“Microcontroladores PIC16F84 aplicados al Control Numérico”

Objetivo:

“Mostrar la conjugación de las Ecuaciones matemáticas de La Geometría plana, los Microcontroladores PIC16F84, los motores de paso y la Electrónica Analógica en el diseño y construcción local de un prototipo de máquina controlada numéricamente (CNM)”

Autores:

Ing. Javier Arturo Corea Araujo

Ing. Cesar Armando Morales Molina

INTRODUCCIÓN.

Actualmente los métodos de diseño, fabricación y mantenimiento de una vasta gama de

productos y procesos de ingeniería utilizan la integración interdisciplinaria de la ingeniería

eléctrica, ingeniería electrónica y tecnología de computo; creando la necesidad de que

ingenieros y técnicos dispongan de habilidades y conocimientos que no circunscriban solo en

un área especializada, dando paso a una nueva era de profesionales competitivos e integrales

que tengan la capacidad para desenvolverse y comunicarse a través de toda una diversidad de

disciplinas de la ingeniería de una manera solvente y exitosa.

Esta investigación constituye un esfuerzo por ofrecer los fundamentos básicos de la nueva era

de la lógica digital y Mecatrónica, enfocándose directamente en el estudio y aplicación de

los Microcontroladores; brindando también referencias hacia herramientas de trabajo tales

como circuitos de control, interfaz “electrónica digital-computo” y diversos software,

optimizando así la relación teórico - práctica que este estudio es capaz de brindar.

CONTROL NUMÉRICO POR COMPUTADORA

Se considera de Control Numérico por Computador, también llamado CNC, a todo

dispositivo capaz de dirigir el posicionamiento de un órgano mecánico móvil mediante

órdenes elaboradas de forma totalmente automática a partir de informaciones numéricas en

tiempo real.

Entre las operaciones de maquinado que se pueden realizar en una máquina CNC son

operaciones de torneado y de fresado. Sobre la base de esta combinación es posible generar la

mayoría (si no son todas) las piezas de industria.

Este es, sin duda, uno de los sistemas que ha revolucionado la fabricación de todo tipo de

objetos, tanto en la industria metalúrgica como en muchos otros ámbitos productivos.

CNC no es una tecnología nueva, apareció en EU alrededor de 1957, el uso de este tipo de

máquinas debería ser tan importante para el estudiante como el hecho de hablar inglés

correctamente o leer escritos técnicos.

Alrededor de 1966 las máquinas herramientas en EU fueron desplazados completamente por

las nuevas máquinas de precisión (CNC) según informa Steve Krar líder del equipo CNC de

la compañía americana Precision Machining Technology.

El término control numérico es comúnmente aceptado en la industria de las máquinas

herramientas, el control numérico (CN) permite al operador comunicarse con la máquina

herramienta a través de una serie de números y símbolos.

El término NC rápidamente se convirtió en control numérico por computadora (CNC)

trayendo tremendos cambios a la industria metalúrgica. Las nuevas máquinas herramientas

CNC han permitido a la industria producir y lograr precisión en los diseños nunca antes

soñados.

Una misma pieza puede ser producida al mismo ángulo y la misma precisión las veces que

sea necesario, los comandos de operación y el control de la máquina herramienta son

realizados automáticamente con una buena velocidad, precisión, y eficiencia.

MÁQUINAS QUE USAN CNC

Las antiguas máquinas herramientas eran diseñadas para que el operador estuviera parado

frente a la máquina mientras operaba los controles, este tipo de diseño ya no es necesario, ya

que en una máquina CNC el operador ya no controla los movimientos de la máquina.

En una máquina convencional, solo el 20% del tiempo de diseño se utiliza para moldear el

material, con la adición del control electrónico, la efectividad del tiempo de diseño se

incrementa al 80% o mas, esto reduce la cantidad de tiempo requerido para el corte de las

piezas en cada posición del la máquina.

TIPOS DE MÁQUINAS.

TORNOS

Los tornos, son unas de las más productivas máquinas herramientas, a sido siempre la mejor

manera de producir piezas redondas.

La mayoría de los tornos CNC están programados en dos ejes.

- el eje X que controla el movimiento cruzado de la cortadora, la dirección X negativa

mueve la herramienta en dirección al centro del eje de acción.

