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Capítulo 0 0-1 Fórmulas geométricas .................................................................................Z3

0-2 Diagramas de árbol .....................................................................................Z5

0-3 El plano cartesiano ......................................................................................Z7

0-4 Cómo redondear y estimar ..........................................................................Z9

0-5 Cómo sumar y restar decimales ................................................................Z12

0-6 Cómo multiplicar y dividir decimales ........................................................Z14

0-7 Números primos y números compuestos ..................................................Z17

0-8 Cómo factorizar .........................................................................................Z19

0-9 MCD y mcm ................................................................................................Z21

0-10 Fracciones equivalentes ............................................................................Z23

0-11 Decimales, fracciones y porcentajes .........................................................Z25

0-12 Cómo hallar un denominador común ........................................................Z28

0-13 Cómo sumar y restar fracciones ................................................................Z30

0-14 Cómo multiplicar y dividir fracciones .......................................................Z32

Para el estudiante

El Capítulo 0 contiene lecciones breves para repasar las destrezas

matemáticas de los cursos anteriores. Es importante conocer estos

contenidos para tener éxito en Álgebra 1. Para mantener un buen

manejo de las destrezas, usa estas lecciones siempre que lo necesites.

0-1 Fórmulas geométricas Z3

0-1 Fórmulas geométricas

Recuerda algunas figuras geométricas básicas.

Cuadrado Rectángulo Triángulo Círculo

� = longitud del lado

� = longitud; a = ancho b = base;

h = alturad = diámetro;

r = radio

El perímetro de una figura es la distancia alrededor de la figura. El perímetro de un círculo se llama circunferencia. Para hallar el perímetro de cualquier figura, suma las longitudes de sus lados. Para algunas figuras puedes usar una fórmula del perímetro.

FIGURA CON PALABRAS FÓRMULA

Cuadrado El perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de uno de sus lados.

P = 4�

Rectángulo El perímetro de un rectángulo es dos veces la longitud más dos veces el ancho.

P = 2� + 2a

Círculo La circunferencia de un círculo es π por el diámetro ó 2π por el radio.

C = πd

C = 2πr

Perímetro y circunferencia

1E J E M P L O Hallar el perímetro

Halla el perímetro de cada figura.

A P = 2� + 2a Escribe la fórmula.

Sustituye.

Suma las longitudes de los lados.

= 2 (8) + 2 (4) = 16 + 8 = 24El perímetro es 24 m.

B P = 4 + 7 + 5 = 16

El perímetro es 16 pies.

1. Halla el perímetro del cuadrado.

El símbolo π se usa para representar la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es aproximadamente igual a 3.14.

ObjetivoHallar el perímetro y el área de figuras geométricas básicas

Vocabularioperímetrocircunferenciaárea

Z4 Capítulo 0

El símbolo ≈ significa “aproximadamente igual a”.

El área de una figura es la cantidad de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir la figura.

FIGURA CON PALABRAS FÓRMULA

Cuadrado El área de un cuadrado es la longitud de un lado al cuadrado.

A = l 2

Rectángulo El área de un rectángulo es la longitud por el ancho. A = � a

Triángulo El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.

A = 1 _ 2

bh

Círculo El área de un círculo es π por radio al cuadrado. A = π r 2

Área

2E J E M P L O Hallar el área

Halla el área de un círculo con un radio de 8 pies. Usa 3.14 para π.

A = π r 2 Escribe la fórmula.

Sustituye π por 3.14 y r por 8.

8 2 = 8 × 8 = 64

≈ 3.14 (8) 2

≈ 3.14 (64)

≈ 200.96

El área mide aproximadamente 200.96 pies2.

Halla el área de cada figura. Usa 3.14 para π.

2a. 2b.

Halla el perímetro de cada figura.

1. 2. 3.

Halla el área de cada figura. Usa 3.14 para π.

4. 5. 6.

EjerciciosEjercicios0-1

6 pulg

11 pulg

0-2 Diagramas de árbol

Laura y Abigail almuerzan en un restaurante que tiene el menú que se muestra a la derecha. Cada una elige un combo. Laura ordena ensalada de frutas, sopa de guisantes y torta de chocolate. Abigail ordena ensalada de frutas, sopa de tomate y una galleta. Las chicas se preguntan cuántos combos diferentes se pueden armar.

Una manera de responder a este tipo de preguntas es usar un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una presentación de datos que usa ramas para representar combinaciones de elementos.

1E J E M P L O Usar un diagrama de árbol

Halla la cantidad de combos que se pueden armar a partir del menú de arriba.Primero escribe las dos ensaladas. Luego, dibuja tres ramas a partir de cada ensalada y escribe cada tipo de sopa. Por último, dibuja dos ramas desde cada sopa a cada postre.

GaT

G

F

A

V

T

A

V

Ch

Ga

Ch

Ga

Ch

Ga

Ch

Ga

Ch

Ga

Ch

G, T, Ga

G, T, Ch

G, A, Ga

G, A, Ch

G, V, Ga

G, V, Ch

F, T, Ga

F, T, Ch

F, A, Ga

F, A, Ch

F, V, Ga

F, V, Ch

Sigue cada rama del diagrama de árbol para hallar todos los combos que se pueden armar.

Hay 12 combos posibles de comidas.

Usa la información anterior para responder a la siguiente pregunta.

1. ¿Cuántos combos posibles hay si se agrega sopa de pavo al menú de sopas?

¡Elige ¡Elige tu tu combo! combo!

¡Elige ¡Elige tu tu combo! combo!¡Elige ¡Elige tu tu combo! combo!

Elige una opción de cada grupo.

Ensalada de frutasEnsalada griega

GalletaTorta de chocolate

TomateGuisantesVegetales

EnsaladaEnsaladaEnsaladaEnsaladaEnsaladaEnsalada SopaSopaSopaSopaSopaSopa

PostrePostrePostrePostrePostrePostre

ObjetivoUsar un diagrama de árbol para hallar posibles combinaciones de elementos

Vocabulariodiagrama de árbol

0-2 Diagramas de árbol Z5

EjerciciosEjercicios

Z6 Capítulo 0

1. Rhonda tiene camisetas de color azul, verde y rosado. Tiene shorts de jean, caqui y blancos. Los zapatos son tenis y sandalias. Usa esta información para copiar y completar el diagrama de árbol. Luego consulta el diagrama de árbol para resolver los Ejercicios del 2 al 4.

2. ¿Qué representa la combinación V, C, S?

3. ¿Cuántas combinaciones incluyen una camiseta de color rosado? ¿Y shorts de jean? ¿Y tenis?

4. ¿Cuántas combinaciones posibles de una camiseta, un par de shorts y un par de zapatos hay?

5. En una heladería, los clientes pueden elegir helados de chocolate, vainilla y fresa, y coberturas de chocolate caliente y de caramelo. ¿Cuántas combinaciones de un sabor de helado y una cobertura son posibles?

6. Una tienda de licuados ofrece licuados en tamaño pequeño, mediano y grande. Los sabores que ofrece son fresa, piña, arándano azul y durazno. Los clientes también tienen la opción de añadir proteína en polvo al licuado. ¿Cuántos licuados diferentes hay disponibles?

