Lanzamiento de Proyectiles

A. Avila*

Ing.Electromecanica

M.Munoz**

Ing.Electromecanica

J.S.Ontiveros***

Ing. Civil

Universidad Privada Boliviana

17 de diciembre del 2012

Resumen

En este laboratorio se realizo un experimento en laboratorio para

estudiar las ecuaciones de la cinematica en la vida real. Para esto,

un perdigon de metal fue lanzado varias veces a diferentes angulos y

se obtuvo el tiempo de vuelo, distancia horizontal maxima de cada

lanzamiento. Posteriormente, se hicieron los calculos respectivos para

hallar los promedios y los errores de los datos obtenidos.

1. Introduccion

Cuando estudiamos el movimiento de proyectiles, lo que generalmente sehace es despreciar las variaciones de la gravedad, la friccion del aire, las al-

*andimichelle 4494@hotmail.com**marchelito9322@hotmail.com

***ontisito@hotmail.com

1

teraciones causadas por la forma del proyectil, etc. Tomando en cuenta quetomamos todos estos factores como despreciables, es necesario observar enun laboratorio que tan despreciables llegan a ser dichos factores.

2. Objetivos

1. Estudiar el movimiento parabolico y comprobar las ecuaciones de dichomovimiento, observando el lanzamiento de un perdigon de metal.

3. Fundamento teorico

3.1. Movimiento Parabolico

Se tomaran en cuenta dos analisis de este tipo de movimiento: desde elpunto de vista de la cinematica y desde el punto de vista de la dinamica.

3.1.1. Cinematica

Se denomina movimiento parabolico al realizado por un objeto cuya tra-yectoria describe una parabola. Se corresponde con la trayectoria ideal de unproyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y queesta sujeto a un campo gravitatorio uniforme. [1]Puede ser analizado como la composicion de dos movimientos rectilneos: unmovimiento rectilneo uniforme horizontal y un movimiento rectilneo unifor-memente acelerado vertical.Esto quiere decir:

x = vCos()t (1)

y = vSen()t 12gt2 (2)

Donde: y es la altura del proyectild es el recorrido horizontal del proyectil es el angulo al que es disparado el proyectilg es la gravedad (en este caso se ultilazara la gravedad de La Paz)

2

v es la velocidad inicial del proyectil

Despejando el tiempo t de la ecuacion (1) y sustituyendo en la ecuacion(2):

y = dtan() 12g

d2

v2cos2()

(3)

Esta es la ecuacion de la trayectoria de un proyectil.Distancia horizontal maximaDe la ecuacion (3), si tomamos una altura y=0 es posible hallar dos puntos

en x. Uno de ellos es la distancia horizontal maxima.

dTan() 12g

d2

v2Cos2()

= 0 (4)

d

[Tan() 1

2g

d

v2Cos2()

]= 0 (5)

d1 = 0; d2 =2v2

Sen()Cos()

g(6)

Por lo tanto la distancia horizontal maxima es:

dmax =v2Sen(2)

g(7)

Velocidad inicial

Debido a que tiene una velocidad inicial v constante respecto al eje x,esta puede ser hallada cuando su angulo = 0.Sustituyendo en la ecuacion (3):

y =1

2gx2

v2

(8)

La gravedad tiene signo positivo debido a que no va en sentido contrarioa la velocidad.Despejando v de (8):

v = x

g

2y(9)

3

Tiempo de vuelo

De la ecuacion (2), se toma una altura y = 0:

0 = vSen() 12gt2 (10)

Despejando t:

tvuelo =2vSen()

g(11)

3.1.2. Dinamica

A la resistencia del aire algunas veces se le llama fuerza de arrastre. Sehan hecho experimentos con una gran variedad de objetos cayendo en el aire.Estos algunas veces muestran que la fuerza de arrastre es proporcional a lavelocidad y otras veces que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadradode la velocidad. En cualquier caso, el sentido de la fuerza de arrastre esopuesto al sentido del movimiento. Matematicamente, la fuerza de arrastrese puede describir usando:

Farrastre = bv (12)

Farrastre = cv2 (13)Las constantes b y c se denominan como los coeficientes de arrastre que

dependen del tamano y de la forma del objeto.[2]Por otro lado es necesario recordar que:

F = ma (14)

Donde: F es la fuerza necesaria para el movimiento de un cuerpom es la masa del cuerpo, ya es la aceleracion del cuerpo.

