Unitat 9: Fenòmens ondulatoris 9.1. Principi de Huygens (C ...²mens-ondulatoris.pdf · Unitat 9:...

Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi Mirasan

_____________________________________________________________________________________

blocs.xtec.cat/euler

5

Unitat 9:

Fenòmens ondulatoris

9.1. Principi de Huygens (C.Huygens, 1680) Christian Huygens (1629-1695) proposà a finals del s.XVII el principi de propagació de les ones: els punts que formen un front d’ona es comporten com a nous focus emissors d’ones, les quals es propaguen en totes direccions amb la mateixa velocitat de fase, i originen el següent front d’ona.

La reflexió. Quan una arriba a una superfície plana l’ona canvia la seva direcció de propagació però continua movent-se en el mateix medi. Això vol dir que es propaga a la mateixa velocitat, freqüència i longitud d’ona.

Si un raig arriba amb un angle 1 sobre una superfície plana, després de la

reflexió surt amb un angle 2 , que serà igual a 1 .

1a llei de la reflexió: el raig incident i el raig reflectit estan en el mateix pla. 2a llei de la reflexió: l’angle

d’incidència i l’angle de reflexió són iguals.

1 2


_____________________________________________________________________________________


6

La refracció.

Quan l’ona passa d’un medi a un altre es produeix la refracció. Com que hi ha un canvi de medi, hi ha un canvi de la velocitat de propagació i de la longitud d’ona (el període i la freqüència no varien).

Llei de la refracció (Snell):

1 1 1 2

2 2 2 1

sin

sin

v n

v n

On els valors n2 i n1 s’anomenen els índexs de refracció de cada medi. En el cas de l’aire n=1.

Substància Índex de refracció

Diamant 2,417

Mica 1,56-1,60

Benzè 1,504

Glicerina 1,47

Aigua 1,333

Alcohol etílic 1,362

Oli d’oliva 1,46

Hi ha un angle d’incidència pel qual l’angle de refracció és precisament 90º; aquest angle d’incidència s’anomena angle límit. Per aquest valor el raig refractat desapareix i només es dóna el fenomen de la reflexió. Apareix el que s’anomena reflexió total.


_____________________________________________________________________________________


7

La difracció.

Quan una ona es troba amb un obstacle en el seu camí modifica la seva propagació rectilínia. Aquesta modificació depèn de les dimensions de l’obstacle.

En aquesta foto es produeix la difracció d’una ona plana que troba un obstacle de dimensions semblants a les de la longitud d’ona. És quan es produeix la màxima difracció: l’ona surt esfèrica. L’explicació a partir del principi de Huygens és fàcil: les ones elementals que són eliminades per l’obstacle no interfereixen amb les ones que continuen el seu camí.

Quan d la difracció passa desapercebuda. Per exemple, el so té una longitud d’ona molt gran, amb la qual cosa es difracta molt bé amb obstacles grossos com portes i finestres. Això fa que escoltem el que estan parlant a l’habitació del costat si la porta és oberta.

La polarització La polarització és un fenomen típicament ondulatori que només s’observa en les ones transversals. Una ona transversal està polaritzada linealment quan només vibra en una de les possibles direccions perpendiculars a la direcció de propagació de l’ona. Com la llum és una ona transversal es pot polaritzar.


_____________________________________________________________________________________


8

9.2. Interferència d’ones En aquest apartat pretenem estudiar un dels fenòmens que es produeix quan dues ones es propaguen per una zona comuna de l'espai. Aquest fenomen és la interferència. Abans però d'introduir-nos en aquest tema comentarem dos principis bàsics per poder desenvolupar aquests temes i posteriors. Principi de superposició d'ones. Segons aquest principi, dues ones independents quan coincideixen en un mateix punt de l'espai es superposen i continuen el seu camí tal i com ho feien anteriorment. Principi de Huygens. Tots els punts del front d'ona es comporten com a focus emissors puntuals d'ones secundàries de freqüència igual a la primària de manera que l'embolcall de les ones secundàries determina per a un mateix instant de temps el nou front d'ona avançat de l'ona primària. Aquestes ones secundàries són ones intuïtives que només es poden observar en certs fenòmens i que no poden propagar-se en direcció oposada a la de l'ona primària. • Interferència de dues ones harmòniques iguals amb diferència de fase

2 1r r .