7. Sarah diseña una tarjeta de felicitación en su computadora para imprimirla. Puede elegir entre 4 estilos de tarjetas, 2 tipos de letras y 3 colores diferentes. ¿Cuántas tarjetas diferentes puede imprimir?

0-2

0-3 El plano cartesiano Z7

0-3 El plano cartesiano

ObjetivosIdentificar puntos en el plano cartesiano

Representar puntos en el plano cartesiano

Vocabularioplano cartesianoorigenpar ordenado

El plano cartesiano está formado por una recta numérica horizontal (llamada eje x)y una recta numérica vertical (llamada eje y). El punto en el que las dos líneas se cruzan se llama origen.

Un par ordenado es un conjunto de dos números que describe la ubicación de un punto en el plano. Para ubicar puntos en un plano cartesiano, debes comenzar siempre en el origen. El primer número del par ordenado te indica cuántas posiciones te debes mover a lo largo del eje x. El segundo número te indica cuánto te debes mover a lo largo del eje y.

El origen se ubica en el punto (0, 0) .

1E J E M P L O Representar puntos en el plano cartesiano

Representa los puntos (

-3, 4)

, (

0, 2)

y (

2, -3)

en el plano cartesiano.

(-3, 4)

Comienza en el origen.Muévete 3 unidades hacia la izquierda.Muévete 4 unidades hacia arriba.

Comienza en el origen.Muévete 0 unidades hacia la izquierda

o hacia la derecha.Muévete 2 unidades hacia arriba.

Comienza en el origen.Muévete 2 unidades hacia la derecha.Muévete 3 unidades hacia abajo.

(0, 2)

(2, -3)

Representa cada punto en el plano cartesiano.

1a. (4, -3) 1b. (-2, -1)

1c. (1, 0) 1d. (3, 3)

Z8 Capítulo 0

2E J E M P L O Hallar las coordenadas de puntos

Escribe pares ordenados para describir la ubicación de los puntos A, C y E.

Comienza en el origen. • El punto A está 3 unidades hacia la derecha

sobre el eje x y 3 unidades hacia abajo sobre el eje y.

(3, -3) • El punto C está 2 unidades hacia la derecha

sobre el eje x y 0 unidades hacia arriba o hacia abajo sobre el eje y.

(2, 0) • El punto E está 2 unidades hacia la izquierda

sobre el eje x y 4 unidades hacia arriba sobre el eje y.

(-2, 4)

Usa la gráfica anterior. Escribe un par ordenado para describir la ubicación de cada punto.

2a. punto B 2b. punto D

Representa cada punto en un plano cartesiano.

1. A (4, -2) 2. B (0, 0) 3. C (5, 0)

4. D (-4, -4) 5. E (-3, 5) 6. F (-3, -2)

7. G (-4, 1) 8. H (2, -4) 9. J (0, 3)

Escribe un par ordenado para describir la ubicación de cada punto.

10. punto L 11. punto M

12. punto N 13. punto P

14. punto Q 15. punto R

16. punto S 17. punto T

18. el punto que está 2 unidades hacia la izquierda del punto L

19. el punto que está 3 unidades hacia la derecha del punto P

20. el punto que está 5 unidades hacia arriba del punto S

21. el punto que está 1 unidad hacia abajo del punto T

22. el punto que está a la mitad de los puntos M y Q

23. el punto que está a la mitad de los puntos Q y S

24. el punto que está 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba del punto R

25. el punto que está 3 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia abajo del punto N

0-3 EjerciciosEjercicios

0-4 Cómo redondear y estimar Z9

0-4 Cómo redondear y estimar

Estimar es hallar una respuesta aproximada a un problema en lugar de hallar una respuesta exacta. Para estimar es necesario redondear números. Redondear significa reemplazar un número por otro que tiene un valor cercano al número original, pero que hace que los cálculos sean más rápidos y fáciles.

Para redondear a un valor posicional indicado, haz lo siguiente:

• Observa el dígito que está a la derecha del valor posicional indicado.

• Si el dígito es 5 o mayor que 5, suma 1 al número del valor posicional indicado. Esto se llama redondear hacia arriba.

• Si el dígito es menor que 5, no cambies el número del valor posicional indicado. Esto se llama redondear hacia abajo.

1E J E M P L O Redondear números

Redondea cada número al valor posicional indicado.

A 34,763 al millar más cercano34,763 El 4 está en la posición de los millares.

El 7 está a la derecha del 4.

7 > 5, por lo tanto, redondea hacia arriba.

El 8 está en la posición de las centésimas.

El 4 está a la derecha del 8.

4 < 5, por lo tanto, redondea hacia abajo.

34,76335,000

B 92.0843 a la centésima más cercana92.084392.084392.08


1a. 382,501 a la centena de millar más cercana

1b. 9.3812 a la décima más cercana

Para estimar una suma o diferencia, busca el número menor e identifica el primer dígito distinto de cero (desde la izquierda) de ese número. Redondea todos los números a ese valor posicional. Luego suma o resta los números redondeados.

Para estimar un producto, redondea cada número a su mayor valor posicional. Luego multiplica los números redondeados.

2E J E M P L O Estimar por redondeo

Estima.

A 85 + 594 + 307 B 38.7 × 5.185 + 594 + 307 Redondea cada

número a la decena más cercana

38.7 × 5.1 Redondea cada número a su mayor valor posicional.

90 + 590 + 310 40 × 5 990 200

Estima.

2a. 82,543 + 6503 2b. 92,384 - 48,224 2c. 739.4 × 1.8

ObjetivoRedondear números

Estimar sumas, diferencias, productos y cocientes

Vocabularioestimarredondearnúmeros compatiblesestimación altaestimación baja

Cuando estimas una suma, a veces todos los números se aproximan al mismo número. Cuando esto sucede, puedes estimar por aproximación.

3E J E M P L O Estimar por aproximación

Estima 77 + 82 + 79 + 81 + 77.

80 × 5 Todos los números se aproximan a 80. Por lo tanto, redondea cada número a 80.

Usa la multiplicación en lugar de la suma repetida. 400

3. Estima 195 + 202 + 210 + 188.

Los números compatibles son dos o más números con los que puedes hacer un cálculo mental. Los números compatibles suelen ser útiles para estimar cocientes.

4E J E M P L O Estimar cocientes con números compatibles

Estima.

A 3498 ÷ 58 B 205 ÷ 723600 ÷ 60 Razona: 36 ÷ 6 = 6 210 ÷ 70 Razona: 21 ÷ 7 = 3

60 3

Estima.

4a. 24,503 ÷ 481 4b. 384 ÷ 17

En algunas situaciones, puede ser útil saber si necesitas una estimación alta (una estimación mayor que la respuesta real) o una estimación baja (una estimación menor que la respuesta real).

5E J E M P L O Estimaciones altas y bajas

Ricky tiene $18 para gastar en su nuevo cachorro. Quiere comprarle un juguete a $3.99, un collar a $4.50, un cepillo a $2.49 y golosinas a $2.25. Ricky quiere estar seguro de que tiene dinero suficiente como para comprar los cuatro artículos. Explica si debe hallar una estimación alta o una estimación baja del costo total. Luego estima el total e indica si Ricky tiene dinero suficiente para la compra.

