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Departamento de Ciencias. Área de Física

Apuntes

Prof.: C.Severino. C A. Suárez.L Fecha 05 03 2015

Curso: 3°Medio electivo

Vectores

Nombre: ………………………………………………………………. Curso: …………

SOLO PARA USO INTERNO

Apuntes: 3° Electivo- Estática 1

CONTENIDOS

Sistema internacional de unidades. Operatoria de vectores: forma geométrica y analítica. Descomposición vectorial.

APRENDIZAJES ESPERADOS 1.- Operan con vectores en forma geométrica y analítica.

2.- Efectúan análisis dimensional de ecuaciones físicas dadas. 3.- Resuelven situaciones sencillas empleando descomposición vectorial.

BIBLIOGRAFÍA

Física. Serway-Faughn (Sexta edición). Ed Thompson Física. Douglas C. Giancoli (Sexta edición).Ed Pearson Física General. Antonio Máximo-Beatriz Alvarenga.(4ª edición). Ed Oxford


Sistemas de unidades

Al tratar con las leyes y ecuaciones de la física es muy importante usar un conjunto consistente de unidades. A lo largo de los años se han utilizado distintos sistemas de unidades. Actualmente el sistema de unidades más

importante es el Sistema Internacional, que se abrevia SI. En unidades SI, el estándar de longitudes el metro,

el estándar de tiempo es el segundo y el estándar para la masa es el kilogramo. Este sistema solía llamarse sistema MKS (metro-kilogramo-segundo).

Un segundo sistema métrico es el sistema cgs, en el que el centímetro, el gramo y el segundo son las unidades estándares de longitud, masa y tiempo, respectivamente. El sistema de ingeniería inglés tiene como

estándares el pie para longitud, la libra para peso y el segundo para tiempo.

MAGNITUDES BÁSICAS

MAGNITUD UNIDAD

Longitud metro(m)

Tiempo segundo(s)

Masa kilogramo(kg)

Corriente

eléctrica

ampere(A)

Temperatura kelvin(K)

Cantidad de

sustancia

mol(mol)

Intensidad

luminosa

Candela(cd)

Las magnitudes físicas se dividen en dos categorías: básicas y derivadas. Las unidades correspondientes a dichas cantidades se denominan unidades básicas y unidades derivadas.

Una magnitud básica se define en términos de un patrón. Hoy día se utilizan siete unidades básicas las cuales se indican en la tabla anterior.

Una magnitud derivada se define en términos de las siete unidades básicas. Son magnitudes derivadas: La rapidez, la fuerza, etc..

En el sistema métrico, las unidades más grandes y más pequeñas se definen como múltiplos de potencias de 10 a

partir de una unidad patrón. Por ejemplo:

1 kilómetro (km)=103 metros(m)

1 centímetro(cm)=10-2 (m) 1 milímetro(mm)=10-3 (m)

Utilizamos para diferentes unidades los prefijos del (SI).

Prefijos métricos SI

Potencia prefijo

10-24 docto(y)

10-15 femto(f)

10-12 pico(p)

10-9 nano(n)

10-6 micro(μ)

10-3 mili(m)

103 kilo(k)

106 mega(M)

109 giga(G)

1012 tera(T)

1015 peta(P)

1024 yotta(Y)


UNIDADES SI DERIVADAS Y SUS ABREVIATURAS

Cantidad Unidad Abreviatura En términos de

Unidades base* Fuerza newton N kgm/s2

Energía y trabajo joule J kgm2/s2

Potencia watt W kgm2/s3

Presión pascal Pa kg/(ms2)

Frecuencia hertz Hz s-1

Carga eléctrica coulomb C A s

Potencial eléctrico volt V kgm2/(A s3)

Capacitancia farad F A2 s4/(kg m2)

Campo magnético tesla T kgm2/(A s2)

Flujo magnético weber Wb kg m2/( A s2)

Inductancia henry H kg m2/(s2 A2)

* kg=kilogramo(masa),m=metro(longitud), s= segundo(tiempo), A=ampere(corriente eléctrica).

Análisis dimensional

Cuando hablamos de las dimensiones de una magnitud, nos referimos al tipo de unidades o cantidades básicas

que la constituyen. Por ejemplo, las dimensiones de una área son siempre una longitud cuadrada, que se abrevia

[L2] usando corchetes; las unidades pueden ser metros cuadrados, pies cuadrados, cm2, etc. Por otro lado, la velocidad puede medirse en unidades de km/h, m/s y mi/h, pero las dimensiones son siempre una longitud [L]

dividida entre un tiempo [T]: es decir, [L/T].

