Parcial II, Entrenamiento (Clase Diapositivas)

Preguntas Repaso Parcial II

U. Nacional

Octubre 28 de 2015

(U. Nacional) Octubre 28 de 2015 1 / 33

Preguntas de repaso para el segundo parcial deMatemticas Especiales

Tiempo Total = 1 horaNmero de preguntas 14Todas las preguntas tienen el mismo valorEn cada pregunta escoja solo una opcin de cuatro


Las siguientes preguntas hacen referencia a una cuerda de longitud L ydensidad lineal , la cual se encuentra atada en sus extremos, y sujeta auna tensin ja T . En el instante t = 0, la cuerda se encuentra en reposoy toma la forma de la funcin f (x). Denotemos por u(x , t) la funcin querepresenta la forma que asume la cuerda en el instante t. Una porcin decuerda, entre x y x + h, se muestra a continuacin, donde Th(x , t) yTv (x , t) denotan las tensiones horizontales y verticales en el punto x , y enel instante t.


1. Si cada punto de la cuerda solo se mueve verticalmente, entonces escierto que:

a. En algn instante t > 0 la cuerda deber retornar a su posicin incialf (x).b. La velocidad en direccin vertical de cada pequea porcin de cuerdapermanece constante.c. Th(x , t) cos (x , t) Th(x + h, t) cos (x + h, t) = 0.d. Ninguna de las anteriores.


JORGE MONTEROResaltado

Respuesta: (c)


2. Bajo las hiptesis enunciadas en el problema anterior es cierto que:

a. La funcin u(x , t) es una suma nita de funcionesun(x , t) = bn sin(npix/L) cos(nt), con n = cnpi/L, bn = constante,n 1.b. u(x , t) = f (x)G (t), donde f (x) representa la forma inicial de la cuerday G (t) es una cierta funcin, con G (0) = 1.c. Th(x + h, t) Th(x , t) ' (h) 2ux 2 (x , t), para todo x , t.d.Tv (x + h, t) Tv (x , t) ' (h) 2ut2 (x , t).



Respuesta: (d)


3. Una cuerda de longitud pi, tensin T y densidad se pone a vibrar,partiendo del reposo. Sea c =

pT/. Suponga que su forma inicial est

dada por la funcin f (x) = sin(x).

a. La funcin u(x , t) = sin(x) cos(ct) representa la vibracin de la cuerda.

b. La funcin u(x , t) =n=1

1n sin(nx) cos(nct) repesenta la vibracin de la

cuerda.c. u(x , t) =

n=1

1n sin(npix) cos(npict) repesenta la vibracin de la cuerda.

d. u(x , t) = 4pi2n=1

1n2 sin(nx) cos(nct) repesenta la vibracin de la

cuerda.



Respuesta: (a)


4. Sea f (x) = x , denida para L < x < L comof (x) =

1, si 0 < x < L

1, si L < x < 0 . Si la funcin se extiende de maneraperidica a toda la recta real, su serie de Fourier est dada por:

a. 16pi2

k=0

12k sin(

(2k+1)pixL ).

b. 4pik=0

1(2k+1)2 sin(

(2k+1)pixL ).

c. 4pik=0

12k+1 sin(

(2k+1)pixL ).

d. 4pik=0

1(2k+1) cos(

(2k+1)pixL ).



Respuesta: (c)


5. Una cuerda de densidad = 0.5 103 kg/m y longitud un metro seata a un pared, en uno de sus extremo. Cunto debe pesar un objeto queatado al extremo opuesto logre la tensin apropiada para que la cuerda alvibrar produzca la nota la central del piano (frecuencia = 440 Hz)? Nota:aqu la frecuencia se reere a la frecuencia de su modo fundamental.Tome g = 9.8 m/s2 como la aceleracin de la gravedad.

a. 12.5 kgb. 387.2 kgc. 39.51 kgd. Ninguna de las anteriores



Solucin (c): la frecuencia del modo fundamental est dada porf = c/2L. Luego c = 2Lf =

pT/. Elevando al cuadrado se obtiene

c2 = T/ = 4L2f 2, y por tanto T = 4L2f 2 = 387.2 N = m 9.8. Deaqu que m = 387.2/9.8 = 39.5 Kg.


