III. Pendulo de HuygensMecanica Clasica

Alonso Guerrero Llorente

11 de enero de 2013

1. Introduccion

En este ensayo analizaremos y compararemos dos pendulos: el pendulo simple y elpendulo cicloidal, o de Huygens. Para ello procederemos analizandolos con el formalismolagrangiano y posteriormente buscando las correspondientes integrales primeras. Con lainformacion que obtengamos de cada uno discutiremos, finalmente, cual de ellos podrıaser considerado mas sencillo.

2. Pendulo simple

En esta seccion analizaremos el movimiento del pendulo simple y obtendremos lacorrespondiente integral primera. El movimiento de este pendulo es facil de describirutilizando tanto el formalismo newtoniano como el lagrangiano.

En primer lugar usaremos el formalismo lagrangiano. Como el sistema esta formadopor una partıcula que esta sometida a dos ligaduras, la longitud de la cuerda es fija y semueve en dos dimensiones, tenemos un grado de libertad. Podremos usar una coordenadageneralizada θ que sera el angulo que forma la cuerda con la vertical. Ademas tomaremoscomo origen de potencial el punto de sujecion de la cuerda, centro de giro. Teniendo estopodemos expresar la posicion de la partıcula de masa m en todo momento como:

x = lsenθ

y = −lcosθ

A partir de aquı ya podemos obtener las energıas cinetica y potencial y a partir deellas el lagrangiano, ası como las ecuaciones de Lagrange.

U = mgy = −mglcosθ (1)

T =1

2m(x2 + y2) =

1

2ml2θ2 (2)

1

L ≡ T − U =1

2ml2θ2 +mglcosθ (3)

d

dt(∂L

∂θ)− ∂L

∂θ= θ +

g

lsenθ = 0 (4)

El movimiento del pendulo lo podemos describir con la ecuacion de Lagrange (4).

Por otra parte, si lo analizamos con el formalismo de Newton hemos de tener en cuentauna fuerza tangencial a la trayectoria de la partıcula y el hecho de que esta trayectoria escircular:

Ft = −mgsenθ = mat → at = −gsenθ

at = Rθ = lθ

Igualando las dos expresiones anteriores obtenemos la misma ecuacion del movimientoque en el caso anterior.

lθ = −gsenθ → θ +g

lsenθ = 0 (5)

Las ecuaciones (4) y (5) podrıan ser resueltas analıticamente en el caso de oscilacionespequenas, sin embargo, nuestro objetivo en este ensayo es buscar una solucion valida paracualquier valor de θ.

Podemos observar que en el Lagrangiano del sistema no aparece explıcito el tiempo, yademas hay un solo grado de libertad, lo que indica que nuestro sistema es integrable. Esmas, la integral de Jacobi se conserva y es igual a la energıa mecanica total del sistema.Tambien podemos citar que ninguna de las ligaduras depende del tiempo, el sistema esescleronomo lo que indica que tambien es natural.

Para hallar la correspondiente integral primera hacemos uso de la conservacion de laenergıa. Igualamos la energıa potencial inicial, donde x2 + y2 = 0 a la energıa en el puntoen que x2 + y2 = max:

1

2ml2θ2 −mglcosθ = −mglcosθ0

Despejando θ llegamos a:

θ =dθ

dt=

√2g(cosθ − cosθ0)

l

Y de aquı llegamos a la integral primera:

t =

∫ θ

θ0

dθ′√2gl

(cosθ′ − cosθ0)(6)

2

3. Expresion de la integral primera como integral

elıptica de primera especie

La integral primera del pendulo simple (6) puede expresarse de la forma

T = 4

√l

g

∫ θ

0

dα√1− k2 sin2 α

la cual se corresponde con una integral elıptica de primera especie. Para conseguir estaexpresion haremos uso de la relacion trigonometrica cos θ = 1− 2 sin2 θ/2:

t =

∫ θ

θ0

dθ′√2gl

(cosθ′ − cosθ0)=

√l

2g

∫ θ

θ0

dθ′√2 sin2 θ0

2− 2 sin2 θ′

2

A la constante sin2 θ0/2 la llamaremos k para hacer mas comoda la notacion.

t =

√l

4g

∫ θ

θ0

dθ′√k2 − sin2 θ′

2

Para seguir adelante con el proceso debemos realizar el cambio de variable sin θ/2 ≡sin θ0/2 sinα = k sinα. Y si derivamos a ambos lados de la igualdad obtendremos laexpresion de dθ′ en funcion de dα que es:

dθ′

2cos

θ

2= k cosαdα→ dθ′ =

2k cosα

cos θ2

=2k cosα√1− sin2 θ

2

=2k cosα√

1− k2 sin2 α

Para llegar a esa expresion de dθ′ notese que hemos utilizado la relacion trigonometricasin2 x+ cos2 x = 1 y el propio cambio de variable.

