PARTE 5. CORRIENTES DE DENSIDAD. INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA

Estudio sobre la capacidad de resuspensión de las corrientes de densidad. Aplicación al caso del embalse de Flix

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PARTE 5. CORRIENTES DE DENSIDAD. INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA

ECUACIONES DE LA CORRIENTE DE DENSIDAD

Las ecuaciones que modelan el comportamiento de una corriente de densidad son la de conservación de la masa de fluido, la de conservación de la masa de sedimento, la de balance de la cantidad de movimiento y la de balance de energía cinética turbulenta, que tal como están utilizadas por Lincoln F. Pratson, Gary Parker et al. (1999) en su programa BANG 1D son:

w

h Uhe U

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

(5.1)

( )0s s

Ch UChW E r C

t x∂ ∂

+ = −∂ ∂

(5.2)

2 22*

12

Uh U h ChRgChS Rg u

t x x∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

(5.3)

( )2 3* 0 0

1 1 12 2 2w s w s s

Kh UKhu U U e h RgWCh RgChUe RghW E r C

t xε

∂ ∂+ = + − − − − −

∂ ∂(5.4)

Las variables que describen la evolución de la corriente de densidad son:

- h: altura de la corriente de densidad sobre el fondo

- U: velocidad de la corriente promediada sobre la altura: 1

·U udzh

= ∫

- C: concentración de sedimento promediada sobre la altura: 1

·C cdzh

= ∫

- K: energía cinética turbulenta promediada sobre la altura: 1

·K k dzh

= ∫

Las variables en mayúscula son, por tanto, la velocidad, concentración y energía cinética de la corriente promediadas sobre la altura.

La siguiente figura esquematiza el fenómeno y las variables de las ecuaciones expuestas anteriormente:


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Figura 5.1 Variables de estudio en la corriente de densidad

A continuación se analiza cada ecuación por separado:

Ecuación de continuidad del fluido:

w

h Uhe U

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

Se trata de un balance de la masa de agua presente en la corriente de densidad. Considerando un volumen de control, el miembro de la izquierda de la igualdad refleja que un incremento de calado en el tiempo se traduciría en una disminución del caudal en la sección aguas arriba, aparte de aportaciones externas de agua.

Esas aportaciones están representadas por el término de la derecha, donde we es el coeficiente de “entrainment” del agua. Según la fórmula propuesta por Gary Parker (1999) este parámetro es función del número de Richardson según:

0,001530,0204we

Ri=

+ (5.5)

El número de Richardson es el equivalente del número de Froude en una corriente de densidad, y refleja una relación entre las fuerzas de gravedad y las de inercia:

2

RgChRi

U= (5.6)

En esta expresión R representa la relación entre densidades del sedimento y del fluido y viene dado por la expresión:

s a

a

Rρ ρ

ρ−

= (5.7)

Por tanto se puede ver como una mayor velocidad de la corriente hace aumentar la cantidad de fluido que entra en la corriente de densidad, tanto porque aparece directamente en el término fuente ( )we U , como por la disminución que comporta en el número de Richardson con el consecuente aumento de we .

Ecuación de continuidad de la masa de sedimento:

( )0s s

Ch UChW E r C

t x∂ ∂

+ = −∂ ∂

Se trata del balance de masa de sedimento presente en la corriente de densidad.

Considerando también un volumen de control, una variación en el tiempo Cht

∂ ∂

de la

concentración de sedimento en ese volumen viene provocada por el hecho de que entre


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diferente cantidad de la que sale UCh

x∂

∂ , donde además esas variaciones serán de

signo contrario (si aumenta en el tiempo la concentración será porque entra más sedimento del que sale). En caso de aportaciones externas de sedimento aparece en la ecuación el término de la derecha de la igualdad, ( )0s sW E r C− , que representa un balance entre el sedimento erosionado del fondo y el depositado.

Los parámetros que aparecen en este término son:

- sW : velocidad de caída del sedimento. Según el trabajo experimental de Dietrich (1982) está relacionada con el tamaño de grano del sedimento según la siguiente expresión:

( )*1 /3

·10wsW Rgν= , (5.8)

donde ν es la viscosidad cinemática del agua clara (2

610ms

− ) y *w es la velocidad de

caída adimensional, que viene determinada por la expresión:

( ) ( ) ( ) ( )2 3 4

* * * * *log 3,76715 1,92944 log 0,09815 log 0,00575 log 0,00056 logW D D D D= − + − − + (5.9)

donde *D es el tamaño de grano adimensionalizado que se relaciona con el tamaño real como:

3

* 2

RgDD

ν= (5.10)

- sE , es el coeficiente de erosión adimensional (“entrainment” de sedimento), que representa una fuente positiva de sedimento procedente del fondo. Este coeficiente está

relacionado empíricamente con el parámetro

0,63

*

s

RgDuZ

W ν

=

, con la expresión

desarrollada por Parker y García (1993):

( )7 5

7 5

1,3·10

1 1,3·10 /0,3s

ZE

Z

−

−=

+ (5.11)

El parámetro *u es la velocidad de fricción y se comenta más adelante.

- 0r : este parámetro marca la relación entre la concentración de sedimento en las proximidades del fondo y el valor promediado C. De esta forma el término 0sW r C− representa la cantidad de sedimento que se deposita en el fondo, es decir, es un término


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fuente negativo. En el programa BANG1D se adopta un valor de 2,0 para este parámetro.

Ecuación de balance de la cantidad de movimiento:

2 22*

12

Uh U h ChRgChS Rg u

t x x∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

El miembro de la izquierda de la igualdad representa la aceleración de la corriente, tanto

en términos de la derivada local de la velocidad Uht

∂ ∂

como en términos de la

derivada convectiva 2U hx

∂ ∂

.

Esa aceleración vendrá provocada por las diferentes fuerzas que actúan sobre la corriente, que son los diferentes términos de la derecha de la igualdad:

- El término RgChS representa la fuerza de la gravedad y S es la pendiente del fondo por donde se desplaza la corriente.

- El término 21

2Ch

Rgx

∂∂

representa la fuerza ejercida sobre el volumen de

control por las presiones procedentes del resto del fluido. El hecho de que este término sea negativo indica que a igual concentración una mayor altura de la corriente aguas abajo provoca una resultante hacia atrás, y a igualdad de altura una mayor concentración también hace que esa parte de la corriente se vea frenada debido al gradiente de presiones.

- El término 2*u representa una especie de fuerza de rozamiento y provoca por

tanto también una aceleración negativa. Parker (1986) relaciona este parámetro con la energía cinética turbulenta mediante una constante de proporcionalidad:

2*u Kα=

En el programa BANG1D se adopta 0,1 como valor para esta constante de proporcionalidad.


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Figura 5.2 Balance de la cantidad de movimiento (Gary Parker, 2000)

Ecuación de balance de la energía cinética turbulenta:

( )2 3* 0 0

1 1 12 2 2w s w s s


t xε

∂ ∂+ = + − − − − −

∂ ∂

El miembro de la izquierda representa la variación, tanto local como convectiva, de la energía cinética turbulenta.

En el miembro de la derecha aparecen todas las causas que intervienen en esa variación, como son:

- El término 2*u U representa una producción de energía asociada a la

turbulencia de la corriente.

- El término 312 wU e significa que la entrada de agua procedente del exterior

de la corriente está haciendo aumentar la energía de la misma, siendo además ese aumento muy sensible a las variaciones de la velocidad, ya que está elevada al cubo.

- El término 0hε refleja la disipación de energía provocada por la viscosidad de la corriente, donde el parámetro 0ε está promediado sobre la altura y se

puede calcular como 3/2

0K

hε β= y a su vez se tiene que:

(5.12)

Estas relaciones fueron obtenidas experimentalmente por Launder y Spalding en 1972.

El valor adoptado para el parámetro dC en el programa BANG1D es de 0,01. Los demás parámetros que aparecen son los ya comentados anteriormente.

Se puede ver que hay una mayor disipación por viscosidad cuanto mayor es la energía cinética de la corriente y cuanto mayor es la velocidad ya que en tal caso disminuye el número de Richardson y aumenta el parámetro ß.

- El término sRgWCh simboliza la energía gastada para mantener el sedimento en suspensión. Se necesitará más energía cuanto mayor sea la densidad del sedimento y cuanto mayor sea la velocidad de caída, es decir que estará condicionada por el tamaño del grano del sedimento.

3 / 2

11 2

2d

w d

d

Ce Ri C

Cαβ

α

− − + =


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- El término 12 wRgChUe representa una disminución de energía cinética

turbulenta cuando ésta se transforma en energía potencial al aume ntar la altura de la corriente de densidad. En esta conversión tiene importancia el parámetro de “entrainment” de agua procedente del exterior, de forma que cuanto mayor sea la velocidad de la corriente, mayor será el parámetro we como se ha comentado anteriormente y mayor conversión de este tipo se llevará a cabo.

- Por último el término ( )0

12 s sRghW E r C− explica la disminución o aumento

de energía asociada a la ganancia o pérdida de sedimento en la interacción de

la corriente con el fondo. La parte correspondiente a 12 s sRgW E sería la

energía empleada en erosionar el fondo, mientras que 0

12 sRgW r C , que en la

ecuación de balance queda como positivo, es la energía que no es necesario gastar por el hecho de depositar sedimento en el fondo y no tener que arrastrarlo más.

Para estudiar el caso concreto que se trata en esta tesina, en el que se pretende cuantificar la importancia del efecto de la temperatura en este fenómeno, se añadirá una nueva ecuación al sistema. Esta ecuación tendrá como objetivo el incorporar al sistema la variable temperatura y en el siguiente apartado se expone el criterio seguido para elaborarla. Antes de ello se realizará un breve paréntesis para exponer algunas ideas sobre la ecuación de estado del agua.


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ECUACIÓN DE ESTADO DEL AGUA

Para la elaboración de este apartado se ha utilizado un calculador de densidad de agua del mar consultado en la página web:

www.es.flinders.edu.au/~mattom/IntroOc/notes/lectura03.html

Dispone de una calculadora de la densidad del agua del mar, donde se introduce salinidad y temperatura y sale la densidad.

