MATEMATICAS GRADO ONCE

SEGUNDO PERIODO TEMAS

• Funciones y Relaciones

• Parabola . .. Funciones y Relaciones

Producto cartesiano

Un par ordenada consta de dos elementos y , donde nos interesa el orden en que

aparecen los objetos. Llamemos a esta pareja. Por ejemplo, , pero

. En esencia nos gustaría que todo par ordenado cumpliera la siguiente propiedad:

si y sólo si [ y ] (dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y aparecen en el mismo orden).

Podríamos definir el par ordenado como el objeto con la propiedad anterior. Pero aún mejor, podríamos invertir los papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas):

dar una definición conjuntista de y mostrar que, así definido, este conjunto cumple la propiedad que queremos. Esto es lo que hacemos a continuación:

Definición (Par ordenado) Dados elementos (o conjuntos!), definimos el par

ordenado así:

es llamado ''el par coma '''', o simplemente `` coma ''.

Por ejemplo, es el conjunto , mientras que es el conjunto

. Note que, por ejemplo, , y por esto concluimos

(como queríamos) que .

Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector), que utilizaremos constantemente:

1. si y sólo si no es un singleton (un singleton es, como su nombre se

indica, un conjunto de un elemento. Por ejemplo, es un singleton).

2. si y sólo si .

Teorema (Propiedad del par ordenado) si y sólo si [ y ]

Demostración. [Prueba]

La dirección es inmediata por la definición de par ordenado. Probemos entonces la

otra dirección. Suponga que , esto es,

. Hay 2 casos:

Caso 1: : en este caso

.

Pero esto implica que , lo cual a su vez implica que .

Entonces son el mismo elemento, y en particular podemos concluir y .

Caso 2: : Entonces tiene 2 elementos (¿por que?), lo cual

implica que (siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos. Pero esto

implica (¿por qué?) que . Como , entonces

o . Pero la segunda opción es imposible, luego

, es decir, . Similarmente o ,

pero la primera opción es imposible, así que . Esto implica que

o , pero la primera opción es imposible (pues y ), luego concluimos que .

Dados dos conjuntos y podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas

, donde la primera coordenada () viene de , y la segunda coordenada () viene de . A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y y lo

notamos así: . Formalmente:

Definición (Producto cartesiano) .

Notación: .

Ejemplo (Ejemplos de producto cartesiano) A continuación unos ejemplos del producto cartesiano:

• Si y , entonces

. tiene 2

elementos, tiene 3, y tiene (de ahí la palabra ``producto'' en la definición).

• Si , entonces es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y

demás objetos bidimensionales viven en : un círculo no es otra cosa que

cierto subconjunto de (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales,

vivimos en ( para abreviar).

• , sin importar qué conjunto sea (¿por qué?).

Lema (Algunas propiedades del producto cartesiano)

1. .

2. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si .

3. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si

4. .

5. .

La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio.

Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una -tupla ordenada (

natural positivo) como un objeto tal que:

si y sólo si para todo ,

.

La definición de una -tupla es recursiva. Esto es, para definir una tupla recurrimos a

la definición de una -tupla:

Definición Para natural positivo, definimos recursivamente la -tupla

así:

• Para , .

• Para , .

• Para , .

Por ejemplo, . Como el lector se dará

cuenta, toda -tupla ( ) es un par ordenado! En el ejemplo, la -tupla

es el par ordenado cuyas coordenadas son y . Y similarmente, la

-tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y .

Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de

conjuntos así:

Cuando hayamos visto la noción de función veremos cómo podemos definir el producto de infinitos conjuntos.

.

EJERCICIOS :

1. ¿Cómo se comparan los siguientes conjuntos?

1. Vs. .

2. ¿Cómo se compara Vs. .

3. ¿Cómo se compara Vs. .

4. ¿Cómo se compara Vs.

.

