PABLO MART IN GAGLIARDI - Argentina.gob.arricabib.cab.cnea.gov.ar/34/1/1Gagliardi.pdf · Pablo Mart...

PROYECTO INTEGRADORCARRERA DE INGENIERIA´ NUCLEAR

MODELADO DE C OMPONENTES DE UN REACTOR

NUCLEAR UTILIZANDO MATLAB-S IMULINK

PABLO MARTIN´ GAGLIARDI

Director:Ing. Andres´ Etchepareborda

Instituto BalseiroCentro Atomico´ Bariloche

Universidad Nacional de Cuyo

Junio 2005

Dedicado a mis viejo s

i i

Resumen

La finalidad de este trabajo es la confeccion´ de componentes de biblioteca para lasimulacion´ de distintas partes de un reactor nuclear. Puntualmente los componentes quese han modelado son dos: un tanque que en su interior contiene agua lıquida´ y vapor enestado de saturacion´ , y una seccion´ de canerıa˜ ´ en cuyo interior puede circular agua enestado lıquido´ , vapor, o ambos en un flujo bifasico´ .

El trabajo muestra las ecuaciones utilizadas y de que manera se ha encarado la imple-mentacion´ , la cual se ha realizado en el entorno de programacion´ Matlab-S imulink. Elpaso de tiempo de los modelos es discreto y fijo.

En el caso del tanque se plantea un equilibrio termodinamico´ entre ambas fases entodo momento, y no contempla el caso de que exista solo´ una de ellas.

En el caso de la seccion´ de canerıa˜ ´ se plantea flujo homogeneo´ cuando existen dosfases, es decir que se lo trata como si fuera un fluıdo´ en una sola fase, pero con las pro-piedades promedio del lıquido´ y el vapor. Ademas´ considera perdidas´ de carga por fric-cion´ distribuıda´ y concentrada, y diferencias de altura entre la entrada y la salida delflujo.

A fin de conectar los diferentes componentes de librerıa´ , cada uno de ellos recibe unadeterminada informacion´ de otros componentes, y devuelve un cierto estado de sus varia-bles internas.

i i i

Abstract

The primary ob jective of this work is the development of library components for thesimulation of different parts of nuclear reactors. Specifically, two components have beenmodelled: a tank in which there is water and saturated steam, and a pipe sectionthrough which it may flow liquid water, steam or both in two-phase flow.

This work shows the equations that have been used and the way in which they havebeen implemented, which have been carried out in the MATLAB-S imulink programmingenvironment. The time step for the models is discrete and fixed.

For the tank case a thermo-dynamic equilibrium between phases is considered at alltimes, and does not contemplate the situation in which one of them do not exist .

As for the pipe section, if both phases exists, a homogeneus flow is considered, that isto say that is treated as if it was a one-phase flow, but with properties averaged betweensteam’ s and liquid’ s . Furthermore, it ’ s considered distributed and concentrated frictionfor head-loss, as well as a height difference between inlet and outlet .

In order to connect the different library components, each of them receives a deter-mined information from the other components, and gives back a certain state of itsinternal variables.

iv

Indice´

Indice´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Modelo de tanque con agua en saturacion´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Implementacion´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Evaluacion´ del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Modelo de seccion´ de canerıa˜ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Conservacion´ de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Conservacion´ del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Conservacion´ de la energıa´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Factores de friccion´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Implementacion´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Implementacion´ para agua lıquida´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0Implementacion´ para dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3Transicion´ entre una implementacion´ y otra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

Analisis´ de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5Evaluacion´ del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

Modelo de tanque y de canerıa˜ ´ en conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bibliografıa´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tabulado de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Diagramacion´ del Proyecto Integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Aprendizaje MATLAB-SIMULINK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Familiarizacion´ con metodos´ existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Busqueda´ bibliografica´ tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Llenado de tablas tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Confeccion´ programa tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Pruebas y correcciones tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Busqueda´ bibliografica´ canerıa˜ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Llenado de tablas canerıa˜ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Confeccion´ programa canerıa˜ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Pruebas y correcciones canerıa˜ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Redaccion´ del informe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Evaluacion´ Economica´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

v

CAPITULO´ I

Modelo de tanque con agua en saturacion´

Este tipo de tanque contiene exclusivamente agua lıquida´ y vapor de agua en equilibriotermodinamico´ . A la vez entra y sale agua a traves´ de 7 bocas en el tanque. El modelosupone que este equilibrio se establece instantaneamente´ , sin transitorios. En ningun´momento el tanque contendra una sola fase, es decir, agua subenfriada o vapor sobresa-turado. Este componente recibe como informacion´ los caudales entrantes y salientes almismo, junto con su entalpıa´ , mientras que devuelve la presion´ en cada una de sus bocasde entrada/salida y la entalpıa´ de saturacion´ a la presion´ del tanque. En la Fig. 1 semuestra un diagrama del mismo. No se ha tenido en cuenta la energıa´ cinetica´ que traeel agua y se pierde en el tanque, transformandose´ en energıa´ interna del mismo, debido aque lo consideramos un termino´ despreciable frente a los demas´ .

Volumen V=

mg

mf

P

Nivel

Figura 1 . Tanque en saturacion´ .

Ecuaciones constitutivas

Denominamos M a la masa total ( lıquido´ + vapor) y V al volumen ( constante) deltanque. S iendo ρf la densidad del lıquido´ y ρg la densidad del vapor, mf la masa delagua lıquida´ y mg la masa del vapor, encontramos que, a partir de:

V =mf

ρf+mg

ρg( 1 )

M = mf + mg ( 2 )

1

Resulta:

mf =M − ρg · V

1 − ρgρf

( 3)

mg =ρf · V − M

ρfρg− 1

( 4)

La energıa´ contenida en el tanque es:

E = ef · mf + e g · mg ( 5 )

La escribiremos de la siguiente manera por conveniencia:

E =

(ef +

pρf

)· mf +

(e g +

pρg

)· mg − p ·

(mf

ρf+mg

ρg

)( 6)

( 7)

E = h f · mf + h g · mg − p · V ( 8)

Utilizando ( 1 ) y ( 2 ) obtenemos:

V − Mρf

=

(1ρg− 1ρf

)mg

Y si ademas´ utilizamos la relacion´ H = h f · mf + h g · mg :

H − hf · M = ( h g − h f ) · mg

Despejamos mg de estas dos ultimas´ ecuaciones e igualamos:

H − h f · Mh g − h f

=V − M

ρf1

ρg− 1

ρf

Operando obtenemos:

H =h g − hf1

ρg− 1

ρf

· V +h f · ρf − h g · ρg

ρf − ρg· M ( 9)

Llamamos:

f1 =h g − hf1

ρg− 1

ρf

( 1 0)

f2 =hf · ρf − h g · ρg

ρf − ρg= h g − f1

ρg( 1 1 )

( 1 2 )

Pablo Martın´ Gagliardi

2

Y llegamos a:

H = f1 · V + f2 · M ( 1 3)

Notemos que las propiedades del agua dependen de p y de T , pero estas dos no sonindependientes entre sı trabajando en saturacion´ , entonces podemos poner todas las pro-piedades en funcion´ de solo´ una de ellas, y en nuestro caso sera p . Ergo f1 y f2

dependen solamente´ de p , y si derivamos respecto al tiempo, tenemos:

H =

(d f1

d p· V +

d f2

d p· M

)· d pd t

+ f2 · M ( 1 4)

La conservacion´ de la masa establece:

M = Win − Wout ( 1 5 )

donde:

Win : caudal masico´ entrante[k g

s

]

Wout : caudal masico´ saliente[k g

s

]

La variacion´ de la energıa´ la obtenemos derivando ( 8) e insertando ( 1 4) :

E = H − d pd t· V =

(d f1

d p· V +

d f2

d p· M

)· d pd t

+ f2 · M − d pd t· V

Sabemos que el aumento de energıa´ esta dado por h in · Win − hout · Wout + Q , de maneraque:

(d f1

d p· V +

d f2

d p· M

)· d pd t

+ f2 · M − d pd t· V = h in · Win − hout · Wout + Q

h in : entalpıa´ especıfica´ del agua entrante[J

k g

]

hout : entalpıa´ especıfica´ del agua saliente[J

k g

]

Q : calor entrante en el tanqueDespejando:

d pd t

=

[ (d f1

d p− 1

)· V +

d f2

d p· M

] − 1

·(h in · Wi n − hout · Wout + Q − f2 · M

)( 1 6)

Este valor ded p

d tnos permite conocer la evolucion´ de la presion´ en el tanque; esta presion´

junto con la masa M describen completamente al sistema.