- La dirección Z controla el viaje del carrete acercándolo o alejándolo del cabezal fijo.

Figura 1

FRESADORAS

Las fresadoras siempre han sido una de las mas versátiles máquinas herramientas usadas en la

industria; operaciones como fresado, torneado, corte de engranes, taladrado, y cepillado, son

solo algunas de las muchas operaciones que una fresadora puede realizar.

Las fresadoras CNC están programadas en tres ejes.

- El eje X controla los movimientos de la fresadora a izquierda o derecha.

- El eje Y controla los movimientos hacia adentro o hacia fuera.

- El eje Z controla el movimiento vertical (arriba o abajo)

Figura 2

VARIABLES CONTROLADAS EN UNA FRESADORA “CNC” PARA

LA REALIZACIÓN DE UN PROCESO.

Como se trata de una máquina CNC (Control Numérico Computarizado por sus siglas en

inglés), los movimientos de la herramienta con respecto al material están controlados por

unos dispositivos, que en este caso se trata de Microcontroladores, que comunican a una PC y

la herramienta de trabajo.

Debido a que una fresadora es una máquina en la que su herramienta de corte posee tres ejes

de movimiento, y el desplazamiento en cada eje es controlado por un motor paso a paso.

Son los motores Paso a Paso las variables a controlar y específicamente lo que se controla

de estos es su posición y velocidad.

Los componentes involucrados en el control son:

- PC

- Transductor

- Microcontroladores

- Software

A grandes rasgos estos son los principales actores en el control de un proceso industrial, para

este caso particular.

Necesariamente el control comienza desde una PC convencional, donde se encuentran los

software para poner las ordenes del diseño de la pieza que se va a realizar, luego estas son

enviadas a un circuito transductor que se encarga de transformar los datos de la PC para

poder ser entendidos e interpretados por los Microcontroladores, y por ultimo son estos los

encargados de enviar los pulsos de acuerdo a lo recibido por la PC para el control de los

motores paso a paso.

MICROCONTROLADORES PIC

Un microcontrolador es un circuito integrado programable que contiene todos los

componentes necesarios para controlar el funcionamiento de una tarea determinada, como el

control de una lavadora, un teclado de ordenador, una impresora, un sistema de alarma, etc.

Para esto el microcontrolador debe disponer de una memoria donde se almacena el programa

que gobierna el funcionamiento del mismo que una vez programado y configurado solo sirve

para realizar la tarea asignada. La utilización de un microcontrolador en un circuito reduce

notablemente el tamaño y número de componentes y en consecuencia, disminuye el número

de averías, el volumen y el peso de los equipos entre otras ventajas.

El microcontrolador es uno de los inventos más notables del siglo XX. En el mercado hay

una gran cantidad de ellos, con multitud de posibilidades y características. Cada tipo de

microcontrolador sirve para una serie de casos y es el diseñador del sistema quien debe

decidir cual es el microcontrolador más idóneo para cada uso.

Los PIC ( Peripheral Interface Controller) son una familia de microcontroladores que ha

tenido gran aceptación y desarrollo en los últimos años gracias ha que su buenas

características , precio bajo, reducido consumo, pequeño tamaño, gran calidad, fiabilidad, y

abundancia de información , lo convierten en muy fácil , cómodo y rápido de utilizar .

PIC16F84

En términos generales el PIC16F84 está fabricado en tecnología CMOS1, es completamente

estático (si el reloj se detiene, los datos de la memoria no se pierden). Posee memoria

FLASH, esto hace que tenga menor consumo de energía, y como si fuera poco tiene mayor

capacidad de almacenamiento.

El encapsulado más común para estos microcontrolador es el DIP (Dual In-line Pin) de 18

pines, y utiliza un reloj de 4 MHz (cristal de cuarzo). Sin embargo, hay otros tipos de

encapsulado, por ejemplo, el encapsulado tipo surface mount (montaje superficial) es mucho

mas pequeño, estos se muestran en la figura 3, en la figura 4 aparece la distribicion de pines

para el encapsulado tipo DIP.

