Control de un Péndulo Invertido

Edyson Guillermo - José Larriva - José Trelles.

Cuenca – Ecuador, 2003

Introducción:

El Control de un Péndulo Invertido es un proyecto que contiene tanto sistemas mecánicos como electrónicos y es el principio básico de funcionamiento de los transbordadores espaciales. La coordinación perfecta entre los sistemas mecánicos y electrónicos hace de este proyecto un tema de gran atención en los sistemas de control retroalimentados.

En el documento incluimos todo un análisis minucioso del diseño de un controlador

electrónico, la experimentación para determinar los parámetros necesarios para el análisis matemático y las consideraciones para el correcto funcionamiento del péndulo invertido.

Mediante el estudio de este documento, el lector tendrá muchas bases para el

desarrollo e implementación de su proyecto o proyectos afines que tengan relación con los sistemas de control retroalimentados.

1. Diseño del Sistema Mecánico:

Como elemento de guía y empuje para el péndulo se va ha utilizar un sistema de riele y banda dentada como el que se muestra a continuación: Este diseño nos ayudará posteriormente en el análisis matemático, ya que la banda dentada en este caso presenta un coeficiente de elasticidad prácticamente despreciable. Además la fricción viscosa entre la banda y los discos dentados de los extremos, también se puede obviar si se considera un ajuste perfecto y una fuerza de arrastre normal. Con respecto al eje del péndulo, se utilizará el siguiente diseño: Con este diseño, aseguramos de mejor manera un movimiento de un solo grado de libertad en el péndulo. Para el sistema de tracción de la banda se utiliza el motor COPAL LC30G191C con caja de engranajes incluida (ver ANEXO 1), en conjunto con un grupo adicional de engranajes que se utilizan para enlazar la banda al eje del motor, este se muestra a continuación:

Banda Dentada

Rieles Metálicas

Rodamientos

Eje del Péndulo

2. Diseño del sensor de posición para el péndulo:

La posición del péndulo viene representada por el ángulo θp medido con respecto al eje vertical del péndulo. Existen muchas maneras de medir este ángulo, ya sea con sensores magnéticos, electroestáticos o infrarrojos. Para este proyecto se ha optado por la utilización de sensores LDR, debido a que son fácilmente asequibles y de control sencillo, y principalmente a que su curva de resistencia versus intensidad luminosa, tiene una zona muy amplia, en donde el dispositivo es bastante lineal, esto se puede observar a continuación:

Zona ≅ Lineal

Caja de Engranes

Engranes de Acople

Bajo estás condiciones el diseño físico del sensor es el siguiente: Se han utilizado 2 LDRs con el fin de especificar una dirección de rotación del péndulo, estas a su vez se han encerrado en un compartimiento angosto, con el fin de mantener un nivel de luz ambiente bajo, de tal manera que esto no afecte de sobremanera el muestreo de la posición del péndulo. La conexión de estas LDRs es la siguiente: 3. Diseño del sistema de manejo del motor de Corriente Continua:

El amplificador-manejador del Motor CC utilizado, es un diseño en estructura “Puente” de amplificadores operacionales y transistores BJT de mediana potencia, con un circuito adicional de compensación para eliminar el “Tiempo Muerto” del motor, es decir, el circuito provee el nivel de tensión necesario, para que el motor empiece a moverse, cuando la señal de ingreso es ligeramente mayor o menor que 0V. La operación del circuito es bastante simple si se lo divide en 2 bloques principales. El primer bloque lo conforma el compensador, que básicamente compara el nivel de la señal de ingreso contra un voltaje de referencia de 0V. Si el voltaje es mayor (menor) a 0V, adiciona un voltaje aproximado de 0.5V (-0.5V) a la señal de entrada. A continuación se muestra una gráfica de la señal de ingreso versus la señal de salida:

Vout

Vin

t

V

LDR1

LDR2

20K

20K 10K

10K

10K

10KVL

VP

e1(t)

