PEP 1 ASEP 2

Pregunta 1

Desarrollo PEP N1

Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia II

Integrantes:Jaime Daz

Juan Andrade

Vctor lvarez

Marco Salgado

Marco Silva

Patricio Madrid

Javier Escuti

Nicols Neveu

Juan Contreras

Profesor :Miguel Arias

Fecha:Jueves 15 de Enero de 2008

En el SEP de la figura 1 se conocen los datos que se indican, expresados en p.u.

Considere como referencia la barra 1.

Figura 1: SEP para analizar-Parmetros de lneas:

g0.590.391.181.180.591.18

b2.351.574.714.712.354.71

Tabla 1.

-Costos de generacin:

-Datos de carga y generacin:Barras

()

()

11.02---0.20.60

2----0.6(0.3)

31.041-0.20.60

4--0.4(0.1)

5--0.6(0.2)

Tabla 2.-Mediciones de potencia activa con instrumentos de igual calidad:

0.650.20.250.160.21-0.20.41-0.57

Tabla 3.Pregunta 1

a) Para el sistema de la figura, resuelva el problema de despacho econmico de carga sin considerar prdidas cuando la carga total vara entre 100 y 200 MW.

El despacho econmico ptimo implica encontrar una solucin tal que las potencias generadas por cada central, sea tal que los costos de operacin sean mnimos. Para el caso que no considera prdidas se debe cumplir que la suma de las potencias generadas debe ser igual a la potencia demanda total, que, en este caso, vara desde 100 a 200 MW. Es decir para el caso general (n generadores), se tiene:

En nuestro caso la formulacin ser la siguiente:

Se entregan las funciones de costos de generacin para los 2 generadores, las que se muestran junto a los costos incrementales:

Para iniciar la obtencin de cada generacin ptima, se deben igualar los costos incrementales (condicin de optimalidad), sujeto a la restriccin de que la generacin sea igual a la demanda. Analticamente, se tiene:

Como se puede apreciar esta condicin no es factible, ya que Pg1 0 [MW], por lo que las variaciones de carga inicial sern generadas por Pg3 = 100 [MW], para la carga mnima (100 [MW]).

Los costos incrementales, y totales para este valor sern:

La generacin seguir siendo por G3, hasta que alcance el costo incremental de G1 (8 [$/MW]), para lo cual se calcular la potencia que debe generar Pg3, esta potencia y los costos se calculan:

A partir de esta situacin se debe empezar a generar con ambas unidades, hasta llegar al valor del costo incremental mximo, (carga mxima = 200 [MW]), este costo incremental se saca del siguiente sistema de ecuaciones:

Para representar las generaciones para valores de costos incrementales, se harn algunos clculos para (8; 8,14544) [$/MW], para encontrar algunos intermedios se usarn los valores de int_1=8,05 [$/MW] y int_3=8,1 [$/MW].

Para resumir los resultados, se presenta la tabla XXX.

Sin Prdidas

Pd [MW]1 [$/MW]3 [$/MW]Pg1 [MW]Pg3 [MW]Costo G1 [$]Costo G3 [$]Costo Total [$]

10087,36010010,0698,0708,0

166,67880166,6710,01210,01220,0

178,1258,058,056,25171,87560,21251,81312,0

189,5838,18,112,5177,083110,61293,91404,5

2008,1458,14518,18181,82156,81332,31489,1

Tabla 4: Resumen de Costos para Anlisis sin Prdidas.

b) Debido a que en ste caso se consideran las prdidas en el sistema, es necesario considerar las prdidas en el sistema como

(prdidas en sistema son 2% de la generacin total)

Ahora es necesario redefinir las restricciones de potencia del sistema, para incluir las prdidas en ste:

[P1 1]

De forma anloga al problema anterior, de [P1 1] y [P1 3] se obtiene un sistema lineal de ecuaciones cuya solucin est dada por

[P1 6]Para Pc=100 [MW]

Igual que en el problema anterior, el criterio de optimalidad mediante la igualdad de costos marginales implica que G1 genere potencia negativa. Debido a que esto no es posible, se deja su generacin en 0 [MW]

G1 entra a generar desde que el costo marginal de G1 se equipara al de G3, con la condicin Pg1=0 [MW]

Y por lo tanto, la potencia consumida es un 2% menor a Pg2

Una vez que entra G1 a generar, tanto G1 como G3 operan a igualdad de costos marginales hasta que se alcanza el valor mximo del consumo.A continuacin se presenta un cuadro comparativo entre la situacin sin prdidas descrita en la pregunta anterior y la situacin de operacin del sistema con prdidas.Sin PrdidasPrdidas 2% Generacin total