El agua de mar es una mezcla de 96,5% de agua pura y 3,5% de otros materiales, tales como sales, gases disueltos, sustancias orgánicas y partículas sin disolver. Sus propiedades físicas están determinadas principalmente por las del agua pura 96,5%. Por lo tanto, las propiedades físicas del agua pura se discutirán primero.

Consecuencias de la estructura molecular del agua pura son:

- el agua reacciona más lenta a los cambios que las moléculas individuales - el material disuelto aumenta mucho la conductividad eléctrica del agua

Las propiedades físicas de la mayoría de las substancias muestran una variación uniforme con la temperatura. En oposición, la mayoría de las propiedades físicas del agua pura presentan un mínimo a una cierta temperatura intermedia. Por ejemplo, el mínimo volumen específico se encuentra a 4ºC.

Al congelarse, todas las moléculas de agua forman tetraedros. Esto conduce a una extensión repentina en el volumen, es decir una disminución de la densidad. La fase sólida del agua es, por lo tanto, más ligera que la fase líquida, lo que representa una rara propiedad. Algunas consecuencias importantes son:

1. El hielo flota. Esto es importante para la vida en los lagos de agua dulce, puesto que el hielo actúa como un aislante contra la pérdida de calor adicional, previniendo el congelamiento del agua desde la superficie hasta el fondo.

2. La densidad muestra una rápida disminución a medida que se acerca al punto de congelación. La expansión que resulta durante el congelamiento es una causa importante del desgaste de las rocas debido a la acción atmosférica.

3. El punto de congelación disminuye con la presión. Por consiguiente, el derretimiento tiene lugar en la base de los glaciares, lo cual que facilita el flujo del glaciar.

4. Los enlaces del hidrógeno ceden bajo la presión, es decir el hielo bajo presión llega a ser plástico. Como resultado, el hielo que se forma sobre tierra en las regiones Antárticas y Árticas, fluye hacia el mar y forma icebergs en los bordes más externos. Sin este proceso toda el agua del mundo terminaría eventualmente en forma de hielo en las regiones polares.

La densidad es uno de los parámetros más importantes en el estudio de la dinámica oceánica. Las pequeñas diferencias horizontales de la densidad (causadas, por ejemplo, por diferencias en el calentamiento superficial) pueden producir corrientes muy fuertes. Por lo tanto, la determinación de la densidad ha sido una de las tareas más importantes en oceanografía. El símbolo para la densidad es la letra griega ?.


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La densidad del agua de mar depende de la temperatura T, salinidad S y presión p. Esta dependencia constituye la ecuación de estado del agua del mar.

La ecuación de estado para un gas ideal está dada por:

p = ? R T (5.13)

donde R es la constante de los gases. El agua de mar no es un gas ideal, pero sobre pequeños rangos de temperatura se comporta como si lo fuera. La ecuación exacta para todo el rango de temperaturas, de salinidades y de presiones encontradas en el océano

? = ?(T,S,p)

(donde S es la salinidad) es el resultado de muchas determinaciones cuidadosas de laboratorio. Las primeras determinaciones fundamentales para establecer la ecuación fueron hechas en 1902 por Knundsen y Ekman. Su ecuación expresó las nuevas determinaciones fundamentales de ? en g cm-3. Nuevas determinaciones fundamentales, basadas en datos sobre un gran rango de presión y salinidad, dio lugar a una nueva ecuación de la densidad, conocida como la "Ecuación Internacional de Estado" (1980). Esta ecuación utiliza la temperatura en °C, la salinidad de la Escala Práctica de Salinidad y la presión en decibares, dbar (1 dbar = 10.000 pascal = 10.000 N m-2). Así, una densidad de 1,025 g cm-3 en la antigua fórmula, corresponde a una densidad de 1025 kg m-3 en la Ecuación Internacional de Estado del Agua de Mar.

La densidad aumenta con un aumento en la salinidad y una disminución de la temperatura, excepto a temperaturas por debajo del máximo de densidad. La densidad oceánica es generalmente cercana al valor 1025 kg m-3 (En el agua dulce la densidad esta cerca de 1000 kg m-3). Los oceanógrafos usan el símbolo s t (La letra griega sigma con el subíndice t) para representar la densidad, la cual ellos pronuncian "sigma-t". Esta cantidad se define como st = ? - 1000 y usualmente no lleva unidades (esta debería llevar las mismas unidades de ?). Una densidad de agua de mar típica es s t = 25.

Algo fácil de recordar es que s t cambia la misma cantidad si la T cambia en 1°C, S en 0,1, y p en el equivalente a un cambio de 50 m de profundidad.

Se observa que el máximo de densidad está arriba del punto de congelación para salinidades menores que 24,7, pero por debajo del punto de congelación para las salinidades mayores que 24,7. Esto afecta en procesos de convección térmica:

• S < 24,7: El agua se enfría hasta que alcanza la densidad máxima; entonces, cuando el agua superficial se hace más ligera (es decir, después de haber pasado el máximo de densidad) el enfriamiento está restringido a la capa mezclada por el viento, la cual eventualmente se congela por encima. Las cuencas profundas están llenas de aguas de máxima densidad.

• S > 24,7:La convección alcanza todo el cuerpo de agua. El enfriamiento se retrasa porque una gran cantidad de calor se almacena en el cuerpo de agua. Esto es debido a que el agua alcanza el punto de congelación antes de que se logre el de máxima densidad.


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A continuación se exponen una serie de resultados sobre densidad en función de temperatura, obtenidos con el calculador disponible mencionado anteriormente:

Temperatura Densidad 20 998,206 19 998,407 18 998,598 17 998,777 16 998,945 15 999,102 14 999,246 13 999,379 12 999,500 11 999,607 10 999,702 9 999,783 8 999,851 7 999,904 6 999,943 5 999,967 4 999,975 3 999,967 2 999,943

Tabla 5.1 Densidad en función de la temperatura

Para obtener estos resultados se ha considerado nula la salinidad, ya que de esa manera nos adaptamos más a las circunstancias del problema que nos ocupa en esta tesina. Podemos apreciar los resultados en el siguiente gráfico:

998998,2998,4998,6998,8

999999,2999,4999,6999,81000

1000,2

0 5 10 15 20 25

Temperatura (ºC)

Den

sida

d (k

g/m

3 )

Figura 5.3 Densidad del agua en función de la temperatura


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92,999·0416,0·0064,0 2 ++−= xxy

9999,02 =R

Esta será la función que adoptaremos después en el programa Bang 1DT, para reflejar la variación de la densidad del agua con la temperatura.

A modo de curiosidad aparecen a continuación unos resultados que ilustran la variación de la densidad con la salinidad, manteniendo fija la temperatura (5ºC):

Salinidad (º/00)* Densidad 0 999,967 1 1000,768 4 1003,156 7 1005,534 10 1007,907 15 1011,858 20 1015,807 25 1019,758 30 1023,714 35 1027,675 40 1031,645

Tabla 5.2 Densidad en función de la salinidad


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CONSERVACIÓN DE ENERGÍA POR FLUJO DE CALOR

A partir de considerar un volumen de control dentro de la corriente de densidad se enuncian a continuación las causas que llevarán a un cambio en su temperatura:

- Convección: cambio de temperatura asociada al movimiento del agua - Entrada de agua procedente del exterior de la corriente y que se encontrará

por tanto a una temperatura diferente - Difusión de calor, tanto por conducción como debido a la viscosidad

turbulenta (concepto que se explicará posteriormente). - Calor procedente de la disipación de energía cinética turbulenta a causa de la

viscosidad

La ecuación que proponemos en base a estos criterios es la siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )*0 0 0 0 0w s s s s T

chT chTU Te U c T c w E r C T k c h h

t x x xρ ρ

ρ ρ ρ ν ε ρ∂ ∂ ∂ ∂ + = + − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ (5.14)

donde los diferentes parámetros que aparecen son:

- ?, densidad de la corriente de densidad - c, calor específico de la corriente de densidad - h, calado - T, temperatura de la corriente de densidad - U, velocidad de la corriente promediada sobre la altura - ew, coeficiente de entrainment del agua - ?0, densidad del agua del exterior de la corriente - c0, calor específico del agua del exterior de la corriente - T0, temperatura del agua del exterior de la corriente - k, conductividad térmica del agua - Tν , viscosidad turbulenta del agua - 0ε , parámetro que refleja la energía disipada por unidad de masa y de tiempo

a causa de la viscosidad - sρ , densidad del sedimento - cs, calor específico del sedimento - ws, velocidad de caída del sedimento - Es, coeficiente de erosión adimensional - T*, como se comenta posteriormente, puede ser la temperatura del sedimento

o la de la corriente de densidad. - 0r , ratio entre la concentración del fondo y la media - C, concentración de sedimento en la corriente

Para empezar se analiza el primer término de la ecuación ( )t

chT∂

∂ ρ :

El producto c·T tiene un significado de energía por unidad de masa. Si se piensa de manera análoga a la teoría termodinámica sobre los gases ideales, sería el equivalente a


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la energía interna por unidad de masa, es decir una energía asociada a la temperatura de la corriente. Al multiplicar por la densidad se obtiene, por tanto, una energía interna por unidad de volumen y añadiendo el calado nos queda finalmente que chTρ es la energía interna por unidad de ancho y por unidad de longitud en dirección x, es decir a lo largo del movimiento. El primer término de la ecuación representa por tanto la variación con el tiempo de esta energía por unidad de superficie dentro del volumen de control considerado.

Cabe destacar en este punto que la ecuación propuesta se trata por tanto de una ecuación de conservación de energía, como de hecho lo es la ecuación que introduce la energía cinética turbulenta. Esto es conceptualmente correcto ya que la energía sí es una magnitud que permite hablar de intercambios o balances, mientras que no lo es propiamente la temperatura (no es “algo que se transmita”).