TL084CN

+12 V

El segundo bloque lo conforma el amplificador de potencia. El funcionamiento es el siguiente: Cuando la señal del compensador es positiva, los transistores Q1 y Q3 funcionan, alimentando al motor en un sentido, y cuando la señal es negativa, los transistores Q2 y Q3 funcionan, invirtiendo la alimentación del motor y por ende el giro del mismo. La amplificación de voltaje está establecida por los 2 operacionales, conectados como inversor y no inversor respectivamente. Como se puede concluir, la función de los transistores es proveer la corriente demandada por el motor, por lo que es importante que sus voltajes e intensidades, estén en rangos normales de trabajo. Para comprobar esto realizaremos el cálculo de la potencia de los mismos: Máximo Voltaje CE: 24V Máxima Intensidad CE: 0.1A (Incluyendo el Péndulo) Potencia Disipada: 2.4W Para los transistores TIP31C y TIP32C estos parámetros tienen los siguientes valores: Máximo Voltaje CE: 50V Máxima Intensidad CE: 4A Potencia Disipada: 40W De lo anterior vemos que los transistores utilizados se ajustan perfectamente a las necesidades del motor. 4. Modelado matemático del Péndulo y Base móvil:

Para esto, utilizaremos del método de Coordenadas Generalizadas y las Ecuaciones de Lagrange, mismas que se aplicarán al siguiente modelo matemático del péndulo con 2 grados de libertad:

L cos θP

L sen θP

θP

L

x Gp

mp, I

M

BP

BC

Aplicando las Ecuaciones de Lagrange para las coordenadas generalizadas x y θp tenemos:

Si consideramos al sistema solo para pequeñas oscilaciones, tenemos: 1) 2) Estas son las ecuaciones que describen el movimiento del péndulo junto con su base móvil. Es necesario mencionar que este modelo, como su nombre lo dice, es una representación de la realidad física, de esta manera el péndulo, puede tomar cualquier forma, lo único que interesa es tener la distancia al centro de masa y su momento de inercia con respecto al mismo, para poder analizar su comportamiento. 5. Modelado matemático del Sistema de Control Mecánico-Electrónico

y péndulo.

Para este modelo se han tomado las siguientes consideraciones:

La banda no tiene coeficiente de elasticidad. No se considera fricción entre los discos dentados de la banda ni de la caja de

engranajes. No se considera la fricción ni Momentos de Inercia en los discos de la banda. No se considera constante de torsión en los ejes de los engranes ni de los

discos de la banda. No se considera capacitancias en el motor. Los amplificadores presentan una función lineal entre +/-10V. Los sensores trabajan en la zona lineal (relación constante). El sistema de riel asegura un solo grado de libertad para el movimiento de la

base(x)

QxxT

xT

dtd

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

&

ppp

QθθT

θT

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

( ) xBFsenθθLmcosθθLmxmM cp2

pppppp &&&&&& −=−++

ppppppppp2

ppp θBgLsenθmθIsenθθxLmθLmcosθxLm &&&&&&&&& −=+−+

( ) FxBθLmxmM cppp =+++ &&&&&

( ) pppppp2

p gLθmθBxLmθLmI =+++ &&&&&

Las ecuaciones del sistema en el dominio del tiempo son las siguientes: 6. Deducción de las funciones de Transferencia del Sistema:

Antes de establecer un diagrama de bloques del Sistema de Control y posteriormente obtener las funciones de transferencia, es necesario transformar las ecuaciones anteriores al dominio de Laplace, para su fácil manipulación. A continuación se muestran estas ecuaciones transformadas y reacomodadas:

