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lasmatematicas.eu – Pedro Castro Ortega – materiales de matemáticas Repaso de operaciones con números enteros 3º ESO

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¿Cómo se suman y se restan números enteros?

Es más fácil verlo con algunos ejemplos que explicarlo con palabras.

Ejemplo 1:

a) Sumo los números positivos: b) Sumo los números negativos: c) Luego se resta: (observa que el resultado es,

en este caso, positivo). Por cierto:

Ejemplo 2:

a) Sumo los números positivos: b) Sumo los números negativos: c) Luego se resta: (observa que el resultado

es ahora negativo porque 19 es mayor que 13). Por cierto:

Los matemáticos de verdad lo hacen en una sola línea, dando un par de pasos, separados por el signo igual:

¡Y así es como nos debemos de acostumbrar a hacerlo a partir de ahora!

Hay otra forma de hacer las operaciones anteriores: se procede operando siempre de izquierda a derecha. Fíjate:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Elige la forma que más te guste. Son equivalentes. ¡Pero no te equivoques nunca!

¿Y si hay paréntesis?

Pues se hace primero la operación que hay entre paréntesis y luego se procede como antes. Veamos otro par de ejemplos.

Ejemplo 3:

( ) ( )

( ) ( )

Ejemplo 4:

( ) ( )

( ) ( )

Observa que un menos delante de un paréntesis cambia el signo de “lo que hay dentro” del mismo. Sin embargo, un más

delante del paréntesis deja “lo que hay dentro” del mismo tal y como estaba.

Hay otra forma de hacerlo y tiene que ver con lo que se ha dicho en el párrafo anterior. Se puede suprimir directamente

cualquier paréntesis teniendo en cuenta que:

Si está precedido del signo más los signos interiores no varían.

Si está precedido del signo menos se cambian los signos interiores.

Ejemplo 3:

( ) ( )

Ejemplo 4:

( ) ( )

Elige la forma que más te guste. Son equivalentes. Pero te digo lo mismo que antes: ¡no te equivoques nunca!

Veamos, finalmente, otro ejemplo más un poco más largo. Ahora con corchetes:

Ejemplo 5:

[ ( )] [ ( )]

[ ( )] [ ( )] [ ] [ ] [ ] ¡Despacito y buena letra! Así llegarás lejos

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¿Cómo se multiplican y se dividen números enteros?

El producto o multiplicación se notará con un punto (·). A veces incluso no se pone nada. Por ejemplo: ( ) .

Para denotar la división se utilizan dos puntos ( ). Pero antes de nada recordemos la regla de los signos:

Multiplicación División

Regla Ejemplo Regla Ejemplo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Observa que, si no es necesario, no se escribe el paréntesis. Además, a los números positivos no es necesario ponerles delante el signo ¡Esta propiedad se conoce como economía del lenguaje matemático!

Ambas operaciones con frecuencia aparecen mezcladas. En este caso se efectúan de izquierda a derecha teniendo en cuenta las

reglas anteriores:

Ejemplo 6:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Ejemplo 7:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Operaciones combinadas

Normalmente, las cuatro operaciones anteriores (suma, resta, multiplicación y división), aparecen combinadas. Para no

equivocarte debes seguir siempre, y ordenadamente, esta jerarquía:

1. Corchetes y paréntesis.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.

Hay que tener en cuenta que las operaciones del mismo nivel (multiplicaciones y divisiones por un lado, y sumas y restas por

otro) se realizan siempre de izquierda a derecha.

Ejemplo 8:

( ) ( ) ( )

[primero los paréntesis]

( ) ( ) ( )

[ahora las multiplicaciones]

( )

[al final hemos realizado las sumas y restas]

Ejemplo 9:

( ) ( ) [ ( )]

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( )

¿Que las operaciones son un poco más largas? No pasa nada. Con paciencia y sin prisa, siguiendo la jerarquía, todo debe de salir

bien. Insisto: no tengas prisa y acabarás antes.

Ejemplo 10:

( ) [ ( ) ] ( )

( ) [ ( ) ] [ ]

( )


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Operaciones con fracciones 2º ESO – 3º ESO

Operaciones con fracciones Página 1

Introducción

Para operar con fracciones se sigue el mismo método que para operar con números enteros. Es decir, hay que respetar una jerarquía. Recordémosla:

1. Corchetes y paréntesis. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas.

Hay que tener en cuenta que las operaciones del mismo nivel (multiplicaciones y divisiones por un lado, y sumas y restas por otro) se realizan siempre de izquierda a derecha.

Para poder hacer operaciones combinadas con fracciones debemos aprender primero a sumar y a restar y, luego, a multiplicar y a dividir. Para sumar y restar es fundamental saber cuando dos fracciones son equivalentes y cómo se reducen fracciones a común denominador. Vamos pues a ello.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma cantidad. Por ejemplo 2

5 y

4

10 representan la misma

cantidad pues 2:5 4:10 0,4 . Para saber si dos fracciones son equivalentes basta comprobar que forman una

proporción, es decir:

a ca d b c

b d

De este modo observamos que 2

5 y

4

10 son equivalentes porque 2 10 4 5 .