Pg1 [MW]

1Pg3 [MW]3Pg1 [MW]

1Pg3 [MW]3Pc [MW]

081007.36081037.38100

081607.84081637.867160

081747.966081788.00174

0817882.048.0161808.016178

1212188200148.1111908.111200

Tabla 5: Comparacin de los mtodos con y sin prdidas Se observa de la tabla comparativa entre el despacho econmico del sistema sin prdidas y con prdidas de un 2% de la potencia total generada, que para la situacin con prdidas, los costos marginales son mayores que la situacin sin prdidas, para una misma potencia de consumo. La central G1 entra a operar para una potencia de consumo inferior que la que se presenta en el despacho sin prdidas. Lo anterior se debe a que debido a la accin de las prdidas, los niveles de generacin aumentan y por tanto los costos marginales., por lo tanto, se requieren niveles de carga menores para hacer que el costo marginal de la G3 se equipare al de G1 y as sta ltima entre a generar.c) A continuacin se presenta el desarrollo de un flujo de potencia ptimo considerando el modelo DC de la red del problema. Se consideraron las cargas y lmites de reactivos especificados en la tabla 2. El problema de optimizacin es planteado en trminos de las siguientes variables

Donde:: ngulos de fase de tensiones de barras.

V: Mdulos de tensiones de barras.

Pg: Potencia activa entregada por generadores.

Qq: Potencia reactiva entregada por generadores.

El problema de optimizacin puede ser expresado como sigue:

(Ecuacin de balance de potencia activa)

Donde:

Funcin de costos de generador i

Se utiliz el programa Matpower para realizar el FPO minimizando costos de generacin.

Se presenta a continuacin los parmetros ingresados:

Los resultados obtenidos se presentan a continuacin max Directional First-order

Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure

1 3 1166.88 0.1209 1 -324 79

2 5 1166.88 0.001754 1 9.64e-014 0.143

3 7 1166.88 1.245e-007 1 -8.29e-014 0.000127 Hessian modified

Optimization terminated successfully:

First-order optimality measure less than options.TolFun and

maximum constraint violation is less than options.TolCon

Active Constraints:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17

21

26

Converged in 0.09 seconds

Objective Function Value = 1166.88 $/hr

================================================================================

| System Summary |

================================================================================

How many? How much? P (MW) Q (MVAr)

--------------------- ------------------- ------------- -----------------

Buses 5 Total Gen Capacity 2000.0 -40.0 to 120.0

Generators 2 On-line Capacity 2000.0 -40.0 to 120.0

Committed Gens 2 Generation (actual) 160.0 94.0

Loads 3 Load 160.0 60.0

Fixed 3 Fixed 160.0 60.0

Dispatchable 0 Dispatchable 0.0 of 0.0 0.0

Shunts 0 Shunt (inj) 0.0 0.0

Branches 6 Losses (I^2 * Z) 0.00 33.97

Transformers 0 Branch Charging (inj) - 0.0

Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0

Areas 1

Minimum Maximum

------------------------- --------------------------------

Voltage Magnitude 0.965 p.u. @ bus 4 1.034 p.u. @ bus 1

Voltage Angle -5.59 deg @ bus 4 10.12 deg @ bus 3

P Losses (I^2*R) - 0.00 MW @ line 1-2

Q Losses (I^2*X) - 15.85 MVAr @ line 2-3

Lambda P 7.94 $/MWh @ bus 4 7.94 $/MWh @ bus 2

Lambda Q -0.00 $/MWh @ bus 3 -0.00 $/MWh @ bus 1

================================================================================

| Bus Data |

Bus Voltage Generation Load Lambda($/MVA-hr)

# Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P Q

----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- -------

1 1.034 0.000 -0.00 47.21 - - 7.936 -

2 0.969 0.251 - - 60.00 30.00 7.936 -

3 1.018 10.117 160.00 46.76 - - 7.936 -

4 0.965 -5.589 - - 40.00 10.00 7.936 -

5 1.000 1.668 - - 60.00 20.00 7.936 -

-------- -------- -------- --------

Total: 160.00 93.97 160.00 60.00

================================================================================

| Branch Data |

================================================================================

Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z)

# Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)