Considereu dues ones harmòniques d'iguals amplitud i freqüència, i que es propaguen a través del mateix medi. Les seves funcions d'ona són:

1 1

2 2

( , ) sin

( , ) sin

y x t A t kr

y x t A t kr

L'única diferència entre elles és la diferència de fase 2 1r r . La interferència de

les dues ones serà la suma de les dues funcions d'ona.

1 2

1 2

1 2

sin sin

sin sin

y y y

y A t kr A t kr

y A t kr t kr

Usant la relació trigonomètrica següent:

sin sin 2cos sin2 2

i desenvolupant l'equació de la interferència obtenim:

2 1 2 1( , ) 2 cos sin2 2

r r r ry x t A k t k


_____________________________________________________________________________________


9

Veiem que l'ona resultant és una nova ona amb una freqüència idèntica a les

dues primeres però amb una amplitud que depèn de la diferència 2 1r r .

2 1( , ) 'sin2

r ry x t A t k

On A’ és:

2 1 2 1' 2 cos 2 cos2

r r r rA A k A

Fixem-nos quan es compleix que ' 2A A . Això és cert si

2 1 2 1 2 12 1cos 1

r r r r r rn n r r n

Veiem que quan 2 1r r és un múltiple exacte de la longitud d’ona obtenim el

màxim d'amplitud possible. Diem doncs que hi ha interferència constructiva.

2 1r r n

Fixem-nos ara quan es compleix que ' 0A . Això és cert si

2 1 2 1 2 12 1

1cos 0 (2 1) (2 1) (2 1)

2 2 2

r r r r r rn n r r n

Quan 2 1r r és un múltiple imparell de la semilongitud d’ona veiem que

l'amplitud s'anul·la. Diem doncs que hi ha interferència destructiva.

2 1 (2 1)2

r r n

En altres punts, la interferència és parcialment constructiva.


_____________________________________________________________________________________


10

Exemple: Dos focus puntuals, situats en la superfície de l'aigua, emeten ones circulars d'igual amplitud, freqüència i fase. La velocitat de propagació d'aquestes ones és de 60 cm/s i la seva freqüència de 20 Hz.

a) Què passarà si les dues ones interfereixen en un punt situat a 20 cm d'un focus i a 12,5 cm de l'altre?

b) I en un punt situat a 30 cm d'un focus i a 24 cm de l'altre? Solució: Calculem la longitud d’ona de les ones emeses:

603 cm

20

v

f

I ara anem a comprovar si es compleix la característica matemàtica de les interferències constructives o destructives.

a) 1 23

20 12,5 7,5 5· 5·2 2

r r

i veiem que la diferència entre els

punts és un múltiple imparell de la semilongitud d’ona, per tant en aquest punt es produeix una interferència destructiva.

b) 1 2 30 24 6 2·3 2·r r i veiem que la diferència entre els punts és

un múltiple de la longitud d’ona, per tant en aquest punt es produeix una interferència constructiva.


_____________________________________________________________________________________


11

9.3 Ones estacionàries. Fins ara hem estudiat les ones quan es propaguen sempre en un medi infinit, obert i sense límits. En la immensa majoria dels casos això no és real. Per exemple:

1. Una habitació tancada. Les ones sonores es propaguen i reboten a les parets.

2. Ones sísmiques. Es propaguen per l'interior de la Terra que té una grandària finita.

3. Una corda lligada a una paret . Si es fa oscil·lar es produeixen ones que reboten a la paret on hi ha l'extrem lligat.

En aquests casos es poden produir el que anomenem ones estacionàries. Les ones estacionàries són un cas particular d'interferència de dues ones que viatgen en sentits oposats. Quan un pols que viatja per una corda, rebota en un extrem lligat es produeix una inversió de la pertorbació respecte la del pols inicial. Així es superposen dos moviments ondulatoris de la mateixa amplitud, la mateixa freqüència i la mateixa velocitat, però en sentits oposats.