Ejemplo: Si deseamos calcular el área de un rectángulo y la de un círculo, sabemos que las fórmulas son

diferentes, para el rectángulo tenemos A= ab (siendo a el largo y b el ancho) y para el círculo es A=πr2 (siendo r la longitud del radio), sin embargo las dimensiones del área son las mismas, es

decir [L2].

Las dimensiones pueden ser útiles al establecer relaciones y a tal procedimiento se le llama análisis

dimensional. Una técnica útil es el uso de las dimensiones para verificar si una relación es incorrecta. Advierta que sólo es posible sumar o restar cantidades sólo si tienen las mismas dimensiones (no sumamos centímetros

más horas), y las cantidades en ambos lados de una igualdad deben tener las mismas dimensiones. (En los

cálculos numéricos, las unidades deben además ser las mismas en ambos lados de una ecuación).

Ejemplo: Supongamos que alguien descubrió una fórmula cinemática para el movimiento rectilíneo uniforme

acelerado, la cual la escribe de la siguiente manera: 𝒗 = 𝒗𝟎 +𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐 Donde v representa velocidad,

vo es velocidad inicial, a es aceleración, t es tiempo y ½ es una constante.

Note que aquí los factores numéricos puros, como 1/2 , no tienen dimensiones. Escribimos una ecuación dimensional como sigue, recordando que las dimensiones de la rapidez son [L/T] y las dimensiones de la

aceleración son [L/T2]:

Las dimensiones son incorrectas: en el lado derecho tenemos la suma de cantidades cuyas dimensiones no son

las mismas. Concluimos entonces que se cometió un error en la derivación de la ecuación original. Una comprobación dimensional sólo indica cuándo una relación es incorrecta; sin embargo, no indica si es

completamente correcta. Por ejemplo, podría estar equivocado un factor numérico adimensional (como ½ o 2π).

Ejemplo: La medición significativa más pequeña de longitud se denomina la “longitud de Planck” y se define en términos de tres constantes fundamentales en la naturaleza, la rapidez de la luz c =3.00 x108 m/s, la

constante gravitacional G = 6.67 x 10-11 m3/kgs2 y la constante de Planck h = 6.63 x10-34 kgm2/s. La longitud de Planck λp (l es la letra griega “lambda”) está dada por la siguiente combinación de estas

tres constantes:

Demuestre que las dimensiones de λp son longitud [L].


Reescribimos la ecuación anterior en términos de dimensiones. Las dimensiones de c son [L/T], de G son

[L3/MT2], y de h son [ML2/T].

Las dimensiones de λp son

Lo cual es correcto.

Ejemplo: la siguiente es una fórmula física correcta, KF=mV donde m es masa, F es fuerza y V velocidad.

Determinar qué magnitud representa K.

[KF] = [mV]

[K][F]=[m][V]

[K]LMT-2=MLT-1

[K]=T

Luego K representa tiempo.

Ejercicios propuestos

01) ¿Cuáles son las dimensiones de densidad volumétrica(masa por unidad de volumen)?

02) La rapidez de un cuerpo está dada por la ecuación v=A3 – Bt donde t representa el tiempo.

a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B? b) Cuáles son las unidades SI para las constantes A y B?

03) Tres estudiantes obtiene las siguientes ecuaciones, donde d se refiere a la distancia recorrida, v a la rapidez,

a a la aceleración (m/s2), t al tiempo y el subíndice (0) significa una cantidad en el tiempo t=0.

𝑎) 𝒅 = 𝒗𝒕𝟐 𝒃) 𝒅 = 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐 𝒄) 𝒅 = 𝒗𝟎𝒕 + 𝟐𝒂𝒕𝟐

¿Cuál de estas ecuaciones es correcta de acuerdo con una comprobación dimensional?

04) Demuestre que la siguiente combinación de las tres constantes fundamentales de la naturaleza que usamos

en un ejemplo anterior (que son G, c y h) forma una cantidad con las dimensiones de tiempo:

𝒕𝒑 = √𝑮𝒉

𝒄𝟓

Esta cantidad tp, se denomina tiempo de Planck, y se considera el tiempo más temprano, después de la

creación del universo, en el que se pudieran aplicar las leyes de la física actualmente conocidas.


