P3IML

Modelado de sistemas mecatrnicos

INSTITUTO TECNOLGICO DE

LA LAGUNA

MODELADO DE SISTEMAS

MECATRNICOS

ANLISIS DE FLUJO EN TUBERIAS

ISMAEL MEDINA LPEZ

10131135

ESPECIALIDAD

ING. ELECTRNICA

CATEDRTICO

ING. FRANCISCO JURADO ZAMARRIPA

FECHA DE ENTREGA:

Torren, Coahuila de Zaragoza a 18 de Septiembre de 2013


OBJETIVO

Comprender los conceptos claves de integracin, los cuales son fundamentales para

resolver un gran nmero de problemas de ingeniera y ciencias. De acuerdo al

planteamiento de los problemas, estos se resolvern en forma analtica y mediante tcnicas

de integracin numrica, as mismo, se comprobaran los resultados de cuadratura con los

analticos presentando las funciones que calculen las soluciones en Matlab.

Material y equipo utilizado

Herramienta software Matlab (MATrix LABoratory).

Computadora personal.

INTRODUCCIN

Integracin numrica

La integral de una funcin f(x) en el intervalo [a, b] se define como el rea bajo la curva de

f(x) entre a y b, como se muestra en la figura, si el valor de esta integral es K la notacin

para representarlo es:

K

a

b

xf x( )

d

Figura 1. Integral de f(x) de a a b.

En el caso de muchas funciones, esta integral puede integrarse analticamente. Sin

embargo, para otras muchas el clculo analtico es muy difcil. Por lo que se requiere una


tcnica numrica para estimar su valor. La evaluacin numrica de una integral se

denomina cuadratura, nombre que proviene de un antiguo problema de geometra.

Las tcnicas de integracin numrica estiman la funcin f(x) mediante otra funcin g(x), la

cual se escoge de modo que sea fcil calcular el rea bajo g(x). As, cuanto mejor sea la

estimacin de f(x) con g(x), mejor ser la estimacin de la integral de f(x). Dos de las

tcnicas de integracin numrica ms comunes estiman f(x) con una serie de funciones

seccionalmente lineales o de funciones seccionalmente parablicas. Si estimamos la

funcin con funciones seccionalmente lineales, podremos calcular el rea de los trapecios

que constituyen el rea bajo las funciones lineales fragmentarias; esta tcnica se llama regla

de los trapecios. Si estimamos la funcin con funciones seccionalmente cuadrticas,

podremos calcular y sumar las reas de los componentes; esta tcnica se denomina regla de

Simpson.

Funciones de cuadratura

Matlab cuenta con dos funciones de cuadratura para realizar integracin numrica de

funciones. La funcin quad utiliza una forma adaptiva de la regla de Simpson y, quadl usa

un regla de Newton-Cotes adaptiva de 8 paneles.

Las formas ms sencillas de las funciones quad y quadl requiere tres argumentos. El primer

es el nombre (entre apstrofos) dela funcin Matlab que devuelve un vector de valores de

f(x) cuando se le proporciona un vector de valores de entrada. El nombre de la funcin

puede ser el nombre de otra funcin Matlab, como sin, o puede ser el nombre de una

funcin Matlab escrita por el usuario. El segundo y tercer argumento son los lmites de

integracin a y b. He aqu un resumen de estas funciones:

quad(nombre_funcion,a,b)

quadl(nombre_funcion,a,b)

Devuelve el rea bajo la funcin entre a y b

usando una forma de la regla de Simpson.

Devuelve el rea bajo la funcin entre a y b

usando una regla de Newton-Cotes adaptiva

de ocho paneles. Esta funcin es mejor que

quad para manejar algunas funciones que

tienen singularidad.


DESARROLLO

Dibuje la funcin f(x) = |x| e indique las reas especificadas por las siguientes integrales.

Luego calcule las integrales a mano y compare sus resultados con los generados por la

funcin quad y quadl.