Ones estacionàries en una corda amb els extrems lligats. Considereu una corda lligada pels dos extrems. Per l'extrem dret generarem una ona harmònica, la funció d'ona de la qual ve donada per:

1( , ) siny x t A t kx Quan l'ona arribi a l'altre extrem de la corda rebotarà enrere i com que el punt de rebot està lligat, es produirà una inversió del pols respecte el pols inicial. L'ona rebotada tindrà associada la funció d'ona següent:

2( , ) siny x t A t kx

Les dues ones interferiran en tots els punts de la corda i per tant es generarà l'ona interferència que serà la suma de les dues funcions d'ona anteriors


_____________________________________________________________________________________


12

sin sin

sin sin

sin sin

y A t kx A t kx

A t kx A t kx

A t kx t kx

Usant la identitat trigonomètrica següent:

sin sin 2sin cos2 2

Podem reescriure la funció de l'ona interferència com:

( , ) 2 sin cosy x t A kx t Aquesta ona interferència vibra amb la mateixa freqüència que y1(x,t) però amb una amplitud modulada que només depèn de la posició ( A' = 2·A·sin(kx) ). El que és interessant és veure per a quins valors de x s'anul·la l'amplitud A'. Aquests punts d’amplitud nul·la s’anomenen nodes. Com que k = (2·π)/λ , la condició anterior es pot reescriure com:

2 2 22 sin 0 sin 0 0, , 2 ,...A x x x

És a dir que 2

2

nx n n x

. Hi ha punts de la corda que no vibren

mai quan es forma una ona estacionària, aquests punts són els nodes. Dos

nodes consecutius estan separats per una distància 2

.

En canvi, els ventres o antinodes són els punts d’amplitud màxima. Això ocorre quan:

2 2 2 32 sin 2 sin 1 , ,...

2 2A x A x x

És a dir que, en un punt x hi ha un ventre si 2 1 4

x n n

. Dos

ventres consecutius també estan separats per una distància 2

.


_____________________________________________________________________________________


13

Modes de vibració d'una corda lligada pels extrems.

No qualsevol freqüència de les ones generades en una corda de longitud L produiran ones estacionàries. Cal que la freqüència d'aquestes ones prengui uns valors concrets. Observem quins tipus d'ones estacionàries es poden obtenir en una corda lligada pels seus extrems.

Estat de vibració

Longitud d’ona

Nombre de nodes

Posició dels nodes

Freqüència

Mode fonamental de vibració (primer harmònic)

1 2L n=0, 1 0

1

0x

x L

12

vf

L

Segon harmònic 2

L n=0, 1, 2

0

1

2

0

2

x

Lx

x L

2 12v

f fL

Tercer harmònic 3

2

3L n=0, 1, 2, 3

0

1

2

3

0

3

2

3

x

Lx

x L

x L

3 13

2

3

vf f

L

Quart harmònic 4 2

L

n=0, 1, 2, 3, 4

0

1

2

3

4

0

4

2

3

4

x

Lx

Lx

x L

x L

4 14

2

vf f

L


_____________________________________________________________________________________


14

Els modes de vibració d’una ona estacionària s’anomenen harmònics. El primer harmònic s’anomena harmònic fonamental. Les freqüències per a les que obtenim ones estacionàries són freqüències múltiples de la freqüència fonamental. La longitud d’ona i la freqüència estan relacionades, així que, de forma general podem escriure:

2

2n n

L vf n

n L

Exemple 1: Una corda de guitarra té una longitud de 78 cm entre els seus dos extrems fixos. Amb quina velocitat es transmet l’ona estacionària que es produeix quan oscil·la segons el seu primer harmònic de freqüència 125 Hz? Quina és

l’equació d’ona estacionària si l’amplitud de l’ona incident és de 0,8 cm?

Solució:

Calculem la longitud d’ona: 12 2·0,78

1,56 m1 1

L

I ara la velocitat: 1,56·125 195 m/sv f

L’equació de l’ona estacionària és: ( , ) 2 sin cosy x t A kx t

2 24,03 rad/m

1,56k

2 2 ·125 785,4 rad/sf

Per tant 2( , ) 1,6·10 sin 4,03 cos 785,4y x t x t

Exemple 2: En un tub tancat d’1,25 m de longitud es produeix un so que es propaga a 340 m/s. Calculeu la longitud d’ona i la freqüència del so fonamental. Solució:

1

2 2·1,252,5 m

1 1

L

1

340136 Hz

2 2,5

vf

L


_____________________________________________________________________________________


15

Exemple 3: Una corda de niló té una longitud de 1,15 m i està subjectada pels seus extrems. Si generem una ona estacionària, que conté 6 nodes, la corda vibra amb una freqüència de 325 Hz i una amplitud màxima de 2,3 cm. Amb quina velocitat es propaga l’ona per la corda? Quina és l’equació d’ona? Solució: Com que l’ona conté 6 nodes es tracta del cinquè harmònic, n=5.