fi Θ-ΘΑ = fa EKE ⋅= ΑKE ff ⋅=

aa

faa sLR

EEI

+−

= mbb ΘsKE ⋅= aim IKT ⋅=

21 TnT ⋅= nΘΘ nm =

FrT 13 ⋅= n1 Θrx ⋅=

mm2

1mm sBJs

TTΘ+−

=

nn2

32n sBJs

TTΘ+−

=

( ) XPXgLmsBLmIs

LmsΘ 1

pp2

p2

p2

p ⋅=⋅−++

−=

( )( ) XPX

gLmsBLmIssBLmsmMs

F 2pp

2p

2c

22p

4p

2

⋅=⋅−++

+−+=

La

Ra

+ Kf -

θi

θp

α

eb

ia Tm,θ

T1

n M

T3

T2,θn

Jn,Bn

r1

Sensor x F

K

ea

ef

fa eKe ⋅= αKe ff ⋅=

baaaaa eiLiRe +⋅+⋅= &mbb θKe &⋅= aim iKT ⋅=

1mmmmm TθBθJT +⋅+⋅= &&&21 TnT ⋅= nθθ nm =

3nnnn2 TθBθJT +⋅+⋅= &&& FrT 13 ⋅= n1 θrx ⋅=

pi θθα −=

Basándonos en estás ecuaciones podemos establecer el siguiente diagrama de bloques: Para facilitar los análisis de estabilidad, reduciremos este diagrama a uno más simple, en donde se pueda distinguir fácilmente la planta a controlar, este diagrama se obtiene encontrando la función de transferencia entre θp y α. Este diagrama se muestra a continuación: En donde la función de transferencia de la planta es la siguiente: De está ecuación se puede concluir que los análisis de estabilidad deben ser hechos en función del parámetro de amplificación K del amplificador de potencia, por ser fácil de ajustar a diferencia de los otros que dependen de la construcción de la maqueta y el péndulo.

( ) n3n22

1nn2

2 ΘPΘPrsBJsT ⋅=⋅++=

pGiΘ Α

pΘ

5

4p P

PG = KKnKrs·LmP fi1p4 −=

( ) ( ) ( )[ ][ ++++++= an2

man2

man2

m2

5 LBnBRJnJsLJnJsP

( )[ ]] ( )[ ]+−++⋅+++ gLmsBLmIsKKBnBR pp2

p2

ibn2

ma

( ) ( )[ ]c22

p3

paa2

12 BLmsmMssLRrn +−+⋅++

aa sLR1+ mm

2 sBJs1+

bsK

11 Pr

3nP

K iK niΘ Α

aEbE

aI mT

1T

mΘ nΘpΘ

fKfE

7. Obtención de la constantes del sistema:

En el punto anterior, se pudo observar, que el sistema en general está constituido por una serie de valores constantes, tales como fricciones, momentos de inercia, etc. En esta sección se explicará como se obtiene, en la práctica, estos valores para de esta manera, pasar a la siguiente etapa del proyecto que son las pruebas de estabilidad. A continuación se listan todas las constantes a determinar:

Ra: Resistencia interna del Motor La: Inductancia interna del Motor Ki: Constante de Torque del Motor Kb: Constante de Velocidad del Motor Jm: Momento de Inercia del Motor Bm: Fricción Viscosa del Motor n: Relación del Juego de Engranajes r1: Radio del disco de la Banda Jn: Momento de Inercia del Juego de Engranajes Bn: Fricción Viscosa del Juego de Engranajes M: Masa de la Base Móvil mp: Masa del Péndulo Bc: Fricción Viscosa de la Base Móvil Bp: Fricción Viscosa del Eje del Péndulo I: Momento de Inercia del Péndulo L: Distancia desde el eje de rotación hacia el centro de masa

del Péndulo Kf: Relación Grados / Voltios del sensor de Posición

Ra: Para su determinación, simplemente se utiliza un óhmetro, sin embargo se debe tener cuidado en el valor que se mida, ya que esto dependerá de la posición de las escobillas del motor. El valor correcto es aquel que es más pequeño.

Ra = 33.2 Ω La: Para esto es necesario alimentar al Motor con una tensión alterna de bajo voltaje (aproximadamente la mitad del voltaje nominal en CC del Motor) y con la ayuda de un osciloscopio de doble trazo medir el desfase en segundos de la tensión y la corriente a través del motor, así como sus valores eficaces. Después con el uso de las relaciones para la potencia alterna hallar el valor de la inductancia:

Va = 12 Vef Ia = 0.38 Aef

S = Va * Ia = 4.56 VA Tdesfase = 0.4 ms ≈ 9º Q = S cosϕ = 4.5 VAR XL = Q / Ia2 = 31.16 Ω

La = XL / (2 π 60) = 80 mH Ki: Para esto se utilizó una masa de 39.2gr colocada en el eje del rotor, y luego se elevo lentamente la corriente hasta el punto en que este se mueve, el dato obtenido fue muy similar al especificado en la hoja de datos del fabricante (ver ANEXO 1):

