Universidad Nacional de Colombia - Escuela de MatemáticasSolución del Primer Parcial de Geometría Vectorial y Analítica (25%)

Abril 16 de 2012

1. (Valor 30%)

Sean −→u , −→v y −→z vectores geométricos en el plano tales que: ‖−→u ‖ = 3 , ‖−→v ‖ = 5, ‖−→z ‖ = 6,dir(−→u ) = 30◦, dir(−→v ) = 150◦ y se sabe que dir(−→z ) > 270◦ y que −→z ⊥ −→u .

(a) ( 10 ) Dibuje, con el mismo punto inicial, todos los vectores descritos e ilustre geométri-camente la descomposición del vector −→z en las direcciones de los vectores −→u y −→v . Señaleclaramente cada vector en la ilustración anterior.

O 30,0 °

u

30,0 °

v

R

z

P

Q60,0 °

au

bv

z = au + bv con a < 0 y b < 0

120,0 °

30,0 °

Figura 1:

Observacion: Distribución de puntajes para el dibujo: 1 punto para el vector −→u , un puntopara −→v , 2 para −→z y 6 para la descomposición (cada vector y cada ángulo bien marcados)

(b) ( 20 ) Halle los escalares a y b tales que −→z = a−→u + b−→v

Método 1:

(3)

Como −→z ⊥ −→u y el segmento RQ es paralelo a −→u ,el triángulo OQR es rectángulo en R

y dado que el ángulo entre los vectores −→u y −→v mide 120◦,el ángulo OQR mide 60◦,por lo tanto el ángulo QOR mide 30◦

Luego, aplicando ley de senos en el triángulo OQR, y dado que−−→QR =

−−→OP = a−→u con a < 0,

−−→OR = −→z y

−−→OQ = b−→v con b < 0.tenemos:

(6)

∥∥∥−−→QR

∥∥∥sen 30◦ =

∥∥∥−−→OR

∥∥∥sen 60◦ =

∥∥∥−−→OQ

∥∥∥sen 90◦

‖a−→u‖sen 30◦ =

‖−→z ‖sen 60◦ =

‖b−→v ‖sen 90◦

1

O equivalentemente

(1)

{|a|‖−→u ‖sen 30◦ =

‖−→z ‖sen 60◦ =

|b|‖−→v ‖sen 90◦

De donde se deduce que:

(4)

{|a| = ‖−→z ‖sen 30◦

‖−→u‖sen 60◦=

6( 12)3(√

3

2

) = 2√3= 2

√33

(1) { y como a < 0, entonces a = −2√33 � −1.15

(4)

{|b| = ‖−→z ‖sen 90◦

‖−→v ‖sen 60◦= 6(1)

5(√

3

2

) = 12√3

15 = 4√35

(1) { y como b < 0, entonces b = −4√35 � −1.39

Método 2:(1) {Como dir(−→u ) = 30◦, dir(−→z ) > 270◦ y −→z ⊥ −→u , entonces dir(−→z ) = 300◦.

(2)

{

Luego,−→z = ‖−→z ‖ cos 300◦−→i + ‖−→z ‖ sen 300◦−→j

−→z = 6(12

)−→i + 6

(−12

√3)−→j = 3

−→i − 3

√3−→j

(2)

{ −→u = ‖−→u ‖ cos 30◦−→i + ‖−→u ‖ sen 30◦−→j−→u = 3

(√32

)−→i + 3

(12

)−→j = 3

√32

−→i + 3

2

−→j

(2)

{ −→v = ‖−→v ‖ cos 150◦−→i + ‖−→v ‖ sen 150◦−→j−→v = 5

(−√32

)−→i + 5

(12

)−→j = −5

√32

−→i + 5

2

−→j

(2)

{ −→z = a−→u + b−→v3−→i − 3

√3−→j = a

(3√32

−→i + 3

2

−→j)+ b

(−5

√32

−→i + 5

2

−→j)

(1)

{ −→z = a−→u + b−→v3−→i − 3

√3−→j =

(3√32 a− 5

√32 b)−→i +

(32a+

52b)−→j

Por unicidad de la descomposición canónica se tiene: (2)

{3√32 a− 5

√32 b = 3 ec (1)

32a+

52b = −3

√3 ec (2)

O equivalentemente:

{3a− 5b = 2

√3 ec (1)

3a+ 5b = −6√3 ec (2)

(4) {Sumando ec (1) + ec (1) obtenemos: 6a = −4√3, así que a = −4

√3

6 � −1.15(4) {Sustituyendo el valor de a en ec (1), se tiene 3

(−2√3

3

)−5b = 2

√3, luego 5b = −4

√3,

es decir, b = −4√3

5 � −1.39Observación: A la solución del sistema de ecuaciones, por cualquier método, se

le asignan 8 puntos (4 para cada escalar hallado correctamente).

2. (Valor 20%)

Sean A, B y C tres puntos no colineales. Sea E el punto medio del segmento AC y Q el punto

que divide el segmento BE de modo que‖BQ‖‖QE‖ =

3

2. Exprese el vector

−→AQ como combinación

lineal de−−→AB y

−−→BC.

(6){−→AQ = 2

5

−−→AB + 3

5

−→AE Por teorema de la proporción.

