Parte 6 Programación Lineal Método Simplex

            El método símplex es un algoritmo. De hecho, cualquier procedimiento iterativo

de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un proceso en el

que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el

resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento sistemático se

realiza una iteración. En consecuencia, un algoritmo sustituye un problema difícil por

una serie de problemas fáciles.

            Además de las iteraciones, los algoritmos incluyen un procedimiento para iniciar

y un criterio para determinar cuándo detenerse, como se resume enseguida: 

            Paso inicial                                        Preparación para iniciar iteraciones             Paso iterativo                                               Realización de iteraciones             Regla de detención                           ¿Es óptima la solución actual?

                Si no                             Si sí

                                                                       Fin 

            El método símplex es un procedimiento algebraico en el que cada iteración

contiene la solución de un sistema de ecuaciones para obtener una nueva solución a la

que se le aplica la prueba de optimalidad. No obstante, también tiene una interpretación

geométrica muy útil. Para ilustrar los conceptos geométricos generales se empleará la

solución gráfica del siguiente problema: 

Max  Z = 3x1 + 5x2

s.a.

                 x1            4

                         2x2  12

               3x1 +  2x2  18

                 x1 0   x2 0 

Solución por el método gráfico: 

 

En la figura anterior pueden observarse los puntos de intersección que son las

soluciones en los vértices del problema. Los cinco puntos que se encuentran en los

vértices de la región factible, (0,0), (0,6), (2,6), (4,3), (4,0) son las soluciones factibles en los vértices. Algunas de estas soluciones factibles en un vértice son

adyacentes, en el sentido de que están conectadas por una sola orilla (segmento de

línea) de la frontera de la región factible; esto es, tanto (0,6) como (4,3) son adyacentes

a (2,6). Las tres propiedades clave de las soluciones factibles en los vértices y que

forman el fundamento del método símplex se resumen como sigue: 

Propiedades de las soluciones factibles en un vértice:

1a. Si existe exactamente una solución óptima, entonces debe ser una solución factible

en un vértice.

1b. Si existen soluciones óptimas múltiples, entonces al menos dos de ellas deben ser

soluciones factibles en vértices adyacentes.

2.   Existe sólo un número finito de soluciones factibles en los vértices adyacentes.

3.   Si una solución en un vértice es igual o menor (según el valor de Z) que todas las

soluciones factibles en los vértices adyacentes a ella, entonces es igual o mejor que

todas las demás soluciones en los vértices; es decir, es óptima.

            La propiedad 1 significa que la búsqueda de la solución óptima se puede reducir

a la consideración de sólo las soluciones factibles en los vértices, de manera que sólo

existe un número finito de soluciones que es necesario tomar en cuenta (propiedad 2).

La propiedad 3 proporciona una prueba de optimalidad muy conveniente.

            El método símplex explota estas tres propiedades al examinar nada más unas

cuantas soluciones factibles en vértices prometedores y al detenerse en cuanto una de

ellas pasa la prueba de optimalidad. En particular, se traslada repetidamente (en forma

iterativa) de una solución factible en un vértice a otra, adyacente y mejor. Esto se

puede realizar en forma muy eficiente hasta que la solución actual no tiene soluciones

factibles en vértices adyacentes que sean mejores. Este procedimiento se resume

como sigue: 

Bosquejo del método símplex:

1.   Paso inicial: inicio en una solución factible en un vértice.

2.   Paso iterativo: traslado a una mejor solución factible en un vértice adyacente.

(Repítase este paso las veces que sea necesario).

3.    Prueba de optimalidad: la solución factible en un vértice es óptima cuando ninguna

de las soluciones en vértices adyacentes a ella sean mejores. 

            Este bosquejo muestra la esencia del método símplex,. En el caso del ejemplo,

al utilizar estas reglas de selección el método símplex procede como sigue: 

1.   Paso inicial: comienza en (0,0).

2a. Iteración 1: se mueve de (0,0) a (0,6)

2b. Iteración 2: se mueve de (0,6) a (2,6).

3.   Prueba de optimalidad: ni (0,6) ni (4,3) son mejores que (2,6), entonces se detiene,

(2,6) es óptima. 

Preparación para el método símplex.

            En el procedimiento algebraico es mucho más conveniente manejar ecuaciones

que desigualdades. Así, el primer paso para preparar el método símplex es convertir

las restricciones funcionales de desigualdad  en restricciones equivalentes. (Las

restricciones de no negatividad se pueden dejar como desigualdades porque el

algoritmo las usa sólo indirectamente). Esta conversión se hace mediante la

introducción de variables de holgura. Considérese la primera restricción funcional del

ejemplo: 

x1 4

 La variable de holgura para esta restricción es x3, que no es otra cosa que la holgura

entre los dos lados de la desigualdad. Entonces:

x1 + x3 = 4

 La restricción original x1 4 se cumple siempre que x3 0. Por tanto, x1 4 es

totalmente equivalente al conjunto de restricciones 

x1 + x3 = 4    y

x3 0, 

de manera que se usará este conjunto por resultar más conveniente.

            Al introducir variables de holgura en las otras restricciones en forma parecida, el

modelo de programación lineal original para este ejemplo se puede sustituir por el

modelo equivalente: 

Maximizar  Z = 3x1 + 5x2,

sujeta a

x1     + x3         = 4    2x2     + x4     = 12

3x1 + 2x2         + x5 = 18    xj

0 para j = 1, 2, …, 5

             Aun cuando este problema es idéntico al anterior, esta forma es mucho más

conveniente para la manipulación algebraica y la identificación de las soluciones

factibles en los vértices. Ésta se llama la forma de igualdades del problema, para

diferenciarla de la forma de desigualdades original y poder introducir la siguiente

definición: 

Una solución aumentada es una solución para un problema que originalmente se

encontraba en forma de desigualdades y que se ha aumentado con los valores

correspondientes de las variables de holgura para cambiar el problema a la forma de

igualdades. 

