es independiente de la masa, en cuanto a

longitud se nota la diferencia significativa por lo que se

muestra su dependencia con esta variable, finalmente, la

variación del periodo al cambiar los ángulos de oscilación es

poca, por lo que se podría decir que también es

independiente de estas, ya que por errores experimentales

se pudo provocar ese cambio.

� No se encontró dependencia matemática entre T y

θ, pero los resultados de la tabla 3 muestran que existe,

llámela f(θ). ¿Cuánto vale esta función para ángulos

pequeños?

Los datos obtenidos mediante la medición no son

suficientes para poder encontrar una función que se

acomode a lo deseado, ya que solo se tomaron medidas

para ángulos de 10 y 15 grados considerados como los

ángulos pequeños, solo dos datos que no dan la

información requerida.

Si tomamos en cuenta todos los ángulos y viendo la relación

mediante una gráfica de estos con el periodo se puede

obtener una función como:

T = f(θ) = 2*10-6θ3

– 0,008θ + 0,866

Función obtenida mediante herramientas informáticas

(Microsoft Excel), para una mejor exactitud.

7. CONCLUSIONES

• Se evidencia que el periodo solo depende de la

longitud de la cuerda, pero solo es apreciable y

demostrable en ángulos menores a 20°; esto se debe a

que en ángulos mayores, el rozamiento entre el aire y

la cuerda es muy alto.

• Contrario a la intuición la aceleración es máxima

cuando el objeto está quieto, debido a que es

necesario detener el cuerpo, y más aún para que este

regrese.

• La velocidad es máxima en la altura mínima pues es

aquí donde ha actuado por más tiempo la aceleración,

es decir, desde el momento de altura máxima a la

altura mínima.

• El movimiento en condiciones ideales debería ser

perpetuo, pero como se evidencio, este no lo es

debido al rozamiento con el aire

8. BIBLIOGRAFÍA

[1] Física, Serway, Raymond A, edit. Interamericana, México

(1985).

[2] Física, Resnick, Robert; Halliday, David; Krane, Kenneth S, edit.

CECSA (1993)

[3] Física, Tipler, Paul A., edit. Reverté, Barcelona (1978).