PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

PRUEBA Nº4. MAT 117

Problema Nº1. Determine si las series siguientes convergen o divergen:

(1.1) 21

1 .nn n

∞

=∑ (1.2)

1

3 .2 (n

n

nsen n

∞

= + !)∑

Problema Nº2. Considere la serie 1

2

( 3) .3 ln( )

n

nn n n

+∞

=

−∑

(2.1) Demuestre que la serie converge.

(2.2) Determine si la convergencia es absoluta o condicional.

Problema Nº3. Para todo n∈ *, sea fn(x) = ( )sen nxn

(x∈ ).

(3.1) Demuestre que la sucesión (fn; n∈ *) converge puntualmente.

(3.2) Demuestre que la sucesión (fn; n∈ *) converge uniformemente.

Problema Nº4. Encuentre una representación en serie de potencias para la función

f : ]-1, 1[ → definida por f(x) = 1 1ln ,2 1

xx

+ −

para todo x∈]-1, 1[.

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Tiempo : 90 minutos Fecha : 18 de Junio del 2005 Puntaje : 15 puntos cada problema Coordinadora : Gladys Figueroa R.