Modelado de Componentes de un Reactor Nuclear utilizando Matlab-S imulink

3

En sıntesis´ , en las ecuaciones ( 4) , ( 1 5 ) y ( 1 6) se basa principalmente la implementa-cion´ . Recordar que nos basamos en todo momento en un caso de equilibrio termodi-namico´ , es decir, que la velocidad de transferencia de masa de una fase a otra tiende ainfinito.

Implementacion´

Puesto que trabajamos con intervalos de tiempo discretos, utilizaremos el supraındice´ kpara denotar el tiempo actual, y k+ 1 para el intervalo siguiente.

Habiendo actualizado todas las variables al tiempo k , leemos de las entradas los cau-dales ( W ) , las entalpıas´ ( h ) , y el calor entrante ( Q ) , que seran´ consideradas del intervalok+ 1 ; considerando:

M = Wink+ 1 − Wout

k+ 1

Calculamos, a partir de ( 1 6) :

d p

d t

k+ 1=

[ (d f1

d p

k− 1

)· V +

d f2

d p

k· Mk

] − 1

·(h i nk+ 1 · Win

k+ 1 − houtk+ 1 · Woutk+ 1 + Qk+ 1 − f2 · M

)

Este ultimo´ es utilizado para calcular la presion´ en el paso siguiente segun´ :

pk+ 1 = pk +d pd t

k+ 1· Ts

La masa total se obtiene de la formula´ :

M = M · Ts = (Wink+ 1 − Wout

k+ 1 ) · Ts

Y ahora con p y M calculamos la entalpıa´ , el nivel de agua, y cualquier condicion´ en eseinstante.

Evaluacion´ del modelo

Es momento de corroborar el funcionamiento del modelo, sometiendolo´ a una serie depruebas correspondientes a distintas situaciones en las que el tanque se puede encontrar,y acerca de las cuales tenemos una idea de cual´ debe ser la evolucion´ de las variables delmismo.

Mostraremos un caso en el que un tanque cuyo volumen es 1 0m3 , con una masa ini-cial de agua ( lıquido´ y vapor) de 8000 kg y una presion´ de 1 05 Pa ( aproximadamente unaatmosfera´ ) , recibe agua a traves´ de una de las entradas, cuya entalpıa´ especıfica´ es de 1 ,5 · 1 06J/kg, e ingresa con un caudal que depende de la presion´ en el tanque, a saber:

W = 0 , 03 · Phigh − p√ [

kgs

]

Donde:


4

Phigh : 2 · 1 05 Pap : presion´ en el tanque

La evolucion´ de las variables del tanque se muestra en la Fig. 2 . Observamos que amedida que la presion´ del tanque aumenta el caudal entrante es cada vez menor, hastaque la masa de agua del mismo llega a un punto estacionario, cuando p= Phigh . La tem-peratura y la energıa´ acumulada en el tanque inicialmente aumentan, hasta que alcanzanel punto estacionario recien´ mencionado. Se ha hecho un balance entre la energıa´ y lamasa entregada y las condiciones del tanque, y corroboramos que todos estos resultadoscoinciden con lo esperado.

0 50 100 1501

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2x 10

5

Tiempo [seg]

Pre

sion

[Pa]

0 50 100 15095

100

105

110

115

120

125

Tiempo [seg]

Tem

pera

tura

[C]

0 50 100 1508000

8200

8400

8600

8800

Tiempo [seg]

Mas

a T

otal

[kg]

0 50 100 1503.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4x 10

9

Tiempo [seg]

Ent

alpi

a [J

]

Figura 2 . Evolucion´ de las variables del tanque a lo largo del tiempo. Test 1 .

La expresion´ utilizada del caudal dependiente de la presion´ es arbitraria, y no consi-dera ningun´ tipo de calculo´ de friccion´ , ni la densidad del lıquido´ entrante; simplementeconseguimos que el caudal disminuya al aumentar la presion´ , hasta alcanzar un determi-nado valor en que el caudal es cero.

Otra prueba fue realizada a fin de asegurarnos del buen funcionamiento del modelo.Con las mismas dimensiones del tanque que en el caso anterior, estando ubicada la bocade entrada a 7 metros de altura sobre la base. El caudal de agua tiene ahora la forma:

W = 0 , 08 · | Ph igh − p |√

· s i g n(Phigh − p)[k gs

]


5

Tanto Ph igh como las condiciones iniciales son las mismas que en el caso precedente. Elcaudal sera entrante si Ph igh > p (W positivo) , y sera saliente si Phigh < p (W negativo) .Aquı tampoco se utiliza ningun´ tipo de calculo´ de friccion´ para llegar a esta formula´ . Launica´ diferencia con el caso anterior radica en que existe un calor entrante al tanque de1 06 [Watt] . En la Fig. 3 se muestra la evolucion´ del sistema. Inicialmente la presion´aumenta; hasta alcanzar Ph igh existe un caudal de agua entrante, mientras que a partirde entonces ( aproximadamente a los 46 segundos) el caudal de agua es saliente ( observarla curva de la Masa Total) . La temperatura inicialmente aumenta junto con la presion´ ,debido al ingreso de agua con alta entalpıa´ especıfica´ ( se encuentra en dos fases) ; inclusosigue aumentando una vez que el caudal de agua es saliente del tanque. A los 250segundos, aproximadamente, el nivel de agua ( que esta bajando) alcanza la boca deentrada/salida; esto significa que a partir de allı lo que saldra no es agua lıquida´ sinovapor. Es entonces que la presion´ en el tanque baja rapidamente´ ( en 1 0 segundosalcanza Phigh nuevamente) , ası como tambien´ la temperatura. Finalmente, luego de los260 segundos, con la presion´ y la temperatura estabilizadas, la masa continua disminu-yendo, como ası tambien´ la entalpıa´ total ( consecuencia de la disminucion´ de la masa) .

0 100 200 300 4001

1.5

2

2.5x 10

5

Tiempo [s]

Pre

sion

[Pa]

0 100 200 300 40095

100

105

110

115

120

125

130

Tiempo [s]

Tem

pera

tura

[C]

0 100 200 300 4006000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

Tiempo [s]

Mas

a T

otal

[kg]

0 100 200 300 4003.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4x 10

9

Tiempo [s]

Ent

alpi

a [J

]

Figura 3. Evolucion´ de las variables del tanque a lo largo del tiempo. Test 2 .


6

CAPITULO´ II

Modelo de seccion´ de canerıa˜ ´

Lo denominaremos indistintamente seccion´ de canerıa˜ ´ o simplemente cano˜ , y esta com-puesto por un conducto de area´ constante, que a partir de las ecuaciones de masa,momento y energıa´ calcula el caudal de fluıdo´ circulante a partir de las condiciones depresion´ en sus extremos; contempla la friccion´ concentrada o distribuıda´ que puedaexistir, y en el caso de que haya una diferencia de areas´ entre este´ y otro componente, lainterfaz sera abrupta; no se consideraran´ cambios graduales de seccion´ .

La seccion´ de canerıa˜ ´ recibe como dato la presion´ en cada uno de sus extremos y laentalpıa´ de entrada, y devuelve como resultado los caudales masicos´ y la entalpıa´ desalida.

El agua circulante puede estar en una o dos fases ( agua + vapor) y se utiliza unmodelo de flujo homogeneo´ , con propiedades promediadas de ambas fases [ Wallis ] . Enconsecuencia, se utilizaron todas las relaciones validas´ para flujo en simple fase, y en casode existir dos fases, se consideraron propiedades especıficas´ para vapor y lıquido´ satu-rado, interpoladas linealmente mediante el tıtulo´ .

Ecuaciones constitutivas

A pesar de que en el modelo el paso de tiempo es discreto, al mostrar las ecuaciones lavariable temporal sera continua. Recien´ en la siguiente seccion´ se mostraran´ las variablescomo discretas.

