8/19/2019 Pauta Control 1 2011-1

1/3

UNIVERSIDAD T ÉCNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de F́ısica

FIS1201er Semestre 2011

PAUTA CONTROL 1 - FIS120.

NOMBRE: RUT: PROFESOR:

INSTRUCCIONES: I. Tiempo: 45 minutos. II. Sea lo más claro posible, justicando claramente losconceptos utilizados para responder cada pregunta y obtener cada uno de los resultados. III. Las preguntas(1) y (2) s ólo se consideraran correctas si tanto la respuesta como la justicaci´ on lo están.

(1) (30pts.) Suponga una zona del espacio donde s´ olo existe una carga puntual positiva. Luego, la carga serodea primero por una supercie gaussiana esférica de radio R, la cual se sustituye posteriormente porotra supercie gaussiana c´ ubica de arista R. En ambos casos la carga est´a ubicada en el centro de lassupercies. Determine la veracidad 1 de cada una de las siguientes aseveraciones. Justique todas susrespuesta.

I: El ujo de campo eléctrico es mayor en la supercie esférica que en la c´ ubica.

II: El campo eléctrico en un vértice de la supercie c´ ubica tiene un magnitud mayor que en un puntosobre la supercie de la esfera.III: Si un electr ón se mueve sobre la supercie gaussiana c´ubica desde un vértice del cubo hasta elvértice opuesto, entonces el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre el electr´ on es cero.Justicaci´ on: Respuesta

I: FALSO. A partir de la ley de Gauss sabemos que el ujo de campo eléctrico es proporcional a la cargaencerrada por la supercie gaussiana, más especı́camente igual a 1ε0 Qenc , luego si la carga permanececonstante el ujo de campo sobre ambas supercie es el mismo.

II: VERDADERO. La magnitud del campo eléctrico es proporcional a la carga e inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia a la carga, luego el vértice del cubo está a una distancia √ 3 R2 de la carga, ycualquier punto sobre la esfera está a R, luego como la distancia es menor, entonces el campo eléctricotendr á una magnitud ser á mayor.

III: VERDADERO. Acá hay (a lo menos) dos formas de justicar:i) La fuerza es conservativa, por lo tanto el trabajo es independiente de la trayectoria. Por consiguiente,si movemos la carga por una esfera imaginaria de radio √ 3 R2 , la trayectoria del electrón es siempreperpendicular al campo eléctrico que es radial, por lo tanto el trabajo eléctrico ser á nulo.ii) La fuerza es conservativa, por lo tanto el trabajo es: W = − ∆ U y a su vez la enerǵıa potencial esU = q eV donde V es el potencial eléctrico. Ahora, el potencial eléctrico de una carga puntual dependede la distancia a la cual estamos de la carga, en ambos vértices la distancia es la misma por lo tantoel potencial es el mismo, diferencia de potencial cero y consecuentemente trabajo cero.

(2) (30pts.) Ocho cargas puntuales de magnitud y signo desconocidos (s´ olo sabemos que la magnitud esdistinta de cero), est´ an jas en los vértices de un cubo imaginario de lado L. Determine la veracidadde cada una de las siguientes aseveraciones. Justique todas sus respuesta.

I: El campo eléctrico en el centro del cubo ser´ a cero solamente si todas las cargas son de igual magnitudy signo.II: Si todas las cargas son de igual magnitud y signo, entonces el potencial eléctrico en el centro delcubo ser á cero.III: Si una supercie gaussiana esférica de radio L/ 2 se inscribe en el cubo, el ujo eléctrico en la esferaserá negativo si todas las cargas también son negativas.Justicaci´ on:

Respuesta

I: FALSO. Para que el campo eléctrico sea cero en el centro los campos producidos por las cargas queestán en vertices opuestos del cubo deben ser de igual magnitud y sentido opuesto, lo anterior se cumplesi ese par de cargas tiene igual magnitud y signo (dado que están a igual distancia), lo cual no ocurresolamente si las 8 son iguales, es una opción pero no la única.

1 Para cada una diga si es: Verdadera, Falsa o Incierta (Verdadera en algunos casos, falsa en otros).

1

8/19/2019 Pauta Control 1 2011-1

2/3

UNIVERSIDAD T ÉCNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de F́ısica

FIS1201er Semestre 2011

II: INCIERTO. El potencial eléctrico en un punto se determina a partir del trabajo por unidad de cargade la fuerza eléctrica desde una cierta referencia hasta el punto: ∆ V = −

−→E · d l. Luego, el valor del

potencial depende de donde está la referencia, por lo tanto: la aseveración es verdadera si la referenciacero está en el centro del cubo, pero será Falsa si está en otra ubicación (por ejemplo en el innito).