6. Sea f (x) =

8

Solucin (c)


7. Sea f (x) = sin(x), 0 x pi. Si f se extiende de manera par alintervalo [pi,pi], y luego de manera peridica a toda la recta real, sudesarrollo en serie de Fourier sera: (

piR0sin(x) sin(mx)dx = sin(mpi)m21 ,

piR0sin(x) cos(mx)dx = cos(mpi)+11m2 )

a. 2pi 4pik=1

1(2k )21 cos(2kx).

b. 2pi 4pik=1

1(2k )21 sin(2kx).

c. 2pi 4pik=1

1(2k+1) cos(2kx).

d. 2pi 4pik=1

1(2k+1)2 cos(2kx).



Solucin (a)


8. Si el do central del piano tiene una frecuencia de f0 = 261.626 Hz, lafrecuencia del re que se encuentra inmediatamente a la derecha sera:

a. 2f0, donde = 21/12.b. 2f0, donde = 3/2.c. f0, donde = 21/12.d. f0, donde = 3/2.



Solucin (a)


9. La energa calrica de un man que se quema debajo de un recipienteque contiene 100 ml de agua destilada eleva la temperatura del agua de 20C a 47 C. Esto nos permite concluir que la energa calrica contenida enel man es aproximadamente:

a. 27 Joules.b. 27 caloras.c. 2.7 kilocaloras.d. 47 calorias.


Solucin (c)


10. En un cilindro homogneo de densidad (como se muestra acontinuacin) fabricado de un material cuyo calor especco es c y cuyaconstante de conductividad trmica en , la cantidad de energa calorcaque atraviesa la frontera de una rodaja de espesor h, entre los instantes t yt + t, est dada aproximadamente por:

a. (u/x)(x , t)A, donde A es el rea de la seccin vertical del cilindro.b. (u/x)(x + h, t)A, donde A es el rea de la seccin vertical delcilindro.

c. Acx+hRxu(x , t)dx , donde u(x , t) es la funcin temperatura.

d. At (u/x(x + h, t) u/x(x , t)) .(U. Nacional) Octubre 28 de 2015 22 / 33


Solucin (d)


11. La temperatura en una barra cilndrica de aluminio de longitud pimetros est dada inicialmente por f (x) = 100 C. Los extremos semantienen a temperatura ja T1 = 0 C, en el extremo izquierdo yT2 = 100 C, en el extremo derecho. Suponga que es el coeciente dedifusin para el aluminio. La funcin de temperatura u(x , t) est dada

por: (piR0x sin(mx)dx = sin(pim)pi cos(pim)m2 ,

piR0x cos(mx)dx = pim sin(pim)+cos(pim)1m2 .

a. u(x , t) = 100x + 100pin=1

sin(npi)n e

n2t

b. u(x , t) = 100pi x +200pi

n=1

sin(npi)n e

n2t

c. u(x , t) = 100pi x +200pi

n=1

cos(npi)n2 e

n2t

d. u(x , t) = 100pi x +200pi

n=1

sin(npi)n2 e

n2t



Solucin (b): Denimos l(x) = 100pi x . Resolvemos la ecuacin del calor,con eu(x , 0) = 100 l(x) con c.i. eu(0, t) = eu(L, t) = 0. la solucinbuscada ser entonces u(x , t) = eu(x , t) + l(x). Ahora,eu(x , 0) =

n=1bn sin(nx)e

2nt , n = npi/L = n.

bn = 2pipiR0(100 100pi x) sin(nx)dx = 200/npi.


12. Cul de las siguientes funciones, denidas inicialmente en [1, 1], ylas cuales se extienden de manera peridica a toda la recta real, sabemoscon seguridad admite una serie de Fourier convergente en cada punto de larecta real?a. f (x) = jsin(1/x)j, si x 6= 0 y f (0) = 0.



b. f (x) = jx j1/3.


c. f (x) = log jx j, si x 6= 0, f (0) = 1.

d. Ninguna de las anteriores.


Solucin: (d)


13. La ecuacin del calor para una barra cilndrica homognea de densidad, calor especco c y coeciente de conduccin trmica es:

a. c 2ut2 =

2ux 2

b. c ut = ux

c. c ut = 2ux 2

d. ut = 2ux 2



Solucin (c)


14. En el canto polifnico de Anna Mara Hefele, ella logra dar dos notassimultneas cuyas frecuencias son f0 y 3f0. Si f0 corresponde al do centraldel piano, cul sera la nota del piano equivalente a la segunda nota?

a. La nota mi.b. sol, una octava ms arriba.c. do, una octava ms arriba.d. La nota si.



Solucin (b): la nota sol, una octava ms arriba, tiene frecuenciaaproximadamente igual a 3f0.


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