Ademas,

a =dv

dt(15)

4

Ahora, en este laboratorio solo se tomo en cuenta la fuerza de arrastreproporcional a la velocidad. Por lo tanto, segun (14) y (15):

Eje x

mdv

dt= bv (16)

Despejando e integrando: dv

v= b

mdt (17)

Resolviendo y hallando la constante donde v(0) = v Cos():

vx = vCos()ebt

m (18)

Integrando otra vez: dx =

vCos()e

bt

m dt (19)

Resolviendo la integral y encontrado la constante, donde x(0) = 0:

x =m

bvCos()

(1 ebtm

)(20)

Eje y

mdv

dt= mg bv (21)

integrando y despejando:

dv

mg + bv= 1mdt (22)

Resolviendo la integral y hallando la constante, donde v(0) = vSen()

vy =(mg + bSin())e

tb

m mgb

(23)

Integrando otra vez:

dy =

(mg + bSin())e

tb

m mgb

dt (24)

Resolviendo la integral y hallando la constante

5

C =mg + bv

etb

m

(25)

donde y(0) = 0

y =(1 ebtm

)(m2b2

g +m

bvSen()

)(26)

Ahora, despejando t de (20):

t = mbln

(1 bx

mvCos()

)(27)

Sustituyendo (26) en (25) y simplificando:

y =bx

mvCos()

(m2

b2g +

m

bvSen()

)+m2

b2gln

(1 bx

mvCos()

)(28)

4. Materiales

1. Un perdigon de metal

2. Un disparador de proyectiles

3. Un cronometro

4. Un flexometro

5. Hojas bond

6. Papel carbonico

7. Soporte universal

8. Transportador

6

5. Procedimiento

Experimento 1: Recopilacion de datos

1. Se utilizo el soporte universal para sostener el disparador de proyectiles.

2. Se alineo el disparador con el borde de una mesa tal que el origen delsistema de coordenadas este en el borde de la mesa.

3. se pego el transportador en el disparador tal que sea posible medir elangulo al que sera disparado el perdigon.

4. Se cargo el disparador y para cada lanzamiento hacer un disparo previotal que le permita calcular donde caera aproximadamente el perdigon.En ese lugar sujetar las hojas bond en la mesa y encima poner el papelcarbonico. De esta manera se tendra un punto marcado en las hojasbond cuando caiga el perdigon.

5. Hacer 13 disparos, partiendo desde los 15 hasta los 75 subiendo enintervalos de 5.

6. Se midio cada una de las distancias respecto a su angulo.

7. Se midio el tiempo de vuelo con la ayuda del cronometro (Vease Cua-dro 1).

Experimento 2: Velocidad inicial

1. Se colco el disparador a 0.

2. Se midio la altura a la que se realizara el disparo (27.3 [cm]).

7

Angulo Tiempo[s] Distancia[cm]15 0.34 173.0020 0.37 220.4025 0.40 236.3030 0.43 276.8035 0.50 291.4040 0.56 298.0045 0.59 290.3050 0.66 289.7055 0.62 288.3060 0.71 260.9065 0.84 216.1070 0.84 186.3075 0.93 138.70

Cuadro 1: Recopilacion de datos

3. Repetir el paso 4 del anterior experimento.

4. Se hicieron 10 disparos y medir las distancias horizontales desde la base(Vease Cuadro 2).

6. Analisis de Datos

El analisis se parte del siguiente concepto:Sea Q(x) una funcion tal que

Q(x) = Q(x) t2,n1

Q(x)n

(29)

Donde: Q(x) es el promediot es la t-studentn es es numero de pruebasQ(x) es la desviacion estandar

La desviacion estandar se calculo de la siguiente manera:

8

n x[cm]1 143.002 142.403 146.804 141.405 138.506 138.707 136.908 137.909 139.5010 143.30

Cuadro 2: Velocidad inicial

Q(x) =(Q(x)Q(x)i)2

n 1 (30)

Por otra parte,

Q(x) = Q(x) t2,n1

Q(x)n

(31)

Habiendo estos calculos tomando un 95% de confianza, se obtuvo:La distancia mamxima:

x = (140,84 1,25) [cm] (32)Utilizando los datos adquiridos.