            Por ejemplo, al aumentar la solución (3,2) en el ejemplo, se obtiene la solución

aumentada (3,2,1,8,5), puesto que los valores correspondientes de las variables de

holgura son x3 = 1, x4 = 8, x5 = 5.

Una solución básica es una solución en un vértice aumentada. 

            Para ilustrar esto, considérese la solución no factible en el vértice (4,6) del

ejemplo. Al aumentar con los valores obtenidos para las variables de holgura x3 = 0, x4

= 0 y x5 = –6, se llega a la solución básica correspondiente (4,6,0,0,–6). Se permite que

las soluciones básicas sean factibles o no factibles, lo que lleva a la siguiente

definición: 

Una solución básica factible es una solución factible en un vértice aumentada. 

            Así, la solución factible en el vértice (0,6) del ejemplo es equivalente a la

solución básica factible (0,6,4,0,6) para la forma de igualdades del problema.

            Como los términos solución básica y solución básica factible constituyen partes

muy importantes del vocabulario normal de programación lineal, es necesario aclarar

sus propiedades algebraicas. Nótese que para la forma de igualdades del ejemplo, el

sistema de restricciones funcionales tiene dos variables más (cinco) que ecuaciones

(tres). Este hecho proporciona dos grados de libertad al resolver el sistema, ya que se

pueden elegir dos variables cualesquiera y hacerlas iguales a cualquier valor arbitrario

para resolver las tres ecuaciones en términos de las tres variables restantes (se

excluyen redundancias). El método símplex usa cero para este valor arbitrario. Las

variables que por el momento se hacen iguales a cero se llaman variables no básicas;

todas las demás se llaman variables básicas. La solución que resulta es una solución

básica. Si todas las variables básicas son no negativas, entonces se tiene una solución

básica factible. Para cualquier solución básica, la solución en el vértice correspondiente

se obtiene simplemente al quitar las variables de holgura. Dos soluciones básicas son

adyacentes si todas menos una de sus variables son las mismas; la misma aseveración

se cumple para las variables básicas. Entonces, trasladarse de una solución básica

factible a una adyacente significa cambiar el estado de una variable de no básica a

básica y viceversa para otra variable. 

            En términos generales, el número de variables no básicas de una solución

básica siempre es igual a los grados de libertad del sistema de ecuaciones y el número

de variables básicas siempre es igual al número de restricciones funcionales.

            Al trabajar con el problema en forma de igualdades, conviene tomar en cuenta y

manipular la ecuación de la función objetivo al mismo tiempo que las nuevas

ecuaciones de las restricciones. Antes de comenzar con el método símplex es

necesario escribir el problema una vez más en su forma equivalente: 

Maximizar Z,

sujeta a

Z 3x1 5x2             = 0

    x1     + x3         = 4        2x2     + x4     = 12    3x1 + 2x2         + x5 = 18

        xj 0 para j = 1, 2, …, 5

             Como la ecuación de la función objetivo ya se encuentra en forma de igualdad,

no necesita variable de holgura. Con esta interpretación, las soluciones básicas no

cambian, excepto que Z puede verse como una variable básica adicional permanente. 

            A partir de este momento ya estamos listos para pasar los coeficientes de

nuestro problema a lo que conoceremos como la Tabla Símplex: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 0 0    x3 0 1 0 1 0 0 4   (0, 0, 4, 12, 18)x4 0 0 2 0 1 0 12   Z = 0x5 0 3 2 0 0 1 18    

             La tabla anterior ilustra una propiedad clave que toda tabla símplex debe tener

para estar en la forma apropiada; se trata del patrón especial de los coeficientes de las

variables básicas. En particular, nótese cómo las columnas de x3, x4 y x5 (al igual que la

columna de Z) contiene exactamente un +1 en el renglón que corresponde a esa

variable básica (véase la primera columna), y todos los demás coeficientes en esa

columna son cero. De la misma manera, cada ecuación contiene exactamente una

variable básica con coeficiente distinto de cero, en donde este coeficiente es +1. Esta

propiedad es significativa, ya que permite identificar de inmediato la solución básica

factible actual a partir de la tabla; esto es, cada variable básica es igual a la constante

del lado derecho de su ecuación. Esta primera solución básica factible actual se

muestra en la figura anterior en la columna de ¿Es óptima?. De aquí en adelante, para

cada nueva iteración del método símplex mostraremos la solución básica factible actual

en esta columna de la tabla símplex. (Recuérdese que las variables no básicas son

iguales a cero). La tabla símplex inicial quedará automáticamente en esta forma

apropiada (a menos que el problema original de programación lineal no esté en nuestra

forma estándar).

            El método símplex construye una tabla símplex para cada solución básica

factible que se obtiene, hasta alcanzar la solución óptima. A continuación describimos

el procedimiento para problemas que ya están en la forma estándar, con bi 0 para

toda i = 1, 2, …, m. 

PASO INICIAL. Se introducen variables de holgura. Después se seleccionan las

variables originales como variables no básicas iniciales (se igualan a cero) y las

variables de holgura como las variables básicas originales. Esta selección lleva a la

tabla símplex inicial anterior. Como esta tabla está en la forma apropiada, de inmediato

se obtiene la solución básica factible inicial para el ejemplo, (0,0,4,12,18). Ahora debe

realizarse la prueba de optimalidad para determinar si la solución es optima. 

