PARÁMETROS ADIMENSIONALES PARA EL DISEÑO DE AEROGNERADORES

I. SELECCIÓN DE PARÁMETROS:Las variables físicas más importantes para el diseño de generadores eólicos son:

La potencia técnica producida en el eje. P( Js =N .ms )

Radio del rotor. R(m)

Densidad del aire. ρ( kgm3 ) Componente de la velocidad del flujo. v (ms ) Viscosidad absoluta del aire. μ( N .s

m2 ) Velocidad angular del rotor. Ω( radseg ) Presión del aire. Pr( Nm2 ) Relación de las presiones de entrada y de salida del rotor.

Pent

Psal

II. ANÁLISIS DIMENSIONAL MEDIANTE EL TEOREMA DE BUCKINGHAM:1. Expresando las variables físicas en función de sus dimensiones primarias:

La potencia técnica producida en el eje. [ P ]=[ F ] [ L ] [T ]−1

Radio del rotor. [ R ]=[ L ] Densidad del aire. [ ρ ]=[ F ] [T ]2 [L ]−4

Componente de la velocidad del flujo. [v ]= [L ] [T ]−1

Viscosidad absoluta del aire. [ μ ]=[ F ] [T ] [L ]−2

Velocidad angular del rotor. [Ω ]=[T ]−1

Presión del aire. [Pr ]=[F ] [L ]−2

Relación de las presiones de entrada y de salida del rotor. [ Pent

P sal]=0

2. Del procedimiento realizado se obtiene el número de parámetros (n) y el número de dimensiones primarias:

n=8 parámetros .

r=3dimensiones primarias .

3. Para calcular el número de parámetros repetitivos:

P R ρ v µ Ω Pr Pent/PsalF 1 0 1 0 1 0 1 0L 1 1 -4 1 -2 0 -2 0T -1 0 2 -1 1 -1 0 0

El rango de la matriz es: m = n = 3

4. Por el teorema de Buckingham, se sabe que se pueden formar cinco grupos adimensionales, pues se tienen tres dimensiones o unidades independientes:

π1=Pa Rb ρc v

π2=Pd Re ρf Ω

π3=PgRhρiµ

π4=P j Rk ρlP r

π5=Pent

P sal

; yaes adimensional .

5. Resolviendo las ecuaciones dimensionales: Primer parámetro adimensional: π1

[ F ]0 [ L ]0 [T ]0=([ F ] [ L ] [T ]−1 )a ( [L ])b ([ F ] [T ]2 [L ]−4 )c [L ] [T ]−1

a+c=0→a=−ca+b−4c+1=0→−5c+b=−1

−a+2c−1=0→3c=1

∴a=−13

;b=23;c=1

3

π1=P−1 /3 R2 /3 ρ1/3 v

π1=3√ R2ρ

Pv………(1)

Segundo parámetro adimensional: π2

[ F ]0 [ L ]0 [T ]0=([ F ] [ L ] [T ]−1 )d ( [ L ])e ([ F ] [T ]2 [L ]−4 )f [T ]−1

d+ f=0→d=−f

d+e−4 f=0→−5 f +e=0−d+2 f −1=0→3 f −1=0

∴d=−13

;e=53; f =1

3

π2=P−1 /3 R5 /3 ρ1/3Ω

π2=3√ R5ρ

PΩ………(2)

Tercer parámetro adimensional: π3

[ F ]0 [ L ]0 [T ]0=([ F ] [ L ] [T ]−1 )g ( [ L ])h ( [F ] [T ]2 [ L ]−4 )i [ F ] [T ] [L ]−2

g+i+1=0→g+i=−1g+h−4 i−2=0→g+h−4 i=2−g+2 i+1=0→−g+2 i=−1

∴g=−13

;h=−13

; i=−23

π3=P−1/3 R−1 /3 ρ−2 /3 μ

π3=3√ 1PR ρ2

μ……… (3)

Cuarto parámetro adimensional: π4

[ F ]0 [ L ]0 [T ]0=([ F ] [ L ] [T ]−1 ) j ( [ L ])k ( [F ] [T ]2 [ L ]−4 )l [ F ] [ L ]−2

j+l+1=0→ j+l=−1j+k−4 l−2=0→ j+k−4 l=2

− j+2 l=0→ j=2l

∴ j=−23

;k=43; l=−1

3

π4=P−2 /3R4 /3 ρ−1 /3 Pr

π4=3√ R4

P2 ρPr……… (4)

III. PARÁMETROS ADIMENSIONALES:La ecuación se reduce a:

f (π1 , π 2 , π3 , π4 , π5 )=0

Con el fin de obtener los números adimensionales más importantes con respecto a estas variables significativas se acostumbra reagrupar los números adimensionales de la última ecuación de la siguiente manera:

Coeficiente de potencia: (C p )

Da la relación entre la potencia entregada en el eje (P) y la energía cinética por unidad de tiempo que lleva la corriente de aire antes de atravesar el

rotor 12ρπ R2 v3:

C p=2π ( 1π1 )

3

= P12ρπ R2v3

=f (π 1 )

Coeficiente de Torque: (Cq )Da la relación entre el torque entregado en el eje (Q) y la energía cinética por unidad de tiempo que lleva la corriente de aire antes de atravesar el

rotor 12ρπ R2 v3:

Cq=π2

(π12π 2)= Q12ρπ R3 v2

=f (π 1 )

La celeridad de diseño o relación de velocidad en la punta de la pala: ( λ )Da la relación entre la velocidad en la punta de la pala ΩR (velocidad tangencial) y la velocidad del aire delante del rotor (v):

λ=π2π1

=ΩRv

=f (π1 , π2 )

La velocidad angular específica: (ns )Es la relación entre P, v y Ω en conjunto. Se puede desarrollar esta relación a partir de Cp y λ eliminando el radio R:

ns=C p1/2 λ=( 2π )

1 /2

x ( ΩP1 /2

ρ1/2 v5 /2 ) El número de Reynolds: (Re)

Expresa la influencia de las fuerzas viscosas de un flujo no ideal. Reagrupando π1 y π3:

Re=π1π3

=

3√ R2 ρP

v

3√ 1PR ρ2

μ

= ρvDμ

=f (π1 , π 3 )

IV. CONCLUSIONES: Las ecuaciones de los números adimensionales después de reagrupar los números

π5 se transforman en:

f (C p , λ , ns ,Re ,Pr

ρ Hman

,Pent

Psal)=0

La influencia del Número de Reynolds Re con respecto de la resistencia del flujo es pequeña cuando la velocidad aumenta, debido al aumento de la influencia de la energía de la turbulencia y a la disminución de las fuerzas viscosas.

El número adimensional Pr

ρH man

= RTHman

indica la influencia de la temperatura para

portadores de energías compresibles similares a la relación de presiones Pent

Psal

. Por

lo tanto, la influencia de estos números adimensionales es despreciable para este tipo de turbinas. La ecuación de los números adimensionales resulta ahora:

f (C p , λ , ns , Re )=0

El máximo valor que puede alcanzar Cp es 0.592, nunca puede excederse de este valor máximo teórico, este concepto es el denominado Límite de Betz (1927) y expresa lo siguiente: “La máxima potencia que se puede obtener; en teoría, de una corriente de aire con una aeroturbina ideal nunca puede superar al 59.2% de la potencia del viento incidente.”