Ricky debe hallar una estimación alta. De esa manera, el costo real será menor que su estimación. Si tiene dinero suficiente según su estimación, entonces tendrá dinero suficiente para cubrir el costo real.

3.99 + 4.50 + 2.49 + 2.25 Para hallar una estimación alta, redondea cada número hacia arriba.

4.00 + 5.00 + 3.00 + 3.00 = 15.00

El costo real será menor que $15.00. Por lo tanto, Ricky tiene dinero suficiente.

5. Jen planea conducir 95 millas en su automóvil. Su automóvil recorre 25.2 millas con un galón de gasolina. Jen tiene 5.5 galones de gasolina en el tanque y quiere saber si tiene suficiente gasolina para el viaje. Explica si Jen debe hacer una estimación alta o una estimación baja de la distancia que puede recorrer con su automóvil. Luego estima cuántas millas puede recorrer Jen e indica si tiene suficiente gasolina.

Según las reglas normales del redondeo, 2.49 y 2.25 se redondean a 2. Pero como quieres una estimación alta, redondea todos los números hacia arriba.

Z10 Capítulo 0

0-4 Cómo redondear y estimar Z11

Para estimar bien, necesitas saber cuándo es adecuado estimar. Algunos problemas necesitan una respuesta exacta.

6E J E M P L O Estimaciones o respuestas exactas

Indica si una estimación es suficiente o si se necesita una respuesta exacta.

La maestra Helm tiene 392 folletos para plegar y distribuir y 7 voluntarios para ayudarla. ¿Cuántos folletos aproximadamente plegará y distribuirá cada voluntario?

Se pregunta cuántos folletos “aproximadamente”.

Una estimación es suficiente.

6. Indica si una estimación es suficiente o si se necesita una respuesta exacta.

Una chaqueta cuesta $28.95, con impuestos incluidos. Jane entrega al cajero $30. ¿Cuánto vuelto debe devolverle a Jane el cajero?


1. 3849 a la decena más cercana 2. 45.2946 a la milésima más cercana

3. 30,567 al millar más cercano 4. 16 1 __ 2 al número cabal más cercano

Estima.

5. 219 × 24 6. 2452 + 6742 7. 752.8 × 35

8. 485 ÷ 68 9. 19 + 22 + 17 +17 + 24 + 18 10. 63,543 ÷ 791

11. 624,511 - 212 12. 4 3 _ 4

× 5 1 _ 8

13. 3240 + 2975 + 3138

14. 405 + 29 + 3824 15. 3 1 _ 9

× 2 2 _ 3

× 4 1 _ 2

16. 208,893 - 711

17. La lección de piano de Ron comienza dentro de 2 horas. Ron tarda 30 minutos en llegar a su clase. Tiene que hacer la tarea durante 45 minutos y pasear a su perro durante 25 minutos. Ron quiere saber si tiene tiempo suficiente como para terminar su tarea y pasear a su perro antes de ir a su clase. Explica si debe hallar una estimación alta o una estimación baja para el tiempo total que necesita. Luego estima el tiempo total e indica si Ron tiene tiempo suficiente para hacer ambas tareas.

Indica si una estimación es suficiente o si se necesita una respuesta exacta.

18. Shelly hace disfraces. En cada disfraz usa 3 3 __ 4 yd de tela. Si Shelly necesita hacer 12 disfraces, ¿cuántas yardas de tela debe comprar?

19. Sal tenía 349 cromos y regaló 62. ¿Tiene ahora más de 250 cromos en su colección?

20. Kelly gasta el 20% de sus ingresos en impuestos. El año pasado ganó $34,512. ¿Cuánto debe pagar Kelly en impuestos?


Z12 Capítulo 0

0-5 Cómo sumar y restar decimales

Al sumar y restar decimales, primero alinea los números por sus puntos decimales. Tal vez necesites agregar ceros a uno o más números para que todos tengan la misma cantidad de posiciones decimales. Luego suma o resta de la misma manera que harías con números cabales.

1E J E M P L O Sumar y restar decimales

Suma o resta.

A 23.7 + 1.426 23.700 Alinea los números por sus puntos decimales. Coloca dos

ceros después de 23.7.

Suma y coloca el punto decimal en la misma posición.

Alinea los números por sus puntos decimales.

Coloca dos ceros después de 6.7.

Resta y coloca el punto decimal en la misma posición.


Coloca un cero después de 8.1 y un cero después de 14.7.

Suma y coloca el punto decimal en la misma posición.

−−−−−

+ 1.426 25.126

Puedes estimar la suma para comprobar que tu respuesta es razonable. 24 + 1 = 25 ✓

B 42.543 - 6.7 42.543 −−−−−

- 6.700 35.843

Estima para comprobar que tu respuesta es razonable: 43 - 7 = 36 ✓

C 8.1 + 1.26 + 14.7 8.10 1.26 −−−−−

+ 14.70 24.06

Estima para comprobar que tu respuesta es razonable: 8 + 1 + 15 = 24 ✓

Suma o resta.

1a. 4.761 + 3.41 1b. 4.761 - 3.41 1c. 0.9 + 3.27 + 7.8

En el Ejemplo 1, se agregaron ceros adicionales para alinear correctamente los puntos decimales. Sin embargo, los problemas se podían resolver sin ellos. En los siguientes ejemplos de resta, se deben agregar ceros adicionales como marcadores de posición. Esto se debe a que el primer número del problema tiene menos posiciones decimales que el número que se resta.

2E J E M P L O Agregar ceros como marcadores de posición

Resta.

A 5.0 - 0.003 5.000 Agrega dos ceros después de 5.0.



−−−−−

- 0.003 4.997

ObjetivoSumar y restar decimales

Si agregas ceros a un número después de la última posición decimal, el valor del número no cambia.

Resta.

B 175.2 - 90.35 175.20 Agrega un cero después de 175.2.



−−−−−

- 90.35 84.85

Comprueba Usa la suma.

84.85 −−−−− + 90.35 175.20 ✓

C 241 - 0.241 241.000 Agrega tres ceros después de 241.



−−−−−−

- 0.241 240.759

Comprueba Usa la suma.

240.759 −−−−− + 0.241 241.000 ✓

Resta.

2a. 14.5 - 1.45 2b. 17 - 1.003 2c. 8.1 - 5.328

Suma o resta.

1. 4.6 2. 7.2 3. 421.6

−−−− + 6.8

−−−− - 4.3

−−−−−−− + 4.378

4. 3.785 5. 502.638 6. 81.42

−−−−−− + 24.6

−−−−− - 4.378

−−−− + 6.3

7. 2.6 8. 182.0 9. 418.0

−−−−− - 1.43

−−−−− + 0.007

−−−−− - 0.123

10. 14.2 + 16.9 11. 30.79 - 28.18 12. 7.4 + 15.68

13. 42 + 1.79 14. 42 - 1.79 15. 98.6 + 101.52

16. 15.486 + 6.37 17. 21.81 - 13.46 18. 5.785 + 0.215

19. 24.912 - 22.98 20. 19.115 + 27 21. 17.004 - 3.04

22. 178 + 1.493 23. 178 - 1.493 24. 2424 + 23.785

25. 5.95 - 4.96 26. 4.44 + 12.12 27. 81.85 - 9.6

28. 20.11 + 8.284 29. 20.11 - 8.284 30. 141.7 - 3.008

31. 4.9 + 3.2 + 13.04 32. 20 + 0.05 + 9.7 33. 14.06 + 0.07 + 3.4


0-5 Cómo sumar y restar decimales Z13

Z14 Capítulo 0

0-6 Cómo multiplicar y dividir decimales

ObjetivoMultiplicar y dividir decimales

El procedimiento para multiplicar decimales es semejante al proceso para multiplicar números cabales. La única diferencia es que para multiplicar decimales necesitas colocar el punto decimal en la posición correcta en el producto.