Comenzaremos mencionando las variables con las que trabajaremos:

A : area´ del cano˜L : longitud del cano˜W : caudal masico´µ : viscosidadρ : densidad del fluıdo´ν : volumen especıfico´x : t ıtulo´ del vaporh : entalpıa´ especıfica´ del fluıdo´V : velocidad del fluıdo´

Subındices´ :

in : correspondiente al fluıdo´ entranteout : correspondiente al fluıdo´ saliente

f : correspondiente a la fase lıquida´g : correspondiente a la fase vapor

Cuando nos referimos a las variables sin subındices´ , estamos hablando de las propie-dades medias del fluıdo´ dentro del conducto. Son validas´ las siguientes relaciones:

7

Vout =Wou t

Aou t · ρou t Vin =Wi n

Ai n · ρi nV =

Wi n + Wou t

2 · A · ρ ν = x · νg + ( 1 − x) · νfµ =

x

µg+

( 1 − x )

µfx =

h − hfhg − hf

Dadas las diferentes propiedades del agua, ya sea que estemos trabajando en una solafase o en dos, se han utilizado dos implementaciones distintas del modelo, pasando deuna a otra segun´ sea el caso. Llas ecuaciones constitutivas, comunes a ambos, son lassiguientes [ White] :

Conservacion´ de la masa

dρd t· A · L = Win − Wout ( 1 7)

Conservacion´ del momento

A · L · d(V · ρ)d t

+ Wout · Vout − Win · Vin + ( pout − pin) · A + ρ · g · A · ( zout − zi n)= ( ∆Ppump− ∆Pf ) · A

Donde ∆Pf contempla friccion´ distribuıda´ y concentrada:

∆Pf =f · ρ · V2 · L

2D�

Dis tri buida

+Kc · ρ · V2

2�

Concentrada

( 1 8)

Y ∆Ppump = ρ · ∆Hpump , puesto que en una bomba la curva H versus V · A es indepen-diente de la densidad si la viscosidad se mantiene constante.

Consideremos ahora que aproximadamente:

V ' Win + Wout

2 · ρ · A

A partir de aquı, utilizando Vo u t =Wout

A out · ρout y Vi n =Win

A in · ρ in , y dividiendo por A , la ecuacion´ ( 1 7)

queda finalmente:

L2 · A ·

d(Win + Wout)d t

+1A·(

Wout2

Aout · ρout− Win

2

Ai n · ρi n

)+ ρ · g · ( zout − zin)

= pin − pout + ∆Ppump− ∆Pf

Conservacion´ de la energıa´

(ho u t +

Vo u t2

2+ g · zou t

)· Wo u t −

(h i n +

Vi n2

2+ g · zi n

)· Wi n + A · L ·

d(ρ · h − p+

ρ · V 2

2

)

d t= Q + ∆Ppump · V · A

No se ha considerado la disipacion´ de energıa´ por viscosidad, ( que incluirıa´ al termino´∆Pf ) pues consideramos que no escapa calor al ambiente sino que queda en el fluıdo´ ,ademas´ de ser un termino´ de importancia menor en la ecuacion´ .


8

Factores de friccion´

Friccion´ distribuıda´ : la ecuacion´ ( 1 8) contiene el coeficiente de friccion´ f, que dependesolamente del numero´ de Reynolds (R eD ) y de la rugosidad relativa de las paredes delconducto (

ε

D) , cumpliendo la relacion´ [ White] :

1

f√ = − 2 · log

(ε/D3 , 7

+2 , 51

R eD · f√

)

en caso de que el flujo sea turbulento; mientras que, si es laminar, :

f =64R eD

Expresamos al numero´ de Reynolds: R eD =W · Dµ · A , y recordamos que se considera flujo

turbulento si R eD > 4000, laminar si R eD < 2290, y de transicion´ si se encuentra entreestos dos valores, aproximadamente.

Friccion´ concentrada: puede deberse a codos, expansiones, contracciones y otras carac-terısticas´ geometricas´ del conducto. Se utiliza el coeficiente Kc de la ecuacion´ ( 1 8) .Como los cambios de area´ entre conductos son bruscos, utilizamos las siguientes rela-ciones:

Contraccion´ : Kc = 0 , 42 ·(

1 − A

Ai n

)A < Ai n

Expansion´ : Kc =(

1 − Ai nA

) 2A > Ai n

Nota: Este Kc se utiliza en la ecuacion´ ( 1 8) con la densidad y la velocidad del cano˜mas´ angosto, de manera que si es una contraccion´ seran´ los valores aguas abajo de lamisma, mientras que si es una expansion´ seran´ los valores aguas arriba.

Implementacion´

Se utiliza un modelo de parametros´ concentrados ( ver Fig. 4) , en el cual tenemos uncoeficiente de friccion´ Kfi a la entrada, otro Kfo a la salida, y un volumen de control enel centro, a presion´ p, entalpıa´ especıfica´ h y densidad ρ . El coeficiente Kfi contempla laperdida´ de carga por friccion´ distribuıda´ en la primera mitad del cano˜ , la perdida´ decarga por friccion´ concentrada, y el termino´ de aceleracion´ por cambio de area´ . El coefi-ciente Kfo contempla la perdida´ de carga por friccion´ distribuıda´ en la segunda mitad delcano˜ .

Se considera como area´ de salida Aout al area´ del conducto A , y como area´ de entradaA in la del componente inmediatamente anterior; ver Fig. 5 . Como antes mencionamos, sehan confeccionado dos implementaciones del modelo, una a utilizarse cuando el agua seencuentra en estado lıquido´ , y otra para cuando se encuentra en dos fases. La razon´ deesto es la diferencia en las propiedades del agua entre los distintos casos. Una de lascaracterısticas´ de los lıquidos´ es que son poco compresibles, y en lo que respecta a estetrabajo, significa que si la presion´ cambia de un instante a otro, la densidad del fluıdo´permanecera practicamente´ invariable, y este hecho se tiene en cuenta en la formulacion´de las ecuaciones. En dos fases la influencia de la presion´ sobre la densidad es impor-tante, y se hace necesario trabajar con otro planteo del problema. En ambos casos seconsidera que no existe ninguna fuerza impulsora tal como una bomba, con lo que el ter-´mino ∆Ppump es igual a cero, y se omitira de aquı en adelante.


9

Pout

Wout

Pin

Win

P, hK K

fofi

Figura 4. Modelo utilizado.

Ain Aout

Pin Pout

Win Wout

Figura 5 . Seccion´ de canerıa˜ ´ . Areas y presiones.

Implementacion´ para agua lıquida´

A partir de la ecuacion´ ( 1 8) , y dejando de lado los terminos´ de energıa´ cinetica´ ( los quecontienen V2 ) y los de diferencias de altura ( zout y zin) , obtenemos la siguiente expresion´ :

A · L · d( ρ · h − p)d t

= h in · Win − hout · Wout + Q

Que bien podemos expresarla:

A · L ·(dρd t· h +

d hd t· ρ − d p

d t

)= h in · Win − hout · Wout + Q

Y utilizando ( 1 7) , al tiempo que despreciamosd p

d tfrente a los demas´ terminos´ :

A · L · ρ · d hd t

+ (Win − Wout) · h = h in · Win − hout · Wout + Q

Que operando queda:

A · L · ρ · d hd t

= ( h in − h ) · Win + ( h − hout) · Wout + Q ( 1 9)


1 0

Esto en forma discreta, bajo un esquema Backward Euler, con las variables de estadoactualizadas al instante k , y la entalpıa´ de entrada del instante siguiente ( k + 1 ) , loexpresamos:

hk+ 1 − hkTs

=1

A · L · ρ ·[( h ink+ 1 − hk ) · Win

k + ( hk − houtk ) · Woutk + Qk

]( 20)

Donde Ts es el paso de tiempo que utilizamos en el modelo. De aquı se despeja inmedia-tamente hk+ 1 , con la cual calculamos la densidad.

Vale la pena aclarar que se considera como entalpıa´ de salida a la media del cano˜ ( h ) ,y lo mismo vale para la densidad y cualquier otra propiedad del agua. En estas ecua-ciones suponemos a los caudales positivos, es decir que por ejemplo Wout efectivamentees saliente; en cambio en la implementacion´ estos pueden tomar valores negativos, y ental caso Wout serıa´ entrante, y la entalpıa´ saliente serıa´ h in en lugar de hout .