Ia = 0.08 A Tm = 0.001132 N·m

Ki = Tm / Ia = 0.01415 N·m/A

Kb: La determinación de este parámetro (ya que no aparece en la hoja de datos), exige que el motor actúe como un generador, es decir, se le debe dotar de un movimiento constante al eje del mismo y medir la tensión de salida en los bornes de alimentación, a la vez que se mide la velocidad del eje. Para esto se utilizará un motor adicional y un sensor óptico, mismo que enviará una señal pulsante al osciloscopio para obtener la velocidad del eje:

f = 35.71 Hz Rpm =377 rmp ϖ = 35.71 rad/seg

Vout = 10 V Kb = Vout / ϖ = 0.28 Vseg/rad

Bm, Bn, Bc, Bp: Todos estos parámetros pueden ser determinados bajo una tabla de coeficientes de fricción viscosa para diferentes superficies o de la hoja de datos del fabricante para el motor (ANEXO 1), de donde obtenemos los siguientes resultados con su respectiva transformación de unidades:

Bm (Acero sobre Acero) = 7.42x10-5 N m seg/rad

Bn (Hierro sobre Hierro) = 10.5x10-5 N m seg/rad

Bc (Acero sobre Acero) = 20x10-5 N seg/m

Bp (Acero sobre Acero) =7.42x10-5 N m seg/rad M, Mp: Para la medición de masas se utilizó una balanza digital electrónica de alta precisión, con la cual se obtuvieron los siguientes resultados

M = 0.1 Kg

Mp = 0.2 Kg

r1: El radio de la banda se realiza por una simple medición con un calibrador:

r1 = 0.0095 n: Para la relación total de velocidades, considerando la caja de velocidades del motor y la relación de dientes de los engranajes de la banda, se obtiene el siguiente valor:

n = 40.5 L: Este valor se determina tomando el centro de gravedad de cada uno de los elementos que conforman el péndulo, la varilla y la esfera:

Fórmulas:

∫∫=

dw

dwxx

~; Centro de Gravedad

∑∑=

mmx

x~

; Centro de Masa

DDaattooss::

Varilla: Longitud l = 0,765m. Masa m = 0,1 gr. Esfera: Radio r = 0,765m. Masa m = 0,1 gr.

.

Ll

d

O

∑∑==

mmy

yL~

( )

mmmm

ESFERAVARILLA

ESFERAVARILLA rL

+

•++•=

ll

2

( )0857,01,0

0857,00235,0765,01,02765,0

+

•++•=L

L = 0,569 m.

I: En base a los resultados obtenidos con anterioridad ahora podemos establecer el momento de Inercia del péndulo en torno a su centro de gravedad.

20 mdII G +=

ESFERAVARILLA III _0_00 +=

( )2220 5

231 rmrmmI ESFERAESFERAVARILLA +•+•+•= ll

( )2220 0235,0765,00857,00235,00857,0

52765,01,0

31

+•+••+••=I

I0 = 0,0728 kg• m2

2

0 LmII TOTALG •−=

( ) 20 LmmII ESFERAVARILLAG •+−=

( ) 2569,00857,01,00728,0 •+−=GI

IG = 0,01415 kg• m2.

Jm: Como no se puede obtener la medida exacta del rotor ni su forma, lo que se hará es suponer las mismas de acuerdo a las dimensiones externas del motor y considerar al rotor como un cilindro. Como densidad se tomará una densidad promedio entre la del cobre y la del hierro elementos constituyentes del Rotor:

Datos del Motor: Radio eje: 0,0075 m. Longitud: 0,02 m Volumen motor: 0,000003534 m3. δFE = 7,87 gr / cm3. δCU = 8,96 gr / cm3.

2CUFE

MOTORδδ

δ+

=

289607870 +

=MOTORδ

δMOTOR = 8415 kg/m3.

MOTORMOTORMOTOR Vm δ•=

8415000003534,0 •=MOTORm

mMOTOR = 0,029 kg.

2rmI MOTORMOTOR •= 20075,0029,0 •=MOTORI

Jm = 0,000001672 kg•m2.