PASOS EJEMPLO

1. Multiplica como lo harías con números cabales.

7.5

−−−−− × 0.37

2775

2. Cuenta la cantidad de posiciones decimales en cada factor.

7.5 1 posición decimal

−−−−− × 0.37 2 posiciones decimales

2775

3. Suma las posiciones decimales del Paso 2. Esta es la cantidad de posiciones decimales que debe tener el producto final.

7.5

−−−−− × 0.37

2.775 3 posiciones decimales

Cómo multiplicar decimales

1E J E M P L O Multiplicar decimales

Multiplica.

A 3.298 −−−−

× 7

3.298 3 posiciones decimales

0 posiciones decimales


−−−−

× 7 23.086

Estima para comprobar que tu respuesta es razonable. 3 × 7 = 21 ✓

B 2.3 × 1.8 2.3 1 posición decimal

1 posición decimal


−−−−

× 1.8 4.14

Estima para comprobar que tu respuesta es razonable. 2 × 2 = 4 ✓

Multiplica.

1a. 1.35 1b. 7.3 × 6.4

−−−

× 24

Otra forma de ubicar el punto decimal en el producto es estimar. En el Ejemplo 1A, la respuesta será aproximadamente 3 × 7 = 21.

0-6 Cómo multiplicar y dividir decimales Z15

Cuando divides, el divisor debe ser un número cabal. Si el divisor es un decimal, mueve el punto decimal hacia la derecha hasta obtener un número cabal. Luego mueve el punto decimal del dividendo hacia la derecha la misma cantidad de posiciones.

2E J E M P L O Volver a escribir problemas de división

Vuelve a escribir cada problema de división de modo que el divisor sea un número cabal.

A 0.25 � �� 1.250 B 1.8 � �� 36

Mueve cada punto decimal Mueve cada punto decimal 2 posiciones hacia la derecha. 1 posición hacia la derecha.

0.25 � �� 1.250 1.8 � �� 36.0 Agrega un 0 como marcador de posición.

25 � �� 125.0 18 � �� 360


2a. 0.75 � �� 45.25 2b. 0.035 � �� 65

MUEVE EJEMPLO

1. Si es necesario, desplaza el punto decimal para que el divisor sea un número cabal. Mueve el punto decimal del dividendo la misma cantidad de posiciones.

0.35 � �� 0.84

35 �� 84

2. Divide como lo harías con números cabales. Agrega ceros al dividendo si es necesario.

2 435 � �� 84.0

3. Coloca el punto decimal en el cociente directamente por encima del punto decimal del dividendo.

2.435 � �� 84.0

Cómo dividir decimales

3E J E M P L O Dividir decimales

Divide.

A 0.8 � �� 0.1

8 � �� 1 Mueve el punto decimal en el divisor y en el dividendo.

Agrega ceros en el dividendo.

0.1258 � �� 1.000

−−

-8 20

−−− -16

40

−−− -40

0

Comprueba Usa la multiplicación: 0.125 × 0.8 = 0.1 ✓

cocientedivisor � �� dividendo

dividendo ÷ divisor = cociente

Z16 Capítulo 0

Divide.

B 21.244 ÷ 2.26

226. � �� 2124.4 Mueve el punto decimal en el divisor y en el dividendo.

9.4226 � �� 2124.4

−−−−−

-2034 904

−−−−-904

0

Comprueba Usa la multiplicación: 2.26 × 9.4 = 21.244 ✓

Divide.

3a. 0.16 � �� 6.4 3b. 0.207 ÷ 1.5

Observa que se siguen agregando ceros al final del dividendo hasta que el cociente termina (se detiene) o se hace periódico. Aprenderás más sobre decimales periódicos en la Lección 0-11.

Multiplica.

1. 2.4 2. 3.71 3. 23.8 4. 0.681

−−−

× 6 −−−

× 5 −−−

× 16 −−−−

× 11

5. 4.2 6. 0.8 7. 14.7 8. 0.67

−−−−

× 3.7 −−−−

× 6.2 −−−−

× 2.3 −−−−−

× 0.43

9. 1.4 × 16 10. 2.8 × 9 11. 7.5 × 4.2

12. 3.6 × 1.9 13. 173.68 × 0.08 14. 26.3 × 2.41


15. 4.4 � �� 154 16. 0.306 � �� 6.12 17. 12.2 � �� 4.88

18. 0.09 � �� 3 19. 5.09 � �� 0.01018 20. 4.02 � �� 265.32

Divide.

21. 2 � �� 0.516 22. 11.3 � �� 51.98 23. 15 � �� 8.31

24. 3.3 � �� 37.95 25. 12 � �� 6.054 26. 12 � �� 0.72

27. 1.7 � �� 5.61 28. 6.3 � �� 26.46 29. 0.26 � �� 1.404

30. 9.7 ÷ 8 31. 17,228 ÷ 47.2 32. 42.66 ÷ 7.9

33. 265.68 ÷ 98.4 34. 80.66 ÷ 10.9 35. 26.94 ÷ 6.735

EjerciciosEjercicios0-6

0-7 Números primos y números compuestosUn factor es un número que se divide entre otro sin residuo. Un número es divisible entre sus factores. Por ejemplo, 4 es un factor de 8 y 8 es divisible entre 4. A veces puedes saber si un número es divisible entre otro número sin necesidad de hacer la división.

Un número es divisible entre…

si su último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.

si la suma de sus dígitos es divisible entre 3.

si sus dos últimos dígitos forman un número divisible entre 4.

si su último dígito es 0 ó 5.

si es divisible entre 2 y entre 3 a la vez.

si la suma de sus dígitos es divisible entre 9.

si su último dígito es 0.

1E J E M P L O Determinar la divisibilidad de los números

Determina si 516 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10.

2 sí El último dígito es 6.

5 + 1 + 6 = 12; 12 es divisible entre 3.

Los últimos dos dígitos son 16. 16 es divisible entre 4.

El último dígito no es 0 ni 5.

2 y 3 son factores.

5 + 1 + 6 = 12; 12 no es divisible entre 9.

El último dígito no es 0.

3 sí

4 sí

5 no

6 sí

9 no

10 no

Por lo tanto, 516 es divisible entre 2, 3, 4 y 6.

Determina si cada número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10.

1a. 740 1b. 1005

Un número compuesto tiene más de dos factores. Por ejemplo, 12 es un número compuesto porque sus factores son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Un número primo tiene sólo dos factores: 1 y él mismo. Por ejemplo, 29 es un número primo porque sus únicos factores son 1 y 29.

Por definición, el número 1 no es primo ni compuesto.