III: FALSO. El ujo es proporcional a la carga encerrada, en este caso con la esfera inscrita en cubotodas las cargas quedan fuera, por lo tanto independiente del signo y magnitud de las cargas, la cargaencerrada es cero y consecuentemente el ujo también.

(3) (20pts.) La gura muestra un arco de circunferencia de material aislante de radio R. El arco tiene unadensidad de carga constante λ. Determine El vector de campo eléctrico en el origen de coordenadas.

x

y

λλλλ

θ

E d r

dq

RespuestaSi tomamos un pequeño diferencial de carga, dq en el arco, el campo eléctrico que genera en el origen decoordenadas es:

d−→E = E x · x̂ + E y · ŷ

d−→E = −

kdq R 2 cos θ · x̂ −

kdq R 2 sin θ · ŷ

Usando el principio de superposición, las componentes son:

E x = − π/ 2

0

kdq R 2

cos θ

Donde dq = λRdθ

E x = −kλR

π/ 2

0cos θdθ

E x = − kλR sin θ π/2

0

E x = −kλR

y

E y = − π/ 2

0

kdq R 2

sin θ

Donde dq = λRdθ

E y = − kλR π/ 2

0sin θdθ

E y = −kλR

− cos θ π/2

0

E y = −kλR

Luego, el campo eléctrico es: −→E = − kλR (x̂ + ŷ)

Observaci´ on: Usando la simetŕıa del problema se puede a priori determinar que ambas componentes son de

igual magnitud, por lo tanto determinar s´ olo una y justicar el otro valor por la simetŕıa del problema.

2

8/19/2019 Pauta Control 1 2011-1

3/3

UNIVERSIDAD T ÉCNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de F́ısica

FIS1201er Semestre 2011

(4) (20pts.) La gura muestra un espacio en el que hay un campo eléctrico, dado por: E = 5 αx · x̂ + 3 α(y − 1) · ŷ[N/C ]. Calcule la carga eléctrica q (Ω) en la caja Ω, donde:

Ω = {(x,y,z ) = 0 ≤ x,y,z ≤ 3[m]}. Sea α = 5[N/mC ]. ε0 ≈ 9 · 10− 12 [C 2 /Nm 2 ]

Respuesta

3[m]

y

x

z

3[m]

3[m]

Aplicando la ley de Gauss tenemos que: ε0 −→E ·d−→A = QEnc , luego el ujo lo podemos separar en 6 caras, lasdenominamos de la siguiente forma (según como se observan en la gura): 1-izquierda, 2-frontal, 3-derecha,4-trasera, 5-superior y 6-inferior. entonces:

Cara 1 : x = 0 , 0 ≤ y, z ≤ 3 ∧ d−→A = − dA · x̂

Cara 2 : y = 0 , 0 ≤ x, z ≤ 3 ∧ d−→A = − dA · ŷ

Cara 3 : x = 3 , 0 ≤ y, z ≤ 3 ∧ d−→A = dA · x̂

Cara 4 : y = 3 , 0 ≤ x, z ≤ 3 ∧ d−→A = dA · ŷ

Cara 5 : z = 3 , 0 ≤ x, y ≤ 3 ∧ d−→A = dA · ẑ

Cara 6 : z = 0 , 0 ≤ x, y ≤ 3 ∧ d−→A = − dA · ẑ

Luego, el ujo en cada cara es:

Φ1 = (0hatx + 3 α(y − 1)ŷ) · (− dA · x̂) = 0 ( −→E ⊥d−→A )Φ2 = (5αxhatx + 3 α(0 − 1)ŷ) · (− dA · ŷ) = 3 α dA = 27αΦ3 = (15αhatx + 3 α(y − 1)ŷ) · (dA · x̂) = 15 α dA = 135αΦ4 = (5αxhatx + 3 α(3 − 1)ŷ) · (dA · ŷ) = 6 α dA = 54αΦ5 = (5αxhatx + 3 α(y − 1)ŷ) · (dA · ẑ) = 0 ( −→E ⊥d−→A )Φ6 = (5αxhatx + 3 α(y − 1)ŷ) · (− dA · ẑ) = 0 ( −→E ⊥d−→A )

ΦTotal = 216α

Luego, la carga encerrada es: q (Ω) = ε0 216α ≈ 9, 720 · 10−9 [C ]

3