El segundo término de la ecuación ( )x

chTU∂

∂ ρ representa el cambio de energía por

unidad de superficie asociado a la convección, es decir, al movimiento de la corriente. Su significado es, por tanto, equivalente al de los términos convectivos que aparecen en las otras ecuaciones del sistema

El primer término del segundo miembro de la ecuación 000 TcUew ρ representa la variación de energía por unidad de superficie asociada a la entrada de agua por la parte superior de la corriente y procedente del fluido exterior.

Según lo comentado anteriormente 00Tc será la energía por unidad de masa que tendrá el agua entrante, donde en este caso se está utilizando el calor específico y la temperatura del agua exterior, parámetros que se considerarán en ambos casos como constantes. El objetivo de diferenciar entre el calor específico del exterior y el del interior de la corriente es que en este último se considerará la presencia de sedimento, mientras que en el exterior se usará simplemente el valor correspondiente al agua pura.

Al multiplicar por la densidad del agua exterior, que se considerará también constante, se obtiene la energía del agua entrante por unidad de volumen. Igual que en el caso del calor específico, se diferencia la densidad exterior de la interior para considerar en ésta última la presencia de sedimento, que tendrá en este caso más importancia.

Recuperando la ecuación de continuidad de la corriente que aparecía en el subapartado anterior, se ve que Uew significa el incremento de calado de la corriente por unidad de tiempo debido a esa entrada de agua. Considerando que un incremento de calado es un incremento de volumen por unidad de superficie, llegamos a que el producto 000 TcUew ρ tiene el significado, coherente con el resto, de incremento de energía por unidad de superficie y por unidad de tiempo.

El segundo término del segundo miembro de la ecuación representa el balance de energía debido a la entrada y deposición de sedimento por el fondo.

La expresión del balance de sedimento que aparece en la ecuación de conservación de la masa de sedimento, es empírica y hace referencia al balance global, de forma que no es válida separando cada uno de los sumandos. Por ese motivo, al implementar la ecuación


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en el programa Bang 1DT, se han considerado por separado los casos en que el balance

0SE r C− es positivo o negativo. Cuando este término es positivo (erosión del fondo) la temperatura por la que se multiplica en la ecuación 5.14 es la del sedimento del fondo, TS, mientras que cuando es negativo (deposición de sedimento) se multiplica por la temperatura de la corriente de densidad. No es una medida exacta, pero es la opción que más se adecua al origen de las expresiones que intervienen.

El tercer término del segundo miembro de la ecuación representa el término de difusión de calor, tanto por conducción como por la difusión turbulenta de la corriente.

El primer fenómeno es idéntico al que, por ejemplo, hace pasar calor de una habitación caliente a una fría a través de una pared, proceso que viene regulado por el parámetro conductividad térmica.

A continuación se desarrolla el término de difusión asociado a este fenómeno de conducción. Se considera el siguiente volumen de control, por el que estará entrando o saliendo calor por las superficies anterior y posterior.

Figura 5.4 Volumen de control y flujos de calor

Se llamamos 1q& y 2q& a la energía (calor) por unidad de superficie y tiempo transmitida a través de las paredes 1 y 2, anterior y posterior respectivamente. Estos flujos de calor vienen determinados por las siguientes relaciones:

1

1

∂∂−=xTkq& (5.15)

2

2

∂∂−=xTkq&

Si se multiplicamos por el calado de la corriente en cada una de las caras obtendremos 11 hq ·& y 22 hq ·& que serán la energía transmitida por unidad de ancho y unidad de tiempo

en las caras 1 y 2 respectivamente.

Considerando que el volumen de control es de longitud unidad (en dirección x), el balance entre estos dos flujos de calor por unidad de ancho será la variación de energía por unidad de superficie y tiempo asociada a este fenómeno de conducción.


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22

112211 ······

∂∂

+

∂∂

−=−xT

hkxT

hkhqhq && (5.16)

Si se pone 2h y 2

∂∂

xT

en función de 1h y 1

∂∂

xT

:

dxxT

xxT

xT

·12

∂∂

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

(5.17)

dxxh

hh ·12

∂∂

+= (5.18)

el balance queda como:

( )2

11

11

11

111

1

·············

······

dxxh

xT

xkdx

xh

xT

kdxxT

xhk

xT

hkxT

hk

dxxh

hdxxT

xxT

kxT

hk

∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

−=

=

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

−

(5.19)

Simplificando y despreciando los diferenciales de segundo orden, la expresión anterior queda reducida a:

dxxT

hx

khqhq ····· 2211

∂∂

∂∂

=− && (5.20)

y por tanto el incremento de energía por unidad de superficie y tiempo será

∂∂

∂∂

xT

hx

k ··

donde k se considera constante y por tanto puede entrar dentro de la derivada para que nos quede como se ha planteado en la ecuación 5.14:

∂∂

∂∂

xT

hkx

··

El fenómeno de difusión de calor debido a la turbulencia es debido a la entrada de agua en el volumen de control procedente de los volúmenes contiguos como consecuencia de la turbulencia del agua, entrada de agua que se añadirá a la que ya se da por el propio movimiento de la corriente, reflejado en el término convectivo. No obstante, no se puede tratar junto con la convección porque el movimiento asociado a la turbulencia tiene velocidades que son nulas en su valor medio, debido al movimiento en forma de


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remolino, pero comporta un intercambio de masa que llevará asociado un intercambio de energía.

Esté fenómeno vendrá regulado por el parámetro de viscosidad turbulenta que se ha introducido anteriormente Tν , y que está relacionado con la energía cinética turbulenta y con la disipación de energía por viscosidad 0ε mediante la expresión:

0

2

·01,0ε

νK

T = (5.21)

Este parámetro relaciona la energía turbulenta con la cantidad de energía disipada en forma de calor.

Para que dimensionalmente tenga el mismo significado que la conductividad térmica conviene multiplicar por la densidad y el calor específico de la corriente, ya que la K tiene unidades de energía por unidad de masa y la 0ε de potencia por unidad de masa,

con lo cual Tν vendrá dado en s

m 2

. Se ve que efectivamente:

Km

WKms

JKkg

Jmkg

sm

······

3

2

==

que son las unidades de la conductividad térmica.

Lo que ocurre en este proceso es que debido a la turbulencia entra agua al volumen de control que estará a otra temperatura, la correspondiente al volumen de control contiguo. Esta entrada de agua comportará un cambio de energía proporcional a la diferencia de temperaturas entre los dos volúmenes de control, introduciendo así una primera derivada respecto de x. Como se está realizando un balance dentro de nuestro volumen, éste balance vendrá dado por la medida en que varíe la turbulencia de una cara a otra del volumen de control, con lo que aparecerá una segunda derivada respecto de la posición, de forma totalmente análoga a lo expuesto al tratar la conducción.

En este caso la viscosidad turbulenta no puede ser considerada como constante, como se ha hecho en el caso de la conductividad térmica, ya que depende de la energía cinética turbulenta, que es una de las variables del sistema que resolvemos con lo que, evidentemente, estará variando. Por este motivo este término quedará dent ro de la derivada tal como se ha expuesto en la ecuación propuesta:

( )

∂∂

∂∂

xT

hcx T ·νρ

que sumándole la contribución de la conducción quedará como:

( )

∂∂

+∂∂

xT

hckx T ·νρ


56

Por último, dentro de la ecuación propuesta se encuentra el término que introduce el incremento de energía asociado a la disipación de calor por viscosidad, que vendrá regido por el parámetro 0ε . Conviene recordar que este parámetro tiene significado de energía por unidad de masa y tiempo por lo que al multiplicarlo por la densidad pasará a ser una energía disipada por unidad de volumen y al añadirle el calado, se obtiene energía por unidad de superficie y tiempo, idénticas unidades que las de los términos restantes de la ecuación.

Este parámetro 0ε depende de la energía cinética turbulenta y del calado como se ha expuesto anteriormente al presentar el resto de las ecuaciones del sistema.


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EXPRESIÓN DE LAS ECUACIONES EN FORMA LAGRANGIANA

Las ecuaciones que se han expuesto anteriormente están en forma euleriana y describen la mecánica de una corriente de densidad a medida que pasa por un volumen de control, por tanto, fijo en el espacio.

El siguiente paso es transformar estas ecuaciones a su forma lagrangiana, a partir de la cual el programa Bang 1D establece un esquema explícito de diferencias finitas para resolver el sistema. Esta forma lagrangiana de las ecuaciones describe el mismo fenómeno pero desde un punto de vista material, es decir, siguiendo el movimiento de una partícula.

1. Ecuación de continuidad del fluido

w

h Uhe U

t x∂ ∂

+ =∂ ∂ w

h h UU h e U

t x x∂ ∂ ∂ ⇒ + + = ∂ ∂ ∂

w w

h h U Dh UU e U h e U h

t x x Dt x∂ ∂ ∂ ∂

⇒ + = − ⇒ = −∂ ∂ ∂ ∂

(5.22)

2. Ecuación de continuidad del sedimento

( )0s s

Ch UChW E r C

t x∂ ∂

+ = −∂ ∂

( )0s s

C h C Uhh C Uh C W E r C

t t x x∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂

( )0s s

C C h Uhh U C W E r C

t x t x∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂

( )0s

s w

WDCE r C Ce U

Dt h⇒ = − −

(5.23)

3. Ecuación de balance de la cantidad de movimiento

2 22*

12

Uh U h ChRgChS Rg u

t x x∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

22*

12

U h Uh U Chh U U Uh RgChS Rg u

t t x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + + + = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

22*

12

U U h Uh Chh U U RgChS Rg u

t x t x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + + + = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

222*1

2we UuDU Rg Ch

RgCSDt h x h h

∂⇒ = − − −

∂ (5.24)

4. Ecuación de balance de la energía cinética turbulenta

( )2 3* 0 0

1 1 12 2 2w s w s s


t xε

∂ ∂+ = + − − − − −

∂ ∂


58

( )2 3* 0 0

1 1 12 2 2w s w s s

K h K Uhh K Uh K

t t x xK K h Uh

h U Kt x t x

u U U e h RgWCh RgChUe RghW E r Cε

∂ ∂ ∂ ∂⇒ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = + + + = ∂ ∂ ∂ ∂

= + − − − − −

2 3*

0 0

11 12 ( )2 2

w

s w s s w

u U U eDK KRgWC RgCUe RgW E r C e U

Dt h hε

+⇒ = − − − − − −

(5.25)

En las ecuaciones 5.23, 5.24 y 5.25 se ha utilizado la forma local de la ecuación de continuidad del fluido para transformar las ecuaciones a su forma lagrangiana.