ObjetivosUsar las reglas de la divisibilidad para hallar todos los factores de un número dado

Identificar números como números primos o números compuestos

Vocabulariofactordivisiblenúmero compuestonúmero primo

0-7 Números primos y números compuestos Z17

Z18 Capítulo 0

2E J E M P L O Números primos y números compuestos

Determina si cada número es primo o compuesto.

A 171 × 17 1 y 17 son los únicos factores.

Por lo tanto, 17 es un número primo.

B 272 + 7 = 9; 27 es divisible entre 3 y 9.

Por lo tanto, 27 es un número compuesto.


2a. 11 2b. 57 2c. 132

Determina si cada número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10.

1. 406 2. 170 3. 884

4. 2604 5. 2020 6. 645

7. 5355 8. 395 9. 6000

Copia y completa la tabla. Escribe una tilde en el recuadro si el número que se da es divisible entre el número que encabeza la columna.

Número 2 3 4 5 6 9 10

10. 102

11. 775

12. 2844

13. 8990


14. 7 15. 100 16. 47

17. 22 18. 65 19. 51

20. 81 21. 2 22. 59

Haz una lista con todos los factores de cada número. Luego identifica si el número es primo o compuesto.

Número Factores Primo o compuesto

23. 10

24. 49

25. 4

26. 37


Si hallas aunque sea un solo factor de un número distinto del número mismo y de 1, ese número es compuesto. No es necesario que halles todos los factores.

0-8 Cómo factorizar Z19

0-8 Cómo factorizar

ObjetivosEscribir la factorización prima de un número

Vocabulariofactorización prima

Todos los números compuestos se pueden expresar como el producto de dos o más números primos. Este producto se llama factorización prima del número.

Puedes hallar la factorización prima de un número compuesto mediante un árbol de factores para organizar los factores.

Para un número dado son posibles varios árboles, pero, excepto los cambios en el orden, los factores primos serán siempre los mismos.

1E J E M P L O Factorizar mediante un árbol de factores

Halla la factorización prima de cada número.

A 40

Escribe el número que debes factorizar.

Elige dos factores cualesquiera de 40.

Sigue hasta que cada rama termine en un factor primo.







La factorización prima de 40 es 5 · 2 · 2 · 2.

B 72

La factorización prima de 72 es 2 · 2 · 2 · 3 · 3.

C 63

La factorización prima de 63 es 7 · 3 · 3.

D 110

La factorización prima de 110 es 2 · 5 · 11.

Halla la factorización prima de cada número.

1a. 50 1b. 64 1c. 51 1d. 150

El número 1 no es ni primo ni compuesto.

Z20 Capítulo 0

Cuando un factor aparece más de una vez, la factorización prima se puede escribir con potencias. Recuerda que el exponente de una potencia indica cuántas veces la base se usa como factor.

2E J E M P L O Escribir la factorización prima con exponentes

Escribe la factorización prima de cada número con exponentes.

A 2424 = 2 · 2 · 2 · 3 Escribe la factorización prima.

El 2 aparece 3 veces.

Escribe la factorización prima.

= 2 3 · 3

La factorización prima de 24 es 2 3 · 3.

B 100100 = 2 · 2 · 5 · 5

= 2 2 · 5 2

La factorización prima de 100 es 2 2 · 5 2 .


2a. 36 2b. 120 2c. 96

Usa un árbol de factores para hallar la factorización prima de cada número.

1. 20 2. 81 3. 28

4. 115 5. 300 6. 90

7. 27 8. 125 9. 450


10. 80 11. 180 12. 225

13. 600 14. 212 15. 135

16. 240 17. 252 18. 504

19. 48 20. 196 21. 1000

Completa cada recuadro para que la ecuación sea verdadera.

22. 128 = 4 � · 2 23. 272 = 2 � · 17

24. 140 = 2 2 · 5 · 25. = 2 3 · 39

26. Haz tres árboles de factores diferentes para el número 60. Muestra que cada árbol de factores da como resultado la misma factorización prima.


0-9 MCD y mcm Z21

0-9 MCD y mcm

ObjetivosHallar el MCD de dos o más números

Hallar el mcm de dos o más números

Vocabulariomáximo común divisormínimo común múltiplo

El máximo común divisor, o MCD, de dos o más números es el mayor número cabal que es factor de todos los números. Por ejemplo, 2 y 4 son factores comunes de 8 y 12, pero 4 es el máximo común divisor.

Una manera de hallar el MCD de dos o más números es hacer una lista de factores y elegir el mayor factor de cada lista.

1E J E M P L O Hallar el MCD mediante una lista de factores

Halla el MCD de 45 y 81.

45: 1, 3, 5, 9, 15, 45 Haz una lista de los factores de cada número.

Halla los factores comunes.

Identifica el máximo común divisor.

81: 1, 3, 9, 27, 81

El MCD es 9.

Halla el MCD de cada par de números.

1a. 30 y 45 1b. 32 y 48

También puedes hallar el MCD si escribes primero la factorización prima de cada número. El MCD será el producto de todos los factores primos comunes.

2E J E M P L O Hallar el MCD mediante la factorización prima

Halla el MCD de cada conjunto de números mediante la factorización prima.

A 140 y 112140: 2 × 2 × 7 × 5 Escribe la factorización prima de cada número.

Multiplica los factores comunes.

Escribe la factorización prima de cada número.

Hay sólo un factor común.

112: 2 × 2 × 7 × 2 × 2

2 × 2 × 7 = 28El MCD es 28.

B 10, 35 y 110 10: 5 × 2 35: 5 × 7110: 5 × 2 × 11

5EL MCD es 5.

Halla el MCD de cada conjunto de números mediante la factorización prima.

2a. 64 y 20 2b. 12, 18 y 60

Z22 Capítulo 0

Un múltiplo común de dos o más números cabales es un número cabal que es múltiplo de todos los números. Por ejemplo, 30 es múltiplo común de 3 y 5.

El menor número cabal que es múltiplo de los números se llama mínimo común múltiplo, o mcm. Por ejemplo, 15 es el mcm de 3 y 5.

3E J E M P L O Hallar el mcm

Halla el mcm de 8 y 12.

Método 1

Haz una lista con los múltiplos de cada número hasta que observes el mismo múltiplo en cada lista.

8: 8, 16, 24, 32, 40, 4812: 12, 24, 36, 48, 60, 72

El mcm de 8 y 12 es 24.

Método 2

Usa la factorización prima.

8 = 2 × 2 × 2 Escribe la factorización prima de cada número.12 = 2 × 2 × 3

Escribe un producto usando cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones.

2 × 2 × 2 × 3 = 24

El mcm de 8 y 12 es 24.

Halla el mcm de cada par de números.

3a. 12 y 18 3b. 24 y 30

Halla el MCD de cada par de números.

1. 8 y 12 2. 15 y 27 3. 44 y 55

4. 16 y 24 5. 35 y 10 6. 36 y 81

7. 28 y 42 8. 33 y 66 9. 100 y 125

Halla el mcm de cada par de números.

10. 15 y 18 11. 8 y 30 12. 4 y 20

13. 60 y 80 14. 15 y 25 15. 45 y 60

16. 95 y 152 17. 27 y 90 18. 72 y 81

Copia y completa la tabla.