La Velocidad:v = (595,92 35,46) [cm/s] (33)

Utilizando la ecuacion 9 y para el V la ecuacion 29.

V = |vxx|+ |v

hh|+ |v

gg| (34)

Y el coeficiente de resistencia del aire b:

b = (2,74 0,64) [s/cm][din] (35)

9

Utilizando la ecuacion de la trayectoria anteriormente mostrada utilizada encada uno de los datos del experimento 2 (Cuadro 2) y hallando la desviacionestandar .

En el caso de la gravedad de La Paz, nos dimos un error de 50.0[cm/s2]: [3]

g = (977,5 50,0) [cm/s2] (36)

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50 60 70 80

Dis

tanc

ia [c

m]

Angulo [Grados]

Angulo VS Distancia

Figura 1: Angulo vs Dist. Horizontal

En la figura 1 se ven los puntos de los angulos respecto al recorrido hori-zontal:1

En la figura 2 se ven los puntos de la figura 1 junto con la grafica de laecuacion (7):

dmax =v2Sen(2)

g(37)

Ahora en la figura 3 se puede observar una comparacion de los puntoshallados en el laboratorio con la grafica ideal de la considerando una velocidad

1Todas las graficas de este informe fueron realizados con el graficador Gnuplot v4.0.Este programa utiliza el algoritmo de Marquardt-Levenberg

10

0

50

100

150

200

250

300

350

400

10 20 30 40 50 60 70 80

Dis

tanc

ia [c

m]

Angulo [Grados]

Angulo VS Distancia

Figura 2: Angulo vs Dist. Horizontal

maxima y una mnima, donde:

Vmax = 595, 92 + 35,46 (38)

Vmin = 595, 92 35,46 (39)

En la figura 4 se ven los puntos de los angulos respecto al tiempo:En la figura 5 se ven los puntos con la funcion:

tvuelo =2vSen()

g(40)

Ahora en la figura 6 se puede observar una comparacion de los puntoshallados en el laboratorio con la grafica ideal del tiempo de vuelo con lavelocidad maxima y mnima (ecuaciones 32 y 33).

7. Conclusion

Concluimos que los datos tomados del tiempo de vuelo son menores a losesperados por la ecuacion de tiempo de vuelo, como fue posible observar en

11

100

150

200

250

300

350

400

450

10 20 30 40 50 60 70 80

Dis

tanc

ia [c

m]

Angulo [Grados]

Angulo VS Distancia

Figura 3: Angulo vs Dist. Horizontal entre Vmin y Vmax

la figura 5. Tambien en la figura 6 se ve que los valores del tiempo inclusomas bajos que a una Vmin. Esto pudo ser ocasionado al nivel de reaccion denuestro experimentador a cargo del cronometro, es decir, imprecision huma-na. Por otro lado esta el buen uso del cronometro, los botones pudieron serdifciles de presionar.Tambien concluimos que las ecuaciones de la cinematica son lo suficientemen-te efectivas para ayudarnos a tener una idea sobre como sera la trayectoria deun proyectil, a pesar de que no toma en cuenta un gran numero de factoresque afectan su cada.

Referencias

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico

[2] http://www2.vernier.com/sample_labs/CMV-35-resistencia_del_aire.pdf

[3] http://www.scielo.org.bo/scielo.php?pid=S1562-38232010000100007&script=sci_arttext

12

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 20 30 40 50 60 70 80

Tiem

po [s

]

Angulo [Grados]

Angulo VS Tiempo

Figura 4: Angulo vs Tiempo

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

10 20 30 40 50 60 70 80

Tiem

po [s

]

Angulo [Grados]

Angulo VS Tiempo

Figura 5: Angulo vs Tiempo

13

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

10 20 30 40 50 60 70 80

Tiem

po [s

]

Angulo [Grados]

Angulo VS Tiempo

Figura 6: Angulo vs Tiempo entre Vmin y Vmax

14