Hay una propiedad importante de las fracciones:

Si se multiplican o se dividen el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, se obtiene una fracción equivalente a la dada. Es decir:

a a k

b b k

;

:

:

a a k

b b k

Observa que de la fracción 2

5 se puede obtener la fracción equivalente

4

10 multiplicando el numerador y el

denominador por 2 .

Observa también que, por ejemplo, dividiendo el numerador y el denominador de la fracción 12

18 entre 6 , se

obtiene la fracción 2

3. Este proceso se conoce con el nombre de simplificación de fracciones. Una fracción que no se

puede simplificar se llama fracción irreducible. Si el número entre el que dividimos el numerador y el denominador es el máximo común divisor de ambos estaremos seguros de que la fracción que se obtiene es la irreducible. Por

ejemplo, en el caso anterior, si dividimos numerador y denominador de la fracción 12

18 entre 3 se obtiene la fracción

4

6, que es una fracción equivalente a la anterior, pero no es la fracción irreducible pues podemos volver a aplicar el

proceso con esta última dividiendo numerador y denominador entre 2 .





Reducción de fracciones a común denominador

Para poder comparar fracciones sin necesidad de dividir podemos hacer que transformar las fracciones dadas en otras equivalentes que tenga el mismo denominador. Así sabremos cuál es la mayor y la menor simplemente comparando los denominadores. Para reducir fracciones a común denominador se recurre al mínimo común múltiplo de los denominadores. Lo veremos mejor con un ejemplo.

Imaginemos que nos dan las fracciones 3

8,

5

6,

4

9,

7

12 y que nos piden hallar otras cuatro fracciones equivalentes a

las anteriores, pero todas ellas con el mismo denominador. Se procede de la siguiente manera.

Elegimos como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores:

3

3 2

2

2

8 2

6 2 3mcm 8, 6, 9, 12 2 3 72

9 3

12 2 3

En cada fracción, multiplicamos numerador y denominador por el mismo número, el adecuado para obtener

72 en el denominador. El número adecuado se obtiene dividiendo el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada fracción:

3 3 9 2772 :8 9

8 8 9 72

,

5 5 12 6072 :6 12

6 6 12 72

4 4 8 3672 :9 8

9 9 8 72

,

7 7 6 4272 :12 6

12 12 6 72

Ya hemos reducido las cuatro fracciones a común denominador. Observa ahora que estas últimas son muy sencillas de ordenar:

27 36 42 60

72 72 72 72

Así pues las cuatro fracciones del principio, ordenadas de mayor a menor serían:

3 4 7 5

8 9 12 6

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, las reducimos previamente a común denominador. Si alguno de los sumandos es un

número entero, los transformamos en una fracción con denominador uno: 1

aa .

Ejemplo 1

3 4 3 6 16 15 6 16 15 7

mcm 10, 5, 4 2010 5 4 20 20 20 20 20

2 5 7 2 4 5 7 8 48 10 21 8 48 10 21 51 17

43 6 4 3 1 6 4 12 12 12 12 12 12 4

Observa como en este último caso hemos simplificado el resultado hasta la fracción irreducible.





Si en la operación con sumas y restas aparecen paréntesis hay dos formas de proceder primero a eliminarlo según la jerarquía:

Se efectúan primero las operaciones que haya entre paréntesis y luego se hacen las sumas y restas.

Si el paréntesis va precedido de un signo “más” se puede eliminar sin más, de tal manera que los signos del interior del paréntesis no varían. Si el paréntesis va precedido de un signo “menos”, el paréntesis se suprime, pero en este caso los signos interiores se transforman: el “más” se convierte en “menos” y el “menos” en “más”. Recuerda que restar es sumar opuestos.

Ejemplo 2

3 1 1 3 5 2 3 3 12 3 9

5 4 10 5 20 20 5 20 20 20 20

Observa que hemos utilizado la primera de las opciones anteriores: hemos hecho primero la operación que va entre paréntesis y finalmente se ha efectuado la resta.

Hagamos ahora la misma operación pero utilizando la segunda opción.

3 1 1 3 1 1 12 5 2 12 5 2 9

5 4 10 5 4 10 20 20 20 20 20

Observa que, al estar el paréntesis precedido del signo “menos” los signos del interior varían: el “más” se convierte en “menos”, y el “menos” se convierte en “más”.

Puedes elegir la opción que prefieras aunque la segunda es muy útil pues hemos de hacer el mínimo común múltiplo una sola vez.

Ejemplo 3

2 4 1 1 7 1 2 4 1 1 7 15 10 12 5 3 7

13 5 3 5 15 1 3 5 3 5 15 15 15 15 15 15 15

15 10 12 5 3 7 6 2

15 15 5

2 1 7 1 1 2 1 7 1 1 2 1 7 1 1

3 5 12 3 5 3 5 12 3 5 3 5 12 3 5

40 12 35 20 12 40 12 35 20 12 25 5

60 60 60 60 60 60 60 12

2 3 5 1 1 2 3 5 1 1 1 2 3 5 1 1

1 13 4 12 3 8 3 4 12 3 8 1 3 4 12 3 8

24 16 18 10 8 3 24 16 18 10 8 3 15 5

24 24 24 24 24 24 24 24 8

4 3 1 2 7 5 4 3 1 2 7 5 4 3 1 2 7 5

3 8 6 5 8 6 3 8 6 5 8 6 3 8 6 5 8 6

160 45 20 48 105 100 160 45 20 48 105 100 92 23

120 120 120 120 120 120 120 120 30

Observa cómo, siempre que se puede, se simplifica el resultado hasta la fracción irreducible. Observa también que, si

el resultado es negativo, da igual escribir el “menos” en el numerador o delante de la fracción: a a

b b

.





Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación de fracciones

El resultado de multiplicar dos fracciones es otra fracción, cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

a c a c

b d b d

En ocasiones ni siquiera se escribe el “puntito” (que significa “por”). Es decir, la multiplicación a veces se denota simplemente por yuxtaposición (busca el verbo yuxtaponer en el diccionario), siempre que no haya lugar a error.

a c ac

b d bd

Por ejemplo para multiplicar las fracciones 4

5 y

10

3 , hacemos:

4 10 4 10 40 8

5 3 5 3 15 3

Observa que cuando se multiplica por un número negativo, éste se pone entre paréntesis. Esto es para no confundir el producto con una resta. Observa también que se ha aplicado la regla de los signos: un positivo por un negativo da resultado negativo (“más” por “menos” igual a “menos”).

División de fracciones

Para dividir dos fracción se multiplican los términos cruzados.

:a c a d

b d b c

A veces la división :a c

b d también se escribe así:

a

bc

d

. O sea, que también podemos escribir:

a

a dbc b c

d

Observa que el numerador del resultado es el producto de los “extremos” y el denominador del resultado es el producto de los “medios”.

Veamos un par de ejemplos:

4 2 4 5 20:

7 5 7 2 14

;

7

7 9 63 2134 3 4 12 4

9

Observa que en la segunda división se ha vuelto a aplicar la regla de los signos: “más” entre “menos” igual a “menos”.





Fracción inversa

Es bueno saber que dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a 1. Toda fracción distinta de cero tiene

inversa. La inversa de a

b es

b

a, pues 1

a b a b

b a b a

.

Muchas veces se escribe

1a b

b a

que se lee “la inversa de a partido por b es b partido por a ”. O sea que el

exponente “menos uno”, en matemáticas significa hacer inversos.

Por ejemplo, la fracción inversa de 5

12 es

12

5, ya que

5 12 5 12 601

12 5 12 5 60

. Otro ejemplo más: la fracción

inversa de 1

3 es

33

1 ya que

1 1 3 1 3 33 1

3 3 1 3 1 3

.

En matemáticas, dividir no es otra cosa que multiplicar por la fracción inversa. Observa:

1

:a c a c a d a d

b d b d b c b c

De ahí viene lo de multiplicar los términos en cruz.

Operaciones combinadas con fracciones

A veces la suma y resta se combinan con la multiplicación y la división. Siguiendo la jerarquía de las operaciones y con un poco de cuidado no es muy difícil hacer operaciones combinadas. Veamos unos cuantos ejemplos.

Ejemplo 4

2 3 1

5 4 3

Primero el paréntesis.

2 3 1 2 9 4 2 5

5 4 3 5 12 12 5 12

Y luego el producto,

2 3 1 2 9 4 2 5 10 1

5 4 3 5 12 12 5 12 60 6

Ejemplo 5

2 3 7 1

5 4 10 2

Ya sabes, primero el paréntesis, luego el producto y, finalmente, la resta:

2 3 7 1 2 3 7 5 2 3 2 2 3 1 2 3 8 3 5 1

5 4 10 2 5 4 10 10 5 4 10 5 4 5 5 20 20 20 20 4





Observa la importancia de simplificar en los pasos intermedios. En vez de hacer la multiplicación 3 2

4 10 se ha

simplificado la fracción 2

10, obteniendo

1

5 y se ha efectuado el producto

3 1

4 5 , cuyo resultado es más sencillo que

el producto inicial. Es muy conveniente y aconsejable acostumbrarse a simplificar en los pasos intermedios.

Ejemplo 6

3 7 5 2 1:

4 8 3 3 4

Aquí hay que tener cuidado. Primero realizamos el paréntesis que hay dentro del corchete. Podemos aprovechar e ir haciendo también, al mismo tiempo, el primer paréntesis. Luego se hace la división que hay dentro del corchete y, finalmente, el producto. Observa:

3 7 5 2 1 6 7 5 8 3 1 5 5 1 60: : :

4 8 3 3 4 8 8 3 12 12 8 3 12 8 15

1 1 4 4 14

8 8 1 8 2

Recuerda que la división se hace multiplicando los términos en cruz. Hemos vuelto a simplificar en un paso

intermedio y hemos multiplicado 1

48

, en vez de hacer 1 60

8 15

porque, como puedes ver, el resultado de

multiplicar por 4 queda mucho más sencillo que el resultado de multiplicar por 60

15. Como siempre, hay que

simplificar el resultado.

Ejemplo 7

1 1 3 5 3 2 1:

3 2 5 6 4 3 4

Ya no explicaré los pasos a dar. Descúbrelo y convéncete de que lo entiendes.