Per tant: 52 2·1,15

0,46 m5 5

L i 5 5 0,46·325 149,5 m/sv f

Per escriure l’equació d’ona estacionària necessitem:

2 213,7 rad/m

0,46k

2 2 ·325 2042 rad/sf

Per tant ( , ) 0,023sin 13,7 cos 2042y x t x t Modes de vibració d'una corda amb un extrem fix.

Distància node-ventre consecutius: 4

Longitud d’ona de l’harmònic n’:4

'

L

n

Freqüència de cada harmònic:

'4

vf n

L

Ones estacionàries en un tub obert en els dos extrems.

Distància entre nodes consecutius: 2

Longitud d’ona de l’harmònic n:2L

n

Freqüència de cada harmònic: 2

vf n

L


_____________________________________________________________________________________


16

Ones estacionàries en un tub obert en un extrem.

Distància node-ventre consecutius: 4

Longitud d’ona de l’harmònic n’:4

'

L

n

Freqüència de cada harmònic:

'4

vf n

L

Exemple 4: Alguns instruments musicals, com la flauta, estan formats per un tub en què es produeixen ones estacionàries. Podem imaginar-nos la flauta com un tub ple d’aire, obert pels dos extrems, en què es formen ones estacionàries amb ventres en els dos extrems. Si la llargària del tub és 70,0 cm: Dibuixeu el perfil de l’ona corresponent a l’harmònic fonamental produït a l’interior del tub de la flauta. Determineu la freqüència de l’harmònic fonamental i la dels dos primers sobretons (segon i tercer harmònics) que es produiran en aquest tub. (vso=340 m/s) Solució: L’harmònic fonamental és

La longitud d’ona: 1 2 2·0,70 1,40 mL

Freqüència 1340

243 Hz1,40

vf

Pel segon harmònic: 2 0,70 0,70 mL ; 2340

486 Hz0,70

vf

Pel tercer harmònic: 32 2·0,70

0,47 m3 3

L ; 2

340729 Hz

0,47

vf


_____________________________________________________________________________________


17

Exercicis:

1. El professor situa dos petits altaveus a 50 cm l’un de l’altre sobre una

taula i de cara a la classe. Cada altaveu emet sons de la mateixa

freqüència i amb la mateixa intensitat. Es demana als alumnes que

caminin poc a poc cap a la taula. A mesura que ho fan es sent

alternativament un so fort i un so fluix. Això es produeix per:

a) la refracció.

b) la reflexió

c) la difracció

d) la interferència d’ones.

2. Un raig de llum passa de l’aire (índex de refracció 1) al vidre (índex de

refracció 1,5) amb un angle d’incidència de 30º. L’angle de refracció és

de:

a) 36º.

b) 30º.

c) 19,5º.

d) En aquest cas tenim reflexió total.

3. Quan la llum passa de l’alcohol a l’aire, l’angle límit té un valor de 47º.

L’índex de refracció de l’alcohol és:

a) 0,85

b) 1,37

c) 1

d) 1,5

4. Una ona harmònica que viatja per un medi a 600 m/s, amb una longitud d’ona de 200 mm, penetra en un altre medi en el que la seva longitud d’ona és de 300 mm. La velocitat de l’ona en aquest segon medi és: a) 300 m/s b) 400 m/s c) 600 m/s d) 900 m/s

5. La polarització, com a fenomen ondulatori, s’aplica només a: a) Llum b) So c) Ones transversals d) Ones longitudinals

6. Un raig de llum passa de l'aire a un vidre. Raoneu si cadascuna de les

següents afirmacions referides al raig de llum són vertaderes o falses:

a) Augmenta la freqüència. b) Augmenta el període. c) Disminueix la velocitat de propagada. d) Augmenta la longitud d'ona.

Dada: L'índex de refracció del vidre és més gran que el de l'aire.