5. Vs. .

2. Muestre que .

3. Si tiene elementos y tiene elementos ( naturales), ¿cuántas relaciones de a hay?

Relaciones

En la mayoría de los casos, por simplicidad, hablaremos de relaciones binarias, en donde la relación se da entre dos objetos. Un ejemplo de tal relación (démosle un

nombre, ) es la que ocurre entre personas y libros, en donde una persona y un libro

están '' -relacionados" si y sólo si ha leído el libro . Podemos abreviar la

afirmación '' y están -relacionados" de modo natural, así: . Visualmente esto

sugiere que los objetos y están ligados por la relación . Diremos que es una relación entre los conjuntos y (conjuntos de todos los seres humanos y todos los libros, respectivamente).

Pero lo anterior sugiere que la relación no es un objeto (como y lo son). Sin embargo hay una manera de ``convertir'' a en un objeto, más precisamente en un conjunto!. Lo cual no debe sorprender al lector, pues un conjunto es en muchos casos un objeto que representa ciera información al tener o no ciertos elementos. En nuestro caso, conocer la relación consiste en conocer dos cosas, a saber:

1. Los dos conjuntos entre los cuales es la relación: en este caso, y (seres humanos y libros).

2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación : (Jhon Benavides, El extranjero), (Verónica Mariño, Cien años de soledad), (Julián Castillo, El Quijote), ...

Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relación por si sóla nos da la información esencial de la relación . Así que convertimos a en objeto, esto es, en conjunto, en el conjunto de parejas relacionadas por la relación que teníamos en mente:

es un ser humano, es un ser humano, y ha leído a

O lo que es igual:

ha leído a

Así las cosas, la afirmación `` '' será una abreviación de `` ''. Una vez

más, el símbolo (y más precisamente, la noción de pertenencia) ayuda a fundamentar y formalizar conceptos en principio nuevos.

Ahora resulta evidente que preguntarse cuáles son todas las posibles relaciones de a equivale a preguntarse cuáles son todos los posibles conjuntos de parejas de la forma

, donde y . Se conluye que el conjunto de todas las relaciones entre

y es !.

Las motivaciones anteriores nos llevan a la definición de relación (binaria):

Definición (Relación) Una relación entre y (conjuntos cualquiera) es un

subconjunto de .

Por conveniencia si es una relación entre y , diremos que es una relación

sobre . Por ende, el conjunto de relaciones sobre es .

Antes de continuar es menester ver algunos ejemplos de relaciones:

Ejemplo Sea la relación descrita mediante el siguiente esquema:

Entonces .

Ejemplo (La relación ser madre de) Sea la relación (entre humanos) ser madre de. Esto es, si y sólo si es madre de . es una relación sobre . Sabemos, por ejemplo, que para todo ,

, pues nadie puede ser su propia madre. Además si , entonces

. Esto ilustra que el concepto de relación no es en general simétrico, de modo que al decir los objetos que se relacionan, importa el orden en que éstos se mencionan. Por supuesto hay muchas relaciones simétricas, como la relación ser hermano.

Ejemplo (La relación )

Sea : existe tal que . Es claro que si y

sólo si si y sólo si , de modo que .

. Otra forma de escribir esta relación es así:

Ejemplo (La relación vacía) Dado que , por definición tenemos que es una relación, la relación vacía o trivial. Ejemplo (La relación identidad) Dado un conjunto cualquiera, definimos la

relación . En otras palabras, si y sólo si . Note

que .

Ejemplo (La relación )

Dado un conjunto cualquiera, definimos la relación sobre así:

si y sólo si

Es decir,

Observe que está -relacionado con todos los subconjuntos de , y todos los

subconjuntos de están -relacionados con . De modo que, coloquialmente

hablado, la relación posee siempre un piso y un techo.

Ahora definimos las nociones de dominio, imagen y campo de una relación:

Definición Sea una relación de en . Definimos los siguientes conjuntos:

1. El dominio de , .

2. La imagen de , .

3. El campo de , .

Ejemplo Sea .

1. .

2. .

3. .

Es claro que para toda relación , , y , de

modo que toda relación puede verse como un subconjunto de para un conjunto (no necesariamente único). Esto es, podemos definir relación como un subconjunto de

, para un conjunto .

