PARCELADOR GRADO NOVENO.

SUCESIONES

Def. 1: Una sucesión infinita o simplemente sucesión es una función

Es decir, una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros no negativos.

Notación: , , ,

Obs.: de hecho, la sucesión es un conjunto de pares ordenados que por comodidad se

anota ó simplemente por donde es el n-ésimo término de la sucesión, indicando de paso cual es el término general de la sucesión.

Ej. 1)

2)

3)

4)

5)

Def. 2: Sea una sucesión en . Diremos que:

I) es convergente en

entonces y sólo entonces se dice que L es el límite de la sucesión cuando ,

lo que se anota ó simplemente

( es decir, una sucesión se dice que tiene límite podemos hacer el n-ésimo término de la sucesión tan próximo a L tomando n suficientemente grande)

II) es acotada superiormente

III) es acotada inferiormente

IV) es acotada es acotada superior & inferiormente

es acotada superiormente.

Obs.: 1) Si converge en el límite es único.

Ejemplo:

1) Probar

Dado un número debemos encontrar tal que Sea =0,02 donde donde se toma N = 51

Luego , o sea, se tiene que En general para este caso (pues no siempre esto se puede hacer) & como

podemos hacer que

2) Demostrar que

Sea ¿Para qué “n” es cierto que

Para , es decir, para cualquier número positivo , hay un número tal

que con y .

3) Demostrar que

Sea ;

tal que se tiene que

4) ¿Qué valor de n es necesario dar, para que en el el error sea del 2%?

Def. 3:

1) Se dice que una sucesión es monótona

no decreciente no creciente

2) Se dice que una sucesión es monótona estricta

Ejemplos: A B

S convergente L

S creciente monótona convergente

A L B

S decreciente monótona convergente

A L …. B

S limitada divergente

A B

Obs.: 1) Toda sucesión no convergente es divergente

2) Si y si la sucesión . es obtenida de

.

cambiando un número finito de términos

3) Si la sucesión es una subsucesión de . , i.e. una sucesión

obtenida de la sucesión convergente suprimiendo algunos términos (un número finito)

TEO. 1.1: Si una sucesión es convergente, entonces, cualquier subsucesión es convergente y tiene el mismo límite.

TEO. 1.2: Supongamos dos sucesiones convergentes &

donde & ENTONCES:

I)

II)

III) donde k es cte

IV) Si = =

V) = =

TEO. 1.3: Si f es una función continua en x = L y si

= L

Es decir,

Ej.: Calcular

TEO. 1.4: Sean sucesiones tal que para cualquier n suficientemente grande se

tiene que:

Si = = L , entonces la sucesión converge y además

= L

TEO. 1.5: Sea una sucesión real monótona

es sucesión convergente es sucesión acotada. como ejemplos veamos dos límites importantes:

I) = 0 para

II)

Demostración:

I) Si = 0

Suponiendo que . Sea > 0 dado. Debemos demostrar que para casi todas las n. Como , sabemos que

.

Luego tenemos que con b > 0. En consecuencia:

(se tiene que )

II) i) para x = 0 es obvio

ii) para . Sea m un número fijo, tal que .

Para n > m, tenemos

n - m términos n - m términos

=

=

Para n grande, , es tan pequeña como deseemos, por I.) pues

También lo es (pues c no depende de n), y también lo es (pues ).

Ejemplo: Halle el límite de la sucesión , n = 1, 2, . . .

Sol.: = 3

=

Ejemplo: Calcule

Sol.: por Teo 3 se tiene que

Ejercicio: Demuestre que

1) para cada a > 1, tenemos

2) para cualquier x ,

3) Calcule: a) b)

4) Demuestre que: a) para q > 0

b) para q > 0

Ejemplo: 1) Calcule el )

Sol.:

=

Ejemplo 2) Calcule el

Sol.: etc.

TEO 1.6: (Criterio de Cauchy de convergencia)

Consideramos una sucesión en Entonces es convergente en

Demostración: ver texto FULKS

SERIES

Def: Sean una sucesión real. A partir de ella podemos formar otra sucesión infinita:

, tal expresión se la llama serie infinita ó simplemente

serie. Los números definidos pero no especificados se llaman términos de la serie y se llama el n-ésimo término (o término general) de la serie.

La sucesión se llama sumas parciales de la serie. Si la sucesión S(1), S(2),. . .