----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- --------

1 1 2 -1.10 16.79 1.10 -15.73 0.000 1.06

2 1 4 16.22 12.66 -16.22 -10.29 0.000 2.37

3 1 5 -15.12 17.75 15.12 -16.74 0.000 1.01

4 2 3 -84.88 -16.40 84.88 32.25 0.000 15.85

5 2 4 23.78 2.14 -23.78 0.29 0.000 2.43

6 3 5 75.12 14.51 -75.12 -3.26 0.000 11.25

-------- --------

Total: 0.000 33.97

================================================================================

| Voltage Constraints |

================================================================================

Bus # Vmin mu Vmin |V| Vmax Vmax mu

----- -------- ----- ----- ----- --------

5 - 0.900 1.000 1.000 0.000

================================================================================

| Generation Constraints |

================================================================================

Gen Bus Active Power Limits

# # Pmin mu Pmin Pg Pmax Pmax mu

---- ----- ------- -------- -------- -------- -------

1 1 0.064 0.00 -0.00 1000.00 -

A continuacin se presenta una tabla que permite comparar el resultado obtenido anteriormente, con el obtenido para el despacho econmico sin prdidas

Sin PrdidasFPO DC

Pg1 [MW]

1Pg3 [MW]3Pg1 [MW]

1Pg3 [MW]3Pc [MW]

081607.84081607.84160

Tabla 6: Comparacin entre mtodosSe observa que los resultados obtenidos son idnticos para ambos casos.d) Resuelva el FPO usando el modelo AC de la red elctrica y considerando lmites de generacin de reactivos especificados en la tabla 2. Compare resultados

El problema de optimizacin es planteado en trminos de las siguientes variablesDonde: : ngulos de fase de tensiones de barras.






(Ecuaciones de balance de potencia reactiva)

(Restricciones de generacin de Q generador 1).

(Restricciones de generacin de Q generador 3).Donde:

Funcin de costos de generador i

Clculo (por FP) de P y Q

Se utiliz el programa Matpower para realizar el FPO minimizando costos de generacin. Por continuidad, se presentan los parmetros ingresados a dicho programa.

Resultados obtenidos tras aplicar el flujo de potencia ptimo

Mediante la siguiente tabla es posible comparara los FPO tanto AC como DC realizados para el sistema, para la condicin de carga indicada en la tabla 2.Tipo de FPOPg1 [MW]Pg3 [MW]1 [$/MWh]3 [$/MWh]

DC016087,84

AC28.19138.378,2267,728

Tabla 7: Comparacin entre flujos AC y DCSe observa que al aplicar FPO AC, se logra que tanto G1 como G2 estn despachadas, debido a las prdidas en el sistema. Se observa que las prdidas del sistema para el FPO AC son de un 4 % de la generacin total.e) Considerando ahora Pg3= 80 [MW], la carga por barra especificada en Tabla 2 y el modelo AC del SEP, resolver el FPO para minimizar prdidas.El problema de optimizacin es planteado en trminos de las siguientes variables

Donde

: ngulos de fase de tensiones de barras.






(Ecuaciones de balance de potencia reactiva)

(Restricciones de generacin de Q generador 1.

(Restricciones de generacin de Q generador 2.

Donde:

Funcin de prdidas de transmisin.

Clculo (por FP) de P y Q

La obtencin de los coeficientes de prdidas se realiz mediante el programa Bloss (libro Hadi Saadat), para el despacho ptimo obtenido en la pregunta anterior.Se presenta el cdigo empleado

Despreciando B00 y B0 y considerando Pg3=80 [MW], se obtienen las prdidas del sistema

[P1 7]Para realizar el FPO se utiliza Matpower. Dicho programa, por defecto, realiza FPO AC minimizando costos de generacin. Como el objetivo ahora es minimizar prdidas, se recurrir a la siguiente artimaa:-Como se requiere minimizar prdidas y stas, como se aprecia en [P1 7] slo dependen de Pg1, se dir que dicha ecuacin es el costo de generacin de G1. Por otro lado, se dir que el costo de generacin de G2 es 0. Finalmente, como Pg3 debe generar 80 [MW], se pondr en el FPO que la potencia generada por G3 est entre 79.9 y 80.1 [MW]. De esta forma Matpower cree que realiza FPO AC minimizando costos de generacin, cuando est minimizando prdidas.