1 1 3 5 3 2 1 2 3 3 10 9 8 3 5 3 1 5: : :

3 2 5 6 4 3 4 6 6 5 12 12 12 12 6 5 12 12

5 3 12 5 3 1 5 2 10 1

6 5 60 6 5 5 6 5 30 3

Ejemplo 8

1 1 3 3 2 3 5 3 15 1 112 3 5 6 6 5 6 5 30 2 2

3 4 12 11 1 4 2 1 4 1 2

4 3 12 12 4 3 4 4 3

En este último ejemplo la división ahora se da en forma también de fracción. Observa que la operación del numerador se hace por un lado y la del denominador por otro. Se simplifican los pasos intermedios y, finalmente, se efectúa la división.





Potencias, raíces cuadradas y fracciones

Definición de potencia y de raíz cuadrada de una fracción

;

n n

n

a a a a

b b b b

Por ejemplo:

4 4

4

2 2 16

3 3 81

;

3 3

3

3 3 27

4 4 64

; 5 5 5

4 24

Observa que, en el segundo ejemplo, como la base es negativa y el exponente es impar el resultado es negativo.

Las propiedades de las potencias de números enteros se conservan con los números fraccionarios. Estas propiedades se traducen en reglas de uso práctico. No solamente hay que memorizarlas sino que hay que entender su justificación. Así las usarás de manera más eficaz. Debajo de cada propiedad se ha escrito entre comillas su “traducción al castellano”. Cada una de ellas se ilustra con un ejemplo.

Potencia de un producto n n n

a c a c

b d b d

“potencia de un producto es igual al producto de las potencias”

2 2 2 2 2

2 2

2 1 2 1 2 1 4 1 4

3 5 3 5 3 5 9 25 225

Potencia de un cociente

: :

n n na c a c

b d b d

“potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias”

3 3 3 3 3

3 3

3 4 3 4 3 4 27 64 27 27 729: : : :

2 3 2 3 2 3 8 27 8 64 512

También se puede hacer así:

3 3 3

3

3 4 9 9 729:

2 3 8 8 512

Producto de potencias de la misma base n m n m

a a a

b b b

“producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes”

2 3 5 5

5

2 2 2 2 32

3 3 3 3 243





Cociente de potencias de la misma base

: ;

n

n m n m n m

m

a

a a a ab

b b b ba

b

“cociente de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes”

8 6 2 2

2

3 3 3 3 9:

5 5 5 5 25

Potencia de una potencia m

n n ma a

b b

“potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes”

32 2 3 6 6

6

1 1 1 1 1

2 2 2 2 64

Potencias de exponente negativo

Recuerda que el inverso de una fracción lo escribíamos así:

1a b

b a

. Pues bien este es el primer exponente

negativo que debes aprender. Y no olvides que exponente “menos uno” significa “inverso de”.

En general

n na b

b a

Esta igualdad somos capaces de demostrarla. Observa:

1 1n

n n na a a b

b b b a

Lo único que hemos hecho es descomponer n como 1 n y luego aplicar la propiedad anterior (potencia de una potencia). Por cierto, las propiedades hay que saber aplicarlas, no solamente de manera directa (de izquierda a derecha) sino también al contrario (de derecha a izquierda).

Por ejemplo:

3 3 3

3

2 5 5 125

5 2 2 8

Potencias de exponente cero 0

1a

b





Esta propiedad también la podemos demostrar:

0

1 1

n n n n n n n

na a a a a b a b

b b b b b a b a

Haz un esfuerzo e intenta explicar qué se ha utilizado en cada uno de los pasos.

Operaciones combinadas con potencias

Al operar es posible que también aparezca alguna la raíz cuadrada de alguna fracción, o alguna expresión elevada a un número. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 9

323 1 2 7 9

: 12 2 3 2 49

2 3 2 3 2 33 2 7 3 3 2 3 9 8 2 3

: 1 : 1 :4 3 2 7 4 3 2 12 12 2 2

2 3 2 3

2 3

1 1 1 1 1 1 8 1: : :

12 2 12 2 144 8 144 18

Ejemplo 10

2 23 1 7 3 2

: 1 12 8 16 2 3

2 22

2

3 2 7 3 2 3 9 9 3 1: 1 : 1

2 16 16 2 3 3 4 16 2 3

2

2

9 3 3 1 9 4 3 6 1 9 1 1 36 1 1 9: 1 : : 9 1

4 4 2 3 4 4 4 4 9 4 4 9 4 9 9 9



Ecuaciones de primer y de segundo grado 2º ESO - 3º ESO

Ecuaciones de primer y de segundo grado Página 1

Ecuaciones de primer grado

Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo

ax b

donde a y b son números reales conocidos, con 0a . Al número desconocido x se le llama incógnita. A veces, al

igual que cuando se trabaja con polinomios, a los números a y b se le llaman coeficientes de la ecuación de primer

grado. Al número b también se le llama término independiente. Al sustituir la incógnita x por su valor se ha de verificar la igualdad. Claramente la incógnita ha de tomar el valor

b

xa

ya que

b ab

ax a ba a

Observa que la división b

a se puede llevar a cabo porque hemos supuesto que 0a .

En realidad, para despejar x , lo que hemos hecho es dividir ambos miembros de la igualdad entre a :

ax b b

ax b xa a a

Esta propiedad se aprende, no con demasiada corrección, con la siguiente frase: “lo que está multiplicando pasa al

otro miembro dividiendo”. En este caso, como a multiplica a x , pasa al otro miembro dividiendo, con lo que b

xa

.