Si efectuamos el cambio de variable en la integral esta quedara:

t =

√l

4g

∫ θ

0

1√k2 − k2 sin2 α

· 2k cosα√1− k2 sin2 α

dα =

√l

g

∫ θ

0

1

k√

1− sin2 α· k cosαdα√

1− k2 sin2 α=

=

√l

g

∫ θ

0

1

cosα· cosαdα√

1− k2 sin2 α=

√l

g

∫ θ

0

dα√1− k2 sin2 α

=T

4

La igualdad t = T4

se debe a que entre 0 y θ el pendulo recorre un cuarto de perıodo, portanto para tener una expresion que nos de informacion sobre el tiempo de cada oscilacionnecesitaremos multiplicar t por 4:

T = 4

√l

g

∫ θ

0

dα√1− k2 sin2 α

(7)

3

La expresion obtenida para T es valida sea cual sea la amplitud. Y se corresponde,como ya hemos dicho, con una integral elıptica de primera especie. Las cuales se puedenaproximar por series de Taylor (para valores pequenos de θ), aunque en nuestro caso laecuacion es incompleta, por lo que serıa mas rapido buscar soluciones numericas de laecuacion de Lagrange que de esta integral.

Dado esto volvemos a lo de siempre, el pendulo simple solo se puede considerar isocronopara oscilaciones pequenas. De hecho si tomamos las expresiones obtenidas del formalismolagrangiano y/o newtoniano y hacemos la aproximacion sin θ = θ, para θ << 1, nos quedala ecuacion de un M.A.S:

θ +g

lsin θ = 0

Donde tenemos que la frecuencia angular es ω2 = g/l y el perıodo T = 2π√

lg.

4. Pendulo cicloidal o de Huygens

Ahora estudiaremos un pendulo cuya principal caracterıstica es que es isocrono paracualquier amplitud, se trata del pendulo cicloidal. Para analizarlo usaremos el formalismode Lagrange y veremos, en el siguiente apartado, que la ecuacion de Lagrange se puedeescribir como un M.A.S. y ver ası que se trata de un pendulo isocrono.

En primer lugar empezaremos por escribir las expresiones de la posicion, y sus deriva-das, para poder hallar las energıas T y U y ası el lagrangiano.

x = R(ϕ− sinϕ)y = R(1− cosϕ)

}(8)

Donde R es el radio de la circunferencia generatriz de la cicloide y ϕ es el anguloformado por dicho radio con la vertical. Por lo que el sistema puede ser descrito enfuncion de una unica coordenada generalizada ϕ, al igual que el pendulo simple tiene ungrado de libertad.

x = R(ϕ− ϕ cosϕ)y = Rϕ sinϕ

}Con estos resultados ya podemos obtener las energıas y el lagrangiano:

T =1

2m(x2 + y2) =

1

2m2ϕ2R2(1− cosϕ) = mϕ2R2(1− cosϕ) (9)

U = −mgy = −mgR(1− cosϕ) (10)

L ≡ T − U = mϕ2R2(1− cosϕ) +mgR(1− cosϕ)

El lagrangiano se puede escribir de forma mas compacta sacando factor comun:

L = (mϕ2R2 +mgR)(1− cosϕ) = mR(ϕ2R +mg)(1− cosϕ) (11)

4

La ecuacion de Lagrange sera por tanto:

2mR2[ϕ(1− cosϕ) + ϕ2 sinϕ] = mR(ϕ2R + g) sinϕ

Si simplificamos llegamos a:

2Rϕ(1− cosϕ) + ϕ2R sinϕ = g sinϕ

ϕ(1− cosϕ) +ϕ2

2sinϕ =

g

2Rsinϕ

Podemos simplificar aun mas esta ecuacion haciendo uso de la identidades trigonometi-cas sinϕ = sin 2ϕ

2= 2 sin ϕ

2cos ϕ

2y sin2 ϕ

2= 1− cosϕ.

ϕ sin2 ϕ

2+ϕ2

22 sin

ϕ

2cos

ϕ

2=

g

2R2 sin

ϕ

2cos

ϕ

2

Y finalmente llegamos a una expresion mucho mas elegante de la ecuacion de Lagrange:

ϕ sinϕ

2+ ϕ2 cos

ϕ

2− g

Rcos

ϕ

2= 0 (12)

Si observamos nuevamente la expresion del lagrangiano, (11), vemos en ella no apareceel tiempo explicitamente y tambien sabemos el sistema tiene un solo grado de libertadpor lo tanto estamos ante un sistema integrable. Y la integral de Jacobi se conserva y esigual a la energıa mecanica, como en el caso del pendulo simple1.