Forma lagrangiana de la ecuación de balance de la temperatura:

Para los razonamientos que aparecen de aquí en adelante, se partirá de la base de que los términos asociados a la difusión y a la disipación de calor por viscosidad son despreciables frente a los términos relacionados con la entrada de agua y sedimento procedentes del exterior, con lo cual la ecuación en su forma local quedaría como:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 *w s s s s

chT chTUe U c T c w E r C T

t xρ ρ

ρ ρ∂ ∂

+ = + −∂ ∂

(5.26)

( )0 0 0 0 *w s s s s

c h TchT hT c T ch

t t t tc Uh T

chTU hTU c T cUh e c T U c w E r C Tx x x x

ρρ ρ ρ

ρρ ρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂⇒ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + = + −∂ ∂ ∂ ∂

( )0 0 0 0 *w s s s s

c c h Uh T TchT U hT U cT ch U

t x t x t x t x

e c T U c w E r C T

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + −

( )0 0 0 0 *w w s s s s

D Dc DTchT hT cTe U ch e c T U c w E r C T

Dt Dt Dtρ

ρ ρ ρ ρ ρ⇒ + + + = + − (5.27)

Si de aquí se aisla la derivada total de la temperatura:

( ) ( )0 0 0 0 *w s s ss

e U c wDT T Dc T Dc T cT E r C T

Dt ch ch c Dt Dtρ ρ

ρ ρρ ρ ρ

= − + − − − (5.28)

El siguiente paso es poner las derivadas totales del calor específico y de la densidad en función de las derivadas totales de la concentración, que ya interviene en otra de las


59

ecuaciones, y de la temperatura, para que de esta forma se tenga la derivada de la temperatura en función de variables conocidas, y se pueda en el esquema explícito de diferencias finitas, la temperatura del instante siguiente en función de parámetros ya calculados correspondientes al instante anterior.

- DDt

ρ en función de

DCDt

y DTDt

:

Conviene recordar que la concentración C que se usa como variable en este problema significa un tanto por uno de volumen de sedimento respecto del volumen total. Por lo tanto para poner la densidad en función la concentración se seguirá el siguiente razonamiento:

Por un lado, el producto sCρ significa la masa de sedimento partido por volumen total. Por otra parte la relación entre volumen de agua y volumen total será 1-C, y por lo tanto

( )1a Cρ − es la masa de agua partido por el volumen total. Se concluye, por tanto, que la densidad de la corriente (masa total/volumen total) será:

( )1s aC Cρ ρ ρ= + − (5.29)

La derivada total de la densidad respecto del tiempo será, a partir de esta expresión:

( ) ( )1as a

DD DCC

Dt Dt Dtρρ

ρ ρ= − + − (5.30)

La densidad aρ que aquí aparece es la densidad del agua de la corriente de densidad. Conviene diferenciarla de las otras densidades que aparecen en el problema como son ρ (densidad total de la corriente), 0ρ (densidad del agua exterior a la corriente) y sρ (densidad del sedimento).

Este parámetro aρ será función de la temperatura y por tanto la derivada aDDtρ

quedará

en función de DTDt

. En el apartado anterior se han ajustado los datos de la densidad para

diferentes temperaturas a una función parabólica obteniendo el siguiente resultado:

20,064 0,0416 999,92a T Tρ = − + + (5.31)

De aquí en adelante se usará la siguiente notación:

0,064

0,0416999,92

abd

= −==

De ello se deriva que:


60

( )2aD DTaT b

Dt Dtρ

= + (5.32)

Definitivamente, la derivada de la densidad de la corriente quedará como:

( ) ( ) ( )2 1s a

D DC DTaT b C

Dt Dt Dtρ

ρ ρ= − + + − (5.33)

donde aρ viene descrita en función de T por la parábola ya comentada.

Cabe notar que, así como se ha considerado la densidad del agua de la corriente de densidad como dependiente de la temperatura, ya que en ello se basa el fenómeno que se está estudiando, no se ha hecho lo mismo con la densidad del sedimento, que se ha considerado constante porque varía mucho menos con la temperatura que la del agua.

- DcDt

en función de DCDt

:

El calor específico es la energía aportada para elevar en un grado la temperatura de una unidad de masa. A partir de esta idea se sigue el siguiente razonamiento para escribir el calor específico en función de la concentración de sedimento y de los calores específicos de éste y del agua:

El producto s sc Cρ es energía partido por volumen total, destinada a calentar el

sedimento presente en el agua. De forma análoga, ( )1a ac Cρ − es también energía partido por volumen total, pero en este caso destinada a calentar el agua de la corriente. La suma de estas dos cantidades ( )1s s a ac C c Cρ ρ+ − es por tanto la energía aportada por unidad de volumen de la corriente de densidad para elevar en 1 ºC la temperatura de la misma. Si se divide todo ello por la densidad, quedará la energía por unidad de masa para producir un incremento unitario de temperatura, que es precisamente la definición de calor específico. Por tanto, según este razonamiento, la expresión del calor específico de la corriente de densidad queda:

( )( )

11

s s a a

s a

c C c Cc

C Cρ ρρ ρ

+ −=

+ − (5.34)

En las ecuaciones necesitamos conocer la derivada DcDt

, que quedará expresada como:

( ) ( ) ( )

( ) 2

1

1

aa s s a s a s

s a

D DCc c C C c cDc Dt DtDt C C

ρρ ρ ρ

ρ ρ

− − − − =

+ − (5.35)

Observemos que los calores específicos del agua y del sedimento se han adoptado como constantes, despreciando posibles dependencias que puedan tener con la temperatura.


61

Dado que ca > cs, se observa que un incremento de la densidad del agua o una disminución de la concentración de sedimento, procesos que representan un aumento de la cantidad de agua frente a la de sedimento, hacen aumentar el calor específico. Esta idea es coherente con la relación entre los calores específicos de agua y sedimento.

Si se introducen las dos expresiones encontradas para DDt

ρ y

DcDt

en la ecuación de

DTDt

se obtiene el siguiente resultado:

[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

2

*

1 2

1

1 2

w s s ss

a s s a s a s

s a

s a

e U c wDTc T cT E r C T

Dt ch chDT DC

c c C C aT b c cT Dt Dtc C C

T DC DTC aT b

Dt Dt

ρρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ

= − + − −

− − + − − − −

+ − − − + − +

(5.36)

Aislando de aquí la derivada de la temperatura obtenemos:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

[ ] ( )

( )( )

( )

2

0 0 0 0

2

1·

1 21 1 2

1

*

·

1

a s s

s a

w s s sS

a s a ss a

s a

DTDt c c C C aT bT T

C aT bc C C

e U c wc T cT E r C T

ch ch

c cT T DCc DtC C

ρρρ ρ

ρρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ ρ

ρρ ρ

=− − + + + − +

+ − − + − + − + − − + −

(5.37)

donde los parámetros no definidos anteriormente son:

- 2a aT bT dρ = + + es la densidad del agua

- ( )

( )1

1s s a a

s a

c C c Cc

C Cρ ρρ ρ

+ −=

+ − es el calor específico de la corriente

- ac es el calor específico del agua - sc es el calor específico del sedimento

Con el fin de verificar la coherencia de estas ecuaciones se estudia una situación relativamente sencilla en el apartado siguiente.


62

ESTUDIO DE LA EVOLUCIÓN DE LA TEMPERATURA EN AGUA EN REPOSO. CORRECCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA CORRIENTE DE DENSIDAD

Esta va a ser la situación particular que se utilizará para verificar si las ecuaciones propuestas son coherentes con lo que la evidencia física dice que ha de suceder.

Si se tiene un recipiente con agua en la que hay una cierta concentración de sedimento y el sistema está en reposo, ocurrirá que el sedimento irá depositándose con una cierta velocidad de caída dependiendo de su diámetro, de forma que la concentración del mismo irá disminuyendo. Considerando que agua y sedimento estén inicialmente a la misma temperatura, ésta no debe cambiar a medida que el sedimento se vaya depositando.

Se tratará de verificar este hecho a partir de la ecuación 5.26 para la temperatura propuesta en el apartado anterior:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 *w s s s s


t xρ ρ

ρ ρ∂ ∂

+ = + −∂ ∂

Teniendo en cuenta que el sistema está en reposo, la ecuación anterior queda simplificada, ya que tanto U como Es se anulan y que el sedimento se deposita a temperatura T:

( )

0 s s s

chTr C c w T

tρ

ρ∂

= −∂

(5.38)

Si se desarrolla el término de la izquierda de la igualdad se obtiene que:

0s s s

c h TchT hT cT ch cTrCw

t t t tρ

ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = −∂ ∂ ∂ ∂

(5.39)

Si esta ecuación es coherente con la idea de que en la situación planteada la temperatura no debe cambiar, debe cumplirse la siguiente relación:

0s s s

c hchT hT cT cTrCw

t t tρ

ρ ρ ρ∂ ∂ ∂

+ + = −∂ ∂ ∂

(5.40)

A continuación se escriben las tres derivadas parciales que aparecen, teniendo en cuenta las condiciones de reposo y temperatura constante. Aprovechando las expresiones de las ecuaciones 5.29 y 5.34 se obtienen los siguientes resultados:

( )s a

Ct tρ

ρ ρ∂ ∂

= −∂ ∂

(5.41)

( )

( ) 21

a s a s

s a

Cc cc tt C C

ρ ρ

ρ ρ

∂− −∂ ∂=∂ + −

(5.42)