1. 0.5

0.6

xx

d

2. 0

1

xx

d

3. 1

0.5

xx

d

4. 0.5

0.5

xx

d

Creacin de la grfica de la funcin f(x)= |x|

>> clear all

>> t=-10:0.01:10;

>> x=abs(t);

>> plot(t,x)

>> axis([-2 2 0 2])

>> grid on

>> title('Funcion de valor absoluto |x|')

>> xlabel('x')


Comparacin de los resultados de las funciones de cuadratura con los

resultados analticos para un intervalo especificado por el usuario.

Programa

La siguiente funcin compara las funciones de cuadratura con los resultados analticos para

la integracin del valor absoluto de x (|x|) dentro de un intervalo (a, b), donde a y b pueden

ser reales positivos o negativos.

function cuadratura_abs

a=input('Indique el extremo izquiedo (no negativo): '); b=input('Indique el extremo derecho (no negativo): '); Analitico=(1/2)*((b^2)*sign(b)-(a^2)*sign(a)); Numerico1=quad('abs',a,b); Numerico2=quadl('abs',a,b); fprintf('\nAnalitico: %f ',Analitico) fprintf('\nNumerico1: %f ',Numerico1) fprintf('\nNumerico2: %f ',Numerico2) fprintf('\n \n')

end

1. 0.5

0.6

xx

d

Grafica


Resultados (analtico y con funciones de cuadratura)

>> Cuadratura

Indique el extremo izquierdo (no negativo): 0.5

Indique el extremo derecho (no negativo): 0.6

Analtico: 0.055000

Numerico1: 0.055000

Numerico2: 0.055000

2. 0

1

xx

d

Grafica


>> Cuadratura

Indique el extremo izquierdo (no negativo): 0

Indique el extremo derecho (no negativo): 1

Analtico: 0.500000

Numerico1: 0.500000

Numerico2: 0.500000


3. 1

0.5

xx

d

Grafica


>> Cuadratura

Indique el extremo izquierdo (no negativo): -1

Indique el extremo derecho (no negativo): -0.5

Analtico: 0.375000

Numerico1: 0.375000

Numerico2: 0.375000

4. 0.5

0.5

xx

d

Grafica



>> Cuadratura

Indique el extremo izquierdo (no negativo): -0.5

Indique el extremo derecho (no negativo): 0.5

Analtico: 0.250000

Numerico1: 0.250000

Numerico2: 0.250000

Problemas

Anlisis de flujo en tuberas

Estos problemas se relacionan con el anlisis de flujo en un oleoducto.

1. Modifique la funcin velocity de modo que r0 y n tambin sean argumentos de la

funcin.

Aclaracin: dado que se pretende que los parmetros r0 (radio del tubo) y n (forma

de flujo de petrleo hacia adelante) sean parmetros de la funcin velocity, dentro

del cuerpo de esta no se especificaran los valores de dichos parmetros como

valores constantes, sino que el usuario los proporcionara para los fines deseados.

Programa

function v=velocity(r,r0,n)

v=r.*(1-r/r0).^(1/n);

end

Como puede observarse, tanto r0 y n pertenecen al argumento de la funcin (parmetros de

entrada).

Comprobacin del programa

Si suponemos que le valor de r0 es 0.5 metros y que el valor de n es 8, adems supondremos

una velocidad mxima (Vmax) es 1.5 m/s, el valor de la velocidad media est dada por las

siguientes instrucciones en Matlab:


>> Vmax=1.5;

>> r0=0.5;

>> n=8;

>> Integral=quad(@(r)velocity(r,r0,n),0,0.5)

Integral =

0.1046

>> ave_velocity=(2*Vmax/(r0^2))*Integral

ave_velocity =

1.2548

2. Genere una tabla que muestre la velocidad de flujo media para una tubera usando

los valores enteros de n desde 5 hasta 10. Use la funcin del problema anterior.

Observaciones: para conseguir solucionar el problema anterior, se opt por realizar

una funcin (archivo.m), la cual al ser llama desde el Command Windows de Matlab

proporciona automticamente los valores de la velocidad media (Vmed) para los

diferentes valores del parmetro n que van de 5 hasta 10. Cabe destacar que la

funcin definida a su vez invocara a la funcin velocity para poder realizar el

clculo de la integral numrica. El nombre del archivo es tabla_n, refirindose a los

valores que generara a partir de los cambios en el parmetro n.