S(n) , . . . . sumas parciales converge hacia un número S, diremos que S es la suma de los

infinitos términos de la sucesión ( ie S = S(n) =

)

Conclusión: Una serie es convergente la sucesión de sumas parciales es convergente

Ejemplo :

De hecho S(1) = 1 . . .

S(n) =

Obs.: en general , si tal que la serie Se llama serie geométrica, donde

& = S(n) =

=

Obs.: Una serie que NO converge se dice DIVERGENTE, veamos 2 clases de divergencia.

Caso I : Si , decimos que la serie diverge a +

Ejemplos: 1) 1 + 1 + 1 + 1 + . . . . + 1 + . . . . = + Serie.Divergente.2) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . = + Serie.Divergente 3) - 1 - 3 - 5 - 7 - . . . . = - Serie.Divergente4) Un ejemplo clásico de divergencia es la serie ARMÓNICA.

Demostración:S(1) = 1

.

.

.

> la serie parcial es divergente y

ésta serie es menor que la serie armónica la serie armónica es divergente.

Caso II : La serie diverge, pues su valor puede

ser 1 ó 0, según n sea par ó impar ( esto no se sabe)

TEO. 1.7: Sea una serie convergente

1) Si se elimina o se le agrega un número finito de términos, la (nueva) serie resultante es convergente.

2) Si en ella se altera un número finito de términos, la (nueva) serie resultante también es convergente.

TEO. 1.8.1 : (Condición necesaria para convergencia de series)

Si la serie converge = 0

Demostración:

Sea . Entonces

S(n)

Y también

S(n – 1)

además

Nota: El recíproco de este teorema es falso. Un contra ejemplo: es la serie armónica, pues

& la serie No converge.

8.2 Corolario: Si la sucesión no converge a 0, la serie no puede converger.

Ejemplo:

1) La serie diverge pues =

2) La serie ¿diverge ó converge?

Sol.: = de este resultado nada podemos decir

(de hecho, se verá que la serie diverge)

TEO. 1.8.3 :

1) Si

2) Si

cteskk 21 ,·

Obs.: del Teorema 1.8.3 vemos el carácter lineal de las serie convergentes por ejemplo:

TEO. 1.10.1 : (Criterio de comparación I )

a) Si (Serie Convergente)

entonces

(se dice que la serie domina a la serie )

b) Si & diverge &

entonces diverge.

Demostración: a) Sea

por hipótesis pero

puesto que , es acotada

existe &

(recordar: sucesión monótona & acotada sucesión convergente (Teo1.5 .)

b) Supongamos que es convergente, como por hip.

, sería convergente por a)

pero es divergente no puede ser convergente.

Ejemplo

1) Averiguar convergencia o divergencia de

Sol. :

& Serie armónica

& como la serie armónica es Serie Divergente es Serie Divergente

2) Averiguar convergencia de

Sol.:

(ver obs. Anterior después del teo 1.8.3)

de hecho

3) Averiguar convergencia de

Sol.:

& la serie es divergente (armónica)

es divergente.

4) Averiguar convergencia de

Sol.:

=

=

=

=

(Serie Convergente.)

Así : , , etc.

Nota: una serie se dice serie alternada

Ejemplo: es una serie alternada, pues

TEO. 1.10.2 : Sea una serie con términos positivos y negativos, si la serie de sus valores

absolutos es convergente, entonces , la serie dada ( ) es

convergente.

Dem.: Sea

es convergente pues es convergente

Sea (*)

Sea

es convergente pues es convergente

Sea (**)

Pero

la serie es convergente

Notas:

1) Cuando la serie con términos positivos y negativos cumple con el teorema 1.10.2

(anterior) entonces:

a) Si es convergente se dice que la serie es absolutamente convergente.

b) Si es divergente mientras que la serie converge, se dice que la serie

converge condicionalmente.

2) Una serie alternada es una de las tantas series que cumplen el teorema anterior.

Ejemplo:

Serie Divergente Serie condicionalmente

Convergente.

por otro lado como = ln ( 2), y

reordenando la serie da

ln (2) y reordenando la serie da

y reordenando la serie

da

ln(2) esto se debe a que la serie es

condicionalmente convergente ya que es divergente.

Por lo tanto, podemos comentar que: toda serie condicionalmente convergente puede converger a cualquier número real al efectuarle un reordenamiento de los términos de la serie, como se puede ver en el caso anterior.