Se presenta a continuacin el cdigo empleado:

Se indican los valores solicitados:Pg1 [MW]84,79

Qg1 [MVar]39,82

Pg3 [MW]80

Qg3 [MVar]39.66

Tabla 8: Resumen de valores para flujo ACA manera de comparacin de los resultados obtenidos en esta pregunta con los obtenidos para el FPO AC se presenta la siguiente tabla

Fun. Objetivo FPO ACPrdidas [MW]Costo de generacin [$]

Costo de generacin6.5621226.16873

Prdidas de sistema4.8771270.4351

Tabla 9: Resumen de valores para flujo AC

Se observa en la tabla que, para el sistema bajo estudio, minimizar costos de operacin no implica minimizar prdidas del sistema y viceversa.

Pregunta 2:a) Usando el modelo lineal, las mediciones de potencia activa de Tabla 3 y aplicando mnimos cuadrados, estime el estado de operacin del SEP y las variables medidas.

b) Aplique el test de deteccin de errores, e indique si los valores medidos son aceptables o no.

c) Con la solucin del estimador DC, y usando las ecuaciones del flujo de potencia AC, calcule los flujos de potencia activa y reactiva en las lneas.

d) Agregue las medidas Aplicando ahora el modelo AC, estime el estado de operaron del SEP va mnimos cuadrados ponderados y evalu la calidad de las mediciones.

e) Considerando como caso base los datos de potencia activa generada y consumido de Tabla 2, determine la capacidad de transmisin de las lneas para obtener una operacin segura frente al siguiente listado de contingencias simples:

Aumento de carga desde 0.4 a 0.8 p.u.

Prdida de la lnea

Prdida de generador

DESARROLLOa) Con las susceptancias de las lneas y los flujos medidos del sistema podemos expresar los ngulos de las barras, el procedimiento es el siguiente:

Considerando que

Con lo anterior podemos expresar estas ecuaciones por el mtodo matricial, donde se obtiene:

La expresin para calcular los ngulos de las barras por el mtodo de mnimos cuadrados ser:

Donde el producto es llamado matriz de ganancia, esta tiene el siguiente valor:

Luego resulta que la estimacin de los ngulos est dada por:

La estimacin del vector de estado ser:

La estimacin del vector de medidas ser:

b) La deteccin de errores se realizar mediante el test de

El anlisis de los residuos se puede usar para evaluar la calidad del conjunto de medidas (decidir si se debe o no sospechar de la existencia de datos errneos)

Los residuos sern:

Al resolver el estimador de mnimos cuadrados y calcular la funcin objetivo donde es el estado estimado.

Grados de libertad= N de Medidas - N de Variables = 8 4 = 4

De la tabla , con un 99% de confianza y con 4 grados de libertad se tiene que:

EMBED Equation.3 Como 3.3425 < 13.2767 se puede concluir que con un 99% de confianza existe evidencia suficiente para indicar que no se detectan errores.

c) Ahora calculo de flujos de potencia activa y reactiva en las lneas, utilizando las ecuaciones de flujo de potencia AC que son:

Los valores obtenidos para los de la parte anterior en radianes son:

Considerando un perfil plano de tensin los valores del las potencias activas sern:

Las potencias reactivas sern:

Se observar una comparacin entre los resultados medidos y aquellos estimados, esta comparacin ser entre las potencias activas estimadas y las potencias activas medidas (que son 7, hay slo una medicin de inyeccin de potencia)VariableValor Medido [pu]Valor Estimado [pu]Residuo [pu]

P1-20,20,19160,0084

P1-40,250,23610,01392

P2-40,160,16620,00622

P1-50,210,20970,0003

P5-1-0,2-0,20650,0065

P3-50,410,39650,0135

P2-3-0,57-0,5860,01616

Tabla 10: Comparacin valores estimados y medidos

d) Se agregaran dos medidas de tensin al conjunto de medidas propuestas inicialmente, las cuales son V3=1.04 y V5=1.0Aplicando modelo AC, y utilizando mnimos cuadrados ponderados describimos el siguiente algoritmo:

i) Consideramos como valores iniciales del vector de estado los valores para las tensiones y ngulos, hacer k=0.

ii) Ahora definimos la matriz hk(x) la cual contiene los valores reales del sistemah(1,1)=V3;

%voltaje barra 3h(2,1)=V5;