Sin embargo hay que tener cuidado con la técnica anterior, y tener en cuenta que en realidad la propiedad que se aplica es: “si se dividen los dos miembros de una igualdad entre un mismo número distinto de cero, la igualdad no varía”. Esta propiedad de las igualdades es, de hecho, la misma que esta otra: “si se multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad no varía”. Observa y verás:

1 1

ax b bax b ax b x

a a a a a

Acabamos pues de recordar que dividir entre un número a distinto de cero es lo mismo que multiplicar por 1

a.

Ejemplo 1

La solución de la ecuación de primer grado 3 4 x es 4 4

3 3

x , ya que

4 123 4

3 3

, con lo que se

verifica la igualdad inicial. Observa que, realmente, tal y como se ha comentado anteriormente, para despejar la

incógnita x , se han dividido los dos miembros de la igualdad entre 3 :

3 4 43 4

3 3 3

xx x

Como conclusión, decir que para resolver cualquier ecuación de primer grado, debemos llegar, mediante un proceso

o una serie de pasos, a la igualdad ax b ya que, en este momento, tendremos la solución: b

xa

.





Procedimiento para resolver una ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado no aparece habitualmente en la forma ax b , sino que se presenta como una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que pueden aparecer corchetes, paréntesis y fracciones. Por ejemplo:

3 1 2 65 32 13 5 3 2

3 4 6 2

x x xxx x

x x

Recordemos que la expresión que se encuentra a la izquierda de la igualdad recibe el nombre de primer miembro de la ecuación y que la expresión que está a la derecha de la igualdad se llama segundo miembro de la ecuación.

Los pasos para resolver una ecuación cualquiera de primer grado son los siguientes:

1. Eliminar los corchetes y paréntesis. 2. Eliminar los denominadores. Para ello se multiplican todos y cada uno de los términos de la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores. 3. Trasponer términos. Lo que se quiere decir con esto es que debemos presentar los términos en los que

aparece la incógnita en uno de los miembros de la igualdad, y los términos que no tienen incógnita en el otro miembro de la igualdad. Para ello aplicamos la siguiente y conocida propiedad de las igualdades:

“Si se suma o se resta la misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, la igualdad no varía.” 4. Reducir términos semejantes. Una vez realizada la trasposición de términos podremos sumar y restar todos

los términos de ambos miembros pues serán todos semejantes. De este modo la ecuación aparecerá ya de la

forma ax b . 5. Despejar la incógnita. Una vez despejada la incógnita es conveniente simplificarla, caso de que sea posible.

Ilustraremos este proceso con varios ejemplos.

Ejemplo 2

2 4 5 3 6 7 1 2 4 4 5 x x x x

Esta ecuación no tiene ni corchetes, ni paréntesis y además tampoco aparecen fracciones en ella. Por tanto nos podemos saltar los pasos 1 y 2, y comenzar directamente con el paso 3, es decir, con la trasposición de términos. Para ello vamos a presentar los términos con la incógnita en el primer miembro y los términos sin incógnita en el

segundo. Observa que sumando 4 , sumando 3 y restando 6 en ambos miembros de la igualdad, tenemos:

2 4 5 3 6 4 3 6 7 1 2 4 4 5 4 3 6 x x x x ;

2 5 7 1 2 4 4 5 4 3 6 x x x x

Ahora, si restamos 7x y 4x en ambos miembros de la igualdad obtenemos:

2 5 7 4 7 1 2 4 4 5 4 3 6 7 4 x x x x x x x x ;

2 5 7 4 1 2 4 5 4 3 6 x x x x

La trasposición de términos se aprende con frecuencia mediante la siguiente regla: “lo que está sumando pasa al

otro miembro restando, y lo que está restando pasa al otro miembro sumando”. Observa que como 4 y 3 estaban

restando en el primer miembro, pasan al segundo sumando, y que como 6 estaba sumando en el primer miembro,

pasa al segundo miembro restando. De igual modo, como 7x y 4x estaban sumando en el segundo miembro sumando, pasan al primero restando. No olvides sin embargo que, para ser precisos, esta regla práctica es consecuencia de la propiedad de las igualdades descrita anteriormente:

“Si se suma o se resta la misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, la igualdad no varía.”

Ahora reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita:

9 94 9

4 4

x x x





Ejemplo 3

2 1 2 3 23 1

3 9 6

x x xx

Esta ecuación no tiene ni corchetes ni paréntesis, con lo que podemos ir directamente al paso número 2. Para eliminar los denominadores, multiplicaremos todos los términos por el mínimo común múltiplo de ellos. En este caso

mcm 3, 9, 6 18 . Entonces:

2 1 2 3 218 18 3 18 18 1 18

3 9 6

x x xx ;

6 2 1 54 2 2 18 3 3 2 x x x x

Observa que lo que hemos hecho es dividir el mínimo común múltiplo (en este caso 18 ) entre cada uno de los denominadores, utilizando la siguiente propiedad de las fracciones:

b a

a bc c

En nuestro caso, fíjate lo que se ha hecho en el primer término: 2 1 18

18 2 1 6 2 13 3

xx x

Se ha transformado de este modo la ecuación con denominares en una ecuación sin ellos, aunque ahora tenemos paréntesis. Pero estos se eliminan fácilmente:

12 6 54 2 4 18 9 6 x x x x ;

12 6 54 2 4 18 9 6 x x x x

En este paso hay que tener especial cuidado con los signos. Recuerda que un menos delante de un paréntesis cambiará de signo todo lo que va tras él, ya que restar un polinomio es sumar el opuesto del mismo.