Figura 3 Encapsulados del PIC16F84

1 CMOS (del inglés Complementary Metal Oxide Semiconductor, "Semiconductor Complementario de Óxido Metálico")

Terminales del microcontrolador y sus respectivas funciones:

Figura 4 Encapsulado DIP - PIC16F84

Pines 1, 2, 3, 17 y 18 (RA0-RA4/TOCKI): Es el PORT A. Corresponden a 5 líneas

bidireccionales de E/S (definidas por programación). Es capaz de entregar niveles TTL

cuando la alimentación aplicada en VDD es de 5V ± 5%. El pin RA4/TOCKI como entrada

puede programarse en funcionamiento normal o como entrada del contador/temporizador

TMR0.

Cuando este pin se programa como entrada digital, funciona como un disparador de Schmitt

(Schmitt trigger), puede reconocer señales un poco distorsionadas y llevarlas a niveles

lógicos (cero y cinco voltios). Cuando se usa como salida digital se comporta como colector

abierto; por lo tanto se debe poner una resistencia de Pull-Up (resistencia externa conectada a

un nivel de cinco voltios). Como salida, la lógica es inversa: un "0" escrito al pin del puerto

entrega a la salida un "1" lógico. Este pin como salida no puede manejar cargas como fuente,

sólo en el modo sumidero.

Pin 4 (MCLR / Vpp): Es un pin de múltiples aplicaciones, es la entrada de Reset (master

clear) si está a nivel bajo y también es la habilitación de la tensión de programación cuando

se está programando el dispositivo. Cuando su tensión es la de VDD el PIC funciona

normalmente.

Pines 5 y 14 (VSS y VDD): Son respectivamente los pines de tierra y alimentación. La

tensión de alimentación de un PIC está comprendida entre 2V y 6V aunque se recomienda no

sobrepasar los 5.5V.

Pines 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 (RB0-RB7): Es el PORT B. Corresponden a ocho líneas

bidireccionales de E/S (definidas por programación). Pueden manejar niveles TTL cuando la

tensión de alimentación aplicada en VDD es de 5V ± 5%. RB0 puede programarse además

como entrada de interrupciones externas INT. Los pines RB4 a RB7 pueden programarse

para responder a interrupciones por cambio de estado. Los pines RB6 y RB7 se corresponden

con las líneas de entrada de reloj y entrada de datos respectivamente, cuando está en modo

programación del integrado.

Pines 15 y 16 (OSC1/CLKIN y OSC2/CLKOUT): Corresponden a los pines de la entrada

externa de reloj y salida de oscilador a cristal respectivamente.

2.8 REPERTORIO DE INSTRUCCIONES El repertorio de instrucciones del PIC16F84 esta compuesto por 35 instrucciones ( listadas en

la tabla 1) que pueden ser agrupadas para su mayor comprensión de la siguiente manera:

- Instrucciones de carga.

- Instrucciones aritméticas.

- Instrucciones lógicas.

- Instrucciones de bit.

- Instrucciones de salto.

- Instrucciones para manejo de subrutinas.

- Instrucciones especiales.

Las principales características del repertorio de instrucciones del PIC16F84 son:

- es un juego reducido de 35 instrucciones simples y rápidas.

- La mayoría de las instrucciones se ejecutan en 4 ciclos de reloj, menos las de salto

que requieren 8 ciclos.

- Las instrucciones son ortogonales. Casi todas las instrucciones pueden usar cualquier

operando.

- Todas las instrucciones tienen la misma longitud, 14 bits y todos los datos son de 8

bits.

Tabla 1 repertorio de instrucciones

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CONEXIÓN MOTOR PAP BIPOLAR O UNIPOLARES CON EL

PIC16F84

El montaje a realizar para el motor bipolar se muestra en la figura 7, en el que se ha realizado

la conexión del motor PAP a través de los drivers del L293B.

Figura 7 Conexión del motor PAP bipolar a PIC16F84A y driver L293B

Las líneas RBO, RB1, RB2 y RB3 serán las encargadas de generar la secuencia de activación

del motor paso a paso, mientras que RB4 y RB5 se ponen siempre a "1" para activar las

entradas de habilitación de los drivers. Las salidas de los drivers se conectan a las bobinas del

motor para conseguir la corriente suficiente que permita su funcionamiento. La tensión

aplicada al pin Vs es la de alimentación del motor, en este ejemplo se utiliza un motor de 12

V.

Las líneas RA5:RA0 se han conectado a unos interruptores que pueden entregar a dichos

pines un nivel alto "1" o un nivel bajo "0", dependiendo de que estén abiertos o cerrados,

respectivamente. Esto permitirá controlar las condiciones de funcionamiento del motor según

el estado de estos interruptores.