Números MCD mcm

19. 18, 27 y 78

20. 9, 15 y 75

21. 12, 20, 70 y 98


Otra manera de hallar el mcm de dos números es hacer primero una lista de los múltiplos del número mayor y detenerte cuando encuentres un múltiplo que también sea múltiplo del número menor.

0-10 Fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad. Por ejemplo, 2 __ 4 y 1 __

2 son fracciones equivalentes porque representan

la misma cantidad.

La fracción equivalente de cualquier fracción se puede hallar multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número cabal.

1E J E M P L O Hallar fracciones equivalentes

Para cada fracción, escribe dos fracciones equivalentes.

A 2 _ 3

2 _ 3

= 2 × 2 _ 3 × 2

= 4 _ 6

Elige cualquier número cabal.

Multiplica el numerador y el denominador por ese número.

Halla un número que sea un factor del numerador y del denominador. Divide ambos entre ese número.

2 _ 3

= 2 × 5 _ 3 × 5

= 10 _ 15

Por lo tanto, 2 _ 3

es equivalente a 4 _ 6

y a 10 _ 15

.

B 12 _ 16

12 _ 16

= 12 ÷ 4 _ 16 ÷ 4

= 3 _ 4

12 _ 16

= 12 ÷ 2 _ 16 ÷ 2

= 6 _ 8

Por lo tanto, 12 _ 16

es equivalente a 3 _ 4

y a 6 _ 8

.


1a. 1 _ 4

1b. 28 _ 40

Una fracción dada tiene infinitamente muchas fracciones equivalentes. Sin embargo, sólo una de esas fracciones, incluida la original, está en su mínima expresión. La mínima expresión de una fracción es la fracción equivalente en la que el numerador y el denominador no tienen otro factor común que no sea 1.

Puedes usar el MCD del numerador y del denominador para escribir una fracción en su mínima expresión.

ObjetivosEscribir fracciones equivalentes

Escribir fracciones en su mínima expresión

Vocabulariofracciones equivalentesmínima expresión de

una fracción

0-10 Fracciones equivalentes Z23

Z24 Capítulo 0

2E J E M P L O Escribir fracciones en su mínima expresión

Escribe cada fracción en su mínima expresión.

A 25 _ 30

25: 1, 5, 25 Halla el MCD de 25 y 30.

El MCD es 5.

Divide el numerador y el denominador entre 5.

30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

25 ÷ 5 _ 30 ÷ 5

= 5 _ 6

La fracción 25 _ 30

en su mínima expresión es 5 _ 6

.

B 9 _ 16

El único factor común de 9 y 16 es 1.

La fracción 9 _ 16

está en su mínima expresión.


2a. 9 _ 15

2b. 24 _ 36


1. 1 _ 2

2. 3 _ 5

3. 1 _ 3

4. 20 _ 30

5. 24 _ 48

6. 30 _ 36

7. 4 _ 9

8. 14 _ 20

9. 10 _ 16

Compara. Escribe <, > ó =. (Pista: escribe fracciones equivalentes con el mismo denominador. Luego compara los numeradores).

10. 1 _ 2

6 _ 12

11. 2 _ 3

14 _ 21

12. 2 _ 3

3 _ 4

13. 7 _ 8

5 _ 6

14. 3 _ 4

7 _ 9

15. 3 _ 5

12 _ 25


16. 30 _ 40

17. 3 _ 19

18. 6 _ 18

19. 4 _ 16

20. 20 _ 28

21. 16 _ 20

22. 63 _ 72

23. 24 _ 28

24. 24 _ 42


También puedes hallar el MCD de dos números mediante sus factorizaciones primas.

0-11 Decimales, fracciones y porcentajes Z25

0-11 Decimales, fracciones y porcentajes

ObjetivosEscribir fracciones como decimales y porcentajes

Escribir decimales y porcentajes como fracciones

Muchos números se pueden escribir como decimales, fracciones o porcentajes. En la siguiente tabla se muestran tres fracciones comunes y sus decimales y porcentajes equivalentes.

Representación gráfica Fracción Decimal Porcentaje

1 _ 4

0.25 25%

1 _ 2

0.5 50%

1 _ 3

0.3333… 33.333…%

Algunos decimales tienen una cantidad finita de posiciones decimales. Estos decimales se llaman decimales finitos. En otros decimales, uno o más dígitos después del punto decimal se repiten indefinidamente. Estos decimales se llaman decimales periódicos. Los decimales periódicos se escriben con una barra sobre la parte que se repite.

1E J E M P L O Escribir fracciones como decimales

Escribe cada fracción como decimal.

A 3 _ 8

B 5 _ 9

Método 1 Método 1 0.375 0.5558 � �� 3.000 Divide 3 entre 8.

Usa una calculadora

9 � �� 5.000 Divide 5 entre 9.

Usa una barra para indicar el decimal periódico.

Usa una calculadora.

−−−

- 24 −−−

- 45 60 50

−−− - 56

−−− - 45

40 50

−−− - 40

−−− - 45

0 5

3 _ 8

= 0.375 5 _ 9

= 0. −

5

Método 2 Método 23 8 = 0.375 5 9 = 0.55555… = 0.

− 5


1a. 5 _ 6

1b. 7 _ 20

Z26 Capítulo 0

En la siguiente tabla se muestran algunos valores posicionales decimales y sus fracciones equivalentes. Puedes usar esta información para escribir un decimal como fracción.

Décimas Centésimas Milésimas

0.1 = 1 _ 10

0.01 = 1 _ 100

0.001 = 1 _ 1000

2E J E M P L O Escribir decimales finitos como fracciones

Escribe cada decimal como una fracción en su mínima expresión.

A 0.75

0.75 = 75 _ 100

= 75 ÷ 25 _ 100 ÷ 25

= 3 _ 4

B 0.4

0.4 = 4 _ 10

= 4 ÷ 2 _ 10 ÷ 2

= 2 _ 5

C 0.032

0.032 = 32 _ 1000

= 32 ÷ 8 _ 1000 ÷ 8

= 4 _ 125

Escribe cada decimal como una fracción en su mínima expresión.

2a. 0.7 2b. 0.22 2c. 0.505

Al escribir un decimal periódico como fracción, identifica la cantidad de dígitos que se repiten. Luego halla la potencia de diez que tenga esa cantidad de ceros.

0. −

7 Se repite 1 dígito 10

0. −−

65 Se repiten 2 dígitos 100

Luego, escribe una fracción con los dígitos que se repiten en el numerador y la potencia de 10 menos 1 en el denominador.

3E J E M P L O Escribir decimales periódicos como fracciones

Escribe cada decimal periódico como fracción en su mínima expresión.

A 0. −

6 0.

− 6 Se repite un dígito. La potencia de 10 es 10.

Divide entre 10 – 1, es decir, 9.

Escribe la fracción en su mínima expresión.

Se repiten dos dígitos. La potencia de 10 es 100.


Escribe la fracción en su mínima expresión.

Se repiten tres dígitos. La potencia de 10 es 1000.


6 _ 9

6 ÷ 3

_ 9 ÷ 3

= 2 _ 3

B 0. −−

63 0.

−− 63

63 _ 99

63 ÷ 9

_ 99 ÷ 9

= 7 _ 11

C 0. −−−

121 0.

