PARCELADOR GRADO NOVENO

FUNCIONES:

Una función (f) es una regla o correspondencia  entre un elemento de un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) o y del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango).

La funciones se simbolizan con letras minúsculas tales como f,g,h entre otras.

Para de notar la función f definida del conjunto de partida X al conjunto de llagada Y, se escribe.

f : A→By se lee efe de A en B

Además f ( x )= y

Elementos de una función.

En una función f : A→B Se distinguen los siguientes elementos:

Una función de puede representar mediante un diagrama sagital así:

Dominio: Es el conjunto de partida de la función.

Codominio: es el conjunto de llegada de la función, se simboliza Dom f .

Rango: Es el conjunto formado por los elementos del codominio , que son la imagen de los elementos del dominio, se simboliza Ran f .

Grafo: Es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas (x , y) tales que x∈DOm f y y∈Ran f .

Representación de una función.

Fórmula: Es la expresión algebraica de la función, esta función se simboliza f ( x )= y donde x es la variable independiente que representa el dominio de la función, y f ( x )= y es la variable dependiente que representa el recorrido de la función.Tabla de valores: Es un arreglo en el cual se le asigna un valor a x y este al introducirlo a la función nos va un valor para y.

Gráfica: Es un diagrama cartesiano o sagital, en el cual se ubican los elementos del dominio en el eje horizontal y y los del recorrido en el eje vertical.

Método gráfico para identificar funciones.

Para probar si una gráfica representa una función, se traza líneas rectas verticales y se verifica que las rectas corten únicamente la gráfica en un solo punto.

Si la recta corta en más de un punto entonces la gráfica no representa una función.

Función Lineal y función afín.

Función Lineal

Toda función de la forma y=mx ,dondem, es una

constante diferente de cero, es una función lineal.

La representación gráfica de una función lineal en el plano es una línea recta no vertical que pasa por el origen como se muestra en la figura.Función afín.

Toda función de la forma y=mx+b ,donde m y b son constantes diferentes de cero, es una función afín.

Una función afín tiene como representación gráfica una línea recta que no pasa por el origen del plano cartesiano como se muestra en la figura.

Ejemplo: dada la función, Determinar si es lineal o afín.

y=x

Es una función afín.

Nota: la función afín es una variación de la función lineal, la cual podemos llamar también función lineal.

Línea recta:

En la ecuación y=mx+b , La constante m recibe el nombre de pendiente de la recta e indica la inclinación de esta respecto al eje positivo de las x.

Pendiente de una recta:

La pendiente de una recta que pasa por dos

puntos P (x1 , y1 ) yQ (x2 , y2 )se halla mediante la

expresión.

m=( y1− y2 )(x1−x2 )

O m=( y2− y1 )(x2−x1 )

Con x1 ≠ x2

El signo de la pendiente de una recta depende del ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x.

Si la pendiente de una recta es positiva es decir m>0 entonces la recta es creciente.

Si la pendiente de una recta es negativa es decir m<0 entonces la recta es decreciente.

Si la pendiente de una recta es cero, m=0, la recta es horizontal y la expresión algebraica será y=b, donde b es una constante.

La pendiente de una recta vertical no está definida, en este caso, la expresión algebraica será x=c ,donde c es una constante.

Ejemplo: calcular las pendientes de las rectas que pasa por los puntos:

a . (2 ,−5 ) , (6,1 )

b . (−3 ,−1 ) , (2 ,−2 )

Ecuación explicita de la recta.

La ecuación de la forma y=mx+b se llama ecuación explicita de la recta. A partir de la ecuación explicita de la recta se puede determinar la pendiente m y el punto de corte con el eje y que tiene coordenada (0,b).

Para encontrar la ecuación explicita de la recta es necesario:

Conocer la pendiente y el intercepto con el eje y.

En este caso, se remplaza el valor de m y de b en la ecuación y=mx+b

Cuando se conoce la pendiente y el punto.

Primero se reemplaza la pendiente y las coordenadas del punto dado en y=mx+b Para determinar el valor de b. por último se reemplaza el valor de m y b en la ecuación y=mx+b

Cuando se conocen dos puntos.Primero se halla la pendiente usando la fórmula de la pendiente con las coordenadas de los dos puntos, por último se toma la pendiente m y cualquiera de

los dos puntos conocidos, se halla el valor de b en la ecuación y=mx+b y se procede igual en el caso anterior.

Ejemplo 2.