Definición Dada una relación, y un conjunto cualquiera, definimos los siguientes conjuntos:

1. La imagen de bajo , : existe tal que

.

2. La preimagen o imagen inversa de bajo , :

existe tal que .

Ejemplo Sea . Tenemos:

1. ; .

2. . 3. La imagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares y la

imagen del conjunto de los impares bajo es el conjunto de los pares. 4. La preimagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares

positivos; la imagen de los enteros negativos es igual al conjunto vacío.

Ejemplo Sea . Tenemos:

1. .

2. .

3. .

4. (en este caso decimos que deja fijo a como conjunto).

5. .

El siguiente lema establece las relaciones básicas entre los conceptos de dominio, imagen, imagen de un conjunto y preimagen de un conjunto:

Teorema Sea una relación, con , . Tenemos:

1. .

2. .

3. .

4. .

Demostración. [Prueba] La prueba se deja como ejercicio.

Dada una relación , definimos su inversa, :

Definición (Relación inversa) Dada una relación, su inversa es la relación

. En otras palabras, si y sólo si .

Por ejemplo, la relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.

Para antes de seguir leyendo:

1. .

2. .

Aquí hemos introducido un problema notacional: denota, por un lado, la

preimagen de bajo , y por otro lado, pero la imagen de bajo ! El siguiente lema muestra que los dos conjuntos anteriores siempre coinciden, eliminando así cualquier posibilidad de ambigüedad:

Lema Para una relación y un conjunto, La imagen inversa de bajo es

igual a la imagen de bajo . Demostración. [Prueba]Sea la preimagen de bajo , e la imagen de bajo la

relación . Debemos probar que . Para cualquiera se tiene:

La segunda equivalencia vale ya que si y sólo si .

Concluimos que e poseen los mismos elementos, luego .

Propiedades de las relaciones Definición (Propiedades de las relaciones) Sea una relación binaria sobre un conjunto . Diremos que es:

1. Reflexiva sobre si : .

2. Irreflexiva sobre si : .

3. Simétrica si : .

4. Asimétrica si : .

5. Antisimétrica si : .

6. Transitiva si : .

Para antes de seguir leyendo:

1. Recuerde que es una relación sobre . ¿Qué propiedades de las anteriores

cumple ?

2. Recuerde que dado un conjunto no vacío, es una relación sobre .

¿Qué propiedades de las anteriores cumple ?

Un orden parcial sobre es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva

sobre . Si es un orden parcial sobre , definimos como la relación sobre

dada por: si y sólo si y (para ). Diremos que es el

orden parcial estricto sobre asociado a . Note que conjuntistamente

, y es una relación irreflexiva, antisimétrica y transitiva.

Clausuras de relaciónes

Imaginemos una relación cualquiera . Suponga que estamos interesados en transformar a en una relación reflexiva, añadiendo, si se necesita, más elementos a la

relación, o en otras palabras, extendiéndola. Por ejemplo, sea , y la siguiente relación sobre :

Para que sea simétrica, debemos agregarle los elementos y . Esto es, la

relación es una extensión reflexiva de , es decir, y es reflexiva. Además es claro que es la mínima relación reflexiva que contiene a

en el siguiente sentido:

Si es una relación reflexiva y , entonces .

El ejemplo anterior ilustra lo que queremos hacer: cerrar una relación, añadiendo el mínimo número de elementos, para que ella se transforme en una relación con la propiedad (donde = reflexividad, simetría o transitividad).

Definición (Clausuras de una relación) Dada una relación sobre , definimos las siguientes relaciones:

1. La clausura reflexiva de es la relación es una

relación reflexiva sobre y .

2. La clausura simétrica de es la relación es

simétrica y .

3. La clausura transitiva de es la relación es transitiva

y .

Note que , luego la clausura reflexiva de es siempre una extensión de (lo mismo vale, claro está, para y ).

Primero veamos que las clausuras cumplen con la propiedad de minimalidad que pretendíamos que tuvieran:

Teorema Dada una relación sobre :

es la mínima relación reflexiva que contiene a ; en otras palabras, es

reflexiva, y para toda relación sobre , si , entonces .

es la mínima relación simétrica que contiene a .

es la mínima relación transitiva que contiene a .