−−− 121

121 _ 999

Escribe cada decimal periódico como fracción en su mínima expresión.

3a. 0. −−

81 3b. 0. −

2 3c. 0. −−−

345

0-11 Decimales, fracciones y porcentajes Z27

• Para escribir un decimal como porcentaje, mueve el punto decimal dos posiciones hacia la derecha.

• Para escribir un porcentaje como decimal, mueve el punto decimal dos posiciones hacia la izquierda.

4E J E M P L O Convertir entre decimales y porcentajes

A Escribe 0.87 como porcentaje. B Escribe 64% como decimal.0. 8 7 6 4.

0.87 = 87% 64% = 0.64

4a. Escribe 0.28 como porcentaje. 4b. Escribe 175% como decimal.


1. 1 _ 2

2. 5 _ 8

3. 6 _ 25

4. 7 _ 9

5. 1 _ 5

6. 5 _ 11

Escribe cada decimal como fracción.

7. 0.8 8. 0.25 9. 0.125

10. 0. −

3 11. 0. −−

73 12. 0. −−

27

Escribe cada porcentaje como decimal.

13. 73% 14. 12% 15. 50%

16. 89% 17. 4% 18. 22%

Escribe cada decimal como porcentaje.

19. 0.57 20. 1.92 21. 0.15

22. 0.86 23. 0.08 24. 1.43

Copia y completa la tabla.

Fracción Decimal Porcentaje

25. 2 _ 5 40%

26. 0.12

27. 6%

28. 9 _ 50


Z28 Capítulo 0

0-12 Cómo hallar un denominador común

Cuando trabajas con fracciones, a menudo tienes que volver a escribir las fracciones como fracciones equivalentes con el mismo denominador, el denominador común de las fracciones.

7 _ 12

y 1 _ 12

denominador común

5 _ 8

y 5 _ 6

denominadores distintos

La manera más fácil de hallar un denominador común de dos o más fracciones es multiplicar los denominadores.

1E J E M P L O Hallar un denominador común

Halla un denominador común de 1 __ 6 y 4 __

9 .

Multiplica los denominadores: 6 × 9 = 54.

Un denominador común de 1 __ 6 y 4 __

9 es 54.

1. Halla un denominador común de 1 __ 4 y 3 __

14 .

El mínimo común denominador, o mcd, de dos o más fracciones es el menor número que es denominador común de las fracciones. El mcd es el mcm de los denominadores.

2E J E M P L O Hallar el mcd

Halla el mcd de cada par de fracciones.

A 1 _ 6

y 4 _ 9

Halla el mcm de los denominadores, 6 y 9. 6: 6, 12, 18 Haz una lista con los múltiplos de cada

denominador hasta que observes el mismo múltiplo en cada lista.

Escribe la factorización prima de cada número.

Escribe un producto usando cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones.

9: 9, 18, 27

El mcd de 1 _ 6

y 4 _ 9

es 18.

B 5 _ 12

y 1 _ 16

Halla el mcm de los denominadores, 12 y 16.12 = 2 × 2 × 316 = 2 × 2 × 2 × 23 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48

EL mcd de 5 _ 12

y 1 _ 16

es 48.


2a. 1 _ 4

y 3 _ 14

2b. 3 _ 5

y 5 _ 6

El mcm, o mínimo común múltiplo, de dos o más números es el menor número cabal que es múltiplo de los números.

ObjetivoHallar denominadores comunes y el mcd

Escribir fracciones equivalentes mediante el mcd

Vocabulariomínimo común denominador

0-12 Cómo hallar un denominador común Z29

Recuerda que para hallar fracciones equivalentes puedes multiplicar el numerador y el denominador

3 _ 4

= 3 × 3 _ 4 × 3

= 9 _ 12

por el mismo número.

3E J E M P L O Escribir fracciones equivalentes con el mcd

Halla el mcd de 1 __ 6 y 4 __

9 . Luego vuelve a escribir cada fracción como una fracción

equivalente con el mcd.

El mcm de 6 y 9 es 18. Por lo tanto, 18 es el mcd.Razona: ¿Por qué número debes multiplicar cada denominador para obtener 18?

1 _ 6

= 1 × � _ 6 × 3

= � _ 18

6 × 3 = 18. Por lo tanto, multiplica el numerador y el denominador por 3.

9 × 2 = 18. Por lo tanto, multiplica el numerador y el denominador por 2.

1 _ 6

= 1 × 3 _ 6 × 3

= 3 _ 18

4 _ 9

= 4 × � _ 9 × 2

= � _ 18

4 _ 9

= 4 × 2 _ 9 × 2

= 8 _ 18

Las fracciones 1 __ 6 y 4 __

9 son equivalentes a 3

__ 18

y 8 __

18 .

3. Halla el mcd de 1 __ 4 y 3 __

14 . Luego, vuelve a escribir cada fracción

como una fracción equivalente con el mcd.

Halla un denominador común de cada par de fracciones.

1. 1 _ 6

y 1 _ 10

2. 1 _ 2

y 5 _ 8

3. 7 _ 12

y 3 _ 20


4. 11 _ 12

y 4 _ 15

5. 9 _ 10

y 5 _ 14

6. 5 _ 18

y 8 _ 9

7. 1 _ 9

y 4 _ 15

8. 3 _ 4

y 13 _ 18

9. 7 _ 9

y 5 _ 24

10. 1 _ 10

y 5 _ 8

11. 5 _ 24

y 7 _ 15

12. 3 _ 16

y 9 _ 20

Halla el mcd de cada conjunto de fracciones. Luego vuelve a escribir cada fracción como una fracción equivalente con el mcd.

13. 1 _ 3

y 3 _ 4

14. 1 _ 2

y 7 _ 15

15. 3 _ 10

y 2 _ 15

16. 5 _ 9

y 11 _ 12

17. 3 _ 4

y 1 _ 6

18. 1 _ 12

y 9 _ 16

19. 1 _ 5

, 1 _ 6

y 1 _ 15

20. 1 _ 2

, 2 _ 3

y 5 _ 9

21. 1 _ 3

, 3 _ 4

y 11 _ 16


Z30 Capítulo 0

0-13 Cómo sumar y restar fracciones

ObjetivoSumar y restar fracciones

Para sumar o restar fracciones, primero debes asegurarte de que tienen denominadores comunes. Luego suma o resta las fracciones sumando o restando los numeradores y manteniendo el denominador común.

1E J E M P L O Sumar y restar con denominadores comunes

Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.

A 1 _ 5

+ 2 _ 5

1 _ 5

+ 2 _ 5

= 1 + 2

_ 5

Suma los numeradores. Mantén el denominador.

Resta los numeradores. Mantén el denominador.

Escribe la respuesta en su mínima expresión.

= 3 _ 5

B 5 _ 6

- 1 _ 6

5 _ 6

- 1 _ 6

= 5 - 1 _ 6

= 4 _ 6

= 2 _ 3


1a. 1 _ 8

+ 5 _ 8

1b. 7 _ 9

- 4 _ 9

Para sumar o restar fracciones que no tienen un denominador común, primero debes volver a escribirlas como fracciones equivalentes con un denominador común.