Determina la ecuación de la recta con pendiente - 4 y que pasa por el punto (5,-3)

m=( y1− y2 )(x1−x2 )

Despejando y1 – y2 = m(x1 – x2)

y - (-3) = -4(x - 5) operando tenemos y + 3 = - 4x + 20Luego la ecuación pedida es   y = - 4x +17

Ecuación general de la recta.

La ecuación general de la recta es una expresión de la forma Ax + Bx + C = 0, donde A, B y C son números reales, y donde A y B no son ceros al mismo tiempo.

La ecuación general de la recta se puede despejar y obtenemos la ecuación explicita, así logramos tener la pendiente m y el intercepto con y.

Rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

Dadas dos rectas en un mismo plano puede ocurrir alguna de estas 3 situaciones.

Que sean paralelas, que sean perpendiculares o que sean secantes.Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.Es decir m1=m2

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir si m1m2=−1

Rectas secantes: Dos rectas son secantes si se cortan en un solo punto y no forman ángulos de 90 grados.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales, cada una de ellas con dos o más incógnitas.

Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2.Son un conjunto de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para resolver estos tipos de sistemas de ecuaciones de dos por dos, se pueden utilizar uno de estos métodos.

Método gráficoMétodo de sustitución.Método de igualación.Método de reducción.Método por determinante.

Al solucionar un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2, puede ocurrir una de estas tres situaciones:

Primera: que tenga única solución, es cuando es posible encontrar un valor para x, y y. es decir el punto de intercepción de las dos rectas.

Segundo: Que no tenga solución, es cuando las rectas nunca se tocan en ningún punto es decir son paralelas.

Tercero: Cuando tienen infinitas soluciones es decir cuando una recta esta sobre la otra es decir es la misma recta.

Método gráfico: El método gráfico consiste en gráficar las dos rectas y determinar el punto de corte es decir donde las tablas de valores de cada gráfica existe una pareja ordenada igual.

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN: Cuando poseemos dos incógnitas pero una de ellas se escribe en términos de la otra, en definitiva tenemos una sola variable, que podemos solucionar mediante operaciones algebraicas elementales.

Pasos para utilizar el método de sustitución para solucionar un sistema de ecuaciones lineales: 1. En una de las ecuaciones, despejamos una de las variables en términos de la otra. 2. Sustituimos ese valor o la expresión hallada en la otra ecuación, dejando una sola variable. Despejamos numéricamente la incógnita. 3. Remplazamos el valor hallado en la otra ecuación del sistema, y hallamos el valor correspondiente a la otra incógnita. 4. Verificamos los valores encontrados remplazándolos en cada ecuación.

Ejemplo: Si sabemos que la suma de las edades de Andrés y Sara es 27, pero la edad de Andrés es el doble de la de Sara, ¿Cuántos años tiene Andrés y Sara?

En este caso, si x es la edad de Andrés e y es la edad de Sara, entonces el problema se limita en encontrar los valores de estas variables con las condiciones:

x + y = 27 , x = 2y o bien x + y = 27 , x - 2y = 0 Remplazamos el valor de x = 2y en la primera ecuación y obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la cual podemos solucionar así:

X + y = 27 reemplazando tenemos: (2y) + y = 27 Resolvemos la ecuación restante que contiene una solo incógnita, 3y = 27 Despejando, y tenemos que: y = 27/3, entonces y = 9 De esta forma observamos que Sara tiene 9 años y para saber la edad de Andrés reemplazamos y = 9 en cualquiera de las dos ecuaciones entonces concluimos que Andrés tiene 18 años.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

MÉTODO POR IGUALACIÓN: Veamos el siguiente ejemplo:

Jorge tiene el doble más 4 años que la edad de María. Si entre los dos suman 25 años, ¿qué edad tiene cada uno?

1. Construimos las ecuaciones:

2. Despejando en ambas ecuaciones la variable x, tenemos:

3. Igualamos las ecuaciones (b) y (c) y despejamos y.:

Sustituimos el valor de “Y” en la ecuación (b) y tenemos que: x = 25 – 7 x = 18 Años.

MÉTODO POR DETERMINANTES:

A todo sistema de ecuaciones le podemos asociar una matriz de sus coeficientes. Solución De Sistemas De Ecuaciones 2x2

Este determinante se denota con la letra griega delta (), y se llama determinante de los coeficientes.