63

Para escribir la derivada ht

∂∂

se utiliza el siguiente razonamiento. El calado baja como

consecuencia del volumen de sedimento que se pierde por unidad de tiempo. La velocidad de caída ws se puede interpretar como el volumen total que se saldría por la cara inferior de la corriente de densidad por unidad de superficie y por unidad de tiempo. Por tanto el producto 0sw r C es el volumen de sedimento por unidad de superficie y tiempo que se está perdiendo. El factor r0 se introduce, igual que en el resto de ocasiones en que aparece, para reflejar que en el fondo hay una mayor concentración que en el promedio de la altura de la corriente de densidad. En definitiva, se concluye que:

0s

hw r C

t∂

= −∂

(5.43)

Dado que en las derivadas de la densidad y el calor específico aparece Ct

∂∂

, conviene

desarrollar este término en las condiciones de la situación que ahora se estudia:

( )0 0

0 01

s s s

s s

Ch UCh ChW E r C W r C

t x tC h C C

h C W r C W r Ct t t h

∂ ∂ ∂+ = − ⇒ = − ⇒

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ −

⇒ + = − ⇒ = −∂ ∂ ∂

(5.44)

Se obtiene una variación negativa, como corresponde a que se está depositando sedimento. Con estas consideraciones la verificación a realizar queda como:

( )( )

( )( )0 0 02

0

1 1

1

a s a s

s a s s s

s a

s s s

Cc cC CtchT W r C hT W r C cT w r C

h hC C

cTrCw

ρ ρρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

∂−− − ∂− − + + − =

+ − = −

(5.45)

Los cálculos se detallan en el anejo 3 y el resultado de la comprobación es satisfactorio.

En este punto conviene hacer la siguiente consideración: para la verificación anterior, se ha considerado una variación del calado como consecuencia del balance erosión-deposición de sedimento. Esta contribución no se tiene en cuenta en la ecuación de continuidad 5.1 propuesta por Gary Parker y que aparecen en el apartado anterior. Probablemente no sea un término cuantitativamente importante, pero para que el sistema de ecuaciones sea coherente con la comprobación realizada, se ha modificado la ecuación de continuidad teniendo en cuenta la contribución del balance de sedimento comentado.

Esta medida comportará un cambio en todas las ecuaciones escritas en forma lagrangiana, dado que en la transformación de la forma local a material se usa la ecuación de continuidad.


64

Las nuevas ecuaciones quedan de la siguiente manera:

- Forma local:

( )0w s s

h Uhe U W E r C

t x∂ ∂

+ = + −∂ ∂ (5.46)

( )0s s

Ch UChW E r C

t x∂ ∂

+ = −∂ ∂

(5.47)

2 22*

12

Uh U h ChRgChS Rg u

t x x∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

(5.48)

( )2 3* 0 0

1 1 12 2 2w s w s s


t xε

∂ ∂+ = + − − − − −

∂ ∂ (5.49)

( ) ( ) ( )0 0 0 0 *w s s s s


t xρ ρ

ρ ρ∂ ∂

+ = + −∂ ∂

(5.50)

- Forma lagrangiana:

( )0w s s

Dh Ue U W E r C h

Dt x∂

= + − −∂

(5.51)

( ) ( )0

11s s w

DCW E r C C e UC

Dt h= − − − (5.52)

( )( )2

2* 0

1 12 w s s

DU ChRgChS Rg u U e U W E r C

Dt h x ∂

= − − − + − ∂ (5.53)

( ) ( )( )2 2* 0 0 0

1 1 12 2w s s s w s s

DKu U U e h RgWCh RghW E r C K e U W E r C

Dt hε = + − − − − − + −

(5.54)

( ) ( ) ( )0 *0 0 0

s sws s

W E r Ce UDT T D T Dcc T cT c T cT

Dt ch ch Dt c Dtρ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

−= − + − − −

(5.55)

En esta última ecuación los dos últimos sumandos se pueden desarrollar tal como se hizo en el apartado anterior.

No obstante, antes de introducir la ecuación en el programa Bang1DT para el posterior cálculo, se puede reducir esta expresión mediante el siguiente razonamiento.


65

Si se considera la situación en que la temperatura del ambiente y la del sedimento coincidan con la de la corriente, tiene que ocurrir que en esas condiciones la temperatura no varíe, es decir:

( ) ( ) ( )0 *0 0 0 0s sw

s s

W E r Ce UDT T D T Dcc T cT c T cT

Dt ch ch Dt c Dtρ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

−= − + − − − =

(5.56)

Volviendo a la ecuación 5.55, si llamamos:

( )( )

0 0 0

* * *

T T T T T T

T T T T T T

= + − = + ∆

= + − = + ∆ (5.57)

Se puede reescribir la ecuación como:

( )( ) ( ) ( )( )0 *0 0 0

s sws s

W E r Ce UDT T D T Dcc T T cT c T T cT

Dt ch ch Dt c Dtρ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

−= + ∆ − + + ∆ − − −

(5.58)

Teniendo en cuenta 5.56, la ecuación anterior se reduce a:

( )

( ) ( ) ( )

0 *0 0 0

*0 0 0 0

1

s sws s

w s s s s

W E r Ce UDTc T c T

Dt ch ch

e U c T T W E r C c T Tch

ρ ρρ ρ

ρ ρρ

−= ∆ + ∆ =

= − + − −

(5.59)

Esta será la expresión que se utilizará para introducirla en el programa Bang1DT.


66

PROGRAMA DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA CORRIENTE DE DENSIDAD: BANG 1DT

Con el objetivo de estudiar el fenómeno de las corrientes de densidad y su posible relación con el evento de Flix, se ha utilizado el programa Bang 1D, que ha sido probado con datos experimentales dando unos resultados aceptablemente buenos, suficiente para el estudio que aquí se quiere realizar.

Este programa trabaja con las variables integradas sobre la altura, es decir que los valores de las variables en los nodos son en realidad el resultado de la siguiente operación, que se expone aquí para la velocidad:

∫= dzuh

U ·1

(5.60)

Las ecuaciones aparecen en el apartado anterior son las utilizadas por el programa, juntamente con las expresiones expuestas para cada parámetro (ecuaciones de cierre), para resolver el problema de la evolución de la corriente de densidad.

El movimiento de la corriente de densidad se simula en un número fijado de nodos y a lo largo de pasos discretos de tiempo. El programa presenta por defecto un perfil de fondo formado por un plano inclinado de pendiente a introducir, seguido por un plano horizontal. No obstante, puede modificarse este perfil para adaptarlo a una situación concreta, sin más que modificar una parte concreta del código.

Después de inicializar la corriente, el programa resuelve las ecuaciones por medio de un esquema de diferencias finitas explícitas de primer orden y hacia adelante en el tiempo. Respecto la variable espacial el esquema es centrado en el cuerpo de la corriente, hacia delante en el frente y hacia detrás en la cola.

En cada paso de tiempo el programa sigue la siguiente secuencia:

1. Se resuelven los términos de la velocidad, la energía cinética turbulenta y la concentración de sedimento en el instante de tiempo i + 1.

2. Las velocidades procedentes de la ecuación de balance de la cantidad de movimiento se estabilizan usando una viscosidad artificial. De esta forma se suavizan las oscilaciones numéricas que provienen de las aproximaciones del esquema de diferencias finitas.

3. Las velocidades estabilizadas se usan para cambiar las posiciones de los nodos. 4. Con las nuevas posiciones de los nodos se actualizan las alturas de la corriente

en los nodos, de forma que se conserva el volumen de la corriente. 5. Se modifica el perfil del fondo evaluando la erosión y deposición del sedimento

causados por la corriente en cada instante de tiempo. Para ello usa la ecuación de Exner:

( )1 0p

Ch UCht t xη

λ∂ ∂ ∂

− + + =∂ ∂ ∂

(5.61)

Con la ecuación del balance de la concentración de sedimento 5.2 puede reescribirse como:


67

( )0

11 s s

p

W r C Etη

λ∂

= − ∂ − (5.62)

donde η es la cota del fondo y pλ la porosidad del sedimento.

Los cambios en la elevación del fondo calculados en los nodos se usan para confeccionar el nuevo perfil por interpolación lineal.

6. Por último el programa actualiza los valores de las variables para el nuevo instante de tiempo.

Para poder simular correctamente la corriente de densidad se deben especificar las condiciones de contorno. Bang 1D impone una altura nula de la corriente tanto en la cola como en el frente de la misma. Esto plantea un inconveniente en la resolución del problema, ya que la altura h está en el denominador de algunos términos de las ecuaciones lagrangianas que usa el programa. Esto se resuelve sustituyendo la altura de la cola y el frente por la altura de los puntos medios (entre nodos) adyacentes.

La condición de contorno para las velocidades considera el movimiento del frente de la corriente de densidad como un frente de choque y utiliza un número de Froude propuesto por Huppert y Simpson:

headhead

head head

UU

Rgh C= (5.63)

que adopta los siguientes valores

1/3

0 0,075 1,19

0,075 1 0,5

headhead

head headhead

hU

H

h hU

H H

−

≤ ≤ → =

≤ ≤ → =

(5.64)

donde headU y headC son la velocidad y la concentración de sedimento promediadas en

el frente de la corriente, headU es el número de Froude del frente de choque, headh es la altura de la corriente de densidad en el frente y H es la profundidad del agua en la que discurre la corriente de densidad.

De todas formas la condición de frente de choque solo puede comportar una disminución de la velocidad. Por tanto lo que hace el programa Bang 1D es aplicar la velocidad que sale de estas expresiones únicamente cuando sea menor que la velocidad que proviene del balance de la cantidad de movimiento.

En las situaciones en que la cola va hacia atrás suficientemente rápido para ser considerada una onda de choque, el código utiliza también esta condición de contorno para las velocidades.


68

Los inputs del programa son las condiciones iniciales de la corriente (longitud, altura, velocidad y concentración) y el número de nodos que utilizará el programa, así como la viscosidad artificial. Otros datos que se pueden introducir según la situación son el ratio de concentración en el fondo, el diámetro de grano y la velocidad y concentración mínimas que establecemos como límite para que el programa siga calculando.