_____________________________________________________________________________________


18

7. Un raig de llum que viatja a través de l’aire arriba a la superfície plana

d’una làmina de vidre d’índex de refracció n=1,6 formant un angle de

60º amb la làmina. Quin angle forma el raig reflectit i el refractat?

a) 131,8º

b) 33º

c) 18,2º

d) 78,2º

8. Què vol dir que dues ones iguals interfereixen destructivament en un

punt de l’espai?

a) Que la longitud d’ona és mínima.

b) Que l’amplitud de l’ona resultant val zero en aquest punt.

c) Que les dues ones es queden destruïdes.

d) Que l’energia de les ones és totalment absorbida pel medi.

9. Quin és l’angle d’incidència mínim per al qual un raig de llum que es

propaga per un vidre d'índex de refracció nv=1,6 es reflecteix totalment

en arribar a la superfície de separació entre aquest vidre i l'aire? L'índex

de refracció de l'aire és na=1.

(Sol: 38,7º)

10. Un raig de llum vermella que es propaga per l’aire incideix sobre un

vidre amb un angle de 30º respecte a la direcció normal en la superfície

del vidre. L'índex de refracció del vidre per a la llum vermella val nv=1,5,

i l'índex de refracció de l’aire val na=1. Feu un esquema indicant les

direccions dels raigs reflectit i refractat, i calculeu el valor dels angles

que formen aquests raigs amb la normal.

(Sol: 19,47º)

11. Un raig lluminós que es propaga per l'aire arriba a la superfície de

l'aigua amb un angle d’incidència de 15º, i es produeixen els fenòmens

de reflexió i refracció. L'índex de refracció de l'aigua respecte de l'aire és

de 4/3. Feu un dibuix esquemàtic de la situació i calculeu els angles de

reflexió i refracció.

(Sol: 11,2º)

12. La longitud d’ona de la nota la a l’aire és de 0,773 m. Quines són la

seva freqüència i la seva longitud d’ona a l’aigua? La velocitat del so a

l’aire és de 340 m/s i a l’aigua d'1,44 km/s.

(Sol: 440 Hz 3,27 m)


_____________________________________________________________________________________


19

13. Els grills perceben sons de freqüència d’entre 20 Hz i 100 kHz i els

saltamartins perceben sons d’entre 15 Hz i 35 kHz de freqüència. Les

balenes blanques emeten sons de 20 Hz. Si el so de la balena arriba a la

superfície amb un angle de 60° respecte de la normal, calculeu:

a) L’angle amb què sortirà el so de la balena a l’aire. Podran sentir

aquest so els grills i els saltamartins que són arran de la costa? I

dalt d’un penya-segat?

b) La longitud d’ona, dins i fora de l’aigua, del so produït per la balena.

DADES: vso a l’aire=340 m/s; vso a l’aigua=1 500 m/s. (Sol: a) 11,32º; b) 75 m, 17 m)

14. El dibuix següent representa una ona estacionària que s’ha generat en una corda tensa quan una ona harmònica que es propagava cap a la dreta s’ha superposat amb la que s’ha reflectit en un extrem.

a) Indiqueu-ne els nodes. Determineu la distància entre nodes i la longitud d’ona estacionària. Quina és l’amplitud de les ones que, en superposar-se, han originat l’ona estacionària?

b) Sabent que cada punt de la corda vibra a raó de trenta vegades per segon, escriviu l’equació de l’ona inicial (si suposem que y(0, 0) = 0) i calculeu-ne la velocitat de propagació.

15. Les cordes d’una guitarra tenen una longitud de 78,0 cm. Sabem que una de les cordes, quan vibra en el seu harmònic fonamental, emet un la, que correspon a una freqüència de 220 Hz.

a) Dibuixeu el perfil de l’ona quan la corda vibra en l’harmònic fonamental. Quina serà la longitud d’ona del so produït? Quina és la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han format l’ona estacionària de la corda?

b) Dibuixeu la corda quan vibra i emet un so corresponent al tercer harmònic. Indiqueu, en aquest cas, els nodes i els ventres de l’ona i calculeu-ne les posicions.

(Sol: a) 1,36 m, v=343,2 m; b) 0,52 m; nodes: 0; 0,26; 0,52; 0,78 m; ventres: 0’13; 0,39; 0,65 m)

Unitat 9: Fenòmens ondulatoris 9.1. Principi de Huygens (C ...²mens-ondulatoris.pdf · Unitat 9:...

Documents

Transcript of Unitat 9: Fenòmens ondulatoris 9.1. Principi de Huygens (C ...²mens-ondulatoris.pdf · Unitat 9:...