VECTORES

Vector: es una cantidad física que presenta: magnitud o módulo, dirección y sentido. Su representación es

mediante una flecha, la que posee un origen y un extremo.

L

B

��

A

La longitud de la flecha es la magnitud o módulo del vector. La línea recta L sobre la cual se ubica la flecha,

representa la dirección del vector, analíticamente la pendiente de la recta es la dirección de la flecha. El sentido del vector es hacia un lado o hacia el otro sobre la línea.

Un vector se representa con una letra o con dos letras 𝑨𝑩 = ��

En Física existen dos tipos de magnitudes, escales y vectoriales. Una magnitud es escalar cuando se especifica

completamente con su magnitud y unidad de medida. Son magnitudes escalares: la distancia, la masa, el tiempo la presión, la rapidez, temperatura, etc.

Una magnitud vectorial necesita adicionalmente especificar su dirección y sentido. Son magnitudes vectoriales:

fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, posición, etc.

Operatoria con vectores

Con los vectores podemos efectuar operaciones de manera similar a las realizadas con los números reales, sin

embargo existe una diferencia importante: las operaciones con vectores se realizan mediante dibujos; en los cuales se observan las tres características del vector resultante: módulo, dirección y sentido.

Las operaciones con vectores que se describirán a continuación son generales, es decir podemos operar vectores

fuerzas, vectores aceleraciones, vectores desplazamientos, etc. Existen dos formas para el tratamiento de vectores: forma geométrica, ésta prescinde de un sistema de

coordenadas y la forma analítica, la cual emplea el álgebra y un sistema de coordenadas.

Forma geométrica: Vamos a considerar tres operaciones, adición, sustracción y ponderación de un vector.

Para operar con vectores utilizamos el método del polígono y del paralelogramo.

Método del polígono : Adición y sustracción

Dados los dos vectores de la figura:

b

a

b

a

ba

Trasladamos los vectores a

y b

de modo que hacemos coincidir el extremo del 1° vector sumando con el origen

del 2° vector sumando. El vector suma (resultante) es el que se traza del origen del primer vector sumando

hacia el extremo del segundo vector sumando.

Origen

Extremo


Si deseamos realizar �� − �� trasformamos la sustracción en una adición:

𝒂 − 𝒃 = �� + −��

Donde −�� es el vector opuesto a �� . Ambos vectores poseen el mismo módulo y dirección, pero difieren en el

sentido.

�� −��

−�� 𝒂 − 𝒃

a

Luego repetimos el procedimiento para la adición:

Nota: la adición de vectores cumple con la con la conmutatividad y asociatividad.

Método del paralelogramo : Adición y sustracción

Otra forma para adicionar vectores es la regla del paralelogramo: Se unen los orígenes de ambos vectores, se

trazan rectas paralelas a las rectas portadoras de cada flecha para construir el paralelogramo. La diagonal que tiene origen común con ambos flechas sumandos corresponde al vector suma. La otra diagonal

representa el vector diferencia, el cual se traza desde b

a a

.

𝒂 − 𝒃

ba

a

a

b

b

Ponderación de un vector

Un vector a

se puede ponderar (multiplicar) por un escalar λ (número real diferente de cero), lo cual se anota

como λ a

.

El vector obtenido λ a

tiene las siguientes características:

Dirección, la misma que a

Módulo, es la longitud de a

multiplicado por el valor absoluto de λ.

Sentido, el mismo que el de a

si λ es positivo, y contrario al de a

si λ es negativo.


Forma analítica: Nuevamente consideraremos las tres operaciones ya mencionadas, pero referidas a un sistema de coordenadas.

Un vector se puede representar en el plano cartesiano X-Y. En este caso el vector tiene asociado dos vectores

componentes.

Y

��𝒚

��

α

O 𝑭𝒙 X

El ángulo α, es el ángulo de dirección del vector F, se mide en sentido antihorario a partir del eje X.

Las componentes vectoriales del vector F son : 𝑭𝒙 , componente horizontal (según X) y

��𝒚 , componente vertical (según Y)

Por la regla del paralelogramo es claro que: �� = 𝑭𝒙 + ��𝒚

Si conocemos el módulo del vector F y su ángulo de dirección α, podemos determinar sus componentes

vectoriales:

𝐅𝐱 = 𝐅𝐜𝐨𝐬 ∝ y 𝐅𝐲 = 𝐅𝐬𝐞𝐧 ∝

El vector F se puede escribir como un par ordenado de números reales.