5. M.A.S. en el pendulo cicloidal

Para establecer una analogıa mayor entre el pendulo simple y el cicloidal vamos a vercomo la ecuacion (12) se puede transformar en un M.A.S.. De esta forma tambien vemosla gran utilidad de uno de estos pendulos, pues tendrıamos que su perıdo es conocido y nodepende de su amplitud, valdrıan para construir relojes que siguiesen funcionando aunquela amplitud sufriera alguna perturbacion, por ejemplo, el vaiven producido por las olasdel mar en un barco.

Para buscar el M.A.S citado haremos el cambio de variable u ≡ cos ϕ2. Haciendo este

cambio vemos que nos quedan varios terminos en funcion de ϕ como senos y defivadas,por lo que, para que todo nos quede en funcion de u es logico buscar sus derivadas.

u = cosϕ

2; u = − ϕ

2sin

ϕ

2; u = − ϕ

2sin

ϕ

2− ϕ

4cos

ϕ

2;

Si observamos u vemos que se corresponde con los dos primeros terminos de la ecuacion(12) multiplicados por −1/2. Utilizando esto podemos escribir:

−2u =g

2Ru

1La integral primera que se corresponde con el tiempo de cada oscilacion se comenta en la seccionquinta.

5

Y obtenemos ası la ecuacion de un M.A.S.:

u+g

4Ru = 0 (13)

Donde tenemos una frecuencia angular ω2 = g4R

y de aquı hallamos el perıodo que

es T = 2π√

4Rg

que depende unicamente de la gravedad y del radio de la circunferencia

generatirz de la cicloide. Por semejanza con la integral primera obtenida para el casodel pendulo simple, donde llegamos a t = T/4, o T = 4t, aquı la integral primera queobtendrıamos serıa el mencionado perıodo T .

Con la introduccion de la coordenada generalizada u no solo hemos conseguido llegara la expresion de un M.A.S. sino que, como ya hemos citado, tambien se puede ver que laecuacion de movimiento del pendulo cicloidal no depende de la amplitud del movimiento.Es decir, el papel que juega dicha coordenada se puede considerar analogo al de unacoordenada normal, pues no es una coordenada intuitiva y nos sirve para simplificar elproblema hasta convertirlo en un oscilador armonico.

6. ¿Cual de los dos pendulos es mas simple?

Despues de haber analizado detenidamente el movimiento de ambos pendulos podemosproceder a una comparacion entre ellos y ver cual es mas sencillo. Compararemos lacomplejidad de estos dos pendulos atendiendo a dos aspectos: sus ecuaciones de ligaduray la solucion de sus ecuaciones dinamicas.

Si nos centramos en las ligaduras del pendulo simple podemos ver que este realiza unmovimiento circular entorno a un punto fijo situado en el extremo de la cuerda o barraque sujeta la masa m que cuelga en dicho pendulo. Por tanto, el pendulo simple se muevesiempre en el mismo plano y bajo un movimiento circular con radio constante. En elpendulo de Huygens tenemos, no solo que el movimiento es en un unico plano, sino quetambien varıa la distancia de la masa m respecto del punto de giro. Esto se debe a queel hilo del que cuelga la masa debe ajustarse a la forma de una cicloide, como indica laFigura 1. Por tanto, la posicion de la masa dependera de las caracterısticas de la cicloide.

Nos queda ası que para el pendulo simple nuestro movimiento depende de la amplituddel movimiento y de la longitud de la cuerda, mientras que en el de Huygens, ademas dedepender de estos aspectos, depende tambien de la cicloide, lo que le dota de una mayorcomplejidad.

6

Figura 1: Pendulo cicloidal

Para comparar estos pendulos atendiendo a sus ecuaciones dinamicas vemos que lasecuaciones del pendulo simple son muy faciles de resolver para oscilaciones pequenas. Sinembargo, para obtener la solucion de una ecuacion general, que nos valga para cualquiervalor de la amplitud, no tenemos recursos matematicos que nos permitan resolver laintegral analıticamente. Sin embargo, en el caso del pendulo cicloidal, aunque nos cuestemas trabajo llegar a la expresion de un M.A.S, obtenemos un valor de tiempo para cadaoscilacion dado por una relacion sencilla g

4R.

Dado esto concluimos que, excluyendo el caso de oscilaciones pequenas, el pendulode Huygens es mas sencillo (atendiendo a sus ecuaciones dinamicas), pues obtenemos unperıodo que podemos calcular facilmente, mientras que para el pendulo simple nos quedauna integral que no sabemos cual es su solucion.

7. Recursos utilizados

[1]es.wikipedia.org/wiki/Identidades trigonometricas[2]es.wikipedia.org/wiki/Pendulo simple[3]es.wikipedia.org/wiki/Pendulo cicloidal[4] Mecanica lagrangiana teorıa y practica, libro libre de Alqua version 2.10.1

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