Ahora hagamos un análisis similar con el numerador de la variable x. Como:

El numerador es la solución de un determinante 2x2 cuyos elementos son: Por consiguiente, el valor de la variable x se puede expresar como:

De igual manera analicemos el valor de y:

El numerador es la solución de un determinante 2x2, cuyos elementos son:

Este proceso se conoce con el nombre de Regla de Cramer

Teniendo en cuenta:

Ejemplo:Resolver por determinantes el siguiente sistema lineal 2x2.

Calculamos el determinante de los coeficientes:

Como o, procedemos a solucionar el sistema lineal. Calculamos el valor de x:

Calculamos el valor de y:

Luego, la solución del sistema es x = 5, y = -2.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2 y = 6

x + 6 − 1 = 1 x = −4

Función cuadrática:

Una función cuadrática es una función que tiene la siguiente forma.

f ( x )=ax2+bx+c ,donde a ,b , yc∈R y a≠0, a esta función también se les denomina de

segundo grado.

La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo.

En una función cuadráticaf ( x )=ax2+bx+c el coeficiente a que acompaña ax2 indica si la

parábola abre hacia arriba o hacia abajo, de la siguiente manera:

a>0 la parábolaabre hacia arriba , y si a<0 la parábola abre hacia abajo

Las coordenadas de vértice V se representa (h , k ) se determina mediante la expresión

h=−b2a

y k=f (−b2a )

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los reales R y el recorrido es el intervalo ¿ si la parábola abre hacia arriba y ¿ si la parábola abre hacia abajo.

Miremos algunos ejemplos:

Ejemplo 2:

CEROS, RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Los ceros de una función cuadrática son las solución de la función estos son los puntos de corte con el eje x.

En una función cuadrática puede ocurrir lo siguiente.

Que el vértice de la parábola este sobre el eje x. en este caso la función no tiene solución en los números reales.

Que el vértice este sobre el eje x, en este caso la función tienen una única solución, real.

Que el vértice este por debajo del eje x, en este caso la función tendrá dos raíces reales diferentes.

Cuando una función tiene dos raíces se resuelve factorizando la ecuación cuadrática resultante o utilizando la fórmula cuadrática la cual tiene la siguiente expresión.

x=−b±√b2−4ac2a

De aquí obtenemos dos valores para la variable x.

x1=−b+√b2−4 ac

2a, x2=

−b−√b2−4ac2a

Una ecuación cuadrática tiene la siguiente forma:ax2+bx+c=0 ,donde a ,b , y c∈R y a≠0,

Resolver una ecuación cuadrática es encontrar los posibles valores de las incógnitas, para ello basta con despejar la incógnita si es posible de manera literal de lo contrario debemos utilizar factorización de un trinomio de la forma

axn2+b xn+c O utilizar la fórmula cuadrática.

x=−b±√b2−4ac2a

Ejemplo: Calcular las raíces de la ecuación cuadrática dada utilizando la fórmula cuadrática.

Ejemplo #2: Calcular los valores de x utilizando factorización.x2+9 x+14=0

( x+7 ) ( x+2 )=0

( x+7 )=0 y ( x+2 )=0

x=−7 y x=−2

Analicemos el discriminante de la fórmula general:

x=−b±√b2−4ac2a

b2−4 ac Esta expresión corresponde al discriminante de la ecuación.

Si este b2−4 ac>0 la ecuación tiene dos soluciones.

Si este b2−4 ac=0 la ecuación tiene una única solución.

Si este b2−4 ac<0 la ecuación tiene no tiene soluciones reales sino complejas.

Función exponencial y logarítmica.Función exponencial: Una función es exponencial es de la forma f ( x )=ax donde x es la

variable, a∈R+¿ y a≠ 1¿

Las principales características de la función exponencial f ( x )=ax con a≠1 son:

El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el intervalo (0,∞ ¿.

Como a0=1, La gráfica de la función siempre pasa por el punto (0,1¿.

Como a1=a, La gráfica de la función siempre pasa por el punto (1,a¿.

La función tiene como asíntota al eje x.

Representación gráfica de una función exponencial.

Ejemplos:

Función logarítmicaLa función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.Las principales característ icas de la función logarítmica f ( x )=loga xcon a≠1 Son:

El dominio es el intervalo (0,∞ ¿. El recorrido es el conjunto de los números reales. Como f ( x )=loga1=0, la gráfica intercepta al eje x en el punto (1,0) Como f ( x )=logaa=1,a gráf ica pasa por el punto (a,1) La función tiene como asíntota al eje y.

Ejemplo #1:

Ejemplo # 2.