Si se deseare controlar un motor unipolar la configuración es idéntica con el detalle de no

alimentar el driver en su pin VS, dándonos la libertad de poder también sustituir el driver por

un juego de cuatro transistores conectados como en la figura 5.

FRESADORAS Y EL CONTROL NUMÉRICO

Una fresadora es una máquina herramienta utilizada para realizar procesos por arranque de

viruta mediante el movimiento de una herramienta rotativa de varios filos de corte

denominada “fresa”. En las fresadoras tradicionales, la pieza se desplaza acercando las zonas

a mecanizar a la herramienta, permitiendo obtener formas diversas, desde superficies planas a

otras más complejas.

Inventadas a principios del siglo XIX, las fresadoras se han convertido en máquinas básicas

en el ‘’Medio Industrial’’. Gracias a la incorporación del control numérico, son las máquinas

herramientas más polivalentes por la variedad de mecanizados que pueden realizar y la

flexibilidad que permiten en el proceso de fabricación. La diversidad de procesos mecánicos

y el aumento de la competitividad global han dado lugar a una amplia variedad de fresadoras

que, aunque tienen una base común, se diferencian notablemente según el sector industrial en

el que se utilicen.

El primer desarrollo en el área del control numérico por computadora (CN) lo realizó el

inventor norteamericano John T. Parsons (Detroit 1913-2007) junto con su empleado Frank

L. Stulen, en la década de 1940. El concepto de control numérico implicaba el uso de datos

en un sistema de referencia. La aplicación del control numérico abarca gran variedad de

procesos. Se dividen las aplicaciones en dos categorías: las aplicaciones con máquina

herramienta, tales como taladrado, fresado, laminado o torneado; y las aplicaciones sin

máquina herramienta, tales como el ensamblaje, trazado, oxicorte o metrología.

El principio de operación común de todas las aplicaciones del control numérico es el control

de la posición relativa de una herramienta o elemento de procesado con respecto al objeto a

procesar. Al principio los desplazamientos eran de punto a punto, y se utilizaban básicamente

en taladradoras. La invención de las funciones de interpolación lineal y circular y el cambio

automático de herramientas hizo posible la construcción de una generación de máquinas

herramientas con las que se taladra, rosca, fresa e incluso se tornea y que han pasado a

denominarse centros de mecanizado en lugar de fresadoras propiamente dichas.

Las fresadoras con control numérico por computadora (CNC) son un ejemplo de

automatización programable. Se diseñaron para adaptar las variaciones en la configuración de

productos. Su principal aplicación se centra en volúmenes de producción medios de piezas

sencillas y en volúmenes de producción medios y bajos de piezas complejas, permitiendo

realizar mecanizados de precisión con la facilidad que representa cambiar de un modelo de

pieza a otra mediante la inserción del programa correspondiente y de las nuevas herramientas

que se tengan que utilizar así como el sistema de sujeción de las piezas. Utilizando el control

numérico, el equipo de procesado se controla a través de un programa que utiliza números,

letras y otros símbolos, están codificados en un formato apropiado para definir un programa

de instrucciones para desarrollar una tarea concreta. Cuando la tarea en cuestión varía, se

cambia el programa de instrucciones. En las grandes producciones en serie, el control

numérico resulta útil para la robotización de la alimentación y retirada de las piezas

mecanizadas.

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN PROTOTIPO FUNCIONAL ‘’FRESADORA’’.

1 Sujetadores para motor

2 Acople flexible para ejes

3 Abrazaderas de sujeción

1 Cuadrado roscado en aluminio para husillos con regulador axial de rosca

2 Cuadrado en aluminio deslizable o flotante

1 Piezas de lamina de aluminio para porta baleros

2 Sistema de desplazamiento vertical de Motor

3 Estructura y Sistema de desplazamiento Horizontal del Cabezal

4 Estructura y Sistema de desplazamiento de mesa porta trabajo

5 Cabezal de trabajo (CHOCK), cabezal, motor; Sistema completo de cabezal

de trabajo, Para la sujeción de la herramienta de corte o marcado

6 Barras lisas cromadas, para desplazamiento vertical de Cabezal

CIRCUITO ELECTRÓNICO COMO TRANSDUCTOR DE CONTROL NUMÉRICO

Se denomina electrónica de potencia a la rama de la ingeniería eléctrica que consigue

adaptar y transformar la electricidad, con la finalidad de alimentar otros equipos, transportar

energía, controlar el funcionamiento de maquinas eléctricas, etc.