2

A

C

E

Q

B

3

2

Figura 2:

(4){−→AE = 1

2

−→AC por ser E el punto medio de AC.

(3){−→AQ = 2

5

−−→AB + 3

5

(12

−→AC

)= 2

5

−−→AB + 3

10

−→AC

(3){−→AC =

−−→AB +

−−→BC

(2){−→AQ = 2

5

−−→AB + 3

10

(−−→AB +

−−→BC

)

(2){−→AQ = 7

10

−−→AB + 3

10

−−→BC

1. (Valor 25%) Sean A =

(24

), B =

(76

)y C =

(102

).

(a) ( 10 ) Encuentre una ecuación en la forma vectorial paramétrica para la recta que contienela altura del triángulo ABC relativa al lado BC.

La recta L que contiene la altura del triángulo ABC relativa al lado BC es la recta quepasa por el vértice A y es perpendicular a la recta que pasa por B y C.

(4)

Un vector normal para la recta L es N = C −B

N =

(102

)−(76

)=

(3−4

)

(3)

{Luego, un vector director de L es D =

(43

)

(3)

Una ecuación vectorial paramétrica para la recta L esX = A+ tD; t ∈ R(

x

y

)=

(24

)+ t

(43

); t ∈ R

(b) ( 10 ) Halle una ecuación, en la forma general, para la recta que pasa por los puntos B y C.

(3)

Un vector director para la recta L1 que pasa por B y C es

D1 = C −B =

(102

)−(76

)=

(3−4

)

3

(2)

{Luego, un vector normal para la recta L1 es N1 =

(43

)

(2)

Una ecuación en la forma normal para la recta L1 es N1 ·X = N1 ·B(43

)·(

x

y

)=

(43

)·(76

)

(3)

{Una ecuación en la forma general para la recta L1 es

4x+ 3y = 46

(c) ( 5 ) Calcule la medida de la altura del triángulo ABC relativa al lado BC.Metodo 1 :

(2)

{La medida h de la altura del triángulo ABC relativa al lado BC es

la distancia del vértice A a la recta L1 que pasa por B y C

(3){h = |4(2)+3(4)−46|√

42+32� 5.2

Método 2:

(2){h =

∥∥∥−→CA

∥∥∥ senα donde α es el ángulo entre−→CA y

−−→CB

(2)

α = cos−1((A−C)·(B−C)‖A−C‖‖B−C‖

)= cos−1

−82

·

−34

∥∥∥∥∥∥

−82

∥∥∥∥∥∥

∥∥∥∥∥∥

−34

∥∥∥∥∥∥

= cos−1(

32

(2√17)(5)

)= cos−1 (0.77611) = 39.09◦

(1)

h =

∥∥∥−→CA

∥∥∥ senα = ‖A−C‖ senα =∥∥∥∥

(−82

)∥∥∥∥ sin (39.09◦)

= 2√17 sin (39.09◦) � 5.2

Método 3:

(5){h =

∥∥∥−→CA− proy−−→

CB

−→CA

∥∥∥Método 4:

(5)

{

h =

√∥∥∥−→CA

∥∥∥2

−∥∥∥proy−−→

CB

−→CA

∥∥∥2

2. Valor: 25%)

(a) Sea L la recta con ecuación x+ 3y = 0.

i) ( 5) Si P es la transformación proyección sobre la recta L, encuentre P

(x

y

)para cada

vector

(x

y

)∈ R2.

(1)

{La recta L es la recta generada por el vector D =

(−31

)

(2)

P

(x

y

)=

−31

·

x

y

−31

·

−31

(−31

)

(2)

{P

(x

y

)=−3x+ y

10

(−31

)=

(910x− 3

10y

− 310x+

110y

)

4

ii) (5) Si S es la transformación reflexión con respecto a la recta L, halle la imagen del vector(−1020

)bajo la trasformación S.

(2)

{S

(−1020

)= 2P

(−1020

)−(−1020

)

(2)

{S

(−1020

)= 2

(910 (−10)− 3

10 (20)− 310 (−10) + 1

10 (20)

)−(−1020

)

(1)

{S

(−1020

)=

(−3010

)−(−1020

)=

(−20−10

)

b. Sea T la transformación lineal del plano tal que T (−E1 + 2E2) =(

1−3

)y

T (E1 − 5E2) =(23

).

i) (10) Encuentre la matriz de la transformación lineal T{Las columnas de la matriz de T son los vectores T (E1) y T (E2).

(2)

Como T (−E1 + 2E2) =(

1−3

)y T es transformación lineal, se tiene:

−T (E1) + 2T (E2) =(

1−3

)ec (1)

(2)

Como T (E1 − 5E2) =(23

)y T es transformación lineal, se tiene:

T (E1)− 5T (E2) =(23

)ec (2)

(2)

De ec (1) + ec (2) obtenemos − 3T (E2) =(

1−3

)+

(23

)=

(30

)

Así, T (E2) = −13

(30

)=

(−10

)

(2)

{En ec (2) se tiene T (E1) = 5T (E2) +

(23

)= 5

(−10

)+

(23

)=

(−33

)

(2)

{Luego, la matriz de T es m(T ) =

(−3 −13 0

)

ii) (5) Halle T

(3−5

)

(5)

{T

(3−5

)=

(−3 −13 0

)(3−5

)=

(−49

)

5