%voltaje barra 5h(3,1)=V1*V2*(0.39*cos(T1-T2)+1.57*sin(T1-T2))+V1*V4*(0.39*cos(T1-T4)+1.57*sin(T1-T4))+V1*V5*(0.39*cos(T1-T5)+1.57*sin(T1-T5)); %Potencia neta 1h(4,1)=V1*V2*(0.59*cos(T1-T2)+2.35*sin(T1-T2))-0.59*V1^(2);%P1-2h(5,1)=V1*V4*(0.39*cos(T1-T4)+1.57*sin(T1-T4))-0.39*V1^(2);%P1-4h(6,1)=V2*V4*(0.59*cos(T2-T4)+2.35*sin(T2-T4))-0.59*V2^(2);%P2-4h(7,1)=V1*V5*(1.18*cos(T1-T5)+4.71*sin(T1-T5))-1.18*V1^(2);%P1-5h(8,1)=V5*V1*(1.18*cos(T5-T1)+4.71*sin(T5-T1))-1.18*V5^(2);%P5-1h(9,1)=V3*V5*(1.18*cos(T3-T5)+4.71*sin(T3-T5))-1.18*V3^(2);%P3-5h(10,1)=V2*V3*(1.18*cos(T2-T3)+4.71*sin(T2-T3))-1.18*V2^(2);%P2-3h(11,1)=V1*V2*(0.59*sin(T1-T2)-2.35*cos(T1-T2))+V1*V4*(0.39*sin(T1-T4)-1.57*cos(T1-T4))+V1*V5*(1.18*sin(T1-T5)-4.71*cos(T1-T5));

%Q1h(12,1)=V1*V2*(0.59*sin(T1-T2)-2.35*cos(T1-T2))+2.35*V1^2;

%Q1-2h(13,1)=V1*V4*(0.39*sin(T1-T4)-1.57*cos(T1-T4))+1.57*V1^2;






%Q2-3iii) Calcular los residuos

iv) Obtener H y calcular

EMBED Equation.3 v) resolver

vi) Actualizar el vector de estado y hacer k=k+1 (Actualizar los valores de ngulo y mdulos de voltaje).vii) si In C:\Documents and Settings\Usuario\Mis documentos\DIE-usach 2do 2008\ASEP II\Laboratorio\Tema 1\Bloss.m at line 13

In C:\Documents and Settings\Usuario\Mis documentos\DIE-usach 2do 2008\ASEP II\Laboratorio\Tema 1\FormacionB.m at line 39

B =

0.1374 0.0183

0.0206 0.0374

B0 =

1.0e-016 *

0.4602 -0.3321

B00 =

4.8033e-016

Total system loss = 10.1359 MW

function [baseMVA, bus, gen, branch, areas, gencost] = PEP1Ae

%%Datos de flujo de potencia

%% system MVA base

baseMVA = 100;

%% bus data

%bus_itypePdQdGsBs area Vm Va baseKVzoneVmaxVmin

bus = [

1 3 0 0 0 0 1 1.02 0 110 1 1.05 0.9;

2 1 60 30 0 0 1 1.0 0 110 1 1 0.9;

3 2 0 0 0 0 1 1.04 0 110 1 1.05 0.9;

4 1 40 10 0 0 1 1.0 0 110 1 1 0.9;

5 1 60 20 0 0 1 1.0 0 110 1 1.0 0.9;

];

%% datos del generador

%busPg QgQmaxQmin Vg mBase statusPmaxPmin

gen = [

1 100 0 60 -20 1.02 100 1 1000 0

3 80 0 60 -20 1.04 100 1 80.1 79.9 ];

%fbus tbus r x b rateArateBrateCratioanglestatus

branch = [

1 2 0.100 0.400 0 500 500 500 0 0 1

1 4 0.149 0.599 0 300 300 300 0 0 1

1 5 0.05 0.199 0 300 300 300 0 0 1

2 3 0.05 0.199 0 1600 1600 1600 0 0 1

2 4 0.100 0.400 0 1250 1250 1250 0 0 1

3 5 0.05 0.199 0 1250 1250 1250 0 0 1 ];

%% area data

areas = [

11;];

%% datos del costo del generador

%1startupshutdownnx0y0...xnyn

%2startupshutdownnc(n-1)...c0

gencost = [

2 0 0 3 0.001374 0.03112 2.3936

2 0 0 3 0 0 0

];

return;

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1289299174.unknown

_1289903200.unknown

_1290817471.unknown

_1290817781.unknown

_1290818807.unknown

_1290818897.unknown

_1290818896.unknown

_1290818798.unknown

_1290818517.unknown

_1290817664.unknown

_1290817696.unknown

_1290817623.unknown

_1290817662.unknown

_1290817622.unknown

_1289904543.unknown

_1290761690.unknown

_1290767017.unknown

_1290767077.unknown

_1290783117.unknown

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_1290767063.unknown

_1290762004.unknown

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_1289930892.unknown

_1290729141.unknown

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PEP 1 ASEP 2

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