Demostración. [Prueba]

Probamos (1), y el resto se dejan al lector. Para ver que es reflexiva, sea

. Entonces para toda relación sobre reflexiva, , es decir,

es relación reflexiva sobre y .

Ahora probamos minimalidad: sea una relación reflexiva que contiene a . Entonces

es relación reflexiva sobre y .

Teorema Sea una relación sobre . Entonces para :

Si tiene la propiedad , entonces .

Demostración. [Prueba]

Si tiene la propiedad , entonces claramente es la mínima relación con la

propiedad que contiene a , así que por el teorema 89, .

Así, por ejemplo, la clausura transitiva de una relación transitiva es ella misma.

Corolario Sea una relación sobre . Entonces para :

.

Demostración. [Prueba]

Se deja como ejercicio al lector.

Las definiciones de son en principio complicadas. A continuación veremos caracterizaciones de ellas mucho más simples, al menos en el caso de reflexividad y simetría.

Teorema (Caracterización de las clausuras) Sea una relación sobre . Entonces: (a)

. (b)

. (c)

, en donde , . Demostración. [Prueba] (a)

Dado , , y , luego es una

relación reflexiva sobre que contiene a . Por ende, . Para la otra inclusión, basta obsetvar que si es una relación reflexiva que

contiene a , entonces . Por el lema 24

es reflexiva y . (b)

Similar a (a).

EJERCICIOS: RELACIONES

1. Diremos que una relación es completa si existe tal que

. Muestre que si es completa entonces es simétrica y transitiva.

2. Sean relaciones sobre . Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si es verdadera o falsa, dando una demostración o un contraejemplo respectivamente:

1. Si y son reflexivas sobre , entonces también lo es. 2. Si y son simétricas, entonces también lo es. 3. Si y son transitivas, entonces también lo es.

3. Sea una relación sobre .

1. Muestre que es asimétrica si y sólo si .

2. Muestre que es antisimétrica si y sólo si . 3. Concluya que toda relación asimétrica es antisimétrica, y dé un ejemplo

de una relación antisimétrica pero no asimétrica. 4. Una herramienta frecuente y muy importante en matemáticas consiste en

construir una cadena o serie de objetos cada vez más complejos, que compartan cierto conjunto de propiedades, y tomar el ``límite'' de tal cadena, que consistirá en un objeto que conservará varias propiedades de sus ``precursores''. En este ejercicio se construirá una relación como el límite (unión) de ciertas

relaciones , y como se verá, ciertas propiedades de las relaciones que ``aproximan'' a se preservarán en el límite, esto es, también serán propiedades de .

Para cada sea una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el

conjunto , y suponga que para todo , . Muestre que

es una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el conjunto

.

5. Para cada sea una relación. Muestre que

. Vale lo mismo si se cambia por ?

6. Dado un conjunto y , sea

( ).

1. ¿Qué conjunto es ? ¿e ?

2. Muestre que si , entonces .

3. Dados , ¿cómo se comparan y ?

4. Dados , ¿cómo se comparan y ?

Funciones

Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, de modo que elemento del primer conjunto se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Visto de otro modo, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos, y cada elemento puede transformarse en un único elemento.

Definición (Función) Una función es una relación que cumple la siguiente

propiedad: si , entonces . En otras palabras, para cada

existe un único tal que .

Ejemplo (La función identidad) Dado un conjunto, es una función, pues si

, entonces y , luego . Así, la relación identidad es también una función.

La relación divide no es una función pues un entero puede dividir más de un

número. Por ejemplo, y , pero . La relación ``madre'' es función, pues todo ser humano tiene una única madre.

Dada una función y un elemento de su dominio, llamaremos a el único tal

que . Por lo tanto, las proposiciones , y son

equivalentes. Note que al utilizar la expresión se asume implícitamente que

. El lector debe ser cuidadoso con esta sutileza. Concluimos que si

es una función, entonces .