PRUEBA DE OPTIMALIDAD. La solución básica factible actual es óptima si y sólo si

todos los coeficientes de la ecuación de la función objetivo (renglón de Z) son no

negativos ( 0 ). Si es así, el proceso termina; de otra manera, se lleva a cabo otra

iteración para obtener la nueva solución básica factible, lo que significa el cambio de

una variable no básica por una básica (parte 1) y viceversa (parte 2), y después

despejar las variables de la nueva solución (parte 3).

            En este ejemplo, hay dos coeficientes negativos en la ecuación de Z, 3 para x1

y 5 para x2 de manera que debe irse al paso iterativo. Tacharemos la solución básica

factible actual como se muestra en la tabla anterior para indicar que esta solución no es

óptima. 

PASO ITERATIVO.

            Parte 1. Se determina la variable básica entrante mediante la elección de la

variable con el coeficiente negativo (automáticamente se refiere a una variable no

básica) que tiene el mayor valor absoluto en la ecuación de Z. Se enmarca la columna

correspondiente a este coeficiente; esta columna recibe el nombre de columna pivote.

En el ejemplo, el coeficiente negativo más grande (en términos de valor absoluto) es –5

para x2 (5>3), por lo que x2 debe convertirse en variable básica. Este cambio se indica

en la siguiente tabla con el recuadro en la columna de x2 abajo del –5: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 0 0    x3 0 1 0 1 0 0 4    x4 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6    mínimox5 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9  

             Parte 2. Se determina la variable básica que sale; para esto, a) se toma cada

coeficiente estrictamente positivo (>0) de la columna enmarcada, b) se divide el lado

derecho de cada renglón entre estos coeficientes, c) se identifica la ecuación con el

menor coeficiente y d) se selecciona la variable básica para esta ecuación. (Esta

variable básica es la que llega a cero primero cuando se incrementa la variable básica

entrante). Se enmarca el renglón de esta ecuación en la tabla símplex sin incluir la

columna Z y se le da el nombre de renglón pivote. El número que está en la

intersección de los dos recuadros se llama pivote.

            En la tabla anterior, se muestran los resultados de las partes 1 y 2 para el

ejemplo (antes de enmarcar el renglón); la prueba del cociente mínimo para

determinar la variable básica que sale se muestra a la derecha de la tabla. Entonces la

variable básica que sale es x4. 

            Parte 3. Se determina la nueva solución básica factible al construir una nueva

tabla símplex en la forma apropiada, abajo de la que se tiene. Las primeras dos

columnas no cambian, excepto que la variable básica entrante sustituye a la variable

básica que sale en la columna de Variable Básica. Para cambiar el coeficiente de la

nueva variable básica en el renglón pivote a +1, se divide todo el renglón pivote entre el

número pivote: 

Renglón pivote nuevo = Renglón pivote antiguo / pivote 

            En este punto, la tabla símplex para el ejemplo se ve como la que se muestra

enseguida. Para obtener un coeficiente 0 para la nueva variable básica en las otras

ecuaciones, cada renglón [inclusive el de la ecuación de Z] excepto el renglón pivote,

se cambia por la nueva tabla símplex usando la siguiente fórmula: 

Renglón nuevo = renglón antiguo (coeficiente en la columna pivote    renglón pivote

nuevo) 

en donde el coeficiente en la columna pivote es el número en la columna pivote

correspondiente a este renglón.

 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 0 0    x3 0 1 0 1 0 0 4   (0, 0, 4, 12, 18)x4 0 0 2 0 1 0 12   Z = 0x5 0 3 2 0 0 1 18    Z 1                x3 0                x2 0 0 1 0 1/2 0 6    x5 0                

 

            Para ilustrar con el ejemplo, los nuevos renglones se obtienen de la forma siguiente: 

Renglón de Z:                        3      5        0          0          0,           0

                                   (5)     0        1        0          1/2       0,           6

            Renglón nuevo =         3        0        0          5/2       0,         30 

Renglón 1: Sin cambio porque su coeficiente en la columna pivote es cero. 

Renglón 3:                             3        2          0          0          1,         18

                                   (2)     0        1          0          1/2       0,           6

            Renglón nuevo =         3        0          0          1        1,           6 

            Estos cambios llevan a la nueva tabla símplex que se muestra en la siguiente

tabla para la

iteración 1: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 0 0    x3 0 1 0 1 0 0 4   (0, 0, 4, 12, 18)x4 0 0 2 0 1 0 12   Z = 0x5 0 3 2 0 0 1 18    Z 1 –3 0 0 5/2 0 30    x3 0 1 0 1 0 0 4   (0, 6,  4, 0, 6)x2 0 0 1 0 1/2 0 6   Z = 30x5 0 3 0 0 –1 1 6    

            Como las variables básicas siempre son iguales al lado derecho de la ecuación que le corresponde, la nueva solución básica factible es (0, 6, 4, 0, 6) con Z = 30. 

            Este trabajo completa el paso iterativo, así que debe proseguirse a la prueba de

optimalidad. Como la ecuación de Z todavía tiene coeficientes negativos (–3 para x 1), la

prueba de optimalidad indica que la solución no es óptima, (lo cual se muestra en la

figura anterior) por lo que manda al algoritmo de regreso al paso iterativo para obtener

la siguiente solución básica factible. El paso iterativo comienza de nuevo en la tabla

símplex actual para encontrar la nueva solución. Si se siguen las instrucciones de las

partes 1 y 2, se encuentra que x1 es la variable básica entrante y x5 la variable básica

que sale, como se muestra en la siguiente tabla: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 0 0 5/2 0 30    x3 0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 (0, 6, 4, 0, 6)

x2 0 0 1 0 1/2 0 6   Z = 30x5 0 3 0 0 –1 1 6 6/3 = 2        

mín. 