Pasamos entonces a la ecuacion´ de momento ( 1 8) , expresada:

L

2 · A ·dWi n

d t+Wi n

2

A · ρ ·(

1

Ao u t− 1

Ai n

)+ 0 , 5 · ρ · g · ( zou t − zi n ) = pi n − p− ∆Pfi

L

2 · A ·dWou t

d t+ 0 , 5 · ρ · g · ( zo u t − zi n ) = p− po u t − ∆Pfo ( 21 )

S i las sumamos podemos expresar, ahora en forma discreta, una vez mas´ bajo unesquema Backward Euler:

L

2 · A ·(Wi n

k+ 1 + Wo u tk+ 1 − Wi n

k − Wou tk )

Ts+Wi n

k 2

A · ρ ·(

1

Ao u t− 1

A i n

)+ ρ · g · ( zou t − zi n )

= pi nk+ 1 − pou tk+ 1 − ∆Pf

La razon´ por la cual utilizamos solamente Win en el termino´ de aceleracion´ y no Wout esque la aproximacion´ Wi n ' Wout = W , que podemos realizar gracias a que los cambios enla densidad son muy pequenos˜ en estado lıquido´ , nos permite utilizar cualquiera de losdos. Notese´ que tambien´ aproximamos ρin' ρout = ρ . Definiremos ahora:

Kfia =1A·(

1Aout

− 1Ain

)

Expresemos el termino´ ∆Pf = ∆Pfi + ∆Pfo en funcion´ de los caudales, basados nuevamente en

Wi n 'Wou t = W .

Friccion´ distribuıda´ :

∆Pfd =f · ρ · V2 · L

2D=f · ρ · L2 · D ·

(Wρ · A

) 2

=f · L

2 · D · ρ · A2· W2

Hagamos:

∆Pfd =Kfid · Win

2

ρ+Kfod · Wout

2

ρ

No es difıcil´ demostrar que los coeficientes Kfd son iguales entre sı , valiendo:

Kfid = Kfod =f · L

4 · D · A2


1 1

Friccion´ concentrada:

Kc · ρ · V2

2=Kc · ρ

2·(Wρ · A

) 2

=Kc

2 · ρ · A2· W2

Esta perdida´ de carga concentrada la suponemos en la region´ de entrada, donde seencuentra el cambio de seccion´ , siendo A el area´ del cano˜ actual si es una contraccion´(A < Ain) , y reemplazandola´ por el area´ del componente anterior (Ain) si es una expan-sion´ (A > Ain) .

Definimos entonces el coeficiente:

Kfc =Kc

2 · A2

Para expresar la perdida´ de carga por friccion´ concentrada:

∆Pfc =Kfc · Wi n

2

ρ

Ahora la ecuacion´ ( 21 ) puede ser expresada:

L

2 · A ·(Wi n

k+ 1 + Wou tk+ 1 − Wi n

k − Wou tk )

Ts+Kfi a

ρ· Wi n

k 2 + ρ · g · ( zo u t − zi n )

= pi nk+ 1 − po u tk+ 1 − (Kfi d + Kfc)

ρ· Wi n

k 2 − Kfo d

ρ· Wo u t

k 2

Despejando:

L

2 · A ·(Wi n

k+ 1 + Wou tk+ 1 − Wi n

k − Wou tk )

Ts+ ρ · g · ( zo u t − zi n )

= pi nk+ 1 − pou tk+ 1 − (Kfi d + Kfc + Kfi a )

ρ· Wi n

k 2 − Kfo d

ρ· Wo u t

k 2

Queda entonces llamar Kfi = Kfi d + Kfc + Kfi a ; Kfo = Kfo d para finalmente expresar:

L2 · A ·

(Wink+ 1 + Wout

k+ 1 − Wink − Wout

k )Ts

+ ρ · g · ( zout − zin)

= pi nk+ 1 − poutk+ 1 − Kfi

ρ· Win

k 2 − Kfo

ρ· Wout

k 2

Por otra parte, la conservacion´ de la masa:

ρk+ 1 − ρkTs

· A · L = Wi nk+ 1 − Wout

k+ 1

nos brinda, junto con ( 21 ) , las dos ecuaciones necesarias para encontrar ambos caudalesen el instante k + 1 , a traves´ de un sistema de 2 × 2 . Notese´ que como valor de ρk+ 1 se

ha utilizado aquel´ calculado a partir de hk+ 1 y pk ; lo ideal serıa´ haberlo hecho con pk+ 1 ,porque las demas´ variables se calculan en dicho paso de tiempo, pero sabemos que serauna muy buena aproximacion´ , a raız´ , nuevamente, de la incompresibilidad del lıquido´ .


1 2

Queda ahora simplemente calcular la presion´ media del cano˜ , para lo cual utilizamos:

p= pin −Kfi

ρ· Win

2 − L2 · A ·

Wi nk+ 1 − Win

k

Ts

Nota: Indistintamente podrıamos´ haber escogido Wout y pout para el calculo´ de p.

Implementacion´ para dos fases

Como el modelo es el mismo que para el caso de una fase, las ecuaciones utilizadas sonlas que vimos en aquel´ , solo´ cambiara la forma de despejar los terminos´ .

Comenzamos aplicando la ecuacion´ de energıa´ tal como se describe en ( 20) . Una vezhallado hk+ 1 se actualiza la densidad y se procede al calculo´ de los caudales, a partir dela ecuacion´ de momento, utilizandola´ para ambos conductos, tal como en ( 21 ) , solo´ queen forma discreta:

L2 · A ·

Wink+ 1 − Win

k

Ts+ 0 , 5 · ρ · g · ( zout − zin) = pin

k+ 1 − pk − Kfi

ρin· Win

k 2 ( 22 )

L2 · A ·

Woutk+ 1 − Wout

k

Ts+ 0 , 5 · ρ · g · ( zout − zin) = pk − poutk+ 1 − Kfo

ρ· Wout

k 2 ( 23)

Los coeficientes tienen la misma forma que en el caso de una sola fase:

Kfi =f · L

4 · D · A2+

Kc

2 · A2+

1A·(

1Aout

− 1Ain

)

Kfo =f · L

4 · D · A2

Para calcular la presion´ expresaremos la conservacion´ de la masa de la siguiente forma:

∂ρ∂p· d pd t

+∂ρ∂h· d hd t

=Win − Wout

A · L ( 24)

Y despejamos:

d pd t

=

[(Win − Wout)

A · L − ∂ρ∂h· d hd t

]· 1∂ρ/∂p

Al termino´∂ρ

∂h· d hd t

lo conocemos, pues calculamos ρ( hk+ 1 , pk ) ( llamemoslo´ ρ∗ ) y tenıamos´

ρk = ρ( hk , pk ) , con lo que, en forma discreta:

∂ρ∂h· d hd t' ρ∗ − ρkTs


1 3

Finalmente:

pk+ 1 − pkTs

=

[(Win

k+ 1 − Woutk+ 1 )

A · L +ρk − ρ∗Ts

]· 1∂ρ/∂p

( 25 )

De esta ultima´ ecuacion´ , ya con los valores de Wink+ 1 y Wout

k+ 1 , obtenemos de forma inme-diata pk+ 1 .

Transicion´ entre una implementacion´ y otra

Como antes mencionamos, el grado de compresibilidad del fluıdo´ es la caracterıstica´ quedeterminara el buen funcionamiento de uno u otro modelo. El indicador de tal propiedades el termino´ ∂ρ/∂p, que cuanto mayor es, mas´ compresible es el fluıdo´ . En el caso de laimplementacion´ para dos fases, basta con observar la ecuacion´ ( 25 ) , donde el termino´∂ρ/∂p esta dividiendo; si este´ es lo suficientemente grande, los cambios de presion´ atraves´ del tiempo seran´ leves y el modelo evolucionara suavemente, cosa que queremos.

El modelo de una fase, en cambio, se basa en la premisa de que, entre el calculo´ de loscaudales y el calculo´ de la presion´ , la densidad mantuvo un valor practicamente´ cons-tante, con lo cual su validez esta ligada a que ∂ρ/∂p permanezca lo suficientementepequeno˜ .

En la Fig. 6 puede verse, a entalpıa´ constante, la evolucion´ de la densidad en funcion´de la presion´ , para un caso en que la entalpıa´ especıfica´ es h = 490k J/k g . A presionesmayores a 1 . 8 atm el agua se encuentra en estado lıquido´ , mientras que a presionesmenores se encuentra en dos fases. Es notable como´ la pendiente de esta curva esabrupta en las cercanıas´ de la transicion´ de dos fases a una fase. Es en esta region´ dondela validez del modelo de dos fases es mayor, mientras que en la zona lıquida´ ( p > 0. 1 8 enFig. 6) , donde la curva es casi una constante, lo es la del otro modelo.