La expresión significará lo siguiente: es una función, e

. Una manera común de definir una función es especificar su dominio

y dar una definición para , dado . Por ejemplo:

Ejemplo Sea la siguiente función: su dominio es , y dado ,

. Por ejemplo , , etc. Note que para todo

, , luego podemos afirmar lo siguiente:

Una manera equivalente de decir es y se lee f manda, envía o asocia

a . Por ejemplo la función

es aquella dada por , con dominio los enteros no nulos. Una descripción

conjuntista de es:

Si nos preguntamos quién es , tenemos problemas. Por un lado, no es ningún

número: si pensamos en como una máquina, no podemos introducir al cero o descompondremos la máquina (ésta se enloquecerá al intentar dividir por cero). Por otro

lado, no es un elemento del dominio de , luego la expresión no tiene referencia alguna, no representa ningún objeto. Lo mismo sucede con la función el rey de, que

no tiene a Colombia en su dominio, pues el rey de Colombia no se refiere a ninguna persona.

Recordando la definición de imagen de una relación, tendremos para una función:

Por ejemplo, para la función del ejemplo 95, sabemos que . Sin embargo la igualdad no se da: note que

.

Ejemplo (Funciones dadas como tuplas) Dado y un

conjunto cualquiera, una función puede representarse mediante la

-tupla . Por ejemplo la tupla

representa la función constante , es decir, , para .

Sabemos que la intersección de dos relaciones es una relación, pues si y

, entonces . Para el caso de las funciones se cumplirá lo mismo:

Lema Si y , entonces es una

función, e . Demostración. [Prueba]

Ya hemos notado que es una relación. Si , entonces existe tal que

, lo que implica que .

Similarmente se puede probar que .

Finalmente probemos que es una función: si ,

entonces en particular . Como es una función, concluimos que

.

Composición de funciones Definición (Composición de relaciones) Si y son relaciones, definimos la

relación existe tal que y .

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso

particular en que , y son funciones. Por definición de

composición: , para algún

, para algún .

Note que es una función, pues si , entonces

.

Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma . Volviendo a

la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así:

1. recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener .

2. introduce a en la máquina para obtener .

3. En resumen, ha transformado a en .

En el anterior proceso la máquina le aplica a . Para que esto tenga sentido se

requiere que . Ahora, si , entonces

, luego puede aplicarse a y

tiene sentido (está definido). Además, . Lo anterior

nos permite concluir que , y que , es decir,

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Lema (composición de funciones) Sean Y funciones.

Entonces es la siguiente función:

[Es decir, .]

Si y son como arriba y , entonces decimos que es una factorización de

y . Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:

Ejemplo Sea la función y la función

. Entonces es la función

. Por otro lado,

es la función . Note

que y son funciones distintas (por ejemplo , luego

). Observación La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

Para antes de seguir leyendo: Si , entonces:

1. .

2. .

Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si

, y , entonces:

Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio ( ), y para todo

,

.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Definición (Funciones inyectivas, sobreyectivas o biyecciones) Sea . Diremos que:

1. es inyectiva o 1:1 (o es una inyección) si y sólo si para todos ,

implica .

2. es sobreyectiva si y sólo si .

3. es biyectiva (o es una biyección) si es inyectiva y sobreyectiva.

Para antes de seguir leyendo:

1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad es una biyección.

2. Diremos que una función es constante si es un singleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante

sea una biyección.

3. la función es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?].

Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen

exclusivamente de la función , sino también del conjunto , de modo que, por

ejemplo, es más correcto decir: es una sobreyección de en .

Ejemplo Sea la función . Veamos que es una biyección:

1. Inyectividad: si , entonces . Por ende

y .

2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que . Es claro que .

Para la otra inclusión, sea . Es fácil ver que si , entonces

, y esto prueba que (dado que es imagen bajo de algún real ).

Ejemplo Sea la función . Es fácil ver que

, luego es sobreyectiva. Pero no es inyectiva: ,

pero . En otras palabras, si sabemos quién es , no sabemos con seguridad quién es .