             En las siguientes tablas se muestra el conjunto completo de las tablas del

método símplex para este ejemplo. La nueva solución básica factible es (2, 6, 2, 0, 0),

con Z = 36. Al hacer la prueba de optimalidad, se encuentra que la solución es óptima

porque no hay coeficientes negativos en la ecuación de Z, de manera que el algoritmo

ha terminado. En consecuencia, la solución óptima para este ejemplo (sin tomar en

cuenta las variables de holgura) es x1 = 2, x2 = 6. 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 0 0    x3 0 1 0 1 0 0 4   (0, 0, 4, 12, 18)x4 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6      

mín.Z = 0

x5 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9  Z 1 –3 0 0 5/2 0 30    x3 0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 (0, 6,  4, 0, 6)x2 0 0 1 0 1/2 0 6   Z = 30x5 0 3 0 0 –1 1 6 6/3 = 2        

mín. 

Z 1 0 0 0 3/2 1 36    x3 0 0 0 1 1/3 –

1/32   (2, 6, 2, 0, 0)

x2 0 0 1 0 1/2 0 6   Z = 36x1 0 1 0 0 –

1/31/3 2   Óptima

            Anteriormente no se dijo qué hacer cuando las reglas de selección del método

símplex no llevan a una decisión clara, ya sea porque existen empates (valores iguales)

o por otras ambigüedades parecidas. 

Empate para la variable básica entrante.

            El paso 1 de cada iteración elige la variable básica que tiene el coeficiente

negativo con el mayor valor absoluto en la ecuación de Z actual como la variable básica

entrante. Ahora suponga que dos o más variables no básicas tienen el coeficiente

negativo más grande (en valor absoluto), es decir, que hay un empate entre ellas. Por

ejemplo, esto ocurriría en la primera iteración del ejemplo anterior si se cambiara la

función objetivo a Z = 3x1 + 3x2, con lo que la ecuación del renglón de Z inicial sería

Z3x13x2 = 0. ¿Cómo debe romperse este empate?

            La respuesta es que la elección entre estos dos contendientes se puede hacer

de manera arbitraria. Tarde o temprano se llegará a la solución óptima, sin importar

cuál de las variables empatadas se haya escogido, y no existe un método conveniente

para predecir cuál lleva ahí más rápidamente. En este ejemplo ocurre que si se escoge

x1 como variable entrante, el método símplex alcanza la solución óptima (2, 6) en tres

iteraciones y si se elige x2, llega en dos. 

Empate para la variable básica que sale degeneración.

            Ahora suponga que el empate ocurre entre dos o más variables básicas al

elegir la variable que sale en el paso 2 de una iteración. ¿Importa cuál se escoge? En

teoría sí, y en una forma crítica debido a que puede ocurrir la siguiente sucesión de

eventos. Primero, todas las variables empatadas se hacen cero al mismo tiempo

cuando aumenta el valor de la variable entrante. Por tanto, aquellas que no se eligieron

como variable básica que sale también tendrán un valor de cero en la nueva solución

básica factible. (Las variables básicas con valor de cero se llaman degeneradas y el

mismo nombre se da a la solución básica factible correspondiente.) Segundo, si una de

estas variables básicas degeneradas sigue con valor de cero hasta que se selecciona

como variable básica que sale en una iteración posterior, la variable básica entrante

deberá también quedar con valor de cero (ya que no puede crecer sin que la variable

básica que sale se vuelva negativa), entonces el valor de Z permanecerá sin cambio.

Tercero, si Z permanece igual en lugar de mejorar cada iteración, el método símplex

puede caer en un ciclo que repite la misma secuencia de soluciones periódicamente,

en lugar de aumentar en algún momento para llegar a la solución óptima.

            Por fortuna, aunque en teoría es posible que haya ciclos perpetuos, ha sido en

extremo raro que tenga lugar en problemas reales. Si ocurriera un ciclo siempre se

puede salir de él cambiando la elección de la variable básica que sale. Por lo tanto se

recomienda romper los empates arbitrariamente y seguir el proceso sin preocuparse de

las variables que puedan resultar. 

Cuando no hay variable básica que sale Z no acotada.

            Existe otra posibilidad en el paso 2 de una  iteración, de la que no se ha

hablado: aquella en la que ninguna variable califica como variable básica que sale. Esta

situación puede ocurrir si la variable básica entrante puede crecer indefinidamente sin

que ninguna de las variables básicas actuales adquiera valores negativos. En la forma

tabular, esto significa que todos los coeficientes en la columna pivote (se excluye el

renglón de Z) son negativos o cero.

            Como se ilustra en la siguiente tabla, esta situación surge cuando se considera

el siguiente ejemplo: 

Maximizar  Z = 3x1 + 5x2,

sujeta a                x1 4

y                  x1 0,    x2 0

             En este ejemplo se ignoraron las dos últimas restricciones funcionales del

ejemplo resuelto anteriormente. Vea en la tabla que x2 es la variable básica entrante

pero el único coeficiente en la columna pivote es cero. Como la prueba del cociente

mínimo usa sólo coeficientes mayores que cero, no se cuenta con un cociente que

proporcione una variable básica que sale.

            La interpretación de una tabla símplex como la que se muestra en la siguiente

tabla es que las restricciones no impiden el crecimiento indefinido de la función objetivo

Z, de manera que el método símplex se detiene con el mensaje de que Z es no

acotada. Debido a que ni siquiera la programación lineal ha descubierto la manera de

lograr ganancias infinitas, el mensaje real en problemas prácticos es: ¡Se ha cometido

un error! Tal vez el modelo esté mal formulado, ya sea por haber omitido una

restricción relevante o por haberla establecido incorrectamente. De otra manera, pudo

haber ocurrido un error en los cálculos.