�� = ( 𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 )

Las componentes escalares del vector F son Fx y Fy.

También se puede representar un vector en el espacio X-Y-Z con sus tres componentes escalares.

�� = ( 𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 , 𝑭𝒛)

La adición y sustracción de vectores 𝑨 𝒚 �� se obtiene mediante las expresiones:

𝑨 + ��=( Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz )

𝑨 − ��=( Ax - Bx , Ay - By , Az - Bz )

Dado un vector 𝑨 y un escalar λ no nulo, la ponderación del vector A está dada por la expresión:

𝛌�� = ( 𝛌𝐀𝐱 , 𝛌𝐀𝐲 , 𝛌𝐀𝐳 )


Módulo de un vector

En dos dimensiones, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, mediante la expresión:

|��| = √𝑨𝒙 𝟐 + 𝑨𝒚

𝟐

Para tres dimensiones, utilizamos la expresión:

|��| = √𝑨𝒙 𝟐 + 𝑨𝒚

𝟐 + 𝑨𝒛 𝟐

Vector unitario : es aquel vector cuyo módulo es 1.

Dado un vector �� cualquiera, el vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector dado, se obtiene

dividiendo el vector �� por su módulo y se denota como ��.

�� =𝐴

|𝐴|

Identificamos tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares entre sí, y que descansan sobre los ejes

coordenados X, Y y Z.

�� = ( 𝟏 , 𝟎 , 𝟎 ) , 𝒋 = ( 𝟎 , 𝟏 , 𝟎 ) , ��=( 𝟎 , 𝟎 , 𝟏 )

Nota: Cualquier vector en el espacio se puede representar en función de los vectores unitarios.

Producto punto (producto escalar)

Dados los vectores �� y �� se define la operación

�� ∙ �� = |��||��|𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑎 𝛼 Donde 𝛼 es el ángulo comprendido por los vectores dados.

��

Esta operación genera un número real (positivo, negativo o cero).

Si 0 < 𝛼 < 90° entonces el producto escalar es positivo.

Si 90° < 𝛼 < 180° entonces el producto escalar es negativo.

Si 𝛼 = 90° entonces el producto escalar es nulo, ya que cos(90°) =0


En forma analítica, siendo �� = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧) y �� = (𝑏𝑥, 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧)

�� ∙ �� = (𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧)

Producto vectorial (producto vectorial)

Dados los vectores �� y �� se define la operación

�� × �� = 𝑐

Esta operación genera un vector 𝑐 , el cual posee las siguientes características:

Módulo: |𝑐| = |��||��|𝑠𝑒𝑛𝜃

Donde 𝜃 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠. Dirección: 𝑐 es perpendicular al plano que forman los vectores �� y ��

Sentido: Regla de la mano derecha (observar la figura)


GUÍA VECTORES

I) Item de verdadero o falso: Marcar con V o F según la frase sea verdadera o falsa respectivamente.

Las afirmaciones del 1 al 10 se refieren a los vectores considerados en la figura, que representa un rectángulo de

largo (AB)= 8 y de ancho (BC)= 6. Con CA= e y BD= f

c

D C

f a d

e

A b B

01) ( ) a + b + c + d = 0

02) ( ) a y b sólo tienen igual módulo.

03) ( ) 0,5e + 0,5f = b

04) ( ) a + d = 2a

05) ( ) En la figura existen dos pares de vectores con igual dirección.

06) ( ) El módulo de ( a + b – d ) es 4.

07) ( ) (a + b) tiene módulo 14.

08) ( ) (c – e) - b = a

09) ( ) El módulo de (b – d) es 10.

10) ( ) ( e + f ) tiene módulo 16.

II) Preguntas y ejercicios

01) Un automóvil toma una rotonda de 300 m de radio(vista superior), partiendo del punto P, tal como lo muestra la figura.

v

P

a) Trace en la figura el vector desplazamiento del automóvil, luego de haber efectuado media vuelta. b) ¿Cuál es la magntud del desplazamiento?

c) ¿Cuál será la magnitud del desplazamiento del auto después de haber completado 10 vueltas completa?

02) Dos desplazamientos tienen magnitudes d1= 4 m y d2= 3 m. Se sabe que 𝑑1 tiene dirección horizontal y

sentido de izquierda a derecha.

a) ¿Cuál debe ser la dirección y el sentido de 𝑑2 para que la resultante de esos vectores tenga una

magnitud igual a 7 m?

b) Responda la pregunta anterior considerando que la resultante debe tener una magnitud igual a 1 m.


c) ¿La resultante de 𝑑1 y 𝑑2

podría tener un valor igual a 8 m? ¿O bien, igual a 0,5 m?