Ahora sólo queda trasponer términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita que, aunque parece mucho, es lo más sencillo en el proceso de resolución de una ecuación de primer grado.

1412 54 2 9 18 6 6 4 73 14

73 x x x x x x

Ejemplo 4

1 1 3 4 12 3 2

5 3 6 15

x x x x

En este caso, parece que no hay paréntesis, pero sí que los hay ya que, por ejemplo 2 11 2 2

25 5 5

xx x. Así

que lo primer que haremos es efectuar estos productos y dejar la ecuación solamente con denominadores:

2 2 1 3 12 3 2

5 3 6 15

x x x x

Ahora multiplicamos por 30 , que es el mínimo común múltiplo de los denominadores:

6 2 2 10 1 3 5 12 3 2 2 12 12 10 30 60 15 4 x x x x x x x x

Por último trasponemos términos, reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita:

17 1712 30 60 4 15 12 10 22 17

22 22

x x x x x x x





Ejemplo 5

2 1 1 2 3 2 15 1

3 2 4 3 3 4

x x xx

Eliminemos paréntesis:

2 2 2 10 15 2 1

6 12 3 3 4

x x x xx

Eliminemos denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo, que es 12 :

2 2 2 1 2 4 10 15 12 4 2 3 1 4 4 2 40 60 12 8 3 3 x x x x x x x x x x

Trasponemos términos, reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita:

57 574 40 12 8 3 3 4 2 60 43 57

43 43

x x x x x x x x

Ejemplo 6

Vamos a finalizar resolviendo la ecuación de primer grado con que se abría esta sección. Observa que no se explican como antes los pasos que se van dando. Debes de identificar cada uno de ellos.

3 1 2 65 32 13 5 3 2

3 4 6 2

x x xxx x

x x ;

3 1 2 122 3 3 5 155 3 6

3 4 6 2

x x xx x xx x ;

2 3 3 5 15 3 3 6 365 3 6

3 4 6 2

x x x x x xx x ;

2 3 3 5 15 4 335 3 6

3 4 6 2

x x x xx x ;

4 2 3 3 3 12 12 5 2 5 15 6 4 33 12 3 12 6 x x x x x x ;

8 9 9 12 60 10 30 24 198 36 72 x x x x x x ;

8 9 12 10 24 36 30 198 72 9 60 x x x x x x ;

61 249 x ;

249

61 x





Ecuaciones de segundo grado

Definición y elementos de la ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una igualdad del tipo:

2 0 ax bx c

donde a , b y c son números reales conocidos con 0a , y reciben el nombre de coeficientes de la ecuación de segundo grado. Al igual que en el caso de las ecuaciones de primer grado, al número desconocido x se le llama incógnita.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Caso 1: 0b

En este caso la ecuación de segundo grado toma la forma:

2 0 ax c

Para resolverlas se despeja 2x y luego se extrae la raíz cuadrada para despejar finalmente la incógnita x . Hay que tener en cuenta que:

Si el radicando es mayor que cero obtendremos dos soluciones, la raíz cuadrada con signo positivo y la raíz cuadrada con signo negativo.

Si el radicando es cero la solución es 0x . Si el radicando es negativo la ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales.

Nota: el radicando de una raíz es “aquello que se encuentra dentro de la raíz”.

Ejemplo 7

23 24 0 x

Despejamos 2x :

2 2 2243 24 8

3 x x x

Extraemos la raíz cuadrad de 8 . Como 8 es positivo tenemos dos soluciones:

1

2

88

8

xx

x

Observa que, cuando la ecuación de segundo grado, tiene dos soluciones, éstas se denotan con subíndices: 1x , 2x .

Ejemplo 8

26 12 0 x

Despejamos 2x :

2 2 2126 12 2

6 x x x

Al intentar extraer la raíz cuadrada de 2 , observamos que no podemos hacerlo porque 2 es negativo:

2 x (no existe, pues no hay ningún número cuyo cuadrado sea 2 )

Así pues, en este caso la ecuación no tiene soluciones reales.





Caso 2: 0c

En este caso la ecuación de segundo grado toma la forma:

2 0 ax bx

El proceso de resolución consiste en extraer factor común la incógnita x pues ésta aparece en ambos términos. Una

de las soluciones siempre es 1 0x . La otra solución se obtiene de igualar a cero el otro factor y de resolver la

correspondiente ecuación de primer grado.