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0    X3 0 1 0 1 4 Sin mínimo  

 Soluciones óptimas múltiples.

            En la definición de solución óptima se mencionó que un problema puede tener

más de una solución óptima. Si en el ejemplo cambiamos  la función objetivo a Z = 3x1

+ 2x2 resulta que todos los puntos sobre el segmento de recta entre (2,6) y (4,3) son

soluciones óptimas. Entonces todas las soluciones son un promedio ponderado de

estas dos soluciones factibles en los vértices óptimas: 

(x1, x2) = w1(2, 6) + w2(4, 3), 

donde los pesos w1 yw2  son  números que satisfacen las relaciones: 

w1 + w2 =  1                y                      w1 0,             w2 0

Por ejemplo, w1 = 1/3  y  w2 = 2/3 da: 

(x1, x2) = 1/3(2, 6) + 2/3(4, 3) = (2/3+8/3, 6/3+6/3) = (10/3, 4) 

como una solución óptima. 

            En general, cualquier promedio ponderado de dos o más soluciones (vectores)

donde los pesos son no negativos y suman 1 se llama combinación convexa de estas

soluciones. Entonces, toda solución óptima en el ejemplo es una combinación convexa

de (2, 6) y (4, 3). 

            Este ejemplo es representativo de problemas con soluciones óptimas múltiples. 

Cualquier problema de Programación Lineal con soluciones óptimas

múltiples (y una región factible acotada) tiene al menos dos soluciones

factibles en los vértices que son óptimas. Toda solución óptima es una

combinación lineal de estas soluciones factibles en los vértices óptimas.

En consecuencia, en la forma aumentada, toda solución óptima es una

combinación convexa de las soluciones básicas factibles óptimas. 

            El método símplex se detiene automáticamente al encontrar una solución

básica factible óptima. Sin embargo, en muchas aplicaciones de Programación Lineal

existen factores intangibles que no se incorporan al modelo y que pueden ser útiles

para tomar decisiones significativas sobre las soluciones óptimas alternativas. En esos

casos, también deben identificarse las otras soluciones óptimas. Esto requiere

encontrar todas las demás soluciones básicas factible óptimas, y entonces toda

solución óptima es una combinación convexa de las soluciones básicas factibles

óptimas. 

            Una vez que el método símplex encuentra una solución básica factible óptima,

se puede detectar si existen otras y, si así es, se encuentra como sigue: 

Siempre que un problema tiene más de una solución básica factible óptima, al menos una variable no básica tiene coeficiente cero en la ecuación de Z final, de manera  que si aumenta su valor, el valor de la función Z no cambia. Por lo tanto, estas otras soluciones básicas factibles óptimas se pueden identificar (si se desea) realizando iteraciones adicionales del método símplex, en las que cada vez se elige una variable no básica con coeficiente cero como variable básica entrante. Si una de estas iteraciones no tiene una variable básica que sale esto indica que la región factible es no acotada y la variable básica entrante puede crecer indefinidamente sin cambiar el valor de Z.

Método de la “M” o de Penalización.

            Hasta este momento se han presentado los detalles del método símplex con la

suposición de que el problema se encuentra en nuestra forma estándar (maximizar Z sujeta a las restricciones funcionales de la  forma y restricciones de no negatividad sobre todas las variables) con b i 0 para toda i = 1,  2, ..., m. En esta

sección se establecerá cómo hacer los ajustes requeridos a otras formas legítimas de

modelos de Programación Lineal. Se verá que todos estos ajustes se pueden hacer en

el paso inicial, de manera que el resto del método símplex se aplica justo como se

aprendió.

            El único problema serio que introducen las otras formas de restricciones

funcionales (= ó ) es identificar una solución inicial básica factible. Antes, esta

solución inicial se encontraba en forma muy conveniente al hacer que las variables de

holgura fueran las variables básicas iniciales, donde cada una era igual a la constante

no negativa del lado derecho de la ecuación correspondiente. Ahora debe hacerse algo

más. El enfoque estándar que se utiliza es estos casos es  la técnica de variables artificiales. Ésta construye un problema artificial más conveniente introduciendo una

variable ficticia (llamada variable artificial) en cada restricción que lo requiera. Esta

nueva variable se introduce sólo con el fin de que sea la variable básica inicial para esa

ecuación. Las restricciones usuales de no negatividad también se aplican sobre estas

variables y la función objetivo se modifica para  que imponga una penalización exorbitante en  el caso de que adquieran valores mayores que cero. Las iteraciones del

método símplex automáticamente fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a

volverse cero) una a una, hasta  que todas quedan fuera  de  la solución; después de

esto se resuelve el problema real. 

            Para ilustrar la técnica de las variables artificiales, primero se considerará el

caso en que la única forma no estándar en el problema es la presencia de una o más

restricciones en forma de igualdad.

Restricciones en forma de igualdad.

            En realidad, cualquier restricción en forma de igualdad: 

ai1x1 +ai2x2 + . . . + ainxn = bi 

es equivalente a dos restricciones de desigualdad: 

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn bi,

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn bi 

            Sin embargo, en lugar de hacer esta sustitución e incrementar con ello el

número de restricciones, es más conveniente usar la técnica de la variable artificial.

Suponga que se modifica el problema de ejemplo presentado y resuelto en la sección

anterior. El único cambio que sufre el modelo de programación lineal es que la tercera

restricción, 3x1 + 2x2 18, se convierte en una restricción de igualdad: 

3x1 + 2x2 = 18 

            Aplicando la técnica de las variables artificiales se introduce una variable

artificial no negativa (denotada por  x5) en la última ecuación, como si fuera una

variable de holgura: 

3x1 + 2x2 + x5 =18 

            En resumen si tenemos una restricción funcional en forma de igualdad y

deseamos “pasarla a su forma de igualdad”, únicamente debemos sumar una variable

artificial. 