El grado de compresibilidad ∂ρ/∂p cambia, al pasar de la region´ de dos fases a laregion´ de una, en algo ası como 5 o 6 ordenes´ de magnitud, con lo cual parece certeroutilizar la magnitud de esta variable para definir la transicion´ de modelo, y es ası comose ha implementado.

0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Presion [MPa]

Den

sida

d [k

g/m

3]

Figura 6 . Densidad en funcion´ de la presion´ .


1 4

Analisis´ de estabilidad

Este sistema tiene como variables de estado la entalpıa´ h , la presion´ p, y los caudalesWin y Wout , mientras que las entradas externas del mismo son las presiones en losextremos pi n y pout , la entalpıa´ de entrada h in y el calor Q . Definiendo un vectorcolumna x

�

= ( h ; p; Win ; Wout) , y otro u�

= ( pi n ; pout ; h in ; Q ) , y si podemos expresar:

x� ˙ = f (x

�

, u�

)

Definimos:

δx = x� − x� 0

δu = u� − u� 0

Donde x�

0 y u�

0 surgen de un estado de equilibrio, y δx y δu son perturbaciones lo sufi-cientemente pequenas˜ . Cumpliendo todas estas condiciones, se puede escribir:

M · δx˙ = A · δx + B · δu ( 26)

Donde δx˙

es un vector columna que contiene las derivadas temporales de la perturbacion´δx , y M , A y B son matrices, en este caso de 4 × 4. Para verificar la estabilidad del sis-tema analizaremos los autovalores de la matriz M− 1 · A , que nos informaran´ si el sistemaes asintoticamente´ estable; esto es, que cualquier perturbacion´ de alguna de sus variablesde estado lleva, a tiempos lo suficientemente grandes, al estado del sistema a su posicion´de equilibrio x

�

0 .

S e parte entonces de las ecuaciones ( 1 9) , ( 24) , y las dos ( 23) , estas ultimas´ en suforma continua, no discreta. Utilizaremos como notacion´ :

h =d h

d tp =

d p

d t

Wi n˙ =

d Win

d tWo u t

˙ =d Wout

d t

En ( 1 9) hacemos ( h − hout) · Wout = 0, puesto que la entalpıa´ de salida hout es igual ala entalpıa´ media h . Perturbaremos las variables de estado y las entradas externas a finde analizar como´ cambia la derivada del sistema; queda algo de la forma:

δh =1

A · L · ρ · [ ( h i n − h ) 0 · δWin + ( δh in − δh ) · Win 0 + δQ ]

Con ( 24) queda:(∂ρ∂h

)

0

· δh +

(∂ρ∂p

)

0

· δp=δWin − δWout

A · L

Y ası con ( 23) , en donde hemos hecho zout = zi n para simplificar las ecuaciones:

L2 · A · δWin

˙ = δpi n − δp −(

2 · Kfi · Win

ρin

)

0

· δWin −(∂(Kfi · νi n)

∂h in· δh in +

∂(Kfi · νin)∂pin

·

δpin

)· Win 0

2

L

2 · A · δWou t˙ = δp− δpo u t −

(2 · Kfo · Wou t

ρ

)

0

· δWou t −(∂(Kfo · ν )

∂h· δh +

∂(Kfo · ν )

∂p· δp)· Wou t 0

2


1 5

Los subındices´ ’ 0’ significan que los terminos´ corresponden al estado de equilibrio inicial;de aquı en mas´ los omitiremos. Llegamos entonces a que las matrices y los vectores sonde la siguiente manera:

M =

1 0 0 0∂ρ∂h

∂ρ∂p

0 0

0 0L

2 · A 0

0 0 0L

2 · A

δx˙

=

δhδp

δWin˙

δWout˙

δx =

δhδpδWin

δWout

A =

− Win

A · L · ρ 0h in − hA · L · ρ 0

0 01

A · L − 1A · L

0 − 1 − 2 · Kfi · Win

ρin0

− ∂(Kfo · ν )

∂h· Wout

2 1 − ∂(Kfo · ν )

∂p· Wout

2 0 − 2 · Kfo · Wout

ρ

B =

0 0Win

A · L · ρ1

A · L · ρ0 0 0 0

1 − ∂(Kfi · νin)∂pin

· Win2 0 − ∂(Kfi · νin)

∂h i n· Win

2 0

0 − 1 0 0

δu =

δpinδpoutδh inδQ

Una vez que tenemos M y A podemos analizar si el sistema es estable bajo un tiempo demuestreo T s determinado. Como trabajamos con un esquema Backward Euler, la ecua-cion´ ( 26) discreta quedarıa´ :

M · ( δxk+ 1 − δx k )Ts

= A · δx k + B · δu k

S in considerar el ultimo´ termino´ , y despejando, llegamos a:

δx k+ 1 − δx k = Ts · M− 1 · A · δx k

δx k+ 1 = ( I + Ts · M− 1 · A) · δx k

Donde I es la matriz identidad. Pedimos ahora que los autovalores de ( I + Ts · M− 1 · A)tengan un modulo´ menor que 1 para asegurar la estabilidad, y notamos que la matriz


1 6

depende de T s , de manera que cuanto mas´ pequeno˜ sea este, mas´ se aproximan el sis-tema continuo y el discreto.

Nota: S i estuvieramos´ trabajando con un sistema continuo deberıamos´ estudiar losautovalores de M− 1 · A para definir la estabilidad del mismo.

Al aplicar estos criterios que acabamos de explicar, nos encontramos con los siguienteshechos:

• Cuando el agua se encontraba en estado lıquido´ , necesitabamos´ que T s sea muypequeno˜ ( del orden de 1 0− 5 ) para que el sistema sea estable.

• Cuando el tıtulo´ de vapor era muy bajo era cuando mas´ estable se encontraba elsistema, ya que funcionaba incluso para Ts del orden de la unidad.

• A medida que aumentaba el tıtulo´ necesitabamos´ menores Ts para lograr la esta-bilidad, si bien no llegaban a valores tan pequenos˜ como en el caso lıquido´ .

No es casualidad que las zonas de mayor estabilidad coincidan con las de mayores∂ρ

∂p,

pues como antes dijimos es entonces cuando mejor se comporta la implementacion´ parados fases. Sus autovalores continuos no tienen constantes de tiempo tan rapidas´ , y conBackward Euler se puede resolver el sistema de ecuaciones completo para valores de T srazonables para un componente de biblioteca.

En cambio en una fase los autovalores continuos son muy rapidos´ , con lo que se nece-sitan valores de Ts prohibitivamente pequenos˜ para aplicar Backward Euler y que el sis-tema sea estable. Esto motivo la implementacion´ del esquema de una fase, que practica-´mente descarta al termino´ ∂ρ/∂p por ser demasiado chico, y hace que la densidaddependa explıcitamente´ solo´ de la entalpıa´ ( ρ = ρ( h ) ) , si bien depende tambien´ de la pre-sion´ en forma implıcita´ .

Evaluacion´ del modelo

Una vez completo el modelo debemos probarlo en diferentes situaciones, e incluso com-pararlo con resultados que sabemos correctos, a fin de asegurar el buen funcionamientodel mismo. Se ha confeccionado entonces un modelo continuo que a partir de herra-mientas de MATLAB para la resolucion´ de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, resuelveel conjunto completo de ecuaciones del cano˜ , y contra el cual comparamos el actualmodelo discreto.

Los siguientes tests fueron realizados para corroborar que nuestro modelo discreto res-ponda a las distintas exigencias. La longitud de la seccion´ de canerıa˜ ´ era L = 30m , elarea A = 0. 1 m2 , al igual que el area de entrada, y una rugosidad relativa ε/D = 0. 001 . Eltiempo de muestreo utilizado fue Ts = 0. 05s . Partıamos´ del estado estacionario, con unapresion´ de 0. 1 1 MPa a la entrada y 0. 1 MPa a la salida.

• Test 1 . Con un caudal de estado estacionario de aproximadamente 340 kg/s , ent=0 aplicamos un escalon´ de presion´ a la entrada de 0. 01 MPa. El agua entra enestado lıquido´ a unos 97oC , y sale en el mismo estado. La entalpıa´ se mantieneconstante.


1 7

• Test 2 . El agua entra en estado lıquido´ , pero existe un calor entrante Q =6000k W que hace que salga con un tıtulo´ de 0. 0246 . El caudal masico´ inicial esde 77. 5 kg/s , y se aplica ahora un escalon´ negativo de presion´ de entrada, llevan-´dola de los originales 0. 1 1 MPa hasta 0. 1 08 MPa.