Definición (Función invertible) Diremos que una función es invertible, si y sólo si

la relación es también una función.

Recuerde que , luego si es invertible, entonces

, e .

Ejemplo Sea la función . , de

modo que . Si y

, entonces . Esto prueba que es una función, luego es

invertible. Sea . Es claro que , y

además que .

Lema Para , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. es inyectiva.

2. Para todos , implica .

3. es invertible.

La prueba se deja como ejercicio.

Note que si es invertible, entonces , luego es invertible (e inyectiva, por el teorema anterior).

Muchas funciones pueden expresarse como composición de varias funciones básicas. Para determinar la inyectividad de una función, en varios casos bastará con estudiar la inyectividad de las funciones básicas que la componen. Lo mismo ocurre con la sobreyectividad.

Teorema Para , , tenemos:

1. Si y son inyectivas, entonces es inyectiva.

2. Si y son sobreyectivas, entonces es sobreyectiva.

3. Si y son biyectivas, entonces es biyectiva.

Demostración. [Prueba] (a)

Si . Entonces por inyectividad de , . Por

inyectividad de , . Esto prueba la inyectividad de . (b)

Dado , por sobreyectividad de existe tal que . Por

sobreyectividad de , existe tal que . Por ende,

, y esto prueba la sobreyectividad de . (c)

Se deduce de (a) y (b).

¿Valen los conversos de las propiedades anteriores? La respuesta es negativa en general. Pero al menos podemos concluir lo siguiente:

Teorema Para , , tenemos:

1. Si es inyectiva, entonces es inyectiva.

2. Si es sobreyectiva, entonces es sobreyectiva.

Demostración. [Prueba]

(1): Suponga . Entonces , e.d.,

. Por inyectividad de , concluimos .

(2): Sea . Como es sobre, existe tal que

. Esto prueba que .

Definición (Inversa a derecha e inversa a izquierda de funciones) Sea una función.

1. Una inversa a izquierda de es una función tal que

.

2. Una inversa a derecha de es una función tal que .

La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad:

Teorema Para :

1. es 1-1 si y sólo si tiene una inversa a izquierda.

2. es sobreyectiva si y sólo si tiene una inversa a derecha.

La prueba se deja como ejercicio.

Corolario Si , entonces es inyectiva y es sobreyectiva.

Suponga el caso en que tiene inversas y a izquierda y derecha, respectivamente. La existencia de garantiza que es la imagen

de . Además, la existencia de garantiza que es invertible, luego es función

con dominio .

Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que y son la misma función, y

más aún, son iguales a . Veamos la demostración:

Sabemos que , luego

. Así, . Ahora, , luego

, y así,

.

A continuación enunciamos un criterio muy útil para verificar si cierta función es biyectiva:

Teorema Sean , funciones. Si y

, entonces y son biyectivas y mutuamente inversas, esto es,

y .

Demostración. [Prueba]Como tiene a como inversa a izquierda y derecha, por el

corolario es biyectiva. De manera análoga podemos concluir que es una biyección.

Por la demostración anterior al enunciado del teorema concluimos que ,

Entonces .

Lema Sean y conjuntos disyuntos, y conjuntos disyuntos, y

, funciones. Sea la función definida por:

Entonces:

1. Si y son inyectivas, entonces también lo es.

2. (en particular, si y son sobreyectivas,

entonces también lo es).

Demostración. Probamos la primera propiedad, dejando la segunda al lector. Sean

tales que . Como y son disyuntos,

supongamos que (el caso es similar). Entonces

(de lo contrario se tendría , y consecuentemente .

Similarmente . Entonces . Como es

inyectiva, concluimos que

Imagen e imagen inversa de funciones

De las definiciones de imagen e imagen inversa de una relación, en particular

tendremos, para una función y conjuntos , :

1. .

2. .

Ejemplo Sea , , y la función

dada por la tupla (esto es, , etc.). Entonces por ejemplo:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Para antes de seguir leyendo:

1. .

2. .

A continuación estudiamos las propiedades de (la imagen de bajo ) y

(la imagen inversa de bajo ):

Teorema Para , , tenemos:

1. (monotonía) implica .