El programa ofrece un fichero de resultado en el que aparecen las características de la corriente en cada nodo y cada instante de tiempo, es decir, la posición, la altura, la velocidad, la densidad y el balance de erosión. Se obtiene también un segundo fichero donde aparece la batimetría final, de forma que la podemos comparar con la inicial para evaluar la erosión y deposición globales de la corriente. El perfil por defecto en el programa Bang 1DT es el mismo que en el original Bang 1D. Consiste en una pendiente simple cuyo valor es un input del programa, que acaba una cierta distancia que también se puede introducir como dato.

Al plantear la ecuación que describe la evolución de la temperatura, se ha readaptado el código del programa, aunque sin cambiar la estructura global del mismo. En esta modificación aparecen como novedad las variables temperatura, densidad del agua, densidad de la corriente y calor específico de la corriente. Estas variables se han introducido según las ecuaciones 5.29 y 5.34. Además se ha pedido al programa que calcule la viscosidad turbulenta para verificar si las simplificaciones realizadas en la ecuación de temperatura son adecuadas. Esta comprobación ha resultado ser positiva.

Otra modificación realizada es la disminución del parámetro de viscosidad artificial, ya que con el valor que utiliza Bang1D para suavizar las ecuaciones iniciales, los resultados que se obtenían para la temperatura son incoherentes. La incoherencia consiste en que a pesar de que la temperatura del sedimento y del agua exterior sean superiores a la de la corriente de densidad, la temperatura de la misma empieza a bajar cuando acaba la pendiente introducida y el terreno pasa a ser llano.

Por último se han modificado también las ecuaciones que ya tenía el programa Bang1D según el razonamiento expuesto en el apartado anterior, que tiene en cuenta la entrada-salida de sedimento en la ecuación de conservación de masa.

Una vez probado el programa y obtenidos unos resultados razonables hemos introducido la batimetría concreta del embalse de Flix para estudiar el movimiento de una corriente de densidad en el ambiente concreto de la situación que se está estudiando en esta tesina.

Figura 5.5 Esquema de resolución de Bang 1D


69

RESULTADOS OBTENIDOS

El objetivo de este apartado es analizar el comportamiento de una corriente de densidad en diferentes condiciones. Las variables que se usarán para describir las diferentes corrientes de las que se modelará su comportamiento son:

- Pendiente

- Velocidad inicial

- Concentración inicial

- Temperatura ambiente

- Temperatura inicial

- Temperatura de sedimento

Para la exposición de los resultados el análisis se subdivide en cuatro apartados, de la siguiente manera:

- Apartado 1: se partirá de unas condiciones iniciales base que serán las siguientes

o Pendiente: 1,0 %

o Velocidad inicial: 1,0 m/s

o Concentración inicial: 0,05 (vol. sed/vol total)

o Temperatura inicial: 7,0 ºC

o Temperatura ambiente: 15,0 ºC

o Temperatura del sedimento: 15,0 ºC

A partir de aquí se variará independientemente cada uno de los parámetros manteniendo fijos los demás, para ver cómo afecta esa variación al comportamiento de la corriente.

- Apartado 2: en este apartado se calcularán siempre corrientes de dens idad sin concentración inicial de sedimento, con el objetivo de observar la influencia de los diferentes parámetros a la incorporación del mismo, que inevitablemente provendrá del fondo. Ello dará una idea de cómo las diferentes variables influyen en la erosión. De forma parecida al apartado anterior se irán modificando las variables, pendiente, velocidad inicial y temperatura inicial, para observar la evolución del comportamiento de la corriente.

- Apartado 3: en este apartado se ignorará la diferencia de temperaturas entre corriente y ambiente, tanto agua exterior como sedimento, y se estudiará el


70

comportamiento de la corriente bajo diferentes condiciones de pendiente, concentración inicial y velocidad inicial.

- Apartado 4: la particularidad de este apartado es que se modificará totalmente la batimetría, cambiando la pendiente simple que se había planteado hasta ahora por un perfil del fondo del embalse de Flix. De esta forma se podrá aproximar mejor el comportamiento de una corriente de densidad en la situación del problema tratado en esta tesina, y estimar la posible influencia de estos fenómenos en la erosión del fondo del embalse.

- Apartado 5: el objetivo de este último apartado es estudiar la influencia de la longitud inicial de la corriente de densidad en los efectos que produce desde el punto de vista de la erosión. Con ello la situación estudiada se aproximará más al comportamiento de una masa de agua procedente de un río, ya que en los ejemplos estudiados hasta ahora la longitud inicial adoptada era de 1000 metros. Se han introducido cuatro valores para la longitud inicial y ello nos da una idea de cómo evoluciona la erosión del terreno a medida que aumenta ese parámetro.

1. Influencia en el comportamiento de la corriente de densidad de las variables: pendiente, velocidad inicial, concentración inicial, temperatura inicial, temperatura ambiente y temperatura del sedimento.

1.1 Modificación de la pendiente

A medida que se aumenta la pendiente, los calados a los que llega la corriente son mayores. En el programa no se ha puesto ninguna limitación superior para esta variable, por lo que se obtienen alturas máximas de hasta 100 metros en el caso de una pendiente del 10 %. A medida que aumenta la pendiente se observa un cambio brusco en el ritmo de crecimiento del calado, que asociamos con la zona de cambio de pendiente. Por otro lado se observa un pico agudo para el calado máximo de la corriente cuando esta ha recorrido dos kilómetros a partir del cambio, y a partir de ese momento empieza a decaer por efecto de la disminución de la velocidad. Curiosamente no disminuye indefinidamente, si no que permanece de forma casi estacionaria en un calado de unos 30 metros.

El efecto sobre la evolución de la temperatura es prácticamente nulo, y para todas las pendientes adquiere una temperatura parecida a la del ambiente al cabo de unos 2000 metros. En todo caso se aprecia que para pendientes mayores se alcanza antes esa temperatura, pero la diferencia es prácticamente inapreciable.

A nivel de la erosión, se observa que en el caso de pendiente 0,1 % únicamente hay deposición en los instantes iniciales. Por otro lado, para pendientes mayores del 2 % la erosión-deposición es prácticamente la misma. Hay deposición en los instantes iniciales, debido a que la corriente no tiene suficiente energía para mantener el sedimento en suspensión, pero a partir del cambio de pendiente hay un tramo en que la corriente erosiona el terreno. A mayor pendiente avanza ligeramente el punto de máxima erosión.

1.2 Modificación de la velocidad inicial


71

A nivel de calados se observa que la corriente alcanza una misma altura a una menor distancia recorrida, a medida que aumentamos la velocidad inicial.

Los perfiles de la temperatura de la corriente tienen dos picos en los extremos en los instantes iniciales, que se van suavizando para dar lugar a una forma más redondeada. De todas formas, la relación entre la temperatura de la corriente y la velocidad inicial se puede resumir en que a mayor velocidad inicial se alcanza antes la temperatura ambiente, a lo largo de toda la longitud de la corriente.

Los perfiles de la velocidad tienen en común que la velocidad del frente de la corriente es mayor que la de la cola. En los instantes iniciales el punto de la corriente con mayor velocidad se encuentra en una posición intermedia, pero enseguida avanza hasta el frente. Se observa que cuando la corriente parte del reposo acelera hasta una velocidad máxima de 1,1 m/s, cuando parte de 2 m/s acelera ligeramente al principio para decelerar a continuación indefinidamente y por último cuando la corriente parte de 5 m/s se observa como frena bruscamente al principio, lo que quiere decir que la pendiente es demasiado pequeña para mantener esa velocidad (no compensa a las fuerzas de rozamiento).

Con respecto a la erosión, los resultados obtenidos ponen de manifiesto que siempre hay erosión en los instantes iniciales y deposición más tarde, y siempre aproximadamente en las mismas zonas. A mayor velocidad inicial se observa que tanto la erosión inicial como la deposición posterior se producen en mayor medida.

1.3 Modificación de la concentración inicial

Para concentraciones bajas de sedimento, la concentración se hace prácticamente nula al cabo de poco recorrido, por lo que el programa deja de calcular. Por otro lado, no se afecta una influencia importante de la concentración inicial a nivel de los calados. Se observa que la altura máxima de la corriente disminuye a medida que se aumenta la concentración inicial. Probablemente sea debido a que cuesta más proporcionar la energía potencial necesaria a la corriente cuando se encuentra más cargada de sedimento.

Se ha estudiado la evolución de la concentración mediante la variable densidad, de forma que a mayor densidad se corresponde mayor concentración de sedimento. Se observa que para los dos primeros valores (0,0005 y 0,005) en los instantes iniciales la densidad aumenta, para decrecer después a medida que avanza la corriente. Para concentraciones mayores a 0,05 la concentración desciende bruscamente en los instantes iniciales, mostrando una inestabilidad de esas grandes concentraciones bajo los valores adoptados para el resto de los parámetros.

En lo que respecta a la erosión-deposición, vemos que para concentraciones bajas el material se deposita de forma rápida, mientras que para grandes concentraciones hay un primer tramo en el que hay deposición, después pasa a haber erosión y más allá del cambio de pendiente hay un nuevo tramo de deposición.

1.4 Modificación de la temperatura inicial

No se observa una variación apreciable en la forma de la corriente de densidad a medida que varía la temperatura inicial de la corriente.


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Sobre el perfil de las temperaturas, la evolución es cualitativamente similar aunque, evidentemente, partiendo de orígenes distintos. En los instantes iniciales se observan dos picos en los extremos, que se van suavizando progresivamente para dar paso a una forma más redondeada que tiende a ser cuadrada para tiempos grandes.

Los perfiles del terreno finales tienen la misma forma en todos los casos, mostrando un pico de deposición en los instantes iniciales. Ello refleja poca influencia de la temperatura inicial en el arranque del sedimento, por lo menos para estos valores del resto de parámetros.

1.5 Modificación de la temperatura del ambiente

No se observa ninguna variación en la forma de la corriente de densidad a medida que variamos la temperatura del ambiente.