• Test 3. En todo el recorrido del cano˜ el agua se encuentra en dos fases, con tıtulo´de 0. 01 7 al ingresar y de 0. 01 92 al salir. El aumento de tıtulo´ se debe simple-mente a la disminucion´ de la presion´ a medida que se avanza en el cano˜ . Elcaudal inicial del estado estacionario era de 63. 5 kg/s , y se aplica como perturba-cion´ un escalon´ de presion´ a la entrada de 0. 01 MPa.

• Test 4. Idem Test 3, pero existe un area de entrada Ain que es un 50% mas´grande que el area A del cano˜ , lo cual genera una mayor caıda´ de presion´ en lazona de entrada, con respecto a la de salida, frente al caso anterior. Esto se vereflejado en una presion´ menor en la zona central del cano˜ , y en una disminucion´del caudal masico´ en un 1 7, 5% , aproximadamente, respecto del Test 3 .

Todos estos Tests respondieron en forma satisfactoria a lo esperado, en concordancia conel modelo continuo, y a continuacion´ detallamos aquel que nos parecio los mas´ ilustra-tivo.

Test 2 : Al bajar la presion´ de entrada, disminuye el caudal masico´ que estaba remo-viendo el calor entrante ( ver Fig. 7) , con lo que la entalpıa´ aumenta ( ver Fig. 8) , y llevaa que la densidad baje ( ver Fig. 9) . Mientras esta bajando la densidad el caudal desalida es mayor que el de entrada, y luego se alcanza un estado de equilibrio donde senota que los caudales se igualan.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2050

55

60

65

70

75

80

Tiempo [s]

Cau

dal M

asic

o [k

g/s]

Wout − discretoWin − discretoWout −continuoWin − continuo

Figura 7. Evolucion´ de los caudales. Test 2 .


1 8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20480

485

490

495

500

505

510

515

520

Tiempo [s]

Ent

alpi

a [k

J/kg

]

discretocontinuo

Figura 8. Evolucion´ de la entalpıa´ . Test 2 .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2014

16

18

20

22

24

26

Tiempo [s]

Den

sida

d [k

g/m

3]

discreto

Figura 9 . Evolucion´ de la densidad. Test 2 .

Se realizo un Test mas´ , que no pudo verificarse con el modelo continuo, debido proba-blemente a que la transicion´ de dos fases a una fase lıquida´ presenta una discontinuidad


1 9

en ∂ρ/∂p, y al estar este calculado en forma numerica´ impide la convergencia de los algo-ritmos de integracion´ utilizados. Nuestro modelo discreto sı arro jo resultados, pero al noestar validados y con evoluciones bruscas en las variables de estado creemos necesariorealizar mayores pruebas para analizar la validez de los modelos en estas condicionesoperativas.

• Test 5 . El agua entra en estado lıquido´ , a unos 1 01 . 9oC , cerca de la saturacion´ ala presion´ de entrada ( 1 02 . 3oC) , y sale con un tıtulo´ cercano a 7. 76 · 1 0− 4 . S eaplica como perturbacion´ un escalon´ de presion´ a la entrada de 0. 01 MPa; laentalpıa´ se mantiene constante a lo largo de todo el proceso. El caudal del estadoestacionario inicial es de 270 kg/ s .

Resultados: El aumento de presion´ que generamos en la entrada del cano˜ aumenta lapresion´ media, lo cual lleva a una disminucion´ del tıtulo´ del agua, con el consiguienteincremento en la densidad ( ver Fig. 1 0) ; esto ultimo´ lleva a que el caudal de entrada seamayor que el de salida ( ver Fig. 1 1 ) y por consiguiente la caıda´ de presion´ ( ver Fig. 1 2 ) .Esta situacion´ persiste hasta que el agua deja de tener dos fases para pasar a un flujomonofasico´ ; entonces se igualan los caudales y las perdidas´ de presion´ , y si observamos elgrafico´ de la presion´ veremos que ahora es exactamente el promedio entre la de entrada( 0. 1 2 MPa) y la de salida ( 0 . 1 MPa) . Este resultado, si bien es el esperado en el sentidode que cuando se pasa de dos fases a una se cambia de implementacion´ , remarcamos queno es fiable considerarlo acorde a la realidad, debido a los repentinos cambios de presion´y caudal que pueden observarse en los graficos´ . Queda entonces solamente´ por decir queescapa del alcance de nuestro modelo discreto, dejando a futuras implementaciones lacuestion´ de como´ resolverlo.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20400

500

600

700

800

900

1000

Tiempo [s]

Den

sida

d [k

g/m

3]

Figura 1 0 . Evolucion´ de la densidad. Test 5 .


20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20250

300

350

400

450

500

550

Tiempo [s]

Cau

dal M

asic

o [k

g/s]

WinWout

Figura 1 1 . Evolucion´ de los caudales. Test 5 .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.1065

0.107

0.1075

0.108

0.1085

0.109

0.1095

0.11

0.1105

Tiempo [s]

Pre

sion

[MP

a]

Figura 1 2 . Evolucion´ de la presion´ . Test 5 .


21

CAPITULO´ III

Modelo de tanque y de canerıa˜ ´ en conjunto

Una vez probados los dos componentes de librerıa´ , los hemos interconectado paraobservar su comportamiento. Se han tomado entonces dos tanques con agua en satura-cion´ ; el primero de ellos con un volumen de 1 00m3 y una masa de agua de 1 0000 kg, auna presion´ de 0. 1 5 MPa, y el segundo con un volumen de 500m3 , 50000 kg de masa deagua y 0. 1 MPa de presion´ . S e los ha conectado por intermedio de una seccion´ de canerıa˜ ´de 20m de longitud y 0. 05m2 de area, con una rugosidad relativa ε/D = 0. 001 . A lamisma entra vapor de agua del primer tanque ( al que llamaremos Tanque 1 ) , y dado quesu presion´ es mayor que la del otro ( el Tanque 2 ) el sentido de circulacion´ sera desde elTanque 1 hacia el Tanque 2 .

En la Fig. 1 3 vemos como´ evoluciona el caudal a traves´ del tiempo, disminuyendoconforme lo hace la diferencia de presiones entre tanques. Los caudales a la salida y a laentrada del cano˜ son iguales, denotando que no hay importantes cambios en la densidaddel vapor dentro del mismo. En la Fig. 1 4 se muestran las presiones, que se van acer-cando entre sı hasta que finalmente se igualan, y por ultimo´ las temperaturas, en la Fig.1 5 , describen la misma curva que las presiones, como cabıa´ de esperar, puesto que sonlas temperaturas de saturacion´ a la presion´ de cada tanque.

El desplazamiento de masa desde un tanque al otro fue de solamente´ 200 kg, contralos 1 0000 o 50000 que habıa´ en cada tanque, de manera que los niveles de lıquido´ apenascambiaron. Este fue denominado Test 1 .

22

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo [s]

Cau

dal M

asic

o [k

g/s]

Figura 1 3. Evolucion´ de los caudales. Tanques conectados, Test 1 .

0 5 10 15 20 25 30 35 400.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

Tiempo [s]

Pre

sion

[MP

a]

Tanque 1Tanque 2

Figura 1 4. Evolucion´ de la presiones. Tanques conectados, Test 1 .


23

0 5 10 15 20 25 30 35 4098

100

102

104

106

108

110

112

Tiempo [s]

Tem

pera

tura

[C]

Tanque 1Tanque 2

Figura 1 5 . Evolucion´ de las temperaturas. Tanques conectados, Test 1 .

Finalmente realizamos una segunda prueba, Test 2 , con las mismas condiciones que elTest 1 , pero la sola excepcion´ de que en lugar de circular vapor entre los tanques, laentrada del cano˜ se conecta a la zona del Tanque 1 que contiene lıquido´ en saturacion´ .Al llegar al Tanque 2 tiene un tıtulo´ de aproximadamente 0. 0031 . Vemos los resultadosen las Figs. 1 6 , 1 7 y 1 8. Notemos las diferencias con el caso anterior: el caudal masico´ deagua circulando por el cano˜ es mucho mayor que si circulara vapor puro; esto es comun´que ocurra, debido a la mayor densidad del lıquido´ ( aunque este en dos fases, hay muchaagua lıquida´ ) . Consecuencia de esta gran cantidad de agua saliendo del Tanque 1 es quela masa contenida en el mismo descendio a un 1 0% de la cantidad original, en el mismolapso de tiempo que en el Test anterior apenas si bajo. En contraste con toda esta masaperdida por el Tanque 1 en ese perıodo´ de tiempo, la presion´ apenas descendio un 2 , 7%aproximadamente, mientras que en el Test 1 llego a igualarse a la del Tanque 2 , bajandomas´ de un 30% en el mismo lapso.