03) En la figura(vista superior), los vectores F1 y F2 representan, en magnitud, dirección y sentido, dos fuerzas perpendiculares que actúan sobre una caja

pesada. Se desea agregar una tercera fuerza que equilibre a las anteriores. El vector que mejor representa esta fuerza equilibrante es:

A) B) C) D) E)

04) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es incorrecta?

A) La magnitud de la componente de un vector no puede ser mayor que la del propio vector.

B) Si la componente de un vector sobre un eje es nula, podemos concluir que la magnitud del vector

también lo es. C) Si un vector es perpendicular a un eje, la componente del vector sobre dicho eje es nula.

D) Si un vector es paralelo a un eje, la magnitud de la componente del vector sobre el eje es igual a la del vector.

E) Si ambas componentes rectangulares de un vector son nulas, podemos concluir que la magnitud del vector también lo es.

III) Item de desarrollo

01) Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m.

02) Hallar el módulo del vector suma del sistema vectorial.

03) En el sistema de vectores mostrado en la figura. Determinar el vector resultante.

|��| = 23,77

Resp: �� = −6𝑖 + 23𝑗


04) En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector “A” en términos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 unidades.

05) Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante.

06) Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado. La figura muestra un rectángulo de dimensiones de 5u y 4u.

07) Un cuerpo de masa 8 kg descansa sobre un plano inclinado en reposo. Determine la magnitud de la componente del peso:

a) paralela a la superficie del plano.

b) perpendicular a la superficie del plano.

Resp: R = 10√3 𝑁

Resp: 𝐴 = 18𝑖 + 24𝑗

Resp: 10u


IV) Item de selección múltiple

01) La magnitud de dos vectores desplazamientos A y B son respectivamente 8 cm y 3 cm. Al realizar la

suma vectorial entre A y B, el vector resultante no puede tener la magnitud:

A) 11

B) 5 C) 4

D) 9 E) 7

02) En la figura se muestran los vectores a

y b

que poseen la misma dirección.

El módulo de a

es 5 y el de b

es 3. a

b

De las siguientes afirmaciones es o son falsas:

I) La operación ( a

- b

) tiene módulo -2.

II) La suma ( a

+ b

) posee módulo 2.

III) El módulo de ( b

- a

) es 8.

IV) La resultante de la suma de a

y b

posee la dirección y sentido de a

.

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) III y IV

03) Las magnitudes en Física pueden clasificarse en escalares y vectoriales. ¿Cuál de las siguientes opciones es

la única verdadera en el ámbito de la Cinemática?

Desplazamiento Posición Rapidez

A) vectorial escalar vectorial

B) escalar escalar escalar

C) vectorial vectorial vectorial D) vectorial vectorial escalar

E) escalar vectorial escalar

04) Un insecto alado desea viajar desde un extremo O (origen del sistema de coordenadas) de una habitación

rectangular al extremo P. Las dimensiones de la habitación se muestran en la figura, expresadas en metros ¿Cuál es la distancia mínima que debe recorrer para llegar a destino?

A) 12m

B) 25 m

C) 8m

D) 10m E) 9m

05) La magnitud de la suma de dos vectores coincide con la suma (escalar) de sus magnitudes

I) si los vectores tienen igual magnitud. II) si los vectores son iguales.

III) si los vectores tienen igual dirección y sentido.

De estas afirmaciones es (son) verdadera(s):

A) solo I B) solo II C) solo I y II D) solo II y III E) solo I y III.


06) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta: El módulo de la resultante (vector suma)

de dos vectores de 20 unidades y 30 unidades:

A) Nunca puede ser igual a 60 unidades. B) Es, con seguridad, menor o igual que 50 unidades.

C) Nunca es menor que 10 unidades.

D) Siempre está dada por la expresión 22 3020

E) Siempre es positivo.

07) Sobre una partícula se aplican tres fuerzas F1= 8i – 11j , F2= -5i + 7j. Si la partícula se mantiene en

equilibrio, la expresión para F3 es:

A) 3i – 4j

B) 13i – 18j C) -3i + 4j

D) -3i – 4j E) NDLA.