Restricciones funcionales de la forma

            Para ilustrar la manera en que la técnica de las variables artificiales maneja las

restricciones de la forma usaremos el siguiente ejemplo: 

Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2    sujeta a     0.3x1 + 0.1x2

2.7      0.5x1 + 0.5x2 = 6      0.6x1 + 0.4x2

6      x1

0,  x2

0   

             Notemos que la tercera restricción es del tipo , por lo que para cambiarla a su

forma de igualdad tendríamos que restar una variable de superávit (o de excedente),

quedando de la siguiente manera: 

0.6x1 + 0.4x2 x5 = 6 

            Se ha restado la variable de excedente x5 (se utilizó x5 porque en la primera

restricción agregamos una variable de holgura que sería x3 y en la segunda restricción

agregamos también una variable artificial que sería x4; todo esto con el fin de convertir

las desigualdades a su forma de igualdades) para que consuma el exceso de 0.6x1 +

0.4x2, o sea, lo que se pasa de 6. No obstante en este caso debe agregarse otra

variable. Esta variable extra, llamada variable artificial se aumenta como sigue: 

0.6x1 + 0.4x2 x5 + x6 = 6 

            La razón de esto es que, si no se agrega la variable artificial, no se estarían

cumpliendo las restricciones de no negatividad. Para comprenderlo, se dejará sin

aumentar. El método símplex comienza por hacer todas las variables reales (originales)

iguales a cero. Entonces: 

0.6x1 + 0.4x2 x5 = 6 

Sea x1 = 0 y x2 = 0, entonces: 

x5 = 6

ó                                                                                 x5 = 6  (que no cumple la

restricción de no negatividad)

             La variable artificial opera para mantener todas las variables no negativas

cuando 0.6x1 + 0.4x2 es menor que 6. Si x1 = 0 y x2 = 0, entonces x5 = 0 y

0.6x1 + 0.4x2 x5 + x6 = 6

x6 = 6 

            En resumen, una restricción de la forma se convierte a su forma de igualdad restando una variable  de excedente y sumando una variable artificial. 

            Consideremos el siguiente problema: 

Maximizar Z = 3x1 + 5x2    sujeta a     x1     4          2x2

12      3x1 + 2x2 = 18      x1

0,  x2

0   

             Como explicamos anteriormente, para resolver este problema, debemos construir un problema artificial que tiene la misma solución óptima que el problema real, haciendo dos modificaciones a este problema real. 

1.   Se aplica la técnica de las variables artificiales introduciendo una variable artificial no negativa (denotada por x5) en la última ecuación, como si fuera una

variable de holgura: 

3x1 + 2x2 + x5 =18

2.   Se asigna una penalización enorme al hecho de tener x5 0, cambiando la función

objetivo

Z = 3x1 + 5x2 a:

Z = 3x1 + 5x2 Mx5, 

donde M simbólicamente representa un número positivo muy grande. Este método

que fuerza a x5 hasta el nivel de x5 = 0 en la solución óptima se llama método de la M. 

Nota: Para el caso de minimización, penalizamos a la variable artificial, haciéndola

aparecer en la función objetivo con un coeficiente de +M.

            Ahora se encuentra la solución óptima para el problema real aplicando el método símplex al problema artificial.

            Como x5 juega el papel de la variable de holgura en la tercera restricción del

problema artificial, esta restricción es equivalente a 3x1 + 2x2 18.

            En particular, el sistema de ecuaciones después de aumentar el problema

artificial (en otras palabras, pasarlo a su forma de igualdades) es: 

Maximizar Z,

sujeta a

Z 3x1 5x2         + Mx5 = 0

    x1     + x3         = 4        2x2     + x4     = 12

  3x1 + 2x2         + x5 = 18      xj

0 Para j = 1, 2, …, 5

             En este momento estamos preparados para pasar los coeficientes a la tabla

símplex:

 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 M 0    x3 0 1 0 1 0 0 4    x4 0 0 2 0 1 0 12    x5 0 3 2 0 0 1 18    

             Esta tabla todavía no está en la forma apropiada porque el coeficiente de x5 es

diferente de cero en la ecuación de Z (es M). Por lo tanto, antes de que el método

símplex pueda aplicar la prueba de optimalidad y encontrar la variable básica entrante,

debe pasarse esta tabla a la forma apropiada para que cumpla la condición símplex.

Esta condición que debe cumplir toda tabla del método símplex para que pueda

reportarnos la siguiente solución básica factible dice que: “Toda variable básica debe

tener un 1 en la intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los

demás renglones incluido el renglón de Z”, en otras palabras, que toda variable que sea

básica solamente debe aparecer en el renglón de la restricción que representa. Para

hacer cero el coeficiente M, utilizamos el renglón de x5 como renglón pivote

multiplicándolo por M y sumando el resultado al renglón de Z. Realizando el

procedimiento anterior, la tabla símplex queda de la siguiente manera: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 -3M-3

-2M-5

0 0 0 18M Mx5 + Z  

x3 0 1 0 1 0 0 4   (0, 0, 4, 12, 18)x4 0 0 2 0 1 0 12   Z = 18Mx5 0 3 2 0 0 1 18    

             Podemos observar que la tabla anterior ya se encuentra en la forma apropiada

y podemos leer la solución básica factible actual, que es (0, 0, 4, 12, 18), la cual

aplicando la prueba de optimalidad vemos que no es óptima ya que todavía tenemos

coeficientes negativos en el renglón de Z (los correspondientes a x1 y x2). Aplicando el

método símplex a la tabla anterior tenemos: el coeficiente negativo con el mayor valor

absoluto corresponde a x1  (3M3), recordemos que M es un número muy grande

positivo, por lo tanto, x1 se convierte en la variable básica entrante, realizando los

cocientes correspondientes, vemos que x3 se convierte en la variable básica saliente. El

procedimiento completo para resolver este ejemplo se muestra en el siguiente conjunto

de tablas:

