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Investigacion de Operaciones 1Programacion Entera

Formulacion

Yris Olaya Morales

9 de junio de 2009

Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion

Programacion entera

I Problema lineal con restriccion de integralidad para algunavariableAplicaciones:

I Problemas con costos iniciales, fijos y otras economıas deescala

I Organizacion de recursos

I Programacion de tareas

I Formulacion para un problema (parte) especıfico mas efectiva


Programa entero puro

Todas las variables restringidas a tomar valores enteros

max z = x1 + x2

s.t10x1 − 8x2 ≤ 13

2x1 − 2x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0, x1, x2 enteros


Programa entero mixto

Algunas variables restringidas a tomar valores enteros

max z = x1 + x2

s.t10x1 − 8x2 ≤ 13

2x1 − 2x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0, x1 entero


Ej. Formulacion presupuesto inversiones

Encontrar el programa de inversion que maximice el VPN.

Inversion Costo Inicialj NPVj Cj

1 16000 50002 22000 70003 12000 40004 8000 3000

Capital disponible 14000



Parametros

NPVj = Valor presente neto proyecto j = 1, . . . , 4

Cj = Costo ano 1 proyecto j = 1, . . . , 4

Cap = Capital disponible

Variables

xj =

{1 si invierte en j0 de otra forma

}max

∑j

NPVjxj

s.a :∑

j

Cjxj ≤ cap

xj binario ∀j = 1, . . . , 4



Anadir nuevas restricciones:

1. Maximo dos inversiones son posibles.∑j

xj ≤ 2

2. Si se invierte en 2, debe invertirse en 1 tambienx2 − x1 ≤ 0

3. Si se invierte en 2, no puede invertirse en 4x2 + x4 ≤ 1


Formulacion de restricciones con variables binarias

En los siguientes problemas, las variables x son continuas y lasvariables z son binarias.

I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccione cuandomucho una.´´z1 + z2+, . . . , +zk ≤ 1

I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccioneexactamente una.´´z1 + z2+, . . . , +zk = 1

I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccione almenos una.´´z1 + z2+, . . . , +zk ≥ 1

I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccione mas detres.´´z1 + z2+, . . . , +zk ≥ 4


Variables de control


I “Si se construye la bodega z = 1, se pueden almacenar hasta13 toneladas de x en ella.´´ Esto equivale a “Si z = 0,entonces x = 0, pero si z = 1, entonces x ≤ 13.´´x ≤ 13z

I “Si se construye la bodega z = 1, debe usarse para almacenaral menos 56 toneladas pero no mas de 141 toneladas de x enella.´´ Esto equivale a “Si z = 0, entonces x = 0, pero siz = 1, entonces x ∈ [56, 141].´´x ≥ 56zx ≤ 141z


Decisiones


I “El satelite z1 puede lanzarse solo si tiene un propulsorcompatible z2´´ . Esto es equivalente a: ”z1 solosı z2´´ tambien es equivalente a: ”z1 es suficiente para z2´´ ya ”z1 implica z2´´z1 ≤ z2

I “z3 puede producirse sı y solo sı hay una maquina z1 y unoperario z2 disponibles´´z3 ≤ z1

z3 ≤ z2

z3 + 1 ≥ z1 + z2


Decisiones


I “El proyecto z3 puede financiarse sı y solo sı el proyecto z1, oel proyecto z2, o ambos, se financian´´z3 ≤ z1 + z2

z3 ≥ z1

z3 ≥ z2

I “La lınea de empaque z3 puede recibir productos o de la lıneade procesamiento z1, o de la lınea de procesamiento z2´´z3 ≤ z1 + z2

z3 ≥ z1 − z2

z3 ≥ −z1 + z2

z3 ≤ 2− z1 − z2


Ej. Formulacion problema cubrimiento total

A cada miembro de un conjunto 1 debe asignarse un miembroaceptable de un miembro de otro conjunto 2. Objetivo:minimizar elnumero de elementos de 2 requeridos para cubrir todos loselementos de 1.


