UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-L

Tema.- Algebra Booleana.Nombre.- Christian Bautista.Nivel.- Quinto Nivel “A”Fecha.- 05-11-2015.

RESUMEN.

El Álgebra de Boole es una técnica algebraica

que nos permite resolver problemas

expresiones lógicas como pueden ser Y, O,

NO y SI; utilizadas en el diseño de circuitos

electrónicos y de conmutación eléctrica.

El álgebra de Boole sentó la base de la lógica

y le dio una base matemática, que permitió

que se implementara en los ordenadores.

Los ordenadores ven ceros y unos, que

representan números, letras, imágenes y

también razonamientos (Gracias al álgebra de

Boole).

ABSTRACT.

Boolean algebra is an algebraic technique that

allows us to solve problems logical

expressions such as AND, OR, NOT and OR;

used in the design of electronic circuits and

electrical switching

Boolean algebra laid the foundation of logic

and gave a mathematical basis , which allowed

to implement in computers.

Computers are zeros and ones that represent

numbers, letters, pictures and reasoning

(Thanks to Boolean algebra).

ÁLGEBRA DE BOOLE.

1El álgebra de Boole principalmente

nos habla de utilizar las técnicas

algebraicas para tratar expresiones de

la lógica proposicional para así poder

solucionar más rápidamente

problemas como lo son los que tiene

que ver con el ámbito de diseño

electrónico.

Y hubo algunas personas las cuales

usaban estas teorías para aplicarlas

en el diseño de circuitos de

conmutación eléctrica como fue

“Claude Shannon”

En 1938 Claude Shannon propuso que

con esta álgebra es posible modelar

los llamados Sistemas Digitales.

1 http://algebradboole.blogspot.com/2009/06/que-es-el-algebra-de-boole-y-para-que.html

ING. MARCO PILATASIG - SISTEMAS DIGITALES

En informática y matemática es una

estructura algebraica que esquematiza

las operaciones lógicas Y, O, NO y SI

(AND, OR, NOT, IF), así como el

conjunto de operaciones unión,

intersección y complemento.

Se definen las expresiones de

conmutación como un número finito de

variables y constantes, relacionadas

mediante los operadores (AND y OR).

En la ausencia de paréntesis, se

utilizan las mismas reglas de

precedencia, que tienen los

operadores suma (OR) y multiplicación

(AND) en el álgebra normal.

Es algebra de Boole es toda clase o

conjunto de elementos que pueden

tomar dos valores perfectamente

diferenciados que designaremos por 0

y 1 o EN otros casos se podrá ver

como v (verdadero) y f (falso) que

están relacionados por las dos

operación vinarias denominadas suma

(+) producto (•) la operación producto

se indica generalmente mediante la

ausencia de símbolos entre dos

variable lógicas.

LEYES QUE CUMPLE EL ÁLGEBRA DE BOOLE.

1) Conmutativa.

X + Y = Y + X

X * Y = Y * X

2) Asociativa

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X * (Y * Z) = (X * Y) * Z

3) Distributiva

X + (Y * Z) = (X + Y) * (X + Z)

X * (Y + Z) = (X * Y) + (X * Z)

4) Elementos Neutros (Identidad):

X + 0 = X

X * 1 = X

5) Complemento:

X + Ẋ = 1

X * Ẋ = 0

6) Dominación.

X + 1 = 1

X * 0 = 0

Demostración.

X + 1 = (X + 1) * 1 = (X + 1) * (X + Ẋ)

(X + 1) * (X + Ẋ) = X + (1* Ẋ) = 1

7) Idempotencia.

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X + X = X

X * X = X

8) Doble complemento.

Ẍ = X

9) Absorción.

X + X * Y = X

X * (Y + X) = X

Demostración.

X + X * Y = (X · 1) + (X * Y) = X * (1 +

Y) = X

10) DeMorgan:

A · B = A + B

A + B = A · B

OPERACIONES CON EL ÁLGEBRA DE BOOLE

Hemos definido el conjunto A = {0,1}

como el conjunto universal sobre el que se

aplica el álgebra de Boole, sobre estos

elementos se definen varias operaciones,

veamos las más fundamentales.

Operación suma.

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La operación suma (+) asigna a cada par

de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores

es un circuito de dos interruptores en

paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el

resultado será 1, es necesario que los dos

sumandos sean 0, para que el resultado

sea 0.

Operación producto.

a b a * b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La operación producto ( ) asigna a cada

par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores

es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el

resultado será 1, si uno solo de ellos es 0

el resultado será 0.

Operación negación.La operación negación presenta el

opuesto del valor de a:

a

0 1

1 0

Un interruptor inverso equivale a esta

operación.

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Operaciones combinadas.

a b

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Partiendo de estas tres operaciones

elementales se pueden realizar otras más

complejas, que podemos representar

como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de

interruptores es un circuito de dos

interruptores en paralelo, siendo el

primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores

de a y b da los resultados vistos en la tabla

de verdad.

CONCLUSIONES.

El Álgebra Booleana nos permite realizar operaciones lógicas aplicando

métodos del algebra convencional.

El método presentado es de mucha utilidad cuando se trabaja con pocas

variables, pero deja de serlo cuando este número crece.

La semejanza existente entre el álgebra booleana y la lógica proposicional,

nos permite realizar una relación entre las funciones existentes en una y en

otra.

RECOMENDACIONES.

Analizar bien el tipo de operación lógicas que se está realizando para evitar errores

de diseño de circuitos eléctricos o electrónicos.

BIBLIOGRAFIA

Cano B, (2009), Álgebra de Boole, Disponible en:

http://algebradboole.blogspot.com/2009/06/que-es-el-algebra-de-boole-y-

para-que.html [04-11-2015].

Araya Rodrigo, (2006), Álgebra de Boole, Disponible en:

http://users.dcc.uchile.cl/~clgutier/Capitulo_3.pdf [04-11-2015].

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