Programa

Vmax=1.5; r0=0.5;

for n=5:10

integral=quad(@(r)velocity(r,r0,n),0,r0); ave_velocity=(2*Vmax/(r0^2))*integral;

fprintf('\nn= %f Integral= %f Velocidad Media= %f

\n',n,integral,ave_velocity)

end



>> tabla_n

n= 5.000000 Integral= 0.094692 Velocidad Media= 1.136299






Tabla de valores

Vmax r0 n Vmed

1.5 0.5 5 1.1362

1.5 0.5 6 1.1867

1.5 0.5 7 1.2248

1.5 0.5 8 1.2547

1.5 0.5 9 1.2788

1.5 0.5 10 1.2986

3. Genere una tabla que muestre la velocidad de flujo media para tuberas con radios

de 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0 m. suponga que los dems parmetros no cambian respecto a

los valores especificados en el problema original. Use la funcin del problema 1.

Programa

Vmax=1.5; n=8;

for r0=0.5:0.5:2


fprintf('\nr0= %f Integral= %f Velocidad Media= %f

\n',r0,integral,ave_velocity)

end



>> tabla_r0

r0= 0.500000 Integral= 0.104564 Velocidad Media= 1.254763




Tabla de valores

Vmax r0 n Vmed 1.5 0.5 8 1.2547

1.5 1.0 8 1.2548

1.5 1.5 8 1.2548

1.5 2.0 8 1.2548

Observaciones: la velocidad media de flujo para tuberas con radios distintos, como los

observados en este programa, no se ve afectada demasiado, es decir, en todos los casos el

valor de la velocidad media sigue siendo similar.

4. Modifique el programa creado de modo que el usuario pueda introducir el valor de

Vmax.

Programa

Para el programa presentado a continuacin, el usuario tendr la posibilidad no solo de

cambiar la velocidad mxima (Vmax), sino que tambin tendr las opciones de introducir

nuevos valores para los parmetros r0 y n. Con la restriccin que este ltimo solo aceptara

valores de 5 a 10.

Vmax=input('\n Introdusca el valor de la Velocidad Maxima (Vmax): '); n=input('\n Introdusca el valor del parametro n ( solo valores enteros

entre 5 y 10): '); r0=input('\n Introdusca el radio del tubo (r0): ');

if (n=5)



fprintf('\nVmax= %f Integral= %f Velocidad Media= %f

\n',Vmax,integral,ave_velocity);

else

fprintf('\n El valor del parametro n esta fuera del rango especificado

\n');

end


>> velocidad_media

Introdusca el valor de la Velocidad Maxima (Vmax): 1.5

Introdusca el valor del parametro n ( solo valores enteros entre 5 y

10): 8

Introdusca el radio del tubo (r0): 0.5

Vmax= 1.500000 Integral= 0.104564 Velocidad Media= 1.254763

Para un valor de n fuera del rango (n=11)

>> velocidad_media

Introdusca el valor de la Velocidad Maxima (Vmax): 1.5

Introdusca el valor del parametro n ( solo valores enteros entre 5 y

10): 11

Introdusca el radio del tubo (r0): 0.5

El valor del parametro n esta fuera del rango especificado

Conclusin

En esta prctica nos ocupamos del flujo de petrleo en un oleoducto, pero el anlisis del

flujo en un lquido en un tubo circular se aplica a muchos sistemas distintos, como son las

venas y arterias del ser humano, el suministro de agua de una ciudad, el sistema de

irrigacin de una granja, el sistema de tuberas que transporta fluido en una fbrica, las

lneas hidrulicas de un avin y el chorro de tinta de una impresora para computadora.

La friccin en una tubera circula origina un perfil d velocidad del petrleo al fluir. El

petrleo que est en contacto con las paredes del tubo no se est moviendo, mientras que el

petrleo que est en el centro se est moviendo con velocidad mxima.


Bibliografa

Soluciones de problemas de ingeniera con Matlab.

Dolores M. Etter

P3IML

Documents

Transcript of P3IML