Ej. Formulacion problema cubrimiento total

I 6 ciudades en una region

I Construir el menor numero de estaciones de bomberos,asegurandose de que cada ciudad esta maximo a 15 min. dealguna estacion.

CiudadCiudad 1 2 3 4 5 6

1 0 10 20 30 30 202 10 0 25 35 20 103 20 25 0 15 30 204 30 35 15 0 15 255 30 20 30 15 0 146 20 10 20 25 14 0


Ej. Problema cubrimiento total

ciudades : 1, . . . , 6tvij= duracion (min) viaje entre i y j , ∀i , j ∈ ciudadesCi : {j ∈ ciudades |tvij ≤ 15}

xi = { 1 si se construye una estacion en i0 de otra forma

mın z =∑

i

xi

s.t :∑j∈Ci

xj ≥ 1 ∀i ∈ ciudades

xi = 0 o 1 ∀i ∈ ciudades


Ej. Formulacion problema cargo fijo

Costo asociado con un nivel de actividad mayor que cero,independiente del nivel de actividad.

Ej. ConfeccionistaVende: camisetas, shorts, pantalones. Cada prenda se elabora enmaquinaria distinta, que debe alquilarse. Cada prenda se vende aun precio distinto y tiene distintos requerimientos de tela y manode obra, ası como distintos costos variables.

Tipo de Mano Costo Alquilerprenda de obra Tela Precio Variable Maquinaria

j hr/unidad m2/unidad $/unidad $/unidad $/semanaCamiseta 3 4 12 6 200Short 2 3 8 4 150Pantalon 6 4 15 8 200Total disponible 150 160



j = { camisas, shorts, pantalones }Parametros

Lj = horas mano de obra requeridas para elaborar una unidadde producto j

Cj = metros cuadrados de tela requeridos para elaborar unaunidad de j

Fj = costo alquiler maquinaria que produce j , $/semana

Vcj = costo variable de produccion de j , $/unidad

Pj = precio de venta de j , $/unidad

Variables

xj = unidades de prendas j elaboradas

yj = { 1 si la prenda j se elabora0 de otra forma



max∑

j

Pjxj −∑

j

(Fjyj + Vcjxj)

s.a :∑

j

Ljxj ≤ 150

∑j

Cjxj ≤ 160

xj ≤ Mjyj ∀jxj ≥ 0, yj binario

¿Que significa Mj ?


Formulacion programas enteros

Satisfacer una de dos restricciones:

I Lote mınimo de produccion de prendas j es 10 unidadesxj ≤ 0 o xj ≥ 10En el ejemplo anterior: xj ≤ Mjyj .anadir:10− xj ≤ Mj(1− yj)Si yj = 1, xj ≥ 10Si yj = 0, xj ≥ 10−Mj , pero xj ≤ Mjyj −→ xj = 0

¿Cual es el valor de Mj?


Formulacion programas enteros

f (x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (1)

g(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (2)

En general, si: (1) o (2) deben cumplirse,agregar:

f (x1, x2, . . . , xn) ≤ My (3)

g(x1, x2, . . . , xn) ≤ M(1− y) (4)

Donde

y es una variable binaria

M es lo suficientemente grande como para que (3) y (4) secumplan para todo valor de xj


Formulacion de programas enteros

Restricciones tipo “si, entonces”f (x1, x2, . . . , xn) > 0→ g(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0

Si f (x1, x2, . . . , xn) > 0 se satisface, entoncesg(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0 puede satisfacerse o no

Anadir:

− g(x1, x2, . . . , xn) ≤ My (5)

f (x1, x2, . . . , xn) ≤ M(1− y) (6)

y es una variable binaria

M es lo suficientemente grande como para que (5) y (6) secumplan para todo valor de xj


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