Tampoco se aprecia un cambio cualitativo en la evolución de los perfiles de temperatura, aparte del lógico cambio del límite al que tiende la temperatura. También de forma lógica se obtienen gráficas simétricas para los valores de 5ºC y 9ºC (la temperatura inicial de la corriente es de 7ºC)

1.6 Modificación de la temperatura del sedimento

A la vista de que los resultados con un sedimento a 0ºC eran similares a los de los subapartados anteriores, se ha intentado a partir de qué valor tenía influencia la temperatura del sedimento. No se han detectado cambios significativos hasta una temperatura de… ¡¡10000 ºC!!.

La conclusión que se puede extraer de ello es que la energía aportada por el sedimento a nivel de temperaturas no tiene influencia en la evolución de la corriente.

2. Influencia del resto de variables cuando la corriente no tiene concentración inicial

Se han estudiado primero tres casos de pendientes distintas (1%, 3% y 10 %) manteniendo fijos los valores de la velocidad inicial (1 m/s) y la temperatura inicial (7 ºC).

Posteriormente se han estudiado dos ve locidades iniciales distintas (1 m/s y 5 m/s) con pendiente y temperatura inicial fijadas a 1 % y 7ºC respectivamente. Dentro de este apartado se ha modelado también el caso de 5 m/s pero con pendiente al 5 %.

Por último se han estudiado dos valores distintos de la temperatura inicial (3ºC y 10ºC), con velocidad inicial (1 m/s) y pendiente de 1 %. Después se ha reproducido el caso de 3ºC para una velocidad inicial de 2 m/s y una pendiente del 5 %.

2.1 Modificación de la pendiente

Los calados evolucionan de forma similar a los del apartado 1.1, ya que únicamente cambia la concentración inicial. No obstante se observan algunas irregularidades para la pendiente de 10 % justo en el cambio de pendiente, que pueden ser debidas a la brusquedad del cambio de inclinación.


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A nivel de densidades se observa que para pendientes bajas hay un ligero aumento en los instantes iniciales, pero decrece por debajo de la inicial con el tiempo a consecuencia del incremento de temperatura. Para la pendiente del 10% la concentración aumenta mucho al principio, lo que indica una gran incorporación de sedimento. También se ve un ligero aumento de la misma después del cambio de pendiente, sobre todo en la zona de la cola de la corriente.

La evolución de la temperatura es similar en los casos de 1% y de 3%, y presenta unas irregularidades difíciles de explicar para 10% aunque la tendencia general es la misma.

En lo referente a las velocidades, se observa como a medida que la pendiente aumenta la temperatura disminuye más lentamente. Para pendientes altas la gravedad gana a las fuerzas contra el movimiento y la velocidad va aumentando hasta el cambio de pendiente, alcanzando más de 10 m/s en el caso de 10%. En el tramo llano se observa como la velocidad va disminuyendo, pero siempre manteniéndose mayor la del frente que la de la cola.

Por último, sobre la erosión se observa que se da sobretodo en los instantes iniciales, y en mayor medida cuanto mayor es la pendiente, como ya se intuía a partir de los resultados de la densidad.

2.2 Modificación de la velocidad inicial

Para velocidades pequeñas la corriente se frena antes y cuando llega a condiciones casi de reposo el calado va aumentando, sobretodo por la zona del frente. Para velocidades más altas este fenómeno se da de forma más lenta y no se exagera tanto el apuntamiento del frente.

A efectos de la temperatura se observa que aumenta más rápidamente cuando aumenta la velocidad inicial. Eso es debido a que entra más agua procedente del exterior, ya que conviene recordar que el coeficiente ew depende de la velocidad.

De la misma manera, una mayor velocidad inicial repercute en un mayor aumento de la concentración y la densidad en los instantes iniciales, ya que se produce más erosión.

Las dos velocidades iniciales propuestas son mayores que la de equilibrio para la pendiente adoptada. Por ello descienden bruscamente a partir del instante inicial, más acentuadamente en el caso de 5 m/s y siguen descendiendo de forma que la cola va más lenta que el frente, con el consecuente incremento de la longitud de la corriente.

Tal como indicaban las gráficas de densidad, en los primeros instantes se produce erosión, pero antes de llegar al final de la pendiente ya se produce deposición de sedimento.

Si se incrementa la pendiente manteniendo una velocidad de 5 m/s, la corriente se desplaza mucho más lejos y llega a calados mayores. La subida de la temperatura se produce de forma más brusca ya que las velocidades son mayores y entra más agua exterior a la corriente. La densidad aumenta mucho más paralelamente a un proceso de erosión que en este caso es ciertamente importante, ya que se lleva unos 30 cm de sedimento durante los 10 kilómetros de la pendiente.

2.3 Modificación de la temperatura inicial


74

De igual forma a como ha pasado anteriormente se observa poca influencia de la variación de la temperatura inicial en la evolución de la corriente de densidad, tanto a nivel de calados, velocidades y concentraciones, como a nivel del comportamiento cualitativo de la evolución de la temperatura.

3. Influencia del resto de variables cuando no hay diferencia de temperaturas entre la corriente, el ambiente y el sedimento

En este apartado se ha querido eliminar la influencia de la temperatura, aunque se ha visto que no es demasiado significativa en las consecuencias de la corriente de densidad una vez esta se ha iniciado.

Se han planteado los cálculos dividiendo en cuatro pendientes, 0%, 2%, 5% y 10%. Para cada una de ellas se han cogido concentraciones iniciales de 0,0 y de 0,2, y por último en cada una de las combinaciones se han cogido velocidades iniciales de 1, 3, 5 y 7 m/s.

Se expone a continuación la influencia de cada uno de los factores de forma cualitativa sobre la densidad o la concentración y sobre el balance erosión-deposición.

3.1 Influencia de la pendiente

A efectos de la concentración, se observa como un incremento en la pendiente hace que la concentración a la que tiende la pendiente con el tiempo vaya aumentando. De esa forma, cuando las pendientes son altas y la corriente parte sin concentración inicial, la tendencia a subir de la densidad perdura en el tiempo, en lugar de invertirse como ocurre cuando la pendiente es pequeña.

En lo referente a la erosión, cuando la concentración inicial es pequeña se produce erosión en los instantes iniciales y deposición posteriormente, y ambos procesos en mayor medida cuanto mayor es la pendiente. Si la concentración es muy alta únicamente se produce deposición de sedimento.

3.2 Influencia de la concentración inicial

En caso de iniciarse la corriente sin concentración inicial, esta sube en los primeros instantes, para bajar posteriormente a medida que va habiendo deposición. En cambio para concentraciones grandes (0,2 cm3 sed/cm3 total), la situación inicial es inestable y siempre disminuye la concentración, es decir, siempre hay más deposición que erosión. Esto significa que hay una cierta concentración inicial intermedia, que marca el límite entre esos dos tipos de comportamiento. De todas formas la concentración a la que tiende la corriente con el tiempo es la misma en los dos casos.

A nivel del perfil final del terreno se observa que, tal como se refleja a partir de la evolución de la concentración, cuando no hay concentración inicial hay un tramo en el que el terreno se erosiona, seguido de un tramo de deposición, de ese sedimento que se había levantado. Dicho de otra manera, la corriente provoca un transporte del sedimento.

3.3 Influencia de la velocidad inicial

Se observa un incremento de la densidad inicial a medida que se aumenta la velocidad inicial, aunque entre 5 y 7 m/s la diferencia en ese aspecto no es muy grande, cosa que


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hace pensar que por mucho que aumente la velocidad inicial, habrá un límite superior para la cantidad de sedimento que puede entrar a la corriente. Este límite aumenta a medida que la pendiente crece, pero llega un momento en que la máxima concentración se da en el instante inicial y a partir de ese momento sólo disminuye. Esto es lo que sucede para los casos de pendientes de 5% y de 10%.

A nivel de erosión, cuando la pendiente es nula, es mayor en el instante inicial y cuando la velocidad inicial crece. No obstante, a poca distancia se produce ya deposición. En cambio cuando cons ideramos una cierta pendiente la erosión se produce mientras dura la rampa, y en mayor medida cuanta más velocidad inicial. Curiosamente, la erosión es enorme para pendientes del 2%, mientras que no es tan importante para pendientes mayores.

4. Estudio de l comportamiento de una corriente de densidad sobre la batimetría del Embalse de Flix

En este apartado se ha introducido la batimetría del embalse de Flix en el programa Bang 1DT, con el objetivo de comprobar el efecto de una corriente de densidad en el embalse. De esta forma se podrán sacar conclusiones sobre la posibilidad de que este fenómeno pudiera ser el causante de la muerte de los peces en Flix.

A la vista de los resultados de los apartados anteriores, se han dejado fijas la temperatura ambiente y la del sedimento, adoptando un valor para las mismas de 15 grados. Por lo tanto los únicos parámetros que se han variado son la temperatura, la velocidad y la concentración iniciales. Para la temperatura se han cogido dos valores, 4ºC y 8ºC, y para la velocidad inicial otros dos, 1 m/s y 3 m/s. Para cada una de las cuatro combinaciones posibles con esos valores se han cogido tres valores para la concentración inicial: 0,0; 0,0002; 0,001 (volumen sedimento/volumen total). Esos valores corresponden a unas concentraciones de sedimento en mg/l de 0, 530 y 2650 respectivamente.

A continuación se puede ver la superposición de los tres perfiles de la topografía final para el caso de temperatura inicial 4ºC y velocidad inicial de 1 m/s y diferentes concentraciones iniciales. Se observa que siempre se produce erosión o deposición en las mismas zonas, pero la erosión es menor para una mayor concentración inicial y la deposición mayor para este mismo caso.


76

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

-3

m

eros

ion

(m)

Ci = 0,0

Ci = 0,0002

Ci = 0,001

Figura 5.6 Perfiles de erosión del fondo del embalse para diferentes concentraciones iniciales en el caso de velocidad inicial 1 m/s

En el caso en que la velocidad inicial es de 3,0 m/s, y con una temperatura inicial de 4 ºC, la superposición de los perfiles de erosión es la siguiente:


77

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

m

eros

ion

(m)

Figura 5.7 Perfiles de erosión del fondo del embalse para diferentes concentraciones iniciales en el caso de velocidad inicial 3 m/s

En este caso la concentración inicial prácticamente no influye en la erosión.

