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Análisis Matemático III

• PRIMERA PARTE

Funciones

• SEGUNDA PARTE

Integrales

• TERCERA PARTE

Ecuaciones diferenciales

• CUARTA PARTE

Método para resolver una ecuación diferencial

Ecuaciones Diferenciales

DefiniciónUna ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables.

EjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:

III.1 INTRODUCCIÓN

0232

2

ydxdy

dxyd y

dtdy

Conocida como Ley de Crecimiento Exponencial

En base a la definición anterior se tiene que:

a) Si la función desconocida depende de solo una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.

b) Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.

III.1 INTRODUCCIÓN

xdxdy

2 yxy 2'

vyv

xv

2

2

2

2

2

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.

OrdenEl orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación.

EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:

III.1 INTRODUCCIÓN

87 53

xdxdy

xsendx

yd35

2

2

Solución

La ecuación diferencial:

Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada.

La ecuación diferencial:

Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.

III.1 INTRODUCCIÓN

87 53

xdxdy

xsendx

yd35

2

2

Ejercicios para resolver en clase

Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

III.1 INTRODUCCIÓN

735 25

2

22

4

4

x

dxdy

dxyd

dxyd

3

2

22

6

2

2

7

dxyd

xdxdy

xdx

yd

GradoEl grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

EjemploEl grado de la ecuación diferencial es:

de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.

III.1 INTRODUCCIÓN

87 53

xxydxdy

Ejercicios para resolver en clase

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

III.1 INTRODUCCIÓN

735 25

2

22

4

4

x

dxdy

dxyd

dxyd

3

2

22

6

2

2

7

dxyd

xdxdy

xdx

yd

NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para después determinar el grado de la ecuación diferencial.

III.1 INTRODUCCIÓN

Ejercicios para resolver en clases

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b)

III.1 INTRODUCCIÓN

17 2 xdxdy

32

2

dxdy

xdx

yd

Ejercicios de Tarea

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) b)

c)

d)

III.1 INTRODUCCIÓN

ydxdy

xdx

yd53

3

3

5

3

33

3

3

818

dxyd

xdx

yddxdy

dxdy

xdx

yd85

3

3

53

3

2

2

3dx

ydx

dxyd

Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.

EjemploLa función definida por es una solución de la ecuación diferencial:

puesto que:

y al sustituir en la ED se obtiene una identidad

III.2 SOLUCIÓN DE UNA ED

2x9y

yx

y'

2

21

2

929

21

x

xxx

y'

22 99 x

x

x

x

33 x

Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general.

EjemploVerificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial

Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:


03' yxy

2)3( y

SoluciónDerivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:

de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.

Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:

La solución particular es:


033 32 CxCxx

CC 2732 3

272

C 3x272

y

Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método:

Método1. Observemos que derivada o derivadas aparecen

en la ecuación diferencial.2. Estas derivadas las encontramos al derivar la

ecuación que se supone solución.3. La ecuación será solución cuando al sustituir el

valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.

III.2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED

EjemploComprobar que la y=x2+C no es solución de la ecuación diferencial

Solución1. Observando la ecuación diferencial vemos que

aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solución.

2. Derivando y=x2+C tenemos


xdxdy

xdxdy

2

Solución3. Sustituyendo el valor de la derivada encontrada

en la ecuación diferencial tenemos:

Por lo tanto y=x2+C si es solución de la ecuación diferencial


12

2

xx

xdxdy

Ejercicios para resolver en claseDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:

1.


yxdxdy

xCxxy

22 ;

025);5cos()5(2

2

ydx

ydxBxAseny2.

084; 23

2

y

dxdy

xydxdy

CxCy3.

Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:

1.

2.

3.


2412 ''; yxxyyCxCy

senxysenxdxdy

senyCye x

cos;cos1cos

32

225 1606;38 x

dxyd

Cxxy

Para obtener la ED a partir de su solución general, aplicaremos el siguiente método:

1. Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada.

2. Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.

III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL

3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:a) Si en la última derivada ya no aparecen

constantes de integración, esta será la ED que de la solución general dada.

b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, así como también la solución general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integración.


EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=x2+C


SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=x2+C. Así

Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.

xdxdy

2

EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=Cx2


SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=Cx2. Así

Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.

Cxdxdy

2

xxy

dxdy

22

2xy

C

SoluciónPor lo tanto:

Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen constantes de integración.


ydxdy

x 2

Ejercicios para resolver en claseEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

1.


;21xx eCeCy

)2cos()2( 213 xCxsenCey x 2.

Ejercicios de tareaEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

1.

2.

)3tan( Cxy

22

221 CyCx


Métodos para resolver una ecuación diferencialMétodo de separación de variables.La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:

Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x.

Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

dxxgdyyf )()(

x

x

y

ydxxgdyyf

00

)()(

Ejemplo 1: Resolver la ecuación

(1+𝑥 ) 𝑑𝑦−𝑦 𝑑𝑥=0

Ejemplo 2: Resolver la ecuación

𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥− 𝑦=2 𝑥2𝑦

ED exactasDefinición: Sean dos

funciones definidas en cierto dominio . La ecuación de la forma

Se llama una diferencial exacta.

La ecuación diferencial

Es exacta si:

Y también se tiene que

x)y,x(N

y)y,x(M

0),(),( dyyxNdxyxM

RRDNM 2:,2RD

0),(),( dyyxNdxyxM

y)y,x(u

)y,x(N,x)y,x(u

)y,x(M

0),(),(),(),(

dydxyxMy

yxNdxyxMyxf

Donde la solución queda dada por:

0)cos3(3 dxdy

yxey xEjemplo:

0)22()22( 22 dyxyxdxyxyEjemplo:

ED Lineales de 1er orden

Las ED de la forma

Se denominan ED Lineales.

1. Caso Homogéneo (q(x)=0): Es decir, se resuelven usando variación de la constante c de la solución

donde

xqy)x(pdxdy

dx)x(p

e)x(c)x(y

1

dx)x(p

cdxe)x(q)x(c

Ejemplo : Resolver la ecuación

𝑑𝑦𝑑𝑥

+(𝑥2+1)𝑦=0

2. Caso No Homogéneo (q(x)≠0): Se resuelven usando un factor integrante.

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