Estos Tests muestran la conveniencia de despresurizar un tanque liberando vapor, encontraste con la liberacion´ de agua, que lo que hace es perder masa en lugar de perderpresion´ .

Las caracterısticas´ del Tanque 2 no fueron graficadas puesto que no eran relevantes en


24

esta comparacion´ .

0 5 10 15 20 25 30 35 40214

216

218

220

222

224

226

228

230

232

234

Tiempo [s]

Cau

dal M

asic

o [k

g/s]

WoutWin

Figura 1 6 . Evolucion´ de los caudales. Tanques conectados, Test 2 .

0 5 10 15 20 25 30 35 400

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Tiempo [s]

Mas

a T

otal

[kg]

Tanque 1

Figura 1 7. Evolucion´ de la masa total . Tanques conectados, Test 2 .


25

0 5 10 15 20 25 30 35 400.146

0.1465

0.147

0.1475

0.148

0.1485

0.149

0.1495

0.15

0.1505

Tiempo [s]

Pre

sion

[MP

a]

Tanque 1

Figura 1 8. Evolucion´ de la presion´ . Tanques conectados, Test 2 .


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BIBLIOGRAFIA´

Bibliografıa´

[White] Frank M. White, Fluid Mechanics , McGraw-Hill , 1 979 .

[Wallis ] G. B . Wallis , One-Dimensional Two Phase Flow , McGraw-Hill , 1 969 .

[ GH] Garland & Hand, Simple Functions for the Fast Approximation of Light Water Thermody-namic Propertie s , Nuclear Engineering and Design 1 1 3 , 1 989 .

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CAPITULO´ IV

Conclusiones

Se ha avanzado en el estudio del modelado de sistemas que contienen agua en una y dosfases, en particular los dos componentes que se han tratado en este trabajo, uno de ellosmuy relacionado con la fenomenologıa´ de flujos bifasicos´ .

Se han probado diferentes formas de encarar la resolucion´ de las ecuaciones de la sec-cion´ de canerıa˜ ´ , algunas con un alcance muy limitado, otras con buenos resultados parauna amplia gama de situaciones. El tanque en saturacion´ responde bien frente a todoslos casos para los cuales ha sido implementado.

De todas formas queda aun´ trabajo por hacer, en el sentido de completar los modelospara conseguir una respuesta adecuada ante condiciones mas´ generales. No puedenentonces darse por finalizadas las librerıas´ , sino que algunos detalles se dejan para tra-bajos posteriores, como ser que el tanque en saturacion´ trabaje con lıquido´ subenfriado ovapor sobresaturado, y que la seccion´ de canerıa˜ ´ pase suavemente de un flujo bifasico´ auna fase cuando las condiciones ası lo impongan.

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APENDICE´

Tabulado de funciones

A fin de conocer los valores que toman las propiedades del agua tales como densidad yviscosidad en funcion´ de la presion´ y/o la entalpıa´ , pueden utilizarse tablas a tal efecto;incluso en el caso que necesitabamos´ el factor de friccion´ f en funcion´ del numero´ deReynolds se ha recurrido a una tabla.

Es particularmente sencillo programar en MATLAB una busqueda´ de algun´ valor enuna de estas tablas, para lo cual realiza una interpolacion´ , que en nuestro caso seralineal.

Supongamos entonces que tenemos la variable f en funcion´ de Re ; buscamos losvalores de Re tal que f quede bien representada, a la vez de no tomar muchos puntosinnecesarios que hagan mas´ lenta la busqueda´ .

El criterio que hemos utilizado para encontrar los puntos donde tabular a f es elsiguiente:

• Dadas dos abscisas, min y max , y los respectivos valores de la funcion´ f en estospuntos: fmax y fmin , procedemos a un calculo´ del area debajo de la recta que uneestos dos ultimos´ puntos ( ver Fig. 1 9 ) , y la llamaremos A1 .

• A continuacion´ , en el punto de abscisa medio (m i n + m a x) / 2 se obtiene fmed =f ( (m i n + m a x) /2 ) , y se calcula el area debajo de la lınea´ que une fmed y fmin ,y por otra parte el area debajo de la lınea´ que une fmax y fmed; las denominamosA2 y A3 , respectivamente.

• Definiendo e r r o r = | A1 − (A2 + A3) | , y sabiendo que este esta directamente rela-cionado con la diferencia maxima´ de valor entre la funcion´ real y la interpolada( no lo demostraremos a fin de no extender demasiado este apendice´ ) , podemosestimar que tan bien estamos aproximando a la funcion´ f . La Fig. 1 9 muestra elarea error de la que estamos hablando.

La funcion´ que realiza todos estos pasos y devuelve el resultado de error cuando se leenvıan´ el puntero a la funcion´ f y los lımites´ de integracion´ , la denominamos int _error ,y mas´ adelante veremos donde´ la utilizamos.

Implementamos entonces en lenguaje C++ un programa que a partir de un completoconjunto de puntos ( Re , f) devuelve unos pocos valores con los cuales se puede tabular fcon la precision´ que necesitemos. Este programa se compone basicamente´ de un objetoFunction al cual se le pasa un puntero a la funcion´ a tabular junto con los lımites´ de lasabscisas ( Re ) , y devuelve por pantalla los valores buscados.

Antes de continuar, haremos una breve referencia de lo que es una lista. Cuandohablemos de listas nos estaremos refiriendo a una secuencia de datos consecutivos, en losque cada uno de estos contiene el valor de interes´ mas´ la direccion´ del dato siguiente.

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Con un puntero al primer dato tenemos acceso a toda la lista, que puede aumentar o dis-minuir a conveniencia. Un diagrama de lo que estamos hablando lo encontramos en laFig. 20, y damos toda esta explicacion´ puesto que en este apendice´ se hace referencia atales listas.

Ahora iremos mostrando la implementacion´ del programa como si se tratara de dife-rentes capas, comenzando con el main() ( en C , estructura principal) para continuar conlas funciones internas.

• main() lee el archivo donde estan´ todos los puntos ( Re , f) , que deberıan´ sermuchos para una buena descripcion´ de la funcion´ . Los carga en una lista devalores a la cual hara referencia el ob jeto Function .

• Ahora se indica a Function que comience la busqueda´ de los valores de la tabla.

Lo que ejecuta Function una vez que tiene todos los datos que necesita es una funcion´search ; cuyo esquema puede verse en la Fig. 21 , y se describe someramente a continua-cion´ :

• Se divide inicialmente el intervalo total donde se considerara a la funcion´ f ; noimporta cuantas´ divisiones se hagan, no influiran´ en el resultado.

• Se cargan los valores de esta division´ en una lista, denominada ’ max_ list ’ . De estalista posteriormente se agregaran´ o quitaran´ valores a conveniencia.

• Basicamente´ search va tomando valores de ’ max_ list ’ y los envıa´ a otra funcion´f2 . Esta ultima´ requiere dos valores de abscisa, entre los cuales intentara encon-trar el punto donde tabular la funcion´ ; ambos se los envıa´ search ; uno de ellos salede la lista ’ max_ list ’ ( se lo denominara ’ maximo´ ’ ) , y el otro lo devuelve la mismafuncion´ f2 luego de la ultima´ busqueda´ , y se lo llamara ’ mınimo´ ’ .

• La funcion´ f2 utiliza ’ int_error’ para determinar que tan buena es una aproxima-cion´ lineal en el intervalo en cuestion´ . El valor de ’ error’ no solo´ tiene que sermenor a un lımite´ superior, sino que tambien´ le ponemos una cota inferior, de talmanera de no colocar puntos de mas´ en la tabla.

• En la Fig. 22 se muestra un diagrama de flujo de la funcion´ f2 , que pondra enotra lista ’ list ’ los valores de abscisa encontrados para la tabulacion´ de f ; luegodevuelve un valor que search utilizara como mınimo´ de la siguiente busqueda´ .

• No detallaremos la implementacion´ de la funcion´ f3 interna a f2 ya que es muysimilar a esta ultima´ y no queremos extendernos demasiado.