Veámoslo:

2 0 ax bx 1

2

0

00

x

x ax b bax b ax b x

a

Ejemplo 9

23 18 0 x x

Sacamos x factor común:

3 18 0 x x

Una solución es 1 0x . La otra se obtiene de igualar a cero el factor 3 18x :

1

2

0

3 18 0 183 18 0 3 18 6

3

x

x xx x x x

Ecuación de segundo grado. Caso general

En este caso vamos a suponer que los tres coeficientes a , b y c son todos distintos de cero. Este caso es el más general y la ecuación de segundo grado queda, en su forma reducida, así:

2 0 ax bx c

La solución se obtiene de sustituir los coeficientes a , b y c en la siguiente fórmula:

2 4

2

b b acx

a

Observa que el símbolo indica que, para obtener las dos posibles soluciones, hay que sumar por un lado y restar por otro:

2

1

4

2

b b acx

a ;

2

2

4

2

b b acx

a

Ejemplo 10

23 5 2 0x x

En este caso 3a , 5b y 2c . Sustituyendo en la fórmula anterior:

2

1 1

2 2

5 72

5 5 4 3 2 5 25 24 5 25 24 5 49 5 7 6

5 72 3 6 6 6 61

2

x x

x

x x





A la expresión 2 4b ac , situada en el interior de la raíz de la fórmula que proporciona las soluciones, se le llama discriminante de la ecuación de segundo grado. Pueden ocurrir tres cosas:

Si el discriminante es mayor que cero ( 2 4 0b ac ) la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales (véase el ejemplo anterior).

Si el discriminante es igual a cero ( 2 4 0b ac ) la ecuación de segundo grado tiene una única solución, que se suele llamar solución doble. Esta solución se obtiene mediante la expresión:

2

bx

a

Es fácil ver la demostración: 2 4 0 0

2 2 2 2

b b ac b b bx

a a a a

Si el discriminante es menor que cero ( 2 4 0b ac ) la ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales. La razón es, de nuevo, la no existencia de raíces cuadradas de números negativos en el conjunto de los números reales.

Ejemplo 11

24 12 9 0x x

Ahora tenemos que 4a , 12b y 9c . Por tanto el discriminante es:

22 4 12 4 4 9 144 144 0b ac

Como el discriminante es menor que cero, la solución de la ecuación de segundo grado es única. Ésta es:

12 12 3

2 2 4 8 2

bx x

a

Procedimiento para resolver una ecuación de segundo grado

Al igual que en el caso de las ecuaciones de primer grado, una ecuación de primer grado no suele aparecer en su forma reducida, tal y como se ha tratado en el apartado anterior, sino que se presenta como una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que pueden aparecer corchetes, paréntesis y fracciones. Por ejemplo:

2 223 4 1 2 2 23

5 82 3 4

x x x xx xx

Los pasos para resolver una ecuación de segundo grado son muy similares a los que se seguían para resolver ecuaciones de primer grado:

1. Eliminar los corchetes y paréntesis. 2. Eliminar los denominadores. Para ello se multiplican todos y cada uno de los términos de la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores. 3. Colocar todos los términos en el primer miembro. De este modo en el segundo miembro aparecerá un cero. 4. Reducir términos semejantes. Una vez realizada la trasposición de términos podremos sumar y restar todos

los términos de ambos miembros pues serán todos semejantes. De este modo la ecuación aparecerá ya en

su forma reducida más general 2 0 ax bx c , o bien se presentará en una de sus dos formas

incompletas: 2 0 ax c , 2 0 ax bx . 5. Despejar la incógnita. Para ello procederemos como ya se ha explicado en el caso de que la ecuación de

segundo grado sea incompleta. Si la ecuación se presenta en su forma reducida más general se aplicará la fórmula ya conocida para despejar la incógnita:

2 4

2

b b acx

a

Veamos a continuación algunos ejemplos de resolución de ecuaciones de segundo grado.





Ejemplo 12

22 3 5 2 x x x

Esta ecuación no tiene denominadores así que bastará eliminar el paréntesis y colocar todos los términos en el primer miembro de la ecuación:

2 2 2 22 3 5 2 6 10 2 6 10 2 0 6 11 2 0 x x x x x x x x x x x

Los coeficientes son 6a , 11b y 2 c . Entonces:

2 1 1

2 2

11 13 2 111 11 4 6 2 11 121 48 11 169 11 13 12 12 6

11 132 6 12 12 122

12

x x

x

x x

Ejemplo 13 25 5 3

4 12 3 8

x x x

Esta ecuación de segundo grado no tiene paréntesis, pero sí que aparecen denominadores. Multiplicamos todos los

términos por el mínimo común múltiplo de los mismos, que es 24 .

22 25 5 3

24 24 24 24 6 5 2 8 5 3 3 30 2 40 94 12 3 8

x x xx x x x x x

Ahora colocamos todos los términos en el primer miembro y reducimos términos semejantes:

2 230 2 40 9 0 2 21 40 0 x x x x x

Los coeficientes ahora son 2 a , 21b y 40 c . Por tanto:

2 1 1

2 2

21 11 10 521 21 4 2 40 21 441 320 21 121 21 11 4 4 2

21 112 2 4 4 48

4

x x

x

x x

Ejemplo 14

3

2 5 02

x x

En esta ecuación, para eliminar los paréntesis, tenemos que aplicar la propiedad distributiva (“todos por todos”):

23 3 152 2 5 5 0 2 3 5 0

2 2 2 x x x x x x x

Eliminamos denominadores multiplicando todos los términos por 2 , reducimos términos semejantes y despejamos:

2 2 2152 2 2 3 2 5 2 2 0 4 6 10 15 0 4 16 15 0

2 x x x x x x x x

2 1 1

2 2

16 4 20 5

16 16 4 4 15 16 256 240 16 16 16 4 8 8 2

16 4 12 32 4 8 8 8

8 8 2

x x

x

x x





Ejemplo 15 Resolvamos ahora la ecuación que se ponía como ejemplo al principio de este apartado.