Jn: Finalmente, el último de los momentos de inercia, considerado para el modelo matemático, es el engranaje de mayor volumen dentro de la caja de velocidades, para lo cual se considerará al mismo como un cilindro hecho de hierro: Datos del Engrane: Radio: 0,0075 m. Espesor: 0,004 m Volumen del engrane: 0,0000007068 m3. δFE = 7,87 gr / cm3.

FEENGRANEENGRANE Vm δ•=

kgmENGRANE 00556,0=

2rmI ENGRANEENGRANE •=

Jn = 0.0000003129 Kg m2

Kf: Para su calculo se midió la relación voltio-ángulo del sistema armado, dando los siguientes datos:

θp = 5 º Vout = 13.1 V

Kf = Vout / θp (rad)= 150 V / rad

8. Análisis de la estabilidad del sistema en función del factor de amplificación K:

Ahora que ya hemos obtenido las constantes del sistema, las reemplazaremos en

la función de transferencia de la planta Gp: De igual manera calcularemos la función de transferencia del sistema: De esta última, podemos ver fácilmente que el sistema es inestable para cualquier valor de K, debido al término negativo en la ecuación característica, que bajo el criterio de ROUTH, rompe las condiciones necesarias de estabilidad de un sistema. Esto se puede comprobar en la siguiente gráfica del lugar geométrico para K realizada en MATLAB (Ver en la siguiente página):

4.521.445s0.323s0.06153s0.00015s0.1511KsGp 234 +−−+

=

( ) 4.52s1.445-0.1511K0.323s0.06153s0.00015s0.1511Ks

ΘΘ

234i

p

++−+=

-500 -400 -300 -200 -100 0 100-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Real Axis

Imag

Axi

sLugar Geométrico de Teta i / Teta p en función de K

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

Axi

s

Lugar Geométrico amplificado

9. Análisis de la estabilidad del sistema con controlador PD:

Después de observar la gráfica del lugar geométrico cuando K es la variable del sistema, es lógico pensar que debemos insertar un cero al sistema, de manera que se empuje al lugar geométrico hacia la izquierda. La forma más simple de lograr esto es insertar un controlador PD en la trayectoria de lazo directo. En la práctica este controlador se encontraría entre el sensor y el amplificador de potencia. Con la inserción del controlador PD y la haciendo K = 10 (ganancia óptima del amplificador), la función de transferencia de lazo directo quedaría expresada de la siguiente manera: La función de transferencia del sistema quedaría de la siguiente forma: A simple vista, vemos que el sistema puede estabilizarse mediante una correcta elección de valores para Kd y Kp. Esto es precisamente lo que indagaremos del análisis de la gráfica del contorno de raíces de la función de transferencia, para esto supondremos algunos valores para Kp y hallaremos los correspondientes para Kd que hacen que el sistema sea estable (Ver las siguientes páginas):

Del análisis se obtienen las siguientes suposiciones:

• Para Kp = 1 Kd >=3.6 • Para Kp = 50 Kd >=0.36 • Para Kp = 100 Kd >=0.47

Como se observa, mientras más grande sea Kd, Kd puede ser más pequeño hasta

cierto valor en donde Kp vuelve a subir. Esto es de vital importancia en el aspecto práctico ya que no es posible obtener valores muy elevados de Kd en base a condensadores y resistencias. Por otra parte valores elevados de Kp harían saturar al amplificador, debido a que la señal de amplificación del sensor es elevada (Kf =150).

Ahora es tiempo de evaluar estos valores en el tiempo para esto se ha graficado

la respuesta al impulso y al escalón para Kp =10 y Kd = 1 (Ver las siguientes páginas). De las respuestas podemos sacar las siguientes conclusiones:

• Para valores de Kd muy pequeños, la respuesta al impulso tiene sobrepasos

muy elevados pero tiempos de estabilización cortos • Para valores de Kd muy grandes, los sobrepasos son pequeños pero los

tiempos de estabilización son grandes. • Para la respuesta al escalón sucede aproximadamente lo mismo en cuanto a

sobrepasos y tiempos de estabilización. • El error en estado estable para una entrada escalón es elevado.