08) Una carga es desplazada a lo largo de un plano inclinado tal y como muestra la figura. La longitud del plano es de 10 m y el ángulo que forma con la horizontal es de 30°. ¿A qué altura del suelo se

levantó la carga?

A) 8,66 m

B) 5 m C) 10 m

D) 13,66 m E) NDLA.

09) Una mosca se desplazó desde la posición (3,2,1) metros a la posición (1,2,1) metros dentro de la habitación. Si la mosca voló en línea recta, recorrió una distancia

A) de un metro.

B) De 2 metros.

C) Mayor que 2 metros y menor que 3 metros. D) Entre 3 y 4 metros.

E) Mayor que 4 metros.

10) Sobre una bolita actúa una fuerza F, cuyas componentes son (-3,4,5) N. para equiilibrar a F con otra

fuerza G, ésta debe tener una magnitud

A) de 3 N B) de 4 N

C) de 5 N D) entre 6 N y 8 N

E) mayor que 8 N

11) El vector posición de una partícula a las 13:00 horas es el (1) de la figura y a las 13.05 es el (2) de la figura.

Por lo tanto el vector que mejor representa el desplazamiento en el lapso considerado es

(1)

(2)

A) B) C) D) E)


***Considerando el vector F

=(-5,-12) a partir de esta información podemos decir que (preguntas del

12 al 16)

12) Su módulo es:

A) 13 B) 17 C) -17 D) 2 E) Otro valor

13) Se ubica en el cuadrante:

A) I B) II C) III D) IV E) Sobre un eje

14) La componente escalar “X” del vector F

es:

A) 5 B) -5 C) 12 D) -12 E) NDLA

15) El vector que posee la misma dirección pero sentido opuesto al vector F

es:

A) (-5,12) B) (-5,-12) C) (5,12) D) (5,-12) E) Otro

16) El ángulo de dirección del vector F

anterior es:

A) 157° aprox. B) 247° aprox. C) 337° aprox. D) 203° aprox. E) Otro valor

17) Un móvil se mueve sobre un plano con rapidez constante, de tal manera que en la figura se muestra su velocidad en las horas especificadas:

t =12:01 hr

t =12:00 hr

La variación de velocidad experimentada por el móvil en el intervalo de tiempo, está mejor representada por

el vector

A) Nula B) C) D) E)

18) Si x e y son vectores que tienen la misma dirección y sentido pero difieren en su magnitud, se asevera que:

I) El vector ( x + y ) tiene la misma dirección que el vector y .

II) x + y = x + y

III) x – y = x - y

De estas, es (son) verdadera(s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

19) Al adicionar los vectores de la figura, el vector resultante tiene módulo

A) 40 N B) 120 N

C) 80 N

D) 40 3 N

E) 80 3 N


20) Sobre el cuerpo P de la figura actúan las fuerzas indicadas:

Si F1 = 4 unidades; F2 = 2 unidades; F3 = 3 unidades; F4 = 3 unidades; F6 = 4 unidades; entonces:

I) F5 = 5 unidades.

II) la magnitud de la fuerza resultante es de 13 unidades.

III) la fuerza resultante es nula.

De estas afirmaciones es (son) verdadera(s):

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

21) El módulo del vector suma de la figura es

A) 10 N

B) 20 N C) 30 N

D) 0 N E) Otro valor

22) Los vértices de un hexágono regular definen los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta?

A) a + b + c = 0

B) e + d = b – a

C) e – c = a D) d + a = -2c

E) e – d = 3c

23) Dados los vectores de la figura , se cumple correctamente:

A) a + b + 2c + d = 0 Z B) b + 2c = d + a

C) d = a + b + c D) d = a + b + 2c

E) b = 2c – d + a


24) El paralelepípedo recto se sitúa en un sistema cartesiano tridimensional tal como lo ilustra la figura. Respecto al vector OD se afirma

I) Sus coordenadas son ( 0 , a , c )

II) Su módulo es 222 cba

III) Si a = 2c , entonces el ángulo de dirección que forma el vector en el plano ZY es 30°.

Es (son) correcta(s):

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

25) El círculo de la figura se encuentra sobre el plano X-Y. De las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s):

I) Existe solamente un vector unitario (de magnitud uno) tangente a la circunferencia y paralelo al

eje Y. II) Todo vector perpendicular al círculo tiene la dirección del eje Z.

III) Todo vector tangente a la circunferencia está contenido en el plano X-Y.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

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