Se refiere a la aplicación de dispositivos electrónicos, principalmente semiconductores, al

control y transformación de potencia eléctrica. Esto incluye tanto aplicaciones en sistemas de

control como de suministro eléctrico a consumos industriales o incluso la interconexión

sistemas eléctricos de potencia.

El principal objetivo de esta disciplina es el procesamiento de energía con la máxima

eficiencia posible, por lo que se evitan utilizar elementos resistivos, potenciales generadores

de pérdidas por efecto Joule. Los principales dispositivos utilizados por tanto son bobinas y

condensadores, así como semiconductores trabajando en modo corte/saturación (on/off).

Una de las principales aplicaciones de los convertidores electrónicos de potencia son los

siguientes:

Control de motores eléctricos: La utilización de convertidores electrónicos permite controlar

parámetros tales como la posición, velocidad o par suministrado por un motor. Este tipo de

control se utiliza en la actualidad en los sistemas de Control Numérico. Esta técnica,

denominada comercialmente como "inverter" sustituye el antiguo control encendido/apagado

por una regulación de velocidad que permite ahorrar energía.

Transformación o procesamiento de datos Numéricos: Funciona como transductor puro se

encarga de descifrar o decodificar las instrucciones establecidas en la programación,

transformando estas a niveles de voltaje TTL y corrientes no mayores de 125 mA,

entendibles para cualquier componente electrónico o acopladores de potencia como los ya

conocidos transistores de la serie TIP.

CONSTRUYENDO UN TRANSDUCTOR FUNCIONAL CNC

Con los conocimientos básicos de electrónica y control numérico obtenidos a este punto de la

investigación, la comprensión del funcionamiento del cerebro de la máquina CNC se vuelve

simple, Es de suma importancias tener las ideas claras sobre que se desea controlar o qué tipo

de información se desea procesar, en este caso particular lo interesante es sincronizar o

coordinar el movimiento de tres motores ubicados en los denominados ejes de trabajo X, Y y

Z. De manera que el propósito general, es lograr controlar del motor su velocidad, sentido de

giro, tiempo de trabajo, torque y frecuencia; ya que los motores deben ser capaces de

responder de igual manera sin importar su eje; el análisis se limitara a estudiar solo uno. El

circuito de funcionamiento es el siguiente:

En el cual la base de 18 pines será la encargada de recibir el PIC16F84 que controlara el

motor, los transistores Q1 a Q4 son los encargados de aislar el PIC de la Corriente de

alimentación de las bobinas en ciertos casos hasta 3 amperios, a la vez que reciben también la

corriente de base proveniente de las salidas del PIC encargadas de la conmutación de los

transistores, es importante recordar la conexión del PIC estudiada en capítulos anteriores

(reloj, y niveles de voltaje).

Las entradas del PIC en este caso 8 en total quedan a la orden de un socket para poder ser

interconectado con lo que de ahora en adelante se denominara PIC-Máster.

Es imprescindible que las controladoras de los motores X, Y y Z tomen conciencia de cuándo

y cuanto deben de trabajar; el circuito PIC-Máster es el encargado de esta función, siendo

quien regula la velocidad, tiempo, sentido de giro e incluso el torque al que estos deben

funcionar. Este tiene la siguiente configuración:

Al igual que en los casos anteriores la base de 18 pines es el lugar a ocupar por el PIC-

Máster, el cual interconecta sus 8 salidas (lo cual da lógica a las 8 entradas en X, Y y Z) a

través de 3 sockets conectados en paralelo para enviar la información, las entradas del PIC-

Máster están conectadas a 5 botones que según su configuración pueden ser selectores de

trabajo, finales de carrera o incluso selectores de pausa o stop.

Con un poco de habilidad y lógica uniendo de manera adecuada los circuitos mostrados, el

resultado será una tarjeta “Madre” capaz de controlar en gran precisión cualquier tipo de

maquinaria que coordine 3 ejes de trabajo.