2 223 4 1 2 2 23

5 82 3 4

x x x xx xx

Eliminamos paréntesis:

2 2 23 12 3 5 15 5 2 2 48

2 3 4

x x x x x xx

Eliminamos denominadores. Para ello multiplicamos por 12 cada uno de los términos de la ecuación:

2 2 23 12 3 5 15 5 2 2 412 12 12 12 12 8

2 3 4

x x x x x xx ;

2 2 26 3 12 3 4 5 15 5 12 3 2 2 4 96 x x x x x x x ;

2 2 218 72 18 20 60 20 12 6 6 12 96 x x x x x x x

Colocamos todos los términos en el primer miembro y reducimos términos semejantes:

2 2 218 72 18 20 60 20 12 6 6 12 96 0 x x x x x x x ;

232 110 42 0 x x

Antes de obtener el valor de x mediante nuestra fórmula haremos algo muy importante. Si los coeficientes tienen un divisor común se pueden dividir todos los términos entre este divisor común, quedando una ecuación de segundo grado equivalente a la anterior, pero con la diferencia de que los coeficientes serán más pequeños y, por tanto, más fácil operar con ellos a la hora de aplicar la fórmula mediante la que obtenemos x .

Los coeficientes de nuestra ecuación tienen un divisor común: el 2 . Así, dividiendo entre 2 cada uno de los términos obtenemos esta otra ecuación:

216 55 21 0 x x

Los coeficientes de esta ecuación son 16a , 55 b y 21c (más fáciles de tratar que los de la ecuación anterior). De este modo:

2

1 1

2 2

55 41 963

55 55 4 16 21 55 3025 1344 55 1681 55 41 32 32

55 41 14 72 16 32 32 32

32 32 16

x x

x

x x

Nota final: la importancia de separar adecuadamente un paso del siguiente

Habrás observado que, cada vez que “damos un paso” sobre una ecuación, ya sea de primer o de segundo grado, para obtener otra ecuación equivalente, pero un poco más sencilla pues hemos conseguido suprimir paréntesis, o hemos eliminado denominadores, o bien se han reducido términos semejantes, etcétera, se ha separado la ecuación anterior de la siguiente o bien mediante el símbolo (que se traduce por “implica” o por “entonces”), o bien simplemente por un punto y coma (;). Ambas formas son adecuadas y son las que habitualmente se utilizan. También comentar que, ya sea mediante el punto y coma o mediante el símbolo , cada paso se puede separar del siguiente escribiéndolo en renglones distintos, o uno a continuación de otro. Ambas formas son correctas también. Aunque al principio quizás sea conveniente escribir cada paso en un renglón distinto, pues así es posible que veas cada acción con más claridad. En estos apuntes se ha hecho de ambas formas, como habrás podido comprobar.



Áreas de figuras planas 3º ESO

Á rea de figuras planas Tendremos en cuenta que, en cada caso, llamaremos A al área o superficie de cada una de las figuras planas.

Polígonos

Cuadrado Rectángulo Rombo

Romboide o paralelogramo Triángulo Trapecio

Polígono regular: pentágono, hexágono, octógono, etc.

Ejercicio resuelto

Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 6 cm si el radio de la circunferencia circunscrita es de 5 cm.

Solución

La apotema a forma un triángulo rectángulo con el radio r y la mitad del lado. Por tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud, es decir:

2 2 2 2 2 23 5 3r a a

2 25 3 16 4a cm

Así, el área es:

6 5 460

2A

cm2

l

l

2A l

A b a

D

d 2

D dA

A b h h

b

a

b l = lado b = base

a = altura

D = diagonal mayor

d = diagonal menor

b = base

h = altura b

h 2

b hA

b = base

h = altura

h h

b

B

2

B b hA

B = base mayor

b = base menor

a a

b b

Llamemos P al perímetro y n al número de lados de

cada polígono regular. Entonces P b n y 2

P aA

b = lado

p = apotema

lado = 6 cm

mitad del lado = 3 cm

a r



Áreas de figuras planas 3º ESO

Figuras circulares Seguiremos llamando A al área o superficie de cada figura circular. También denotaremos con L a la longitud de la

figura circular correspondiente.

Circunferencia y círculo

Arco de circunferencia y sector circular

Corona circular

Ejercicio resuelto

En un circuito de carreras completamente circular, de 25 m de radio, hay que trazar un arco de circunferencia con

un ángulo de 30º y pintar el sector circular correspondiente. Calcula la longitud del arco de la circunferencia y el área del sector circular.

Solución

La longitud del arco de circunferencia es:

30º2 25 13,09

360ºL m

El área del sector circular mide:

2 30º25 163,62

360ºA m2

2L r 2A r

2360º

L r

r

2

360ºA r

R es el radio de la circunferencia mayor

r es el radio de la circunferencia menor

2 2A R r


lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de ... · Además, a los números positivos no es...

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