( )4.521.445s0.323s0.06153s0.00015s

KsK1.511sGp 234

pd

+−−++

=

( )( ) ( ) 4.52s1.445-1.511Ks0.323-1.511K0.06153s0.00015s

KsK1.511sΘΘ

p2

d34

pd

i

p

+++++

=

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Respuesta al impulso con controlador PD (Kp=10, Kd=1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Para entender la razón de que el error para una entrada escalón sea elevado es necesario regresar a las ecuaciones y evaluar el error. Esto se realiza a continuación: La razón es que no existe un término independiente en el numerador, que pueda aumentar esta relación y hacer que el error sea menor. Para concluir este punto, hemos visto que es necesario disminuir los sobrepasos del sistema sin hacerlo demasiado lento y al mismo tiempo disminuir el error en estado estable para una entrada escalón, esto se logra con la inserción de un controlador I al PD es decir necesitamos un controlador PID.

G(s)11lime

0sss +=

→

1

4.5201

1ess =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

-400 -300 -200 -100 0 100-400

-200

0

200

400

Real Axis

Imag

Axi

sKp = 1

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01-2

-1

0

1

2

Real Axis

Imag

Axi

s

-400 -300 -200 -100 0 100-2000

-1000

0

1000

2000

Real Axis

Imag

Axi

s

Kp = 50

-40 -30 -20 -10 0-40

-20

0

20

40

Real Axis

Imag

Axi

s

Lugar Geomé

-400 -300 -200 -100 0 100-4000

-2000

0

2000

4000

Real Axis

Imag

Axi

s

Kp = 100

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-50

0

50

Real Axis

Imag

Axi

s

Lugar Geomé

10. Análisis de la estabilidad del sistema con controlador PID:

De acuerdo a los resultados obtenidos con anterioridad, vemos que la utilización de la parte integral en nuestro controlador es necesaria para compensar varios parámetros del sistema. De esta manera nuestro sistema quedaría expresado de la siguiente manera: Ahora si evaluamos el error en estado estable podemos observar lo siguiente: Mientras mayor sea el valor de Ki, el valor del error más se acercará a 0.5, que es el límite cuando Ki tiende al infinito. El integrador también tiene efecto sobre la respuesta del sistema tal como se había señalado con anterioridad, esto es más fácil de visualizar si se tiene la función de transferencia del sistema: A continuación se muestra la respuesta del sistema para una entrada impulso y una escalón (Ver las siguientes páginas). Finalmente se ha comprobado que los valores de Ki efectivamente disminuyen el error en estado estable para la entrada escalón, en cambio que los valores de Kp y Kd actúan sobre el sobrepaso y el tiempo de asentamiento del sistema Con los valores de las constantes, el sistema completo de control, es decir el sensor, el controlador PID, el compensador del Tiempo Muerto y el amplificador de Potencia, quedan especificados completamente.

( )4.521.445s0.323s0.06153s0.00015s

KisKKs1.511Gp 234

pd2

+−−+

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

4.521.511K1.511K

1

1e

i

iss

( )( ) ( ) ( )4.521.511Ks1.445-1.511Ks0.323-1.511K0.06153s0.00015s

KsKKs1.511sΘΘ

ip2

d34

ipd2

i

p

+++++++

=

Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

Respuesta al impulso con controlador PID (Kp=10, Kd=3, Ki=50)

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Respuesta al escaló n con controlador PID (Kp=10, Kd=3, Ki=50)

11. Análisis y evaluación de los resultados y errores del proyecto:

En este punto se detallará los resultados obtenidos, así como también se intentará dar explicación de algunos errores producidos que impiden el correcto funcionamiento del sistema. A continuación se detalla los errores más palpables del sistema:

• El péndulo invertido se encuentra oscilando alrededor de un punto fijo durante cierto período de tiempo relativamente largo.

• El motor de la banda se recalienta demasiado, después de cierto período de operación.

• Los transistores en el amplificador de potencia, también sufren de un recalentamiento excesivo en operación normal.