 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 -3M-3 -2M-5 0 0 0 18M    x3 0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 (0, 0, 4, 12, 18)

x4 0 0 2 0 1 0 12   Z = 18M

x5 0 3 2 0 0 1 18 18/3 = 6  

Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 6M+12    x1 0 1 0 1 0 0 4   (4, 0, 0, 12, 6)

x4 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6 Z = 6M+12

x5 0 0 2 3 0 1 6 6/2 = 3  

Z 1 0 0 9/2 0 M+5/2 27    

x1 0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 (4, 3, 0, 6, 0)

x4 0 0 0 3 1 1 6 6/3 = 2 Z = 27

x2 0 0 1 3/2 0 1/2 3    Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36    x1 0 1 0 0 1/3 1/3 2   (2, 6, 2, 0, 0)

x3 0 0 0 1 1/3 1/3 2   Z = 36

x2 0 0 1 0 1/2 0 6   Óptima

 MINIMIZACIÓN con el método símplex.

            Una manera directa de minimizar Z con el método símplex es cambiar los roles

de los coeficientes negativos y positivos en el renglón de la función objetivo, tanto para

la prueba de optimalidad como para la parte 1 de una iteración. Se determina la

variable básica entrante mediante la elección de la variable con el coeficiente positivo

menor en la ecuación de Z. La solución básica factible actual es óptima si y sólo si

todos los coeficientes de la ecuación de la función objetivo (renglón de Z) son no

positivos ( 0 ). Si es así, el proceso termina; de otra manera, se lleva a cabo otra

iteración para obtener la nueva solución básica factible, lo que significa el cambio de

una variable no básica por una básica (parte 1) y viceversa (parte 2), y después

despejar las variables de la nueva solución (parte 3). Notemos que no se ha dicho nada

con respecto a la forma de obtener la variable básica saliente en una iteración, ya que

este paso se realiza de la misma manera que cuando se está maximizando, es decir,

se escoge aquella variable básica con el menor cociente. Ilustremos la forma de utilizar

el método símplex para el caso de minimización. Consideremos el siguiente ejemplo: 

Minimizar Z = 3x1 + 8x2    sujeta a     x1 + 4x2

4      x1 + 2x2

2      x1

0,  x2

0   

             Pasando este problema a su forma de igualdades añadiendo las variables

necesarias, obtenemos lo siguiente:

Minimizar Z,

sujeta a

Z 3x1 8x2         Mx5 = 0

    x1 + 4x2 + x3         = 4  x1 + 2x2     x4 + x5 = 2      xj

0 para j = 1, 2, …, 5

             Utilizando el método de la M para obtener una solución óptima por el método

símplex, obtenemos el siguiente conjunto de tablas: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 3 8 0 0 M 0    x3 0 1 4 1 0 0 4    x5 0 1 2 0 1 1 2    Z 1 M3 2M8 0 M 0 2M   (0, 0, 4, 0, 2)x3 0 1 4 1 0 0 4 4/1 = 4 Z = 2Mx5 0 1 2 0 1 1 2 2/1 = 2  Z 1 0 2 0 3 M+3 6   (2, 0, 2, 0, 0)x3 0 0 2 1 1 1 2   Z = 6x1 0 1 2 0 1 1 2   Óptima

             Notemos que la primera tabla no se encontraba en la forma apropiada para el

método símplex, ya que el coeficiente de la variable básica  x5 era de M en el renglón

de Z, lo cual hacia que no se cumpliera la condición símplex. 

2.6. Método de las dos Fases.

            En el ejemplo presentado en la sección “Restricciones funcionales de la forma

“, recordemos la función objetivo real: 

Problema real:                      Minimizar       Z = 0.4x1 + 0.5x2

            Sin embargo, el método de la M utiliza la siguiente función objetivo a través de

todo el procedimiento: 

Método de la M:        Minimizar       Z = 0.4x1 + 0.5x2 + Mx4 + Mx6 

            Como los dos primeros coeficientes (0.4 y 0.5) son despreciables comparados

con M, el método de dos fases puede eliminar la M usando las siguientes dos funciones

objetivo que definen Z de manera completamente diferente: 

Método de las dos fases:

Fase 1:                       Minimizar       Z = x4 + x6                   (hasta que x4 = 0 y x6 = 0).

Fase 2:                       Minimizar       Z = 0.4x1 + 0.5x2         (con x4 = 0 y x6 = 0).

             La función objetivo de la fase 1 se obtiene dividiendo la función objetivo del

método de la M entre M eliminando los términos despreciables, en otras palabras, la

fase 1 consiste en la minimización de la suma de todas las variables artificiales que se

introduzcan en el problema. Como  la fase  1 concluye al obtener una solución básica

factible para el problema real (aquella en la que x4 = 0 y x6 = 0), esta solución se usa

como la solución básica factible inicial para aplicar el método símplex al problema real

(con su función objetivo) en la fase 2. Antes de resolver el ejemplo de esta manera se

hará un resumen de las características generales.

Resumen del método de dos fases.

Paso inicial: Se revisan las restricciones del problema original introduciendo variables

artificiales según se necesite para obtener una solución básica factible inicial obvia para

el problema artificial.