PRIMERAS ECUACIONES DEL MOTOR “PASO A PASO”

(Básicas)

Un motor paso a paso puede consistir de varios grupos de bobinas o fases; pero se estudiará a

fondo el de 4 fases.

Se sabe que el paso ¨P¨ del motor indica el valor en grados girado por el eje, al aplicarle un

pulso a una fase, entonces una secuencia completa estaría determinada por 4 pulsos siendo el

giro total o numero de grados = 4P.

Si se repite ¨n¨ cantidad de veces este ciclo, el giro total que determinado por

Nc=numero de ciclos P=paso por fase

Nºgra=Nc. (4).(P)

Si se desea convertirlo a revoluciones:

Nrev= {4P (Nc)}/360 ò Nºrev= {(Nc) P}/90

Cuando se conoce ¨P¨ y se necesita saber el número de pulsos necesarios para 1 revolución

completa del eje se utiliza:

Nprev=numero de pulsos por revolución para P.(Np)= � grados de giro

Np= numero de pulsos Nprev= 360º/P

Calculando el ¨Nc¨ necesarios para 1 revolución completa con una secuencia de 4 pasos.

Ncrev=Nprev/4= 360/ {4(P)}=90/P

Para una generación precisa de giro se tiene:

Nc= �/(4P)

*Calculo de velocidad angular ¨ ω ¨*

La velocidad angular puede estar expresada en rad/seg, grados/ seg y rev/seg etc.

dependiendo de la aplicación.

Si el Nºrev es dividido entre el tiempo que tardo en girar dichas revoluciones se puede

encontrar ¨ ω ¨.

ω =d�/dt

Sea Nº rev= numero de revoluciones y ∆t rev=4r(Nc) tiempo de ejecución de dichas

revoluciones:

Donde “r” es el tiempo de espera entre pulsos o pasos; desde este momento

denominado “retardo”.

ω = Nºrev/∆trev= [{Nc(P)}/90]/{4r(Nc)}=?

ω = P/ (360r) en revoluciones por seg.

SINCRONIZACIÓN DE MOTORES PARA LA GENERACIÓN DE

CURVAS PERTENECIENTES A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

PLANA.

*Relación de velocidades

y

x

V V y

Vx y= f(x)

Si el eje ¨X¨ y el eje ¨Y¨ están dominados por un ritmo de cambio, dependiente de una

relación electromecánica y matemática; cuya ecuación dominante es: Vℓ={P.e}/{(360)r}

(como en el estudio anterior)

Se tiene la oportunidad de olvidarse de las características físicas y concentrarse solo en la

matemática implicada.

dy/dx= k dx/dy=J k y J representan las derivadas de la función F(x) trazadora,

dx= dy/k dx= Jdy

dx=dx

dy/k=Jdy 1=KJ

Detalle "A"

Vy

(x0,y0)

Δy

VxΔx Δtx0

y

x

V

y =f (x)

Δx

Δy

X 0

Ver detalle "A"

Vx

V

x

d y

d

dsVy

V

Suponiendo una velocidad “V” constante durante el cambio de coordenadas

(Xo, Yo) a [(Xo+∆x), (Yo-∆y)]

∆x= Vx .∆t ∆y = Vy.∆t

Si se hace más pequeños los segmentos ∆x, ∆t y ∆y se tendría dx= Vx dt y dy= Vydt

dy/dx= (Vydt)/(Vxdt)=Vy/Vx=k Vy/Vx=k Vx/Vy=J

Es indiferente el tiempo y es la misma relación cuantitativa de incrementos.

xVx

Vy V

Δy

Δx

P(x 0,y0 )

V =

*P(xo+∆x1+∆x2, yo-∆y1-∆y2) Analizando el eje x durante la distancia x0--(x0+∆x) se mantiene una velocidad constante.

y O

Δy

Δy

V max x

x

V

V max y

Δx 1 Δx 2 2

1

t 2

y

(Vx) + (Vy)22

Si α= 0 ∆y=0 Vy=0

Entonces [V]= Vx la cual se puede tomar como base.

dy/dx=K dy=Kdx

Para “x” Para “y”

V=√ (vx²+vy²) V2= Vy²(1/k)²+V²y

V=√ {(Vx)²(1+k²)} V= Vy √{(1+k²)/k²}

Vx= V/{√ 1+k²)} Vy= (kV)/{√(1+k²)}