Estos errores que hemos mencionado, pueden señalar que muchos factores

podrían estar mal, en cuanto a las ecuaciones del sistema se refiere. Por ejemplo la oscilación del péndulo podría ser tomado, como si el sistema fuera marginalmente estable, debido a un mal calculo o consideraciones del diseño, esto a su vez también afectaría directamente al motor y sus respectivos transistores, logrando que estos trabajen más en conmutación que en la zona lineal de amplificación, con lo cual es justo el recalentamiento excesivo que sufren. Sin embargo, después de revisar las ecuaciones y todos los análisis, llegamos a la conclusión que el problema no se encuentra en un mal planteamiento de las ecuaciones, sino en un defecto de operación del motor y los circuitos de amplificación, que no pueden trabajar a voltajes superiores a los 24V. Esto se puede observar de mejor manera si tomamos en cuenta la función de planta del sistema: En el numerador, encontramos términos que son realmente pequeños, tales como la longitud y masa del Péndulo, el radio de la banda, y la constante de torque del motor, para compensar estos valores y lograr que el sistema sea estable se coloco un control proporcional, que en conjunto con las constantes del sensor y el factor de amplificación del controlador del motor, dan un factor de amplificación total elevado, que produce una rápida saturación del motor y de los transistores. A pesar de esto, es necesario que estas constantes sean elevadas si se quiere que el sistema sea estable en teoría. Finalmente concluimos, que una solución adecuada para reducir estas constantes, es ampliar la longitud y masa del péndulo, así como el radio de la banda, con el fin de compensar el sistema, lamentablemente esto implica el rediseño del péndulo en todos sus aspectos.

5

4p P

PG = KKnKrs·LmP fi1p4 −=

( ) ( ) ( )[ ][ ++++++= an2

man2

man2

m2

5 LBnBRJnJsLJnJsP

( )[ ]] ( )[ ]+−++⋅+++ gLmsBLmIsKKBnBR pp2

p2

ibn2

ma

( ) ( )[ ]c22

p3

paa2

12 BLmsmMssLRrn +−+⋅++

BIBLIOGRAFÍA

Internet http://www.copal-usa.com/geared.htm http://robotics.me.jhu.edu/~llw/courses/me530420/lab/pittman_specsheet.pdf http://robotics.me.jhu.edu/~llw/courses/me530420/lab/lab_04_08.pdf http://www.widus.co.kr/salesdpt/products/motor/geared/lc30g_lc37g.html Libros referenciales:

KUO Benjamín C. “Sistemas de Control Automático”, Editorial

PRENTICE HALl, Séptima Edición, México, 2001. SOLIMAN Samir, “Señales y Sistemas continuos y discretos”, Editorial

PRENTICE HALL, Madrid, 1999. OGATA Katsuhiko . “Ingeniería de Control Moderna”, Editorial

PRENTICE HALL, Tercera Edición, México, 2001. BOYLESTAD Robert L. “Electrónica Teoría de Circuitos” Editorial

PRENTICE HALL, Sexta Edición, México 1999. CEKIT “CURSO PRACTICO DE LUCES Y SONIDO”, Editorial

CEKIT, Pereira – Colombia, 1994, Tomo 1 y 2. HIBBELER R. C. “DINAMICA” , Editorial PRENTICE HALL, Séptima

Edición, México 1995 IOVINE John “ROBOTS, ANDROIDS and ANIMATRONS”,

Editorial Mc Graw Hill, Segunda Edición, New York 2002. BYERLY W. E. “Generalized Coordinates” Editorial Mc Graw Hill,

Séptima Edición, Boston 1990.

ANEXO 1 (Hoja de Datos del Motor)

Type Designation

LC 20 G - 101 -

a b c d e

a: Series name LA: Low cost LB: Brushless LC: Long life LS: Ironless rotor GLA: LA series with gear box

b: Motor outer diameter (mm)

c: Attachment

d: Spec. number

e: Encoder resolution

DC High Power Motors Standard Specifications

Models Item Rated Voltage

Rated Torque

Rated Speed

Rated Current

Stall Torque

Rated Power

Unit V g-cm (N-cm)

min-1

(r.p.m.) mA g-cm (N-cm) W

LC30-191 24 100(0.98) 5400 370 450(4.4) 5.5LC32-184 24 150(1.47) 6400 550 1100(10.7) 9.8LC38-192 24 200(1.96) 4700 680 1100(10.7) 9.6LC38-188VG 24 200(1.96) 6100 800 1600(15.68) 9.2

LC38-188VP 24 270(2.60) 4800 830 1800(17.6) 13