2E J E M P L O Sumar y restar fracciones


A 5 _ 6

+ 3 _ 8

Paso 1 Halla el mcd. El mcm de 6 y 8 es 24. Por lo tanto, 24 es el mcd.

Paso 2 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd.

5 _ 6

= 5 × 4 _ 6 × 4

= 20 _ 24

3 _ 8

= 3 × 3 _ 8 × 3

= 9 _ 24

Paso 3 Suma.

20 _ 24

+ 9 _ 24

= 29 _ 24

El mcd es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. (Ver Lección 0-12)

0-13 Cómo sumar y restar fracciones Z31


B 7 _ 15

- 1 _ 6

Paso 1 Halla el mcd. El mcm de 15 y 6 es 30. Por lo tanto, 30 es el mcd.


7 _ 15

= 7 × 2 _ 15 × 2

= 14 _ 30

1 _ 6

= 1 × 5 _ 6 × 5

= 5 _ 30

Paso 3 Resta.

14 _ 30

- 5 _ 30

= 9 _ 30

= 3 _ 10


C 5 _ 9

+ 2 _ 3

+ 1 _ 2

Paso 1 Halla el mcd. El mcm de 9, 3 y 2 es 18. Por lo tanto, 18 es el mcd.


5 _ 9

= 5 × 2 _ 9 × 2

= 10 _ 18

2 _ 3

= 2 × 6 _ 3 × 6

= 12 _ 18

1 _ 2

= 1 × 9 _ 2 × 9

= 9 _ 18

Paso 3 Suma.

10 _ 18

+ 12 _ 18

+ 9 _ 18

= 31 _ 18


2a. 1 _ 2

+ 3 _ 5

2b. 7 _ 8

- 5 _ 6

2c. 1 _ 4

+ 2 _ 5

+ 7 _ 10


1. 1 _ 5

+ 3 _ 5

2. 7 _ 10

- 3 _ 10

3. 5 _ 8

+ 7 _ 8

4. 7 _ 12

- 1 _ 12

5. 8 _ 9

+ 5 _ 9

6. 8 _ 9

- 5 _ 9

7. 1 _ 6

+ 2 _ 3

8. 1 _ 2

- 1 _ 4

9. 7 _ 9

- 1 _ 3

10. 3 _ 8

+ 1 _ 4

11. 1 _ 9

+ 5 _ 18

12. 4 _ 5

- 3 _ 10

13. 2 _ 3

+ 3 _ 5

14. 1 _ 2

- 1 _ 7

15. 1 _ 7

+ 3 _ 8

16. 3 _ 4

+ 4 _ 5

17. 1 _ 10

+ 3 _ 11

18. 13 _ 17

- 2 _ 3

19. 3 _ 4

+ 1 _ 6

20. 7 _ 10

- 3 _ 8

21. 8 _ 9

- 4 _ 5

22. 11 _ 12

+ 5 _ 8

23. 13 _ 14

- 5 _ 6

24. 6 _ 13

+ 2 _ 3

25. 9 _ 10

+ 5 _ 6

26. 1 _ 2

+ 1 _ 3

+ 1 _ 4

27. 1 _ 5

+ 1 _ 6

+ 3 _ 15

28. 1 _ 2

+ 3 _ 5

+ 1 _ 10

29. ( 3 _ 4

- 1 _ 3

) + 7 _ 12

30. ( 1 _ 3

+ 3 _ 7

) - 1 _ 9


Si no puedes hallar el mcd, puedes hallar un denominador común multiplicando los denominadores. Sin embargo, tal vez tengas que simplificar más la respuesta final.

Z32 Capítulo 0

0-14 Cómo multiplicar y dividir fracciones

Para multiplicar o dividir fracciones, no necesitas un denominador común.

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y luego multiplica los denominadores. Escribe tu respuesta en su mínima expresión.

1E J E M P L O Multiplicar fracciones

Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.

A 3 _ 4

× 2 _ 5

3 _ 4

× 2 _ 5

= 3 × 2 _ 4 × 5

Multiplica los numeradores y los denominadores.


Para escribir un número cabal como fracción, escríbelo con un denominador de 1: 4 = 4 __

1 .

Multiplica los numeradores y los denominadores.


= 6 _ 20

= 3 _ 10

B 4 × 3 _ 8

4 × 3 _ 8

= 4 _ 1

× 3 _ 8

= 4 × 3 _ 1 × 8

= 12 _ 8

= 3 _ 2


1a. 3 _ 8

× 4 _ 9

1b. 2 _ 5

× 2

Dos números son recíprocos si su producto es 1. Para hallar el recíproco de una fracción, invierte el numerador y el denominador. Por ejemplo, el recíproco de 2 __ 5 es 5 __

2 . Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar la fracción por su

recíproco. Por lo tanto, para dividir fracciones, multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción.

2E J E M P L O Dividir fracciones

Divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.

A 3 _ 4

÷ 2 _ 3

3 _ 4

÷ 2 _ 3

= 3 _ 4

× 3 _ 2

Transforma la división en una multiplicación. Escribe el recíproco de 2 __

3 .

Multiplica. = 3 × 3 _ 4 × 2

= 9 _ 8

ObjetivosMultiplicar y dividir fracciones

Vocabulariorecíprocos

0-14 Cómo multiplicar y dividir fracciones Z33


B 2 _ 3

÷ 6

2 _ 3

÷ 6 = 2 _ 3

÷ 6 _ 1

Escribe 6 como fracción.

Transforma la división en una multiplicación. Escribe el recíproco de 6.

Multiplica.


= 2 _ 3

× 1 _ 6

= 2 × 1 _ 3 × 6

= 2 _ 18

= 1 _ 9


2a. 5 _ 8

÷ 3 _ 4

2b. 1 _ 2

÷ 3


1. 1 _ 5

× 3 _ 5

2. 7 × 1 _ 2

3. 7 _ 8

× 4 _ 5

4. 1 _ 2

× 4 _ 7

5. 2 _ 5

× 6 _ 7

6. 4 _ 9

× 3 _ 16

7. 1 _ 8

× 6 8. 9 _ 14

× 7 _ 9

9. 20 × 3 _ 5

10. 2 _ 6

× 3 _ 8

11. 7 _ 12

× 3 _ 4

12. 6 _ 15

× 5 _ 12

Escribe el recíproco de cada número.

13. 3 _ 5

14. 8 _ 5

15. 10 16. 1 _ 2


17. 7 _ 12

÷ 1 _ 2

18. 4 _ 13

÷ 9 _ 26

19. 5 _ 9

÷ 10 _ 11

20. 5 ÷ 10 _ 11

21. 9 _ 10

÷ 3 22. 3 _ 5

÷ 4 _ 5

23. 8 _ 9

÷ 5 _ 9

24. 4 _ 17

÷ 2 _ 3

25. 9 _ 10

÷ 5 _ 8

26. 1 ÷ 7 _ 8

27. 2 _ 9

÷ 6 _ 7

28. 11 _ 18

÷ 1 _ 3

Multiplica o divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.

29. 4 _ 5

× 2 _ 3

× 5 _ 8

30. 7 _ 8

× 5 _ 7

× 6 31. ( 3 _ 7

÷ 6 _ 10

) ÷ 4 _ 7


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