            Fase 1: uso del método símplex para resolver el problema de programación

lineal:

Minimizar  Z = de todas las variables artificiales, sujeta a las restricciones

revisadas.

            La solución óptima que se obtiene para este problema (con Z = 0) será una

solución básica factible para el problema real.

            Fase 2: se eliminan las variables artificiales (de todas formas, ahora todas valen

cero). Comenzando con la solución básica factible que se obtuvo al final de la fase 1,

se usa el método símplex para resolver el problema real.

            Enseguida se resumen los problemas que deben resolverse por el método

símplex en las fases respectivas para el ejemplo.

            Problema para la fase 1:

Minimizar         W = x4 + x6,

sujeta a

0.3x1 + 0.1x2 + x3             = 2.70.5x1 + 0.5x2     + x4         = 60.6x1 + 0.4x2         x5 + x6 = 6

y

x10   x20   x3   x40   x50   x60    

             Problema para la fase 2:

Minimizar    Z = 0.4x1 + 0.5x2,

sujeta a

0.3x1 + 0.1x2 + x3     = 2.70.5x1 + 0.5x2         = 60.6x1 + 0.4x2     x5 = 6

y

x10   x20   x3   x50

             Las únicas diferencias entre estos dos problemas se encuentran en la función

objetivo y en la inclusión (fase 1) o exclusión (fase 2) de las variables artificiales x 4 y x6.

Sin las variables artificiales, el problema para la fase 2 no tiene una solución básica

factible inicial obvia. El único propósito de resolver el problema para la fase 1 es

obtener una solución básica factible con x4 = 0 y x6 = 0 que se pueda usar como la

solución básica factible inicial para la fase 2. 

            Las siguientes tablas muestran el resultado de aplicar el método símplex a este

problema para la fase 1: 

VariableBásica

 W

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

 x6

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

W 1 0 0 0 1 0 1 0    x3 0 0.3 0.1 1 0 0 0 2.7    

x4 0 0.5 0.5 0 1 0 0 6    

x6 0 0.6 0.4 0 0 1 1 6    

W 1 1.1 0.9 0 0 1 0 12    x3 0 0.3 0.1 1 0 0 0 2.7 2.7/0.3=9 (0,0,2.7,6,0,6)

x4 0 0.5 0.5 0 1 0 0 6 6/0.5=12 W = 12

x6 0 0.6 0.4 0 0 1 1 6 6/0.6=10  

W 1 0 0.53 3.66 0 1 0 2.1    x1 0 1 0.33 3.33 0 0 0 9 9/0.33=27.2 (9,0,0,1.5,0,0.6)

x4 0 0 0.33 1.66 1 0 0 1.5 1.5/0.33=4.5 W = 2.1

x6 0 0 0.2 2 0 1 1 0.6 0.6/0.2=3  

W 1 0 0 1.64 0 1.65 2.65 0.51    x1 0 1 0 6.63 0 1.65 1.65 8.01 8.01/1.65=4.8 (8.01,3,0,0.51,0,0)x4 0 0 0 1.64 1 1.65 1.65 0.51 0.51/1.65=0.30 W = 0.51

x2 0 0 1 10 0 5 5 3    W 1 0 0 0 1 0 1 0    x1 0 1 0 5 1 0 0 7.5   (7.5,4.5,0,0,0.3,0)x5 0 0 0 0.99 0.60 1 1 0.3   W = 0

x2 0 0 1 5.05 3 0 0 4.5   Óptima fase 1

 

            Notemos que ya hemos obtenido una solución óptima para la fase 1 que

consistió en la minimización de la suma de todas las variables artificiales. Observemos

también que la función objetivo W terminó con un valor de cero en la última tabla, lo

que indica que las dos variables artificiales (x4 y x6) valen cero ó tienen valores

recíprocos y se cancelan mutuamente para dar cero. En nuestro caso, las dos variables

artificiales valen cero ya que no se encuentran en la columna de las variables básicas

en la última tabla de la primera fase. La segunda fase consiste en resolver el problema

original utilizando como tabla inicial de esta fase la última tabla de la primera fase pero

sin considerar la columna de las variables artificiales ya que éstas tomaron el valor de

cero en la primera fase. El método símplex aplicado a la segunda fase se muestra en el

siguiente conjunto de tablas: 

VariableBásica

 Z

 x1

 x2

 x3

 x4

 x5

 x6

Ladoderecho

 Cociente

 ¿Es óptima?

Z 1 0.4 0.5 0 0 0 0 0    x1 0 1 0 5 1 0 0 7.5    x5 0 0 0 0.99 0.60 1 1 0.3    x2 0 0 1 5.05 3 0 0 4.5    Z 1 0 0.5 2   0   3    x1 0 1 0 5   0   7.5    x5 0 0 0 0.99   1   0.3    x2 0 0 1 5.05   0   4.5    Z 1 0 0 0.52   0   5.25    x1 0 1 0 5   0   7.5   (7.5,4.5,0,0,0.3,0)x5 0 0 0 0.99   1   0.3   Z = 5.25x2 0 0 1 5.05   0   4.5   Óptima fase 2

             Notemos que no fue necesario aplicar propiamente el método símplex a la

primera tabla de la segunda fase, ya que únicamente aplicando operaciones con

matrices para tratar de llevar esta tabla a la forma apropiada para el método símplex

fue suficiente para resolver el problema planteado en la segunda fase. Es necesario

aclarar que no siempre ocurrirá de esta manera, es decir, si después de dejar la tabla

en la forma apropiada, es necesario aplicar el método símplex, se debe aplicar como lo

hemos estudiado. 

Nota: Independientemente de que el problema original (real) sea de maximización o

minimización, la primera fase siempre consistirá en la minimización de la

suma de todas las variables artificiales.