Si se observa la batimetría del terreno en la figura posterior, se puede ver que la erosión se produce en la zona ligeramente ascendente del embalse, mientras la corriente todavía tiene suficiente energía para arrancar el sedimento. En el caso en que la corriente lleva menos velocidad, el proceso de deposición empieza mientras la corriente todavía está subiendo, ya que a medida que la velocidad disminuye a valores próximos a cero, no hay energía ni para arrancar sedimento ni para mantenerlo en suspensión. Por el contrario se ve como en el caso en que la velocidad inicial es de 3,0 m/s, la corriente de densidad tiene suficiente energía como para que siga el proceso de erosión durante todo el tramo de subida, y además en mayor medida. La bajada brusca que se observa corresponde a un antiguo azud de derivación. Una vez la corriente cae al otro lado el proceso de deposición es inevitable y se acumula todo el sedimento que había sido arrancado, después de haber permanecido un cierto tiempo mezclado con el agua.


78

0 500 1000 1500 2000 2500 300030

31

32

33

34

35

36

m

cota

(m

)

Figura 5.8 Batimetría del embalse de Flix

Las gráficas correspondientes a las otras combinaciones de temperatura y velocidad iniciales, que se pueden observar en el anejo 5 de esta tesina, muestran tendencias similares a medida que aumenta la concentración inicial. De todas formas, cuando la velocidad inicial aumenta la influenc ia de la concentración inicial disminuye, siendo la erosión y la deposición prácticamente iguales para los valores de concentración inicial adoptados.

La comparación entre perfiles correspondientes a diferente temperatura inicial e iguales velocidad y concentración iniciales, muestran que ese parámetro no tiene prácticamente influencia en el comportamiento de la corriente de densidad.

5. Influencia de la longitud inicial de la corriente sobre la erosión total producida

El resto de variables se han dejado según los valores base adoptados como referencia en el apartado 1, es decir, una velocidad inicial de 1 m/s, una temperatura inicial de 4,0 ºC y concentración inicial de sedimento nula. Cuando se aumenta la longitud inicial de la corriente de densidad, se produce erosión hasta distancias mayores, y posteriormente la deposición del sedimento también se da más lejos del inicio. Se observa también como la máxima profundidad de erosión disminuye a medida que se aumenta la longitud pero aun así, la cantidad total de sedimento puesta en movimiento crece a medida que la corriente es de mayor tamaño. Todos estos efectos se pueden observar en la siguiente figura, que compara los efectos de corrientes de densidad de 500, 1000 y 1500 metros.


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0 500 1000 1500 2000 2500 3000-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

-3

m

eros

ion

(m)

L=500m

L=1000m

L=1500m

Figura 5.9 Perfiles de erosión para diferentes longitudes iniciales de la corriente de

densidad, velocidad inicial 1 m/s y concentración inicial nula Observación: por las condiciones del programa, no ha sido posible introducir corrientes de densidad de longitud superior a 2000 metros, ya que en esas condiciones la corriente excedía la longitud de la batimetría introducida par el embalse. No obstante sería interesante conocer el efecto de la entrada de masas agua fría de mayor longitud. Los estudios realizados en este apartado sirven únicamente para obtener una idea del comportamiento cualitativo de corrientes de densidad cada vez mayores.


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MOVILIZACIÓN DE CONTAMINANTE En este apartado se utilizan los resultados anteriores para realizar una estimación del contaminante que puede movilizar una corriente de densidad en el embalse de Flix. A la vista de los perfiles de erosión obtenidos para velocidades iniciales de 1,0 m/s y 3,0 m/s se puede estimar el volumen erosionado por unidad de ancho, que resulta ser:

Velocidad inicial (m/s) Volumen erosionado por unidad de ancho (m3/m)

1,0 1,5 3,0 18 Tabla 5.3 Volúmenes erosionados por unidad de ancho

Considerando una anchura de la corriente de 30 metros, esto supondría unos volúmenes movilizados de:

Velocidad inicial (m/s) Volumen movilizado 1,0 45 3,0 540

Tabla 5.4 Volumen total movilizado En la siguiente figura, extraída de un estudio para la gestión de los sedimentos contaminados del Embalse de Flix, se pueden observar las concentraciones de mercurio presentes en el fondo del embalse:

Figura 5.10 Concentraciones de mercurio en el fondo del Embalse de Flix

(Proyecto constructivo para la eliminación de la contaminación química en el embalse de Flix, Ministerio de Medio Ambiente)

A la vista de la figura se puede considerar una concentración media del sedimento afectado por la corriente de 200 mg/kg. Teniendo en cuenta una densidad del sedimento


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de 2,65 g/cm3, se obtienen las siguientes cantidades de mercurio movilizado para los casos anteriores:

Velocidad inicial (m/s) Masa de mercur io movilizada (kg)

1,0 23,85 3,0 286,2

Tabla 5.5 Masa de mercurio movilizada Se puede ver cómo para velocidades grandes, o considerando la posibilidad de una corriente de densidad de mayor anchura o que afectase un núcleo con mayor concentración de contaminante, las cantidades de mercurio movilizadas son del mismo orden que las que se estima que se pusieron en movimiento según los datos de concentración obtenidos y los cálculos realizados en el anejo 2. Conviene también tener presente que, en caso de que la masa de agua fría fuese de mayor longitud, la movilización total de contaminante sería mayor, tal como se ha visto en el apartado 5. A pesar de que los cálculos anteriores no dejan de ser una estimación, ya que se desconocen las condiciones concretas que se dieron en el momento de la muerte de los peces, sí que ponen de manifiesto que en determinadas condiciones puede producirse una resuspensión importante en el embalse de Flix. Dadas las concentraciones de contaminantes presentes en el fondo de este embalse, estos fenómenos suponen un riesgo importante para los seres vivos que habitan el medio y para las actividades de la zona. En el anejo 6 se pueden observar algunas figuras con la distribución de diferentes contaminantes, aunque la lista es mucho más extensa.


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CONCLUSIONES

- Las ecuaciones que modelan el comportamiento de una corriente de densidad, una vez considerada la introducción del sedimento en la ecuación de continuidad, son las siguientes:

o ( )0w s s

h Uhe U W E r C

t x∂ ∂

+ = + −∂ ∂

o ( )0s s

Ch UChW E r C

t x∂ ∂

+ = −∂ ∂

o 2 2

2*

12

Uh U h ChRgChS Rg u

t x x∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

o ( )2 3* 0 0

1 1 12 2 2w s w s s


t xε

∂ ∂+ = + − − − − −

∂ ∂

- Para estudiar la evolución de la temperatura se ha propuesto la siguiente ecuación, en la que se tienen en cuenta los procesos de entrada de agua y sedimento a diferente temperatura, los procesos de difusión asociados a la conductividad térmica y a la viscosidad turbulenta y el proceso de disipación de calor a causa de la viscosidad:

( ) ( ) ( ) ( )*

0 0 0 0 0w s s s s T

chT chTU Te U c T c w E r C T k c h h

t x x x

ρ ρρ ρ ρ ν ε ρ

∂ ∂ ∂ ∂ + = + − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ - Para los cálculos efectuados en esta tesina se han considerado despreciables los

términos de difusión y disipación por viscosidad - En el rango de temperaturas comprendido entre el punto de congelación y 20

grados, se ha adoptado una ley parabólica para la dependencia de la densidad con la temperatura:

o ( ) 20,0064 0,0416 999,92T T Tρ = − + + - La resolución de las ecuaciones se ha llevado a cabo con el programa Bang 1DT,

modificación del programa Bang 1D llevado a cabo por Gary Parker, que utiliza un esquema en diferencias finitas a partir de la forma lagrangiana de las ecuaciones expuestas anteriormente.

- Se han realizado correcciones sobre la ecuación de continuidad, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento y, lo más importante, se ha eliminado la viscosidad numérica aplicada a la concentración, dado que en caso contrario no se cumplía la condición de continuidad.

Conclusiones de los resultados:

- La diferencia de temperaturas entre dos masas de agua puede ser el desencadenante de un fenómeno de corrientes de densidad.

- Pese a poder ser el factor que inicie el fenómeno, los resultados muestran una influencia pequeña de la temperatura en los efectos cuantitativos de las corrientes una vez iniciadas, dado que una pequeña concentración de sedimento ya provoca el mismo gradiente de densidad que una diferencia de temperatura considerable.


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- El efecto de la pendiente es cualitativamente similar para todos los valores; se produce deposición en los instantes iniciales en que la corriente no tiene suficiente energía en suspensión y erosión más adelante y en el cambio de pendiente. Para valores superiores al 2% el resultado prácticamente no cambia.

- A mayores velocidades iniciales se produce una mayor erosión en los instantes iniciales y mayor deposición posteriormente.

- Las temperaturas del sedimento y del ambiente no influyen prácticamente nada en el comportamiento de la corriente de densidad.

- Utilizando la batimetría de Flix se observa un primer tramo en el que hay erosión, que corresponde con un tramo de pendiente ascendente, mientras que hay una zona bastante localizada donde se produce deposición. Esta zona se encuentra más o menos lejos dependiendo de la velocidad inicial.

- El parámetro más importante a tener en cuenta de cara a la movilización del sedimento es la velocidad inicial de la corriente.

- Con una velocidad de entrada elevada (3,0 m/s), el volumen de sedimento erosionado es de 540 m3 y corresponde a una cantidad de mercurio movilizada de unos 300 kg.

- A medida que aumenta la longitud inicial de la corriente de densidad, la cantidad total de sedimento movilizado es mayor.

- Además de movilizar mercurio, la resuspensión afecta a otros contaminantes presentes en el fondo del embalse como cromo, PCB’s y DDT’s.

PARTE 5. CORRIENTES DE DENSIDAD. INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA

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