2. .

3. .

Demostración. [Prueba]

(1): Suponga y mostremos : si , para un

: por hipótesis, , luego por definición, , e.d., .

(2): ( ): Si , con . Si , entonces

. Si , entonces . Por ende, .

( ): Como , por monotonía (1) tenemos que

.

(3): ( ): Como , por monotonía ,

luego .

( ): Si , , para . Luego y , y

por definición y , e.d., .

Teorema Para , , tenemos:

1. (monotonía) implica .

2. .

3. .

EJERCICIOS: FUNCIONES

1. Sea la función . ¿Quién es ? ¿Es 1-1? ¿Y sobreyectiva?

2. . 1. Dé un ejemplo de dos funciones cuya composición sea inyectiva pero

alguna de ellas no lo sea. 2. Dé un ejemplo de dos funciones cuya composición sea sobreyectiva pero

alguna de ellas no lo sea.

3. Dada y , definimos inductivamente así: ,

. Dado Encuentre una función ,

tal que sea el mínimo natural tal que .

4. Sea , , .

1. Muestre que (¿bajo qué condición sobre vale siempre la igualdad?).

2. Muestre que (¿bajo qué condición sobre vale siempre la igualdad?).

3. Concluya que y .

5. Para , sea una biyección. Muestre que

.

6. Sea . Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (dar una prueba o un contraejemplo):

1. Para , si y son disyuntos entonces y son disyuntos.

2. Para , si y son disyuntos entonces y son disyuntos.

7. Sea, para cada natural , una función cualquiera.

1. Muestre que es también una función. (Recuerde que es

el conjunto ).

2. ¿Cómo se comparan los conjuntos y ?

3. ¿Cómo se comparan los conjuntos y ? 8. Sea un conjunto no vacío. Demuestre que existe una biyección

que no fija puntos, esto es, que verifica para

todo .

9. Pensemos en como el conjunto y sea un conjunto cualquiera. Dado

, sea la función: si ,

si . Note que . Muestre que es una biyección.

Parábola

Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática

con , es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.

Definición

Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1).

Figura 1.

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.

Teorema (ecuación canónica de la parábola)

La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y

directriz es

El eje de la parábola es vertical y el foco está a unidades (orientadas) del vértice.

Si , la parábola abre hacia arriba y el foco está en ; si , la

parábola abre hacia abajo y el foco está en .

Si la directriz es (eje horizontal), la ecuación es

El eje de la parábola es horizontal y el foco está a unidades (orientadas) del

vértice. Si , la parábola abre hacia la derecha y el foco está en ; si

, la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en .

Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

De donde obtenemos que y el vértice , por lo tanto, la parábola abre

hacia la derecha y tiene el foco en , la recta directriz es . La gráfica se muestra en la figura 2.

Figura 2.

Ejemplo 2

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en y

foco en .

Solución

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical,

además abre hacia abajo y , entonces la ecuación está dada por:

La directriz es .La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto y recta directriz

.

Solución

Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vértice entonces debe tener

ecuación . Para hallar el valor de debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vértice.

Puesto que la solución es , entonces y el foco sería

Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola. Dicha recta tienen ecuación

Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos

La solución de este sistema es

con lo cual la ecuación de la parábola es

Figura 4.

Propiedades de la parábola

Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco.Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólico.La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas.

Teorema (propiedad de reflexión)

La tangente a una parábola en un punto forma ángulos iguales con :

La recta que pasa por y por el foco (ángulo de reflexión).

La recta que pasa por y es paralela al eje de la parábola (ángulo de incidencia).

La propiedad de reflexión se muestra en la figura 5.

Figura 5.

Ejercicios

1. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco en

.

2. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje

y pasa por los puntos

3. Determine la ecuación canónica de la parábola

4. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje

y pasa por los puntos

Respuesta:

5. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por

los puntos .

6. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos

.

7. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en y directriz

.

8. Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones

a.) vértice en .

b.) contiene al punto con

c.) la distancia de a la directriz es 10.

9. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y directriz

.