Para finalizar mostramos uno de los resultados del uso de esta funcion´ . En la figura 23vemos al factor de friccion´ en funcion´ del Numero´ de Reynolds. Originalmente tenıamos´aproximadamente 800 puntos entre l o g(R e ) = 4 y l o g(R e) = 1 2 ; una vez aplicado estemetodo´ se ajusto con una tabla de 1 3 componentes, y un error en cada punto menor o


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igual al 1 % . Observese´ que el grafico´ va entre 4 y 6 , no entre 4 y 1 2 ; esto es para que sevean mejor las dos curvas.

Se corrobora ası el funcionamiento de este metodo´ .

xmaxmin

Error

+min max2

f

f

f

med

max

fmin

Figura 1 9 . Asi se calcula el error .

Dato

Dato

Puntero delista

Figura 20 . Diagrama de una lista.


31

Llama a f2 con este

maximo; f2

devuelve

busqueda

Toma el valor minimode la lista

Hay otro maximoen ¨max_list¨?

?

Search()

Finaliza

Si

No

.

.

el minimo de la siguiente

Figura 21 . Esquema de la funcion´ search .

Devuelve elminimo que arrojo

Llama a ,que pondra

el minimo

de la siguiente busqueda.

Lo pone en ¨ list ¨;

minimo de laactual como el

Devuelve el minimoactual, para que

¨ search¨ busque al

Llama a ¨ int_error¨

y devuelve a

en ¨ list ¨ el valor correcto,

?

?

f3

f3

f2

siguiente maximo.

.

siguiente busqueda.

Si

No

Si

No

El error cumple con ambos limites?

El error es menorque el limite inferior?

devuelve al maximo

f2()

Figura 22 . Esquema de la funcion´ f2 .


32

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 60.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

log(Re)

Fac

tor

de fr

icci

on f

Curva realCurva tabulada

Figura 23. Comparacion´ entre la funcion´ continua y la tabulada.


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Diagramacion´ del Proyecto Integrador

El desarrollo de componentes de biblioteca para la simulacion´ de distintas partes de unreactor nuclear se realizo en 1 1 etapas, a saber:

• Aprendizaje MATLAB-SIMULINK

• Familiarizacion´ con metodos´ existentes

• Busqueda´ bibliografica´ tanque

• Llenado de tablas tanque

• Confeccion´ programa tanque

• Pruebas y correcciones tanque

• Busqueda´ bibliografica´ canerıa˜ ´

• Llenado de tablas canerıa˜ ´

• Confeccion´ programa canerıa˜ ´

• Pruebas y correcciones canerıa˜ ´

• Redaccion´ del informe

A continuacion´ hacemos una breve explicacion´ de cada una de estas:

Aprendizaje MATLAB-SIMULINK

Fue necesario como primer paso interiorizarse en el lenguaje de programacion´ que poste-riormente utilizarıamos´ en la implementacion´ de las librerıas´ . La duracion´ de esta etapase aproxima a los cuatro meses, perıodo´ en el que tambien´ se realizo, en paralelo, laetapa siguiente.

Familiarizacion´ con metodos´ existentes

Puesto que ya habıa´ muchos componentes creados en MATLAB-SIMULINK, algunos delos cuales directamente relacionados con nuestro trabajo futuro, se procedio a conocerlosy estudiarlos, ası adquiriendo uso en el manejo de tales herramientas. La duracion´ deesta etapa es aproximadamente la misma que la anterior, unos cuatro meses.

Busqueda´ bibliografica´ tanque

A fin de confeccionar un tanque de agua en saturacion´ , comenzamos buscando biblio-grafıa´ al respecto, que brindarıa´ la necesaria base para nuestro ulterior trabajo. Dura-cion´ : unos tres dıas´ .

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Llenado de tablas tanque

Diversas propiedades del agua son indispensables para el funcionamiento de la librerıa´del tanque, con lo cual tuvimos que dedicarnos a la busqueda´ de datos acerca de talespropiedades, y cargar un conjunto de tablas acorde a los requerimientos del programa.Duracion´ : unos siete dıas´ .

Confeccion´ programa tanque

El programa propiamente dicho; definir las entradas y las salidas, los puntos de funciona-miento normal, que condiciones tiene que cumplir, y todos los detalles de implementa-cion´ . Se ha dedicado a esta etapa aproximadamente una semana y media.

Pruebas y correcciones tanque

Una vez que creemos que el programa esta listo, debemos probarlo una y otra vez hastaque finalmente verificamos que paso todas las pruebas a las que fue sometido. S iempreaparecen detalles no resueltos que hay que pulir en esta etapa. Duracion´ estimada: seisdıas´ .

Busqueda´ bibliografica´ canerıa˜ ´

Una vez que se ha cumplido con la ultima´ etapa del tanque, pasamos a hacer un segundocomponente de librerıa´ , una seccion´ de canerıa˜ ´ . Comenzamos investigando la bibliografıa´recomendada, profundizamos un poco en ella, y solo´ entonces estamos en condiciones depasar a la etapa siguiente. Se toma para esto un tiempo de unos cuatro dıas´ .

Llenado de tablas canerıa˜ ´

Una vez mas´ antes de simular nada debemos conseguir suficiente informacion´ acerca delas propiedades del agua en el rango en el cual trabajaremos. Necesitabamos´ mas´ cosasque en el caso del tanque, por lo que no fue suficiente con los datos con los que ya con-tabamos´ . Duracion´ : doce dıas´ .

Confeccion´ programa canerıa˜ ´

Corazon´ del programa; se encaro primero en una direccion´ , posteriormente se vio que nollevaba a buenos resultados y se opto por otro metodo´ mas´ sencillo y estable. Un pocomas´ adelante tuvo que hacerse otra implementacion´ , pues con una sola no bastaba paraabarcar los casos de flujos en una y dos fases.

Pruebas y correcciones canerıa˜ ´

Se verifico su funcionamiento para diferentes situaciones, se corrigieron detalles de imple-mentacion´ y finalmente se lo conecto con el modelo del tanque para certificar que andu-vieran en conjunto los modelos. Duracion´ aproximada: unos 1 2 dıas´ .

Redaccion´ del informe

Etapa final, a la cual se le ha dedicado unos ocho dıas´ , considerando que se tuvieron quecambiar varias cosas en el informe al cambiar las implementaciones.


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Evaluacion´ Economica´

En la misma se contemplan las horas que fueron mencionadas en la diagramacion´ ante-rior, como costo del becario que esta haciendo el trabajo; se contemplan las horas dedi-cadas por el director y otras personas que aportaron sus conocimientos al proyecto; laamortizacion´ de los equipos utilizados, sobre todo computadoras, y el gasto que significaal CAB mantener una oficina, calefaccionada y limpia.

Puesto que en este trabajo los avances realizados son muy difıciles´ de cuantificar,vamos a suponer que no hubo ganancias economicas´ al termino´ del proyecto. La utilidadde lo realizado debera contemplarse en el marco de los futuros usos que puedan tenerestos modelos terminados.

Figura 24. Evaluacion´ economica´ .


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Agosto 04 Mayo 05Septiembre 04 Octubre 04 Noviembre 04 Diciembre 04 Febrero 05 Marzo05 Abril 05 Junio 05

Aprendizaje MATLAB−SIMULINKFamiliarización con métodos existentesBúsqueda bibliográfica tanqueLlenado de tablas tanqueConfección programa tanquePruebas y correcciones tanqueBúsqueda bibliográfica cañeríaLlenado de tablas cañeríaConfección programa cañeríaPruebas y correcciones cañeríaRedacción del informe

Fig

ura

25.

Dia

gra

ma

de

tarea

srea

lizad

as

du

rante

elproy

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dor.

Modela

do

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Com

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Rea

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tilizand

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b-S

imu

link

37

Agradecimientos AGRADECIMIENTOSA mi director Andres´ Etchepareborda, por la paciencia.

A mis companeros˜ , que en todo momento me ofrecieron ayuda, y confiaron en quepodıa´ hacer este trabajo. Especialmente a Juan Matıas´ Garcıa´ e Ignacio Marquez´ , quecomo NO confiaron en mı, me dieron una mano enorme.

A mi novia Mariela, por bancarme en toda esta travesıa´ .

A mis padres Carlos y Nelida´ , por criarme y malcriarme como corresponde.

A mis amigos que estan´ lejos, cuyo recuerdo siempre esta ahı para arrancarme unasonrisa.

Y a los amigos que estan´ cerca, que terminan de hacer de todo esto una experienciaincreıble´ .

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